抛物线的几何性质教师用
《抛物线的简单几何性质》参考教案
抛物线的简单几何性质一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．(二)能力训练点从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．二、教材分析1．重点：抛物线的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)2．难点：抛物线的几何性质的应用．(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．)3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．(解决办法：引导学生证明并加以记忆．)三、活动设计提问、填表、讲解、演板、口答．教学过程【情境设置】由一名学生回答，教师板书．问题抛物线的标准方程是怎样的？答为：抛物线的标准方程是．与椭圆、双曲线一样，通过抛物线的标准方程可以研究它的几何性质．下面我们根据抛物线的标准方程：来研究它的几何性质．【探索研究】1．抛物线的几何性质（1）范围因为，由方程可知，所以抛物线在轴的右侧，当的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．（2）对称性以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．（3）顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当时，因此抛物线的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得，教师用小黑板给出来表让学生填写．再向学生提出问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；（4）抛物线的离心率是确定的，为1．【例题分析】例1已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．求标准方程，请一名学生演板，教师予以纠正．画图可由教师讲解，步骤如下：由求出的标准方程，变形为，根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标，得描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分（如图）．然后说明利用抛物线的通性，能够方便地画出反映抛物线基本特征的草图．例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为，灯深，求抛物线的标准方程和焦点位置．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径．抛物线的标准方程为，由已知条件可得点的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：，所以所求抛物线的标准方程为，焦点坐标是.（三）随堂练习1．求适合下列条件的抛物线方程①顶点在原点，关于轴对称，并且经过点②顶点在原点，焦点是③顶点在原点，准线是④焦点是，准线是2．一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是m，跨度是m，求拱形的抛物线方程答案：1．①②③④2．(要选建立坐标系)（四）总结提炼抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线．（五）布置作业1．顶点在原点、焦点在轴上，且过点的抛物线方程是（）A．B．C．D．2．若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为（）A．1B．2C．4D．63．若垂直于轴的直线交抛物线于点，且，则直线的方程为__________.4．抛物线形拱桥，当水面宽时，水面离拱顶为，若水下降，则此时水面宽为___________.5．抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左顶点，求抛物线方程．6．若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别是10和6，求的横坐标及抛物线方程．答案：1．B 2．C 3．4．5．6．9，。
中职数学教案：抛物线的几何性质
中等专业学校2023-2024-1教案教学内容1.范围在方程y²=2px中，由p>0，y²≥0，可知x≥0. 这表明，抛物线在y轴的右侧，如图所示. 当x的值增大时，y²的值也随着增大，即|y|的值增大. 这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸.这说明,抛物线向右上方和右下方无限延伸.2.对称性在方程中，将y换成-y，方程不改变.这说明抛物线关于x轴对称.一般地，把抛物线的对称轴称为抛物线的轴.3.顶点在方程中，令y=0，得x=0. 因此,抛物线的顶点为原点.一般地，抛物线与它的轴的交点称为抛物线的顶点.4.离心率抛物线上的点M到焦点的距离与它到准线的距离的比称为抛物线的离心率，记作e. 由抛物线的定义知，e=1.探究与发现为什么拱桥的桥拱大多设计为抛物线的形状？典型例题例3 根据条件，求抛物线的标准方程.(1)关于y轴对称，且过点P(4,-2) ；(2)对称轴为坐标轴，且过点P(10,5).解(1)由于物线关于y轴对称，而点P为第四象限的点，故抛物线的焦点在y轴的负半轴上.设拋物线的标准方程为x2=-2py(p>0).将点P的坐标(4,-2)代人方程，得42=-2p·(-2)，解得p=4.因此，抛物线的标准方程为x2=-8y；(2)设所求抛物线的标准方程为：y²=2p1x或x2=-2p2y，将点P的坐标(10,5)分别代人上述两个方程，得5²=2p1×10或102=-2p2×5，解得154p=或p2=10.故抛物线的标准方程为252y x=或x2=20 y.教学内容温馨提示当问题中没有明确指出抛物线的焦点位置或对称轴时，一般需要分情况讨论.例4 用“描点法”画出抛物线y²=4x的图形.分析抛物线具有对称性，因此只需先画出抛物线在第一象限内的图形,然后根据对称性画出全部图形.解当y≥0时,抛物线的方程可以变形为y²=2x(x≥0).在[0,+∞)上，选取几个整数作为x的值，计算出对应的y值，列表以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y)，用光滑的曲线顺次链接各点得到抛物线在第一象限内的图形.然后利用对称性，画出全部图形.例5 如图(1)所示，一条隧道的顶部是抛物线拱，拱高为2m，跨度为6m，求拱形纵截线所在的抛物线方程.解以拱形纵截线的顶点为坐标原点、拱高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图(2)所示，则抛物线方程可设为x²=-2py.设拱形的两个端点分别为点A、B.则由拱高为2m和跨度为6m可得AB两点的坐标分别为(-3,-2)、(3,-2)．把点B的坐标代人方程x²=-2py，可得94p=.因此，拱形纵截线所在的拋物线方程为292x y=-(-3≤x≤3).巩固练习练习3.3.21. 根据条件，求抛物线的标准方程.(1)准线方程为x=4；(2)焦点为F(0,-3)；(3)关于x轴对称，且过点(5,-4)；(4)对称轴为坐标轴，且过点(6,3).2. 在直角坐标系中，画出下列拋物线的图像.(1) y²=-6x ; (2)x²=9y.3. 已知拋物线的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，抛物线上一点P(-3,m)到焦点的距离为5，求拋物线的标准方程.4.已知垂直于x轴的直线交抛物线y²=6x于A、B两点，且|AB|=83，求直线AB的方程.归纳总结布置作业1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.板书设计教后札记。
《抛物线的简单几何性质》 学历案
《抛物线的简单几何性质》学历案一、学习目标1、掌握抛物线的定义、标准方程。
2、理解并掌握抛物线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、离心率等。
3、能够运用抛物线的几何性质解决相关问题。
二、学习重难点1、重点（1）抛物线的几何性质。
（2）利用几何性质求抛物线的方程和解决相关问题。
2、难点（1）抛物线的几何性质的应用。
（2）与抛物线相关的综合问题。
三、知识回顾1、抛物线的定义：平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
2、抛物线的标准方程：（1）焦点在 x 轴正半轴上，方程为 y²＝ 2px（p ＞ 0），焦点坐标为（＼（＼frac{p}｛2}＼），0），准线方程为 x ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。
（2）焦点在 x 轴负半轴上，方程为 y²＝－2px（p ＞ 0），焦点坐标为（＼（＼frac{p}｛2}＼），0），准线方程为 x ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。
（3）焦点在 y 轴正半轴上，方程为 x²＝ 2py（p ＞ 0），焦点坐标为（0，＼（＼frac{p}｛2}＼）），准线方程为 y ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。
（4）焦点在 y 轴负半轴上，方程为 x²＝－2py（p ＞ 0），焦点坐标为（0，＼（＼frac{p}｛2}＼）），准线方程为 y ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。
四、新课导入我们已经学习了抛物线的定义和标准方程，那么抛物线还有哪些重要的几何性质呢？这些性质又能帮助我们解决哪些问题呢？让我们一起来探究吧。
五、抛物线的几何性质1、范围以抛物线 y²＝ 2px（p ＞ 0）为例，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以对于抛物线上任意一点 M（x，y），有\（x ＼geq 0\），即抛物线在 x 轴的右侧（包括 x 轴）。
同理，对于抛物线 y²＝－2px（p ＞ 0），有\（x ＼leq 0\），即抛物线在 x 轴的左侧（包括 x 轴）。
抛物线的简单几何性质
x
直线与抛物线的关系
例3.已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的
直线l的斜率为k,下列情况下分别求k的
取值范围：
1. l与抛物线有且仅有一个公共点；
2. l与抛物线恰有两个公共点；
3. l与抛物线没有公共点.
例 1 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定点 P ( 2 , 1 ) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 2 y 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
l
y
（4） 离心率：
O
F
x
e =1
方程 图
y2 = 2px
（p＞0）
y
l O F x
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
（p＞0）
y
x
l l F x
（p＞0）
y
F
O l
（p＞0）
y
x
O F
形 范围
对称 性
O
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于x轴对称 （0,0） e=1
2
分析:直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形：一种是直线 平行于抛物线的 对称轴； 另一种是直线与 抛物线相切．
归纳方法：
1.联立方程组，并化为关于x或y的一元方程；
2.考察二次项的系数是否为0，
①若为0，则直线与抛物线的对称轴平行， 直线与抛物线有且仅有一个交点； ②若不为0，则进入下一步. 3.考察判别式 ⊿<0 直线与抛物线相离. ⊿=0 直线与抛物线相切； ⊿>0 直线与抛物线相交；
第15讲 抛物线(七大题型)(教师版)-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义
③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的 4 倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时， 首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型(一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型)，然后求 一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程 的形式，再求参数 p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一
解得 p 1 或 p 4 ， 2
故抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 = -8 y ，
故选：C
例 10．(2023·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中)若抛物线 y2 2 px p 0 上一点 P 2, y0 到其准线的距离
为 3，则抛物线的标准方程为( )
A． y2 4x
B． y2 6x
x p 2
|
MF
|
p 2
x0
e=1
y p 2
|
MF
|
y0
p 2
y p 2
|
MF
|
p 2
y0
知识点诠释： (1)与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；
(2)标准方程中的参数 p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0 恰恰说明定义中的焦点 F 不在准线 l 上
这一隐含条件；参数 p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于 p 的值，才
所以点 P 到抛物线焦点的距离为 y0 2 3.
