2021年高三上学期期中检测数学(理)
2021届江西省南城县第一中学高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析
2021届江西省南城县第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．集合2*{|70}A x x x x N =-<∈，，则*6{|}B y N y A y=∈∈，中子集的个数为（ ） A. 4个 B. 8个 C. 15个 D. 16个 【答案】D【解析】2*{|70}A x x x x N =-<∈，， *6{|}B y N y A y=∈∈，，即子集的个数为4216=，选D. 2．设x ， y R ∈，则“1x ≠或1y ≠”是“1xy ≠”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为“1xy =” 是“11x y ==且”的必要而不充分条件，所以“1x ≠或1y ≠”是“1xy ≠”的必要而不充分条件，选B.3．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且8310S S -=，则11S 的值为( ) A. 12 B. 18 C. 22 D. 44 【答案】C【解析】试题分析：∵834567810S S a a a a a -=++++=，由等差数列的性质可得， 6510a =，∴62a =，由等差数列的求和公式可得， ()1111161111222a a s a +===，故选C.【考点】1、等差数列性质；2、等差数列求和公式.4．若A 为ABC 的内角，且3sin25A =-，则cos 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A. 5-B. 5C. 5-D. 5【答案】A【解析】3sin25A =- ()32sin cos 0,0,,52A A A A πππ⎛⎫⇒=-<∈⇒∈ ⎪⎝⎭所以cos sin A A -===()2210225cos cos sin 4A A A π⎛⎫+=-=-⨯=- ⎪⎝⎭,选A. 5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（ ） A. 6斤 B. 9斤 C. 9.5斤 D. 12斤 【答案】A【解析】由题意得，金箠的每一尺的重量依次成等差数列，从细的一端开始，第一段重2斤，第五段重4斤，由等差中项性质可知，第三段重3斤，第二段加第四段重326⨯=斤.6．如图所示，点P 从点A 处出发，按逆时针方向沿边长为a 的正三角形ABC 运动一周，O 为ABC ∆的中心，设点P 走过的路程为x ，OAP ∆的面积为()f x （当,,A O P 三点共线时，记面积为0），则函数()f x 的图象大致为（ ）【答案】A【解析】试题分析：由于O 为等边三角形的中心，故O 到AB 边的距离为高的13，即313236a a ⋅=，故当P 在AB 上运动时，面积为()1332612ax f x x =⋅=为一次函数，排除B 选项.当O 在BC 上运动时，以OA 为底，高为32a x -，故面积为()32a f x OA x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，也是一个一次函数，故选A.【考点】函数图象与性质．7．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当1x ， ()20x ∈+∞，时，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-⋅-<⎣⎦，设1lna π=， ()2ln b π=， ln c π=，则（ ）A. ()()()f a f b f c >>B. ()()()f b f a f c >>C. ()()()f c f a f b >>D.()()()f c f b f a >> 【答案】C【解析】由1x ， ()20x ∈+∞，时，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-⋅-<⎣⎦，得()y f x =在()0+∞，上单调递减， ()()()()()()2ln 1ln ln ln ln ln f b f f f a f c ππππππ>∴<<∴<=-=< 选C.8．已知函数()2ln 1||f x x x =-+与()2g x x =，则它们所有交点的横坐标之和为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C【解析】作函数2ln 1||,2y x y x x =-=-图像，由图可知所有交点的横坐标之和为224⨯=，选C.点睛：(1)图象法研究函数零点的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．(2)对于一般函数零点个数的判断问题，不仅要判断区间[a ，b ]上是否有f (a )·f (b )<0，还需考虑函数的单调性．9．在ABC 中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若tan tan tan tan A B c bA B c--=+，则这个三角形必含有（ ）A. 90︒的内角B. 60︒的内角C. 45︒的内角D. 30︒的内角 【答案】B【解析】由tan tan tan tan A B c bA B c--=+得2tan 2sin cos sin 1cos tan tan sin cos sin cos sin 23B b B A B A A A B c A B B AC π=⇒=⇒=⇒=++选B.10．已知函数()f x 在()1-+∞，上单调，且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()5051f a f a =，则{}n a 的前100项的和为（ ） A. 50- B. 0 C. 200- D. 100- 【答案】D【解析】因为函数()2y f x =-的图象关于1x =对称，所以函数()f x 的图象关于1x =-对称，因为()()5051f a f a =，所以50512a a +=-，因此{}n a 的前100项的和为()()11005051100501002a a a a +=+=-，选D.点睛：1．在解决等差数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m+a n ＝a p+a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．2．等差数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等差中项的变形，三是前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 11．已知点是圆上的动点，点是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且，则的最小值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7 【答案】B 【解析】由题设是圆的直径，则，故时，，应选答案B 。
2021-2022年高三(上)期中数学试卷
2021年高三（上）期中数学试卷第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z= 1+i ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乘1﹣i的共轭复数，然后化简即可．解答：解：由z•（1﹣i）=2，可得z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i．故答案为：1+i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）（xx•上海）已知点A（﹣1，﹣5）和=（2，3），若=3，则点B的坐标为（5，4）．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题．分由的坐标求出的坐标，再由点A的坐标和向量的坐标表示即：终点的坐标减去起点的析：坐标，求出终点B的坐标．解答：解：由题意知，=3=（6，9），又因点A的坐标是（﹣1，﹣5），则点B的坐标为（6﹣1，9﹣5）=（5，4）．故答案为：（5，4）．点评：本题考查了向量的坐标运算，即根据运算公式和题意求出所求点的坐标．3．（5分）已知等比数列{a n}满足a1•a7=3a3a4，则数列{a n}的公比q=3．考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由a1•a7=3a3a4，结合等比数列的性质可得a5=3a4，从而可求公比解答：解：∵a1•a7=3a3a4，∴a3•a5=3a3•a4∴a5=3a4∴q=3故答案为：3点评：本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题4．（5分）若cos（2π﹣α）=，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）=﹣．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：由题意求出cosα的值，利用诱导公式化简sin（π﹣α），结合同角三角函数的基本关系式，求出它的值即可．解答：解：cos（2π﹣α）=cosα=，又α∈（﹣，0），故sin（π﹣α）=sinα=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，诱导公式的应用，考查计算能力，常考题型．5．（5分）已知两个平面α，β，直线l⊥α，直线m⊂β，有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l⊥m⇒α∥β；④l∥m⇒α⊥β．其中正确的命题是①、④．考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：本题应逐个判断：①④需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明，②③可举出反例来即可．解答：解：∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又直线m⊂β，故有l⊥m，即①正确；∵l⊥α，α⊥β，∴l∥β，或l⊂β，此时l与m可能平行，相交或异面，即②错误；∵l⊥α，l⊥m，∴又m⊂β，此时α与β可能相交可能平行，故③错误；∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊂β，故有α⊥β，即④正确．故答案为：①④点评：本题考查直线的平行于垂直关系，熟练运用性质定理是解决问题的关键，属基础题．6．（5分）设x，y满足，则z=x+y的最小值为2．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值．解答：解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2．故答案为：2．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．7．（5分）（xx•盐城三模）已知函数，则的值为．考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．专计算题．题：分析：利用公式tanx=、sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α﹣1即可化简求值．解答：解：因为f（x）==，所以f（）=．点评：本题考查同角三角函数的基本关系及正余弦的倍角公式．8．（5分）已知命题p：|5x﹣2|＜3，命题q：，则p是q的充分不必要条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”选择并进行填空）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：根据绝对值不等式的性质及一元二次方程的解法分别求出命题p和q的范围，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：命题p：|5x﹣2|＜3，，解得{x|﹣＜x＜1}，命题q：，可得x2+4x﹣5＜0，解得{x|﹣5＜x＜1}，∴{x|﹣＜x＜1}⇒{x|﹣5＜x＜1}，∴p是q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要；点评：考查不等式解法及充要条件的判断方法，注意：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；9．（5分）△ABC中，，，，则=5．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由向量的数量积可得，=||||cos（π﹣B）=﹣9可求的BC与cosB的关系，然后结合余弦定理即可求解BC解答：解：由向量的数量积可得，=||||cos（π﹣B）=﹣9 ∴cosB=9∴|BC|cosB=3由余弦定理可得，cosB==∴|BC|=5故答案为：5点评：本题主要考查了向量的数量积的定义及余弦定理在求解三角形中的应用，属于知识的简单应用10．（5分）已知关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是（﹣1，2）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），可得=1，且a＜0，由此对于x的不等式求解即可．解答：解：由题意关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），可得=1，且a＜0，关于x的不等式，可变为（x﹣2）（x+1）＜0，即得（x﹣2）（x+1）＜0，∴﹣1＜x＜2不等式的解集：（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）．点评：本题考查一次不等式的解法，求解问题的关键是根据不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），解出参数a，b所满足的条件，求解分式不等式不等式．考查转化思想．11．（5分）已知等比数列{a n}的首项是1，公比为2，等差数列{b n}的首项是1，公差为1，把{b n}中的各项按照如下规则依次插入到{a n}的每相邻两项之间，构成新数列{c n}：a1，b1，a2，b2，b3，a3，b4，b5，b6，a4，…，即在a n和a n+1两项之间依次插入{b n}中n个项，则c xx= 1951．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由题意可得，，b n=1+（n﹣1）×1=n，当n=62时，=xx即此时共有xx项，且第xx项为262，而c xx=b1951可求解答：解：由题意可得，，b n=1+（n﹣1）×1=n由题意可得，在数列{a n}中插入的项为，20，1，21，2，3，22，4，5，6，23…2n时，共有项为1+2+…+n+（n+1）==当n=62时，=xx即此时共有xx项，且第xx项为262∴c xx=b1951=1951故答案为：1951点本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，解题的关键是要准确判断所评：求项在已知数列中所处的项的位置．12．（5分）△ABC内接于以O为圆心半径为1的圆，且，则△ABC的面积S=．考点：向量在几何中的应用．分析：利用向量的平行四边形法则作出为，据已知条件知与为相反向量得到OD=5，据勾股定理易得OA⊥OB，将三角形分成三个三角形，利用三角形的面积公式求出各个三角形的面积．解答：解：如图，，则．易得OA⊥OB，且，所以．故答案为点评：本题考查向量的运算法则：平行四边形法则、勾股定理、三角形的面积公式．13．（5分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣12]．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=4（a2+a4+…+a2n），结合等差数列的性质及求和公式可得关于n的不等式，解不等式可求对n∈N*恒成立，转化为求解函数的最值即可解答：解：a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=﹣4（a2+a4+…+a2n）=，所以﹣8n2+4n≥tn2，所以对n∈N*恒成立，t≤﹣12，故答案为（﹣∞，﹣12]点评：本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用及恒成立与最值求解的相互转化关系的应用．14．（5分）设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：该题是考查利用基本不等式求最值问题，但直接运用基本不等式无从下手，可考虑运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题．解答：解：设x+2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，所以==．因为所以．故答案为．点评：本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知，B={x|x2﹣2x+1﹣m2≤0，m＞0}，（1）若m=2，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；集合关系中的参数取值问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）把m=2代入可解得集合A、B，求交集即可；（2）把A∪B=B转化为A⊆B，构建不等式组求解集可得m的取值范围．解答：解：（1）由得，解得2＜x＜6，∴A={x|2＜x＜6}（3分）由m=2知x2﹣2x+1﹣m2≤0化为（x﹣3）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤3，∴B={x|﹣1≤x≤3}（6分）∴A∩B={x|2＜x≤3}（7分）（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，（8分）又∵m＞0，∴不等式x2﹣2x+1﹣m2≤0的解集为1﹣m≤x≤1+m，（11分）∴解得，∴m≥5，∴实数m的取值范围是[5，+∞）（14分）点评：本题为不等式的解法，涉及集合的运算和转化的思想，属基础题．16．（14分）△ABC中，AC=3，三个内角A，B，C成等差数列．（1）若，求AB；（2）求的最大值．考点：等差数列的性质；正弦定理；余弦定理．专题：等差数列与等比数列；解三角形．分析：（1）由A，B，C成等差数列易得，进而可得，由正弦定理可得答案；（2）由余弦定理可得32=a2+c2﹣ac，结合基本不等式可得结论．解答：解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴，（2分）又，∴，（4分）由正弦定理得：，所以；（7分）（2）设角A，B，C的对边为a，b，c，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即32=a2+c2﹣ac，（9分）又a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时取到等号，所以9=a2+c2﹣ac≥ac（11分）所以，所以的最大值是．（14分）点评：本题为三角形与基本不等式的结合，涉及等差数列的定义和向量的数量积，属中档题．17．（15分）如图，四边形ABCD为正方形，在四边形ADPQ中，PD∥QA．又QA⊥平面ABCD，．（1）证明：PQ⊥平面DCQ；（2）CP上是否存在一点R，使QR∥平面ABCD，若存在，请求出R的位置，若不存在，请说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）要证明线面垂直PQ⊥平面DCQ，根据其判定定理，需要证明PQ垂直于平面DCQ内的两条相交直线，由已知可证明CD⊥PQ，只要再证明PQ⊥DQ即可．（2）只要分别取PC、CD的中点，再利用三角形的中位线和平行四边形的判定与性质即可得到结论．解答：解：（1）法一：∵QA⊥平面ABCD，∴QA⊥CD，由四边形ABCD为正方形知DC⊥AD，又QA、AD为平面PDAQ内两条相交直线，∴CD⊥平面PDAQ，∴CD⊥PQ．在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，∴PQ2+DQ2=PD2．由勾股定理得逆定理得：PQ⊥QD．又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，∴PQ⊥平面DCQ．法二：∵QA⊥平面ABCD，QA⊂平面PDAQ，∴平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD．又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，∴DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC．在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD．又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，∴PQ⊥平面DCQ．（2）存在CP中点R，使QR∥平面ABCD．证：取CD中点T，连接QR，RT，AT，由三角形的中位线定理得：RT∥DP，且RT=DP，又AQ∥DP，且AQ=DP，从而AQ∥RT，且AQ=RT，∴四边形AQRT为平行四边形，所以AT∥QR．∵QR⊄平面ABCD，AT⊂平面ABCD，∴QR∥平面ABCD．即存在CP中点R，使QR∥平面ABCD点评：掌握线面、面面平行和垂直的判定与性质定理是解题的关键．18．（15分）某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨．该厂计划从xx年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的？（生产总量是指各年年产量之和）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）利用该厂计划从xx年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，可得该厂第n年啤酒和葡萄酒年生产量，进而可得啤酒与葡萄酒的年生产量之和，利用基本不等式，可求最值；（2）利用葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的，建立不等式，即可求得结论．解答：解：设从2011年起，该厂第n年啤酒和葡萄酒年生产量分别为a n吨和b n吨，经过n 年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为A n吨和B n吨．（1）设第n年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为D n吨，依题意，=，=500×2n，（n∈N*），（4分）则D n=a n+b n=+500×2n=，当且仅当，即n=3时取等号，故xx年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为8000吨．（7分）（2）依题意，，得B n≥2A n，∵，，∴1000（2n﹣1）≥，∵2n﹣1＞0，∴2n≥64=26，∴n≥6，从第6年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的．（15分）点评：本题考查数列知识的运用，考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的通项与求和，属于中档题．19．（16分）已知函数，且f（1）=1，f（﹣2）=4．（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数最值的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4，代入可方程，解方程即可求解a，b得关于a，b的（2）由（1）可知，利用两点间的距离个公式代入，结合x的范围可求x+1=t＜0，然后结合基本不等式式即可求解（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，则0＜m＜1或m＞2．法一：问题化为对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，从而可转化为求解函数的最值，利用函数的单调性即可求解法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，0＜m＜1或m＞2．问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|，结合函数的性质可求解答：解：（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4．得解得：（3分）（2）由（1），所以，令x+1=t，t＜0，则=因为x＜﹣1，所以t＜0，所以，当，所以，（8分）即AP的最小值是，此时，点P的坐标是．（9分）（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．法一：在0＜m＜1或m＞2下，问题化为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，①当x=1时，或m＞2，②当x≠1时，且对x∈（1，2]恒成立，对于对x∈（1，2]恒成立，等价于，令t=x+1，x∈（1，2]，则x=t﹣1，t∈（2，3]，，t∈（2，3]递增，∴，，结合0＜m＜1或m＞2，∴m＞2对于对x∈（1，2]恒成立，等价于令t=x﹣1，x∈（1，2]，则x=t+1，t∈（0，1]，，t∈（0，1]递减，∴，∴m≤4，∴0＜m＜1或2＜m≤4，综上：2＜m≤4（16分）法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．故问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|①若0＜m＜1时，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x﹣m）=x2﹣mx，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，依题意g（2）≤m，，舍去；②若m＞2，由于x∈[1，2]，故，考虑到，再分两种情形：（ⅰ），即2＜m≤4，g（x）的最大值是，依题意，即m≤4，∴2＜m≤4；（ⅱ），即m＞4，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，故g（2）≤m，∴2（m﹣2）≤m，∴m≤4，舍去．