离散数学复习要点第一章命题逻辑一、典型考查点1、命题的判断方法
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
离散数学第⼀章命题逻辑知识点总结数理逻辑部分第1章命题逻辑1.1 命题符号化及联结词命题: 判断结果惟⼀的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟⼀确定的也不是命题。
简单命题(原⼦命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按⼀定规则复合⽽成的命题简单命题符号化⽤⼩写英⽂字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表⽰简单命题⽤“1”表⽰真，⽤“0”表⽰假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“?”定义设p为命题，复合命题“⾮p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作?p. 符号?称作否定联结词，并规定?p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为⼆命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既⽤功⼜聪明.(2) 王晓不仅聪明，⽽且⽤功.(3) 王晓虽然聪明，但不⽤功.(4) 张辉与王丽都是三好⽣.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓⽤功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧?q.令r : 张辉是三好学⽣，s :王丽是三好学⽣(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句⼦是⼀个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为⼆命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) ⼩元元只能拿⼀个苹果或⼀个梨.(5) 王晓红⽣于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.⽽ (4), (5) 为排斥或.令t :⼩元元拿⼀个苹果，u:⼩元元拿⼀个梨，则 (4) 符号化为 (t∧?u) ∨(?t∧u).令v :王晓红⽣于1975年,w:王晓红⽣于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧?w)∨(?v∧w), ⼜可符号化为v∨w , 为什么?4.蕴涵式与蕴涵联结词“?”定义设p,q为⼆命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p?q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. ?称作蕴涵联结词，并规定，p?q为假当且仅当p 为真q 为假.p?q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除⾮q, 才p 或除⾮q, 否则⾮p.当p 为假时，p?q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“?”定义设p，q为⼆命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p?q. ?称作等价联结词.并规定p?q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p?q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p?q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),?, ù, ú, ?, ?同级按从左到右的顺序进⾏以上给出了5个联结词：?, ù, ú, ?, ?，组成⼀个联结词集合{?, ù, ú, ?, ?}，联结词的优先顺序为：?, ù, ú, ?, ?; 如果出现的联结词同级，⼜⽆括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进⾏括号中的运算.注意: 本书中使⽤的括号全为园括号.命题常项命题变项1.2 命题公式及分类命题变项与合式公式命题常项：简单命题命题变项：真值不确定的陈述句定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1是合式公式(2) 若A是合式公式，则 (?A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(AùB), (AúB), (A?B), (A?B)也是合式公式?(4) 只有有限次地应⽤(1)~(3)形成的符号串才是合式公式说明: 元语⾔与对象语⾔, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下⾯情况之⼀：(a) A=?B, B是n层公式；(b) A=BùC, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=BúC, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B?C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B?C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层?p 1层pq 2层(pq)r 3层((?pùq) ?r)?(?rús) 4层公式的赋值定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定⼀组真值称为对A的⼀个赋值或解释成真赋值: 使公式为真的赋值成假赋值: 使公式为假的赋值说明：赋值a=a1a2…a n之间不加标点符号，a i=0或1. A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值a1a2…a n是指p1=a1, p2=a2, …, p n=a nA中仅出现p,q, r, …, 给A赋值a1a2a3…是指p=a1,q=a2 , r=a3 …含n个变项的公式有2n个赋值.真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q?p) ùq?p的真值表例 B = ? (?púq) ùq的真值表例C= (púq) ??r的真值表命题的分类重⾔式⽭盾式可满⾜式定义设A为⼀个命题公式(1) 若A⽆成假赋值，则称A为重⾔式(也称永真式)(2) 若A⽆成真赋值，则称A为⽭盾式(也称永假式)(3) 若A不是⽭盾式，则称A为可满⾜式注意：重⾔式是可满⾜式，但反之不真.上例中A为重⾔式，B为⽭盾式，C为可满⾜式A= (q?p)ùq?p，B =?(?púq)ùq，C= (púq)??r1.3 等值演算等值式定义若等价式A?B是重⾔式，则称A与B等值，记作A?B，并称A?B是等值式说明：定义中，A,B,?