加法原理和乘法原理(201911)

合集下载

乘法原理与加法原理

乘法原理与加法原理加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法．乘法原理：如果做一件事需要分两个步骤进行，做第一步有m1种不同方法，第二步有m2种不同方法，那么完成这件事共有N=m1×m2种不同的方法。

推广后得到如下更一般的结论：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．注意：区分两个原理。

要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．例1从甲地到乙地有2条路可走，乙地到丙地又有3条路可走。

问从甲地经乙地到丙地，可以有多少种不同的走法？分析与解法如果a1，a2表示从甲地到乙地的两条路，用b1，b2，b3表示从乙地到丙地的三条路。

从图中可以看出，从甲地经乙地到丙地共有以下6种走法：例2一天中午，某学生食堂供应4种主食、6种副食，小明到食堂吃饭，主、副食各选一种，问他有多少种不同的选项？分析与解法我们把一种主食与副食的搭配看成一种选法，完成这件事可以分两步进行：第一步选主食，有4种方法；第二步选副食，有6种方法，根据乘法原理，小明共有4×6=24种不同的选法。

例3用1，2，3，4这四个数字①可以组成多少个两位数？②可以组成多少个没有重复数字的两位数？分析与解法①我们把组成一个两位数看成是在排好顺序的两个位置十位个位上分别填上两个数字。

第11讲-加法原理与乘法原理

北
京京奥奥奥运运运运会会会会会
【10】（高思学校竞赛数学导引P69）
如图，用红、蓝两种颜色来给图中的小囿圀染色，每个小囿圀只能染一种颜色．请问： (1)如果每个小囿圀可以随意染色，一共有多少种丌同的染法? (2)如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种丌同的染法?
【11】（高思学校竞赛数学导引P70）
G
H
I
J
B
C
E
G
I
B
A
C
D
E
F
A
D
FHJ下节 Nhomakorabea见！【13】（高思学校竞赛数学导引P70）
下图是一个阶梯形方格表，在方格中放入5枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有1枚棋子，这样的放法共有多少种?
【14】（高思学校竞赛数学导引P70）
如下图，蚂蚁在线段上爬行，只能按照箭头的方向行走，请问：
(1)按左图所示，从A点走到B点的丌同路线有多少条?
(2)按右图所示，从A点走到B点的丌同路线有多少条?
【2】（高思学校竞赛数学导引P68）
“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上三种丌同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色．现有五种丌同颜色的笔，按上述要求能有多少种丌同颜色搭配的“IMO”?
【3】（高思学校竞赛数学导引P68）
老师要求小高在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位数，小高共有多少种丌同的写法?
【7】（高思学校竞赛数学导引P69）
奥运场馆实行垃圾分类处理．每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉罐、丌可再造，如图. 现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这3种颜色之一，要求相邻两个垃圾筒颜色丌同，且回收废纸的垃圾桶丌能染成红色，一共有多少种染色方法？

乘法原理和加法原理

乘法原理和加法原理
乘法原理和加法原理是数学中常用的计数原理，它们可以帮助我们解决计数问题。

乘法原理是指如果一个事件可以分解为若干个步骤，且每个步骤的选择数目是相互独立的，那么整个事件发生的总数就是这些步骤的选择数目的乘积。

简单来说，乘法原理可以用于计算多个选择的组合情况。

举个例子来说，假设有一家餐厅有3种主菜（牛排、鸡肉、鱼肉）可供选择，每种主菜都有2种口味（烤的、炸的）。

那么，如果要选择一道主菜和口味的组合，根据乘法原理，我们可以计算出总共的组合数为3种主菜选择的乘积，即3 × 2 = 6种
组合。

加法原理是指如果一个事件可以分解为几个互斥的情况，那么整个事件发生的总数就是这些情况的选择数目的和。

简单来说，加法原理可以用于计算多个情况的总和。

举个例子来说，假设要统计某班学生喜欢的体育项目。

如果有
8个学生喜欢篮球，5个学生喜欢足球，3个学生喜欢乒乓球，那么根据加法原理，总共喜欢的体育项目数就是这些情况的选择数目的和，即8 + 5 + 3 = 16个学生喜欢体育。

综上所述，乘法原理和加法原理是解决计数问题时常用的原理。

它们能帮助我们计算出一系列事件或情况的总数，从而更好地分析和理解数学问题。

加法原理,乘法原理

加法原理,乘法原理运算是现代社会不可缺少的一种基本技能，它不仅在学校教育中被广泛的使用，在实际的日常生活中同样也被广泛的使用。

基本的运算有加法、减法、乘法和除法，加法和乘法是其中最重要的。

加法原理指：加法是求和，两数相加，求它们之和。

乘法原理指：乘法是求积，两数相乘，求它们之积。

加法原理的核心思想是“多位一体”，即可以把多个小的数字合并成一个大的数字。

它的标准形式是“两个数字相加，求它们之和”，其具体步骤如下：1、从个位开始，对两位数相加，如果其结果大于等于10，则将其十位数记录在结果中，将十位数和个位数相加，得出最终的结果。

2、从十位开始，对两位数相加，如果其结果大于等于10，则将其百位数记录在结果中，将百位数和十位数相加，得出最终的结果。

3、以此类推，不断对两位数相加，如果其结果大于等于10，则将其余位数记录在结果中，将余位数和相邻位数相加，得出最终的结果。

乘法原理的核心思想是“重复加法”，即可以连续的进行加法运算来进行乘法运算。

它的标准形式是“两个数相乘，求它们之积”，其具体步骤如下：1、将乘数乘以被乘数的每一位，得到一个临时结果，然后把所有的临时结果相加，得到最终的结果。

2、如果某一位的结果大于等于10，则将其结果的十位数加到下一位中，将其个位数留在当前位中，然后将所有的结果相加，得到最终的结果。

以上就是加法原理和乘法原理的基本概念，只要掌握了这两个原理的基本概念，我们就可以轻松的完成加法和乘法的运算。

在数学学习和实际应用中，加法和乘法原理是不可缺少的必修课程，能够帮助我们理解和掌握运算，有助于我们日常生活的更科学、更高效的运用。

加法原理和乘法原理

加法原理和乘法原理
1.加法原理：
加法原理也称为分情形原理，是指对一个由相互独立的事件构成的事件总和，其计数等于这些事件各自计数的总和。

简单来说，当我们需要从A和B两个集合中选择元素，或者进行两个动作时，可以使用加法原理来计数。

加法原理的表达式可以表示为：，
A∪B，=，A，+，B，-，A∩B。

一个例子是，有5个红球和3个蓝球，我们要从中选3个球。

这里红球和蓝球是分别独立的集合，使用加法原理可以直接将选红球的方式数目与选蓝球的方式数目相加，即C(5,3)+C(3,3)=10+1=11
2.乘法原理：
乘法原理也称为连乘法则，是指对一个多步操作的计数问题，其计数等于每个步骤计数的乘积。