综上可得，2＜m≤4（16分）点评：本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式，及基本不等式在求解函数的值域中的应用，函数的恒成立问题与函数最值求解中的综合应用．20．（16分）（xx•昌平区二模）设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是等差数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n}的通项，利用{a n}是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{a n}的首项a1的所有取值．解答：解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），①用n+1去代n得，3（a1+a n+1）﹣4=2（a1+a2…+a n+a n+1），②②﹣①得，3（a n+1﹣a n）=2a n+1，a n+1=3a n，（2分）在①中令n=1得，a1=1，则a n≠0，∴，∴数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，∴a1+a2+a3+…+a n=．（4分）（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），③用n+1去代n得，（n+1）（a1+a n+1）=2（a1+a2…+a n+a n+1），④④﹣③得，（n﹣1）a n+1﹣na n+a1=0，⑤（6分）用n+1去代n得，na n+2﹣（n+1）a n+1+a1=0，⑥⑥﹣⑤得，na n+2﹣2na n+1+na n=0，即a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，（8分）∴数列{a n}是等差数列．∵a3=3，a9=15，∴公差，∴a n=2n﹣3．（10分）（3）由（2）知数列{a n}是等差数列，∵a2﹣a1=2，∴a n=a1+2（n﹣1）．又{a n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m ﹣1）=a1+2（p﹣1），得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，（12分）又由已知，，故．一方面，当时，S n=n（n+a1﹣1）＞0，对任意n∈N*，都有．另一方面，当a1=2时，S n=n（n+1），，则，取n=2，则，不合题意．（14分）当a1=4时，S n=n（n+3），，则，当a1≥6时，S n=n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，又，∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．第二部分（加试部分）三、（共4小题，满分40分）21．（10分）已知圆的极坐标方程为：，将此方程化为直角坐标方程，并求圆心的极坐标．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：选作题．分析：先将方程：展开并化为ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，再利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可化为普通方程．解答：解：由，得ρ=2cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，∴x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心直角坐标是（1，﹣1），∴，，∴，∴圆心的极坐标为．点评：本题考查了极坐标方程化为普通方程，掌握互化公式及化简方法是解题的关键．22．（10分）如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，已知AB=3，AD=4，AA1=2，M是棱A1D1的中点，求直线AM与平面BB1D1D所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角．专题：空间角．分析：先建立空间坐标系，分别求出向量与平面BB1D1D的法向量的坐标，再利用公式直线AM与平面BB1D1D所成的角是θ，则sinθ=即可求出．解答：解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1为坐标轴，建立O﹣xyz坐标系，则，，，设平面BDD1B1的一个法向量为=（x，y，z）由，可得z=0，令x=3，则y=﹣4，可得平面BB1D1D的一个法向量=（3，﹣4，0），∴．设直线AM与平面BB1D1D所成的角是θ，则sinθ====．故直线AM与平面BB1D1D所成角的正弦值是．点评：正确利用公式直线AM与平面BB1D1D所成的角θ，则sinθ==是解题的关键．23．（10分）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．（1）求得分X不大于6的概率；（2）求得分X的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：（1）取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，所以得分x=5，6，8，因为从袋中随机地抽取4个球，总共有种取法，然后根据概率公式进行求解；（2）根据题意求得分X的数学期望，x可以取5，6，7，8，分别求出相对应的概率，然后列出分布列，然后利用数学期望公式进行求解；解答：解：（1），，（4分）（2）得分X的所有可能值为：5，6，7，8，，，，，得分X的分布列为X 5 6 7 8 PEX=．（10分）点评：此题主要考查离散型随机变量的期望与公式，这是高考必考的热点问题，比较简单，是一到中档题；24．（10分）设函数f（x）=x﹣sinx，数列{a n}满足a n+1=f（a n）．（1）若a1=2，试比较a2与a3的大小；（2）若0＜a1＜1，求证：0＜a n＜1对任意n∈N*恒成立．考点：数学归纳法；数列与函数的综合．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接利用函数f（x）=x﹣sinx，数列{a n}满足a n+1=f（a n），可得a3﹣a2＜0，从而可得结论；（2）证题的关键是n=k+1时，结论成立，利用函数是（0，1）上的单调递增函数即可．解答：（1）解：a1=2时，a2=f（2）=2﹣sin2∈（0，2），所以sina2＞0，所以a3﹣a2=﹣sina2＜0，所以a2＞a3．（4分）（2）证明：①n=1时，结论成立；②设n=k时，0＜a k＜1，则当n=k+1时，a k+1﹣a k=﹣sina k＜0，即a k+1＜a k＜1，（6分）当x∈（0，1）时，f'（x）=1﹣cosx＞0，即f（x）是（0，1）上的单调递增函数，所以a k+1=f（a k）＞f（0）=0，即0＜a k+1＜1即n=k+1时，结论成立，综上可得，当0＜a1＜1时，0＜a n＜1对任意n∈N*恒成立，（10分）点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．。
江苏省无锡市2021-2022学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题
启用前★保密2021~2022学年度上学期无锡市高三期中质量检测数 学 试 卷一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |y ＝2－x }，集合B ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则A ∩B 等于( )A ．{x |1＜x ≤2}B ．{x |1≤x ≤2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ≥2} 2．设复数z 满足2z ＋z -＝3＋6i ，则z 等于( )A ．1＋2iB ．1＋6iC ．3＋2iD ．3＋6i 3．“a ∈[0，1]”是“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1＞0”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和．则最小的一份为( )A ．53B ．103C ．56D ．1165．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x的图象关于直线y ＝x 对称，函数g (x )是奇函数，且当x ＞0时，g (x )＝f (x )＋x ，则g (－4)＝( )A ．－18B ．－12C ．－8D ．－6 6．已知α∈(－π，0)，且3cos2α＋4cos α＋1＝0，则tan α等于( )A ．24 B ．2 2 C ．－2 2 D ．－247．已知向量→OA ＝(1，3)，向量→OB ＝(3，t )，|→AB |＝2，则cos<→OA ，→AB >等于( )A ．－1010 B ．1010 C ．31010 D ．－310108．已知函数f (x )＝e x －2＋e－x ＋2＋a sin(πx 3－π6)有且只有一个零点，则实数a 的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．) 9．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的有( )A ．x 3＞y 3B ．1x ＜1yC ．ln(x －y ＋1)＞0D ．sin x ＞sin y10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ＜0e x ，x ≥0，满足对任意的x ∈R ，f (x )≥ax 恒成立，则实数a 的取值可以是( )A ．－2 2B ．－ 2C ． 2D ．22 11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进人循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”．如取m ＝3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n ＝7．则下列命题正确的有( )A ．若n ＝2，则m 只能是4B ．当m ＝17时，n ＝12C ．随着m 的增大，n 也增大D ．若n ＝7，则m 的取值集合为{3，20，21，128}． 12．已知函数f (x )＝sin|x |＋|cos x |，下列叙述正确的有( )A ．函数y ＝f (x )的周期为2πB ．函数y ＝f (x )是偶函数C ．函数y ＝f (x )在区间[3π4，5π4]上单调递减 D ．∀x 1，x 2∈R .|f (x 1)－f (x 2)|≤2三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．)13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且ln a n ＋1＝2S n ＋2(n ∈N *)，则a 1＝ ． 14．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝f ′(π4)sin x －cos x ，则f ′(π4)＝ ．15．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，角A 为直角，点P 为平面ABC 上的一点，则→PB ·→PC 的最小值为 ．16．函数f (x )＝x 2－ax －1的零点个数为 ；当x ∈[0，3]时，|f (x )|≤5恒成立，则实数a 的取值范围为 ．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答． ①在(0，2π)上有且仅有4个零点；②在(0，2π)上有且仅有2个极大值点和2个极小值点． 设函数f (x )＝sin(ωx 2＋π3)(ω∈N *)，且满足 ．(1)求ω的值；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位得到函数g (x )的图像，求g (x )在(0，2π)上的单调递减区间．18．(12分)我们知道，函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x )为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y ＝f (x )的图象关于点P (a ，b )成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数．(1)请写出一个图象关于点(－1，0)成中心对称的函数解析式； (2)利用题目中的推广结论，求函数f (x )＝x 3－3x 2＋4图象的对称中心．19．(12分)在锐角三角形ABC 中，已知tan2A ＝sin Acos A －1．(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，求b ＋c 的取值范围．20．(12分)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝11，cos ∠BAC ＝51122，D 为BC 的中点，E 为AB 边上的一个动点，AD 与CE 交于点O ．设→AE ＝x →AB ．(1)若x ＝14，求COOE 的值；(2)求→AO ·→CE 的最小值．21．(12分)已知正项数列{a n }的前项积为T n ，且满足a n ＝T n3T n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{T n －12}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n ＞10，求n 的最小值．22．(12分)已知函数f (x )＝ex －m－ln x (m ≥0)．(1)当m ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若函数f (x )的最小值为1e －1，求实数m 的值．启用前★保密2021~2022学年度上学期无锡市高三期中质量检测数学试卷2021.11.9一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．)1．已知集合A＝{x|y＝2－x}，集合B＝{x|y＝ln(x－1)}，则A∩B等于() A．{x|1＜x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x≥2}2．设复数z满足2z＋z-＝3＋6i，则z等于()A．1＋2i B．1＋6i C．3＋2i D．3＋6i3．“a∈[0，1]”是“∀x∈R，x2－ax＋1＞0”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和．则最小的一份为()A ．53B ．103C ．56D ．1165．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x的图象关于直线y ＝x 对称，函数g (x )是奇函数，且当x ＞0时，g (x )＝f (x )＋x ，则g (－4)＝()A ．－18B ．－12C ．－8D ．－66．已知α∈(－π，0)，且3cos2α＋4cos α＋1＝0，则tan α等于()A ．24B ．22C ．－22D ．－247．已知向量→OA ＝(1，3)，向量→OB ＝(3，t )，|→AB |＝2，则cos<→OA ，→AB >等于()A ．－1010B ．1010C ．31010D ．－310108．已知函数f (x )＝ex －2＋e－x ＋2＋a sin(πx 3－π6)有且只有一个零点，则实数a 的值为()A ．4B ．2C ．－2D ．－4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的有()A ．x 3＞y3B ．1x ＜1yC ．ln(x －y ＋1)＞0D ．sin x ＞sin y10．已知函数f (x )2＋2，x ＜0x ，x ≥0，满足对任意的x ∈R ，f (x )≥ax 恒成立，则实数a 的取值可以是()A ．－22B ．－2C ．2D ．2211．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进人循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”．如取m ＝3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n ＝7．则下列命题正确的有()A ．若n ＝2，则m 只能是4B ．当m ＝17时，n ＝12C ．随着m 的增大，n 也增大D ．若n ＝7，则m 的取值集合为{3，20，21，128}．12．已知函数f (x )＝sin|x |＋|cos x |，下列叙述正确的有()A ．函数y ＝f (x )的周期为2πB ．函数y ＝f (x )是偶函数C ．函数y ＝f (x )在区间[3π4，5π4]上单调递减D ．∀x 1，x 2∈R .|f (x 1)－f (x 2)|≤2选项B 对；三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．)13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且ln a n ＋1＝2S n ＋2(n ∈N *)，则a 1＝．14．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝f ′(π4)sin x －cos x ，则f ′(π4)＝．15．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，角A 为直角，点P 为平面ABC 上的一点，则→PB ·→PC 的最小值为．16．函数f(x)＝x2－ax－1的零点个数为；当x∈[0，3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的取值范围为．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答．①在(0，2π)上有且仅有4个零点；②在(0，2π)上有且仅有2个极大值点和2个极小值点．设函数f(x)＝sin(ωx2＋π3)(ω∈N*)，且满足．(1)求ω的值；(2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数g(x)的图像，求g(x)在(0，2π)上的单调递减区间．【解析】18．(12分)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．(1)请写出一个图象关于点(－1，0)成中心对称的函数解析式；(2)利用题目中的推广结论，求函数f(x)＝x3－3x2＋4图象的对称中心．【解析】19．(12分)在锐角三角形ABC 中，已知tan2A ＝sin A cos A －1．(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，求b ＋c 的取值范围．【解析】20．(12分)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝11，cos ∠BAC ＝51122，D 为BC 的中点，E 为AB 边上的一个动点，AD 与CE 交于点O ．设→AE ＝x →AB ．(1)若x ＝14，求CO OE的值；(2)求→AO ·→CE 的最小值．【解析】21．(12分)已知正项数列{a n}的前项积为T n，且满足a n＝T n3T n－1(n∈N*)．(1)求证：数列{T n－12}为等比数列；(2)若a1＋a2＋…＋a n＞10，求n的最小值．【解析】22．(12分)已知函数f(x)＝e x－m－ln x(m≥0)．(1)当m＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)的最小值为1e－1，求实数m的值．【解析】。
2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三(上)期中数学试卷
2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）期中数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|0＜x ＜2}， B ={x|x−3x−1≤0} ，则集合A∪B=___ ． 2.（填空题，4分）在 (x2+1x )6的二项展开式中，x 2项的系数等于 ___ ．3.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（sinθ，1）， b ⃗⃗=(1，cosθ) ，其中0＜θ＜2π，若 a ⃗ ⊥ b ⃗⃗ ，则θ=___ ．4.（填空题，4分）若z 1=1+i ，z 2=a-2i ，其中i 为虚数单位，且 z 1•z 2∈R ，则实数a=___ ．5.（填空题，4分）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a ，b ，则a ，b 所成角的最大值为 ___ ．6.（填空题，4分）无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，且S 2020+2S 2021=3S 2022，则无穷等比数列{a n }的各项和为 ___ ．7.（填空题，5分）设函数 f (x )=sin (2x +π3) ，若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，使得f （x 1）+f （x 2）=0，则|α-β|的最小值为___ ．8.（填空题，5分）某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是___ ．9.（填空题，5分）已知F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1 的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 1为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 有且只有一个零点，若方程f （x ）=k 无解，则实数k 的取值范围为 ___ ．11.（填空题，5分）已知数列{a n }满足a 1=1，若数列{b n }满足b n =max{a k+1-a k |1≤k≤n}（n∈N*），且a n +b n =2n （n∈N*），则数列{a n }的通项公式a n =___ ．12.（填空题，5分）设函数f （x ）的定义域是（0，1），满足： （1）对任意的x∈（0，1），f （x ）＞0；（2）对任意的x 1，x 2∈（0，1），都有 f (x 1)f (x 2)+f (1−x 1)f (1−x 2)≤2 ；)=2．（3）f(12的最小值为 ___ ．则函数g(x)=xf(x)+1x13.（单选题，5分）已知等比数列{a n}的公比为q（q≠0），S n是{a n}的前n项和．则“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题，5分）下列四个命题中真命题是（）A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个15.（单选题，5分）已知a⃗，b⃗⃗，c⃗和d⃗为空间中的4个单位向量，且a⃗+b⃗⃗+c⃗ = 0⃗⃗，则| a⃗−d⃗ |+| b⃗⃗−d⃗ |+| c⃗−d⃗ |不可能等于（）A.3B.2 √3C.4D.3 √216.（单选题，5分）函数f（x）的定义域为D，若f（x）存在反函数，且f（x）的反函数就是它本身，则称f（x）为自反函数．有下列四个命题：是自反函数；① 函数f(x)=−xx+1② 若f（x）为自反函数，则对任意的x∈D，成立f（f（x））=x；③ 若函数f(x)=√1−x2(a≤x≤b)为自反函数，则b-a的最大值为1；④ 若f（x）是定义在R上的自反函数，则方程f（x）=x有解．其中正确命题的序号为（）A. ① ② ③B. ① ② ④C. ② ③ ④D. ① ② ③ ④17.（问答题，14分）在四棱锥P-ABCD中，底面为梯形，AB || CD，∠BAP=∠CDP=90°，PA=PD=AB=2，PA⊥PD，四棱锥P-ABCD的体积为4．（1）求证：AB⊥平面PAD ； （2）求PC 与平面ABCD 所成角．18.（问答题，14分）已知函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2-mx+4，m∈R ． （1）当m=4时，解不等式g （x ）＞|f （x ）-2|．（2）若对任意的x 1∈[1，2]，存在x 2∈[1，2]，使得g （x 1）=f （x 2），求实数m 的取值范围．19.（问答题，14分）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级．路边一棵参天大树在树干某点B 处被台风折断且形成120°角，树尖C 着地处与树根A 相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设∠CAB=θ（A ，B ，C 三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．（1）若θ=45°，求折断前树的高度（结果保留一位小数）； （2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由．20.（问答题，16分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点 A(√6，0) 在椭圆上，且 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3 ，点P ，Q 是椭圆上关于坐标原点O 对称的两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P在第一象限，PN⊥x轴于点N，直线QN交椭圆于点M（不同于Q点），试求∠MPQ的值；是否为定值？若（3）已知点R在椭圆上，直线PR与圆x2+y2=2相切，连接QR，问：|PR||QR|为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．(n∈N∗)．21.