均为元语⾔符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p?q) ? ((?púq)ú (?rùr))中，r为左边公式的哑元.⽤真值表可验证两个公式是否等值请验证：p?(q?r) ? (pùq) ?rp?(q?r) (p?q) ?r基本等值式双重否定律 : ??A?A等幂律：AúA?A, AùA?A交换律: AúB?BúA, AùB?BùA结合律: (AúB)úC?Aú(BúC)(AùB)ùC?Aù(BùC)分配律: Aú(BùC)?(AúB)ù(AúC)Aù(BúC)? (AùB)ú(AùC)德·摩根律: ?(AúB)??Aù?B (AùB)AúB吸收律: Aú(AùB)?A, Aù(AúB)?A零律: Aú1?1, Aù0?0同⼀律: Aú0?A, Aù1?A排中律: Aú?A?1⽭盾律: Aù?A?0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A?B, 则F(B)?F(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：⾃反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应⽤举例——证明两个公式等值例1 证明p?(q?r) ? (pùq)?r证p?(q?r)pú(?qúr) （蕴涵等值式，置换规则）(púq)úr（结合律，置换规则）(pùq)úr（德×摩根律，置换规则）(pùq) r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做⼀遍）因为每⼀步都⽤置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应⽤举例——证明两个公式不等值例2 证明: p?(q?r) (p?q) ?r⽤等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到⼀个赋值使⼀个成真,另⼀个成假.⽅法⼀真值表法（⾃⼰证）⽅法⼆观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.⽅法三⽤等值演算先化简两个公式，再观察.应⽤举例——判断公式类型例3 ⽤等值演算法判断下列公式的类型(1) qù?(p?q)解qù?(p?q)qù(púq) （蕴涵等值式）qù(pùq) （德×摩根律）pù(qùq) （交换律，结合律）pù0 （⽭盾律）0 （零律）由最后⼀步可知，该式为⽭盾式.(2) (p?q)?(?q??p)解 (p?q)?(?q??p)(púq)(qúp) （蕴涵等值式）(púq)(púq) （交换律）1由最后⼀步可知，该式为重⾔式.问：最后⼀步为什么等值于1？(3) ((pùq)ú(pù?q))ùr)解 ((pùq)ú(pù?q))ùr)(pù(qúq))ùr（分配律）pù1ùr（排中律）pùr（同⼀律）这不是⽭盾式，也不是重⾔式，⽽是⾮重⾔式的可满⾜式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为⽭盾式当且仅当A?0A为重⾔式当且仅当A?1说明：演算步骤不惟⼀,应尽量使演算短些1.5 对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词?, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) ?A(p1,p2,…,p n) ?A* (?p1, ?p2,…, ?p n)(2) A(?p1, ?p2,…, ?p n) ??A* (p1,p2,…,p n)定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A ? B，则A*? B*.析取范式与合取范式⽂字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个⽂字构成的析取式如p, ?q, pú?q, púqúr, …简单合取式:有限个⽂字构成的合取式如p, ?q, pù?q, pùqùr, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式AúA2ú?úA r, 其中A1,A2,?,A r是简单合取式1合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式AùA2ù?ùA r , 其中A1,A2,?,A r是简单析取式1。
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
数理逻辑部分第1章命题逻辑命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。
简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧q.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧u) ∨(t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧w)∨(v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么?4.蕴涵式与蕴涵联结词“”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并规定，p q为假当且仅当p 为真q 为假.p q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p q. 称作等价联结词.并规定p q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),, , , ,同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：, , , , ，组成一个联结词集合{, , , , }，联结词的优先顺序为：, , , , ; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.命题常项命题变项命题公式及分类命题变项与合式公式命题常项：简单命题命题变项：真值不确定的陈述句定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1是合式公式(2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B), (A B)也是合式公式(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=B, B是n层公式；(b) A=B C, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层p 1层p q 2层(p q)r 3层((p q) r)(r s) 4层公式的赋值定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定一组真值称为对A的一个赋值或解释成真赋值: 使公式为真的赋值成假赋值: 使公式为假的赋值说明：赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1.A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值12…n是指p1=1, p2=2, …, p n=nA中仅出现p,q, r, …, 给A赋值123…是指p=1,q=2 , r= 3 …含n个变项的公式有2n个赋值.