故选：B
数学物理教案：抛物线的性质与应用
数学物理教案：抛物线的性质与应用一、抛物线的性质实践教案1.1 抛物线的定义与基本性质抛物线是二次函数的图像，具有特殊的几何性质和应用价值。
在数学中，我们常用一般式方程 y=ax^2+bx+c （其中a≠0 ）来描述抛物线。
在这个教案中，我们将重点探讨抛物线的性质与应用。
首先，我们来介绍抛物线的基本性质。
抛物线的对称轴与 x 轴平行，方程形式为 x= -b/2a。
对称轴上的点称为抛物线的顶点，也是对称中心。
通过点对称性，可以得出抛物线关于顶点对称。
抛物线在顶点处取得最值，当 a>0 时，最小值为 -D/4a；当 a<0 时，最大值为 -D/4a。
其中 D=b^2 - 4ac 称为方程的判别式。
抛物线的开口方向由 a 的正负决定，当 a>0 时，抛物线开口向上；当 a<0 时，抛物线开口向下。
1.2 抛物线的性质之焦点与准线接下来，我们将讨论抛物线的焦点和准线。
对于给定的抛物线，焦点F（p, q）是位于对称轴上的一个点，满足距离的性质：焦点到抛物线上任意一点的距离等于焦点到准线上的相应点的距离。
准线是过焦点 F 且垂直于对称轴的一条直线，其方程为 y=-(D/4a)。
我们可以利用这一性质来确定焦点的坐标，通过解方程组将焦点的坐标表示为（p, q）=（-b/2a, -D/4a）。
二、抛物线的应用实践教案2.1 抛物线的应用之物体运动轨迹抛物线不仅在数学领域有重要性质，而且在物理学中也具有广泛的应用。
抛物线可用于描述和分析物体在自由落体或斜抛运动中的轨迹。
在物理学中，我们知道自由落体运动是指只受重力作用的运动。
当一个物体以初速度 v₀进行向下抛掷时，其运动轨迹可以用抛物线来描述。
根据抛物线的性质，我们可以计算物体的最高点、最大高度以及落地点等重要信息。
2.2 抛物线的应用之天体运动除了物体运动轨迹外，抛物线还可以用于描述天体的运动。
在天文学中，行星、卫星和彗星等天体在星际空间中的运动轨迹往往呈现出抛物线形状。
《3.3.2 抛物线的几何性质》学历案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《抛物线的几何性质》学历案（第一课时）一、学习主题本学习主题为中职数学课程中的《抛物线的几何性质》。
抛物线作为基本几何图形之一，在数学领域有着广泛的应用，同时也是物理、工程等学科的重要研究内容。
通过本课的学习，学生将掌握抛物线的基本概念、几何性质和计算方法，为后续的数学学习及实际应用打下基础。
二、学习目标1. 理解抛物线的基本概念，掌握抛物线的标准方程。
2. 掌握抛物线的几何性质，包括对称性、顶点、焦点和准线等。
3. 学会利用抛物线的几何性质解决简单的数学问题。
4. 培养学生的空间想象能力和数学应用能力。
三、评价任务1. 评价学生对抛物线基本概念的掌握情况，能否正确理解并描述抛物线的基本特征。
2. 评价学生对抛物线标准方程的理解和应用能力，能否正确运用标准方程进行计算。
3. 评价学生对抛物线几何性质的理解和掌握情况，能否准确判断抛物线的对称性、顶点、焦点和准线等。
4. 评价学生解决实际问题的能力，能否将所学知识应用到实际问题中，并正确解答。
四、学习过程1. 导入新课：通过生活中的实例（如喷泉、投篮运动轨迹等）引入抛物线的概念，激发学生的兴趣。
2. 新课学习：讲解抛物线的基本概念、标准方程及其几何意义。
重点讲解抛物线的几何性质，包括对称性、顶点、焦点和准线等。
通过图示和实例分析，帮助学生深入理解。
3. 课堂互动：学生提问、讨论，教师解答并引导学生深入思考。
通过小组合作学习，互相交流学习心得和解题方法。
4. 巩固练习：布置相关练习题，包括选择题、填空题和计算题等，让学生运用所学知识进行练习。
5. 课堂总结：总结本节课的学习内容和学习重点，强调抛物线几何性质的理解和应用。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验或作业纸等方式，检测学生对本节课知识点的掌握情况。
2. 课后作业：布置适量的课后作业，包括抛物线几何性质的运用和实际问题解决等，帮助学生巩固所学知识。
六、学后反思1. 学生反思：学生应反思自己在本次学习中的收获和不足，总结学习方法和解题技巧。
教学设计1：2.4.2抛物线的几何性质
2．4.2抛物线的几何性质◆知识与技能目标使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．◆情感，态度与价值观目标（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。
◆能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力◆教学过程一.复习引入抛物线的定义及标准方程二.思考分析一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形的手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕轴旋转所得到的曲面，叫做抛物面．人们已经证明，抛物线有一条很重要的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯就是利用这个原理设计的．问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个焦点．问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？提示：不对．问题3：抛物线有渐近线吗？提示：没有．三.抽象概括1．抛物线的简单几何性质2．焦半径与焦点弦抛物线上一点与焦点F 的连线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P (x 0，y 0)，焦点弦端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则四种标准形式下的焦点弦和焦半径公式如下表：1．抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线． 2．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心．3．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线，这与椭圆、双曲线不同． 4．抛物线的离心率e ＝1(定值)．5．抛物线方程中的参数p 的几何意义是焦点到准线的距离．由方程y 2＝2px (p ≠0)知，对同一个x ，p 越大，|y |也越大，说明抛物线开口越大．6．抛物线与双曲线都是“开放型”曲线，但抛物线不能看成是双曲线的一支． 四.例题分析及练习[例1] 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[思路点拨] 解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可．[精解详析] 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3.[感悟体会] 用待定系数法求抛物线方程的步骤：训练题组11．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝±3yB ．y 2＝±6xC ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6y【解析】依题意知抛物线方程为x 2＝±2py (p >0)的形式， 又p2＝3，∴p ＝6,2p ＝12，故方程为x 2＝±12y . 【答案】C2．平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________．【解析】线段OA 的垂直平分线为4x ＋2y －5＝0， 与x 轴的交点为(54，0)，∴抛物线的焦点为(54，0)，∴其标准方程是y 2＝5x .【答案】y 2＝5x[例2] 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．[思路点拨] 先证明x 轴是它们的公共对称轴，再求三角形边长． [精解详析] 如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2. 又OA ＝OB ，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22， 即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1>0，x 2>0,2p >0， ∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称． 由此得∠AOx ＝30°， 所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立， 解得y 1＝23p .∴|AB |＝2y 1＝43p .[感悟体会] 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．解本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A ，B 两点关于x 轴对称．另外，抛物线方程中变量x ，y 的范围也是常用的几何性质．训练题组23．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．42【解析】双曲线的方程可化为x 23－y 2p216＝1，∴双曲线的左焦点为(－3＋p 216，0)． 又∵抛物线的准线为x ＝－p2，所以由题意得－ 3＋p 216＝－p 2， 解得p ＝4. 【答案】C4．等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上．若该三角形的斜边长为4，求抛物线的方程．【解】如图，设等腰直角三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上． 根据抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称． 由题意得A (2,2)在抛物线y 2＝2px 上， ∴p ＝1，抛物线的方程为y 2＝2x .[例3] 已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程．[思路点拨] 由弦所在直线经过焦点(1,0)，且弦长为36，可知直线的斜率存在且不为0，只需求出直线的斜率即可．[精解详析] ∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零． 故可设弦所在直线的斜率为k ，且与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， ∴直线的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，整理得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0(k ≠0)． ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴|AB |＝|AF |＋|BF | ＝x 1＋x 2＋2＝2k 2＋4k2＋2.又|AB |＝36，∴2k 2＋4k 2＋2＝36，∴k ＝±24.∴所求直线方程为y ＝24(x －1)或y ＝－24(x －1)． [感悟体会] 解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．训练题组35．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是( )A.254 B.252 C.258D ．25【解析】抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l 的方程为y ＝43(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －2)，y 2＝8x ，得B 点的坐标为(12，－2)．∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2＋8＋2＋12＝252.∴AB 的中点到准线的距离为254. 【答案】A6．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．【解】当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，如图．直线的方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得 |AB |＝|AF |＋|FB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p . 将其代入①得p ＝2. ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p >0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上所述，抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x . 五.课堂小结与归纳1．抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可求其他两个．2．涉及抛物线的焦点弦问题，可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离．六.当堂训练1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x【解析】显然由准线方程x ＝－2，可知抛物线焦点在x 轴正半轴上，同时得p ＝4，所以标准方程为y 2＝2px ＝8x .【答案】C2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．(14，±24)B ．(18，±24)C ．(14，24)D ．(18，24)【解析】由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上．而F (14，0)，所以P 点的横坐标为18.代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为(18，±24)．【答案】B3．线段AB 是抛物线的焦点弦，F 为抛物线焦点．若A ，B 在其准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【解析】法一：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，AB 的方程为x ＝my ＋p 2.消去x 得y 2－2my －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－p 2. 又A 1(－p 2，y 1)，B 1(－p 2，y 2)，F (p2，0)，∴1A F ＝(p ，－y 1)，1B F ＝(p ，－y 2)， 则1A F ·1B F ＝p 2＋y 1y 2＝0，即∠A 1FB 1＝90°. 法二：如图所示，∵|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |， ∴∠1＝∠2，∠5＝∠6. 又∵AA 1∥BB 1∥x 轴， ∴∠1＝∠3，∠6＝∠4， ∴∠2＝∠3，∠4＝∠5，∴∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝2(∠3＋∠4)＝180°， ∴∠3＋∠4＝90°，即∠A 1FB 1＝90°. 【答案】C4．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)【解析】圆心到抛物线准线的距离为p ，即4，根据已知只要|FM |>4即可．根据抛物线定义，|FM |＝y 0＋2.由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．【答案】C5．设点A 是抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，点M 是线段AB 的中点．若|AB |＝3，则M 到直线x ＝－1的距离为________．【解析】由题意知点B 即为抛物线的焦点， 直线x ＝－1即为抛物线的准线，如图．∵|AB |＝3，∴|AA ′|＝3.又|BB ′|＝2，MM ′即为梯形BB ′A ′A 的中位线，∴|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝52.【答案】526．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．【解析】抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52， 因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.【答案】727．直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且一直角边的方程是y ＝2x ，斜边长是5，求此抛物线的方程．【解】如图，设直角三角形为AOB ，直角顶点为O ，AO 边的方程为y ＝2x ， 则OB 边的方程为y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，得A 点坐标为(p 2，p )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，得B 点坐标为(8p ，－4p )． ∵|AB |＝53， ∴(p ＋4p )2＋(p2－8p )2＝5.∵p >0，解得p ＝21313，∴所求抛物线方程为y 2＝41313x .8．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为坐标原点．若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB 的方程．【解】由抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称． 设A (x ，y )，则B (x ，－y )，焦点为F (p2，0)．由题意知AF ⊥OB ， 则有y x －p 2·－y x ＝－1.∴y 2＝x (x －p2)，2px ＝x (x －p2)．∴x ≠0.∴x ＝5p2.∴直线AB 的方程为x ＝5p2.。
抛物线的几何性质(课堂版)分解
物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题3 : 焦点弦中,通径最短.
