一元二次方程趣味版ppt课件
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《一元二次方程》PPT课件
75 1 x 2 108
整理，得 25x2 50x 11 0 ②
课堂小结
概念
① 是整式方程； ② 只含有一个未知数； ③ 最高次数是2
一元二 次方程
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次 方程的必要条件
讲授新课
知识点 一元二次方程的相关概念
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现 准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2 的地毯 ,四周未 铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为 x m ,那么 x (8 – 2x)
地毯中央长方形图案的长为
x
x
(8 - 2x)m,宽为 (5 - 2x) m,根据
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
观察与思考
方程①②③都不是一元一次方程.那么这两个方程与 一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0； ③ x2 + 12 x - 15 = 0.
特点: 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程．
根据题意有，
0
3 4
整理，得 x2 2500 0 ①
200cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥 有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x 根据题意有，
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程.
整理，得 25x2 50x 11 0 ②
课堂小结
概念
① 是整式方程； ② 只含有一个未知数； ③ 最高次数是2
一元二 次方程
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次 方程的必要条件
讲授新课
知识点 一元二次方程的相关概念
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现 准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2 的地毯 ,四周未 铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为 x m ,那么 x (8 – 2x)
地毯中央长方形图案的长为
x
x
(8 - 2x)m,宽为 (5 - 2x) m,根据
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
观察与思考
方程①②③都不是一元一次方程.那么这两个方程与 一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0； ③ x2 + 12 x - 15 = 0.
特点: 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程．
根据题意有，
0
3 4
整理，得 x2 2500 0 ①
200cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥 有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x 根据题意有，
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程.
21.1一元二次方程-完整版课件PPT
21.1 一元二次方程
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动1
问题：有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一 个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖长方体 盒子.如果要制作的无盖长方体盒子底面积为3600cm²,那么铁皮 各角应切去边长为多少cm的正方形?
(2)为什么要限制a≠0，b、c可以为0吗？
(3)一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次项系数是1吗？为什么？
总结一元二次方程的特殊形式：
当c=0时， ax2 bx 0a 0 当b=0时， ax2 c 0a 0 当b=0,c=0时， ax 2 0a 0
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
例4 若关于x的方程 (m 1)x2 x c x2 是一元二次 方程，求m的取值范围. 【解题过程】
解：原方程整理得（m 2）x2 x c 0, 因其是一元二次方程，所以m-2≠0， 即m≠2.
【思路点拨】先将原方程化为一般形式，再根据一元二次 方程的二次项系数不能为0，求出m的范围.
一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0(a 0)
其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项．
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动4 一元二次方程的一般形式： ax2 bx c 0(a 0)
问题： (1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？
探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
重点、难点知识★▲
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
练习4：若关于x的方程 (m 1)xm2 1 x c 0 是一元二次 方程，求m的值. 【解题过程】
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动1
问题：有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一 个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖长方体 盒子.如果要制作的无盖长方体盒子底面积为3600cm²,那么铁皮 各角应切去边长为多少cm的正方形?
(2)为什么要限制a≠0，b、c可以为0吗？
(3)一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次项系数是1吗？为什么？
总结一元二次方程的特殊形式：
当c=0时， ax2 bx 0a 0 当b=0时， ax2 c 0a 0 当b=0,c=0时， ax 2 0a 0
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
例4 若关于x的方程 (m 1)x2 x c x2 是一元二次 方程，求m的取值范围. 【解题过程】
解：原方程整理得（m 2）x2 x c 0, 因其是一元二次方程，所以m-2≠0， 即m≠2.
【思路点拨】先将原方程化为一般形式，再根据一元二次 方程的二次项系数不能为0，求出m的范围.