真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q p) q p的真值表例 B = (p q) q的真值表例C= (p q) r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q p)q p，B =(p q)q，C= (p q)r等值演算等值式定义若等价式A B是重言式，则称A与B等值，记作A B，并称A B是等值式说明：定义中，A,B,均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p q) ((p q) (r r))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p(q r) (p q) rp(q r) (p q) r基本等值式双重否定律 : A A等幂律：A A A, A A A交换律: A B B A, A B B A结合律: (A B)C A(B C)(A B)C A(B C)分配律: A(B C)(A B)(A C)A(B C) (A B)(A C)德·摩根律: (A B)A B(A B)A B吸收律: A(A B)A, A(A B)A零律: A11, A00同一律: A0A, A1A排中律: A A1矛盾律: A A0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A B, 则(B)(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p(q r) (p q)r证p(q r)p(q r) （蕴涵等值式，置换规则）(p q)r（结合律，置换规则）(p q)r（德摩根律，置换规则）(p q) r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p(q r) (p q) r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q(p q)解q(p q)q(p q) （蕴涵等值式）q(p q) （德摩根律）p(q q) （交换律，结合律）p0 （矛盾律）0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p q)(q p)解 (p q)(q p)(p q)(q p) （蕴涵等值式）(p q)(p q) （交换律）1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1？(3) ((p q)(p q))r)解 ((p q)(p q))r)(p(q q))r（分配律）p1r（排中律）p r（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A0A为重言式当且仅当A1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) A(p1,p2,…,p n) A* (p1, p2,…, p n) (2) A(p1, p2,…, p n) A* (p1,p2,…,p n) 定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A B，则A* B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, q, p q, p q r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, q, p q, p q r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单合取式合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单析取式范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p q r, p q r既是析取范式，又是合取范式(为什么?)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的, （若存在）(2) 否定联结词的内移或消去(3) 使用分配律对分配（析取范式）对分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去）p q r（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去第一个）(p q)r（消去第二个）(p q)r（否定号内移——德摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (p q)r(p r)(q r) （对分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1i n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M i 表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: m i M i , M i m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(p q r)(p q r) m1m3是主析取范式(p q r)(p q r) M1M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p q)r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p q)r(p q)r , （析取范式）①(p q)(p q)(r r)(p q r)(p q r)m 6m7,r(p p)(q q)r(p q r)(p q r)(p q r)(p q r)m 1m3m5m7③②, ③代入①并排序，得(p q)r m1m3m5m6m7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p q)r(p r)(q r) , （合取范式）①p rp(q q)r(p q r)(p q r)M 0M2,②q r(p p)q r(p q r)(p q r)M 0M4③②, ③代入①并排序，得(p q)r M0M2M4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p q)r m1m3m5m6m7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式A的主析取范式含2n个极小项A的主合取范式为1.A为矛盾式A的主析取范式为0A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p