梁昆淼 数学物理方法第3和4章 ppt课件
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《数学物理方法》第3章
1 k
(3.2.1) 其中所有的ak和b为复常数，b点称为幂级数 的中心，ak 为幂级数的系数。
32
§3.2.1 阿贝尔定理
定理
若幂级数 ，在某点z0收敛， 则级数在以b点为圆心, |z0-b|为半径的圆内绝
对收敛，并在
|z-b|≤q| z0-b| (0＜q＜1) (3.2.2)
的闭圆上一致收敛．
由比值法易得两级数之R1 =R2=1/3，故题设 级数的R=1/3．
50
(方法三）变量代换法．
令w=(3z)2，则
，易见
w平面与z平面中级数收敛半径的关系亦为
51
既然幂级数在收敛圆内收敛，
在收敛圆外发散．
那么，在收敛圆周上情况怎样
呢？
52
【例3.2.4】已知下述幂级数的收敛半径R=1， 问它们在收敛圆周上的敛散性如何？
设级数 在圆|z-b|= |z1-b|外的z2 点收敛(|z2-b| ＞ |z1-b|)．由阿贝尔定理可知， 该级数必在圆|z-b|= |z2-b|内收敛(z1点在该收敛 内)，这与级数在z1点发散的假设矛盾，推论 得证．
36
§3.2.2 收敛圆与收敛半径
阿贝尔定理及其推论表明： (1)幂级数 在某
除了直接用级数一致收敛的充要条件进行判别外，还 有两个很有用的判别法，如表3-2所示．
35
24
26
20
4. 一致收敛级数的重要性质
一致收敛级数的三个性质的
条件与结论之间的联系列于表3-3.
一致收敛级数性质(1)、(2)的证明见习题3.1.5 和习题3.1.6； 这里仅证明性质(3)，即证明 性质(3) 魏尔斯 特拉斯(Weierstrass)定理
(3.2.1) 其中所有的ak和b为复常数，b点称为幂级数 的中心，ak 为幂级数的系数。
32
§3.2.1 阿贝尔定理
定理
若幂级数 ，在某点z0收敛， 则级数在以b点为圆心, |z0-b|为半径的圆内绝
对收敛，并在
|z-b|≤q| z0-b| (0＜q＜1) (3.2.2)
的闭圆上一致收敛．
由比值法易得两级数之R1 =R2=1/3，故题设 级数的R=1/3．
50
(方法三）变量代换法．
令w=(3z)2，则
，易见
w平面与z平面中级数收敛半径的关系亦为
51
既然幂级数在收敛圆内收敛，
在收敛圆外发散．
那么，在收敛圆周上情况怎样
呢？
52
【例3.2.4】已知下述幂级数的收敛半径R=1， 问它们在收敛圆周上的敛散性如何？
设级数 在圆|z-b|= |z1-b|外的z2 点收敛(|z2-b| ＞ |z1-b|)．由阿贝尔定理可知， 该级数必在圆|z-b|= |z2-b|内收敛(z1点在该收敛 内)，这与级数在z1点发散的假设矛盾，推论 得证．
36
§3.2.2 收敛圆与收敛半径
阿贝尔定理及其推论表明： (1)幂级数 在某
除了直接用级数一致收敛的充要条件进行判别外，还 有两个很有用的判别法，如表3-2所示．
35
24
26
20
4. 一致收敛级数的重要性质
一致收敛级数的三个性质的
条件与结论之间的联系列于表3-3.
