高中数学解题基本方法换元法
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是一种广泛应用于高中数学解题中的方法。
它的核心思想是通过一定的变换将问题转化为更易于解决的形式，从而得到问题的解。
一、函数换元法1. 基本思想函数换元法是一种利用函数的运算性质，将复杂函数转化为较为简单的函数，从而帮助我们解决问题的方法。
例如，在求函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$ 的零点时，我们可以采用换元法将 $x-1$ 替换为 $t$，从而得到 $f(t)=\frac{1}{t}$，这样我们就可以较为容易地求得 $t=0$，进一步得到 $x=1$ 这一解。
2. 具体应用函数换元法在高中数学中广泛应用于函数的求导、求极限等方面。
例如，在求函数$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的导数时，我们可以采用函数换元法将$2x+\frac{\pi}{6}$ 替换为 $t$，这样就可以得到$\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dt}\sin t \times\frac{d}{dx}(2x+\frac{\pi}{6})=\cos(2x+\frac{\pi}{6})\times2=\sqrt{3}\cos(2x+\frac{\pi}{6})$。
这样问题就被转化为了求 $\sin t$ 的导数，从而便于计算。
二、微分方程的换元法微分方程是一种描述物理现象的重要工具，但由于其求解的困难度较大，我们需要采用适当的方法来简化问题。
其中，微分方程的换元法就是其中一个重要的方法。
例如，在求解微分方程 $y'+y=e^x$ 时，我们可以采用换元法将 $y=e^{-x}u$，得到$\frac{dy}{dx}=e^{-x}\frac{du}{dx}-e^{-x}u$，代入原方程后得到$\frac{du}{dx}=e^x$，进一步得到 $u=e^x+C$，从而得到原方程的通解为$y=e^{-x}(e^x+C)$。
微分方程的换元法在高中数学的物理问题中经常被应用。
换元法高中数学思想方法
换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t〔t>0〕，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用代数式中与三角知识中有某点联系进展换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2〔r>0〕时，那么可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原那么，换元后要注重新变量围的选取，一定要使新变量围对应于原变量的取值围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。
Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4) 〔a>1〕，那么f(x)的值域是_______________。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用1. 引言1.1 介绍换元法换元法是高中数学中常用的一种解题方法，通过对变量进行替换或者转化，可以简化问题的处理过程，使得原本复杂的数学题目变得更容易解决。
换元法在数学中的应用非常广泛，不仅可以用来解一元二次方程、化简代数式，还可以用来证明数学定理、解决几何问题以及处理微积分问题等。
在数学中，换元法是一种灵活的工具，能够帮助我们更加深入地理解数学概念，提高问题解决效率。
通过适当选择变量的替换，可以将原本复杂的问题简化为更容易处理的形式，从而更快地得出解答。
换元法在高中数学学习中起着举足轻重的作用，不仅可以帮助我们更好地掌握数学知识，还可以培养我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
要想在高中数学学习中取得更好的成绩，掌握好换元法这一重要的解题工具是至关重要的。
通过不断练习和理解，我们可以更好地运用换元法解决各种数学问题，提高自己的数学解题能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
1.2 换元法在解高中数学问题中的重要性在高中数学中，换元法可以用于解一元二次方程。
通过适当的变量替换，可以将原问题转化为简单的一次方程问题，从而更容易地求解方程的解。
换元法还可以用于化简复杂的代数式，从而简化计算过程，提高计算效率。
换元法还可以用于证明数学定理。
通过巧妙地引入新的变量，可以简化证明过程，使得证明更加清晰和简洁。
换元法还可以用于解决几何问题和微积分问题，在解决这些问题时发挥着非常重要的作用。
换元法在高中数学解题中的灵活运用可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题效率和解题能力。
换元法是高中数学学习中不可或缺的重要工具，学生应该认真学习和掌握这一方法，以便更好地应对各种数学问题。
2. 正文2.1 利用换元法解一元二次方程利用换元法解一元二次方程是高中数学学习中非常常见的问题。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
当解一元二次方程时，有时候可以通过换元法来简化计算过程。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中一种重要的解题方法，在解决各类函数的求导、定积分以及一些简单的微分方程中都有广泛的应用。
它是一种通过合理的变量替换来简化问题、降低难度的数学技巧，能够极大地提高解题的效率，因此在高中数学的学习中至关重要。