解 :由问题2知: AB 2 p sin2
sin2
2p 1 sin2
2 p,
AB 的最小值为2 p,即通径最短.
通径的性质 :
1通径的长度 : 2 p;
2 通径越大, 抛物线开口越大;
3 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的.
k 2 x2 p(k 2 2)x k 2 p2 0 4
1 1 1 1 2
FA
FB
x1
p 2
x2
p 2
p
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛 物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题7 : 过A, B分别作准线的垂线,垂足分别为A1, B1, 则A1F B1F .
O
x
B
由条件可得A (40,30), 代入方程得:
302=2p·40
解之: p= 45
4
故所求抛物线的标准方程为: y2=
45 2
x,
焦点为( 45 ,0)
8
抛物线的几何性质
标准 方程
y2 2 px ( p 0)
y2 2 px ( p 0)
图形
y
焦点
准线 范围
对称 顶 轴点
离心 率
oF
x
(1)焦点在直线x-2y-4=0上;
(1)①令x=0,由方程x-2y-4=0得y=-2,
∴当抛物线的焦点为F(0,-2)时,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),
则由 p =2得p=4,∴所求抛物线方程为x2=-8y. 2
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质教案教案标题：抛物线的简单几何性质教案目标：1. 了解抛物线的定义和基本性质。
2. 掌握抛物线的焦点、准线、顶点等重要概念。
3. 能够应用抛物线的性质解决简单几何问题。
教案步骤：步骤一：引入1. 引导学生回顾直线、圆等几何图形的性质，引出抛物线的概念。
2. 展示一张抛物线的图像，让学生观察并描述其形状和特点。
3. 引导学生思考抛物线的性质和应用领域。
步骤二：抛物线的定义和基本性质1. 讲解抛物线的定义：平面上到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
2. 介绍抛物线的基本性质：a. 抛物线关于准线对称。
b. 焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
c. 抛物线的顶点是其最高（或最低）点，对称轴经过顶点。
d. 抛物线开口方向由抛物线的二次项系数的正负决定。
步骤三：抛物线的重要概念1. 介绍抛物线的焦点、准线和顶点的定义和性质。
2. 指导学生通过几何构造方法确定抛物线的焦点、准线和顶点。
步骤四：抛物线的应用1. 给出一些简单的抛物线几何问题，如：已知焦点和准线，求抛物线方程；已知顶点和焦点，求抛物线方程等。
2. 引导学生分析问题，运用抛物线的性质解决问题。
3. 给予学生充分的练习机会，巩固抛物线的性质和应用。
步骤五：小结与拓展1. 对本节课所学内容进行小结，强调抛物线的定义和基本性质。
2. 提供一些拓展问题，让学生进一步思考抛物线的性质和应用。
教学资源：1. PowerPoint或白板等教学工具。
2. 抛物线的图像和实例题目。
教学评估：1. 课堂练习：布置一些练习题，检验学生对抛物线的理解和应用能力。
2. 个人或小组作业：要求学生解答一些抛物线相关的问题，加深对知识的理解。
教学延伸：1. 引导学生进一步探究抛物线的性质和应用，如抛物线的焦半径、离心率等。
2. 引导学生进行实际观察和实验，了解抛物线在现实生活中的应用，如抛物线反射器、喷泉喷水形状等。
备注：该教案适用于中学数学教学，学生年级和学习能力可以根据实际情况进行调整。
抛物线的简单几何性质(第1课时)高中数学获奖教案
2.3.2抛物线的简单几何性质（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)一、教学目标1.掌握抛物线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；3.对通径、焦半径公式进行初步探索；4.进一步理解数形结合的思想方法在解析几何中的应用。
二、教学重难点1.教学重点：抛物线的简单几何性质、利用抛物线的几何性质求方程、对通径与焦半径公式的初步探究。
2.教学难点：利用数形结合法对通径、焦半径公式的探究。
三、教学过程1.利用数形结合的思想探究抛物线的简单几何性质1.1 知识回顾，温故知新【学生活动】学生完成学案内容，对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习。
【设计意图】之前学过椭圆、双曲线的几何性质，都是通过图形和方程两方面进行研究的，因此引导学生对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习，有利于对抛物线性质的进一步探索。
1.2 数形结合，类比探究问题1：类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，请思考：我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？【预设答案】前面我们学习了椭圆、双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，在双曲线中还学习了渐近线。
我们是通过“数”和“形”两方面对椭圆、双曲线的几何性质进行探究的。
【设计意图】类比椭圆、双曲线几何性质的研究思路，为接下来用数形结合法研究抛物线的几何性质进行铺垫。
问题2：观察图形，你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗？【预设答案】通过观察图形，学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围，即为问题3：从数的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横纵坐标的取值范围呢？【预设答案】在方程中，并无限制，因此。
而因为，且，所以。
【设计意图】让学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的范围。
问题4：观察图形，抛物线有几条对称轴？是否有对称中心？【预设答案】学生观察图形容易得到开口向右的抛物线关于轴对称，没有对称中心。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质教案教案：抛物线的简单几何性质一、教学目标：1.了解抛物线的定义和基本性质；2.掌握抛物线的几何特征，如顶点、焦点和准线等；3.能够在实际问题中应用抛物线的几何性质。
二、教学准备：1.教师准备：教材、黑板、白板、粉笔/白板笔；2.学生准备：纸、铅笔、直尺、计算器。
三、教学过程：1.导入（10分钟）：教师向学生介绍抛物线的定义，即平面上离一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离之比等于一个常数（离心率）的点的轨迹。
2.探究抛物线的性质（30分钟）：a)定义性质教师和学生一起探究抛物线的核心性质：(1)焦点离抛物线准线的距离等于焦点离顶点的距离；(2)抛物线关于准线对称；(3)抛物线拱点所在的直线过抛物线的焦点。
b)几何特征(1)顶点：抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，是抛物线的对称中心。
(2)焦点：焦点是抛物线离心率的定位点，也是抛物线的最高点或最低点离焦点最近的点。
(3)准线：准线是与抛物线平行且位于焦点上方的一条水平线。
c)抛物线方程教师给出标准抛物线方程y = ax² + bx + c，并与学生一起通过几何特征推导出方程的性质，如顶点坐标、焦点坐标、离心率等。
3.练习与应用（40分钟）：a)练习题学生完成一些关于抛物线的基本计算练习题，以加深对抛物线几何性质的理解。
b)实际应用学生在教师的指导下，应用抛物线的几何性质解决一些实际问题，例如求解最优路径、抛物线天花板设计等。
4.小结与评价（10分钟）：教师对本节课内容进行小结，并对学生的学习情况进行评价。
四、教学反思：通过本节课的教学活动，学生可以深入了解抛物线的几何性质，并能够应用这些性质解决实际问题。
为了培养学生的实际应用能力，教师可以增加更多的实际应用案例，并提供丰富的练习题目供学生练习。
为了提高教学效果，教师还可以在课堂中使用多媒体教学工具，如电子白板或投影仪，展示抛物线的几何特征和应用案例的图像。
在教学过程中，教师应该多与学生进行互动，引导学生发现问题并提出自己的解决思路。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质教案抛物线是一种经典的二次函数，具有许多独特的几何性质。
它是数学中的重要概念，也常常出现在物理等实际应用中。
本文将介绍抛物线的一些简单几何性质，并设计一个教案，帮助学生理解和掌握这些性质。
一、抛物线的定义与性质1. 抛物线的定义：抛物线是一组与一直线和一个点的距离比例关系相符的点的轨迹。
2. 抛物线的特点：(1) 对称性：抛物线关于与其对称轴垂直的直线对称。
(2) 相同距离比例：抛物线上任意一点到焦点的距离与该点到准线的距离的比例始终相等，即反映了抛物线的几何性质。
(3) 焦点和准线：抛物线上的焦点与准线的距离相等，且焦点位于对称轴上。
(4) 抛物线开口方向：开口向上或向下取决于二次函数的二次项系数的正负。
二、教案设计1. 教学目标：(1) 理解抛物线的定义；(2) 掌握抛物线的对称性、焦点和准线的性质；(3) 理解抛物线开口方向与二次项系数的关系。
2. 教学过程：(1) 导入：提问学生对抛物线的认识，引导学生思考距离比例的概念，并通过图片和实物示例展示抛物线的形状。
(2) 概念解释：向学生介绍抛物线的定义和性质，让学生了解对称性、焦点和准线等概念，激发学生的兴趣。
(3) 教学演示：通过数学软件或手绘，展示抛物线的对称性和焦点、准线的位置，并解释相同距离比例的特点。
(4) 学生练习：提供抛物线的图形，让学生找出其对称轴、焦点和准线，并计算相同距离比例。
(5) 小组合作：学生分小组讨论并解决抛物线开口方向与二次项系数的关系问题，并向其他小组进行解释和讨论。
(6) 总结复习：学生总结抛物线的简单几何性质，并展示在教室内或墙壁上。
3. 教学评价：(1) 课堂回答问题：老师通过提问检查学生对抛物线性质的理解和掌握情况。
(2) 练习册作业：让学生在练习册上完成相关练习题，检测学生对抛物线性质的理解和应用能力。
三、教学展望通过这节课的教学，学生应能够理解抛物线的基本几何性质，并能够应用这些性质解决简单的问题。
抛物线的几何性质教案
抛物线的几何性质教案教案标题：抛物线的几何性质教学目标：1. 理解抛物线的定义和基本性质。
2. 掌握抛物线的焦点、顶点、对称轴等关键概念。