一致收敛级数性质(1)、(2)的证明见习题3.1.5 和习题3.1.6； 这里仅证明性质(3)，即证明 性质(3) 魏尔斯 特拉斯(Weierstrass)定理
数学物理方法 ppt课件
解： 令
a c c o 2 o c s 3 o s c s n o
b s i s 2 n i s 3 n i n s n i
W a i b co c2 s o c s 3 o s cn o i (s s i2 n i n s3 i n sn i)
z1z2 z1z2
ar z 1g z2 ) (az r1 g az r2g
3、复数的除法
z1 x1 y1i (x1y1i)(x2y2i) z2 x2 y2i (x2y2i)(x2y2i)
x1xx2 2 2 yy12 2y2ix2xy2 2 1 xy12 2y2
或指数式： z1 x1 y1i z2 x2 y2i
有三角
关系： z1z2 z1z2
z1z2 z1z2
2、复数的乘法
z 1 z 2 (x 1 y 1 i)x 2 ( y 2 i)
( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i( x 1 y 2 x 2 y 1 )
z1z21 e i1 2 e i2
ei(12) 12
12 [c 1 o 2 ) s is( i 1 n 2 )
使用教材：数学物理方法，梁昆淼编
数学物理方法是物理类及其它相关理工类极为重要的 基础课，数学物理方法是连接数学与物理学的桥梁．是通 往科学研究和工程计算的必经之路．因为它教导我们怎样 将一个自然现象转化为一个数学方程．它非常充分地体现 了科学的精髓，即：定量化．因而数学物理方法在科学中 的地位尤为突出．
( k 0 ,1 ,2 ,3 )
故k取不同值，n z 取不同值
nz e 1/n i(2k)/n
k0 nz1/nei/n
k 1 nz1 /n e i( 2 )/n
k 2 nz1 /n e i( 4 )/n
a c c o 2 o c s 3 o s c s n o
b s i s 2 n i s 3 n i n s n i
W a i b co c2 s o c s 3 o s cn o i (s s i2 n i n s3 i n sn i)
z1z2 z1z2
ar z 1g z2 ) (az r1 g az r2g
3、复数的除法
z1 x1 y1i (x1y1i)(x2y2i) z2 x2 y2i (x2y2i)(x2y2i)
x1xx2 2 2 yy12 2y2ix2xy2 2 1 xy12 2y2
或指数式： z1 x1 y1i z2 x2 y2i
有三角
关系： z1z2 z1z2
z1z2 z1z2
2、复数的乘法
z 1 z 2 (x 1 y 1 i)x 2 ( y 2 i)
( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i( x 1 y 2 x 2 y 1 )
z1z21 e i1 2 e i2
ei(12) 12
12 [c 1 o 2 ) s is( i 1 n 2 )
使用教材：数学物理方法，梁昆淼编
数学物理方法是物理类及其它相关理工类极为重要的 基础课，数学物理方法是连接数学与物理学的桥梁．是通 往科学研究和工程计算的必经之路．因为它教导我们怎样 将一个自然现象转化为一个数学方程．它非常充分地体现 了科学的精髓，即：定量化．因而数学物理方法在科学中 的地位尤为突出．
( k 0 ,1 ,2 ,3 )
故k取不同值，n z 取不同值
nz e 1/n i(2k)/n
k0 nz1/nei/n
k 1 nz1 /n e i( 2 )/n
k 2 nz1 /n e i( 4 )/n
数学物理方法讲义
《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。
理学数学物理方法PPT课件
z0 | z |
第26页/共30页
复变函数的连续性
称函数w=f(z)在z=z0点连续，如果
1.
f(z0)存在；2.
lim
zz0
f
(z)存在;
3. lim理
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x0+iy0，那么f(z)在 z=z0点连续的充分必要条件是函数u(x,y)和 v(x,y)皆在(x0,y0)点连续。
举例
0， z 0
讨论函数
f
(z)
Re | z
z |
,
的连续性 z0
作业：P14 1，2，4
第29页/共30页
感谢观看！
第30页/共30页
无穷远点
第11页/共30页
复数的代数运算
运算
加减法
(x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2) 由几何图形可知 | z1 | | z2 || z1 z2 |
乘除法
|| z1 | | z2 ||| z1 z2 |
r1eiφ1× r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1+φ2) r1eiφ1/ [r2eiφ2] =( r1/r2 )ei(φ1 -φ2)
有| f(z)-A |< ，则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限，
记为
lim f (z) A
zz0
注意 与实函数的差别?
第25页/共30页
例
证明极限
z lim z0 | z |
不存在.