一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0(a 0)
其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项．
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动4 一元二次方程的一般形式： ax2 bx c 0(a 0)
问题： (1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？
探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
重点、难点知识★▲
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
练习4：若关于x的方程 (m 1)xm2 1 x c 0 是一元二次 方程，求m的值. 【解题过程】
一元二次方程趣味版 PPT
(1) x2 5x15√0 (2)
(3) (x3)2 7√源自(4)2 x2 5
3
x22y30
(5) 3x25x0√
(6) 4x2 0 √
(7) 2 x x 3 2 x 2 1 (8) x x 5
(9)
1 x3 1 0
2
(10)2xy-7=0
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
一元二次方程的一般形式
一般形式： a x2b xc0 (a0 )
二次项 a x 2
二次项系数
a
一次项
bx
常数项 c
想一想
一次项系数
b
为什么要限制 a≠0？
一元二次方程的一般形式
ax²+bx+c=0( a≠0）
把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次 项系数、一次项系数和常数项：
3x2-5x+1=0 3
x2+x-8=0
一元二次方程趣味版
21.1
二次方程
初三（4）班
By Charles
学习目标
1 理解一元二次方程的概念。 2 了解一元二次方程的一般形式。 3 理解一元二次方程的解的概念。
一元二次方程的概念
等号两边都是整式 ，只含有一个未知 数（一元），并且未知数的最高次数 是2 （二次）的方程，叫做一元二次 方程。
一元二次方程应满足：
1 是整式方程 2 只含有一个未知数
3 未知数的最高次数是2
重
说说一元二次方程与一元一次方程的相同 与不同之处.
相同之处：(1)两边都是整式;(2) 只含有一个未 知数;
不同之处： 一元一次方程未知数的最高次数是1次，以上方程 未知数的最高次数是2次.
(3) (x3)2 7√源自(4)2 x2 5
3
x22y30
(5) 3x25x0√
(6) 4x2 0 √
(7) 2 x x 3 2 x 2 1 (8) x x 5
(9)
1 x3 1 0
2
(10)2xy-7=0
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
一元二次方程的一般形式
一般形式： a x2b xc0 (a0 )
二次项 a x 2
二次项系数
a
一次项
bx
常数项 c
想一想
一次项系数
b
为什么要限制 a≠0？
一元二次方程的一般形式
ax²+bx+c=0( a≠0）
把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次 项系数、一次项系数和常数项：
3x2-5x+1=0 3
x2+x-8=0
一元二次方程趣味版
21.1
二次方程
初三（4）班
By Charles
学习目标
1 理解一元二次方程的概念。 2 了解一元二次方程的一般形式。 3 理解一元二次方程的解的概念。
一元二次方程的概念
等号两边都是整式 ，只含有一个未知 数（一元），并且未知数的最高次数 是2 （二次）的方程，叫做一元二次 方程。
一元二次方程应满足：
1 是整式方程 2 只含有一个未知数
3 未知数的最高次数是2
重
说说一元二次方程与一元一次方程的相同 与不同之处.
相同之处：(1)两边都是整式;(2) 只含有一个未 知数;
不同之处： 一元一次方程未知数的最高次数是1次，以上方程 未知数的最高次数是2次.
《一元二次方程》数学PPT课件(10篇)
4-7x2=0
一般形式
二次项 一次项 常数项 系数 系数
3x2－5x＋1＝0
3 －5 1
1x2 ＋1x－8＝0
1
－7x2 ＋4＝0 或－7x2 ＋00x＋4＝0 －7
或7x2 － 4＝0
7
1 －8
04 0 －4
抢答： 一元二次方程
2x2+x+4=0
-4y2+2y=0 3x2-x-1=0
4x2-5=0
二次项系数
一次项系数
例1：判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(4)
1 x2
2 x
0
(5) x+1=0 (6) x2 6 (7)4x2 1 (2x 3)2 3
(8)( x )2 2 x 6 0
练习巩固
下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？ (1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切 去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,
则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
为 (50-2x)cmБайду номын сангаас.
① 只含一个未知数;
②未知数的最高次数是2.
③ 都是整式方程;
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx的形c 式0,我们把
一般形式
二次项 一次项 常数项 系数 系数
3x2－5x＋1＝0
3 －5 1
1x2 ＋1x－8＝0
1
－7x2 ＋4＝0 或－7x2 ＋00x＋4＝0 －7
或7x2 － 4＝0
7
1 －8
04 0 －4
抢答： 一元二次方程
2x2+x+4=0
-4y2+2y=0 3x2-x-1=0
4x2-5=0
二次项系数
一次项系数
例1：判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(4)
1 x2
2 x
0
(5) x+1=0 (6) x2 6 (7)4x2 1 (2x 3)2 3
(8)( x )2 2 x 6 0
练习巩固
下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？ (1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切 去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,
则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
为 (50-2x)cmБайду номын сангаас.