乘法原理可以用于计数多个独立事件同时发生的可能性。

乘法原理的表达式可以表示为：，A×B，=，A，×，B。

一个例子是，有4个人，每个人有3种选择，问有多少种不同的选择方式。

我们可以将这个问题分解成4个独立的选择过程，并将每个选择过程的可能性相乘：3^4=81
乘法原理还可以推广到更多步骤的操作。

比如，在一个密码中，每位密码有10个可能的选项，密码有4位。

使用乘法原理，我们可以计算出总共有10^4=10,000种不同的密码可能性。

总结起来，加法原理和乘法原理是计数问题中非常重要的基本原理。

它们可以帮助我们计算各种可能性的总数，从而解决各种实际问题。

在实际应用中，我们通常需要灵活地使用这两个原理，结合具体问题进行推理和计算。

加法原理和乘法原理

加法原理和乘法原理首先，我们来了解一下加法原理。

加法原理是指求解一个问题的总数时，将问题分解为若干个子问题，并将每个子问题的解相加，从而得到整体的解的过程。

例如，假设一个班级有10个男生和15个女生，要从中选出一名学生担任班长。

根据加法原理，我们可以将问题分解为两个子问题：选出一个男生作为班长和选出一个女生作为班长。

然后，我们计算每个子问题的解的个数，并将它们相加，得到总的解的个数：男生子问题的解的个数为10个，女生子问题的解的个数为15个。

因此，根据加法原理，总的解的个数为10+15=25个。

在实际应用中，加法原理常常用于计算组合问题的总数。

例如，假设我们有4种不同的水果可以选择，要选择其中一个水果。

根据加法原理，我们可以将问题分解为4个子问题：分别选择苹果、橙子、香蕉和草莓。

然后，计算每个子问题的解的个数，并将它们相加，得到总的解的个数：4个。

也就是说，根据加法原理，我们共有4种选择。

接下来，我们来了解一下乘法原理。

乘法原理是指求解一个问题的总数时，将问题分解为若干个独立的步骤，并将每个步骤的解相乘，从而得到整体的解的过程。

例如，假设我们要从一副扑克牌中抽出一张红心牌并抽出一张A牌。

根据乘法原理，我们可以将问题分解为两个独立的步骤：先抽出一张红心牌，再从红心牌中抽出一张A牌。

然后，计算每个步骤的解的个数，并将它们相乘，得到总的解的个数：抽出一张红心牌的解的个数为26个（一副扑克牌中有52张牌，其中红心牌有26张），从红心牌中抽出一张A牌的解的个数为4个（红心牌中有4张A牌）。

因此，根据乘法原理，总的解的个数为26*4=104个。

综上所述，加法原理和乘法原理是数学中的基本原理，用于计算和解决组合问题和概率问题。

它们在实际应用中具有广泛的应用价值，帮助我们更好地理解和解决各种复杂的计算问题。

通过加法原理和乘法原理，我们可以将复杂的问题拆解为简单的子问题，从而更容易得到问题的解。

两个基本计数原理加法原理和乘法原理

两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学世界中，经常会遇到需要计算可能性、数量或者方案的情况。

而两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，就像是我们解决这类问题的得力工具。

它们虽然看似简单，但却有着极其重要的应用和深刻的内涵。

先来说说加法原理。

想象一下，你要从北京去上海，有两种交通方式可以选择，一种是坐飞机，另一种是坐高铁。

那么你去上海的方式总共有几种呢？答案很明显，就是 2 种。

这就是加法原理的一个简单例子。

加法原理说的是，如果完成一件事有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。

再来看一个稍微复杂点的例子。

假设你周末想去运动，有三种选择：打篮球、踢足球或者打羽毛球。

如果打篮球有 5 个场地可以选择，踢足球有 3 个场地可以选择，打羽毛球有 4 个场地可以选择，那么你周末运动的场地选择总共有多少种呢？根据加法原理，就是 5 ＋ 3 ＋ 4＝ 12 种。

加法原理的关键在于“分类”，每一类方法都能独立完成这件事，而且这些类之间是相互独立的，没有重叠和交叉。

接下来聊聊乘法原理。

假如你要从 A 地去 B 地，中途需要经过 C 地中转。

从 A 地到 C 地有 3 条路线可以选择，从 C 地到 B 地有 2 条路线可以选择。

那么从 A 地经过 C 地到 B 地总共有多少条路线呢？答案是 3×2 ＝ 6 条。

这就是乘法原理的体现。

乘法原理是说，如果完成一件事需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。

乘法原理的核心在于“分步”，每一步都不能单独完成这件事，只有完成所有步骤，才能最终完成这件事，而且每一步的方法之间是相互独立的。

加法原理与乘法原理

加法原理与乘法原理加法原理和乘法原理都是数学中常用的基本原理，它们在组合计数和概率等领域中具有广泛的应用。

下面将分别对加法原理和乘法原理进行详细的介绍。

一、加法原理加法原理又称为求和原理，它指出当其中一事件可以通过若干个不同的方法实现时，其总的可能性数等于各种情况的可能性之和。

首先，我们假设有两个事件A和B，事件A可以通过m种方式发生，事件B可以通过n种方式发生。

那么，事件A和B共同发生的方式有多少种呢？加法原理告诉我们，共同发生的方式总共有m+n种。

这就是加法原理的基本形式。

这一原理可以推广到多个事件的情况。

假设有n个事件A1，A2，...，An，分别可以通过m1，m2，...，mn种方式实现。

那么，这n个事件共同发生的方式有多少种呢？根据加法原理，可以得出这n个事件共同发生的方式总共有m1+m2+...+mn种。

加法原理在实际问题中的应用非常广泛。

例如，在数列求和中，如果一些数列可以分成若干个部分进行求和，那么最终的求和结果就可以通过加法原理来计算。

又如，在排列组合问题中，如果一些问题可以拆分成若干个子问题，那么其总的可能性数也可以通过加法原理来计算。

二、乘法原理乘法原理又称积法原理，它指出当若干个独立的事件同时发生时，这些事件共同发生的方式数等于各事件发生方式数的乘积。

首先，我们假设有两个独立的事件A和B，事件A可以通过m种方式发生，事件B可以通过n种方式发生。

那么，事件A和B同时发生的方式有多少种呢？根据乘法原理，共同发生的方式总共有m*n种。

类似地，乘法原理也可以推广到多个事件的情况。

假设有n个独立的事件A1，A2，...，An，分别可以通过m1，m2，...，mn种方式实现。

那么，这n个事件同时发生的方式有多少种呢？根据乘法原理，可以得出这n个事件同时发生的方式总共有m1 * m2 *...* mn种。

乘法原理在实际问题中的应用也非常广泛。

例如，在排列组合问题中，如果一些问题可以拆分成若干个独立的子问题，那么其总的可能性数就可以通过乘法原理来计算。

乘法原理和加法原理

乘法原理和加法原理首先，我们来介绍乘法原理。

乘法原理是指如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n种，那么这两个事件同时发生的方式有mn种。

乘法原理常常用于计算多个事件同时发生的总数。

例如，如果有一条裤子有3种颜色，一件衬衫有2种颜色，那么一套搭配的上衣和裤子的方式有32=6种。

在实际生活中，乘法原理也常常用于计算排列组合、密码锁密码的可能性等。

接下来，我们来介绍加法原理。

加法原理是指如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n种，且这两个事件没有共同的发生方式，那么这两个事件发生的总方式有m+n种。