一、换元法的概念与基本思想换元法是一种将复杂的算术计算问题转化为简单的计算问题的数学方法，它通过构造适当的变量替换来简化原问题。
换元的基本思想是通过替换自变量，使问题的解能够进行简化或者直接得到。
对于一个给定的函数，我们可以对其进行合适的变换，从而使函数的形式更加简单。
这种变换可以通过引入一个新的变量来实现，这个新的变量通常被称为“中间变量”或者“代换变量”。
通过代入变量替换原函数，我们可以得到一个形式更加简单的函数。
换元法的核心是将问题转化为新的问题求解，通过合适的代换使问题变得更简单。
二、换元法的主要应用换元法在高中数学中的应用很广泛，主要包括以下几个方面：1.函数的求导换元法在函数求导的计算中有重要的应用。
对于复杂的函数，我们可以通过引入合适的变量替换来简化计算过程。
对于含有根号的函数，可以通过引入一个新的变量来简化计算。
具体而言，如果要计算函数y=f(x)的导数，我们可以令y=g(u)，其中u是一个函数，然后通过计算导数du/dx和函数关系g(u)得到dy/dx。
这样，我们可以通过导数的链式法则将原函数的导数表示为新变量的导数和链式法则的乘积。
2.定积分3.微分方程在求解一些简单的微分方程中，换元法也有重要的应用。
通过引入恰当的变量替换，我们可以将微分方程转化为更简单的形式，从而使求解过程更加容易。
具体而言，我们可以将微分方程中的变量替换为新变量，并根据新变量的定义和微分方程的关系来求解新变量。
通过求解新变量，我们可以得到原微分方程的解。
三、换元法的常用方法在使用换元法求解问题时，我们需要根据具体问题选择合适的代换方法。
常见的代换方法主要有以下几种：1.代换叠加法对于一些含有多项的复杂函数，我们可以通过分别代换每一项来简化计算。
高中数学常见解题思想方法方法篇高三适用：三、换元法 含解析 精品
——实现转化的一种方法一、什么是换元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.二、实现换元的常用方法有：整体代换，三角换元，均值换元，和差换元，比值换元等等.以下讲述几个常用的方法.（一）整体代换，又称局部换元：是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题.1.解方程或不等式.例1：解不等式：4x＋2x－2≥0.分析：先令2x＝t（t>0），从而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题.2.求解析式.例2：若f(ln x)＝3x＋4，则f(x)的表达式为 .分析：令ln x ＝t ，则x ＝e t ，故f (t )＝3e t ＋4，得f (x )＝3e x＋4. （二） 三角换元：应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中 有某点联系进行换元，转化成三角函数相关的问题.例3：求函数y 的值域.（三） 均值换元：当已知S x y +=时，可设S S,22x t y t =+=- ，使原来的元,x y ，换成关于元t 的问题. 例4：已知正实数,a b 满足1a b +=，22,M a b =+求M 的最值.分析：由已知1a b +=，可设11,22a tb t =-=+ 102t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，2221112222M t t t ⎛⎫⎛⎫∴=-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，转化成求关于元t 的二次函数的最值.我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量的范围一定要对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大.如上例1和例3中的t >0和0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.在有的题中，使用的就是明显的换元转化；也有的是在题目的解答过程中，使用换元法以便于解答，以下通过几道练习题，来体会换元的过程. 练习题：1.若f (ln x )＝3x ＋4，则f (x )的表达式为( ) A.f (x )＝3ln x B.f (x )＝3ln x ＋4 C.f (x )＝3e x D.f (x )＝3e x ＋42.函数y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的最大值为( ) A.12＋ 2 B.2－12 C.2 2 D.223.已知f (x )是定义在R 上的奇函数， f (x +1)是偶函数，当x ∈(2，4)时，f (x )=|x −3| ，则f (1)+f (2)+f (3)+f (4) =( )A.1B.0C.2D.-2 提示：本题可利用换元得到函数周期性. 4.函数y ＝3x ＋2－42－x 的最小值为( ) A.－8 B.8 C.－10 D.105.32ax >+的解集是(4，b )，则a ＝________，b ＝________.6.已知a 212x x a+-对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________.7.方程14230x x +--=的解是 .8.【2014江苏，19】已知函数()e e x x f x -=+，其中e 是自然对数的底数. (1)证明：f (x )是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式()e 1x mf x m -≤+-在(0，+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在x 0∈. 