q)(2) (s u)(3) ((q r)(q r))(4) ((r s)(r s))(5) (u(p q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p q)(s u)((q r)(q r))((r s)(r s))(u(p q))④ A (p q r s u)(p q r s u)结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:A (p q)((q r)(q r))(s u)(u(p q)) ((r s)(r s)) （交换律) B1= (p q)((q r)(q r))((p q r)(p q r)(q r)) （分配律）B2= (s u)(u(p q))((s u)(p q s)(p q u)) （分配律）B 1B2(p q r s u)(p q r s u) (q r s u)(p q r s)(p q r u)再令B3 = ((r s)(r s))得A B1B2B3(p q r s u)(p q r s u)注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p r, r s结论：s q证明① s附加前提引入②p r前提引入③r s前提引入④p s②③假言三段论⑤p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。
《离散数学》复习重难点
《离散数学》复习重点0000第一章命题逻辑的基本概念000一、命题公式的类型：重言式矛盾式可满足式0000二、给出公式的成真赋值、成假赋值0000例：p q 成真赋值为01 00 11000三、判断公式类型0000四、题目：P15 20 21 0000P13 6000第二章命题逻辑的基本概念000一、熟记等值演算判断公式的类型0000二、求公式的主析取范式和主合取范式00001 方法1 等值演算00002 方法2 真值表0003 主吸取范式和主合取范式的关系0000第三章命题逻辑的推理理论000一、推理定理P46000二、自然推理系统0000三、题目：P50 例3.5 例3.6 P53 14 15 180000第四章一阶逻辑的基本概念000一、在一阶逻辑中将命题符号化00001 注意：同一命题在不同个体域中符号化形式可能不一样000二、习题:P57 例4.2 P65 2 4 50000注意：例4.2中任意用蕴含，存在用合取0000第五章一阶逻辑等值演算与推理0000这章不是重点，不考0000第六章集合代数0000一、P85 定理6.1 定义6.50000二、运算：00001 相对补对称差00002 交并补0000第七章二元关系0000一、笛卡尔积A*B={<x，y>|x∈A∧y∈B}000二、二元关系P104 定义7.40000三、集合的表示方法：集合表达式关系图关系矩阵0000四、关系的运算00001 关系的定义域 domR = {x|∃y(<x，y>∈R)}0000关系的值域 ranR={y|∃x(<x，y>∈R)}00002 复合运算（右复合）0000错误！未找到引用源。
={<x，y>|∃t（<x，t>∈F∧<t，y>∈G）}000 03 关系的逆运算错误！未找到引用源。
0000错误！未找到引用源。
={<x，y>|<y，x>∈R}0004 恒等关系错误！未找到引用源。
离散数学复习提纲(完整版)解析
《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明）一、命题逻辑[复习知识点]1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔），复合命题2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理[复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析]1、公式类型的判定判定公式的类型，包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。
具体方法有两种，一是真值表法，二是等值演算法。
2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律），结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语（或子句）只保留一个。
3、逻辑推理掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法（直接证明法、附加前提证明法和归谬法）。
例1.试求下列公式的主析取范式：（1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解 Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）2．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？（1）（P ∧⌝P ）↔Q（2）⌝（P →Q ）∧Q（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）解：（1） 真值表因此公式（1）为可满足。
离散数学笔记总结
离散数学笔记总结一、命题逻辑。
1. 基本概念。
- 命题：能够判断真假的陈述句。
例如“2 + 3 = 5”是真命题，“1 > 2”是假命题。
- 命题变元：用字母表示命题，如p,q,r等。
2. 逻辑联结词。
- 否定¬：¬ p表示对命题p的否定，若p为真，则¬ p为假，反之亦然。
- 合取wedge：pwedge q表示p并且q，只有当p和q都为真时，pwedge q才为真。
- 析取vee：pvee q表示p或者q，当p和q至少有一个为真时，pvee q为真。
- 蕴含to：pto q表示若p则q，只有当p为真且q为假时，pto q为假。
- 等价↔：p↔ q表示p当且仅当q，当p和q同真同假时，p↔ q为真。
3. 命题公式。
- 定义：由命题变元、逻辑联结词和括号按照一定规则组成的符号串。
- 赋值：给命题变元赋予真假值，从而确定命题公式的真值。
- 分类：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、可满足式。
4. 逻辑等价与范式。
- 逻辑等价：若A↔ B是重言式，则称A与B逻辑等价，记作A≡ B。
例如¬(pwedge q)≡¬ pvee¬ q（德摩根律）。
- 范式：- 析取范式：由有限个简单合取式的析取组成的命题公式。
- 合取范式：由有限个简单析取式的合取组成的命题公式。
- 主析取范式：每个简单合取式都是极小项（包含所有命题变元的合取式，每个变元只出现一次）的析取范式。
- 主合取范式：每个简单析取式都是极大项（包含所有命题变元的析取式，每个变元只出现一次）的合取范式。
二、谓词逻辑。
1. 基本概念。
- 个体：可以独立存在的事物，如人、数等。
- 谓词：用来刻画个体性质或个体之间关系的词。
例如P(x)表示x具有性质P，R(x,y)表示x和y具有关系R。
- 量词：- 全称量词∀：∀ xP(x)表示对于所有的x，P(x)成立。
- 存在量词∃：∃ xP(x)表示存在某个x，使得P(x)成立。