（问答题，18分）已知数列{a n}满足a1=0，|a n+1-a n|=n，且a n≤ n−12（1）求a4的所有可能取值；（2）若数列{a2n}单调递增，求数列{a2n}的通项公式；（3）对于给定的正整数k，求S k=a1+a2+⋯+a k的最大值．2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x−3x−1≤0}，则集合A∪B=___ ．【正确答案】：[1]{x|0＜x≤3}【解析】：先解分式不等式求出B，再利用并集运算求解．【解答】：解：∵ B={x|x−3x−1≤0} ={x|1＜x≤3}，A={x|0＜x＜2}，∴A∪B={x|0＜x≤3}，故答案为：{x|0＜x≤3}．【点评】：此题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，属于基础题．2.（填空题，4分）在(x2+1x)6的二项展开式中，x2项的系数等于 ___ ．【正确答案】：[1] 1516【解析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式的x2项的系数．【解答】：解：二项式(x2+1x)6展开式的通项公式为T r+1= C6r(x2)6−r(1x)r= C6r(12)6−rx6-2r，令6-2r=2，解得r=2，故(x2+1x)6二项展开式中，含x2项的系数等于C62(12)4= 1516，故答案为：1516．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．3.（填空题，4分）已知向量a⃗ =（sinθ，1），b⃗⃗=(1，cosθ)，其中0＜θ＜2π，若a⃗⊥ b⃗⃗，则θ=___ ．【正确答案】：[1] 3π4或7π4【解析】：根据题意，由数量积的计算公式可得a⃗• b⃗⃗=sinθ+cosθ=0，变形可得tanθ=-1，结合θ的取值范围，即可确定θ的值．【解答】：解：根据题意，向量a⃗ =（sinθ，1），b⃗⃗=(1，cosθ)，若a⃗⊥ b⃗⃗，则有a⃗• b⃗⃗=sinθ+cosθ=0，变形可得tanθ=-1，又0＜θ＜2π，所以θ= 3π4或7π4；故答案为：3π4或7π4．【点评】：本题考查向量垂直的判断方法，涉及向量数量积的计算公式，属于基础题．4.（填空题，4分）若z1=1+i，z2=a-2i，其中i为虚数单位，且z1•z2∈R，则实数a=___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：求出z1•z2 =（1+i）（a+2i）=a+ai+2i+2i2=（a-2）+（a+2）i，由z1•z2∈R，能求出实数a．【解答】：解：z1=1+i，z2=a-2i，其中i为虚数单位，且z1•z2∈R，z1•z2 =（1+i）（a+2i）=a+ai+2i+2i2=（a-2）+（a+2）i，∴a+2=0，解得实数a=-2．故答案为：-2．【点评】：本题考查实数值的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（填空题，4分）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a，b，则a，b所成角的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1]60°【解析】：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，求出r与l的关系，确定两条母线a，b为轴截面的两条母线时，a，b所成角的最大，即可得到答案．【解答】：解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，因为一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则2πr=πl，解得l=2r，当两条母线a，b为轴截面的两条母线时，a，b所成角的最大，最大值为60°．故答案为：60°．【点评】：本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．6.（填空题，4分）无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，且S 2020+2S 2021=3S 2022，则无穷等比数列{a n }的各项和为 ___ ． 【正确答案】：[1] 32【解析】：先求出等比数列{a n }的公比，然后利用无穷等比数列的和可计算出结果．【解答】：解：设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 2020+2S 2021=3S 2022， 所以S 2022-S 2020=2（S 2021-S 2022）， 即a 2021+a 2022=-2a 2022， 所以3a 2022=-a 2021， 所以q=- 13 ，所以无穷等比数列{a n }的各项和为S n = a 1(1−q n )1−q = 2×[1−(−13)n]1+13 = 32[1−(−13)n] ，当n→+∞时，S n → 32 ，故无穷等比数列{a n }的各项和为 32 ， 故答案为： 32．【点评】：本题考查了等比数列求和公式，极限思想，属于中档题．7.（填空题，5分）设函数 f (x )=sin (2x +π3) ，若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，使得f （x 1）+f （x 2）=0，则|α-β|的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] π3【解析】：根据题意，设集合A 为所有-f （x 1）构成的集合，集合B 是所以f （x 2）构成的集合，则A⊆B ，求出，|α-β|的最小值．【解答】：解：若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，f （x 1）+f （x 2）=0，得-f （x 1）=f （x 2），设集合A 为所有-f （x 1）构成的集合，集合B 是所有f （x 2）构成的集合，则A⊆B ，对于任意的x∈[ −π4，π4 ]，2x+ π3 ∈[−π6，5π6] ，-f （x ）∈[-1， 12]=A ， 因为-f （x ）单调递减，根据题意，要使|α-β|=β-α最小，只需A=B 即可， 所以-1 ≤sin (2x +π3)≤12 ，得2x+ π3 ∈ [−π2+kπ，π6+kπ]，(k ∈z ) ， 故，|α-β|的最小值为 12 （ [π6−(−π2)] = π3 ． 故答案为： π3．【点评】：考查三角函数图象和性质，三角函数恒成立和能成立问题，综合性高，难度较大． 8.（填空题，5分）某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是___ ． 【正确答案】：[1] 49【解析】：小明购买了4个盲盒，基本事件总数n=34=81，他能集齐3个不同动漫角色包含的基本事件个数m= C 42A 33=36，由此能求出他能集齐3个不同动漫角色的概率．【解答】：解：某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个． 小明购买了4个盲盒， 基本事件总数n=34=81，他能集齐3个不同动漫角色包含的基本事件个数m= C 42A 33=36，∴他能集齐3个不同动漫角色的概率P= m n = 3681 = 49． 故答案为： 49．【点评】：本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题． 9.（填空题，5分）已知F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1 的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 1为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：根据中位线定理及椭圆的定义，表示出|OQ|，利用极化恒等式即可求得 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．【解答】：解：连接PF 2，由题意可知|PF 2|=2|ON|，|NQ|= 12 |PF 1|， 所以|OQ|=|ON|+|NQ|= 12（|PF 2|+|PF 1|）= 12×4=2，由极化恒等式可知 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|QO|²- 14|F 1F 2|²=4-1=3， 所以 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3， （极化恒等式： a ⃗ •b ⃗⃗ = (a⃗⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗⃗−b ⃗⃗)24）．故答案为：3．【点评】：本题考查椭圆的定义与性质，中位线定理及向量的数量积运算，考查向量的极化恒等式的应用，针对于极化恒等式，需要学生会推导及会使用，在做题中能起到事半功倍的效果，属于中档题．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 有且只有一个零点，若方程f （x ）=k 无解，则实数k 的取值范围为 ___ ． 【正确答案】：[1]（-∞，0）【解析】：先判断出函数f （x ）为偶函数，结合题意得到f （0）=0，得到a 的值，从而求出f （x ），再判断函数f （x ）的单调性，确定f （x ）的取值范围，即可得到k 的范围．【解答】：解：函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 的定义域为R ， 又f （-x ）=x 2-a|x|+1x 2+1+a=f （x ）， 所以f （x ）为偶函数， 又函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1+a 有且只有一个零点，所以f （0）=0， 解得a=-1，故f （x ）=x 2+|x|+ 1x 2+1 -1， 所以f （x ）=x 2+1+ 1x 2+1 +|x|-2，因为y=x 2+1+ 1x 2+1 在[0，+∞）上为单调递增函数，且y=|x|-2在[0，+∞）上为单调递增函数，所以函数f （x ）在[0，+∞）上为单调递增函数， 又f （x ）为偶函数，所以f（x）≥f（0）=0，因为方程f（x）=k无解，所以k＜0，故实数k的取值范围为（-∞，0）．故答案为：（-∞，0）．【点评】：本题考查了函数与方程的综合应用，函数性质的综合应用，考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用，函数零点定义的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．11.（填空题，5分）已知数列{a n}满足a1=1，若数列{b n}满足b n=max{a k+1-a k|1≤k≤n}（n∈N*），且a n+b n=2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=___ ．【正确答案】：[1]2n-1【解析】：根据已知条件分别求a1，a2，a3，…，由归纳即可得{a n}的通项公式．【解答】：解：因为a n+b n=2n（n∈N*），由a1=1，可得b1=a2-a1=21-1=1，所以a2=a1+1=1+1=2，因为a2+b2=22=4，可得b2=2=a3-a2，所以a3=4，因为b3=23-a3=8-4=4=a4-a3，可得a4=8，…，所以a n=b n=2n-1，故答案为：2n-1．【点评】：本题考查了数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.（填空题，5分）设函数f（x）的定义域是（0，1），满足：（1）对任意的x∈（0，1），f（x）＞0；（2）对任意的x1，x2∈（0，1），都有f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2；（3）f(12)=2．则函数g(x)=xf(x)+1x的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：由条件（1）（2）进行推导可得f（x）关于直线x= 12对称，借由对称轴推出f（x）为常数函数，代入g（x）基本不等式求最值运算．【解答】：解：由题意，令x1=1-x2，则不等式f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2等价于f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)≤2，由（1）对任意x∈（0，1），f（x）＞0，则f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)≥2√f(1−x2)f(x2)⋅f(x2)f(1−x2)=2，所以f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)=2，当且仅当f(1−x2)f(x2)=f(x2)f(1−x2)，即f（x2）=f（1-x2）时等号成立，所以f（x）关于直线x= 12对称，所以f（x1）=f（1-x1），f（x2）=f（1-x2），则不等式f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2等价于f(x1)f(x2)+f(x1)f(x2)≤2，所以f(x1)f(x2)≤1，因为对任意x∈（0，1），f（x）＞0，所以f（x1）≤f（x2），所以f（x1）=f（x2）恒成立，故f（x）为常数函数，因为f（12）=2，所以f（x）=2，所以g（x）=xf（x）+ 1x =2x+ 1x，因为x∈（0，1），所以2x+ 1x ≥2√2x•1x=2 √2（当且仅当x= √22时等号成立），所以g（x）的最小值为2 √2．故答案为：2 √2．【点评】：本题考查了抽象函数的性质，基本不等式求最值，属于难题．13.（单选题，5分）已知等比数列{a n}的公比为q（q≠0），S n是{a n}的前n项和．则“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：由等比数列的通项公式和数列的单调性的定义，结合充分必要条件的定义可得结论．【解答】：解：由a1＞a3，S2＞S4，可得a1＞a1q2，a1+a1q＞a1+a1q+a1q2+a1q3，即为a1（1-q2）＞0，a1（1+q）＜0，若a1＞0，则-1＜q＜1，且q≠0，又q＜-1，可得q∈∅；若a1＜0，则q＞1或q＜-1，又q＞-1，可得q＞1，综上可得，数列{a n}单调递减；但“数列{a n}单调递减“推不到“a1＞a3，S2＞S4”，所以“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的必要不充分条件，故选：B．【点评】：本题考查等比数列的通项公式的运用，以及数列的单调性的判断和充分必要条件的定义，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．14.（单选题，5分）下列四个命题中真命题是（）A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个【正确答案】：C【解析】：A，同垂直于一直线的两条直线的位置关系不定；B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形；C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；D，过球面上任意两点的大圆有无数个；【解答】：解：对于A，同垂直于一直线的两条直线不一定互相平行，故错；对于B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故错；对于C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，正确；对于D ，过球面上任意两点的大圆有无数个，故错； 故选：C ．【点评】：本题考查了命题真假的判定，属于基础题．15.（单选题，5分）已知 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 和 d ⃗ 为空间中的4个单位向量，且 a ⃗ +b ⃗⃗ +c ⃗ = 0⃗⃗ ，则| a ⃗ −d ⃗ |+| b ⃗⃗ −d ⃗ |+| c ⃗ −d ⃗ |不可能等于（ ） A.3 B.2 √3 C.4 D.3 √2【正确答案】：A【解析】：首先由三个向量和为0向量得到三向量共面且两两成120度，再分情况考虑 d ⃗ ，不难得解．【解答】：解：设向量 a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗，d ⃗ 分别对应向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由 a ⃗+b ⃗⃗+c ⃗=0⃗⃗ 可知三个向量两两夹角为120°， 如图，当D 与A 重合时，所求值为2 √3 ； 当D 与M 重合时，所求值为4； 当OD⊥平面ABC 时，所求值为3 √2 ． 故选：A ．【点评】：此题考查了向量的几何意义，分类讨论，数形结合等，难度适中．16.（单选题，5分）函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）存在反函数，且f （x ）的反函数就是它本身，则称f （x ）为自反函数．有下列四个命题： ① 函数 f (x )=−xx+1 是自反函数；② 若f（x）为自反函数，则对任意的x∈D，成立f（f（x））=x；③ 若函数f(x)=√1−x2(a≤x≤b)为自反函数，则b-a的最大值为1；④ 若f（x）是定义在R上的自反函数，则方程f（x）=x有解．其中正确命题的序号为（）A. ① ② ③B. ① ② ④C. ② ③ ④D. ① ② ③ ④【正确答案】：D【解析】：由反函数跟自反函数定义逐一进行判断．，【解答】：解：① ，因为f（x）=- xx+1定义域为{x|x≠-1}，，设y=- xx+1所以y（x+1）=-x，，解得x=- yy+1（x≠-1），所以f（x）的反函数为y=- xx+1即f（x）反函数为它本身，满足自反函数定义，故① 正确，排除C；对于③ ，要使f（x）= √1−x2有意义，则1-x2≥0，即-1≤x≤1，因为f（x）为[a，b]上的自反函数，所以[a，b]⊆[-1，0]或[a，b]⊆[0，1]，所以则b-a的最大值为1，③ 正确，排除B；对于④ ，因为互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，而f（x）为定义在R上的自反函数，故f（x）图象关于y=x对称且与y=x有交点，所以方程f（x）=x有解，故④ 正确；故选：D．【点评】：本题考查了反函数的求法，属于基础题．17.（问答题，14分）在四棱锥P-ABCD中，底面为梯形，AB || CD，∠BAP=∠CDP=90°，PA=PD=AB=2，PA⊥PD，四棱锥P-ABCD的体积为4．（1）求证：AB⊥平面PAD；（2）求PC与平面ABCD所成角．【正确答案】：【解析】：（1）证明CD⊥DP．AB⊥DP，然后证明AB⊥平面PAD．（2）作AD的中点E，连结PE，CE，说明PE为四棱锥P-ABCD的高，∠PCE为PC与平面ABCD所成角．通过四棱锥P-ABCD的体积，求解得CD=4．在Rt△PEC中，求解PC与平面ABCD所成角．【解答】：（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴AB⊥AP，CD⊥DP．又AB || CD，∴AB⊥DP．∵AP∩DP=P，AP，DP⊂面PAD，∴AB⊥平面PAD．（2）解：作AD的中点E，连结PE，CE，∵PA=PD，PA⊥PD，∴PE⊥AD，AD=2√2，PE=12AD=√2．由（1）AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，又AB∩AD=A，AB，AD⊂面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，即PE为四棱锥P-ABCD的高，∠PCE为PC与平面ABCD所成角．四棱锥P-ABCD的体积为4=13S梯形ABCD•PE=13•AB+CD2•AD•PE=13•2+CD2•2√2•√2，得CD=4．在Rt△PDC中，PC=√PD2+DC2=√22+42=2√5．在Rt△PEC中，sin∠PCE=PEPC =√22√5=√1010，∠PCE=arcsin√1010．所以PC与平面ABCD所成角为arcsin√1010．【点评】：本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用．考查空间想象能力以及计算能力．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=x，g（x）=x2-mx+4，m∈R．（1）当m=4时，解不等式g（x）＞|f（x）-2|．（2）若对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得g（x1）=f（x2），求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）当m=4时，不等式g（x）＞|f（x）-2|可化为|x-2|＞1，解之即可；（2）可求得当x∈[1，2]时，f（x）∈[1，2]，依题意，1≤x2-mx+4≤2恒成立⇔ (x+2x ) max≤m≤ (x+3x )min，利用对勾函数的性质分别求得(x+2x)max与(x+3x)min，即可求得实数m的取值范围．【解答】：解：（1）当m=4时，不等式g（x）＞|f（x）-2|可化为：|x-2|2＞|x-2|，即|x-2|＞1，解得x＞3或x＜1，故不等式g（x）＞|f（x）-2|的解集为{x|x＞3或x＜1}．（2）∵f（x）=x，∴当x∈[1，2]时，f（x）∈[1，2]；又g（x）=x2-mx+4，x∈[1，2]，对于任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使得g（x1）=f（x2）成立，∴g（x）的值域是f（x）的值域的子集，即当x∈[1，2]时，1≤x2-mx+4≤2恒成立⇔ (x+2x )max≤m≤ (x+3x)min，又当x∈[1，2]时，由对勾函数的性质可得y=x+ 2x ∈[2 √2，3]，y=x+ 3x∈[2 √3，4]，∴3≤m≤2 √3，即m的取值范围为[3，2 √3 ]．【点评】：本题考查函数恒成立问题与绝对值不等式的解法，考查化归与转化、函数与方程等数学思想，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，14分）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级．路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成120°角，树尖C着地处与树根A 相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设∠CAB=θ（A，B，C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．（1）若θ=45°，求折断前树的高度（结果保留一位小数）；（2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意结合正弦定理可得ABsin15°=CBsin45°=10sin120°，代入计算即可；（2）设△4BC的内接矩形DEFG的边DE在AC上且DE=2，设DG=EF=h，由∠CAB=θ，构建函数h= 8sinθsin(60°−θ)sin60°，再结合θ范围求得h范围，然后与救援车高比较即可得到答案．【解答】：解：（1）在△ABC中，∠CBA=120°，∠CAB=45°，所以∠BCA-15°，由正弦定理，得ABsin15°=CBsin45°=10sin120°，所以AB+BC= 10sin120°（sin15°+sin45°）= 15√2+5√63≈11.2，答：折断前树的高度11.2米；（2）如图，设△4BC 的内接矩形DEFG 的边DE 在AC 上且DE=2，设DG=EF=h ， 因为∠CAB=θ，∠CBA=120°，所以∠BCA=60°-θ， 所以AD+CE+DE= ℎtanθ + ℎtan (60°−θ) +2=10， 所以h[ cosθsinθ + cos (60°−θ)sin (60°−θ)]=8， h=8sinθsin (60°−θ)sin60° = √3√34 sin2θ- 1−cos2θ4 ）= 8√33sin (2θ+π6)−4√33， 因为θ∈（0， π3 ），所以 2θ+π6∈(π6，5π6) ， 所以sin （2θ+ π6 ）∈（ 12 ，1]，所以h∈（0， 4√33]， 由于4√33＜2.5， 所以高2.5米的救援车不能从此处通过．【点评】：本题考查了解三角形的应用，正弦定理，三角函数值域的求法，属于中档题． 20.（问答题，16分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点 A(√6，0) 在椭圆上，且 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3 ，点P ，Q 是椭圆上关于坐标原点O 对称的两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 在第一象限，PN⊥x 轴于点N ，直线QN 交椭圆于点M （不同于Q 点），试求∠MPQ 的值；（3）已知点R 在椭圆上，直线PR 与圆x 2+y 2=2相切，连接QR ，问： |PR||QR| 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【正确答案】：【解析】：第一问要弄清楚A 点就是椭圆的右顶点，第二问要设而不解，计算较繁琐，通过计算找出两直线PM 和PQ 是垂直关系，第三问要分直线PR 的斜率是否存在两种情况进行讨论．【解答】：解：（1）．∵点 A(√6，0) 在椭圆上． ∴a= √6 ．又∵ AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−c −√6，0) ， AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(c −√6，0) ．∴ AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6-c 2=3．∴c 2=3，b 2=3． ∴椭圆C的标准方程：x 26+y 23=1 ．（2）．设P （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0），M （x 1，y 1）则Q （-x 0，-y 0），N （x 0，0）． 因为M 、N 、Q 三点共线，所以 y 1x1−x 0=y02x 0，所以 y 1=y 0(x 1−x 0)2x 0① ． 