因为(x ＋2)2＋(2－x )2＝4，故可设⎩⎨⎧x ＋2＝2sin θ，2－x ＝2cos θ，⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 则y ＝3×2sin θ－4×2cos θ＝6sin θ－8cos θ＝10sin(θ－φ)，⎝⎛ 其中φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos φ＝35，⎭⎪⎫sin φ＝45.因为θ∈，所以θ－φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－φ，π2－φ.所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－8.5.32ax >+的解集是(4，b )，则a ＝________，b ＝________.6.已知a 212x x a+-对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________.解析：原不等式即212x xa ≥+① ，t =，1t ≥，则21x t =-， 将21x t =-代入①式，则有()22221111122t t t ta---≥+=+- ()2212122t t t --+==，()()()2221112t t t a+--∴≥对一切1t ≥恒成立，()2112t a+∴≥对1t ≥恒成立，又a 为正的常数， 所以()2min218a t ⎡⎤≤+=⎣⎦，故a 的最大值是8.7.方程14230x x +--=的解是 .8.【2014江苏，19】已知函数()e e x x f x -=+，其中e 是自然对数的底数. (1)证明：f (x )是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式()e 1x mf x m -≤+-在(0，+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围； (3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，+ ∞)，使得f (x 0)<a (－x 03+3x 0)成立，试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论.9.设F 是抛物线C ：24y x =的焦点，P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点A ，B (l 不过P 点)，且ΔPAB 重心的纵坐标为23-.(1)记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2.求k1+k2的值；(2)求11FA FB的最大值.。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是一种在数学解题中常用的方法，它主要用于将复杂的数学问题转化为更简单的形式来解决。
这种方法在高中数学中的应用非常广泛，下面我将详细介绍换元法在高中数学解题中的应用。
最常见的换元法是代数换元法。
在代数换元法中，我们会将一个或多个变量用新的变量来表示，从而简化问题的解答过程。
我们来看一下代数换元法在高中数学中常见的应用之一——代数方程的解法。
在解代数方程的过程中，我们经常会遇到一些复杂的方程，例如含有平方根、三角函数等。
为了简化方程的求解，我们可以通过换元法来转换方程的形式。
举个例子，如果我们要求解方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以令y = x - 2，从而将方程转化为y^2 - 3 = 0。
这样一来，我们就可以更容易地求解出y的值，再通过反代得到x的值。
这个例子展示了换元法在代数方程解法中的重要作用。
另一个常见的应用是积分运算中的换元法。
在高中数学中，我们学习了很多不同种类的函数和曲线图像。
在计算函数的积分时，我们经常会遇到需要进行换元的情况。
通过进行合适的变量替换，可以将复杂的积分化简为简单的形式。
对于定积分∫(1+x^2)dx，我们可以通过换元法将x^2替换为tan^2θ，从而将积分转化为∫(1+tan^2θ)sec^2θdθ，这样一来，我们就能更容易地求解出积分的值。
换元法在积分运算中的应用非常广泛，是求解复杂积分的重要技巧。
除了代数方程和积分运算，换元法在高中数学的其他领域也有广泛的应用。
在三角函数的证明中，我们经常需要通过换元法将一个复杂的三角函数化简为一个简单的形式，以便于我们进行进一步的推导和证明。
在概率与统计的计算中，我们也常常需要使用到换元法来简化问题的解答过程。
换元法在高中数学解题中的应用非常广泛，无论是代数方程的解法、积分运算还是其他数学领域，都离不开这一重要的方法。
通过合理地选取变量替换，我们可以将复杂的数学问题转化为更简单的形式，从而更便于我们进行解题。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用【摘要】换元法是高中数学中常用的解题方法之一，本文通过分析换元法在代数、微积分和几何问题中的应用，探讨了其灵活运用对于解决复杂问题的重要性。
首先介绍了换元法的基本概念，然后讨论了其在不同领域中的具体应用，包括代数方程求解、微积分函数积分和几何图形变换等方面。
文章强调了掌握换元法对于提高数学解题能力的重要意义，指出通过灵活运用换元法可以更好地解决各种数学问题。
通过本文的学习，高中数学学生可以更好地掌握换元法这一重要的解题方法，提高数学解题能力，为今后的学习打下坚实的基础。
【关键词】换元法、高中数学、应用、基本概念、代数、微积分、几何、注意事项、灵活运用、提高数学解题能力、重要意义1. 引言1.1 换元法在高中数学解题中的应用在高中数学学习中，换元法是一个非常重要的解题方法，它可以帮助学生解决复杂的问题，提高数学解题能力。