① 只含一个未知数;
②未知数的最高次数是2.
③ 都是整式方程;
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx的形c 式0,我们把
《认识一元二次方程》一元二次方程PPT(第1课时)教学课件
102＋112＋122＝132＋142.
你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方 和等于后两个数的平方和吗？
如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那 么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意， 你能列出怎样的方程？
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地 面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯 子的底端滑动多少米？
（来自《点拨》）
知3－练
1 随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计， 2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年 均增长率为x，则下列方程中正确的是( ) A．20(1＋2x)＝28.8 B．28.8(1＋x)2＝20 C．20(1＋x2)＝28.8 D． 20＋(1＋2x)＋20(1＋x)2＝28.8
油利画用的长面方积形与的整面个积挂公 图式的和面油积画．面积与整个
90+2x
挂图面积之间的关系
解：(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40.
列（方来程自《点拨》）
总结
知3－讲
建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要 根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐 含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润 公式等)进行列方程．
到右依次填写28,18,10,4. （4）通过分析表格中的数值，估计方程的解，对表格中所填数值
的分析应至少包括以下两个方面：①表格中，当x的值从小到 大变化时，（8-2x)(5-2x）的值逐渐减小，经历了从大于 18到等于18再到小于18的过程. ②由表格可知，当x=1时， （8-2x)(5-2x）-18，由方程的解得意义，可以得出“x-1是 方程，（8-2x)(5-2x）-18的解得结论，从而所求宽度为1 m.
你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方 和等于后两个数的平方和吗？
如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那 么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意， 你能列出怎样的方程？
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地 面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯 子的底端滑动多少米？
（来自《点拨》）
知3－练
1 随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计， 2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年 均增长率为x，则下列方程中正确的是( ) A．20(1＋2x)＝28.8 B．28.8(1＋x)2＝20 C．20(1＋x2)＝28.8 D． 20＋(1＋2x)＋20(1＋x)2＝28.8
油利画用的长面方积形与的整面个积挂公 图式的和面油积画．面积与整个
90+2x
挂图面积之间的关系
解：(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40.
列（方来程自《点拨》）
总结
知3－讲
建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要 根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐 含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润 公式等)进行列方程．
到右依次填写28,18,10,4. （4）通过分析表格中的数值，估计方程的解，对表格中所填数值
的分析应至少包括以下两个方面：①表格中，当x的值从小到 大变化时，（8-2x)(5-2x）的值逐渐减小，经历了从大于 18到等于18再到小于18的过程. ②由表格可知，当x=1时， （8-2x)(5-2x）-18，由方程的解得意义，可以得出“x-1是 方程，（8-2x)(5-2x）-18的解得结论，从而所求宽度为1 m.
21.1一元二次方程(22张ppt)课件
学习目标
?
1.理解一元二次方程的概念，掌握 一元二 次方程的一般 形式，正确认 识各项及其各项的系数； 2.灵活应用一元二次方程概念解决 有关问题。
要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的 上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度 比，等于下部与全部的高度比，雕像的下 部应设计为多高？
雕像上部的高度AC和下部的高度BC有怎样的关系？ A
1 部比赛共 x x 1 场． 2
列方程
1 xx 1 28 2
1 2 1 x x 28 2 2
整理，得 化简，得
x x 56
2
③
由方程③可以得出参赛队数．
问题３：新七(1)班成立，各新同学初次同班，为 表友谊，全班同学互送贺卡，全班共送贺卡1560 张，求七(1)班现有多少名学生？
解：设七(1)班有m名学生，则：
m(m-1)=1560
整理,得：m2-m=1560
化简,得：m2-m-1560=0 ④
由方程④可以得出参赛队数．
方程① ② ③ ④有什么特点？
x2＋2x－4=0 ①
x2－75x+350=0 ②
x2-x＝56 ③
m2-m-1560=0 ④
（１）这些方程的两边都是整式， （２）方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2. 像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
3 2 x 2a 0 2
中
练习：
1、已知x=1是关于x的一元二次方程 2x²+kx-1=0的一个根，求k的值.
2、已知x=0是关于x的一元二次方程 (a-1)x²+x+a²-1=0的一个根，求a的 值.
?