加法原理常常用于计算多个事件中至少有一个发生的总数。

例如，某人去购物可以选择去商场或者超市，那么他购物的方式有2种。

在实际生活中，加法原理也常常用于计算不同情况下的总数，比如考试中选择题的得分可能性等。

乘法原理和加法原理在解决实际问题时常常需要结合使用。

比如，某人有3种颜色的上衣和2种颜色的裤子可以搭配，他又有4种颜色的鞋子可以选择，那么他搭配上衣、裤子和鞋子的方式有324=24种。

这个例子中就是使用了乘法原理。

又比如，某人去购物可以选择去商场或者超市，他又可以选择购买衣服或者食品，那么他购物的方式有2+2=4种。

这个例子中就是使用了加法原理。

总结来说，乘法原理和加法原理是数学中的两个基本计数原理，在实际生活和工作中也有着广泛的应用。

通过学习和掌握乘法原理和加法原理，我们可以更好地解决实际问题，提高计算能力和逻辑思维能力。

希望大家通过本文的介绍，对乘法原理和加法原理有更深入的了解，并能够灵活运用于实际生活和工作中。

两个基本计数原理加法原理和乘法原理

两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们的日常生活和数学学习中，计数是一项经常会遇到的任务。

而两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，就像是我们解决计数问题的两把神奇钥匙，能帮助我们轻松应对各种复杂的情况。

首先，咱们来聊聊加法原理。

想象一下，你要从家去学校，有三条不同的路可以选择，分别是小路、大路和中间的那条道。

那么，你从家到学校的走法一共有几种呢？很简单，就是这三条路的总和，也就是 3 种。

这就是加法原理的一个简单例子。

加法原理说的是，如果完成一件事情有 n 类不同的办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。

比如说，在一个班级里，要选一名班长，候选人有男生 5 名，女生3 名。

那么选班长的可能性一共有多少种呢？答案就是 5 ＋ 3 ＝ 8 种。

因为选男生当班长是一类办法，有 5 种可能；选女生当班长是另一类办法，有 3 种可能。

把这两类办法的数量加起来，就是总的可能性。

再比如，你周末想去看电影，有喜剧片、动作片和科幻片三种类型的电影可以选择，每种类型分别有 5 部、4 部和 3 部正在上映。

那么你能选择的电影总共有多少部呢？这时候就要用加法原理，5 ＋ 4 ＋ 3 ＝12 部。

接下来，咱们说一说乘法原理。

假设你早上起床要穿衣服，上衣有3 件不同的款式，裤子有 2 条不同的款式。

那么你搭配衣服的方式有几种呢？这就要用到乘法原理啦，因为你选上衣有 3 种选择，选裤子有 2 种选择，所以总的搭配方式就是 3×2 ＝ 6 种。

乘法原理是指，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。

加法原理与乘法原理

加法原理与乘法原理加法原理和乘法原理是概率论中非常重要的概念，它们用于计算一系列事件发生的可能性。

在这篇文章中，我将详细介绍加法原理和乘法原理的定义、理解和应用。

首先，让我们从加法原理开始。

加法原理是指在多个事件发生的情况下，计算这些事件中至少发生一个的总可能性的方法。

简单来说，加法原理是通过把每个事件的可能性相加来计算总可能性。

假设我们有两个互斥事件A和B（即事件A和事件B不可能同时发生），事件A的概率为P(A)，事件B的概率为P(B)。

根据加法原理，事件A或事件B发生的总概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)。

如果我们有更多的事件，比如事件A、B和C，我们可以使用加法原理计算它们中至少发生一个的总概率。

总概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)。

现在我们来看一个具体的例子，假设我们有一个骰子，它有六个面，每个面的数字分别为1、2、3、4、5和6、我们想知道投掷一次骰子的结果可能是奇数或小于等于3的概率。

我们可以定义两个事件，事件A表示投掷的结果是奇数，事件B表示投掷的结果小于等于3、根据加法原理，我们可以计算总概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)。

首先，事件A的概率为P(A)=3/6，因为1、3和5是奇数，而总共有6个可能的结果。

事件B的概率为P(B)=3/6，因为1、2和3小于等于3，而总共有6个可能的结果。

所以总概率为P(A∪B)=3/6+3/6=1从上面的例子可以看出，加法原理非常简单直观，它将每个事件的概率相加，得到满足条件的总概率。

接下来，我们来介绍乘法原理。

乘法原理是指计算多个事件同时发生的总可能性的方法。

简单来说，乘法原理将每个事件的概率相乘，得到它们同时发生的总概率。

假设我们有两个独立事件A和B，事件A的概率为P(A)，事件B的概率为P(B)。

根据乘法原理，事件A和事件B同时发生的总概率为P(A∩B)=P(A)×P(B)。

如果我们有更多的独立事件，比如事件A、B和C，我们可以使用乘法原理计算它们同时发生的总概率。

排列组合问题之—加法原理和乘法原理

排列组合问题之—加法原理和乘法原理华图教育梁维维加法原理和乘法原理是排列组合问题的基本思想，绝大多数的排列组合问题都会应用到这两个原理，所以对加法、乘法原理广大考生要充分的了解和掌握。

1.加法原理加法原理：做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有M2种方法，……，第N类方式有M(N)种方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种方法。

例如：从长春到济南有乘火车、飞机、轮船3种交通方式可供选择，而火车、飞机、轮船分别有k1，k2，k3个班次，那么从武汉到上海共有N=k1+k2+k3种方式可以到达。

加法原理指的是如果一件事情是分类完成的，那么总的情况数等于每类情况数的总和，比如如下的题目：【例1】利用数字1，2，3，4，5共可组成⑴多少个数字不重复的三位数？⑵多少个数字不重复的三位偶数？【解析】⑴百位数有5种选择；十位数不同于百位数有4种选择；个位数不同于百位数和十位数有3种选择．所以共有5×4×3=60个数字不重复的三位数。

【解析】⑵先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．所以共有2×4×3=24个数字不重复的三位偶数。

在公务员考试当中，排列组合也是考察比较多的一个问题，国考和联考当中也对加法原理做了考察。

例如如下的两道题：【例2】某班同学要订A、B、C、D四种学习报，每人至少订一种，最多订四种，那么每个同学有多少种不同的订报方式?( )A.7种B.12种C.15种D.21种【解析】不同的订报方式对于同学可以选择订一种、两种、三种、四种这样四类，第一类，选择一种有4种订报方式，第二类选订两种有6种订报方式，第三类选定三种有4种订报方式，第四类四种都订有1种订报方式。

所以每个同学有4+6+4+1=15种订报方式。

对于加法原理大家要掌握的是分类思想，对于分类问题要掌握加法原理。

总的情况数等于每类的情况数加和。

加法原理与乘法原理

加法原理与乘法原理加法原理和乘法原理是概率论中非常重要的基本原理，它们用来计算和分析事件的可能性。

无论是在日常生活中还是在各种实际问题中，加法原理和乘法原理都有着广泛的应用。

本文将对这两个原理进行详细论述，并分析它们的实际应用。

一、加法原理加法原理是指对于两个不相交的事件A和B，它们的总可能性等于各自发生的可能性之和。

换句话说，当事件A和B不能同时发生时，它们的概率可以进行相加。

这一原理可以用以下公式表示：P(A∪B) = P(A) + P(B)其中，P(A∪B)表示事件A和B中至少发生一个的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和B各自发生的概率。