【 证 明 】 令 z x iy ， 则 沿 正 实 轴 趋 于 零 时 ， lim z lim x 1 ； 而 沿 负 实 轴 趋 于 零 时 ， z0 | z | x x0 lim z lim x 1 ；不同的趋向得到不同的极限值，故原极 z0 | z | x0 (x) 限 lim z 不存在.
第26页/共30页
复变函数的连续性
称函数w=f(z)在z=z0点连续，如果
1.
f(z0)存在；2.
lim
zz0
f
(z)存在;
3. lim理
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x0+iy0，那么f(z)在 z=z0点连续的充分必要条件是函数u(x,y)和 v(x,y)皆在(x0,y0)点连续。
举例
0， z 0
讨论函数
f
(z)
Re | z
z |
,
的连续性 z0
作业：P14 1，2，4
第29页/共30页
感谢观看！
第30页/共30页
无穷远点
第11页/共30页
复数的代数运算
运算
加减法
(x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2) 由几何图形可知 | z1 | | z2 || z1 z2 |
乘除法
|| z1 | | z2 ||| z1 z2 |
r1eiφ1× r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1+φ2) r1eiφ1/ [r2eiφ2] =( r1/r2 )ei(φ1 -φ2)
有| f(z)-A |< ，则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限，
记为
lim f (z) A
zz0
注意 与实函数的差别?
第25页/共30页
例
证明极限
z lim z0 | z |
不存在.
【 证 明 】 令 z x iy ， 则 沿 正 实 轴 趋 于 零 时 ， lim z lim x 1 ； 而 沿 负 实 轴 趋 于 零 时 ， z0 | z | x x0 lim z lim x 1 ；不同的趋向得到不同的极限值，故原极 z0 | z | x0 (x) 限 lim z 不存在.
最新数学物理方法第三章第三讲解析教学讲义ppt课件
也可采用间接展开法，即利用基本展开公式以及逐项求
导、逐项积分、代换方法等将函数展开成罗朗级数。 如
上例
ez z2
1 z2
(1
z
z2 2!
z3 3!
z4 ) 4!
1 z2
1 z
1 2!
1 z 3!
1 z2 4!
两种方法相比，其繁简程度显而易见. 因此，以后在
求函数的罗朗展开式时，通常不用公式去求系数 cn ，而常
长 的 时 间 隧 道，袅
数学物理方法第三章第三讲解析
例1
把函数
f (z)
ez z2
在以 z 0
为中心的圆环域 0 z 内展开成罗朗级数.
【解】 直接法展开
利用公式计算 cn ，那么就有
cn
1 2πi
C
e
n3
d
其中 C 为圆环域内的任意一条简单曲线.
当 n 3 0 ，即 n 3 时，由于 ez zn3 解析， cn 0 ，
1 z 3
n0
(
z
2)n
1 2(z 2) n(z 2)n1 , z 2 1
所以
f
(z)
z
1
2
(z
1 3)2
1 2 3(z 2) n(z 2)n2 z2
n(z 2)n2 , 0 z 2 1 n1
3 用级数展开法计算闭合环路积分
在罗朗展开式中的系数项中. 令 n 1 ，得到
(z)
1 (z 2)(z 3)2
在 0 z 2 1内展开成罗朗级数.