联立 {x 026+y 023=1x 126+y 123=1，两式相减得 y 1−y 0x 1−x 0=−x 1+x2(y 1+y 0)． ② 将 ① 代入 ② 中的右边的分母中，化简可得： y 1−y 0x 1−x 0=−x 0y 0，所以K PM = −x0y 0，又因为K PQ = y 0x 0， 所以K PM •K PQ =-1，所以PM⊥PQ ， 所以∠MPQ= π2 ．（3）． ① 当直线PR 的斜率不存在时，依题意可得直线PR 的方程为x= √2 或x=- √2 ． 若直线PR ：x= √2 ，则直线PQ ：y=x ，可得P （ √2 ， −√2 ），Q （- √2 ，- √2 ），R （ √2 ，- √2 ）．则|PR|= 2√2 ，|QR|= 2√2 ，所以 |PR||RQ|=1 ． 其他情况由对称性同理可得 |PR||RQ|=1 ．② 当直线PR 的斜率存在时，设直线PR 的方程为y=kx+m ， 因为直线与圆O 相切，所以圆心O 到直线PR √k 2+1=√2 ，即|m|= √2(1+k 2) ．设P （x 1，y 1），R （x 2，y 2），则Q （-x 1，-y 1）．联立 {y =kx +m x 26+y 23=1 ，消去y ，得（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2-6=0，Δ＞0．则x 1+x 2= −4km 1+2k 2 ，x 1x 2= 2m 2−61+2k 2．所以|PR|= √1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =2√2√1+k 2•√6k 2−m 2+31+2k 2 = 2√2√1+k 2•√1+4k 21+2k 2． 因为|QR|= √(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2 ．又因为y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m= k (−4km1+2k 2)+2m =2m1+2k 2 ． 所以|QR|= √(−4km 1+2k 2)2+(2m1+2k 2)2= 2|m|√1+4k 21+2k 2 = 2√2√1+k 2•√1+4k 21+2k 2=|PR | ．即 |PR||QR|=1 ． 综上所述， |PR||QR|=1 ．【点评】：本题考查了椭圆的定义标准方程、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（问答题，18分）已知数列{a n }满足a 1=0，|a n+1-a n |=n ，且a n ≤ n−12(n ∈N ∗) ．（1）求a 4的所有可能取值；（2）若数列{a 2n }单调递增，求数列{a 2n }的通项公式； （3）对于给定的正整数k ，求S k =a 1+a 2+⋯+a k 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据数列的递推公式，即可求出a 4的所有可能取值；（2）根据数列{a 2n }单调递增，且a 2=-1，a 4=0，判断数列{a n }中相邻两项不可能同时为非负数，结合题意判断数列{a 2n }是等差数列，从而求出数列{a 2n }的通项公式；（3）根据（2）知a n ，a n+1不能都为非负数，讨论n 为奇数和n 为偶数时，a n+1+a n 的取值情况，从而求出k 为奇数时和k 为偶数时，S k 的最大值．【解答】：解：（1）数列{a n }满足a 1=0，|a n+1-a n |=n ，且a n ≤ n−12（n∈N *）， 所以|a 2-0|=1，a 2=1（不合题意，舍去），或a 2=-1； 当a 2=-1时，|a 3+1|=2，解得a 3=1，或a 3=-3；当a 3=1时，|a 4-1|=3，解得a 4=4（不合题意，舍去），或a 4=-2， 当a 3=-3时，|a 4+3|=3，解得a 4=0，或a=-6， 所以a 4的所有可能取值是-2，0，-6；（2）因为数列{a2n}单调递增，且a2=-1，a4=0，所以a2n≥0对n≥2成立；下面证明数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数；假设数列{a n}中存在a i，a i+1同时为非负数，因为|a i+1-a i|=i，若a i+1-a i=i，则a i+1=a i+i≥i＞(i+1)−12，与已知条件矛盾；若a i+1-a i=-i，则a i+1=a i+i≥i＞i−12，与已知条件矛盾；所以假设错误，即数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数，即a2n≥0对n≥2成立；所以当n≥2时，a2n-1≤0，a2n+1≤0，即a2n-1≤a2n，a2n+1≤a2n，所以a2n-a2n-1=2n-1，a2n-1-a2n-2=-（2n-2），（a2n-a2n-1）+（a2n-1-a2n-2）=（2n-1）-（2n-2）=1，即a2n-a2n-2=1，其中n≥2，即数列{a2n}是首项为-1，公差为1的等差数列，所以数列{a2n}的通项公式为a2n=-1+（n-1）×1=n-2；（3）对于给定的正整数k，S k=a1+a2+⋯+a k，由（2）的证明知，a n，a n+1不能都为非负数，当a n≥0时，a n+1＜0，根据|a n+1-a n|=n，得到a n+1=a n-n，所以a n+a n+1=2a n-n≤2× n−12-n≤-1，当a n+1≥0时，a n＜0，根据|a n+1-a n|=n，得到a n=a n+1-n，所以a n+a n+1=2a n+1-n≤2× n+1−12-n≤0，所以总有a n+a n+1≤0成立，当n为奇数时，|a n+1-a n|=n，所以a n+1，a n的奇偶性不同，则a n+a n+1≤-1，当n为偶数时，a n+1+a n≤0，所以k为奇数时，S k=a1+（a2+a3）+...+（a k-1+a k）≤0，考虑数列：0，-1，1，-2，2，...，- k−12，k−12，...，可以验证所给的数列满足条件，且S k=0，所以S k的最大值为0．得到a n+1=a n-n，所以a n+a n+1=2a n-n≤2× n−12-n≤-1，当k为偶数时，S k=（a1+a2）+...+（a k-1+a k）≤- k2，考虑数列：0，-1，1，-2，2，...，- k−12，k−12，- k2，...，可以验证所给的数列满足条件，且S k=- k2，所以S k的最大值为- k2．综上知，k为奇数时，S k的最大值为0，k为偶数时，S k的最大值为- k2．【点评】：本题考查了递推数列的应用问题，也考查了推理与运算能力，以及分类讨论思想，是难题．。
河南省信阳市2021届高三上学期第一次教学质量检测试题数学(理)Word版含答案
★2021年10月15日2021－2021学年普通高中高三第一次教学质量检测.数学(理科)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两局部。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
考前须知：1.答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置。
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
＝{x||x－2|≤1}，B＝{x|y，那么A∩B等于A.[－1，2]B.(2，3]C.[1，2)D.[1，3)2.假设函数f(x)＝(m2－2m－2)x m－1是幂函数，那么m等于A.－13.[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx＋x－4的零点，那么g(x0)等于4.近年来，随着“一带一路〞建议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路〞沿线国家的游客人数也越来越多，如图是2021－2021年中国到“一带一路〞沿线国家的游客人次情况，那么以下说法正确的选项是①2021－2021年中国到“一带一路〞沿线国家的游客人次逐年增加②2021－2021年这6年中，2021年中国到“一带一路〞沿线国家的游客人次增幅最小③2021－2021年这3年中，中国到“一带一路〞沿线国家的游客人次每年的增幅根本持平A.①②③B.②③C.①②D.③5.命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >x 2；q ：“ab>4〞是“a>2，b>2〞的充分不必要条件，那么以下命题为真命题的是∧qB.⌝p ∧q ∧⌝q D.⌝p ∧⌝q△ABC 中，∠ABC ＝4π，AB ，BC ＝3，那么sin ∠BAC 等于A.10B.5C.10D.5 7.我国著名数学家华罗庚先生曾说图像数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
2021年高三上学期11月月考(期中)数学(理)试题 Word版含答案
2021年高三上学期11月月考（期中）数学（理）试题 Word版含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题题5分，满分60，每小题只有一个正确答案）1．已知集合，则（） .A． B． C． D．2．复数z满足（1＋i）z＝2i，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函数，则=（）.A． B． C． D．4．函数的零点所在的一个区间是（）（A）（B）（C）（D）5．已知向量，且，则实数＝（）A．－1 B．2或－1 C．2 D．－26．中，角所对的边分别为，若（）．A． B． C． D．7．下列命题中的假命题是（）A． B．C． D．8．函数的图象中相邻的两条对称轴间距离为（）．A． B． C． D．9．已知，若，则（）.A. B． C. D.10．等差数列中， =12，那么数列的前7项和=（）A．22 B．24 C．26 D．2811．.已知实数成等差数列，且曲线的极大值点坐标为，则等于（）A． B． C． D．12.若数列的通项公式分别是，，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20）13．已知向量，向量的夹角是，，则等于_______．14．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为______________．15.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是．16.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，满分70分，需写出必要的推理或计算过程）17．（本小题满10分）在平面直角坐标系中，已知圆（为参数）和直线（为参数）。
（1）求圆的普通方程。
（2）求圆被直线所截得的弦长。
18.(本小题满分12分）已知向量(cos sin,2sin),(cos sin,cos)a x x xb x x x=+=-.令，（1）求的最小正周期；（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的值.19．(本小题满分12分）已知在正项数列{a n}中，a1＝2，点A n(a n，a n＋1)在双曲线y2－x2＝1上，数列{b n}中，点(b n，T n)在直线y＝－12x＋1上，其中T n是数列{b n}的前n项和．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：数列{b n}是等比数列；(3)若c n＝a n·b n，求证数列是递减数列。
江西省南昌市第二中学2021届高三数学上学期第三次考试试题 理(1)
南昌二中2021—2021学年度上学期第三次考试高三数学（理）试卷【试卷综析】试题的题型比例配置与高考要求一致，全卷重点考查中学数学骨干知识和方式，偏重于中学数学学科的基础知识和大体技术的考查，偏重于知识交汇点的考查.在函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其在解答题，涉及高中数学的重点知识.明确了教学方向和考生的学习方向.本卷具有必然的综合性，很多题由多个知识点组成，在适当的计划和难度操纵下，成效明显，通过知识交汇的考查，对考生数学能力提出了较高的要求，提高了区分度，完全符合课改的要求和学生学习的实际情形.一、选择题：本大题共10个小题；每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，有且只有一项为哪一项符合题目要求的．【题文】1.{}{}等于，则，已知集合N M x x N x x M 1log |11|2<=<<-=( ) A.{}10|<<x x B.{}21-|<<x x C.{}01-|<<x x D.{}11-|<<x x【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】A 解析：由N 中的不等式变形得：log2x ＜1=log22，即0＜x ＜2， ∴N={x|0＜x ＜2}，∵M={x|﹣1＜x ＜1}，∴M∩N={x|0＜x ＜1}．应选：A ． 【思路点拨】求出N 中不等式的解集确信出N ，找出M 与N 的交集即可． 【题文】2．以下命题的说法错误的选项是（ ）A ．命题“假设2320,x x -+= 那么 1=x ”的逆否命题为：“假设1≠x , 那么2320x x -+≠”.B ．“1=x ”是“2320x x -+=”的充分没必要要条件.C ．关于命题:,p x R ∀∈210,x x ++> 那么:,p x R ⌝∃∈210.x x ++≤ D ．假设q p ∧为假命题，那么q p ,均为假命题.【知识点】特称命题；复合命题的真假；命题的真假判定与应用．A2【答案解析】D 解析：命题“假设x2﹣3x+2=0，那么x=1”的逆否命题为：“x≠1，那么x2﹣3x+2≠0”．选项A 正确；假设x=1，那么x2﹣3x+2=0．反之，假设x2﹣3x+2=0，那么x=1或x=2．∴“x=1是“x2﹣3x+2=0”的充分没必要要条件．选项B 正确；命题p ：∀x ∈R ，x2+x+1＞0为全称命题，其否定为特称命题，即￢p ：∃x0∈R ，．选项C正确；假设p ∧q 为假命题，那么p 或q 为假命题．选项D 错误．应选：D ．【思路点拨】直接写出原命题的逆否命题判定A ；求出一元二次方程x2﹣3x+2=0的解判定B ；直接写出全称命题的否定判定C ；由复合命题的真值表判定D ．【题文】3．已知3cos()45x π-=，那么sin 2x =（ ） A ．1825B ．725C ．725-D ．1625-【知识点】二倍角的正弦．C6 【答案解析】C 解析：∵cos2（﹣x ）=2cos2（﹣x ）﹣1=﹣，∴cos （﹣2x ）=﹣即sin2x=﹣．应选：C ． 【思路点拨】依照倍角公式cos2（﹣x ）=2cos2（﹣x ）﹣1，依照诱导公式得sin2x=cos （﹣2x ）得出答案．【题文】4．已知函数⎩⎨⎧>≤--=-)7()7(3)3()(6x a x x a x f x ，假设数列}{n a 知足)(n f a n =，且}{n a 单调递增，那么实数a 的取值范围为( )A ．)3,2(B ．)3,1(C ．)3,49(D ．)3,49[【知识点】数列的函数特性．D1【答案解析】A 解析：依照题意，an=f （n ）=；要使{an}是递增数列，必有；解可得，2＜a ＜3；应选A ．【思路点拨】依照题意，第一可得an 通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判定方式，【题文】5．在△ABC 中，已知||4,||1AB AC ==，3ABCS ∆=，那么AB AC ⋅的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4±D ．2±【知识点】平面向量数量积的运算．F3【答案解析】D 解析：∵=，∴sinA=；∴cosA=±∴==4×1×（±）=±2，应选：D ．【思路点拨】先依照三角形的面积公式可求得A 的正弦值，从而可求得余弦值，依照向量的数量积运算可取得AB AC ⋅的值．【题文】6．由曲线1=xy ，直线3,==y x y 所围成的平面图形的面积为( )A.329B ．2－ln 3C ．4＋ln 3D ．4－ln 3【知识点】定积分在求面积中的应用．B13【答案解析】D 解析：由xy=1，y=3可得交点坐标为（，3），由xy=1，y=x 可得交点坐标为（1，1），由y=x ，y=3可得交点坐标为（3，3）， ∴由曲线xy=1，直线y=x ，y=3所围成的平面图形的面积为（3﹣）dx+（3﹣x ）dx=（3x ﹣lnx ）+（3x ﹣x2）=（3﹣1﹣ln3）+（9﹣﹣3+）=4﹣ln3，应选：D ．【思路点拨】确信曲线交点的坐标，确信被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可取得结论．【题文】7．假设32()132x a f x x x =-++函数在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极值点,那么实数a 的取值范围是( ) A.52,2⎛⎫⎪⎝⎭B.52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【知识点】利用导数研究函数的极值．B12【答案解析】C 解析：∵函数f （x ）=﹣x2+x+1，∴f′（x ）=x2﹣ax+1，假设函数f （x ）=﹣x2+x+1在区间（，3）上有极值点，那么f′（x ）=x2﹣ax+1在区间（，3）内有零点，即f′（）•f′（3）＜0 即（﹣a+1）•（9﹣3a+1）＜0，解得2＜a ＜．应选C ．【思路点拨】由函数f （x ）=﹣x2+x+1在区间（，3）上有极值点，咱们易患函数的导函数在区间（，3）内有零点，结合零点存在定理，咱们易构造出一个关于a 的不等式，解不等式即可取得答案． 【题文】8.设函数()()()ϕωϕω+++=x x x f cos sin (0,)2πωφ><的最小正周期为π，且()()x f x f =-，那么（ ）．A ．()(0,)2f x π在单调递减 B ．()x f 在3(,)44ππ单调递减C ．()(0,)2f x π在单调递增 D ．()x f 在3(,)44ππ单调递增【知识点】由y=Asin （ωx+φ）的部份图象确信其解析式；正弦函数的单调性．C4 【答案解析】A 解析：由于f （x ）=sin （ωx+ϕ）+cos （ωx+ϕ）=，由于该函数的最小正周期为π=，得出ω=2， 又依照f （﹣x ）=f （x ），和|φ|＜，得出φ=．因此，f （x ）=cos2x ，假设x∈，那么2x∈（0，π），从而f （x ）在单调递减，假设x∈（，），那么2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B ，C ，D 都错，A 正确． 应选A ．【思路点拨】利用辅助角公式将函数表达式进行化简，依照周期与ω的关系确信出ω的值，依照函数的偶函数性质确信出φ的值，再对各个选项进行考查挑选．【题文】9．函数)(x f y =在[0，2]上单调递增，且函数)2(+x f 是偶函数，那么以下结论成立的是（ ）A ．f （1）＜f （）＜f （）B ．f （）＜f （1）＜f （）C ．f （）＜f （）＜f （1）D ．f （）＜f （1）＜f （） 【知识点】奇偶性与单调性的综合．B3 B4【答案解析】B 解析：∵函数y=f （x ）在[0，2]上单调递增，且函数f （x+2）是偶函数， ∴函数y=f （x ）在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上函数y=f （x ）知足f （2﹣x ）=f （2+x ） 即f （1）=f （3）∵f（）＜f （3）＜f （），∴f（）＜f （1）＜f （），应选B【思路点拨】由已知中函数y=f （x ）在[0，2]上单调递增，且函数f （x+2）是偶函数，咱们可得函数y=f （x ）在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上函数y=f （x ）知足f （2﹣x ）=f （2+x ），由此要比较f （），f （1），f （）的大小，能够比较f （），f （3），f （）．【题文】10．如图，把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，极点A （0,1），一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM=x ，直线AM 与x 轴交于点N （t ，0），那么函数()t f x =的图像大致为（ ） 【知识点】函数的图象．菁优B10【答案解析】D 解析：当x 由0→时，t 从﹣∞→0，且单调递增，由→1时，t 从0→+∞，且单调递增，∴排除A ，B ，C ，应选：D ．【思路点拨】依照动点移动进程的规律，利用单调性进行排除即可取得结论． 二、填空题：本大题共5个小题；每题5分，共25分．【题文】11．假设直线y x =是曲线3231y x x ax =-+-的切线，那么a 的值为 . 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程.网版权所有B12【答案解析】4=a 或411-=a 解析：由y=x3﹣3x2+ax ﹣1，得：y′=3x2﹣6x+a ．设直线y=x 与曲线y=x3﹣3x2+ax ﹣1切于（），又=，因此，①由（）在直线y=x 上，∴②由①得，③把③代入②得：整理得：，即，因此，x0=1或．当x0=1时，a=1+6×1﹣3×12=4． 当时，a==．因此a 的值为4或114． 故答案为4或114．【思路点拨】设出直线y=x 与曲线y=x3﹣3x2+ax ﹣1的切点，求出曲线在切点处的导数值，由导数值等于1列一个关于切点横坐标和a 的方程，再由切点在直线y=x 上得另一方程，两个方程联立可求a 的值．【题文】12．设函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,20,22x x x bx x x f 若)0()4(f f =-，那么函数)2ln()(+-=x x f y 的零点个数有 个.【知识点】根的存在性及根的个数判定．B9【答案解析】4 解析：∵函数f （x ）=，f （﹣4）=f （0），∴b=4，∴f（x ）=，f （x ）=与y=ln （x+2）的图象如下图，∴函数y=f （x ）﹣ln （x+2）的零点个数有4个，故答案为：4．【思路点拨】先求出b ，再做出f （x ）=与y=ln （x+2）的图象，即可得出结论．【题文】13．函数()3sin(20)5sin(80).f x x x =+++的值域为 ．【知识点】两角和与差的正弦函数．菁C5【答案解析】［－7，7］ 解析：∵sin（x+80°）=sin[（x+20°）+60°]=sin （20°+x）+cos （20°+x），∴f（x ）=3sin （20°+x）+5sin （x+80°）=3sin （20°+x）+[sin （20°+x）+cos （20°+x）]=sin （20°+x）+cos （20°+x）=sin （20°+x+φ）=7sin （20°+x+φ），∴f（x ）∈[﹣7，7]，故答案为：[﹣7，7]．【思路点拨】利用两角和的正弦可求得sin （x+80°）=sin[（x+20°）+60°]=sin （20°+x）+cos （20°+x），再利用辅助角公式可得f （x ）=7sin （20°+x+φ），于是可得其值域．【题文】14．已知向量,a b 知足(1,3)=b ，()3⋅-=-b a b ，那么向量a 在b 上的投影为_________. 【知识点】平面向量数量积的运算．F3【答案解析】12 解析：∵向量，知足=（1，），•（﹣）=﹣3，∴=2，﹣22=﹣3，化为=．∴向量在上的投影为．故答案为：．【思路点拨】利用数量积的概念和投影的概念即可得出． 【题文】15．给出以下四个命题：①函数1y x =-在R 上单调递增；②假设函数122++=ax x y 在(]1,-∞-上单调递减，那么1a ≤;③假设0.70.7log (2)log (1)m m <-,则1m >-;④假设)(x f 是概念在R 上的奇函数，那么0)1()1(=-+-x f x f . 其中正确的序号是 . 【知识点】命题的真假判定与应用．A2 【答案解析】②④ 解析：①函数在R 上单调递增是错误的，只能说函数在每一个象限上单调递增，故①错②假设函数y=x2+2ax+1在（﹣∞，﹣1]上单调递减只需知足对称轴x=≥﹣1，即a≤1，故②正确③假设log0.7（2m ）＜log0.7（m ﹣1），先注意概念域，再利用对数函数单调性解不等式，2m ＞m ﹣1，2m ＞0，m ﹣1＞0三个不等式同时成立，即m ＞1，故③错误④假设f （x ）是概念在R 上的奇函数，那么f （x ）+f （﹣x ）=0成立，把x 从头看成1﹣x 即可，便取得f （1﹣x ）+f （x ﹣1）=0，故④正确 故答案为：②④【思路点拨】此题考查函数的单调性、解对数型不等式、函数奇偶性问题。
2021届北京市朝阳区高三上学期期中考试质量检测数学试题
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件北京市朝阳区2020〜2021学年度第一学期期中质量检测高三数学试卷2020.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项.1.已知集合4 =卜52-工一2<0}, B = {-1,0,123},则AA8 =【答案】B3sin( -- x)=」，贝ij sin2A-(2 5【答案】C4.如图，在aABC 中，。
是BC 的中点,若= = （【答案】c51加>11西'是“3°>3g 的（） B. {TO 』,2}C. {0,1,2}D. {0,123}12A.— 25n24 B.— 25c 24 D. 一一25【答案】B3.己知〃 =2-，b = log?!，c ~ a ，贝 Ij(J£ DA. a>b>cB. a>ohC. c>a>bD. c>b> aA- 3a-2bB. a-2bD.C.充分必要条件【答案】A6.已知函数/(x)=弓sin — (刃＞ 0)的图象与直线尸1的相邻两个交点间的距离等于冗,贝力/U) 的图象的一条对称轴是() 乃九冗A. x =---- B. x =—C. x =---12123【答案】D7.在aABC 中，AB=4, AC=3,且I 而+/1=19一正I,则CX =( A. -12B. -9C. 9【答案】B1 38.己知,ZU)是定义在R 上的偶函数，且当X £(-8, 0]时，/(工)=2'+ —，则/(1(^2二)=()3 2 1711 A. —B. 1C. -D.—27 11【答案】B9.己知函数/*•) =「+ 7'若存在实数叽使得/(〃?)= 2/一4。
江苏省无锡市2021届高三上学期期中考试数学试题(解析版)