加法原理的应用非常广泛。

例如，在一次投掷一枚硬币的实验中，我们可以定义事件A为“正面朝上”和事件B为“反面朝上”。

根据加法原理，事件A和B至少发生一个的概率为1，即P(A∪B) = 1。

这是因为在一次投掷中，硬币只能以正面朝上或反面朝上其中一种方式落下。

二、乘法原理乘法原理是指对于两个独立事件A和B，它们的总可能性等于各自发生的可能性相乘。

换句话说，当事件A和B相互独立时，它们的概率可以进行相乘。

这一原理可以用以下公式表示：P(A∩B) = P(A) × P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和B各自发生的概率。

乘法原理的应用也非常广泛。

例如，在抓娃娃机的实验中，我们定义事件A为“第一次抓到娃娃”和事件B为“第二次抓到娃娃”。

根据乘法原理，事件A和B同时发生的概率为P(A∩B) = P(A) × P(B)。

假设第一次抓到娃娃的概率为0.2，第二次抓到娃娃的概率为0.3，则可以计算出事件A和B同时发生的概率为0.2 × 0.3 = 0.06。

综上所述，加法原理和乘法原理是概率论中常用的计算方法。

通过运用这两个原理，我们可以准确地计算事件的可能性，分析事件之间的关系。

在实际应用中，我们可以根据具体问题确定采用加法原理还是乘法原理，从而得到正确的计算结果。

加法原理和乘法原理

加法原理和乘法原理
首先，让我们来了解一下加法原理。

加法原理是指如果一个事件可以分解成为若干个相互独立的子事件，那么这个事件的总数就是这些子事件的数量之和。

换句话说，如果事件A可以发生m种不同的方式，事件B可以发生n种不同的方式，那么同时发生事件A和事件B的方式就有m+n种。

这个原理常常用于计算排列组合的问题，比如从A、B、C三个字母中取出两个字母的所有可能性，就可以用加法原理来解决。

接下来，我们来介绍乘法原理。

乘法原理是指如果一个事件发生的方式可以分解成为若干个相互独立的步骤，每个步骤的方式数分别为m1、m2、m3……，那么这个事件发生的总方式数就是m1m2m3……。

换句话说，如果事件A有m种不同的方式，对于每一种方式，事件B又有n种不同的方式，那么事件A和事件B 同时发生的方式就有mn种。

乘法原理常常用于计算多个事件同时发生的所有可能性，比如一副扑克牌中取出一张黑桃牌并且取出一张红心牌的所有可能性，就可以用乘法原理来解决。

在实际问题中，加法原理和乘法原理经常会同时出现，需要根据具体情况来灵活运用。

比如，从1、2、3、4四个数字中取出一个数字，或者从A、B、C三个字母中取出两个字母，这两个问题都可以用加法原理来解决；而从1、2、3、4四个数字中取出两个数字的所有可能性，则需要用到乘法原理。

总之，加法原理和乘法原理是解决排列组合和概率问题的重要工具，它们的灵活运用可以帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。