1.理解一元二次方程的概念，掌握 一元二 次方程的一般 形式，正确认 识各项及其各项的系数； 2.灵活应用一元二次方程概念解决 有关问题。
要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的 上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度 比，等于下部与全部的高度比，雕像的下 部应设计为多高？
雕像上部的高度AC和下部的高度BC有怎样的关系？ A
1 部比赛共 x x 1 场． 2
列方程
1 xx 1 28 2
1 2 1 x x 28 2 2
整理，得 化简，得
x x 56
2
③
由方程③可以得出参赛队数．
问题３：新七(1)班成立，各新同学初次同班，为 表友谊，全班同学互送贺卡，全班共送贺卡1560 张，求七(1)班现有多少名学生？
解：设七(1)班有m名学生，则：
m(m-1)=1560
整理,得：m2-m=1560
化简,得：m2-m-1560=0 ④
由方程④可以得出参赛队数．
方程① ② ③ ④有什么特点？
x2＋2x－4=0 ①
x2－75x+350=0 ②
x2-x＝56 ③
m2-m-1560=0 ④
（１）这些方程的两边都是整式， （２）方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2. 像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
3 2 x 2a 0 2
中
练习：
1、已知x=1是关于x的一元二次方程 2x²+kx-1=0的一个根，求k的值.
2、已知x=0是关于x的一元二次方程 (a-1)x²+x+a²-1=0的一个根，求a的 值.
《一元二次方程》PPT课件
《一元二次方程》PPT 课件
演讲人
《一元二次方程》PPT课件
1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形 式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确 定一般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字 母或特定式子的代数式。 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开 平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适解法适用范围较大，且计算简便，是方法，配方法使 用较少。 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-
《一元二次方程》PPT课件
4ac 叫一元二次方程根的判别 式.请注意以下等价命题：
Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等)。
Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根;
谢谢
演讲人
《一元二次方程》PPT课件
1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形 式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确 定一般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字 母或特定式子的代数式。 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开 平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适解法适用范围较大，且计算简便，是方法，配方法使 用较少。 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-
《一元二次方程》PPT课件
4ac 叫一元二次方程根的判别 式.请注意以下等价命题：
Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等)。
Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根;
谢谢
一元二次方程(PPT课件)
x2 5 . x1 1， 所以：
解法3：利用配方法。将方程左边配方，有：
x 2 6 x 9 9 5 0 ，即 x 32 4
x2 5 . x 3 2 即 x1 1， 所以：
想一想
例题中的三种解法各具有哪些特点？本题 中使用哪种方法比较简洁？
返回目录
(1) x 2 4 x 12 0 ；(2) 3x 2 4 x 1 0；
(3) x 2 2 x 2 0 ；(4) x 2 4 x 2 0 .
再 见！
返回目录
§3.3
一元二次方程
安溪华侨职校数学组
目 录
知 识 讲 授 典 型 例 题
课 堂 练 习
课 外 作 业
1、一元二次方程：
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。其一般形式为：
ax2 bx c 0
a 0 .
2、解一元二次方程的基本方法:
公式法、配方法和因式分解法
_______ ⑷方程 x 2 2 x 8 0中， ，此方程
_______实数根；
课堂练习
2、解下列各方程：
(1) x 2 3x 10 0 ； (2) 2 x 2 3x 9 0； (3)பைடு நூலகம்3x 2 4 x 4 0 .
返回目录
课外作业
用适当的方法解下列各方程：
3、一元二次方程的求根公式：
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。求根公 式为：
b b 2 4ac x . 2a
4、一元二次方程解得讨论：
2 b 4ac ，则： 判别式为
(1) 当 0 时，一元二次方程有两个不相等的实 数解； (2) 当 0 时，一元二次方程有两个相等的实数解； (3) 当 0 时，一元二次方程没有实数解。
《一元二次方程》数学教学PPT课件(3篇)
两年后的汽车拥有量 = 前年的汽车拥有量 ×
（1+年平均增长率）2 .
解： 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x .
根据等量关系，可以列出方程
2
75
（1 x）
108.
化简，整理得
25x 2 50 x 11 0.
4x2-140x+325=0
25 x 50 x 11 0.