【解】因在 0 (z 2)n . n
因为
1 1 1 z 3 (z 2) 1 1 (z 2)
(z 2)n , z 2 1 n0
数学物理方法第三版.ppt
在极坐标下，先令z沿径向逼近零，
即z ei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
lim
0
u iv
ei
u
i
v
e
i
再令z沿横向逼近于零，
即z ei iei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
i ei lim u iv
u(x, x
y)
v( x, y
y)
v(x, y) u(x, y)
x
y
以上条件为复数z可导的必要条件，又称 为柯西—黎曼条件（简称C-R条件）。
极坐标系下的C-R条件
u
v
u
v
推导极坐标下的C-R方程
证明：由定义可知
u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,)
习题
例一
求解析函数u(x, y) x2 y2的虚部v(x, y)
解：因为：u 2x，u 2 y
x
y
所以：v 2 y，v 2x
x
y
即dv 2 ydx 2xdy
v 2 ydx 2xdy c
既然积分与路径无关，为方便计 算，取如图所示路径积分可得：
Y
(X,Y)
0
(X,0)
X
v
外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。
境界线：若Zo及其邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点，则该点为境界 点，境界点的全体称为境界线。
境界线 内点 境界点 外点
区域
区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中
的任何两点都可以用一条曲线连接起来 ，且线上的点全属于该点集。
cos z 1 (e2y e2 y ) 2(cos2 x sin2 x) 2
即z ei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
lim
0
u iv
ei
u
i
v
e
i
再令z沿横向逼近于零，
即z ei iei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
i ei lim u iv
u(x, x
y)
v( x, y
y)
v(x, y) u(x, y)
x
y
以上条件为复数z可导的必要条件，又称 为柯西—黎曼条件（简称C-R条件）。
极坐标系下的C-R条件
u
v
u
v
推导极坐标下的C-R方程
证明：由定义可知
u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,)
习题
例一
求解析函数u(x, y) x2 y2的虚部v(x, y)
解：因为：u 2x，u 2 y
x
y
所以：v 2 y，v 2x
x
y
即dv 2 ydx 2xdy
v 2 ydx 2xdy c
既然积分与路径无关，为方便计 算，取如图所示路径积分可得：
Y
(X,Y)
0
(X,0)
X
v
外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。
境界线：若Zo及其邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点，则该点为境界 点，境界点的全体称为境界线。
境界线 内点 境界点 外点
区域
区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中
的任何两点都可以用一条曲线连接起来 ，且线上的点全属于该点集。
cos z 1 (e2y e2 y ) 2(cos2 x sin2 x) 2
梁昆淼-数学物理方法
xat
2d
2
2a xat
cos x cos at 2t
( x)
u0
x1
x2
x1 x2
2
u(x,t) t0 (x)
例：求定解问题
utt a2uxx 0
ut (x,t) t0 0
2u0
x x1 x2 x1
x1
x
x1
2
x2
2u0
x2 x x2 x1
x1
x2 2
x
x2
0
x x1, x x2
u(x,t) 1 [(x at) (x at)]
2
u(x,t) 1 [(x at) (x at)]
2
u0
x1
x2
t 0
t t1 t t2
（二）、端点反射
utt a2uxx 0
u(x,t) t0 (x) ut (x,t) t0 (x)
Hu0
0 2
例2：一根导热杆由两段构成，两段热传导系数、比热、密
度分别为kI, cI, I, kII, cII, II, 初始温度为u0, 然后保持两端
温度为零，写出热传导问题的定解方程。
解：
第一段
ut I
kI
cI I
uxx I
0
x1
x
x2
x3
uI t0 u0
at)
1 2
(x
at)
1 2a
xat
(
)d
C
x0
2
u 1 [(x at) (x at)] 1
数学物理方法-绪论PPT课件
-
2
1.数学物理方程（50学时）
Chap.7 数学物理定解问题 (10) Chap.8 分离变数法(12) Chap.9 二阶常微分方程级数解法(10) Chap.10 球函数(10) Chap.11 柱函数(8)
-
3
2.矢量分析与场论(14学时）
Chap.1矢量分析(6) Chap.2场论(8)
2.熟练掌握不同定解条件(初始和边界) 下三类典型偏微分方程的解法 (分离变 数法) 3.掌握基本特殊函数的主要性质和应用
4.掌握矢性函数的计算和场的描述方法
-
6
教材
1.《数学物理方法》梁昆淼 编 2. 矢量分析与场论 谢树艺 编 参考书 1.《数学物理方法》吴崇试 编著 北大 2.《数学物理方程》谷超豪等 编著 复旦 3.《数学物理方法》邵惠民 编著 南大 3.《数学物理方程》季-孝达等编 中科大 7
数学物理方法(Ⅱ)
——是物理和数学相结合的一 门边缘科学,任务是研究物理 对象在数学中的描述
-
1
绪论
一、内容简介
1.数学物理方程（50学时）
——常微分方程、微分积分方程、 偏微分方程（反映物理量在空间中 的分布和随时间的变化规律）
2.矢量分析与场论(14学时）
——矢性函数的运算、标量场和矢
量场的描述方法
-
4
二、课程特点
1.涉及到的数学知识广泛（高等数学、 常微分方程、复变函数、线性代数）
2.涉及到的物理概念多（力学、热学、 电磁学…）
3.应用广泛(电动力学、量子力学、电磁场 理论）
4.计算较繁、计算量较大（掌握常规的分析步骤）
-
Байду номын сангаас
5
三、学习目标
数学物理方法教学Chapt3
对于与点z0紧邻z而言，Iz-z0I很小，上式中以am最为重要，则
这意味着F1-F2不可能在α上处处为零.这样，在α上处处为零，势必 使得在β上也处处为零，这与原来的假定矛盾！解析延拓唯一得证！
第三章 幂级数展开
3.1 复数项级数 3.2 幂级数 3.3 泰勒级数展开 3.4 解析延拓 3.5 洛朗级数展开 3.6 孤立奇点分类
两个级数和的乘积.