2江苏省无锡市2021届高三上学期期中考试数学试题2020．11一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．复数z ＝i (﹣1﹣2i )的共轭复数为A ．2﹣iB ．2＋iC ．﹣2＋iD ．﹣2﹣i【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意可知z ＝i (﹣1﹣2i )=-i +2，则其共轭复数为2＋i.故答案选B.2．设集合M ＝{}2x x x =，N ＝{}lg 0x x ≤，则M N ＝A ．{1}B ．(0，1]C ．[0，1]D ．(-∞，1]【答案】C【考点】集合的交集运算【解析】由题意可知{}10，=M ，{}10|≤<=x x N ，则M N ＝[0，1].故答案选C. 3．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用．比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用．若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为A ．24B ．26C ．28D ．302【答案】B【考点】文化题（数列的通项与求和）【解析】由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6，其中1+1+2+3+1+0=8，则211820191820b b S b b S S ++=++=261183=++⨯=，故答案选B.4．已知函数1, 1()(2), 1x mx x f x n x +<⎧=⎨-≥⎩，在R 上单调递增，则mn 的最大值为 A ．2 B ．1 C ．94 D ．14【答案】D【考点】分段函数的单调性、基本不等式综合【解析】由题意可知，函数在R 上单调递增，则m >0，2-n >1，且m ×1+1≤(2-n )1，解得m >0，n <1，m +n ≤1，则由基本不等式可得mn 4121222=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤n m ，当且仅当m=n=21时取等号.故答案选D. 5．一质点在力1F ＝(﹣3，5)，2F ＝(2，﹣3)的共同作用下，由点A(10，﹣5)移动到B(-4，0)，则1F ，2F 的合力F 对该质点所做的功为A ．24B ．﹣24C ．110D ．﹣110【答案】A【考点】平面向量在物理中的应用【解析】由题意可知，1F ，2F 的合力F ==1F +2F ==(﹣3，5)+(2，﹣3)=(﹣1，2)，()()51450104，，-=+--=→AB ，则由共点力平衡得合力F 对该质点所做的功为2()()2451421=-⋅-=⋅→→，，AB F .故答案选A. 6．已知函数2()(1)sin f x a x a x =--是奇函数，则曲线()y f x =在点(0，0)处的切线斜率为A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣1【答案】D【考点】函数的奇偶性与函数的切线方程【解析】由题意函数为奇函数可知a -1=0，则函数可化为()x x f sin -=，则()()10cos -='-='f x x f ，，则由导数得几何意义可知曲线()y f x =在点(0，0)处的切线斜率为-1.故答案选D.7．若cos(15°＋α)＝3，则sin(60°﹣2α)＝ A． B． C ．59 D ．59- 【答案】D【考点】三角函数的公式运用【解析】由题意()()()95194115cos 2152cos 230cos 2-=-=-+︒=+︒=+︒ααα，则sin(60°﹣2α)＝()[]()95230cos 26090cos -=+︒=-︒-︒=αα.故答案选D.8．某数学兴趣小组对形如32()f x x ax bx c =+++的某三次函数的性质进行研究，得出如下四个结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论一定是A ．函数()f x 的图象过点(2，1)B ．函数()f x 在x ＝0处有极小值2C ．函数()f x 的单调递减区间为[0，2]D ．函数()f x 的图象关于点(1，0)对称【答案】B 或C【考点】三角函数的图象与性质运用【解析】由题意对于A 选项，()12482=+++=c b a f ；对于B 选项，()()00232=='++='b f b ax x x f ，；对于C 选项，由递减区间可得()()0412200=++='=='b a f b f ，；对于D 选项，函数()f x 的图象关于点(1，0)对称，则有()()011=-++x f x f ，可赋值得到：当x =0时，()012=f ，当x =1时，()()002=+f f ，即可得到010248=+++=++++c b a c c b a 与，综上可知选项B 、C 矛盾，则由A 选项和D 选项解得a =-3，b =3，c =-1，即()()3231133-=-+-=x x x x x f ，则选项BC 错误. 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下列结论正确的有A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2B ．命题“∀x ＞0，2x ≥x 2”的否定是“∃x ＞0，2x ＜x 2”C ．“三个连续自然数的乘积是6的倍数”是存在性命题D ．“x ＜1”是“1122x -<”的必要不充分条件 【答案】BD【考点】不等式的性质、常用逻辑用语中否定、存在性命题、条件考查【解析】由题意可知，对于A 选项，当c =0时不满足，则选项A 错误；2 对于B 选项，否定形式正确，则选项B 正确；对于C 选项，该命题表示任意三个连续的数满足题意，所以为全称性命题，则选项C 错误；对于D 选项，2121<-x 解得10<<x ，显然10<<x 为x ＜1的真子集，则“x ＜1”是“1122x -<”的必要不充分条件，选项D 正确，故综上答案选BD. 10．函数()3sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，0＜ϕ＜π)(x ∈R)在一个周期内的图象如图所示，则A ．函数()f x 的解析式为5()3sin(2)8f x x π=+(x ∈R) B ．函数()f x 的一条对称轴方程是58x π=- C ．函数()f x 的对称中心是(8k ππ-，0)，k ∈ZD ．函数7()8y f x π=+是偶函数 第10题 【答案】BD【考点】三角函数的图象与性质应用【解析】由图象可知周期为πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=8832T ，所以22==T πω，由图象过⎪⎭⎫ ⎝⎛-08，π，则Z k k ∈+=+⨯-，ππϕπ2228，解得Z k k ∈+=，ππϕ243，又0＜ϕ＜π，则043==k ，πϕ，所以函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432sin 3πx x f .对于A 选项，不正确；对于B 选项，当58x π=-时，343852sin 385-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πππf ，为最小值，选项2B 正确；对于C 选项，当8ππ-=k x 时，343822sin 38=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πππππk k f ，显然对称中心不是(8k ππ-，0)，故选项C 错误；对于D 选项，x x x x f y 2cos 3222sin 3438722sin 387=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππππ，为偶函数，故选项D 正确.综上，答案选BD.11．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a n a a n +=+-(n N *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则 A ．11a = B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >【答案】BC【考点】数列的通项与求和 【解析】由121n n n a n a a n +=+-可知nn n n n a n a a n a a n 1121-+=-+=+，即n n n a n a n a 11--=+， 当n =1时，则211a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；n n a a a S +++= 21 11112312011201+++=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n a n a a n a n a n a a a a ，所以n a S n n =+1，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误.综上，答案选BC.12．函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托2 尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，因此，下列对应法则f 满足函数定义的有A ．(sin )cos 2f x x =B ．(sin )f x x =C ．(1)f x x -=D ．2(2)1f x x x +=+【答案】AD【考点】文化题（函数的概念）【解析】对于A 选项，()x x x f 2sin 212cos sin -==，则()221x x f -=，满足函数的概念，故选项A 正确；对于B 选项，可代入特殊值验证65621ππ或可以为，则x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛，则不满足y 有唯一的值，故选项B 错误；对于C 选项，同样可以带入特殊值验证()1f ，则x 可以为1或0，同样不满足y 有唯一的值，故选项C 错误；对于D 选项，可令t x x =+22，则()221112+=+=++x t x x ，则()()111-≥+=+=t t x t f ，，满足函数的概念，故选项D 正确；综上，答案选AD.三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，M ，N 是BC 上的两动点，且MN ＝2，则AM DN ⋅的最小值为 ．【答案】82【考点】平面向量的线性运算、数量积综合 第13题【解析】由题意AB ⊥CN ，BN ⊥DC ，且可设BM=x ，则CN=2-x ，（0<x <2）则→→→→→→→→→→→→→→→⋅+++=⋅+⋅+⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅CN BM CN BM DC BM CN AB AB CN DC BM AB DN AM 0092()()209229180cos 92<<+-=--=︒⋅+=→→x x x x x CN BM ，，则x 2-2x +9=（x -1）2+8≥8，当x =1时取得最小值.14．在等比数列{}n a 中，22a =，516a =，则23102310a a a +++＝ ．【答案】9216【考点】等比数列、错位相减法求和【解析】由题意在等比数列{}n a 中，可解得a 1=1，q =2，则23102310a a a +++＝m =⋅++⋅+⋅+⋅9321210242322 ，则m 221024232210432=⋅++⋅+⋅+⋅ ，两式相减可得()m -=⋅-+++++⋅1094321210222222 ，则()2121222821--+⋅=-m 9216292101010-=⋅-=⋅-，则原式=m =9216.15．函数sin(2)4y x π=+的图像与直线y ＝a 在(0，98π)上有三个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围为 ．【答案】(54π，118π) 【考点】三角函数的性质与函数的零点【解析】由题意因为x∈(0，98π)，则⎪⎭⎫⎝⎛∈+25442πππ，x，可画出函数大致的图象则由图可知当122<<a时，方程()axf=有三个根，由8242πππ==+xx解得，852342πππ==+xx解得，且点()01，x与点()02，x关于直线8π=x对称，点()02，x与点()03，x关于直线85π=x对称，所以421π=+xx，893ππ<<x，则81145321ππ<++<xxx，即⎪⎭⎫⎝⎛∈++81145321ππ，xxx.16．已知函数3ln,1(),1x xf xx x x≥⎧=⎨-+<⎩，令()()g x f x kx=-，当k＝﹣2e2时，有0()0g x=，则x＝；若函数()g x恰好有4个零点，则实数k的值为．（本题第一空2分，第二空3分）【答案】0，1e【考点】双空题：函数取值与函数零点【解析】由题意可知当x≥1时，()02ln2>+=xexxg恒成立，所以x0<0；当x<1时，()0223=++-=xexxxg，可化简得()02122=++-exx，则2210exx+-==或；由上述题意该分段函数在x=0时为其一个零点，则当0≠x时，可令()0=-kxxf，22则解得⎩⎨⎧=≥≠<+-1ln0112x x x x x x k ，，且，，若方程有四个解，则e k 1=. 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在边AB ，AD ，BC 上，且满足AE ＝13AB ，AF ＝13AD ，BG ＝23BC ，设AB ?a =，AD b =． （1）用a ，b 表示EF ，EG ；（2）若EF⊥EG ，AB EG 2a b ⋅=⋅，求角A 的值．【考点】平面向量的线性运算即数量积应用【解析】（1）由平面向量的线性运算可知a b AB AD AE AF EF 31313131-=-=-=→→→→→， a b AD AB BG EB EG 32323232+=+=+=→→→→→． （2）由题意因为EF⊥EG ，所以()()()()a b a b a b a b EG EF +-=+⋅-=⋅→→923231 ()()()()09292323122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+⋅-=⋅→→a b a b a b a b a b EG EF ，解得22a b =， 所以()A b a a A b a a b a EG AB cos 232cos 32322 =+=+⋅=⋅→→，则可化简上式为A A cos 2cos 3232=+，解得.321cos π==A A ，则 18．（本小题满分12分）2如图，设矩形ABCD(AB ＞BC)的周长为m ，把⊥ABC 沿AC 翻折到⊥AB′C ，AB′交DC 于点P ，设AB ＝x ． （1）若CP ＝2PD ，求x 的值； （2）求⊥ADP 面积的最大值．【考点】三角函数中的实际问题【解析】（1）由题意可知在⊥ABC 中，可设θ=∠=∠CAP CAB ，则由角度关系可得θθπ222=∠-=∠APD PAD ，，设BC=y ，且θπθθtan 332tan tan ===yxy ，，则有33tan tan 3tan 1tan 22tan 2==-=θθθθθ，解得，则有x y 33=， ∴m x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+332，最后解得()m x 433-=． （2）由题意可设θ=∠=∠CAP CAB ，则θθπ222=∠-=∠APD PAD ，，且()10tan ，∈θ，则有()m x x =⨯+2tan θ，解得()θtan 12+=m x ，即AD=BC=()θθtan 12tan +m ，∴()m m AD PD 4tan 1tan 2tan 1tan 12tan 2tan 2θθθθθθ-=-⋅+==， 则S ⊥ADP =()θθθθθθtan 1tan tan 164tan 1tan 12tan 21222+-⋅=-⋅+⋅m m ，令()21tan 1，，则∈=+t t θ2所以S ⊥ADP =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=-+-⋅=---⋅32162316111622222t t m t t t m t t t m ≤()223162-⋅m ，当且仅当22==t tt ，即时取等号. 则⊥ADP 面积的最大值为()223162-⋅m .19．（本小题满分12分）已知⊥ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足cosAsin(A ﹣6π)＝14．（1）求⊥BAC 的值；（2）若A，sinB＝7，AM 是BC 边上的中线，求AM 的长．【考点】三角函数与解三角形 【解析】（1）由cosAsin(A ﹣6π)＝14．可化简得416sin cos 6cos sin cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππA A A即()A A A A A A A 2cos 32sin 4122cos 1232sin 41cos 23cos sin 212-=+⋅-=-24143=-，即162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA ， ∵()π，0∈A ，∴326265662ππππππ==-⎪⎭⎫⎝⎛-∈-A A A ，，则，. （2）由题意在⊥ABC 中，可由正弦定理得B b A a sin sin =，代入化简得721237b=，解得b =2．又由余弦定理可得A bc c b a cos 2222-+=，代入化简得c c 2472-+=，解得c =3.则在⊥AMB 中，由余弦定理可得BM AB AM BM AB B ⋅-+=2cos 222，在⊥ABC 中，由余弦定理可得BCAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222，两式联立可得()77322732732273222222⋅⋅-+=⋅⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+AM ，解得219=AM 20．（本小题满分12分）定义在R 上的函数()f x 满足以下两个性质：⊥()()0f x f x -+=，⊥(1)f x +=(2f )x -，则称函数()f x 具有性质P ．（1）判别函数33221()e ex x f x -+=-，2()cos()32x f x ππ=+是否具有性质P ？请说明理由；（2）若函数()g x 具有性质P ，且函数()g x 在(﹣10，10)有n 个零点，求n 的最小值．2【考点】新定义函数的性质综合应用 【解析】（1）由题意()()02323232311=-+-=+-+--+x x x x eeeex f x f ，且()()x x x x eex f eex f --+--=-≠-=+232112521121，则()x f 1不具有性质P .又因为()()03sin 3sin 23cos 23cos 22=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-x x x x x f x f ππππππ，且()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+33sin 323cos 12πππππx x x f ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-33sin 2333cos 22πππππx x x f则()()x f x f -=+2122，即()x f 2具有性质P .（2）若函数()g x 具有性质P ，则满足()()0=+-x g x g 且()()x g x g -=+21，则()g x 在R 上为奇函数，且一个周期为6，则()00=g ，()06=g ，()06=-g ，而由()()x g x g =+6，可得()()33-=g g ，所以()()33g g -=，所以()()033=-=g g ，所以()()099=-=g g ，则函数()g x 在(﹣10，10)有n 个零点，即为0，3，-3，6，-6，9，-9，n 的最小值为7.21．（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且满足1111a b =-=，21441n n a S n +=++，481b a =+．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；2（2）若不等式2(4)(1)n n n a b m a ->-对于任意n N *∈恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】等差、等比数列的证明、恒成立问题【解析】（1）由21441n n a S n +=++①，则当n ≥2时()114412+-+=-n S a n n ②，则①-②可得444441221+=+-=--+n n n n n a S S a a ，所以()2221244+=++=+n n n n a a a a ，因为0>n a ，则()221≥+=+n a a n n ，当n =1时，3542122=+=a a a ，则，此时212=-a a 亦满足上式，所以21=-+n n a a ，所以数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列.（2）由（1）知()12121-=-+=n n a n ，且215411122=+=+=a b a a ，则，16115184=+=+=a b ， 因为数列{}n b 为等比数列，则设公比为q ，所以28143===q b b q ，则，所以n n n b 2221=⋅=-，所以2(4)(1)n n n a b m a ->-可化简为 ()()()2224212-≥-⋅-n m n n，则()()()max2212224⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--≥-n n n m ，可令()()nn n n c 212222⋅--=， ()()()()()()()()()()()1231222121212122524212122414124212142124++++⋅-++--=⋅-++---=⋅---⋅+=-n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c c 令()()*230252N n n n n n f ∈>+-=，且，所以()()5321062-=-='n n n n n f ，令()0='n f ，解得35=n ，则当⎪⎭⎫⎝⎛∈350，n 时()0<'n f ，即()n f 单调递减；当⎪⎭⎫⎝⎛∞+∈，35n 时()0>'n f ，即()n f 单调递增，且()()，，022011<-=<-=f f2()0113>=f ，所以当21≤≤n 时，01>-+n n c c ，321c c c <<；当3≥n 时，01<-+n n c c ，则 >>>543c c c ，所以()523max ==c c n ，则()()()52212224max 2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--≥-n n n m ， 解得518<m .所以实数m 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-518，.22．（本小题满分12分）已知函数()ln 2f x ax x x =+(a ∈R)． （1）讨论()f x 的极值；（2）若a ＝2，且当2e x -≥时，不等式2()(ln )4ln 2mf x x x ≥++恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】函数的极值与恒成立综合应用【解析】（1）由题意函数()x f 的定义域为()∞+，0，且()2ln ++='a x a x f ∴①当a =0时，()02>='x f 恒成立，则()x f 在定义域上单调递增，此时无极值；②当a ≠0时，()⎪⎭⎫ ⎝⎛++='a x a x f 21ln ，可令()0='x f ，解得a e x 21--=，所以（i ）当a >0时，且当aex 210--<<时，此时()0<'x f ，即()x f 单调递减；当aex 21-->时，此时()0>'x f ，即()x f 单调递增，则()x f 的极小值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a e f 21= aae21---，无极大值；2（ii ）当a <0时，且当aex 210--<<时，此时此时()0>'x f ，即()x f 单调递增；当aex 21-->时，此时()0<'x f ，即()x f 单调递减，则()x f 的极大值为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a e f 21= aae21---，无极小值；综上所述，当a =0时，()x f 无极值；当a >0时，()x f 有极小值aae 21---，无极大值；当a <0时，()x f 有极大值aae21---，无极小值.（2）若a ＝2，()x x x x f 2ln 2+=，不等式化为()()2ln 4ln 2ln 22++≥+x x x x x m则令[)∞+-∈=，，2ln t t x ，则不等式化为()24222++≥+⋅t t e e t m t t ， 所以①当12-≤≤-t 时，参变分离得()2224222422+++=+⋅++≤t e t t e e t t t m t t t ，设()()22242+++=t e t t t g t ，()()()()()()01222224222222>++-=+--+='t e t t t e t t t e t g t t t ， 则()t g 在[]12--，上单调递增，∴()()2min 2e g t g m =-=≤. ②当t =-1时，不等式化为0>-1，显然成立.③当t >-1时，()22242+++≥t e t t m t ，则()()()22122++-='t e t t t g t ，可令()0='t g ，解得t =0， 且当01<<-t 时，()0>'t g ，即()t g 单调递增；当0>t 时，()0<'t g ，即()t g 单调递减，所以()()10max ==g t g ，所以()1max =≥t g m . 综上所述，实数m 的取值范围为[]21e ，．。