的解也叫一元二次方程的根。
思考
将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它
们的系数：
3x(x − 1) = 5(x + 2)
解： 3x 2 − 3x = 5x + 10
3x 2 − 8x − 10 = 0
3x 2 + 2x − 6 = 2(x − 3)
解： 3 2 + 2 − 2 − 6 + 6 = 0
2
2
2 − 75 + 350 = 0
一元二次方程
概念：只含有一个未知数（元），并且未知数最高次数是2，等号两边都是整
式，这样的方程叫一元二次方程。
二次项系数 一次项系数
一元二次方程的一般式：ax 2 + bx + c = 0（a≠0）
二次项 一次项 常数项
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程
一元一次方程知识点回顾
概念：只含有一个未知数（元），未知数次数都是1，等号两边都是整式，
这样的方程叫一元一次方程。
一元一次方程的一般式：
+ = 0
(a,b为常数， a≠0)
情景思考
问题1: 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四
（1+年平均增长率）2 .
解： 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x .
根据等量关系，可以列出方程
2
75
（1 x）
108.
化简，整理得
25x 2 50 x 11 0.
4x2-140x+325=0
25 x 50 x 11 0.
的解也叫一元二次方程的根。
思考
将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它
们的系数：
3x(x − 1) = 5(x + 2)
解： 3x 2 − 3x = 5x + 10
3x 2 − 8x − 10 = 0
3x 2 + 2x − 6 = 2(x − 3)
解： 3 2 + 2 − 2 − 6 + 6 = 0
2
2
2 − 75 + 350 = 0
一元二次方程
概念：只含有一个未知数（元），并且未知数最高次数是2，等号两边都是整
式，这样的方程叫一元二次方程。
二次项系数 一次项系数
一元二次方程的一般式：ax 2 + bx + c = 0（a≠0）
二次项 一次项 常数项
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程
一元一次方程知识点回顾
概念：只含有一个未知数（元），未知数次数都是1，等号两边都是整式，
这样的方程叫一元一次方程。
一元一次方程的一般式：
+ = 0
(a,b为常数， a≠0)
情景思考
问题1: 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四
24.1 一元二次方程课件(共20张PPT)
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得 x(x-1)=10，整理，得 x2-x-20=0.
拓展提升
课堂小结
1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0).3.一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做这个方程的根.4.根据题意列一元二次方程
为什么规定a≠0？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0(a≠0)
一次项系数
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
知识点1
一元二次方程的定义
①
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x，请列出方程，并谈谈所列方程的特征.
x2+12x-15=0
x2-90x+1 400=0，x2-45x+350=0，x2+12x-15=0
建立一元二次方程模型的一般步骤：（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；（2）设出合适的未知数，一般设为x；（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．
授课老师：
时间：2024年9月15日
解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得 x(x-1)=10，整理，得 x2-x-20=0.
拓展提升
课堂小结
1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0).3.一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做这个方程的根.4.根据题意列一元二次方程
为什么规定a≠0？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0(a≠0)
一次项系数
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
知识点1
一元二次方程的定义
①
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x，请列出方程，并谈谈所列方程的特征.
x2+12x-15=0
x2-90x+1 400=0，x2-45x+350=0，x2+12x-15=0
建立一元二次方程模型的一般步骤：（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；（2）设出合适的未知数，一般设为x；（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．
一元二次方程精品PPT课件
第二课时
• 1．一元二次方程根的概念； • 2．根据题意判定一个数是否是一元二次
方程的根及其利用它们解决一些具体题 目．
一元二次方程的根．
• 为了与以前所学的一元一次方程等只有 一个解的区别，我们称：一元二次方程 的解叫做一元二次方程的根．
直接开平方法
• 形如的方程 (x a)2 b(b 0) 可以用直接开
一元二次方程的一般形式．
• 任何一个关于x的一元二次方程， 经过整理， 都能化成如下形式 ax2 bx c 0(a 0) 这种 形式叫做一元二次方程的一般形式．
