中考数学“分类讨论”专题复习

中考数学“分类讨论”专题复习

学校：东区五校联合体主备人：刘少山审核人：刘天申时间： 3.26

第一课时

第一大类：分类讨论在数与代数中的应用

一.目标导航：

1.通过分类讨论专题复习能够区分数学对象的相同点和差异点，掌握分类的

方法，掌握将数学对象区分为不同种类的思想方法。

2.掌握分类思想在代数中的应用，领会其实质，加深对基础知识的理解、

提高分析问题、解决问题的能力。

二.考点动向：

分类讨论是一种重要的数学思想，也是各地近年来中考命题的热点，因此我

们在解数学题时，一是要准确，二是要全面，要尽可能地对问题作出全面的解答，

全面、深入、严谨、周密地思考问题，使解答没有纰漏。中考“分类讨论”题一

般分为两大类，一是分类讨论在数与代数中的应用；一是在空间与图形中的应用。

常见分类讨论在代数中的题型有：按数分类（绝对值概念，实数的分类等）；按

字母的取值分类（二次根式的化简，一元二次方程概念等）；考查的方式有填空

题，选择题，综合题，特别是中考压轴题中，往往涉及分类讨论思想。

【例题解析】

考点1：按数分类讨论问题

【例题1】已知直角三角形两边、的长满足，则

第三边长为。

解：由已知易得

⑴若是三角形两条直角边的长，则第三边长为。

⑵若是三角形两条直角边的长，则第三边长为，

⑶若是一直角边的长，是斜边，则第三边长为。

∴第三边长为。

考点2：方程、函数中的分类讨论问题

方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.

【例题2】：如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处．

（1）直接写出点E 、F 的坐标；

（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．

于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

【解析】①解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角．其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分．结合这两个性质来解决．在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E 为顶点、P 为顶点、F 为顶点．在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类．这样才能做到不重不漏．③解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决．

【答案】（1）(31)

E ，；(12)

F ，． （2）在Rt EBF △中，90B ∠=o ，

2222125EF EB BF ∴+=+=

设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >， Q 顶点(12)F ，，

∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．

①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，

221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n =．

(04)P ∴，． 24(01)2a ∴=-+．解得2a =．

∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+

②如图②，当EP FP =时，22EP FP =，

22(2)1(1)9n n ∴-+=-+．解得52

n =-（舍去）． ③当EF EP =时，53EP =，这种情况不存

在．

综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+．

（3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小．

如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，

作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点．

(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．

43BF BE ''∴==，．

FN NM ME F N NM ME F E ''''

∴++=++=22345=+=． 又5EF =Q ， ∴55FN NM ME EF +++=+，此时四边形

MNFE 的周长最小值是55+

考点3：在实际应用中代数分类讨论问题

【例题3】（2011河南）21. (10分)某旅行杜拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：

人数m 0200 收费标准(元

/人)

90 85 75

甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动.已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人．经核算，若两校分别组团共需花费10 800元，若两校联合组团只需花赞18 000元.

(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和赳过200人吗?为什么？

(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人?

【解析】考查了方程和不等式的问题，涉及了分类讨论问题。

解：（1）设两校人数之和为a.

若a＞200，则a=18 000÷75=240.

若100＜a≤200，则

13

1800085211

17

a=÷=，不合题意.

所以这两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于240人，超过200人.……3分

（2）设甲学校报名参加旅游的学生有x人，乙学校报名参加旅游的学生有y人，则

①当100＜x≤200时，得

240,

859020800.

x y

x y

+=

⎧

⎨

+=

⎩

解得

160,

80.

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

②当x＞200时，得

240, 759020800. x y

x y

+=

⎧

⎨

+=

⎩

解得

1

53,

3

2

186.

3 x

y

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪=

⎪⎩

此解不合题意，舍去.

∴甲学校报名参加旅游的学生有160人，乙学校报名参加旅游的学生有80人.

【巩固练习】

1.两个不相等

．．．．．的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是．