函数和基本初等函数专题

[答案] 1

2

[解析] 考查函数的奇偶性．

∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，即1

2－1－1＋a ＝－1

2－1－a ，∴a ＝1

2.

（四）典型例题

1.命题方向：奇偶性的判定 [例1] 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝(x －1)

1＋x 1－x ； (2)f (x )＝lg (1－x 2)

|x －2|－2

； (3)f (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

x 2＋x x <0

x 2－x x >0； (4)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；

(5)f (x )＝x 2－|x －a |＋2.

[解析] (1)由1＋x

1－x

≥0，得定义域为[－1,1)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．

(2)由⎩⎪⎨⎪⎧

1－x 2>0|x －2|－2≠0

得定义域为(－1,0)∪(0,1)，这时f (x )＝lg (1－x 2)－(x －2)－2＝－lg (1－x 2)x ，

∵f (－x )＝－

lg[1－－x

2]

－x

＝lg 1－x 2x

＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．

(3)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝(－x )2－(－x )＝x 2＋x ＝f (x ) 当x >0时，－x <0则f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ＝f (x )

∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数．

另解：1°画函数f (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

x 2＋x x <0

x 2－x x >0的图像．图像关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．

2°f (x )还可写成f (x )＝x 2－|x |，故为偶函数．

(4)由⎩

⎪⎨⎪⎧

3－x 2≥0x 2－3≥0得x ＝－3或x ＝ 3 ∴函数f (x )的定义域为{－3，3}

又∵对任意的x ∈{－

3，

3}，f (x )＝0. ∴f (－x )＝f (x )＝－f (x )

(5)函数f (x )的定义域为R

当a ＝0时 f (x )＝f (－x ) ∴f (x )是偶函数 当a ≠0时 f (a )＝a 2＋2，f (－a )＝a 2－2|a |＋2

f (a )≠f (－a ) 且f (a )＋f (－a )＝2(a 2－|a |＋2)＝2(|a |－12

)2＋7

2

≠0

∴f (x )是非奇非偶函数．

[点评] 第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数．第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；第三，利用定义进行等价变形判断．第四，分段函数应分段讨论，要注意据x 的围取相应的函数表达式或利用图像判断． 跟踪练习1

判断函数f (x )＝16－x 2

|x ＋5|－5

的奇偶性．

[解析] 由题意知⎩

⎪⎨⎪⎧

16－x 2≥0

|x ＋5|－5≠0解得－4≤x <0或0

∴函数的定义域关于原点对称． ∵f (x )＝16－x 2

|x ＋5|－5＝

16－x 2

x

，

∴f (－x )＝

16－

(－x )2

－x ＝－16－x 2

x

＝－f (x )．∴f (x )是奇函数.

2.命题方向：奇偶性的应用

[例2] 已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b

2x ＋1＋a

是奇函数．

(2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x ＝1＋y

1－y ，

由2x >0

知1＋y 1－y

>0，∴－1

t ·2x －t

2x ＋1

≥2x －2.

即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x ＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．

∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

12－t ＋1×1＋t －2≤022

－t ＋1×2＋t －2≤0，解得t ≥0.

（五）思想方法点拨

1．判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称．如函数y ＝x 2(x ∈(－1,1])并不具备奇偶性．因此， 一个函数是奇函数或偶函数，其定义域必须关于原点对称． ★函数奇偶性的判定方法：

(1)定义法：第一步先看函数f (x )的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数． 第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断．

即若有：f (－x )＝－f (x )或f (－x )＋f (x )＝0或f (x )－f (－x )＝2f (x )或f (x )·f (－x )＝－f 2(x )或f (x )/f (－x )＝－1为奇函数．

若有f (－x )＝f (x )或f (－x )－f (x )＝0或f (x )＋f (－x )＝2f (x )或f (x )·f (－x )＝f 2(x )或f (x )/f (－x )＝1为偶函数． (2)图像法：利用“奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称”来判断． (3)复合函数奇偶性的判断

若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”． (4)性质法