换元法实际上是一种代数运算技巧，通过引入新的变量或者函数，将原问题转化为更易解决的形式。
在代数问题中，换元法常常用于简化方程、求解方程组，解决多项式的因式分解等问题。
在微积分问题中，换元法可以用来简化积分运算，求出复杂函数的原函数。
在几何问题中，换元法常常用于证明几何定理，求解几何问题。
在应用换元法时，需要注意选择合适的换元变量，使得问题更容易解决，避免引入不必要的复杂性。
掌握换元法对于高中数学学生来说是非常重要的，它可以帮助他们更好地理解数学知识，提高解题能力，培养逻辑思维能力，解决问题的能力。
换元法的灵活运用可以让数学变得更加有趣和具有挑战性，对学生的数学学习和考试都有着积极的促进作用。
2. 正文2.1 一、换元法的基本概念换元法是高中数学中常见的解题方法之一，它主要是通过引入新的变量或函数来简化原问题的解答过程。
换元法的基本概念包括以下几点：换元法的核心思想是将原问题中复杂的部分用一个新的变量或函数替代，从而转化为一个更简单的形式。
这个新的变量或函数通常会与原问题中的变量之间存在某种特定的函数关系，通过这种关系可以将原问题转化为一个更容易求解的形式。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用
换元法是一种常用的解题方法，用于简化和解决复杂问题。
它适用于高中数学的各个领域，如函数、微积分、概率论等。
本文将介绍换元法在高中数学解题中的应用。
在函数部分，换元法常用于函数的分析、求极值、求导等问题。
在分析函数的增减性时，我们可以利用换元法将原函数转化为更容易处理的函数形式。
以函数f(x) = x^3 -
3x^2 + 2x为例，我们可以令y = x - 1，将原函数转化为f(y) = (y + 1)^3 - 3(y + 1)^2 + 2(y + 1)。
通过计算这个新函数的一阶导数和二阶导数，我们可以分析出原函数的单调性和极值情况。
除了上述应用，换元法还可以应用于等比数列、导数的应用、泰勒展开等各个数学领域。
在等比数列的求和问题中，我们可以利用换元法将等比数列转化为等差数列的形式，从而利用求和公式来计算求和值。
在导数的应用中，我们可以利用换元法将复杂的函数求导问题转化为简单的函数求导问题，从而提高计算的效率。
在泰勒展开中，我们可以利用换元法将原函数转化为简化形式，从而利用泰勒展开公式来计算函数的近似值。
换元法是一种重要的解题方法，在高中数学的各个领域中都有广泛的应用。
通过合理选择合适的换元变量，我们可以将复杂的问题简化为易于处理的形式，从而更加高效地解决问题。
换元法的应用也需要根据具体问题来决定，不能一概而论。
我们需要在实际解题过程中灵活运用换元法，并结合其他数学方法进行分析和求解。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中常见的一种解题方法，也是一种常用的积分方法。
它的原理是通过适当地变换自变量，将原方程或原式子简化成一个更易求解的形式。
换元法在高中数学中的应用非常广泛，下面就具体介绍一些常见的应用。
1. 函数的图像与变换：在研究函数的图像与变换时，我们常常需要用到换元法。
通过适当地变换自变量，可以将原函数的图像进行平移、伸缩等操作，进而得到新函数的图像。
对于函数y=sin(x)，我们可以通过变换自变量x来得到y=sin(2x)、y=sin(x-pi)等函数的图像。
这些变换可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
2. 三角函数的积分：在高中数学的积分中，三角函数的积分是一个常见的难点。
通过换元法，可以将复杂的三角函数积分化简成简单的积分。
对于积分∫sin^2(x)dx，我们可以通过换元u=sin(x)来将其化简成∫u^2du，进而求解。
还有一些特殊的换元方法，如倍角、半角等，可以帮助我们解决一些特殊的三角函数积分。
3. 微分方程的求解：微分方程是高中数学中的重要内容，而换元法是求解微分方程的重要方法之一。
通过合适的换元，我们可以将微分方程化为变量可分离的形式，从而更容易求解。
对于微分方程y'=(1+y)/(1-x)，我们可以通过换元u=1+y来将其化简成u'/(u-1)=dx/(1-x)，然后再进行变量分离，最后求得u和y的解。
5. 曲线的弧长与曲线积分：在研究曲线的弧长和曲线积分时，我们常常需要使用换元法。
通过适当地变换自变量，可以将曲线的参数表示转化为更简单的形式，从而更容易进行计算。
对于曲线y=x^2在x=0到x=1上的弧长，我们可以通过变换t=x^2来将其化简成∫√(1+2t) dt，进而求解。
同样，在曲线积分中，也可以利用换元法将积分变量转化为更简单的形式。
换元法是高中数学中常用的一种方法，它可以帮助我们将复杂的数学问题化简成简单的问题，从而更容易求解。
换元法(高中数学思想方法)
换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。
Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
高中数学解题方法系列：函数求最值问题的7种方法
高中数学解题方法系列：函数求最值问题的7种方法最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛的应用。
最值问题长期是各类考试的热点，求函数最值常用方法有：一、配方法配方法是求二次函数最值或可转化为二次函数的函数最值的基本方法，形如])()([)(2c x bf x f a x F ++=的函数最值问题，均可使用配方法。
例1、已知]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x，求函数)()]([22x f x f y +=最值。