3. 能够利用抛物线的性质解决实际问题。
教学内容：1. 抛物线的定义和基本性质：a. 通过焦点与直线的定义，引入抛物线的概念。
b. 解释抛物线的几何性质，如对称性、焦点与直线的关系等。
2. 抛物线的关键概念：a. 焦点：解释焦点的定义和作用，如焦点与抛物线的关系。
b. 顶点：介绍顶点的概念和性质，如顶点的坐标与抛物线的关系。
c. 对称轴：解释对称轴的概念和性质，如对称轴与抛物线的关系。
3. 抛物线的性质应用：a. 利用抛物线的性质解决实际问题，如抛物线的最值问题、抛物线的轨迹问题等。
b. 引导学生进行抛物线相关问题的实际应用讨论，如抛物线在物理、工程等领域的应用。
教学步骤：1. 导入：通过展示一张抛物线的图片或实物，引起学生对抛物线的兴趣，并提出问题，激发学生思考。
2. 知识讲解：通过教师讲解和示范，介绍抛物线的定义、基本性质和关键概念。
3. 案例分析：给出一些具体的抛物线问题案例，引导学生分析和解决问题，巩固所学知识。
4. 练习与讨论：提供一定数量的练习题，让学生进行个人或小组练习，并进行讨论和答疑。
5. 拓展应用：引导学生思考抛物线在实际问题中的应用，并进行相关案例的讨论。
6. 总结归纳：对本节课所学内容进行总结，并强调抛物线的几何性质及其应用。
7. 课堂作业：布置一些练习题作为课后作业，巩固学生对抛物线的理解和应用。
教学资源：1. 抛物线的图片或实物。
2. 教学投影仪或黑板、白板等教学工具。
3. 抛物线相关的练习题和案例。
评估与反馈：1. 在课堂上进行学生的个人或小组练习，及时检查和纠正错误。
2. 对学生的课堂表现进行评估，如参与度、问题解决能力等。
3. 收集学生的作业并进行批改，给予针对性的反馈和建议。
教学延伸：1. 鼓励学生进一步探究抛物线的性质，如抛物线的方程、焦半径等。
抛物线的几何性质教案
2.42 抛物线的几何性质（一）教师：陈娟 单位：芜湖市火龙岗中学课型：新授课 课时：两课时 教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握抛物线的几何性质（2）能运用抛物线的方程推导出他的几何性质 （3）能利用抛物线的几何性质求解抛物线方程 2、过程与方法由椭圆与双曲线的几何性质对比引出抛物线几何性质的学习，通过类比、归纳、总结及数形结合的方法分析抛物线的几何性质，由例题及练习讲解巩固抛物线几何性质的运用。
3、情感态度价值观让学生感受数形结合的方法优势，学会用类比、归纳的方法进行新旧知识的迁移，激发学生的学习兴趣，提高学生的综合能力。
教学重难点教学重点：抛物线的几何性质教学难点：正确的根据抛物线的方程讨论曲线的几何性质，注意椭圆、双曲线、抛物线的性质的区别与联系教学过程一、复习回顾，引出新课1、前面几节课我们分别从哪几个方面讨论圆锥曲线的几何性质的？ （范围、对称点、顶点、离心率四个主要方面）2、双曲线的几何性质与椭圆相比有哪些特别的地方？ （离心率的范围、范围、渐近线）那么抛物线的几何性质又是怎样的呢？ 二、启发诱导，教授新课 设抛物线的方程为2(0)y px p =>1、范围20y > 20px ∴> 又0p >∴0x ≥ y R ∈图象位置: y 轴右侧 y 的值随x 的值的增大而增大 2、对称性设00(,)M x y 是上任一点，有2002y px =（1）100(,)M x y - 20()y -=2002y px = ∴100(,)M x y -在抛物线上1M 与M关于x 轴对称 因此，抛物线关于x 轴对称（2）200(,)M x y - 2002y px = 02()p x -=02px -又0022px px ≠- ∴2M 不在抛物线上 因此，抛物线不关于y 轴对称 （3）300(,)M x y -- 22000()2y y px -== 02()p x -=02px - 又0022px px ≠- ∴2M 不在抛物线上 因此，抛物线不关于原点对称 3、顶点令0x = 即220y px == ∴ 0y = 因此，抛物线的顶点是（0,0） 4、离心率（1）思考：用离心率的定义式可以求出抛物线的离心率吗？（2）抛物线离心率的定义：抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离之比所以，有抛物线的定义知，抛物线的离心率为常数1 三、例题讲解，提炼方法例1、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并经过(2,M -，求它的标准方程.解析：解决此类问题的步骤通常是：（1）做判断，确定方程形式由“抛物线关于X 轴对称，它的顶点在坐标原点”及0m x >知焦点在x 轴正半轴（2）设方程为22y px =（3）找关系，列等式 由“抛物线经过M点”得22(22p-=⨯ （4）解方程，得结果 解得2p =思考：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，且过点M 的抛物线有几条？（提示：画图验证为两条24y x =与24x y =）自我演练：练习１（１）、（４）例2、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点(3,)M m 到焦点的距离那等于5，求抛物线方程和m 的值。
【教学案例】《抛物线的简单几何性质》教学案例
《抛物线的简单几何性质》教学案例（一）教学题目：《抛物线的简单几何性质》第一课时（二）授课类型：新授课（三）教学目标：知识与技能：1、从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。
2、掌握抛物线的几何性质、范围、对称性、顶点、离心率，能根据给出条件求抛物线的标准方程，了解抛物线的通径及画法。
过程与方法：经历由抛物线的标准方程推导抛物线的性质，培养学生数形结合及方程的思想。
情感、态度与价值观：训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用，培养学生的应用意识，进而培养学生乐于学习数学的兴趣。
（四）教学重点：掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。
（五）教学难点：抛物线各个知识点的灵活应用。
（六）教学方法：采用引导式、讲练结合法；多媒体课件辅助教学。
（七）课时分配：1课时（八）教学媒体：多媒体课件（九）学情分析：我授课的学生大部分数学基础不太好,尤其理解能力、运算能力、思维能力等方面参差不齐，所以在教学中注重双基的训练。
（十）教学步骤：教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图一、导入1、抛物线的定义：平面内与一个点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F→焦点，直线L→准线。
2、抛物线的标准方程。
图形标准方程焦点坐标准线方程3、唐朝王翰在《凉州词》中有“葡萄美酒夜光杯，欲饮琵琶马上催”的句子，诗中提到“夜光杯”。
问题1：如果测得酒杯口宽4cm，杯深8cm，试求抛物线方程。
解：如图建立平面直角坐标系,则可知A(-2,8),B(2,8) 所以设抛物线的方程为：A、B点在抛物线上，代入抛物线方程，可得P=41则所求的抛物线方程为：yx212=问题2：研究酒杯轴截面所在曲线的几何性质。
老师展示结论。
提出问题，引导学生由“数学模型”到“数学问题”的解决问题的方法。
展示解题过程。
抛物线的定义及标准方程由学生口述。
抛物线的简单几何性质(上课用)
顶点
焦半径
焦点弦 的长度
（0,0）
p 2
x0
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
四、归纳总结
1、范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线；
2、对称性： 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。
（4）离心率
抛物线上的点与焦点的距 离和它到准线的距离 之比，叫 做抛物线的离心率，由抛物线 的定义，可知e=1。
y
P(x0 , y0 )
A
OF
x
B
（5）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线
段叫做抛物线的焦半径。PF
x0
p 2
（6）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与 抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物 线的通径。通径长为2p
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点 准线
F( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
y
F
x o
F(0, p) 2
y p 2
y
o
x
F
F (0, p) 2
y p 2
3、椭圆和双曲线的性质：
方程
性质
图形
范围 对称性 顶点坐标 离心率
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
二、讲授新课：
问题：你能说出直线与抛物线位置关系吗？ y
抛物线的几何性质教案
抛物线的几何性质教案抛物线的几何性质教案一、教学目标：1. 知识与技能：掌握抛物线的定义，了解抛物线的几何性质。
2. 过程与方法：通过观察实例、辨析图形等方式，培养学生的观察能力和分析能力。
3. 情感态度价值观：培养学生对几何形状的兴趣，通过发现规律和解决问题的过程，提高学生的动手实践能力和逻辑思维能力。
二、教学重难点：1. 教学重点：抛物线的定义，抛物线的几何性质。
2. 教学难点：通过具体实例推导抛物线的一般式方程。
三、教学过程：Step 1：导入新课1. 通过投射物体的实例，引出抛物线的定义并写在黑板上。
2. 引导学生观察抛物线的形状，并讨论抛物线的特点。
Step 2：抛物线的定义1. 提问：根据之前的观察，你能用自己的话解释一下什么是抛物线吗？2. 学生回答后，教师给出正确答案并进行解释。
3. 学生跟随教师的解释，将定义写在笔记本上。
Step 3：抛物线的性质1. 引导学生观察抛物线的对称性，并讨论抛物线的对称轴是什么。
2. 引导学生发现抛物线的定点，并解释为什么这些点在同一条直线上。
3. 教师引导学生用引例方法，用一个实际问题（如抛射运动）解释为什么会产生抛物线，引导学生探索抛物线的另外两个性质。
（如，抛物线在对称轴上的点到定点的距离相等，抛物线上任意一点到定点和对称轴的距离相等）Step 4：抛物线的一般式方程1. 教师提出具体实例，引导学生观察，并用抛物线的定义和已知条件推导出一般式方程。
2. 学生与教师一起完成推导过程，并将结果写在黑板上。
3. 学生跟随教师的推导过程，将结果写在笔记本上。
Step 5：练习与巩固1. 教师出示几个实例，并要求学生根据观察结果，写出相应的抛物线方程。
2. 学生进行练习，并相互检查和讨论结果。
