抛物线的几何性质教师用

第5节 抛物线及其标准方程

撰写： 审核：

三点剖析：

一、教学大纲及考试大纲要求：

1． 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的几何性质；

2． 了解抛物线在实际问题中的初步应用；

3． 进一步理解抛物线的方程、几何性质及图形三者之间

的内在联系。

二、重点与难点

重点： 抛物线的定义和标准方程 难点：求抛物线的标准方程

三、本节知识理解

设抛物线的标准方程y 2=2px (p ＞0)，则

（1）.范围：则抛物线上的点(x ,y )的横坐标x 的取值范围是x ≥0.,在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。

（2）.对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.

（3）．顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。

（4）．离心率；抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为1.

（5）.在抛物线y 2

＝2px （p ＞0）中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为),2

(

),,2

(

p p p p -，连结这

两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p .

（6）.平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点. 但它不

是双曲线的切线.

2．抛物线和椭圆、双曲线的比较

（1）.抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大.它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它无中心，也没有渐近线.

（2）.椭圆、双曲线都有中心，它们均可称为有心圆锥曲线.抛物线没有中心，称为无心圆锥曲线.

精题精讲

【例1】已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M (3，－23)，求它的标准方程.

【解】∵抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M (3，－23)，

∴可设它的标准方程为x 2

=－2py (p ＞0).

又∵点M 在抛物线上，∴(3)2=－2p (－23)，

即p =

4

3.

因此所求方程是x 2

=－

4

3y .

【点评】本题关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法即可求出其标准方程. 【例2】已知双曲线的方程是

9

8

2

2

y

x

-

=1，求以双曲线的右顶点

为焦点的抛物线标准方程及抛物线的准线方程.

【解】∵双曲线

9

8

2

2

y

x

-

=1的右顶点坐标是(22，0).

∴

222

=p ,且抛物线的焦点在x 轴的正半轴上.

∴所求抛物线的方程和准线方程分别为y 2

=82x ,x =－22. 【点评】本题考查的都是双曲线的基本知识.

【例3】A 为抛物线y 2=－

2

7x 上一点，F 为焦点，｜AF ｜=14

8

7，

求过点F 且与OA 垂直的直线l 的方程.

【解】设A （x 1,y 1）, ∵2p =

2

7,∴F 的坐标是(－

8

7，0).

∵｜FA ｜=14

8

7,∴

8

714

2

1=-x p ,

∴x 1=－14,代入抛物线方程y 2=－

2

7x ,得y 1=±7.

∴A 点的坐标是(－14，7)或(－14，－7). ∵2

1-

=OA k 或2

1=

OA k 且OA ⊥l

∵k l =2或k l =－2. ∵l 过焦点F (－

8

7，0).

∴l 的方程是y =2(x +

8

7)或y =－2(x +

8

7)，

即8x －4y +7=0或8x +4y +7=0.

【点评】有关抛物线上的点与其焦点的距离问题,抛物线的定义一般是解决问题的入手点.

【例4】抛物线y 2=12x 中，一条焦点弦的长为16，求此焦点弦所在直线的倾斜角.

【解】抛物线的焦点坐标是(3，0)，

设焦点弦所在的直线方程是y =k (x －3).

由方程组⎩⎨⎧-==),

3(122

x k y x

y

得y 2－

k

12y －36=0.

∴直

线

被

抛

物

线

截

得

的

弦

长

为

364)12(

11||112

2

212

⨯++

=

-+

k

k

y y k

)11(12k

+

=.

∵焦点弦长为16，∴由12(1+2

1k

)=16得，k =±3. ∴焦点弦所在直线的倾斜角为60°或120°.

【例5】.已知抛物线y 2=2px 上有三点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）、C （x 3,y 3）且x 1＜x 2＜x 3，若线段AB 、BC 在x 轴上射影之长相等，求证：A 、B 、C 三点到焦点的距离顺次成等差数列. 【证明】根据题意，得x 2－x 1=x 3－x 2，

即x 1、x 2、x 3成等差数列， 又由抛物线

的

定

义

得

：

2

||,2

||,2

||321p x CF p x BF p x AF +

=+

=+

=.