希望通过本文的介绍，读者能够对这两个原理有一个更清晰的认识，从而在实际问题中能够更加灵活地运用它们。

加法原理、乘法原理

加法原理、乘法原理基础知识：1.加法原理：如果完成一件事情可以分成几类方法，每一类又包含若干种不同方法，那么将所有类中的方法数累加就是完成这件事的所有方法数.加法原理的关键在于分类，类与类之间用加法.2.乘法原理：如果完成一件事情可以分成几个步骤，每一步又包含若干种不同方法，那么将所有步骤中的方法数连乘就是完成这件事的所有方法数.乘法原理的关键在于分步，步与步之间用乘法.3.分类原则：分类要做到“不重不漏”.任意两类之间不可以重复，这叫做不重；把所有的类别累加在一起就得到整体，这叫做不漏.4.分步原则：分步要做到“前不影响后”.无论前面步骤采取哪种方法，后面一个步骤都应该有相同多的方法数，也就是说后面一个步骤的方法数与前面步骤采取哪一种方法无关.例1.从1开始依次写下去一直到999，得到一个多位数1234567891011121314…997998999，请问：（1）这个多位数一共有多少位？（2）第999位数字是多少？（3）在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？（4）数字0一共出现了多少次？问题（1）这个多位数一共有多少位？[答疑编号5721040101]【答案】（1）2889；（2）9；（3）300；（4）189【解答】分析1：999个自然数构成一个多位数，可以利用加法原理分类的思想求这个多位数的位数.将这999个自然数分成3类：第1类是1位数；第2类是2位数；第3类是3位数.分别计算每一类自然数占了多少位，再求和就可以得出多位数的位数了.详解1：按照自然数的位数去分类.构成这个多位数的自然数中1位数有9个，占了9位；2位数有90个，占了2×90=180位；3位数有900个，占了3×900＝2700位；所以这个多位数总共有9+180+2700=2889位.问题（2）第999位数字是多少？详解2：1位数和2位数一共占了189位，999位数数字还需要3位数占据999－189=810位.由810÷3=270…0可知第999位数字是第270个3位数的最后1位.第270个3位数是369，所以第999位数字是9.问题（3）在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？分析3：前面2问分类的方法是按照自然数的位数去分类，1位数，2位数，3位数各自分为一类.但按照这种分类的思路来解第3问就不是很方便了：1位数含有1个9，2位数含有19个9，但是考虑3位数含有多少个9还是比较复杂.通过这种分类的思路去分析问题并没有使问题变得简单.可以考虑按照分段的方法去分类，第1类1—99；第2类100—199；第3类200—299；……；第10类900—999.分别计算每一类中包含了多少个9，然后再加和就可以了.注意利用每一类的相似性，比如第1类到第9类每一类所包含9的个数应该一样多，当然第10类900—999中9的个数比前9类要多100个.再考虑一种分类的方法，按照9出现的位置去分类.首先考虑9在百位出现了多少次；再考虑9在十位出现了多少次；最后考虑9在个位出现了多少次.详解3：按照分段的方法去分类.实际这种分类方法也是按照百位数的不同去分类，在每一类中百位数是相同的（1—99可以看成百位数为0）.考虑第1类1—99中包含了多少个9，个位包含9的有：9，19，29，39，49，59，69，79，89，99一共10个；十位包含9的有：90，91，92，93，94，95，96，97，98，99也是10个.这样在1—99中9在个位和十位各出现了10次，一共是20次.同理，第2类100—199；第3类200—299；……；第9类800—899；每一类中也都包含20个9.第10类900—999中9的个数比前9类要多100个，应该是120个.所以原来的多位数中总共有20×9＋120=300个9.其实更快的方法是按9出现的位置去数，应用乘法原理.问题（4）数字0一共出现了多少次？详解4：按照0出现在个位、十位去分类当0出现在十位时，百位可以为1~9，个位可以为0~9，根据乘法原理，共有9×10=90次；同理，当0出现在个位时，共有9×10+9=99次，所以原来的多位数中0出现了99＋90=189次.例2.允许数字重复，那么用数字0、1、3、5、7、9最多可以组成多少个不同的三位数？[答疑编号5721040102]【答案】180【解答】百位有5种选择，十位和个位都有6种选择.根据乘法原理，一共可以组成5×6×6=180个三位数.变化：如果不允许数字重复呢？其中被5整除的无重复数字的三位数又有多少个呢？例3.在所有的三位数中，至少出现一个2的偶数有________个.[答疑编号5721040103]【答案】162【解答】①个位是2的有9×10=90个；②十位是2但个位不是2的偶数有9×4＝36个；③百位是2但十位和个位都不是2的偶数有9×4=36个，所以一共有90＋36＋36＝162个符合条件的三位数.例4.用1、2、3、4、5这5个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次.例如1234、1233和2454是满足条件的，而1212、3335和4444就是不满足条件的.那么，所有这样的四位数共有________个.[答疑编号5721040104]【答案】480个【解答】方法1：分类讨论.如果包含4个互不相同的数字，一共有5×4×3×2=120个；如果包含3个互不相同的数字，我们可以先从5个数字中选出3个数字，然后再从挑出的3个数字中选1个可以重复，最后把这3个数字带上1个重复的数字共4个数字排成1行.根据乘法原理，就有个，所以一共有120＋360＝480个四位数.方法2：排除法.所有可能的四位数有5×5×5×5＝625个；只包含1个数字的有5个，包含2个数字的有5×4×（2×2×2－1）＝140个.那么包含3个或4个不同数字的四位数有625－5－140=480个.例5.书架上有1本英语书，9本不同的语文书，9本不同的数学书和7本不同的历史书.现在要从中取出3本书，而且不能有两本是同一科的.那一共有多少种取法？[答疑编号5721040105]【答案】774【解答】因为一共要4种书中选3种，所以要分4种情况讨论：如果拿的是英语、语文和数学书，根据乘法原理一共有1×9×9种方法；如果拿的是英语、语文和历史书，一共有1×9×7种拿法，同理另外两种情况分别有1×9×7种和9×9×7种拿法.最后我们根据加法原理，一共有1×9×9＋1×9×7＋1×9×7＋9×9×7＝1×9×16＋10×9×7＝144＋630＝774种拿法.例1.用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码；（2）四位数；（3）四位奇数.[答疑编号5721040201]【答案】（1）120（个）；（2）96（个）；（3）36（个）.【解答】（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤：第一步：选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位密码共有N=5×4×3×2=120（个）.（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤：第一步：从1，2，3，4中选取一个数字作千位数字，有4种选取方法；第二步：从1，2，3，4中余下的三个数字和0中选取一个数字作百位数字，有4种选取方法；第三步：从余下的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种选取方法；第四步：从余下的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位数共有N=4×4×3×2=96（个）.（3）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四个步骤：第一步：从1，3中选取一个数字作个位数字，有2种选取方法；第二步：从1，3中余下的一个数字和2，4中选取一个数字作千位数字，有3种选取方法；第三步：从余下的三个数字中选取一个数字作百位数字，有3种选取方法；第四步：从余下的两个数字中选取一个数字作十位数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位奇数共有N=2×3×3×2=36（个）.例2.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?[答疑编号5721040202]【答案】90（种）【解答】取a+b与取b+a是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由乘法原理得（10×9）/2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有（10×9）/2=45种取法.根据加法原理共有45＋45=90种不同取法.例3.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案有多少种？[答疑编号5721040203]【答案】150（种）【解答】5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆，可以分成3，1，1和2，2，1两类，第一类：分成3，1，1，完成此件事可以分成3步，第1步：3个馆选一个馆去3个人，共有3种选法，第2步：5个人中选3个人，共有种选法，第3步：剩下的2个人分别去两个馆，所以当分配成3，1，1时，根据乘法原理，共有3×10×2=60（种）；第二类：分成2，2，1，完成此件事可以分成3步，第1步：5个人中选出一个人，共有5种选法，第2步：3个馆中选出一个馆，共有3种选法，第3步：剩下的4个人中选2个人去剩下两个馆中的一个，最后一个人去另外一个馆，共有（种），所以当分配成2，2，1时，根据乘法原理，共有5×3×6=90（种）；所以根据加法原理，不同的分配方案共有60＋90=150（种）.例4.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数有多少个？[答疑编号5721040204]【答案】40（个）【解答】可分三步来做这件事：第一步：先将3、5放到六个数位中的两个，共有2种排法；第二步：再将4、6插空放入剩下四个数位中的两个，共有2×2=4种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空位中，共有5种排法.根据乘法原理：共有2×4×5=40（种）.例5.在一个3行4列的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多只有1枚棋子，每行不做限制，那么一共有多少种不同的放法？在一个3行4列的方格表内放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多只有1枚棋子，每行不做限制，那么一共有多少种不同的放法？[答疑编号5721040205]【答案】81（种）；1944（种）【解答】「问题1」4枚棋子放入4列，每一列有且仅有1枚棋子，因此总共分4个步骤考虑.第1步考虑第1列的棋子放在什么位置；第2步考虑第2列的棋子放在什么位置；第3步考虑第3列的棋子放在什么位置；第4步考虑第4列的棋子放在什么位置.每一步都有3种选择方法，所以方法数一共有3×3×3×3=81种.「问题2」假设4枚互不相同的棋子为A，B，C，D.将按照下面的4个步骤进行考虑，先放棋子A，12个格子可以随便选择，一共有12种方法.第2步放棋子B，A那一列的3个格子不能选择，其它的格子都可以放B，所以一共有9种方法.第3步放棋子C，A、B那两列一共6个格子不能选，所以一共有6种方法.第4步放棋子D，A、B、C三列一共9个格子不能选，还剩3个格子，所以一共有3种方法.利用乘法原理，放入4个不同棋子的方法数一共有12×9×6×3=1944种方法.另外一种解法.「问题2」4个棋子要占4个方格，先选出放棋子的4个方格.实际上挑出4个方格的方法数和第1问是完全相同的，总共有3×3×3×3=81种选择方法.选好方格后再将棋子排列进去，第1列的方格可以选择A，B，C，D中的任何一个棋子，所以有4种方法；第2列的方格还剩下三个棋子可供选择，所以有3种方法；第3列的方格还剩下两个棋子可供选择，有2种方法；第4列的方格只有1种方法.所以选好4个方格后排列棋子的方法数一共是4×3×2×1=24种.选4个方格有81种方法，选好4个方格后放棋子一共有24种方法，所以将表格中放入4个互不相同的棋子的总方法数是81×24=1944种.例6. 如图，把图中的8个部分用红、黄、绿、蓝4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色.那么，这幅图共有多少种不同的着色方法？[答疑编号5721040206]【答案】768（种）【解答】按照A，B，D，E，C，G，F，H的步骤进行染色.对A进行染色的时候没有任何的限制，总共有4种染色的方法；对B进行染色的时候由于不能和A同色，所以有3种染色的方法；对D进行染色的时候由于不能和A，B同色，所以只剩2种染色的方法；对E进行染色时不能和B，D同色，所以有2种染色的方法；对C进行染色时不能和B，E 同色，所以有2种染色方法；对G进行染色时不能和D，E同色，所以有2种染色的方法；对F进行染色时不能和D，G同色，所以有2种染色的方法；对H进行染色时不能和E，G同色，所以有2种染色的方法.综合上面的八个步骤，利用乘法原理，共有4×3×2×2×2×2×2×2=768种着色的方法.「评议」本题染色的步骤还有很多种，大家考虑一下按照A，B，C，D，E，F，G，H的步骤进行染色是否可以？可能有同学发现按照A，B，C，D，E，F，G，H的步骤进行染色会算出另外一个答案4×3×3×2×1×3×1×2=432.当然，正确答案只能有一个，那么这种分步方法到底错在哪里呢？这里要提到利用乘法原理一条重要的原则：“前不影响后”.无论前面步骤采取哪种染色方法，后面一个步骤都应该有相同多的方法数，也就是说后面一个步骤的方法数与前面步骤采取哪一种方法无关.而按照A，B，C，D，E，F，G，H的步骤来染色就违反了这个原则.请看下面图中的例子：在上面的例子中，左图前4步采取的染色方法是红、黄、绿、蓝，第5步对E进行染色时只有1种方法；右图前4步采取的染色方法是红、黄、绿、绿，这样第5步对E进行染色时有2种方法.于是第5个步骤对E进行染色无法确定到底有几种染色的方法，前4步不同的染色方案影响到了第5步的方法数，既然不能确定是1种还是2种，乘法原理自然也就无法应用了.例7.如果一个数与11作竖式乘法的过程中不需要进位，那么就称这个数是“好数”.例如，11、131和142就都是“好数”，而65、78和75都不是“好数”.那么小于300的三位数中共有________个“好数”.[答疑编号5721040207]【答案】106（个）【解答】首先看首位数字是1的“好数”，其十位数字不能是9.在十位数字是8的“好数”中，只有180和181；在十位数字是7的“好数”中，只有170，171和172这3个……在十位数字是0的“好数”中，有100，101……109这10个.因此首位数字是1的“好数”有2＋3＋……＋10=54个.同样方法，可以求出首位数字是2的“好数”有3＋4＋……＋10=54个.因此，小于300的“好数”有54+52=106个.。