四、教学反思：通过本节课的教学，学生们对抛物线的定义和几何性质有了初步的了解。
通过观察、探索的方式，激发了学生的兴趣，让他们在实践中感受到了数学的魅力。
在教学过程中，教师注重培养学生的观察能力和分析能力，通过引导学生发现规律和解决问题的过程，培养学生的动手实践能力和逻辑思维能力。
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第5节 抛物线及其标准方程撰写： 审核：三点剖析：一、教学大纲及考试大纲要求：1． 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的几何性质；2． 了解抛物线在实际问题中的初步应用；3． 进一步理解抛物线的方程、几何性质及图形三者之间的内在联系。
二、重点与难点重点： 抛物线的定义和标准方程 难点：求抛物线的标准方程三、本节知识理解设抛物线的标准方程y 2=2px (p ＞0)，则（1）.范围：则抛物线上的点(x ,y )的横坐标x 的取值范围是x ≥0.,在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。
（2）.对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.（3）．顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。
（4）．离心率；抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为1.（5）.在抛物线y 2＝2px （p ＞0）中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为),2(),,2(p p p p -，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p .（6）.平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点. 但它不是双曲线的切线.2．抛物线和椭圆、双曲线的比较（1）.抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大.它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它无中心，也没有渐近线.（2）.椭圆、双曲线都有中心，它们均可称为有心圆锥曲线.抛物线没有中心，称为无心圆锥曲线.精题精讲【例1】已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M (3，－23)，求它的标准方程.【解】∵抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M (3，－23)，∴可设它的标准方程为x 2=－2py (p ＞0).又∵点M 在抛物线上，∴(3)2=－2p (－23)，即p =43.因此所求方程是x 2=－43y .【点评】本题关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法即可求出其标准方程. 【例2】已知双曲线的方程是9822yx-=1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线标准方程及抛物线的准线方程.【解】∵双曲线9822yx-=1的右顶点坐标是(22，0).∴222=p ,且抛物线的焦点在x 轴的正半轴上.∴所求抛物线的方程和准线方程分别为y 2=82x ,x =－22. 【点评】本题考查的都是双曲线的基本知识.【例3】A 为抛物线y 2=－27x 上一点，F 为焦点，｜AF ｜=1487，求过点F 且与OA 垂直的直线l 的方程.【解】设A （x 1,y 1）, ∵2p =27,∴F 的坐标是(－87，0).∵｜FA ｜=1487,∴871421=-x p ,∴x 1=－14,代入抛物线方程y 2=－27x ,得y 1=±7.∴A 点的坐标是(－14，7)或(－14，－7). ∵21-=OA k 或21=OA k 且OA ⊥l∵k l =2或k l =－2. ∵l 过焦点F (－87，0).∴l 的方程是y =2(x +87)或y =－2(x +87)，即8x －4y +7=0或8x +4y +7=0.【点评】有关抛物线上的点与其焦点的距离问题,抛物线的定义一般是解决问题的入手点.【例4】抛物线y 2=12x 中，一条焦点弦的长为16，求此焦点弦所在直线的倾斜角.【解】抛物线的焦点坐标是(3，0)，设焦点弦所在的直线方程是y =k (x －3).由方程组⎩⎨⎧-==),3(122x k y xy得y 2－k12y －36=0.∴直线被抛物线截得的弦长为364)12(11||1122212⨯++=-+kky y k)11(12k+=.∵焦点弦长为16，∴由12(1+21k)=16得，k =±3. ∴焦点弦所在直线的倾斜角为60°或120°.【例5】.已知抛物线y 2=2px 上有三点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）、C （x 3,y 3）且x 1＜x 2＜x 3，若线段AB 、BC 在x 轴上射影之长相等，求证：A 、B 、C 三点到焦点的距离顺次成等差数列. 【证明】根据题意，得x 2－x 1=x 3－x 2，即x 1、x 2、x 3成等差数列， 又由抛物线的定义得：2||,2||,2||321p x CF p x BF p x AF +=+=+=.∵2｜BF ｜=2x 2＋(22p p +)=2x 2+p ,｜AF ｜+｜BF ｜=x 1+x 3+p =2x 2＋p =2｜BF ｜. ∴｜AF ｜、｜BF ｜、｜CF ｜成等差数列.【例6】设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明：直线AC 经过原点O,【证明】∵抛物线的焦点为F （2p ，0），∴经过点F 的直线AB 的方程可设为x=my+2p ，代入抛物线方程，得y 2-2pmy-p 2=0.设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则y 1、y 2是该方程的两根，∴y 1y 2=-p 2.∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x=-2p 上，∴点C 的坐标为（-2p，y 2）.∴直线OC 的斜率为k=111222x y y p p y ==-，即k 也是直线OA的斜率.∴直线AC 经过原点O.【点评】本题若设直线AB 的点斜式方程也可以，但必须还要讨论斜率k 不存在的情况，另外，证明直线AC 过原点O ，这里是利用了直线OC 与直线AC 的斜率相等，非常简捷，如若写出直线AC 的方程，通过（0，0）适合方程来证明，将较复杂.【例7】A 、B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA ⊥OB （O 为坐标原点）.求证：（1）A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；（2）直线AB 经过一个定点. 【证明】（1）设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则y 12=2px 1、y 22=2px 2. ∴OA ⊥OB,∴x 1x 2+y 1y 2=0，y 12y 22=4p 2x 1x 2=4p 2·(-y 1y 2). ∴y 1y 2=-4p 2，从而x 1x 2=4p 2也为定值.（2）∵y 12-y 22=2p(x 1-x 2)，∴2121212y y p x x y y +=--.∴直线AB 的方程为y-y 1=212y y p +(x-x 1),即y=212y y p +x-212y y p +·py 221+y 1，y=212y y p +x+2121y y y y +，亦即y=212y y p+(x-2p).∴直线AB 经过定点（2p ，0）.【点评】本例的证明还可以设OA 的方程为y=kx ，OB 的方程为y=-k1x ，由OA 的方程与抛物线的方程联立求得A 点的坐标，再由OB 的方程与抛物线的方程联立求得B 点的坐标，利用A 、B 的坐标证明.【例8】给定抛物线y 2=2x ,设A (a ,0),a ＞0，P 是抛物线上的一点，且｜PA ｜=d ,试求d 的最小值. 【解】设P (x 0,y 0),（x 0≥0）， 则y 02=2x 0，∴d =|PA |=12)]1([2)()(200202020-+-+=+-=+-a a x x a x y a x .∵a ＞0,x 0≥0，∴(1)当0＜a ＜1时，1－a ＞0，此时当x 0=0时，d 最小=12)1(2-+-a a =a . （2）当a ≥1时，1－a ≤0，此时当x 0=a －1时，d 最小=12-a .【点评】虽然d 的目标函数f (x 0)是根号下关于x 0的二次函数，但由于x 0和a 都有限制条件，必须分类讨论求最小值，否则会出错.. 【例9】过抛物线y 2=6x 的顶点作互相垂直的两条直线，交抛物线于A 、B 两点，求线段AB 中点的轨迹方程.【解】设线段AB 中点P （x ，y ），OA 的斜率为k ，则直线OA 的方程为y=kx ，由⎩⎨⎧==，x y kx y 6,2得⎩⎨⎧==0,0y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,6,62k y kx 依题意得A 点的坐标为A （26k，k6）.∵OA ⊥OB ，∴OB 的斜率为-k1，直线OB 的方程为y=-k1x.由⎪⎩⎪⎨⎧=-=,6,12x y x ky 得⎩⎨⎧==0,0y x 或⎩⎨⎧-==.6,62k y k x ∴B 点的坐标为（6k 2，-6k ）.线段AB 中点P （x ，y ）满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=),66(21),66(2122k k y k k x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=),1(3),1(322k k y k kx ②式平方后减去①×3，得 y 2=3x-18为所求.【例10】过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点作倾斜角为θ的直线l ，设l 交抛物线于A 、B 两点，求|AB|.【解】当θ=90°时，直线AB 的方程为x=2p，由⎪⎩⎪⎨⎧==,2,22px px y 得A(2p,-p)、B(2p，p).∴|AB|=2p.当θ=90°时，直线AB 的方程为y=(x-2p )tanθ.由⎪⎩⎪⎨⎧=-=,2,tan )2(2px y p x y θ得 tan 2θ·x 2-(2p+ptan 2θ)x+42p·tan 2θ=0.