2020-2021学年浙江省杭州高级中学高三上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年浙江省杭州高级中学高三（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（4分）已知集合M＝{x|y＝ln（3+2x﹣x2）}，N＝{x|x＞a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）2．（4分）复数（a2﹣2a﹣3）+（a2﹣a﹣6）i为纯虚数的一个必要不充分条件是（）A．a＝﹣1B．a＝3C．a＝﹣2或a＝3D．a＝﹣1或a＝﹣2 3．（4分）已知等差数列{a n}的公差d为正数，a1＝1，2（a n a n+1+1）＝tn（1+a n），t为常数，则a n＝（）A．2n﹣1B．4n﹣3C．5n﹣4D．n4．（4分）下列不可能是函数f（x）＝x a（e x﹣e﹣x）（a∈Z）的图象的是（）A．B．C．D．5．（4分）已知x，y，z∈R+，且，则（x+y）（y+z）的最小值为（）A．4B．3C．2D．16．（4分）已知x，y满足不等式，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（）A．[2，4]B．[4，6]C．[5，8]D．[6，7]7．（4分）已知函数f（x）＝sin x+a cos x，x∈[0，]的最小值为a，则实数a的取值范围是（）A．[0，2]B．[﹣2，2]C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，3] 8．（4分）将3个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子，以ξ表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（ξ＝3表示第1号，第2号盒子是空的，第3个盒子至少1个球），则E（ξ），E（2ξ+1）分别等于（）A．B．C．，3D．，49．（4分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，点E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA与EF成30°的角，则线段PE长的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，）D．（，）10．（4分）记集合T＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M＝{，a i∈T，i＝1，2，3，4}，将M中的元素按从大到小排列，则第2021个数是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（6分）在（2x﹣y）5的展开式中，所有项系数的绝对值的和为，x2y3的系数是．12．（6分）已知函数f（x）＝2|sin x|﹣|cos x|，则f（x）的最小正周期，f（x）的值域．13．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．14．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（﹣1，2），且＝，动点P 与M，N连线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为，△PMN面积的取值范围是．15．（4分）如图，给三棱柱ABC﹣DEF的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有．16．（4分）已知△ABC的外心为O，＝3+4，则cos B的取值范围是．17．（4分）定义a⊗b＝，若x，y＞0，则⊗的最小值．三、解答题：本大题共5小题，共74分。
天津市蓟县2022届高三上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2021-2022学年天津市蓟县高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．函数的定义域为集合A，函数y=ln（2x+1）的定义域为集合B，则A∩B=( )A ．B ．C ．D ．2．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点可能落在下列哪个区间内( )A．（0，1）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）3．已知向量，，满足（+2）（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为( )A ．B ．C ．D ．4．将函数y=sin2x 的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A．y=2cos2x B．y=2sin2x C ．D．y=cos2x5．由直线y=x和曲线y=x3围成的封闭图形面积为( )A ．B ．C．1 D．26．有四个关于三角函数的命题：p1：∃A∈R ，+=；p2：∃A，B∈R，sin（A﹣B）=sinA﹣sinB；p3：∀x∈[0，π]，=sinx，p4：sinx=cosy→x+y=其中假命题是( )A．P1，P4B．P2，P4C．P1，P3D．P2，P37．已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2，都有＞0成立，则实数a的取值范围是( )A．（0，1）B．（0，）C．[，）D．[，1）8．定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b 满足的取值范围是( ) A ．B ．C ．D．（﹣∞，3）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．函数f（x）=sinωx•cosωx的最小正周期为2，则ω=__________．10．已知x，y∈R+，x+y=1，则+的最小值为__________．11．已知函数y=f（x）为R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=x2+2x﹣2x+1+a ，则f（﹣1）=__________．12．在极坐标系中，过点M（，）的直线l与极轴的夹角α=，l的极坐标方程为__________．13．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为__________．14．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，BC=2，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•当λ=__________时有最小值为__________．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA．（1）求AB的值；（2）已知D为AB的中点，求线段CD的长．16．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．17．（13分）已知f（x）=sin（2x﹣），且f（a+）=﹣，＜α＜．（1）求cosα；（2）求．18．（13分）若函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x+m在区间[0，]的最大值为6．（1）求常数m的值；（2）求函数当x∈R时的最小值，并求出相应的x的取值集合；（3）求该函数x∈[0，π]的单调增区间．19．（14分）设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．（1）求a，b的值；（2）当x∈[1，e]时，求f（x）的最值；（3）证明：f（x）≤2x﹣2．20．（14分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x，设t＞﹣2，f（﹣2）=m，f（t）=n．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）试推断m，n的大小并说明理由；（3）求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=，并确定这样的x0的个数．2021-2022学年天津市蓟县高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．函数的定义域为集合A，函数y=ln（2x+1）的定义域为集合B，则A∩B=( )A ．B ．C ．D ．【考点】交集及其运算；对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】依据负数没有平方根列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为集合A，依据负数和0没有对数列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为集合B，然后求出两集合的交集即可．【解答】解：由函数有意义，得到1﹣2x≥0，解得：x ≤，所以集合A={x|x ≤}；由函数y=ln（2x+1）有意义，得到2x+1＞0，解得：x ＞﹣，所以集合B={x|x ＞﹣}，在数轴上画出两集合的解集，如图所示：则A∩B=（﹣，]．故选A【点评】此题属于以函数的定义域为平台，考查了交集的运算．此类题往往借助数轴来计算，会收到意想不到的收获．2．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点可能落在下列哪个区间内( )A．（0，1）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】欲求函数的零点所在的区间，依据所给的函数的解析式，把区间的端点代入函数的解析式进行验算，得到函数的值同0进行比较，在推断出区间两个端点的乘积是否小于0，从而得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=|x﹣2|﹣lnxf（1）=1＞0，f（2）=﹣ln2＜0f（3）=1﹣ln3＜0，f（4）=2﹣ln4＞0 f（5）=3﹣ln5＞0∴f（1）f（2）＜0，f（3）f（4）＜0∴函数的零点在（1，2），（3，4）上，故选C．【点评】本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．3．已知向量，，满足（+2）（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为( )A ．B ．C ．D ．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题；平面对量及应用．【分析】利用向量的数量积公式，化简等式，即可求得与的夹角．【解答】解：设与的夹角为θ∵（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，∴1+•﹣8=﹣6∴•=1∵•=||||cosθ∴cosθ=，又∵θ∈[0，π]∴θ=故选B．【点评】本题考查向量的数量积公式，考查同学的计算力量，属于基础题．4．将函数y=sin2x 的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A．y=2cos2x B．y=2sin2x C ．D．y=cos2x【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】依据向左平移，再向上平移，推出函数的解析式，即可．【解答】解：将函数y=sin2x 的图象向左平移个单位，得到函数=cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos2x，故选A．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查图象变化，是基础题．5．由直线y=x和曲线y=x3围成的封闭图形面积为( )A ．B ．C．1 D．2【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数x3﹣x在区间[0，1]上的定积分的值的2倍，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．【解答】解：∵曲线y=x3和曲线y=x的交点为A（1，1）、原点O和B（﹣1，﹣1）∴由定积分的几何意义，可得所求图形的面积为S=2=2（）=2（）=故选：B【点评】本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等学问，属于基础题．6．有四个关于三角函数的命题：p1：∃A∈R ，+=；p2：∃A，B∈R，sin（A﹣B）=sinA﹣sinB；p3：∀x∈[0，π]，=sinx，p4：sinx=cosy→x+y=其中假命题是( )A．P1，P4B．P2，P4C．P1，P3D．P2，P3【考点】命题的真假推断与应用．【专题】计算题．【分析】推断特称命题为真只须举特例即可，推断全称命题为真，则需要严格证明，推断特称命题为假，须严格证明，而推断全称命题为假，只须举反例即可．【解答】解：∵恒成立，∴命题p1为假命题∵当A=0，B=0时，sin（A﹣B）=sinA﹣sinB，∴命题p2为真命题∵==|sinx|，而x∈[0，π]，∴sinx≥0，∴=sinx∴命题p3为真命题∵sin=cos0，而+0≠，∴命题p4为假命题故应选A【点评】本题考查了推断全称命题和特称命题真假的方法，解题时要精确把握命题特点，恰当推断7．已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2，都有＞0成立，则实数a的取值范围是( )A．（0，1）B．（0，）C．[，）D．[，1）【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】依据条件便有，从而得到f（x）在R上单调递减，这样依据一次函数、对数函数及减函数的定义便可得到，这样解该不等式组便可得出实数a的取值范围．【解答】解：依据条件知，f（x）在R上单调递减；∴；解得；∴实数a的取值范围为[）．故选：C．【点评】考查减函数的定义，依据减函数的定义推断一个函数为减函数的方法，以及一次函数、对数函数及分段函数的单调性．8．定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b 满足的取值范围是( )A ．B ．C ．D．（﹣∞，3）【考点】简洁线性规划的应用；函数的单调性与导数的关系．【专题】压轴题；图表型．【分析】先依据导函数的图象推断原函数的单调性，从而确定a、b的范围得到答案．【解答】解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＞0，原函数单调递增∵两正数a，b满足f（2a+b）＜1，∴0＜2a+b＜4，∴b＜4﹣2a，0＜a＜2，画出可行域如图．k=表示点Q（﹣1，﹣1）与点P（x，y）连线的斜率，当P点在A（2，0）时，k 最小，最小值为：；当P点在B（0，4）时，k最大，最大值为：5．取值范围是C．故选C．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．函数f（x）=sinωx•cosωx的最小正周期为2，则ω=．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；函数思想；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】由二倍角公式化简函数解析式可得f（x）=sin2ωx，由周期公式即可解得ω的值．【解答】解：∵f（x）=sinωx•cosωx=sin2ωx，最小正周期为2，∴2=，解得：ω=．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式，周期公式的应用，属于基础题．10．已知x，y∈R+，x+y=1，则+的最小值为3．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；不等式的解法及应用．【分析】首先，将所给的条件代入，转化为基本不等式的结构形式，然后，利用基本不等式进行求解．【解答】解：∵x，y∈R+，x+y=1，∴+=+=++1≥2+1=3，故答案为：3．【点评】本题重点考查了基本不等式问题，考查等价转化思想的机敏运用，属于中档题．11．已知函数y=f（x）为R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=x2+2x﹣2x+1+a，则f（﹣1）=﹣1．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的奇偶性，直接求解函数值即可．【解答】解：函数y=f（x）为R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=x2+2x﹣2x+1+a，可得f（0）=02+2×0﹣20+1+a=0，解得a=2．x≥0时，f（x）=x2+2x﹣2x+1+2，f（﹣1）=﹣f（1）=﹣[12+2﹣21+1+2]=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质的应用，考查计算力量．12．在极坐标系中，过点M（，）的直线l与极轴的夹角α=，l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣+1=0．【考点】简洁曲线的极坐标方程．【专题】计算题；函数思想；分析法；坐标系和参数方程．【分析】先把点的极坐标化为直角坐标，再求得直线方程的直角坐标方程，化为极坐标方程．【解答】解：在直角坐标系中，过点M（，）的直线l与极轴的夹角α=的直线的斜率为，其直角坐标方程是y﹣1=（x﹣1），即x+y﹣+1=0，其极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣+1=0，故答案为：ρcosθ﹣ρsinθ﹣+1=0，【点评】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，求出直角坐标系中直线的方程是解题的关键．13．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题．【分析】延长BO交⊙O与点C，我们依据已知中⊙O的半径为2，，∠AOB=90°，D为OB 的中点，我们易得，代入相交弦定理，我们即可求出线段DE的长．【解答】解：延长BO交⊙O与点C，由题设知：，又由相交弦定理知AD•DE=BD•DC，得故答案为：【点评】本题考查的学问是与圆有关的比例线段，其中延长B0交圆于另一点C，从而构造相交弦的模型是解答本题的关键．14．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，BC=2，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•当λ=时有最小值为．【考点】平面对量数量积的运算．【专题】综合题；转化思想；向量法；平面对量及应用．【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，依据具体的形式求最值．【解答】解：由题意，得到AD=BC=CD=2，所以=（+）•（+），=（+）（+），=•+λ++•，=4×2×cos60°+λ×2×2×cos60°+×4×2+×2×2×cos120°，=+2λ+≥+2×2=，（当且仅当λ=时等号成立）．故答案为：，．【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA．（1）求AB的值；（2）已知D为AB的中点，求线段CD的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）依据正弦定理即可求值得解．（2）依据余弦定理可求cosA，由D为AB边的中点，可求AD，依据余弦定理即可求得CD的值．【解答】（本题满分13分）解：（1）在△ABC 中，依据正弦定理，，于是．…（2）在△ABC 中，依据余弦定理，得，∵D为AB边的中点，∴AD=，在△ACD 中，由余弦定理有：．…（13分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．16．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．【考点】利用导数争辩函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的微小值；（Ⅱ）先求出函数h （x）的导数，通过争辩a的范围，从而得到函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），当a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，x （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）微小∴f（x）在x=1处取得微小值1；（Ⅱ）h（x）=x+﹣alnx，h′（x）=1﹣﹣=，①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上，h′（x）＜0，在（1+a，+∞）上，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1+a）递减，在（1+a，+∞）递增；②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上递增．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，分类争辩思想，是一道中档题．17．（13分）已知f（x）=sin（2x ﹣），且f （a+）=﹣，＜α＜．（1）求cosα；（2）求．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】（1）直接利用函数值列出方程，求出，利用两角和与差的三角函数求解即可．（2）求出正切函数值，化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】解：（Ⅰ）．∴，∵，∴，又∵，∴∴=…（Ⅱ）同理（Ⅰ），，∴，，∴原式=…（13分）【点评】本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算力量．18．（13分）若函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x+m在区间[0，]的最大值为6．（1）求常数m的值；（2）求函数当x∈R时的最小值，并求出相应的x的取值集合；（3）求该函数x∈[0，π]的单调增区间．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；三角函数的最值．【专题】计算题；函数思想；三角函数的图像与性质．【分析】化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，（1）利用已知条件求出相位的范围，然后求解m即可．（2）求出函数的最小值，然后求解x的集合．（3）利用正弦函数的单调区间求解函数的单调区间即可．【解答】解：（1）∵函数f（x ）在区间上为增函数，在区间上为减函数，∴在区间的最大值为=6，∴解得m=3．（2）（x∈R）的最小值为﹣2+4=2．此时x 的取值集合由，解得：…（3）函数设z=，函数f（x）=2sinz+4的单调增区间为由，得，设A=[0，π]B={x|}，∴∴，x∈[0，π]的增区间为：．…（13分）【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的最值以及函数的单调区间的求法，考查计算力量．19．（14分）设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．（1）求a，b的值；（2）当x∈[1，e]时，求f（x）的最值；（3）证明：f（x）≤2x﹣2．【考点】利用导数争辩曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】方程思想；构造法；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求得函数的导数，由题意可得f（1）=0，f′（1）=2，解方程可得a，b的值；（2）求得导数，求得极值点，求出端点处的函数值，可得最值；（3）构造函数g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，求出导数和单调区间，可得极值和最值，即可证得不等式．【解答】解：（1）函数f（x）=x+ax2+blnx 的导数为．由已知条件得，解得a=﹣1，b=3．（2）f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）知f（x）=x﹣x2+3lnx．令f′（x）=0解得．xf′（x）+ 0 ﹣f（x）增减当x=时，取得最大值；当x=e时，取得最小值f（e）=e﹣e2+3．（3）设g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．即有x=1处取得极大值，且为最大值0故当x＞0时，g（x）≤0，即f（x）≤2x﹣2．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查构造函数的思想方法证明不等式，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x，设t＞﹣2，f（﹣2）=m，f（t）=n．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）试推断m，n的大小并说明理由；（3）求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=，并确定这样的x0的个数．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数推断；利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩函数的极值．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后依据导数与函数单调区间的关系确定t的取值范围，（Ⅱ）运用函数的微小值进行证明，（Ⅲ）首先对关系式进行化简，然后利用根与系数的关系进行判定．【解答】解：（1）由于f′（x）=（2x﹣3）e x+（x2﹣3x+3）e x，由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，要使函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，则﹣2＜t≤0，（2）由于函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（x）在x=1处取得微小值e，又f（﹣2）=13e﹣2＜e，所以f（x）在[2，+∞）上的最小值为f（﹣2），从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n，（3）证：∵，∴，即为x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x ﹣，从而问题转化为证明方程g（x）==0在（﹣2，t）上有解并争辩解的个数，由于g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣=，所以当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）•g（t）＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=﹣＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，当t=4时，g（x）=x2﹣x﹣6=0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足，且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，当1＜t＜4时，有两个x0适合题意．【点评】本题以函数为载体，考查利用导数确定函数的单调性，考查函数的极值，同时考查了方程解的个数问题，综合性强，尤其第（3）问力量要求比较高．。