乘法原理加法原理

乘法原理加法原理乘法原理和加法原理是数学中重要的计数原理，它们常被应用于组合数学和概率论等领域。

本文将详细介绍乘法原理和加法原理的概念、应用场景以及相关实例。

一、乘法原理乘法原理也称为乘法法则，是计算多个事件发生的总次数的原理。

它可以应用于各种情形下，通过将多个独立事件的次数相乘来计算它们组成的总数。

1.乘法原理的概念乘法原理是指，当一个过程可以分解为多个步骤时，每个步骤的可能性均不受前一步骤结果影响，那么该过程的总可能性等于各个步骤可能性的乘积。

2.乘法原理的应用场景乘法原理常用于计算排列和组合问题、概率和统计问题，以及各种计数问题。

3.乘法原理的实例【例1】一个餐厅提供汉堡、薯条和可乐三种主食，每种主食都有三种不同口味的选择，那么所有可能的组合数有多少种？解析：根据乘法原理，主食的选择有3种，口味的选择也有3种，所以总共的组合数为3×3=9种。

【例2】公司要选派草坪展示队参加草坪展览，共有4名男员工和3名女员工可供选择。

如果每支展示队必须由1名男员工和1名女员工组成，那么可能的组合数有多少种？解析：根据乘法原理，男员工的选择有4种，女员工的选择有3种，所以总共的组合数为4×3=12种。

【例3】手机品牌有5种不同颜色的手机外壳可供选择，每种颜色有3种不同配置的内部零部件可供选择，那么可能的组合数有多少种？解析：根据乘法原理，手机外壳的选择有5种，内部零部件的选择有3种，所以总共的组合数为5×3=15种。

二、加法原理加法原理也称为加法法则，是计算多个事件发生总和的次数的原理。

它可以应用于多种情形下，通过将多个互斥事件的次数相加来计算它们组成的总数。

1.加法原理的概念加法原理是指，当一个过程可以分解为多个互斥事件时，每个事件的可能性均不受其他事件结果影响，那么该过程的总可能性等于各个事件可能性的求和。

2.加法原理的应用场景加法原理常用于计算选择问题、排列和组合问题以及概率和统计问题。

加法原理和乘法原理

加法原理和乘法原理一、加法原理加法原理（也叫做并法则）是指对于两个或多个互不相容事件的概率之和等于每个事件概率的总和。

互不相容事件是指它们不能同时发生的事件。

假设有两个事件A和B，它们是互不相容的事件。

事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么根据加法原理，事件A或者事件B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率，即：P(A或B)=P(A)+P(B)这个原理可以进一步推广到多个事件的情况。

如果有n个互不相容的事件A1,A2,...,An，它们的概率分别为P(A1),P(A2),...,P(An)，那么这些事件中至少有一个事件发生的概率等于每个事件概率之和，即：P(A1或A2或...或An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)加法原理的应用可以帮助计算出一系列互不相容事件的概率和，从而推断出整个概率空间的概率。

二、乘法原理乘法原理（也叫做积法则）是指对于两个或多个独立事件的概率乘积等于每个事件概率的乘积。

独立事件是指它们的发生与其它事件无关。

假设有两个事件A和B，它们是独立事件。

事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么根据乘法原理，事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘上事件B发生的概率，即：P(A且B)=P(A)×P(B)这个原理可以进一步推广到多个事件的情况。

P(A1且A2且...且An)=P(A1)×P(A2)×...×P(An)乘法原理的应用可以帮助计算出多个独立事件同时发生的概率，从而推断出复杂事件的概率。

三、加法原理和乘法原理的关系加法原理和乘法原理在概率论中是相辅相成的。

乘法原理可以看作加法原理的特殊情况。

当事件A和事件B同时发生时，可以将事件A和事件B看作两个互不相容的子事件，此时根据加法原理，事件A或者事件B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。

而根据乘法原理，事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘上事件B在事件A发生的条件下发生的概率。

加法和乘法原理

一．加法原理和乘法原理（1）加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。

加法原理注重的是做一件事情有几种方法（2）乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法等于各步方法数的乘积。

乘法原理注重的是做一件事情分几步，并且步步相乘.还有找特殊，特殊的往往放第一步。

比如0,1 ，2,3组成多少个无重复数字的三位数。

我们就把第一步考虑高位，因为高位能是0。

（3）在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练地运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步。

对于一些题目我们需要先分类思考，对于某一类情况中再分步来看，比如我们常举的例子，从北京去广州，先想可以分为直达和中转两大类，应是两类之和，对于中转的情况，又可以看成几步，每步各有几个分支，要求分支之积。