设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 1+x 2=θθθ222sin 2tan tan 2p p p =+.【点评】求过抛物线焦点的弦长问题，一般是把弦分成两条焦半径得用焦半径公式结合韦达定理来求.【例11】过抛物线的焦点F 作不垂直于对称轴的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交对称轴于N ，求证：｜AB ｜=2｜NF ｜.【证明】设抛物线方程为y 2=2px (p ＞0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点为M （x 0,y 0）.则y 12=2px 1,y 22=2px 2.两式相减并整理得2121212y y p x x y y +=--.∵M 是AB 的中点， ∴00212122y p y p x x y y ==--.∵MN ⊥AB ，∴k MN =－py 0.∴直线MN 的方程为y －y 0=－py 0 (x －x 0),令y =0得N 点的横坐标x N =x 0+p . ∴22||0p x p x NF N +=-=.又｜AB ｜=｜AF ｜+｜BF ｜=x 1+x 2+p =2(x 0+2p ).∴｜AB ｜=2｜NF ｜.【点评】当A 、B 两点都在曲线上时，求直线AB 的斜率，可把A 、B 两点的坐标代入曲线的方程并把得到的两式相减.【例12】已知过抛物线y 2=2px (p ＞0)的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，点R 是含抛物线顶点O 的弧AB 上一点，求△RAB 的最大面积.分析：求RAB 的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以|AB |为三角形的底，只要确定高的最大值即可.解：设AB 所在的直线方程为y =x -2p .将其代入抛物线y 2=2px ,得y 2-2py -p 2=0 ∴|AB |=2|y 1-y 2|=2·p y y y y 44)(21221=-+当过R 的直线l 平行于AB 且与抛物线相切时，△RAB 的面积有最大值.设直线l 方程为y =x +b .代入抛物线方程得y 2-2py +2pb =0由Δ=4p 2-8pb =0，得b =2p这时R （2p ,p ）.它到AB 的距离为h =22p∴△RAB 的最大面积为21|AB |·h =2p 2..【例13】已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x ，且过点（4，-10）.（1）求双曲线方程；（2）若点M （3，m ）在此双曲线上，求1MF ·2MF ； （3）求ΔF 1MF 2的面积.【解】（1）由题意知，双曲线的方程是标准方程. ∵双曲线的一条渐近线方程为y=x ，∴设双曲线方程为x 2-y 2=λ.（4，-10）代入双曲线方程得把点42-(-10)2=λ,λ=6.∴所求双曲线方程为x 2-y 2=6.（2）由（1）知双曲线方程为x 2-y 2=6，∴双曲线的焦点为F 1(-23,0)、F 2(23,0).∵M 点在双曲线上，∴32-m 2=6，m 2=3.∴1MF ·2MF =(-23-3,-m)·(23-3,-m)=(-3)2-(23)2+m 2=-3+3=0.（3）∵1MF ·2MF =0，∴MF 1⊥MF 2.∴ΔF 1MF 2为直角三角形. ∵|1MF |=22)()332(m -+--=31224+， |2MF |=22)()332(m -+-=31224- ∴21MF F S ∆=21|1MF |·|2MF |=2131224+·图8—13① ②31224-=6.【点评】本例（1）的解法中利用了“如果双曲线的渐近线为y=±ab x 时，那么双曲线的方程可设为2222by ax -=λ（λ≠0）”这一结论.【例14】直线l 1过点M （-1，0），与抛物线y 2=4x 交于P 1、P 2两点，P 是线段P 1P 2的中点，直线l 2过P 和抛物线的焦点F ，设直线l 1的斜率为k .(1)将直线l 2的斜率与直线l 1的斜率之比表示为k 的函数f (k );（2）求出f (k )的定义域及单调区间.分析：l 2过点P 及F ，利用两点的斜率公式，可将l 2的斜率用k 表示出来，从而写出f (k )，由函数f (k )的特点求得其定义域及单调区间.解：（1）设l 1的方程为：y =k (x +1).将它代入方程y 2=4x ,得 k 2x 2+(2k 2-4)x +k 2=0设P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)、P (x ,y ) 则x 1+x 2=22222,24kk x kk -=-将x =222kk -代入y =k (x +1)，得：y =k2，即P 点坐标为（222kk -,k2).由y 2=4x ,知焦点F （1，0）∴直线l 2的斜率k 2=kk kk k -=--112222∴函数f (k )=kk -1.(2)∵l 1与抛物线有两个交点， ∴k ≠0且Δ=(2k 2-4)2-4k 4＞0 解得-1＜k ＜0或0＜k ＜1∴函数f (k )的定义域为 {k |-1＜k ＜0或0＜k ＜1}当k ∈(-1,0)及k ∈(0,1)时，f (k )为增函数.【例15】设过抛物线y 2=2px (p ＞0)的顶点O 的两弦OA 、OB 互相垂直，求抛物线顶点O 在AB 上射影N 的轨迹方程. 分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N 看成定点（x 0,y 0)；待求得x 0、y 0的关系后再用动点坐标（x ,y )来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算.解法一：设A （x 1,y 1),B (x 2,y 2),N (x 0,y 0)，则y 12=2px 1,y 22=2px 2∴x 1x 2=222214py y ⋅∵OA ⊥OB∴k OA ·k OB =-1即x 1x 2+y 1y 2=0 ∴222214py y +y 1y 2=0∵y 1y 2≠0∴y 1y 2=-4p 2 ①把N 点看作定点，则AB 所在的直线方程为：y -y 0=-00y x (x -x 0),显然x 0≠0∴x =20200)(x y x y y -+-代入y 2=2px ，化简整理得：x 0y 2+2py 0y -2p (x 02+y 02)=0 ∴x 0≠0∴y 1y 2=2020)(2x y x p +- ②由①、②得：-4p 2=02020)(2x y x p +-.化简得x 02+y 02-2px 0=0(x 0≠0)用x 、y 分别表示x 0、y 0得 x 2+y 2-2px =0(x ≠0)解法二：点N 在以OA 、OB 为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设A （2pt 2,2pt )，则以OA 为直径的圆方程为：(x -pt 2)2+(y -pt )2=p 2(t 4+t 2)即x 2+y 2-2pt 2-2pty =0 ①设B （2pt 12,2pt 1）,OA ⊥OB ，则t 1t =-1⇒t 1=-t1在求以OB 为直径的圆方程时以-t1代t 1，可得t 2(x 2+y 2)-2px +2pty =0 ② 由①+②得：(1+t 2)(x 2+y 2-2px )=0 ∵1+t 2≠0∴x 2+y 2-2px =0(x ≠0)【例16】如图8—14，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1.以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形，｜AM ｜=17，｜AN ｜=3，且｜BN ｜=6.建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程.【解法一】以l 1为x 轴，MN 的中点O 为原点建立如图的平面坐标系.由题意可知，曲线段C 所在的抛物线在直角坐标系中的位置是标准的，并且点N 是该抛物线的焦点，l 2是准线.所以可令抛物线的方程为y 2=2px (p ＞0).过点A 作AQ ⊥l 2，AE ⊥l 1，垂足分别为Q 和E ，由于△AMN 是锐角三角形，则点E 必在线段MN 上.所以，｜AQ ｜=｜AN ｜=3，∵｜AM ｜=17,∴｜QM ｜=22||||22=-AQ AM ,｜AE ｜=｜QM ｜=22,｜EN ｜=22||||AE AN -=1. ∴p =｜MN ｜=｜ME ｜+｜EN ｜=｜AQ ｜+｜EN ｜=4. ∴抛物线方程为y 2=8x .由上述可知｜OE ｜=1，点B 到准线l 2的距离为6，则点B 的横坐标为4，又曲线段在x 轴上方，故曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4,y ＞0).【解法二】以l 1为x 轴，l 2为y 轴建立如图8—15的直角坐标系，其中M 点为原点，这时焦点N 在x 轴上，顶点O ′应是线段MN 的中点.令曲线段C 所在的抛物线方程为：y 2=2p (x －x o ′)(p ＞0).设A ),22(121y p py +,B ),22(222y p py +,则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=++.36)22(,9)22(,17)22(222222122121221y p py y p py y p p y 由①－②得y 12=8, 代入①得（24p p+）2=9,∴8+p 2=6p .∵p ＞3,∴p =4. ∵y 1＞0,∴y 1=22, 代入③得y 2=42.∴曲线段C 的方程为y 2=8(x －2)(22≤y ≤42).【点评】该例题给出的条件比较简明、直接，由抛物线的概念，可知曲线段C 是一段抛物线弦.因此，入手不难.关键的问题是怎样建立适当的坐标系，使得解答过程简单.此例还应注意方程中x 或y 的取值范围.基础达标一、选择题1.顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线，过点(－2，3)，则它的方程是（ ）A.x 2=－29y 或y 2=34xB.y 2=－29x 或x 2=34yC.x 2=34yD.y 2=－29x【解析】∵抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，∴抛物线的方程为标准形式. 当抛物线的焦点在x 轴上时， ∵抛物线过点(－2，3)， ∴设抛物线的方程为y 2=－2px (p ＞0)， ∴32=－2p (－2),∴p =49.∴抛物线的方程为y 2=－29x .当抛物线的焦点在y 轴上时， ∵抛物线过点(－2，3)， ∴设抛物线的方程为x 2=2py (p ＞0). ∴(－2)2=2p ·3,∴p =32.∴抛物线的方程为x 2=34y .【答案】B2.