• 一个一元二次方程经过整理化成 ax2 bx c 0后(a， 0) 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一 次项，b是一次项系数；c是常数项．
就能判断b方2 程4a根c 的情况；
一元二次方程的根的判别式
• 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的判
别式△＝ b2 4ac • 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； • 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， • 当△＜0时，方程没有实数根．
韦达定理（根与系数关系）
• （1）我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0之 后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c 之间有如下关系：
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
一元二次方程(第一课时)课件
一元二次方程(第一课 时)ppt课件
本PPT课件将介绍一元二次方程的基本概念和解题方法，以及优化题的应用。 通过丰富的内容和精彩的图像，使学生能够轻松理解和掌握这个重要的数学 知识点。
引言
本节课将要介绍一元二次方程的定义和例子，并确定本堂课的学习目标。
一元二次方程的概念和公式
一元二次方程的定义
什么是一元二次方程？通过 实例来解释。
二次方程的标准形式和 一般形式
标准形式和一般形式的区别 是什么？如何转换？
解一元二次方程的公式
学习如何利用公式解一元二 次方程。
解一元二次方程的四种方法
1
直接公式法
使用直接公式解一元二次方程的骤和技巧。
2
完全平方公式法
通过完全平方公式解一元二次方程。
3
公式法
利用一元二次方程的公式进行求解。
4
图像法
推荐一些有关一元二次方程的优秀书籍和教材。
在线资源
分享一些相关的在线资源，供学生进一步学习。
二次函数及其图像分 析
学习如何分析二次函数图像以 解决优化问题。
求最值的思想和方法
通过思考和运用数学方法，找 到优化问题的最值。
小结
本堂课的主要内容回顾
总结本课所学的重点知识和技巧。
下节课预告
预告下节课将学习的内容和目标。
学习到的知识点总结
总结一元二次方程的基本概念和解题方法。
参考资料
书籍和教材
通过分析二次函数图像来解一元二次方程。
解题方法和技巧
1 变形思路
如何巧妙变形一元二次方程，找到解题的突破口。
2 整理形式
整理一元二次方程的形式，使解题更加简单明了。
3 注意二次方程的根性质
本PPT课件将介绍一元二次方程的基本概念和解题方法，以及优化题的应用。 通过丰富的内容和精彩的图像，使学生能够轻松理解和掌握这个重要的数学 知识点。
引言
本节课将要介绍一元二次方程的定义和例子，并确定本堂课的学习目标。
一元二次方程的概念和公式
一元二次方程的定义
什么是一元二次方程？通过 实例来解释。
二次方程的标准形式和 一般形式
标准形式和一般形式的区别 是什么？如何转换？
解一元二次方程的公式
学习如何利用公式解一元二 次方程。
解一元二次方程的四种方法
1
直接公式法
使用直接公式解一元二次方程的骤和技巧。
2
完全平方公式法
通过完全平方公式解一元二次方程。
3
公式法
利用一元二次方程的公式进行求解。
4
图像法
推荐一些有关一元二次方程的优秀书籍和教材。
在线资源
分享一些相关的在线资源，供学生进一步学习。
二次函数及其图像分 析
学习如何分析二次函数图像以 解决优化问题。
求最值的思想和方法
通过思考和运用数学方法，找 到优化问题的最值。
小结
本堂课的主要内容回顾
总结本课所学的重点知识和技巧。
下节课预告
预告下节课将学习的内容和目标。
学习到的知识点总结
总结一元二次方程的基本概念和解题方法。
参考资料
书籍和教材
通过分析二次函数图像来解一元二次方程。
解题方法和技巧
1 变形思路
如何巧妙变形一元二次方程，找到解题的突破口。
2 整理形式
整理一元二次方程的形式，使解题更加简单明了。
3 注意二次方程的根性质
《一元二次方程》一元二次方程PPT课件
3.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
学习目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
新知探究
跟踪训练 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系
数、一次项系数和常数项．
（1） x 2 2 4；
x2 4x 0 1 -4 0
（2）2 x 3 x 4 x2 10 ；
x2 2x 14 0 1 2 -14
（3）x2 x 1 1． 32
2x2 3x 9 0 2 -3 -9
新知探究 知识点3
x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
对接中考
关于 x 的一元二次方程 x2-(a2-2a)x+a-1=0 的两个实数根互为相反数，
则 a 的值为( B )
A.2
B.0
C.1
D.2或0
已知x1，x2是一元二次方程 x2−2x＝0 的两个实数根，下列结论错误的是 (D )
方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
新知探究
一般的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 中，二次项系数 a 未必是1，它的两个 根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
新知探究
由求根公式知
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b
b2 4ac 2a
x1 x2 b
《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件
解一元二次方程
直接开平方法
1、一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0 （a 0)
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x2 3x 4 x2 7 ×
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个 完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的 概念求解 .