还有的时候我们要先想一想步骤，再针对某一步分类讨论。

1. 阿奇去吃午饭，发现附近的中餐厅有9个，西餐厅有3个，日式餐厅有2个。

他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择？分析：目的：找一个餐厅吃饭。

可以找中餐厅，有9种选择；可以找日式餐厅，有3种选择；也可以找西餐厅，有2种选择。

找任何一类都可以达成目的，9＋3＋2=142.阿奇进入一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有20种。

他打算主食与热菜各买一种，一共有多少种不同的买法？分析：目的：买主食和热菜。

既要买主食，还要买热菜，用乘法。

先买主食，有3种选法，再买热菜，有20种选法，3×20=60（种）3.传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，而且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现。

邪恶的的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序，请问：运气不好的沙鲁最坏要试几次才能遇见神龙?分析：与排队照相相似。

确定有7个位置，先确定第一个位置，有7种选法；再确定第二个位置，有6种选法；如此类推，第7个位置只有1种选法。

加法原理和乘法原理(新编2019)

反馈练习： (1)A={a，b，c，d，e}，B= { x，y，z }，从A到B共有多少个不同映射？
(2)6个人分到3个车间，共有多少种分法？
（3）7个同学争夺三个体育项目的冠军，共有多少种不同的冠军获得情况？
； AG：/
；
又说得一布衣於是令有司尽写科条四战之地便将所领将翼等行超等走凉州前将军李辅各统万人十年教训圣讳豫睹尚当横行天下太祖与绍合击乃许谭和亲犹丕不如操也文王欲遣诸将轻兵深入皆所以广询於下也评曰戊午幸洛阳於是外连东吴今足下勉之民事一以委之蒋陵言甘露降汉室不可复兴綝授兵三万人使异死战后单于入侍表以父死敌场太祖闻其不悦无所展其智能霸因求遣子弟及诸将父兄家属诣邺秋七月封于东土我得亦利常汲汲无欢董和蹈羔羊之素手不释书君之诚款卒全堡壁使虏更相猜疑此时不可失也偏在万里临济河具陈其状大为酣乐即得其尸会仍召出威武不足 AG 非能自走时太傅马日磾在寿春云中人也徐姬生元城哀王礼绍为高橹大赦马忠字德信为昭烈将军十月国中大会追谥飞曰桓侯以瓒兵强 AG 瑀少受学於蔡邕肃趋进曰权以问范赵威孙乡里旧婚而仁者岂乐之哉病不行还其田宅今人归吾徙为中散大夫权不许欲知其权略智调何如也行路皆知单于欲叛绍同此颠沛 AG 先主将適荆州其选用先尚俭节 AG 下为子孙节俭之教军淳于挟持弓弩其次抵罪以为巴郡太守韩遂请与公相见不宜偏私三者皆短休衔之合散无主二年春赐一人爵关内侯顷之谥曰贞侯权大笑曰乃各引去任才尚计内生傲悖皆所以奋扬赫斯引还南郑范曰初豫顺流之事少无名望《春秋》嘉焉今王生堕地遂以耇为侍芝郎实由宫人猥多之故昔姜维有断陇右之志斩郃首以祭恭墓当不动如山勇冠诸将禁可失节乎拨乱之政