以x 轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（ ）A.y 2=8xB.y 2=－8xC.y 2=8x 或y 2=－8xD.x 2=8y 或x 2=－8y【解析】∵通径长为8，∴2p =8.∵抛物线的轴为x 轴，∴抛物线的方程为y 2=±8x .【答案】C3.抛物线x 2=－4y 的通径为AB ，O 为抛物线的顶点，则（ ） A.通径长为8，△AOB 的面积为4 B.通径长为－4，△AOB 的面积为2 C.通径长为4，△AOB 的面积为4D.通径长为4，△AOB 的面积为2 【解析】在抛物线x 2=－4y ，∴2p =4即通径的长为4. △AOB 的面积为214212221=⨯⨯=⨯⨯p p .【答案】D4.已知直线y =kx －k 及抛物线y 2=2px (p ＞0)，则（ ） A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点 【解析】∵直线y =kx －k 过点(1，0)，点(1，0)在抛物线y 2=2px 的内部.∴当k =0时，直线与抛物线有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点.【答案】C5.等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2=2px (p ＞0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是（ ）A.8p 2B.4p 2C.2p 2D.p 2【解析】∵抛物线的轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形， ∴由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的轴垂直,从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎨⎧==px y x y 22得⎩⎨⎧==00y x 或⎩⎨⎧==py px 22.∴A 、B 两点的坐标分别为(2p ,2p )和(2p ,－2p ). ∴｜A Ｂ｜=4p ,∴S △AOB =21×4p ×2p =4p 2.【答案】B6.边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A 、B 的抛物线方程是（ ）A.y 2=63x B.y 2=－63x C.y 2=±63xD.y 2=±33x【解析】∵△AOB 为边长等于1的正三角形，∴O 到AB 的距离为23，A 或B 到x 轴的距离为21.当抛物线的焦点在x 轴的正半轴上时，①② ③设抛物线的方程为y 2=2px (p ＞0). ∵抛物线过点(21,23)， ∴,232)21(2⋅=p ∴632=p .∴抛物线的方程为y 2=63x .当抛物线的焦点在x 轴的负半轴上时， 设抛物线的方程为y 2=－2px (p ＞0). ∵抛物线过点(－21,23)， ∴)23(2)21(2-⋅-=p ,∴2p =63.∴抛物线的方程为y 2=－63x .【答案】C7.已知点(x ,y )在抛物线y 2=4x 上，则z =x 2+21y 2+3的最小值是（ ）A.2B.3C.4D.0【解析】∵点(x ,y )在抛物线y 2=4x 上，∴x ≥0， ∵z =x 2+21y 2+3＝x 2+2x ＋3＝（x +1）2＋2∴当x =0时，z 最小，其值为3.【答案】B8.过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线，分别交准线于P 、Q 两点，又过P 、Q 分别作抛物线对称轴OF 的平行线，交抛物线于M 、N 两点，则M 、N 、F 三点（ ）A.共圆B.共线C.在另一抛物线上D.分布无规律 【解析】设M (x 1，y 1)，Ｎ（x 2，y 2），设抛物线方程为y 2＝2px . 则F （2p ，0），准线x =－2p ,∴P （－2p ，y 1），Ｑ（－2p ，y 2）由PF ⊥QF 得py p y -⋅-21＝－1，∴y 1y 2＝－p 2221122222221111222222py py p py y p x y k p y py p x y k NF MF -=-=-=-=-=∴k MF ＝k NF∴M 、N 、F 共线.【答案】B 二、填空题9.若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点P 到准线及对称轴的距离分别为10和6，则P 的横坐标为______，p 的值为______. 【解析】∵点P 到对称轴的距离为6，∴设点P 的坐标为(x ,6).(或(x ,－6))∵点P 到准线的距离为10，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=102262px px,∴⎩⎨⎧==29p x .或⎩⎨⎧==.18,1p x ∴点P 的横坐标为9，p 的值为2.（或P 的横坐标为1，p 值为18.）【答案】9 2 1 1810.过(0，－2)的直线与抛物线y 2＝８x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则 ｜AB ｜=______.【解析】设直线方程为y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B （x 2，y 2）由⎩⎨⎧=-=xy kx y 822 得k 2x 2－４（k ＋2）x ＋４＝0∵直线与抛物线交于A 、B 两点∴Δ＝16（k ＋2）2－16k 2＞0 即k ＞－1 又221)2(22kk x x +=+＝2∴k ＝2或k ＝－1（舍） ∴2122122124)(21||1||x x x x x x k AB -+⋅+=-+=152)44(52=-=.【答案】21511.过抛物线y 2=8x 的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为 .【解析】由抛物线y 2=8x 的焦点为（2，0），得直线的方程为y=x-2，代入y 2=8x 得(x-2)2=8x 即x 2-12x+4=0.∴x 1+x 2=12，弦长=x 1+x 2+p=12+4=16.【答案】16【点评】本题用例3的结论：弦长=︒=45sin8sin 222θp =16.12.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点(m ，－2）到焦点的距离等于4，则m 的值为______.【解析】由于点(m ，－2)在抛物线上，所以抛物线开口向下，设其方程为x 2＝－2py ，则2＋2p ＝４，∴p ＝４.抛物线方程为x 2＝－８y ，把点（m ，－2）代入得m ＝±4.【答案】±413.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若|AB|=43，则焦点到AB 的距离为 .【解析】不妨设A （x ，23），则（23）2=4x.∴x=3.∴AB的方程为x=3，抛物线的焦点为（1，0），∴焦点到准线的距离为2.【答案】2三、解答题14.抛物线x 2=2y 上距离点A （0，a )(a ＞0)最近的点恰好是抛物线的顶点，求a 的取值范围.【解】设P （x ,y ）为抛物线上任意一点，则|PA |=222222)1(222)(ay a y aay y y a y x +--=+-+=-+12)]1([2-+--=a a y∵a ＞0,∴a －1＞－1由于y ≥0,且|PA |最小时，y =0∴－1＜a －1≤0 ∴0＜a ≤1.15.过定点A (－2,－1)，倾斜角为４5°的直线与抛物线y =ax 2交于B 、C ，且｜BC ｜是｜AB ｜、｜AC ｜的等比中项，求抛物线方程.【解】设A （－2，－1）、B （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在x 轴上的射影分别为A ′（－2，0）、B ′（x 1，0）、C ′（x 2，0）∵｜BC ｜2＝｜AB ｜·｜AC ｜，∴｜B ′C ′｜2＝｜A ′B ′｜·｜A ′C ′｜于是有｜x 1－x 2｜2＝（x 1＋2）（x 2＋2） ①直线AC 的方程为y =x +1. 代入y =ax 2并整理得ax 2－x －1＝0 ∴x 1＋x 2＝a1，x 1x 2＝－a1 ②把②代入①得，a ＝1或a =－41.当a =1时，方程ax 2－x －1＝0根的判别式Δ＞0； 当a =－41时，Δ＝0，B 、C 重合，不合题意，舍去. ∴抛物线方程为y =x 2.16.过抛物线y 2＝４x 的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M 、N 两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN 为直径的圆经过抛物线的焦点.【解】抛物线y 2＝４x 的准线与对称轴的交点为（－1，0）.设直线MN 的方程为y ＝k （x ＋1）由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2得k 2x 2＋2（k 2－2）x ＋k 2＝0 ∵直线与抛物线交于M 、N 两点. ∴Δ＝４（k 2－2）2－４k ４＞0即k 2＜｜k 2－2｜，k 2＜1，－1＜k ＜1设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），抛物线焦点为F (1，0). ∵以线段MN 为直径的圆经过抛物线焦点. ∴MF ⊥NF ∴112211-⋅-x y x y ＝－1即y 1y 2＋x 1x 2－（x 1＋x 2）＋1＝0 又x 1＋x 2＝－22)2(2kk -，x 1x 2＝1y 12y 22＝16x 1x 2＝16且y 1、y 2同号 ∴22)2(2kk -＝－6解得k 2＝21，∴k ＝±22即直线的倾斜角为arctan22或π－arctan22时，以线段MN 为直径的圆经过抛物线的焦点.综合发展一、选择题1.动点P 到点A (0，2)的距离比到直线l ：y =－4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为（ ）A.y 2=4xB.y 2=8xC.x 2=4yD.x 2=8y【解析】由已知条件可知，点P 与点A 的距离等于它到直线y =－2的距离.根据抛物线的定义，点P 的轨迹是以A (0，2)为焦点的抛物线.∵2p =2,∴p =4.因为焦点在y 轴的正半轴上，所以点P 的轨迹方程为x 2=8y . 【答案】D2.已知抛物线的轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y +11=0上，则此抛物线的方程是（ ）A.y 2=－11xB.y 2=11xC.y 2=－22xD.y 2=22x【解析】在方程2x －4y +11=0中，令y =0 得x =－211.