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？ 请举例说明.
练一练
1、下列解方程的过程中，正确的是（ D ）
(A)x2=-2,解方程，得x=± 2
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
●学习目标
• 1．理解解一元二次方程降次的转化思想； • 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx
＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程； • 3.体会类比的思想；
重点: 能够熟练而准确的运用直接开平方法 求一元二次方程的解.
难点: 探究( x－m)2=a的解的情况,具有分类 讨论的意识.
知识回顾
问题1.什么叫做平方根?用式子如何表示？ 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫
做a的平方根。
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=
即x= a 或x= a
问题如2：.9平的方平根方根有是哪_些_±__性_3_质2？45 的平方根是______
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反 数的；(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
例1、解下列方程
（1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解：（1）移项，得x2=1.21
直接开平方法
1、一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0 （a 0)
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x2 3x 4 x2 7 ×
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个 完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的 概念求解 .
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？ 请举例说明.
练一练
1、下列解方程的过程中，正确的是（ D ）
(A)x2=-2,解方程，得x=± 2
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
●学习目标
• 1．理解解一元二次方程降次的转化思想； • 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx
＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程； • 3.体会类比的思想；
重点: 能够熟练而准确的运用直接开平方法 求一元二次方程的解.
难点: 探究( x－m)2=a的解的情况,具有分类 讨论的意识.
知识回顾
问题1.什么叫做平方根?用式子如何表示？ 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫
做a的平方根。
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=
即x= a 或x= a
问题如2：.9平的方平根方根有是哪_些_±__性_3_质2？45 的平方根是______
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反 数的；(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
例1、解下列方程
（1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解：（1）移项，得x2=1.21
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(1) x2 5x 150√
(2)
(3) ( x 3)2 7 √
(4)
2 x2 5 3
x2 2y 3 0
(5) 3x2 5x 0 √
(6) 4x2 0 √
(7) 2xx 3 2x2 1 (8) x x 5
(9)
1 x3 1 0
2
(10)2xy-7=0
8
一元二次方程的一般形式
当你们听到 要开学了， 是不是这个 表情呢？？
1
2
21.1
二次方程
初三（4）班
By Charles
3
学习目标
1 理解一元二次方程的概念。 2 了解一元二次方程的一般形式。 3 理解一元二次方程的解的概念。
4
一元二次方程的概念
等号两边都是整式 ，只含有一个未知 数（一元），并且未知数的最高次数 是2 （二次）的方程，叫做一元二次 方程。
使一元二次方程左、右两边相等的 未知数的值叫做一元二次方程的解 ，也叫做一元二次方程的根。
一元二次方程可以无解，但是有解 就一定有两个。
12
下面哪些数是方程x2+x-6=0的根？
-4 -3 2 3
13
开启学霸模式 ”对不起，您 的配置太低， 系统将自动跳 转到学渣模式 ”
谢谢观看
3/1241/2020
5
一元二次方程应满足：
1 是整式方程 2 只含有一个未知数
3 未知数的最高次数是2
重
6
说说一元二次方程与一元一次方程的相同 与不同之处.
相同之处：(1)两边都是整式;(2) 只含有一个未 知数;
不同之处： 一元一次方程未知数的最高次数是1次，以上方程 未知数的最高次数是2次.
7
判断下列方程是一元二次方程吗?
合并同类项
10
把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次 项系数、一次项系数和常数项：
方程
3x2=5x1
(x+2)(x-1)=6
7x42-=0
一般形式
二次项
系数
3x2-5x+1=0 3
x2+x-8=0
1
一次项 系数
-5
1
-7x2+4=0 -7
0
常数项
1
-8 4
11
3 什么是一元二次方程的解（根）
Hale Waihona Puke 一般形式： ax2 bx c 0(a 0)
二次项 ax 2
二次项系数
a
一次项
bx
常数项 c
想一想
一次项系数
b
为什么要限制 a≠0？
9
一元二次方程的一般形式
一般形式 其他形式
整理方法
ax²+bx+c=0(
a≠0）
ax²+bx=（a≠0） ax²+c=0（a≠0）
ax²=0（a≠0）
去分母、
去括号、 移 项、