函数项级数收敛：如果函数项级数wk，
在某个区域B(或某根曲线l)上所有的点z都收敛，则称级数在B(或l)上 收敛.
复数项级数
函数项级数一致收敛：如果函数项级数wk在B(或l)上各点z，对于任
一给定的小正数ε，必有N(z)存在，使得n>N(z)时，
式中p为任意正整数.若N跟z无关，则称级数在B(或l)上一致收敛.
解析延拓就是解析函数定义域的扩大!
B F(z) b f(z)
解析延拓
解析延拓的方法
1. 利用泰勒级数展开：选取区域b的任一内点z0， 在z0的邻域上将解析函数f(z)展开为泰勒级数.如果泰勒 级数的收敛圆有一部分超出b之外，解析函数f(z)的定义 域就扩大一步;
2. 利用一些特殊方法.
解析延拓的唯一性证明
一给定的小正数ε，必有N存在，使得n>N时，
式中p为任意正整数.
绝对收敛：若复数项无穷级数wk各项的模组成的级数
收敛，则级数wk绝对收敛.
复数项级数
绝对收敛级数性质：
1.绝对收敛级数必是收敛的； 2.绝对收敛级数各项先后顺序可以任意改变，其和不变；
3.两个绝对收敛级数各项相乘得到的级数也是绝对收敛的，其和等于
数学物理方法梁昆淼编刘法缪国庆修订梁昆淼编刘法缪国庆修订讲演者徐卫青xuwq412mailustceducn数理系物理教研室第三章幂级数展开第三章幂级数展开31复数项级数31复数项级数32幂级数32幂级数33泰勒级数展开34解析延拓35洛朗级数展开36孤立奇点分类33泰勒级数展开34解析延拓35洛朗级数展开36孤立奇点分类第三章幂级数展开第三章幂级数展开31复数项级数31复数项级数32幂级数32幂级数33泰勒级数展开34解析延拓35洛朗级数展开36孤立奇点分类33泰勒级数展开34解析延拓35洛朗级数展开36孤立奇点分类复数项级数表达式设有复数项的无穷级数它的每一项都可分为实部和虚部复数项级数它的每项都可分为实部和虚部它的每项都可分为实部和虚部那么wk的前n1项的和可以写为从而复数项无穷级数wk的收敛性问题归结为两个实数项级数的收敛性问题
数学物理方法讲义
《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。
数学物理方法 第4章 留数定理
e
ma
2 ia
0
cos ma x a
2 2
dx i
e
ma
e
ma
2 ia
2a
y
例：
0
sin x x
dx
Cε
CR
解：如图4.9所示，
图4.9
0
x
sin x x
dx lim
R 0
R
sin x x
R e imx dx lim dx R 2i 0 x 1
1
z 1
1 2
z z 2
1
2
iz
dz
z 1
z (1 ) z
2 2
i
f (z)
dz
z 1
( z 1)( z )
1
记：
z
( z 1)( z )
它在复平面上有2个单极点
和
1
其中 z 在单位圆内，其留数为：
CR
x 图4.7
f ( x ) dx 2 i
{
f (z)
在上半平面所有奇点的留数之和}
例：
dx 1 x
2
解： 记：
z i
f (z)
1 1 z
2
,它在上半平面有单极点
其留数为：
1 zi 1 2i
Re sf ( i ) lim ( z i ) f ( z ) lim
1 z ( z 2i)
3
并求函数在这些极点的留数。
数学物理方法第四版(梁昆淼)期末总结ppt
f ( z) 2i ( n ) dz f ( ) (2) 利用柯西公式 l n 1 n! (z )
来计算积分.
