高一数学基本不等式共15页
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目标
会探索、理解不等式 的证明 过程，应用此不等式求某些 函数的最值；能够解决一些 简单的实际问题.
重点 基本不等式 的应用。 难点 利用基本不等式求最大值、
最小值。
复习引入
1）对任意一个实数a有a2 ≥ 0 2）若a、b∈R+，则由a2≥b2可得a ≥ b 3）(a-b)2 ≥0
4）若a、b∈R+，则 ( a b)2≥ 0
2
注意
1、两个不等式的适用范围不同; 2、一般情况下若“=”存在时，要注明等号 成立的条件； 3、运用重要不等式时，要把一端化为常数 （定值）。
一正 、二定 、三相等
应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 a
(2)(a1)(b1)4 ab
等号当且仅当a＝b时成立.
基本不等式的几何解释： D
A
aCb B
E 半弦CD不大于半径
重要 a2b2 2ab
不等式 ab2 ab(a、b∈R+)
结（1）两个正数积为定值，和有最小值。 论（2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：一正、二定 、三相等
P101 习题3.4 A组 1，2
谢谢你的阅读
xy2 100,
Q x y xy 2(xy)40 2
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短， 最短的篱笆是40m.
（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最 大。最大面积是多少？
解法一：设矩形菜园的宽为xm，则长为（18－x） m，其中0＜x＜ 18 ，其面积 为:
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
(a b)2 0
a2b22a0 b
a2b22ab
重要 不等式
a2b2 2ab
( a b)20
ab2ab 0 ab2 ab
基本不等式
ab2 ab
当且仅当a=b 时，“=”成 立
基本不等式：
abab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
a b 称为正数a、b的几何平均数.
ab
称为正数a、b的算术平均数。
当且仅当x=y,即x=9，y=9时等号成立。
因此，这个矩形的长为9m、宽为9m时，菜园的面积最大， 最大面积是81 m2 。
定理：
（1）两个正数积为定值，和有最小值。
（2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：
一正
二定
三相等
练习：1、当x>0时， x 1 的最小值为 2 ，此
时x=
1
。
x
2 、 已知 2 x 3 y2 (x 0 ,y 0 )
S＝x（18－x）
x(128x)2
182 4
81
当且仅当x＝18－x，即x＝9时菜园面积最大， 即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2.
解法二：设矩形菜园的长为x m,宽为y m , 则2x+2y=36, 即x+y=18，矩形菜园的面积为xy m
Qxy(xy)2
182
ห้องสมุดไป่ตู้
81
2
4
xy 81
1
思考：当x<0时表
则x y 的最大值是
6
。 达式又有何最值
呢？
例题小结：
• 1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大
值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，
则ab≤
M
2
.
等号当且仅当a＝b时成立.
4
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，
即若a， b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则 a＋b≥2 P
(3)(ab)(11)4 ab
(4)a2 1a2112
其中恒成立的 （1）（2）（3） 。
应用二：解决最大（小）值问题 例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短 篱笆是多少？ 解： （1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
会探索、理解不等式 的证明 过程，应用此不等式求某些 函数的最值；能够解决一些 简单的实际问题.
重点 基本不等式 的应用。 难点 利用基本不等式求最大值、
最小值。
复习引入
1）对任意一个实数a有a2 ≥ 0 2）若a、b∈R+，则由a2≥b2可得a ≥ b 3）(a-b)2 ≥0
4）若a、b∈R+，则 ( a b)2≥ 0
2
注意
1、两个不等式的适用范围不同; 2、一般情况下若“=”存在时，要注明等号 成立的条件； 3、运用重要不等式时，要把一端化为常数 （定值）。
一正 、二定 、三相等
应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 a
(2)(a1)(b1)4 ab
等号当且仅当a＝b时成立.
基本不等式的几何解释： D
A
aCb B
E 半弦CD不大于半径
重要 a2b2 2ab
不等式 ab2 ab(a、b∈R+)
结（1）两个正数积为定值，和有最小值。 论（2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：一正、二定 、三相等
P101 习题3.4 A组 1，2
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xy2 100,
Q x y xy 2(xy)40 2
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短， 最短的篱笆是40m.
（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最 大。最大面积是多少？
解法一：设矩形菜园的宽为xm，则长为（18－x） m，其中0＜x＜ 18 ，其面积 为:
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
(a b)2 0
a2b22a0 b
a2b22ab
重要 不等式
a2b2 2ab
( a b)20
ab2ab 0 ab2 ab
基本不等式
ab2 ab
当且仅当a=b 时，“=”成 立
基本不等式：
abab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
a b 称为正数a、b的几何平均数.
ab
称为正数a、b的算术平均数。
当且仅当x=y,即x=9，y=9时等号成立。
因此，这个矩形的长为9m、宽为9m时，菜园的面积最大， 最大面积是81 m2 。
定理：
（1）两个正数积为定值，和有最小值。
（2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：
一正
二定
三相等
练习：1、当x>0时， x 1 的最小值为 2 ，此
时x=
1
。
x
2 、 已知 2 x 3 y2 (x 0 ,y 0 )
S＝x（18－x）
x(128x)2
182 4
81
当且仅当x＝18－x，即x＝9时菜园面积最大， 即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2.
解法二：设矩形菜园的长为x m,宽为y m , 则2x+2y=36, 即x+y=18，矩形菜园的面积为xy m
Qxy(xy)2
182
ห้องสมุดไป่ตู้
81
2
4
xy 81
1
思考：当x<0时表
则x y 的最大值是
6
。 达式又有何最值
呢？
例题小结：
• 1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大
值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，
则ab≤
M
2
.
等号当且仅当a＝b时成立.
4
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，
即若a， b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则 a＋b≥2 P
(3)(ab)(11)4 ab
(4)a2 1a2112
其中恒成立的 （1）（2）（3） 。
应用二：解决最大（小）值问题 例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短 篱笆是多少？ 解： （1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.