解：由]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x，得222222log2)log 2()()]([x x x f x f y +++=+=3)3(log 6log 6)(log 23323-+=++=xx x 。
又函数f(x)定义域[1,3]，所以函数)()]([22x f x f y +=定义域为{31312≤≤≤≤x x ，解得31≤≤x ，所以]21,0[log 3∈x。
由二次函数单调性得，4376≤≤y ，所求函数最大值为374，最小值为6。
评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围，和对称轴与区间的相对位置关系。
二、判别式法主要适用于可化为关于x 的二次方程的函数,把函数转化成关于x 的一元二次方程，通过方程F(x,y)=0有实根，判别式0≥∆，当x 的范围是R 时,仅考虑即可,当X 的范围非R 时,还需要结合图形另解不等式。
特别的，形如22221121c x b x a c x b x a y ++++=22,(a a 不同是为0）分子、分母无公因式的函数最值常用此法。
例2、求下列函数最值（1）432+=x x y ；（2）3274222++-+=x x x x y 。
解；（1）由432+=x x y ，得0432=+-y x yx 。
当y=0时,x=0;当0≠y 时,由0≥∆得4343≤≤-y ,故原函数最小值为34-，最大值为34。
高中数学解题的七种常用方法
高中数学解题的 七种常用方法
张晓娇
高中数学相对于初中数学，不仅要学习 掌握的内容数量增加了许多，而且内容难度 也加大了，所以学生需要掌握更多的数学思 想以及常见的解题方法。对于高中生而言，掌 握并熟练运用这些数学方法，可以在解题过 程中快速解决问题，得出正确答案。
一、配方法 在高中数学的学习中，学生首先掌握的 数学方法就是配方法。这是一种广泛运用的 数学方法，主要运用在已知或者未知中存在 二次方程、二次函数，或者二次不等式等，还 有在曲线平移等问题中被作为基础方法运 用。配方法是对数学式子进行定向变形，找到 已知与未知数量关系的联系，最终达到化繁 为简的目的。在配方过程中运用裂项和添项， 巧凑和巧拼，实现配方，所以也被称为“凑配 法”。例如已知 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝２，则 ｓｉｎαｃｏｓα 的 值为 ＿＿＿＿＿＿。这道题就需要通过配方法进行 解答，将 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝２ 进行配方，最终得到（ｓｉｎα＋ ｃｏｓα）２－２ｓｉｎαｃｏｓα，最终得到 ｓｉｎαｃｏｓα 的值。 二、换元法 换元法也是比较常用的数学解题方法， 就是通过将一个式子看作一个整体，用另一 个变量进行替换，使问题得以简化，快速找到 解答方法。其实，换元从本质上讲就是转化， 通过造元和设元，进行等量代换，将问题转移 到熟悉的环境下进行解决。从复杂到简单，由 非标准变成标准。这种方法主要运用于高次 降为低次，分式变成整式，将无理变成有理， 将复杂变成简单，适用函数、三角、不等式和 数列等问题中。例如，设实数 x、y 满足 x＋xy－ ３＝０，则 x＋y 的取值范围是多少。运用换元法， 将 x＋y 设置成“k”，然后运用“△”进行求解， 最终得出 k 的取值范围，从而得到 x＋y 的取 值范围。
六、参数法 数学参数法就是在解题过程中引入一些 与题目相关联的新变量。通过该变量进行分 析和解答，最终消除参数，得出答案。这种方 数 法在直线与二次曲线之间的关系中比较常 学 用。参数法充分体现出事物普遍的联系，而通 篇 过参数法就能找出联系，从而找出事物的本 质。参数法体现出运动与变化的思想，其观点 42 被运用在数学的各个方面。运用参数法时需
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用
换元法是高中数学中非常重要的一种解题方法。
它通常用于解决函数积分、微分等问题。
以下是换元法在高中数学解题中的应用：
1. 函数积分
换元法通常用于解决函数的积分问题。
对于某些函数，通过将自变量通过合适的变换转化为其他形式，可使函数变得更容易积分。
例如，对于函数$f(x)=\frac{1}{(1+x^2)^2}$，它是一个复合函数的形式。
我们可以通过将$x=\tan t$来换元，于是$f(x)$可写成$\frac{1}{2}\int\frac{\cos
t}{(\cos^2t+\sin^2t)^2}dt$的形式。
这个积分可以通过代换$\sin t=z$的方法求解。
2. 微分方程
换元法对于微分方程的解题也非常有用。
通过对自变量或因变量的变换，可以使微分方程的形式更加简单明了，方便求解。
例如，对于一个一阶常微分方程$y'+xy=x$，我们可以通过将
$x=ue^{-\frac{1}{2}x^2}$、$y=v(u)e^{\frac{1}{2}x^2}$的方法进行换元。
这样可以将方程转化为$v'+v=1$的形式，从而更容易求解。
三角函数的积分在高中数学中也经常出现，我们可以通过换元法使三角函数的形式更简单。
反三角函数积分中经常需要使用换元法来进行求解。
通过对自变量进行换元，可以将反三角函数积分转化为简单的有理函数积分。
总之，换元法是高中数学中非常重要的一种解题方法，它可以使原问题变得更加简单明了，方便求解。
马心同-高中数学解题基本方法
高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。
Ⅰ、再现性题组：1. 在正项等比数列{a}中，a♦a+2a♦a+a∙a=25，则 a＋a＝_______。