19
例1.
c
sin(
z) 4 dz, 其中c : ( x 1) 2 y 2 1 z2 1
y
sin( z ) 4 dz I z 1 z 1 c
v 2 x ( y ) y
( y) y
1 2 y C 2 1 v 2 xy ( y 2 x 2 ) C 2 1 f ( z ) u iv x 2 y 2 xy i[2 xy ( y 2 x 2 )] iC 2 1 ( x iy ) 2 i ( x iy ) 2 iC 2 1 z 2 i z 2 iC 2 ( y )
0 (l不包围 ) 1 l z dz 2 i (l包围 )
z
1 1 1 1 dz ( dz 2 z z 1 z z 1 dz ) z 1 2 1 (2 i 2 i ) 2 0
21
第三章
一、收敛半径
或虚部，通过C—R条件求出该解析函数的虚部或
实部，从而写出这个解析函数。
① 算偏导
② u或v 的全微分
③ 求积分
④ 表成 f ( z )
10
例 3：已知解析函数 f (z ) 的实部u( x, y) x2 y2 xy, f (0) 0 ， 求虚部和这个解析函数。
解：
u u 2 x y, x 2 y x y
17
4、柯西公式
f ( z) l z dz 2 if ( )
高阶导数的柯西公式
第一篇第4章数学物理方法PPT
C3
(1) C3
∫ Rezdz ＝
(2) C3
1 +i 2
除了与起点、终点有关外， 除了与起点、终点有关外，
由此例可知， 由此例可知，一般说来复变函数积分
∫ f ( z ) dz
C C
还与积分路径C有关 还与积分路径 有关. 什么情况下复变函数积分 有关 无关呢？这里有 定理. 无关呢？这里有Cauchy定理 定理
C
解：由于
z3
是全平面的解析函数， 是全平面的解析函数，所以有
1 i 2 1 4 2i
z ∫ z dz = ∫ z dz = 4 C 1
3 3
1
1 1 4 1 15 = ( i) − = − 4 2 4 64
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Click to edit title style
C C C
α, β
写出有向曲线C的复式 写出有向曲线 的复式
是复常数. 是复常数
对于复积分的计算除了可化为两个第二类的曲线积分的计算外， 对于复积分的计算除了可化为两个第二类的曲线积分的计算外，通常
z = z (t )
b
，不失一般性，实变量 t 总可以 不失一般性，
认为a≤t≤b，（否则利用性质（2）化成这种形式），于是有计算公式： ，（否则利用性质（ ）化成这种形式），于是有计算公式： ），于是有计算公式 认为 ，（否则利用性质
圆周
γ
：z −a
iθ = r ，即 z − a = re
， (0≤
θ≤
n inθ
2π )
dz = rie dθ , ( z − a) = r e
n
于是有
iθ
dz dz ∫ ( z − a) n = ∫ ( z − a) n = C γ
(1) C3
∫ Rezdz ＝
(2) C3
1 +i 2
除了与起点、终点有关外， 除了与起点、终点有关外，
由此例可知， 由此例可知，一般说来复变函数积分
∫ f ( z ) dz
C C
还与积分路径C有关 还与积分路径 有关. 什么情况下复变函数积分 有关 无关呢？这里有 定理. 无关呢？这里有Cauchy定理 定理
C
解：由于
z3
是全平面的解析函数， 是全平面的解析函数，所以有
1 i 2 1 4 2i
z ∫ z dz = ∫ z dz = 4 C 1
3 3
1
1 1 4 1 15 = ( i) − = − 4 2 4 64
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C C C
α, β
写出有向曲线C的复式 写出有向曲线 的复式
是复常数. 是复常数
对于复积分的计算除了可化为两个第二类的曲线积分的计算外， 对于复积分的计算除了可化为两个第二类的曲线积分的计算外，通常
z = z (t )
b
，不失一般性，实变量 t 总可以 不失一般性，
认为a≤t≤b，（否则利用性质（2）化成这种形式），于是有计算公式： ，（否则利用性质（ ）化成这种形式），于是有计算公式： ），于是有计算公式 认为 ，（否则利用性质