∵抛物线的焦点为直线2x －4y +11=0与x 轴交点， ∴2112=p ,∴2p =22.∴抛物线的方程为y 2=－22x .【答案】C3.抛物线y =8mx 2(m ＜0)的焦点坐标是（ ） A.(m 81,0) B.(0,m321) C.(0,－m321)D.(m321,0)【解析】把抛物线的方程写成x 2=m81y则2p =－m81.∴抛物线的焦点坐标是(0, m321).【答案】B4.抛物线y 2=8x 的焦点为F ，P 在抛物线上，若｜PF ｜=5，则P 点的坐标为（ ）A.(3，26)B.(3，－26)C.(3，26)或(3，－26)D.(－3，26)或(－3，－26)【解析】设P 点的坐标为(x ,y ) ∵｜PF ｜=5,∴2+x =5,∴x =3, 把x =3代入方程y 2=8x ，得y 2=24，∴y =±26，∴点P 的坐标为(3，±26) . 【答案】C5.一个正三角形的三个顶点都在抛物线y 2=4x 上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为（ ）A.483 B.243 C.27316D.9316【解析】由抛物线的对称性可知，正三角形的另两个顶点关于x 轴对称，且分别在直线y =33x 与y =－33x 上，由⎪⎩⎪⎨⎧==x y xy 3342得x =12,y =43,即三角形的另两顶点分别为（12，43）与（12，－43）.因此三角形的面积S =12×43=483.【答案】A6.已知点A (－2，1)，y 2=－4x 的焦点是F ，P 是y 2=－4x 上的点，为使｜PA ｜+｜PF ｜取得最小值，P 点的坐标是（ ）A.(－41,1) B.(－2,22) C.(－41,－1)D.(－2,－22) 【解析】过P 作PK ⊥l (l 为抛物线的准线)于K ，则｜PF ｜=｜PK ｜,∴｜PA ｜+｜PF ｜=｜P A ｜+｜PK ｜, ∴当P 点的纵坐标与A 点的纵坐标相同时，｜PA ｜+｜PK ｜最小.此时P 点的纵坐标为1，把y =1代入y 2=－4x 得x =－41.即当P 点的坐标为(－41，1)时，｜PA ｜+｜PB ｜最小.【答案】A7.抛物线y 2=4x 的焦点弦被焦点分成长是m 和n 的两部分，则m 与n 的关系是（ ） A.m +n =mnB.m +n =4C.mn =4D.无法确定【解析】抛物线y 2=4x 的焦点为(1，0)，当焦点弦与抛物线的轴垂直时，m =2,n =2,∴m +n =mn . 当焦点弦与抛物线的轴不垂直时，设焦点弦所在直线方程为y =k (x －1)(k ≠0).把y =k (x －1)代入y 2=4x 并整理得k 2x 2－2（k 2+2）x +k 2=0. ∴x 1·x 2=1,∵m =x 1+1,n =x 2+1, ∴x 1=m －1,x 2=n －1代入x 1x 2=1得(m －1)(n －1)=1即m +n =mn . 【答案】A8.θ是任意实数，则方程x 2+y 2sin θ=4的曲线不可能是（ ） A.椭圆 B.双曲线C.抛物线D.圆【解析】当sin θ∈［－1,0)时，方程x 2+y 2sin θ=4的曲线是双曲线；sin θ=0时，方程的曲线是两条平行直线；sin θ∈(0,1)时，方程的曲线是椭圆；sin θ=1时，方程的曲线是圆.【答案】C9.已知椭圆21)(1222t y x-+=1的一条准线方程为y =8，则实数t 的值为（ ）A.7或－7B.4或12C.1或15D.0【解析】由题设y －t =±7，∴y =t ±7=8,∴t =1或15. 【答案】C 10.双曲线ky x224+=1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是（ ）A.（－∞,0）B.(－12,0)C.(－3,0)D.(－60,－12) 【解析】∵a 2=4,b 2=－k ,∴c 2=4－k . ∵e ∈(1,2),∴4422k a c-=∈(1,4),∴k ∈(－12,0).【答案】B 11.以12422yx-=－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）A.121622yx+=1 B.161222yx+=1C.41622yx+=1D.16422yx+=1【解析】双曲线41222xy-=1的焦点坐标为（0，±4），顶点坐标为（0，±12）.∴椭圆的顶点坐标为（0，±4），焦点坐标为（0，±12）.∴在椭圆中a =4,c =12,∴b 2=4.∴椭圆的方程为16422yx+=1.【答案】D5.过抛物线y =ax 2(a ＞0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q图8-15两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp11+等于（ ）A.2aB.a21C.4aD.a4【解析】当直线平行于x 轴时，由于F 点的纵坐标为a41,因此x P =－a 21,x Q =a 21,∴||1||111Q P x x qp+=+=4a .【答案】C12.抛物线y =x 2到直线 2x －y =4距离最近的点的坐标是（ ）A.)45,23(B.（1，1）C.)49,23(D.（2，4）【解析】设P （x ,y ）为抛物线y =x 2上任一点，则P 到直线的距离d =53)1(5|42|5|42|22+-=+-=--x x x y x ,∴x =1时，d 取最小值553，此时P （1，1）.【答案】B 13.12222=-by ax 与2222ay bx -=1（a ＞b ＞0）的渐近线（ ） A.重合B.不重合，但关于x 轴对称C.不重合，但关于y 轴对称D.不重合，但关于直线y =x 对称【解析】双曲线12222=-by ax 的渐近线方程为y =±a ybx x ab 222,-=1的渐近线方程y =±b a x 、y =a b x 与y =bax 关于直线y =x 对称，y =－ab x 与y =－ba x 关于直线y =x 对称.【答案】D14.动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上，且动圆恒与直线x +2=0相切，则动圆必过定点（ ）A.（4，0）B.（2，0）C.（0，2）D.（0，－2）【解析】直线x +2=0为抛物线y 2=8x 的准线，由于动圆恒与直线x +2=0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线定义可知，定点为抛物线的焦点（2，0）.【答案】B15.设P 是椭圆4922yx+=1上一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则cos F 1PF 2的最小值是（ ）A.－91 B.－1 C.91D.21【解析】设P （x 0,y 0）,则－3≤x 0≤3. cos F 1PF 2=)353)(353(2)52()353()353(||||2||||||0022020212212221x x x x PF PF F F PF PF -+--++=-+220959195x x --=∴当x 0=0时，cos F 1PF 2最小，最小值为－91.【答案】A二、填空题16.已知点A （0，1）是椭圆x 2+4y 2=4上的一点，P 是椭圆上的动点，当弦AP 的长度最大时，则点P 的坐标是_________.【解析】∵点P 在椭圆上，∴设点P 的坐标为(2cos θ,sin θ)， 则｜AP ｜=316)31(sin 3)1(sin cos 4222++-=-+θθθ.∴当sin θ=－31时，｜AP ｜最大，此时P 的坐标为(±31,324-). 【答案】(±31,324-) 17.已知F 1、F 2是双曲线2222by ax -=1(a ＞0,b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦.如果∠PF 2Q =90°,则双曲线的离心率是_________.【解析】由｜PF 2｜=｜QF 2｜,∠PF 2Q =90°,知｜PF 1｜=｜F 1F 2｜即ac ab c ab⋅==2,2222,∴e 2－2e －1=0,e =1+2或e =1－2（舍）. 【答案】1+218.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2=72x 上，这个正三角形的边长是 .【解析】设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则y 12=72x 1、y 22=72x 2.由|OA|=|OB|，得x 12+y 12=x 22+y 22，x 12+2px 1-x 22-2px 2=0.∴x 1=x 2.∴线段AB 关于x 轴对称.∴∠AOx=30°，11x y =tan30°=33.∵x 1=7221y ，∴y 1=723.∴|AB|=1443.【答案】144319.点P （8，1）平分双曲线x 2－4y 2=4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是______.【解析】设弦的两端点分别为A (x 1,y 1)、B （x 2,y 2），则x 12－4y 12=4,x 22－4y 22=4，两式相减得(x 1+x 2)(x 1－x 2)－4(y 1+y 2)·(y 1－y 2)=0.∵AB 的中点为P （8，1），∴x 1+x 2=16,y 1+y 2=2,∴2121x x y y --=2.∴直线AB 的方程为y －1=2(x －8),即2x －y －15=0. 【答案】2x －y －15=0三、解答题20.抛物线y 2=2px 的焦点弦AB 的中点为M ，A 、B 、M 在准线上的射影依次为C 、D 、N .求证：（1）A 、O 、D 三点共线，B 、O 、C 三点共线；（2）FN ⊥AB （F 为抛物线的焦点）. 【证明】（1）设A （x 1,y 1）、B (x 2,y 2)、中点M （x 0,y 0），焦点F 的坐标是（2p ,0）.由⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(2得ky 2－2py －kp 2=0. ∴A 、B 、M 在准线上的射影依次为C 、D 、N ， ∴C (－2p ,y 1)、D (－2p ,y 2)、N (－2p ,y 0).∵2,222121111p y k y p py y x y k OD OA -====,由ky 2－2py －kp 2=0 得y 1y 2=kkp 2-=－p 2,∴k OA =k OD ,∴A 、O 、D 三点共线.同理可证B 、O 、C 三点共线. （2）k FN =py -0,当x 1=x 2时，显然FN ⊥AB ；当x 1≠x 2时，k AB =)(212122121212y y py y x x y y --=--212y p y y p =+=,∴k FN ·k AB =－1.∴FN ⊥AB .综上所述知FN ⊥AB 成立.。