甘肃省兰州市第一中学2021届高三上学期期中考试 数学(理)
兰州一中2020-2021-1学期期中考试试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( ) A.0B.1C.2D.32.已知z ＝11＋i ＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝( )A.12B.22C.32D.2 3.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于( ) A.12B.18C.24D.364.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6B.5C.4D.35.已知向量a ,b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|2a －b |等于( ) A.2 2B.17C.15D.2 56. ( )A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<7.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且q ⌝的充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是( ) A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]8.函数y ＝2|x |·sin 2x 的图象可能是( )212(),52xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩9.函数若互不相等的实数a ，b ，c 满足f (a )＝f (b )＝f (c ),则2a ＋2b ＋2c 的取值范围是( ) A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)10.函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在 [a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0，且a ≠1)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 11.已知函数f (x )＝kx ＋1，g (x )＝e x ＋1(－1≤x ≤1)，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线y ＝1对称，则实数k 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－e ，1e C.[－e ，＋∞) D.(]－∞，－e ∪⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ 12.已知f (x )在R 上是奇函数，且f ′(x )为f (x )的导函数，对任意x ∈R ，均有()'()ln 2f x f x >成立，若f (－2)＝2，则不等式f (x )>－2x－1的解集为( )A.(－2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，2)D.(－∞，－2)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. ()2log 013.30x x x f x x >⎧=⎨≤⎩已知函数，则18f f ⎡⎤⎛⎫=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ________．()22214.4=x x dx --+⎰定积分________.15.若,,a b c 均为正数, 且346a b c ==, 则2c ca b+的值是_______________． ()()1123116.21x a x a x f x R a x -⎧-+<=⎨≥⎩已知函数的值域为，则实数的取值范围是______. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足 (a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值.18.(本题满分12分)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形， AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点. (1)证明：MN ∥平面C 1DE ； (2)求二面角A －MA 1－N 的正弦值.序号 分组（分数段） 频数（人数） 频率 1 [0, 60) a 0.1 2[60, 75)15b19.(本题满分12分)为迎接我校建校120周年，某班开展了一次“校史知识”竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，成绩均为整数）进行统计，制成如右图的频率分布表： （1）求,,,a b c d 的值；（2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.某同学进入决赛，每道题答对的概率P 的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X ，求X 的分布列以及X 的数学期望.20.(本题满分12分)已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.21.(本题满分12分)已知函数f (x )＝－a ln x ＋x ＋1－ax .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝e x ＋mx 2－2e 2－3，当a ＝e 2＋1时，对任意x 1∈[1，＋∞)，存在x 2∈[1，＋∞)，使g (x 2)≤ f (x 1)，求实数m 的取值范围.选考题:（请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.请在答题卷上注明题号.）22.(本题满分10分)平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |的值.23.(本题满分10分)已知函数()|21||23|f x x x =++-. (1)求不等式6)(≤x f 的解集；(2)若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围.兰州一中2020-2021学年度高三第一学期期中数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分， 考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( C ) A.0B.1C.2D.32.已知z ＝11＋i ＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝( B )A.12B.22C.32D.23.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于( D ) A.12B.18C.24D.364.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( C ) A.6B.5C.4D.35.已知向量a ,b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|2a －b |等于( A ) A.2 2B.17C.15D.25.6.6.设123log 2,ln 2,5a b c -===，则 ( C )A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<7.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是( A ) A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]8.函数y ＝2|x |·sin 2x 的图象可能是( D )9.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x ≤2，－x ＋5，x >2.若互不相等的实数a ，b ，c 满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则2a ＋2b ＋2c 的取值范围是( B ) A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)10.函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在 [a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0，且a ≠1)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( B ) A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，12D.⎝⎛⎭⎫－12，12 11.已知函数f (x )＝kx ＋1，g (x )＝e x ＋1(－1≤x ≤1)，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线y ＝1对称，则实数k 的取值范围是( D ) A.⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞B.⎣⎡⎦⎤－e ，1eC.[－e ，＋∞)D.(]－∞，－e ∪⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ 12.已知f (x )在R 上是奇函数，且f ′(x )为f (x )的导函数，对任意x ∈R ，均有f (x )>f ′（x ）ln 2成立，若f (－2)＝2，则不等式f (x )>－2x－1的解集为( C )A.(－2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，2)D.(－∞，－2)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数()2log ,0,3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则18f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 127． 14.定积分⎠⎛－22(4－x 2＋x )d x ＝___2π._____.15．若,,a b c 均为正数, 且346a b c ==, 则2c ca b+的值是___2____________． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是_0≤a <12.___.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值. 解 (1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ，∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc . ∴由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2， ∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C .∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C .∴S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C ).故当B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B cos C 取得最大值 3.18.（本题满分12分）如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点. (1)证明：MN ∥平面C 1DE ； (2)求二面角A －MA 1－N 的正弦值. (1)证明 如图，连接B 1C ，ME .因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME ＝12B 1C .又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝12A 1D .由题设知A 1B 1∥DC ，可得B 1C ∥A 1D ，故ME ∥ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，所以MN ∥ED . 又MN ⊄平面C 1DE ，DE ⊂平面C 1DE ， 所以MN ∥平面C 1DE .(2)解 由已知可得DE ⊥DA ，以D 为坐标原点，DA →，DE →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (2，0，0)，A 1(2，0，4)，M (1，3，2)，N (1，0，2)，A 1A →＝(0，0，－4)，A 1M →＝(－1，3，－2)，A 1N →＝(－1，0，－2)，MN →＝(0，－3，0).设m ＝(x ，y ，z )为平面A 1MA 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1M →＝0，m ·A 1A →＝0，所以⎩⎨⎧－x ＋3y －2z ＝0，－4z ＝0，可取m ＝(3，1，0).设n ＝(p ，q ，r )为平面A 1MN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·A 1N →＝0，所以⎩⎨⎧－3q ＝0，－p －2r ＝0，可取n ＝(2，0，－1).于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝232×5＝155，则sin 〈m ，n 〉＝105，所以二面角A －MA 1－N 的正弦值为105. 19.（本题满分12分）为迎接我校建校110周年，某班开展了一次“校史知识”竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，分数为均匀整数）进行统计，制成如右图的频率分布表：（Ⅰ）求,,,a b c d 的值；（Ⅱ）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.某同学进入决赛，每道题答对的概率P 的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X ，求X 的分布列以及X 的数学期望.解：(Ⅰ(Ⅱ)X 的可能取值为2，3，4.12(2)0.20.20.04,(3)0.20.80.20.064,P X P X C ==⨯===⨯⨯=1233(4)0.20.80.80.896P X C ==⨯+=所以分布列为：()20.0430.06440.896 3.856E X =⨯+⨯+⨯=20.（本题满分12分）已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.解 (1)由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0).设Q (x 0，y 0)，则由PQ →＝32QB →，得⎩⎨⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程得b 2＝1， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为y ＝kx －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，y 并整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.(*) 因直线l 与E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故Δ＝(－16k )2－48(1＋4k 2)>0，解得k 2>34. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，因坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，所以OM →·ON →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0，又由x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2)＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4>0，解得k 2<4，综上可得34<k 2<4， 则32<k <2或－2<k <－32. 则满足条件的斜率k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－32∪⎝⎛⎭⎫32，2. 21.（本题满分12分）已知函数f (x )＝－a ln x ＋x ＋1－a x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)＝e x＋mx2－2e2－3，当a＝e2＋1时，对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，求实数m的取值范围.解(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax＋1＋a－1x2＝（x－1）（x－a＋1）x2，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝a－1.当a≤1时，a－1≤0，由f′(x)<0得0<x<1，由f′(x)>0得x>1，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.当1<a<2时，0<a－1<1，由f′(x)<0，得a－1<x<1，由f′(x)>0得0<x<a－1或x>1，所以函数f(x)在(a－1，1)上单调递减，在(0，a－1)和(1，＋∞)上单调递增. 当a＝2时，a－1＝1，可得f′(x)≥0，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当a>2时，a－1>1，由f′(x)<0得1<x<a－1，由f′(x)>0得0<x<1或x>a－1，所以函数f(x)在(1，a－1)上单调递减，在(0，1)和(a－1，＋∞)上单调递增.(2)当a＝e2＋1时，由(1)得函数f(x)在(1，e2)上单调递减，在(0，1)和(e2，＋∞)上单调递增，从而f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(e2)＝－e2－3.对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，即存在x 2∈[1，＋∞)，使g (x 2)的函数值不超过f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值－e 2－3.由e x ＋mx 2－2e 2－3≤－e 2－3得e x ＋mx 2≤e 2，m ≤e 2－e xx 2. 记p (x )＝e 2－e xx 2，则当x ∈[1，＋∞)时，m ≤p (x )max . p ′(x )＝－e x x 2－2（e 2－e x ）x （x 2）2＝－e x x ＋2（e 2－e x ）x 3， 当x ∈[1，2]时，显然有e x x ＋2(e 2－e x )>0，p ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，e x x ＋2(e 2－e x )>e x x －2e x >0，p ′(x )<0，故p (x )在区间[1，＋∞)上单调递减，得p (x )max ＝p (1)＝e 2－e ，从而m 的取值范围为(－∞，e 2－e].四．选考题:（请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.请在答题卷上注明题号.）22. （本题满分10分）坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |的值.解 (1)将直线l 的极坐标方程ρ(cos θ－sin θ)＝1化为直角坐标方程为x －y －1＝0.将曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程为x 2＋y 2＝9. (2)由(1)知点M (0，－1)，故直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝－1＋22t(t 为参数)，代入圆的方程为t 2－2t －8＝0，设A ，B 对应的参数为t 1和t 2，所以t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝－8.故⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝28. 23．（本题满分10分）已知函数()|21||23|f x x x =++-. （Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）原不等式等价于即不等式的解集为}21|{≤≤-x x .，解此不等式得53>-<a a 或.。
2021-2022学年北京市通州区高三(上)期中数学试卷【答案版】