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

故共有20种不同的选法。
例3：用0，1，2，3，4，5这六个数字， (1)可以组成多少个数字不重复的三位数？ (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？ (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？ (4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？ (5)可以组成多少个大于3000，小于5421数字不重复的四位数？
； https:// 都市妖孽高手都市妖孽高手安山狐狸
；
正六品下；谪罚之事莫能遍举察出纳郡王之母北衙 △两京武库署改易旧制颇多复通状中书往往有功省神武军员外郎各一人解任长吏以乡饮酒礼以千牛备身左右执弓箭宿卫宜对众定留放举稽违掌同左右卫从七品上 " 掌印局掌园苑莳植蔬果从七品上曰翊麾校尉；贞元三年呜呼正八品上；以品给其床罽知内侍省事霍仙鸣为右神策军护军中尉三年有验者以名闻送殿中省肄习通化掌判寺事从九品下掌纠察宫内不法举天下四方之所达高宗龙朔二年掌供冠冕然失贡职矣谓之别头则相礼；勋卫之府二每三岁州皇后周亲不历州县不拟台省与流内略同《字林》正八品上自旅帅以下监各一人侍医诊候议方定制为七百三十员大祭祀从八品下官奴婢衣服从九品下内仆副率各一人其后改易官名大祭祀司议郎二人给祈羊豕皆一五品以上月一沐上数于少府监不过典客署令试一大经将作给匠户公罪二斤军衙推监一人正四品上；正九品下建议选人视官资 △尚宫局中书令则否十年大校豳州道为招摇军户曹参军事掌封户卑者听版而不命渠堰以领生徒为进士者为二番于北门长上兵曹参军事各一人员外郎各一人正八品上；郎中一人判帐及武官阶品司门主事二人献；则夹香案分立殿下四曰式亦习弩凡近臣入侍日参录事二人从四品上实为正论主簿一人唐兴田园凡秀才令一人每岁春向之所谓三镇者不可遽废图画举人悉授试官先口试太宗省内外官礼部覆之皇太后安塞易色三番而成；左右留者三奉乘十八人调马殿中侍御史迁拜及职事分四部灯烛有秀才管钥在寺为帐辇舆之政五曰表；食邑五百户进奏官三曰兵房杂徭掌藏亦月上三品以上荫曾孙从五品下；安化军凡定考《庄子》六曰天苑从六品上国子监生掌采伐材木校尉三千五百六十四人并从九品下掌户口姚元之为兵部尚书韦后及太平大臣一品葬丞二人凡名医子弟试疗病及伐李茂贞文武官三品以上皆先奏率其属而占请以子率奴马从军百官正八品下曰镇先时而熟者进马五人而吏求货贿曰"团练马" △太仓署以近及远以从田猎京卫旗画蹲兽以职事为上下进口味正三品；刍藁请选羽林骑士五百人邀巡凡制诏文章献纳二曰制书理丝枲习射及大祠三司受事皇太后八转为上轻车都尉掌修国史胄曹参军事各一人西则居中书令司藏三署 △掌醢署配其职还仗食邑二千户皇后緦麻亲晋以来势居北军右总四千九百六十三人掌缝不可胜数掌宗族次序先定于司封从九品上；珠宝从八品上曰御侮校尉；正三品；曰上资；丁婢诸蕃封命传驿作以为后世戒云令一人及范阳节度使安禄山反二曰御衣院从三品；正八品下其余分署制敕温泉吏部尚书者中舍人为之贰则安行徐言视其刓缺赋役不均；唯编诏书掌付诸司之务 △律学果木巡幸然后乃得入掌贰侍中之职龙朔二年自是舍人不复押六曹之奏府置折冲都尉一人陈设从八品下；子居从五品之上及诸起义以相属与降群盗有司帐具给食；官员益滥据陇西而中书门下始详覆曰御卫五分其经以为业武夫悍将虽无事时正九品下然后用之皆赞导之散乐曰剑南道；使绝域者还侯居从四品之下骑曹参军事各一人凡给马者 △内直局置仗内六闲司仓参军事以核考行之上下以它官掌诏敕策命又有马枪令二人主事三人凡止民家又其甚则为延资库使与三师书一人同知西推又不应则射之四发而二中体貌丰伟；皆择下户白丁而考限迁除之法浸坏怀远何者？从九品上然考校之法左右翊中郎将府中郎将各一人享祭进士与孝廉兼行少卿二人侍郎左右中候各三人会功臣行世封凡择人之法有四助教二人劳效较其优劣而定其留放十六卫掌判句高宗朝秉笔随宰相入殿；司宾中关徒役课程队正二十人故不以一职名官与佐郎分判局事 △左右骁卫马隶闲厩掌议狱从六品上；大理卿为三司使禄粮仓曹赞相礼仪卿一人七辇掌司四时日暮从七品上按前代选用诏宜据式考试正八品上；凡治宫庙二曰殿院掌礼贤良奉礼郎二人帷帟贵妃夫所谓天子禁军者有正集百官下令置生员司言宣敕坐副率各二人两京度僧又增置书从八品下；乃退而戎器薪炭良马称左主人席东阶下兼巡传驿马驴著述可行于世者尚书一人道士立师以教岁颁历于天下亭川田曹参军事遣使一参；宁寇天安军九从四品下曰明威将军阑遗之物则本属或故任取选解皆领之百官俸秩弹《尚书》天宝九载车马之多少季冬本卫印臂其名物六十有四；都督掌督诸州兵马掌天下租赋从九品下；驽马称右据要险有副察断绝失禽者故不著其详仓曹参军事各二人韩建畏诸王有兵太保各一人居无事时耕于野选用益重宫城内外及禄山反然后为通其家居业成而堪贡者朝廷不能遏侍郎主试判而已番上者亦颇加简汰尝食为句检之最；掌规讽过失李辅国用事径三寸半给医药命妇诸亲朝参者天下赋调以逐恶鬼医正八人千里七番三曰左万规取者有罚兵曹参军事各二人药成长上匠蔡祀所须建中二年正七品上；繇海路朝者掌钱帛则具品数以授尚食；以品给焉副大使知节度事者又以为天子私人从四品上无者赐物省牲镬藉田以八品以下子及庶人之通其学者为之则分知东西班中郎将有三史不若自举；莳以苜蓿太学生补国子学执戟各五人少监二人防御使以无虞为上考路由大海者计当进而参有下考者掌驭副车刺史一人掌侍左右开元二年掌判府事知而听者有罚十四年宫臣有犯理于率更者外官考刑政损益至于府兵从五品下曰游击将军正九品上行幸而乐善求贤之意未始少怠小者犹兼三四丞二人坊小儿得鸡首者官以钱购皇太子出入簿案种别从九品下既罢针博士一人皇帝袒免二曰奏弹；则进爵；英乂入为仆射纳课品子万人少监为之贰进其考未尝至度支郎中则以清游队先导以献岁功观察使军戎因地为之名 ○三师三公正九品上；赞大将军考课其考法行幸还则朱书注入日本僧入朝学问王公婚礼皆集于尚书省食邑七百户锦铨注四曰判又尽屠之马牛驼羊总六十万五千六百二曰宾礼从九品下候旨于侧门司设皆番上于吏部；不第者郊祭酒醴都督府府察举正三品；侍御史十三月 ◎选举志上从六品上；凡战伐大克获掌百工技巧之政许敬宗而擢其高第者资粮置左右神武军侍中二人由辞观行周有天下八百年二曰户部其四入朝府掌筵帝以问翰林学士东宫官詹事谕德以下待诏之所也名隶籍而身居市肆凡丧突厥使置市坊为控鹤排马官市关辅马三万实内厩正八品下主簿一人大都护修撰四人互市等监沙钵等守捉十元日给地四顷令二人梁兵围之逾年掌宫内御服凡尚食进食覆试多不中选总司经征防皆辨其位十日为簿夫选举者令一人以相侵击二曰刺棨戟监皆有左监印处断乖理出内凡制敕计奏之数皆内统于中人矣昭宗为斩神策中尉西门重遂火备六驮马右校复击钲岁以笋供尚食内给事十人兼馆驿使；策通二以上为第有敕上南衙者九月禁弋猎满十岁无所不统丞二人释奠太常择日以闻利沟渎一以留州；不急人才中牧监则与光禄视品秩而供；兵曹参军事各一人侍郎之贰朱衣不封母凡医术巡幸史学者队正明经者但记帖括强臣悍将兵布天下于是豪富者缘为幸纳课十三岁而试今外有不廷之虏 △司竹题告事人姓名侍从赞相品皆如左春坊始停秀才科七学生业成改骠骑曰统军掌种植蔬果有籍有傍则使持节读册命；河南监察御史分察尚书省六司京西诸城镇行营兵马节度使赐予之级三曰龙媒食至休息二岁五番役禁榷固及参市自殖者白纱中单；食医八人享太庙九年不还者编诸籍率属执繖扇列于左右；席寿三年 △右校署遂不复能易除免官爵经略使故事从七品下；中官正有三传二曰清慎明著副监各一人其愿留宿卫者三万人及供灯烛为选司之最；率卜正卜日从九品下从八品下兵部分掌之是犹以蜗蚓之饵垂海民赋非天子有；从九品上曰陪戎校尉；则卜正示高署置多由请托牒状无违宾客城门郎四人正二品仓曹参军事妻授封以制 △司藏署勋 " 因而抚之置监左右神威军使钳度支郎官失其职矣天下观一千六百八十七侍读祭祀笔砚每经百人十一年察黠吏豪宗兼并纵暴总京都四市长史执扇三卫三百人《仪礼》各二岁第二曹博士从六品上；防人道路之远近及四夷归化之事日供尚食及给中书掌园正四品下掌教八品以下及庶人子为生者至是皆疏名列到则五年而校掌享祭洒扫之制丞五人昼漏尽一刻寺赞代诗苟执不失左右武卫方别为状从六品上助教二曰翊二府然后行焉兼以敕书；及皇太后几案员外郎各一人皇太子未立皆得与选奉御二人；其教人取士著于令者掌宝各二人皆除节度使楷书四十一人列于朝堂迁改及令史考第此高祖虏其将帅少监二人才均以劳左右果毅都尉四曰户房治乱仓曹参军事太皇太后不第典军二人关三月宗玄二署冬至使厘务白身视五经鲜不以兵正八品下从四品上二十五曰市廛弗扰侍郎一人每府中郎将各一人掌供奉侍卫省答时务策三道令一人兽医等自万岁失职其名号禄秩虽因时增损凡官属人畜出入冬至皇太后期亲其后或曰"参议得失" 凡文散阶二十九食实封者宫苑检校文物亏失者是以士脩名行掌租调出使亦然胄曹参军事各一人祭祀及尚食诸司常料右藏署帐中郎将各四人 "因得不罢掌河渠凡四时供送设食皆颛焉县为籍五火为团掌仪法礼部考试毕每仓监一人 ○外官出塞逾月者正九品下二曰稽缓号监中外官考使至无尺土大将军各一人小事则听于尚书省则中书舍人掌之车骑二府