2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1B. k<14或k>1C. k∈RD. k＝14或k＝13. 已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 54]B. [54,+∞)C. (－12,54]D. [54,3)5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x2，则点P(x,x2)在圆x+y=4上，则实数a＝_____。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是一种在高中数学中经常应用的解题方法，它通过引入新的变量来将原题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
我们来介绍换元法的基本思想和步骤。
假设我们遇到一个复杂的数学题目，我们可以尝试引入一个新的变量，以替代原来的变量，使得问题转化为一个更简单的形式。
具体操作如下：1.观察题目，选择合适的变量代替原来的变量。
一般来说，我们可以选择具有某些特定性质的新变量，例如满足某种关系式、可以化简的形式等等。
2.对原来的变量进行换元。
我们将原来的变量用新的变量表示，并建立起它们之间的关系式。
这一步需要根据题目的要求和特点进行选择，可能涉及一些代数运算和变形。
3.根据换元后的等式建立新的方程。
将原来的问题转化为以新变量为未知数的问题。
4.解新方程，得出新变量的取值。
根据新的方程求解出新变量的值，注意检查是否满足原来的关系式和问题的要求。
5.根据新变量的取值，得出原变量的取值。
利用换元的关系式，将新变量的取值代入原变量表示的式子中，得到原变量的取值。
例子1：已知函数f(x)满足关系式f(x+1)=f(x)-6，求f(3)的值。
解：我们可以尝试引入新的变量t=x+1，来代替原来的变量x。
这样，关系式可以改写为f(t)=f(t-1)-6。
然后，我们可以建立一个新的方程，f(t)=f(t-1)-6，并求解。
根据题目的要求，我们需要求出f(3)的值，即t=3时，f(t)的取值。
例子2：已知三角形ABC的边长满足a^2+b^2=c^2，且cosC=1/2，求sinA的值。
解：在这个问题中，我们可以引入一个新变量x=sinA，来代替原来的变量sinA。
这样，原来的问题可以转化为关于x的问题。
建立一个新的方程，根据题目的要求以及新变量与原变量的关系式，我们可以得到一个关于x的方程。
通过上面的例子，我们可以看到，在高中数学中，换元法广泛应用于各种解题场景中，无论是代数、几何还是概率统计等等。
通过引入新的变量，我们可以将原来复杂的问题简化为更易求解的形式，从而更方便地得出解答。
高中数学答题技巧有哪些_解题方法
高中数学答题技巧有哪些_解题方法高中数学答题技巧有哪些1、配方法：把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
3、换元法：所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数。
5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系。
高中数学答题方法填空题填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。
不过填空题和选择题也有质的区别。
首先，表现为填空题没有备选项。
因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些。
选择题解法多样化：与其他学科比较，“一题多解”的现象在数学中表现突出。
尤其是数学选择题，由于它有备选项，给试题的解答提供了丰富的有用信息，有相当大的提示性，为解题活动展现了广阔的天地，大大地增加了解答的途径和方法。
常常潜藏着极其巧妙的解法，有利于对考生思维深度的考查。
解答题解答题与填空题比较，同属提供型的试题，但也有本质的区别。
首先，解答题应答时，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明。
填空题则无此要求，只要填写结果，省略过程，而且所填结果应力求简练、概括和准确。
其次，试题内涵，解答题比起填空题要丰富得多。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中常用的一种解题方法，它可以将原问题转化为一个更容易解决的新问题，从而简化计算过程，提高解题效率。
换元法主要包括线性换元法、二次换元法和三角换元法等。
下面我们将介绍换元法在高中数学解题中的一些应用。
一、线性换元法线性换元法主要用于解决关于多项式的方程或不等式。
通过适当的线性换元，可以将原方程或不等式转化为一个更直观、更简单的形式。
考虑一个二次方程x²-2ax+a²=0，我们可以进行线性换元x=t+a，其中t为新的未知数。
将x=t+a代入原方程，得到(t+a)²-2a(t+a)+a²=0，化简得t²=0，解出t=0。
将t=0代入t+a=x，得到x=a，得到原方程的解为x=a。
考虑一个一次不等式3x-5<4，我们可以进行线性换元y=3x-5，其中y为新的未知数。
将y=3x-5代入原不等式，得到y<4，解出y<4。
将y<4代入y=3x-5，得到3x-5<4，解出x<3。
得到原不等式的解为x<3。
从上面的例子可以看出，线性换元法能够通过构造一个合适的线性关系，将原问题转化为一个更简单的问题，从而达到简化计算的目的。
二、二次换元法二次换元法主要用于解决与二次函数相关的问题。
通过适当的二次换元，可以将原问题转化为一个二次函数的标准形式，从而更方便地进行求解。
从上述例子可以看出，二次换元法通过引入一个新的未知数，将原问题转化为一个新的二次函数方程，从而更方便地找到方程的解。
考虑一个三角方程sinx+cosx=1，我们可以进行三角换元sinx=sin(π/4-θ)，其中θ为新的未知数。