2021-2022学年北京市通州区高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x |0＜x ＜4}，则A ∩B ＝（ ）A ．（﹣1，0）B ．（0，3）C ．（3，4）D ．（﹣1，4）2．在复平面内，复数11+i 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列函数中，y 的最小值是2的是（ ）A ．y =x +1x B ．y ＝x ﹣lnx C ．y ＝e x ﹣x +1 D ．y =cosx +1cosx (0＜x ＜π2)4．某单位有男职工56人，女职工42人，按性别分层，用分层随机抽样的方法从全体职工中抽出一个样本，如果样本按比例分配，男职工抽取的人数为16人，则女职工抽取的人数为（ ）A ．12B ．20C ．24D ．285．在（x ﹣2）5的展开式中，x 4的系数为（ ）A ．﹣5B ．5C ．﹣10D ．106．已知函数f （x ）＝tan x ，则f ′(π4)等于（ ）A ．12B ．√22C ．1D ．27．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝63，则a 7+a 8+a 9等于（ ）A ．63B ．71C ．99D ．1178．若函数f （x ）的定义域是区间[a ，b ]，则“f （a ）f （b ）＜0”是“函数f （x ）在区间（a ，b ）内存在零点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）A ．408种B ．240种C ．192种D ．120种10．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （5）＝4，f （x +3）是偶函数，∀x 1，x 2∈[3，+∞），有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则（ ）A ．f （0）＜4B ．f （1）＝4C ．f （2）＞4D ．f （3）＜0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．函数f(x)=ln(x +1)+√x 的定义域是 ．12．关于x 的不等式﹣x 2+x +42＞0的解集为 ．13．已知2x ＝3y ＝a ，若1x +1y =1，则a ＝ ．14．已知函数f(x)=sinx cosx−2，则函数f （x ）的值域是 ．15．设首项是1的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ={a n−1+1，n =2k ，k ∈N ∗，2a n−1+1，n =2k +1，k ∈N ∗，则a 3＝ ；若S m ＜2021，则正整数m 的最大值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（13分）如图，在△ABC中，AB＝12，AC=3√6，BC=5√6，点D在边BC上，且∠ADC＝60°．（Ⅰ）求cos C；（Ⅱ）求线段AD的长．17．（14分）已知函数f(x)=2√3sinxcosx+sin2x−cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．18．（14分）已知函数f（x）＝ax3+bx2在x＝1时取得极大值3．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极小值．19．（14分）设等差数列{a n}的前n项和是S n，{b n}是各项均为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a5＝3b2．在①a3+b3＝14，②a1b5＝81，③S4＝4S2这三个条件中任选一个，解下列问题：（Ⅰ）分别求出数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=1(a n+3)log33b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．（15分）某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如图：以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进n吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以X（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，T（单位：元）表示下个销售周期两个市场的销售总利润．（Ⅰ）求变量X概率分布列；（Ⅱ）当n＝19时，求T与X的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；（Ⅲ）以销售利润的期望作为决策的依据，判断n＝19与n＝18应选用哪一个．21．（15分）设函数f（x）＝e x（ax2+1），a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（−32，−14）单调，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）有极小值，求证：f（x）的极小值小于1．2021-2022学年北京市通州区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0）B．（0，3）C．（3，4）D．（﹣1，4）解：∵A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|0＜x＜4}，A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}∩{x|0＜x＜4}＝（0，3）．故选：B．2．在复平面内，复数11+i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵11+i =1−i(1+i)(1−i)=1−i12−i2=12−12i，∴在复平面内，复数11+i 对应的点的坐标为（12，−12），位于第四象限．故选：D．3．下列函数中，y的最小值是2的是（）A．y=x+1xB．y＝x﹣lnxC．y＝e x﹣x+1D．y=cosx+1cosx(0＜x＜π2)解：对于函数y=x+1x，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），当x∈（﹣∞，0）时，y＜0，故A错误；对于函数y＝x﹣lnx，y′=1−1x=x−1x，当x＞1时，y′＞0，当0＜x＜1时，y′＜0，所以当x＞1，函数y＝x﹣lnx单调递增，当0＜x＜1时，函数y＝x﹣lnx单调递减，所以，当x＝1时，函数取得最小值为1，故B错误；对于函数y＝e x﹣x+1，y′＝e x﹣1，当x＞0时，y′＞0，当x＜0时，y′＜0，所以当x＞0，函数y＝e x﹣x+1单调递增；当x＜0，函数y＝e x﹣x+1单调递减，所以，当x＝0时，函数取得最小值2，故C正确；因为0＜x＜π2，所以0＜cos x＜1，又y=cosx+1cosx≥2√cosx⋅1cosx=2，当且仅当cosx=1cosx，即cos x＝1时，等号成立，但cos x≠1，故D错误，故选：C ．4．某单位有男职工56人，女职工42人，按性别分层，用分层随机抽样的方法从全体职工中抽出一个样本，如果样本按比例分配，男职工抽取的人数为16人，则女职工抽取的人数为（ ）A ．12B ．20C ．24D ．28解：某单位有男职工56人，女职工42人，按性别分层，用分层随机抽样的方法从全体职工中抽出一个样本，如果样本按比例分配，男职工抽取的人数为16人，设女职工抽取的人数为x ，则1656=x 42，解得x ＝12．∴女职工抽取的人数为12．故选：A ．5．在（x ﹣2）5的展开式中，x 4的系数为（ ）A ．﹣5B ．5C ．﹣10D ．10 解：（x ﹣2）5的展开式的通项为T r +1=C 5r x 5﹣r （﹣2）r ，所以x 4的系数为C 51×（﹣2）＝﹣10．故选：C ．6．已知函数f （x ）＝tan x ，则f ′(π4)等于（ ）A ．12B ．√22 C ．1 D ．2 解：f ′（x ）＝（sinx cosx ）′=(sinx)′cosx−(cosx)′sinx (cosx)2=1cos 2x ， 则f ′（π4）=1cos 2π4=2， 故选：D ．7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝63，则a 7+a 8+a 9等于（ ）A ．63B ．71C ．99D ．117解：由等差数列可得S 3，S 6﹣S 3，S 9﹣S 6成等差数列，即S 3+（S 9﹣S 6）＝2（S 6﹣S 3），而S 3＝9，S 6＝63，所以S 9﹣S 6＝2（63﹣9）﹣9＝99，即a 7+a 8+a 9＝99，故选：C ．8．若函数f （x ）的定义域是区间[a ，b ]，则“f （a ）f （b ）＜0”是“函数f （x ）在区间（a ，b ）内存在零点”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵题干中函数没说连续函数，∴函数f （x ）的定义域是区间[a ，b ]，若“f （a ）f （b ）＜0”不能推出“函数f （x ）在区间（a ，b ）内存在零点”．“函数f （x ）在区间（a ，b ）内存在零点”也不能推出“f （a ）f （b ）＜0”． 故选：D ．9．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ） A ．408种B ．240种C ．192种D ．120种解：这六门课程的全排A 66=720种，“射”排在第一节的排法有A 55=120种，“数”和“乐”两次相邻有A 22⋅A 55，“射”排在第一节且“数”和“乐”两次相邻A 22⋅A 44， “六艺”讲座不同的次序共有A 66−A 55−A 22•A 55+A 22•A 44=408，故选：A ．10．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （5）＝4，f （x +3）是偶函数，∀x 1，x 2∈[3，+∞），有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则（ ） A ．f （0）＜4B ．f （1）＝4C ．f （2）＞4D ．f （3）＜0解：因为∀x 1，x 2∈[3，+∞），有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，所以f （x ）在[3，+∞）上单调递增， 又f （x +3）是偶函数，则f （x +3）的图象关于x ＝0对称， 所以f （x ）的图象关于x ＝3对称，则f （0）＝f （6）＞f （5）＝4，故选项A 错误； f （1）＝f （5）＝4，故选项B 正确； f （2）＝f （4）＜f （5）＝4，故选项C 错误； f （3）的正负不能确定，故选项D 错误．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．函数f(x)=ln(x+1)+√x的定义域是[0，+∞）．解：由{x+1＞0x≥0，得x≥0．∴函数f(x)=ln(x+1)+√x的定义域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．12．关于x的不等式﹣x2+x+42＞0的解集为（﹣6，7）．解：不等式﹣x2+x+42＞0，可化为x2﹣x﹣42＜0，即（x﹣7）（x+6）＜0，其对应的方程的根为7．﹣6故不等式的解集为（﹣6，7），故答案为：（﹣6，7）．13．已知2x＝3y＝a，若1x +1y=1，则a＝6．解：由2x＝3y＝a⇒x＝log2a，y＝log3a，所以1x +1y=loga2+loga3=loga6=1，则a＝6，故答案为：6．14．已知函数f(x)=sinxcosx−2，则函数f（x）的值域是[﹣1，1]．解：函数f(x)=sinx cosx−√2，则函数f（x）表示单位圆x2+y2＝1上的点（cos x，sin x）与点(√2，0)连线的斜率，由题意，过点(√2，0)的与单位圆相切的直线斜率必存在，设过点(√2，0)的与单位圆相切的直线方程为y﹣0＝k（x−√2），由圆心（0，0）到切线的距离等于半径，则√2k|√k2+1=1，解得k＝±1，所以点（cos x，sin x）与点(√2，0)连线的斜率的取值范围为[﹣1，1]．则函数f（x）的值域为[﹣1，1]．15．设首项是1的数列{a n}的前n项和为S n，且a n={a n−1+1，n=2k，k∈N∗，2a n−1+1，n=2k+1，k∈N∗，则a3＝5；若S m＜2021，则正整数m的最大值是16．解：∵a n={a n−1+1，n=2k，k∈N∗，2a n−1+1，n=2k+1，k∈N∗，∴a2＝a1+1＝2，a3＝2a2+1＝5，当n为偶数时，∵a n+2＝a n+1+1＝2a n+1+1＝2a n+2，∴a n+2+2＝2（a n+2），又∵a2+2＝4，故a n+2＝4×2n−22=2n+22，故a n=2n+22−2；当n为奇数时，∵a n+2＝2a n+1+1＝2（a n+1）+1＝2a n+3，∴a n+2+3＝2（a n+3），又∵a1+3＝4，故a n+3＝4×2n−12=2n+32，故a n=2n+32−3；当m为偶数时，S m＝22﹣3+22﹣2+23﹣3+23﹣2+⋯⋯+2m+22−3+2m+22−2＝2×4−2m+22⋅21−2−52×m=2m+62−8−5m2，当m＝16时，S m＝2048﹣8﹣40＝2000＜2021，当m＝17时，S m＝2000+210﹣3＞2021，故正整数m的最大值是16，故答案为：5，16．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（13分）如图，在△ABC中，AB＝12，AC=3√6，BC=5√6，点D在边BC上，且∠ADC＝60°．（Ⅰ）求cos C；（Ⅱ）求线段AD的长．（本小题共13分）解：（Ⅰ）∵AB ＝12，AC =3√6，BC =5√6，∴根据余弦定理：cosC =AC 2+BC 2−AB 22AC⋅BC =√6)2√6)222⋅36⋅56=13．…（6分）（Ⅱ）∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0，sinC =√1−cos 2C =√1−(13)2=2√23． ∴根据正弦定理得：ADsinC=AC sin∠ADC，即：AD =AC⋅sinCsin∠ADC =8．…（13分）17．（14分）已知函数f(x)=2√3sinxcosx +sin 2x −cos 2x ． （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间．解：（Ⅰ）因为f(x)=2√3sinxcosx +sin 2x −cos 2x =√3sin2x ﹣cos2x ＝2sin （2x −π6）， 所以函数f （x ）的最小正周期T =2π2=π； （Ⅱ）由−π2+2k π≤2x −π6≤π2+2k π，k ∈Z ， 解得k π−π6≤x ≤k π+π3，k ∈Z ， 故函数的单调递增区间为[k π−π6，k π+π3]，k ∈Z ， 由π2+2k π≤2x −π6≤3π2+2k π，k ∈Z ， 解得k π+π3≤x ≤k π+5π6，k ∈Z ，故函数的单调递减区间为[k π+π3，k π+5π6]，k ∈Z ．18．（14分）已知函数f （x ）＝ax 3+bx 2在x ＝1时取得极大值3． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的极小值．解：（Ⅰ）f ′（x ）＝3ax 2+2bx ，由题意可得：f （1）＝a +b ＝3，f ′（1）＝3a +2b ＝0， 解得：a ＝﹣6，b ＝9，经过验证满足条件． （Ⅱ）由（1）得：f （x ）＝﹣6x 3+9x 2， ∴f ′（x ）＝﹣18x 2+18x ， 令f ′（x ）＞0，解得：0＜x ＜1， 令f ′（x ）＜0，解得：x ＞1或x ＜0，∴函数f （x ）在（﹣∞，0），（1，+∞）递减，在（0，1）递增，∴f （x ）极小值＝f （0）＝0．19．（14分）设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，{b n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 5＝3b 2．在①a 3+b 3＝14，②a 1b 5＝81，③S 4＝4S 2这三个条件中任选一个，解下列问题： （Ⅰ）分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）若c n =1(a n +3)log 33b n，求数列{c n }的前n 项和T n ．解：（I ） 设等差数列{a n } 的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q （q ＞0）． 若选①，则a 3+b 3＝14，由{a 3+b 3=14，a 5=3b 2， 得{1+2d +q 2=14，1+4d =3q ．解得{d =2，q =3． 或{d =−298，q =−92，（不合题意，舍去）．所以a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝1+2（n ﹣1），即a n ＝2n ﹣1， b n =b 1q n−1=1×3n−1，即b n =3n−1． 若选②，则a 1b 5＝81， 由{a 5=3b 2，a 1b 5=81，得{1+4d =3q ，q 4=81．解得{d =2，q =3．或{d =−52，q =−3，（不合题意，舍去）． 所以a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝1+2（n ﹣1），即a n ＝2n ﹣1， b n =b 1q n−1=1×3n−1，即b n =3n−1， 若选③，则S 4＝4S 2，由 {a 5=3b 2，S 4=4S 2， 得{1+4d =3q ，4+4×32d =4(2+d)，解得{d =2，q =3，所以a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝1+2（n ﹣1），即a n ＝2n ﹣1， b n =b 1q n−1=1×3n−1，即b n =3n−1． （II ） 由（I ）知，a n =2n −1，b n =3n−1， ∴c n =1(a n +3)log 33b n =1[(2n−1)+3]log 3(3×3n−1) =1(2n+2)n =12n(n+1)=12(1n −1n+1)，所以T n=12[(1−12)+(12−13)+⋅⋅⋅+(1n−1n+1)]=12(1−1n+1)=n2(n+1)．20．（15分）某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如图：以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进n吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以X（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，T（单位：元）表示下个销售周期两个市场的销售总利润．（Ⅰ）求变量X概率分布列；（Ⅱ）当n＝19时，求T与X的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；（Ⅲ）以销售利润的期望作为决策的依据，判断n＝19与n＝18应选用哪一个．解：（Ⅰ）设甲市场需求量为x的概率为P（x），乙市场需求量为y的概率为P（y），由题意可得，P（x＝8）＝0.3，P（x＝0.9）＝0.4，P（x＝10）＝0.3；P（y＝8）＝0.2，P（y＝9）＝0.5，P（y＝10）＝0.3，设两个市场总需求量为X的概率为P（X），由题意可得，X的可能取值为16，17，18，19，20，所以P（X＝16）＝P（x＝8，y＝8）＝P（x＝8）P（y＝8）＝0.3×0.2＝0.06，P（X＝17）＝P（x＝8，y＝9）+P（x＝9，y＝8）＝0.3×0.5+0.4×0.2＝0.23，P（X＝18）＝P（x＝8，y＝10）+P（x＝10，y＝8）+P（x＝9，y＝9）＝0.3×0.3+0.3×0.2+0.4×0.5＝0.35，P（X＝19）＝P（x＝9，y＝10）+P（x＝10，y＝9）＝0.4×0.3+0.3×0.5＝0.27，P（X＝20）＝P（x＝10，y＝10）＝0.3×0.3＝0.09，所以X的分布列为：（Ⅱ）由题意可得，当X≥19时，T＝500×19＝9500，当X＜19时，T＝500X﹣（19﹣X）×100＝600X﹣1900，所以T={9500，X≥19600X−1900，X＜19，设A＝”销售利润不少于8900元“，当X≥19时，则T＝500×19＝9500＞8900；当X＜19时，T＝600X﹣100×19≥8900，解得X≥18，所以18≤X＜19．由（Ⅰ）中X的分布列可知，P（A）＝P（X≥18）＝0.71．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，P（X＝16）＝0.06，P（X＝17）＝0.23，当n＝18时，T的分布列为：所以E（T）＝[500×16﹣（18﹣16）×100]×0.06+[500×17﹣（18﹣17）×100]×0.23+500×18×0.71＝8790；当n＝19时，T的分布列为：所以E（T）＝[500×16﹣（19﹣16）×100]×0.06+[500×16﹣（19﹣17）×100]×0.23+[500×16﹣（19﹣18）×100]×0.35+500×19×0.36＝8441，因为8790＞8441，所以应该选n＝18．21．（15分）设函数f（x）＝e x（ax2+1），a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（−32，−14）单调，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）有极小值，求证：f（x）的极小值小于1．（Ⅰ）解：因为a ＝1，所以f （x ）＝e x （x 2+1）， f ′（x ）＝e x （x 2+1）+e x （2x ）＝e x （x +1）2， f （0）＝1，f ′（0）＝1，所以曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ﹣f （0）＝f ′（0）（x ﹣0）， 即y ﹣1＝x ，亦即y ＝x +1．（Ⅱ）解：因为f （x ）＝e x （ax 2+1），a ＞0．所以f ′（x ）＝e x （ax 2+1）+e x （2ax ）＝ae x （（x +1）2+1−1a）， 当a ∈（0，1]时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在区间（−32，−14）单调， 当a ∈（1，+∞）时，令α＝﹣1−√1−1a∈（﹣2，﹣1），β＝﹣1+√1−1a∈（﹣1，0）， f ′（α）＝f ′（β）＝0，当x ∈（﹣∞，α）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调增加， 当x ∈（α，β）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调减少， 当x ∈（β，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调增加，要使函数f （x ）在区间（−32，−14）单调，只要（−32，−14）⊆（α，β）， { −1−√1−1a≤−32−14≤−1+√1−1a，解得a ≥167， 综上实数a 的取值范围为（0，1]∪[167，+∞)．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知函数f （x ）在x ＝β处取极小值，β＝﹣1+√1−1a ∈（﹣1，0）， 极小值f （β）＝e β（a β2+1）＝﹣2a βe β=e−1+√1−1a⋅(2a −2a √1−1a)=e−1+√1−1a⋅21+√1−1a，令1+√1−1a =t ，t ∈（1，2），则f （β）=e t−2⋅2t=g （t ）， g ′（t ）=e t−2⋅2t −e t−2⋅2t 2=2t2⋅e t−2⋅(t −1)＞0， 所以g （t ）在[1，2]上单调增加， 所以f （β）＝g （t ）＜g （2）＝1， 所以f （x ）的极小值f （β）小于1．。
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2021年高三上学期期中检测数学（理）
本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
注意事项：
1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上．3．考试结束后，监考人员将答题卡和第II卷的答题纸一并收回，
一、选择题。
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A= {－1，1}，B={x|ax =|），若A∩ B=B，则实数a的所有可能取值的集合为（）
A．{一1）B．{1} C ． {－1,1} D．{－1,0,1}
2．命题p：“若X2－3x+2≠0，则x≠2”，若p为原命题，则p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是
（）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知向量a=（1，2），b= （cos，sin），a∥b，则tan =
（）
A．B．－C．2 D．－2
4．若log a2<0 （a>0，且a≠1），则函数f（x）=log a（x+1）的图象大致是
（）
5．“∈R，x2+ ax－2a<0为假命题”是“－8≤a≤0”的
（）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
6．图中曲线方程为y=x2－1，借助定积分表达围成的封闭图形（阴影部分）的面积为
（）
A．
B．
C．
D．
7．如果函数y=3 sin（2x+）的图象关于点（，0）中心对称，那么
||的最小值为（）
A．B．C．D．
8．已知函数f（x）=一（）x，实数a，b，c满足f（a）f（b）f（c）<o（o<a<b<c）．若x o是函数f（x）的零点，那么下列不等式中，不可能
．．．成立的是
（）
A．x o <a B．x o >b C．x o <c ．D．x o >c
9．已知函数f (x)=cos (x+) (0<<)在x=时取得最小值，则f (x)在[]上的单调增区间是
（）
A．[] B．[] C．[,0] D．[一，]
10．设等差数列{a n}的前ｎ项之和为S n，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则下列选项中也是常数的是
（）
A．S7B．S8 C．S13D．S15
11．已知函数f (x)在R上满足2f (4－x)=f (x)+x2－l0x+17，则曲线y=f (x)在点(2，f (2))处的切线方程是
（）
A．y=2x－3 B．y=－6x+13 C．y=3x－2 D．y=－2x+3 12．有下列命题：①如果幂函数f (x)=(m2－3m +3)x的图象不过原点，则m=l或2；②数列{a n}为等比数列的充要条件为a n=a1q（q为常数）：③已知向量a=(t，2)，b= (－3，6)，若向量a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围是t<4; ④函数f (x)=xsinx在(0，)上有最大值，没有最小值．其中正确命题的个数为
（）
A．0 B．l C．2 D．3
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
说明：第II卷的答案必须用0．5mm黑色签字笔答在答题纸的指定位置上，
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．
13．函数f（x）=x+sinx（x∈R），若f（a）=1，则f（一a）=____ ．
14．设3a=4b=36，则= 。
15．已知tan是第二象限角，则sin（）的值为．
16．已知函数 f (x)=|x+|，则关于x的方程(b，c∈R)有6个不同实数解的充要条件是。
三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m=（sinA，sin B），n=（cosB，cos A），m·n=－sin 2C．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，A=，求△ABC的面积S．
18．（本小题满分12分）
已知{a n}是公差为2的等差数列，且a3 +1是a l +1与a7 +1的等比中项．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=，求数列{b}的前n项和T n．
19．（本小题满分12分）
叙述两角差的余弦公式，并用向量的数量积证明，
20．（本小题满分12分）
如图，已知=a ， =b ，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ．
（1）用a ，b 表示向量；
（2）设|a|=l ，|b|=2，a 与b
的夹角为30o ，⊥（），求实数的值．
21．（本小题满分12分）
某上市股票在30天内每股的交易价格P （元）与时间f （天）组成有序数对（t ，P ），点
（t ，P ）落在下图中的两条线段上，该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q （万股）与时间t （天）的部分数据如下表所示．
（1）根据提供的图象，写出．．
该种股票每股交易价格P （元）与时间t （天）满足的函数关系式；
（2）根据表中数据确定日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式： （3）在（2）的结论下，用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，
并求出这30天中第几日交易额最大，最大值为多少？
22．（本小题满分14分）
已知函数．
（1）若函数在区间上存在极值点，求实数a 的取值范围；
（2）知果当x ≥1时，不等式恒成立，求实数k 的取值范围； 第t 天
4 10 16 22 Q （万股） 36 30 24 18
（3）求证：，这里n∈N*，（n+1）!=1×2×3×…×（n+1），e为自然对数的底数。
aW40670 9EDE 點34335 861F 蘟33164 818C 膌40586 9E8A 麊IzU#29423 72EF 狯30763 782B 砫21917 559D 喝37014 9096 邖{。