圆周
γ
：z −a
iθ = r ，即 z − a = re
， (0≤
θ≤
n inθ
2π )
dz = rie dθ , ( z − a) = r e
n
于是有
iθ
dz dz ∫ ( z − a) n = ∫ ( z − a) n = C γ
粱昆淼第四版数学物理方法第3和4章
z1z01z zz00z zz002
k
CR2 z0
R2
1 zz0
k0zzz00
C R1
C
f(z)2 1iC 'R 1f( z)d2 1iC 'R2f( z)d
k
1
z
1 zz0
k0zzz00
R1 z
1 f()d
2i z C'R2
CR2 z0
21i C'R2k0((zzz00))kk1f()d C R 1
ak
f (k) (z0) k!
例：在z0=0邻域上把 f (z) ez 展开
解：
ak
f (k) (z0) k!
1 k!
d k ez dzk
z0
1 k!
公比为
ez 1zz2 zk
2!
k!
z k k0 k!
z
R lim ak lim k
a k k 1
k
例：在z0=0邻域上把 f(z)sinz和 f(z)cozs 展开
CR1为圆CR内包含z且与CR
同心的圆
z0
z z z0 CR1 CR
证：cauch公式 f(z)21i CR1 f(z)d
1
1
1
1
z z0(zz0) z01(zz0)/(z0)
1z01z zz00z zz002
z z0 1 z0
1 z0
k0zzz00
k
z0
z
(z z0)k
zk
1 zn1 lim
1
k0
n 1z 1 z
( z 1)
例：求幂级数 (1)k z2k 的收敛半径
k 0
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1
1
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1
z z0(zz0) z01(zz0)/(z0)
1z01z zz00z zz002
z z0 1 z0
1 z0
k0zzz00
k
z0
z
(z z0)k
k0 ( z0)k1
z z0
CR1 CR
f(z)21iCR1 f(z)d
1
2 i
CR 1k0((z zz00 ))kk 1f(
第三章 幂级数展开
§3.1 复数项级数 §3.2 幂级数 §3.3 泰勒级数展开 §3.4 解析沿拓 §3.5 洛朗级数展开 §3.6 孤立奇点的分类
§3.1 复数项级数
1、w k 复 数u k 项 级ik 数vk 0 ,1 ,2 , 称级数
wk
k 1
收敛于F
复数项级数和
wk ukivk
k1
k1
圆CR内解析，则对圆内的任意
f(z) ak(zz0)k
z点，f(z)可展开为
k0
其中a ：k2 1i ( C R 1 f( z0) )k 1df(kk )( !z0)
CR1为圆CR内包含z且与CR
同心的圆
z0
z z z0 CR1 CR
证：cauch公式 f(z)21i CR1 f(z)d
k1
各项都是z
的函数
n p
w k
对于B（或l 上）任意 z,给定 >0,总有N(z)
k n1
，使得n>N(z) 时
p 为任意正整数
n p
绝对收敛：
wk ( z )
k n1
wk
uk2 vk2
k 1k1收敛 Nhomakorabea称为级数在B上一致收敛
此时，若每项连续， 则和连续
§3.2 幂级数
讨论幂
级数
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
科西收敛判据： (级数收敛必要条件)
2、复变函数项级数
对于任意 >0,有N，使得n>N时 wk(z)w1(z)w2(z)
F n p F nw n 1 w n 2 w n p
2
k
( z1 1)
§3.4 解析沿拓
1、解析沿拓概念
比较两个
函数：
zk 1zz2 z 1
k0
1
和
1 z
除 z=1 以外 两者在较小区域等同
设某个区域b 上的解析函数f(z)，找出另一函数F(z),它在
含有b 的一个较大的区域B上解析，且在区域b上等于f(z)
称F(z)为 f(z)的解析沿拓
1(
(iz)k
(iz)k)
2i k0 k! k0 k!