《离散数学》总复习上课讲义
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
数理逻辑部分第1章命题逻辑1.1 命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。
简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“Ø”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作Øp. 符号Ø称作否定联结词，并规定Øp为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧Øq.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧Øu) ∨(Øt∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧Øw)∨(Øv∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么?4.蕴涵式与蕴涵联结词“®”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p®q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. ®称作蕴涵联结词，并规定，p®q为假当且仅当p 为真q 为假.p®q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p®q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“«”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p«q. «称作等价联结词.并规定p«q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p«q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p«q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),Ø, Ù, Ú, ®, «同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：Ø, Ù, Ú, ®, «，组成一个联结词集合{Ø, Ù, Ú, ®, «}，联结词的优先顺序为：Ø, Ù, Ú, ®, «; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.⏹命题常项⏹命题变项1.2 命题公式及分类▪命题变项与合式公式▪命题常项：简单命题▪命题变项：真值不确定的陈述句▪定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：▪(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1▪是合式公式▪(2) 若A是合式公式，则 (ØA)也是合式公式▪(3) 若A, B是合式公式，则(AÙB), (AÚB), (A®B), (A«B)也是合式公式▪(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式▪说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=ØB, B是n层公式；(b) A=BÙC, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=BÚC, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B®C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B«C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层Øp 1层Øp®q 2层Ø(p®q)«r 3层((ØpÙq) ®r)«(ØrÚs) 4层▪公式的赋值▪定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定▪一组真值称为对A的一个赋值或解释▪成真赋值: 使公式为真的赋值▪成假赋值: 使公式为假的赋值▪说明：▪赋值a=a1a2…a n之间不加标点符号，a i=0或1.▪A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值a1a2…a n是▪指p1=a1, p2=a2, …, p n=a n▪A中仅出现p,q, r, …, 给A赋值a1a2a3…是指▪p=a1,q=a2 , r=a3 …▪含n个变项的公式有2n个赋值.▪真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q®p) Ùq®p的真值表例 B = Ø (ØpÚq) Ùq的真值表例C= (pÚq) ®Ør的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q®p)Ùq®p，B =Ø(ØpÚq)Ùq，C= (pÚq)®Ør1.3 等值演算⏹等值式定义若等价式A«B是重言式，则称A与B等值，记作AÛB，并称AÛB是等值式说明：定义中，A,B,Û均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p®q) Û ((ØpÚq)Ú (ØrÙr))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p®(q®r) Û (pÙq) ®rp®(q®r) (p®q) ®r⏹基本等值式双重否定律 : ØØAÛA等幂律：AÚAÛA, AÙAÛA交换律: AÚBÛBÚA, AÙBÛBÙA结合律: (AÚB)ÚCÛAÚ(BÚC)(AÙB)ÙCÛAÙ(BÙC)分配律: AÚ(BÙC)Û(AÚB)Ù(AÚC)AÙ(BÚC)Û (AÙB)Ú(AÙC)德·摩根律: Ø(AÚB)ÛØAÙØBØ(AÙB)ÛØAÚØB吸收律: AÚ(AÙB)ÛA, AÙ(AÚB)ÛA零律: AÚ1Û1, AÙ0Û0同一律: AÚ0ÛA, AÙ1ÛA排中律: AÚØAÛ1矛盾律: AÙØAÛ0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若AÛB, 则F(B)ÛF(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p®(q®r) Û (pÙq)®r证p®(q®r)ÛØpÚ(ØqÚr) （蕴涵等值式，置换规则）Û(ØpÚØq)Úr（结合律，置换规则）ÛØ(pÙq)Úr（德×摩根律，置换规则）Û(pÙq) ®r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p®(q®r) (p®q) ®r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) qÙØ(p®q)解qÙØ(p®q)Û qÙØ(ØpÚq) （蕴涵等值式）Û qÙ(pÙØq) （德×摩根律）Û pÙ(qÙØq) （交换律，结合律）Û pÙ0 （矛盾律）Û 0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p®q)«(Øq®Øp)解 (p®q)«(Øq®Øp)Û (ØpÚq)«(qÚØp) （蕴涵等值式）Û (ØpÚq)«(ØpÚq) （交换律）Û 1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1？