将sinx=sin(π/4-θ)代入原方程，得到sin(π/4-θ)+cos(π/4-θ)=1，化简得sinθ+cosθ=1/√2，即sinθ=1/√2-cosθ。
通过化简可以得到cosθ=(1-√2)/2或cosθ=(1+√2)/2。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中常用的一种解题方法，也被广泛应用于数学的各个领域。
它主要是通过对问题进行适当的变量替换，从而把原问题转化为更容易解决的形式。
换元法在高中数学解题中的应用非常广泛，不仅可以用于解决代数、几何、概率统计等多种题型，而且还可以帮助学生提高问题解决能力和数学思维能力。
本文将从代数、几何和概率统计三个方面介绍换元法在高中数学解题中的应用。
一、代数题型在高中代数中，换元法通常应用于求解含有变元的方程、不定方程、不定积分等问题。
对于含有二次项的二元一次方程，当系数较为繁杂时，可以通过适当的替换将原方程变为标准的一元一次方程，进而解得未知数的值。
又如对于含有根式的不定方程，可以通过换元将原方程转化为不含根式的方程，从而求得方程的所有实数解。
换元法在解决这些问题时常常是不可或缺的一种解题方法。
以解二次方程为例，对于方程ax^2+bx+c=0，当a≠0时，可以进行变量替换y=ax^2+bx+c，将原有的二次方程问题转化为一元一次方程y=0的形式。
这样就可以更加方便地求解方程的根。
对于一些特殊的二元一次方程，如xy=k或者y=ax^2+bx+c的形式，同样可以通过适当的换元进行求解，将问题转化为更易解决的形式。
在高中的不定积分中，也经常需要利用换元法来转化被积函数，从而求出原函数的不定积分。
例如当被积函数为有理函数、三角函数或者指数函数时，可以通过换元将原函数转化为更容易积分的形式，从而求得原函数的不定积分。
换元法的应用有效地简化了不定积分的求解过程，为学生提供了更加方便的解题方法。
二、几何题型在高中几何中，换元法也具有广泛的应用。
几何问题通常涉及到坐标系、图形的变换、空间立体的计算等，而这些问题都可以通过适当的变量替换来简化解决。
对于坐标系中的直线方程、圆的方程等问题，可以通过换元将原方程转化为更加简单的形式，从而更方便地求解问题。
对于已知图形的参数方程或者极坐标方程，也可以通过适当的变量替换将原问题转化为更容易解决的问题。
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高中数学解题基本方法——换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。
Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{an }中，a1＝－1，an+1·an＝an+1－an，则数列通项an＝___________。
4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
5.方程1313++-xx＝3的解是_______________。
6.不等式log2(2x－1) ·log2(2x+1－2)〈2的解集是_______________。
【简解】1小题：设sinx+cosx ＝t ∈[－2,2]，则y ＝t 22＋t －12，对称轴t ＝－1，当t ＝2，y max ＝12＋2；2小题：设x 2＋1＝t (t ≥1)，则f(t)＝log a [-(t-1)2＋4]，所以值域为(－∞,log a 4]； 3小题：已知变形为11a n +－1a n ＝－1,设b n ＝1a n，则b 1＝－1,b n ＝－1＋(n －1)(-1)＝－n ，所以a n ＝－1n；4小题：设x ＋y ＝k ，则x 2－2kx ＋1＝0, △＝4k 2－4≥0,所以k ≥1或k ≤－1； 5小题：设3x ＝y ，则3y 2＋2y －1＝0,解得y ＝13，所以x ＝－1； 6小题：设log 2(2x －1)＝y ，则y(y ＋1)<2，解得－2<y<1，所以x ∈(log 254,log 23)。
Ⅱ、示范性题组：例1. 实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求1S max＋1S min的值。
（93年全国高中数学联赛题）【分析】 由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2α＋sin 2α＝1,于是进行三角换元，设x S y S ==⎧⎨⎪⎩⎪cos sin αα代入①式求S max 和S min 的值。
【解】设x S y S ==⎧⎨⎪⎩⎪cos sin αα代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5解得 S ＝10852-sin α；∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴1013≤1085-sin α≤103∴1S max＋1S min＝310＋1310＝1610＝85此种解法后面求S 最大值和最小值，还可由sin2α＝810S S-的有界性而求，即解不等式：|810S S-|≤1。
这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
【另解】 由S ＝x 2＋y 2，设x 2＝S 2＋t ，y 2＝S 2－t ，t ∈[－S 2，S2]， 则xy ＝±S t 224－代入①式得：4S ±5St 224－=5，移项平方整理得 100t 2+39S 2－160S ＋100＝0 。
∴ 39S 2－160S ＋100≤0 解得：1013≤S ≤103∴1S max＋1S min＝310＋1310＝1610＝85【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S ＝x 2＋y 2与三角公式cos 2α＋sin 2α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。