z
(1)k z2k1 k0 (2k 1)!
cozs1(eizeiz) (1)k z2k
2
k0 (2k)!
z
例：在z0=0邻域上把
f
(z)
1 1
z
展开
解：
1
1
z
1zz2
zk
z 1
k0
例：在z0=0邻域上把
f
(z)
1 1 z2
k1
n
这时 ln imk1uk u
前n 项和
n
n
n
wk uki vk Fn
k1
k1
k1
n
ln imk1vk v 也收敛
n
若
lim
n k1
wk
F
有限
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
1 发散
绝对收敛
(zz0) R
2、根值判别法
lk imk ak (zz0)k 1
发散 绝对收敛
lk imk ak (zz0)k 1
发散
R lim 1 a k k
k
(zz0) R 绝对收敛
(zz0) R 发散
3、收敛圆与收敛半径 以z0为圆心半径为R的圆内级数绝对收敛，这个圆称 为收敛圆。R为收敛半径
z0
1 k!
公比为
ez 1zz2 zk
2!
k!
z k k0 k!
z
R lim ak lim k
a k k 1
k
例：在z0=0邻域上把 f(z)sinz和 f(z)cozs 展开
解： sinz1(eizeiz)
1 (iz)k (iz)k
(
)
2i
2i k0 k! k0 k!
展开
1
1 z2
z 2k
z 1
k0
例：在z0=1邻域上把 f(z)lnz 展开
解： f(z)lnz
f(1)ln1n2i
f '(z) 1
z
f
''
(z)
1! z2
f '(1) 1 f ''(1) 1
ff(k()3() z( z)) (z213!)k (kzk1)!
f (3)(1)2!
f(k)(1)(1)k(k1)
lnzn 2i 1 (z 1 ) 1 !(z 1 )2 ( 1 )k(k 1 )(z ! 1 )k
1 ! 2 !
k !
lnzn 2i 1 (z 1 ) 1 !(z 1 )2 ( 1 )k(k 1 )(z ! 1 )k
1 ! 2 !
k !
n 2 i (z 1 ) 1 (z 1 )2 ( 1 )k(z 1 )k
R lim ak a k
k 1
1
公比为 z2
如 z 1
收敛圆： 以0为圆心 半径为1
z 1
k 0
(1)k
z2k
1
1 z
2
( z 1)
例：求幂级数
(z / 2)2k
解：R lim 1 a k 2k
2k
k 0
的收敛半径
lim 1 k 2k 1/ 22k
2
§3.3 泰勒级数展开
定理：设f(z)在以z0为圆心的
)d
k 0(z z0)k2 1iC R 1(
1 z0)k 1f()d
而由cauch
公式
f(k)(z)2k !i l(f(z))k1d
f(z) ak(zz0)k k0
ak
f (k) (z0) k!
例：在z0=0邻域上把 f (z) ez 展开
解：
ak
f (k) (z0) k!
1 k!
d k ez dzk
a k(zz0)ka 0a 1(zz0)a 2(zz0)2
k 0
为以z0 为中心的幂级数
考虑
a 0a 1(z z0)a 2(z z0)2
1、比值判别法
令：
lim
k
ak1 ak
(z z0)k1 (z z0)k
limak1 k ak
(zz0)
R lim ak a k
k 1
(zz0) R
1 绝对收敛
例：求幂级数 z k k0
解： ak 1
的收敛半径
R lim ak a k
k 1
1
收敛圆： 以0为圆心 半径为1
z 1
事实上：
如
z 1
n zk
k0
1 z n1 1 z
zk
1 zn1 lim
1
k0
n 1z 1 z
( z 1)
例：求幂级数 (1)k z2k 的收敛半径
k 0
解： ak (1)k