∵2｜BF ｜=2x 2＋(2

2

p p +)=2x 2+p ,

｜AF ｜+｜BF ｜=x 1+x 3+p =2x 2＋p =2｜BF ｜. ∴｜AF ｜、｜BF ｜、｜CF ｜成等差数列.

【例6】设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.

证明：直线AC 经过原点O,

【证明】∵抛物线的焦点为F （

2

p ，0），

∴经过点F 的直线AB 的方程可设为x=my+2

p ，代入抛物线

方程，得y 2-2pmy-p 2=0.

设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则y 1、y 2是该方程的两根，∴y 1y 2=-p 2.

∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x=-2p 上，∴点C 的坐标为（-2

p

，

y 2）.

∴直线OC 的斜率为k=

1

11

222x y y p p y ==-，即k 也是直线OA

的斜率.

∴直线AC 经过原点O.

【点评】本题若设直线AB 的点斜式方程也可以，但必须还要讨论斜率k 不存在的情况，另外，证明直线AC 过原点O ，这里是利用了直线OC 与直线AC 的斜率相等，非常简捷，如若写出直线AC 的方程，通过（0，0）适合方程来证明，将较复杂.

【例7】A 、B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA ⊥OB （O 为坐标原点）.求证：

（1）A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；

（2）直线AB 经过一个定点. 【证明】（1）设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则y 12=2px 1、y 22=2px 2. ∴OA ⊥OB,∴x 1x 2+y 1y 2=0，y 12y 22=4p 2x 1x 2=4p 2·(-y 1y 2). ∴y 1y 2=-4p 2，从而x 1x 2=4p 2也为定值.

（2）∵y 12-y 22=2p(x 1-x 2)，∴

2

12

1212y y p x x y y +=

--.∴直线AB 的

方程为y-y 1=

2

12y y p +(x-x 1),

即y=

2

12y y p +x-

2

12y y p +·

p

y 22

1

+y 1，y=

2

12y y p +x+

2

121y y y y +，

亦即y=

2

12y y p

+(x-2p).∴直线AB 经过定点（2p ，0）.

【点评】本例的证明还可以设OA 的方程为y=kx ，OB 的方程为y=-k

1

x ，由OA 的方程与抛物线的方程联立求得A 点的坐标，

再由OB 的方程与抛物线的方程联立求得B 点的坐标，利用A 、B 的坐标证明.

【例8】给定抛物线y 2=2x ,设A (a ,0),a ＞0，P 是抛物线上的一点，且｜PA ｜=d ,试求d 的最小值. 【解】设P (x 0,y 0),（x 0≥0）， 则y 02=2x 0，

∴d =|PA |=

1

2)]1([2)()(2

002

02

02

0-+-+=

+-=

+-a a x x a x y a x .

∵a ＞0,x 0≥0，

∴(1)当0＜a ＜1时，1－a ＞0，

此时当x 0=0时，d 最小=12)1(2

-+-a a =a . （2）当a ≥1时，1－a ≤0，

此时当x 0=a －1时，d 最小=

12-a .

【点评】虽然d 的目标函数f (x 0)是根号下关于x 0的二次函数，但由于x 0和a 都有限制条件，必须分类讨论求最小值，否则会出错.

. 【例9】过抛物线y 2=6x 的顶点作互相垂直的两条直线，交抛物线于A 、B 两点，求线段AB 中点的轨迹方程.

【解】设线段AB 中点P （x ，y ），OA 的斜率为k ，则直线OA 的方程为y=kx ，由

⎩⎨⎧==，x y kx y 6,2

得⎩⎨⎧==0,0y x 或⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

==,

6,62k y k

x 依题意得A 点的坐标为A （

2

6k

，

k

6）.

∵OA ⊥OB ，∴OB 的斜率为-k

1，直线OB 的方程为y=-

k

1x.

由⎪⎩

⎪⎨⎧=-=,

6,12x y x k

y 得⎩⎨⎧==0,0y x 或⎩⎨⎧-==.6,62

k y k x ∴B 点的坐标为（6k 2，-6k ）.线段AB 中点P （x ，y ）满足