第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S ＝x 2＋y 2而按照均值换元的思路，设x 2＝S 2＋t 、y 2＝S 2－t ，减少了元的个数，问题且容易求解。
另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x 、y 时，可以设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。
本题设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，代入①式整理得3a 2＋13b 2＝5 ，求得a 2∈[0,53]，所以S ＝(a －b)2＋(a ＋b)2＝2(a 2＋b 2)＝1013＋2013a 2∈[1013,103]，再求1S max ＋1S min 的值。
例2． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＋C ＝2B ，1cos A ＋1cos C＝－2cos B ，求cosA C-2的值。
（96年全国理） 【分析】 由已知“A ＋C ＝2B ”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得A CB +=⎧⎨⎩12060°＝°；由“A ＋C ＝120°”进行均值换元，则设A C ＝°α＝°－α6060+⎧⎨⎩ ，再代入可求cos α即cosA C-2。
【解】由△ABC 中已知A ＋C ＝2B ，可得 A C B +=⎧⎨⎩12060°＝°,由A＋C＝120°，设AC＝°α＝°－α6060+⎧⎨⎩，代入已知等式得：1 cos A ＋1cos C＝160cos()︒+α＋160cos()︒-α＝11232cos sinαα-＋11 232cos sinαα+＝coscos sinααα143422-＝coscosαα234-＝－22,解得：cosα＝22，即：cosA C-2＝22。
【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。
所以1cos A＋1cos C＝－2cos B＝－22，设1cos A＝－2＋m，1cos C＝－2－m ，所以cosA＝12-+m，cosC＝12--m，两式分别相加、相减得：cosA＋cosC＝2cos A C+2cosA C-2＝cosA C-2＝2222m-，cosA－cosC＝－2sin A C+2sinA C-2＝－3sinA C-2＝222mm-，即：sin A C-2＝－2322mm()-，＝－2222m-，代入sin2A C-2＋cos2A C-2＝1整理得：3m4－16m－12＝0,解出m2＝6，代入cos A C-2＝2222m-＝22。
【注】本题两种解法由“A＋C＝120°”、“1cos A＋1cos C＝－22”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。
假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。
所以1cos A＋1cos C＝－2cos B＝－22，即cosA＋cosC＝－22cosAcosC，和积互化得：2cos A C+2cosA C-2＝－2[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cosA C-2＝22－2cos(A-C)＝22－2(2cos2A C-2－1)，整理得：42cos2A C-2＋2cosA C-2－32＝0,解得：cos A C-2＝22例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值。
【解】设sinx＋cosx＝t，则t∈[-2,2]，由(sinx＋cosx)2＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝t21 2 -∴ f(x)＝g(t)＝－12(t－2a)2＋12（a>0），t∈[-2,2]t＝-2时，取最小值：－2a2－22a－1 2当2a≥2时，t＝2，取最大值：－2a2＋22a－12；当0<2a≤2时，t＝2a，取最大值：12。
∴ f(x)的最小值为－2a2－22a－12，最大值为122222212222()()<<-+-≥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪aa a a。
【注】此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx 的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。
换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-2,2]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。
本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
例4. 设对所于有实数x，不等式x2log241()aa+＋2x log221aa+＋log2()aa+1422>0恒成立，求a的取值范围。
（87年全国理）y【分析】不等式中log 241()a a +、 log 221aa +、log 2()a a +1422三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。