(3) ((pÙq)Ú(pÙØq))Ùr)解 ((pÙq)Ú(pÙØq))Ùr)Û (pÙ(qÚØq))Ùr（分配律）Û pÙ1Ùr（排中律）Û pÙr（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当AÛ0A为重言式当且仅当AÛ1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些1.5 对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词Ø, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) ØA(p1,p2,…,p n) ÛA* (Øp1, Øp2,…, Øp n)(2) A(Øp1, Øp2,…, Øp n) ÛØA* (p1,p2,…,p n)定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A Û B，则A*Û B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, Øq, pÚØq, pÚqÚr, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, Øq, pÙØq, pÙqÙr, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式AÚA2Ú¼ÚA r, 其中A1,A2,¼,A r是简单合取式1合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式AÙA2Ù¼ÙA r , 其中A1,A2,¼,A r是简单析取式1范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式pÙØqÙr, ØpÚqÚØr既是析取范式，又是合取范式(为什么?)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的®, «（若存在）(2) 否定联结词Ø的内移或消去(3) 使用分配律Ù对Ú分配（析取范式）Ú对Ù分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p®Øq)ÚØr解 (p®Øq)ÚØrÛ (ØpÚØq)ÚØr（消去®）Û ØpÚØqÚØr（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p®Øq)®r解 (p®Øq)®rÛ (ØpÚØq)®r（消去第一个®）Û Ø(ØpÚØq)Úr（消去第二个®）Û (pÙq)Úr（否定号内移——德×摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (pÙq)ÚrÛ (pÚr)Ù(qÚr) （Ú对Ù分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1£i£n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为i极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: Øm i Û M i , ØM i Û m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(ØpÙØqÙr)Ú(ØpÙqÙr) Û m1Úm3是主析取范式(pÚqÚØr)Ù(ØpÚqÚØr) Û M1ÙM5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p®Øq)®r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p®Øq)®rÛ (pÙq)Úr , （析取范式）①(pÙq)Û (pÙq)Ù(ØrÚr)Û (pÙqÙØr)Ú(pÙqÙr)Û m6Úm7 ,rÛ(ØpÚp)Ù(ØqÚq)ÙrÛ(ØpÙØqÙr)Ú(ØpÙqÙr)Ú(pÙØqÙr)Ú(pÙqÙr)Û m1Úm3Úm5Úm7 ③②, ③代入①并排序，得(p®Øq)®rÛ m1Úm3Úm5Ú m6Úm7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p®Øq)®rÛ (pÚr)Ù(qÚr) , （合取范式）①pÚrÛ pÚ(qÙØq)ÚrÛ (pÚqÚr)Ù(pÚØqÚr)Û M0ÙM2,②qÚrÛ (pÙØp)ÚqÚrÛ (pÚqÚr)Ù(ØpÚqÚr)Û M0ÙM4 ③②, ③代入①并排序，得(p®Øq)®rÛ M0ÙM2ÙM4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p®Øq)®rÛ m1Úm3Úm5Ú m6Úm7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式ÛA的主析取范式含2n个极小项ÛA的主合取范式为1.A为矛盾式Û A的主析取范式为0Û A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式ÛA的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项ÛA的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p®q)(2) (sÚu)(3) ((qÙØr)Ú(ØqÙr))(4) ((rÙs)Ú(ØrÙØs))(5) (u®(pÙq))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p®q)Ù(sÚu)Ù((qÙØr)Ú(ØqÙr))Ù((rÙs)Ú(ØrÙØs))Ù(u®(pÙq))④ A Û (ØpÙØqÙrÙsÙØu)Ú(pÙqÙØrÙØsÙu)结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:AÛ (ØpÚq)Ù((qÙØr)Ú(ØqÙr))Ù(sÚu)Ù(ØuÚ(pÙq))Ù((rÙs)Ú(ØrÙØs)) （交换律) B= (ØpÚq)Ù((qÙØr)Ú(ØqÙr))1Û ((ØpÙqÙØr)Ú(ØpÙØqÙr)Ú(qÙØr)) （分配律）B= (sÚu)Ù(ØuÚ(pÙq))2Û ((sÙØu)Ú(pÙqÙs)Ú(pÙqÙu)) （分配律）BÙB2 Û (ØpÙqÙØrÙsÙØu)Ú(ØpÙØqÙrÙsÙØu)1Ú(qÙØrÙsÙØu)Ú(pÙqÙØrÙs)Ú(pÙqÙØrÙu)再令B3 = ((rÙs)Ú(ØrÙØs))得AÛ B1ÙB2ÙB3Û (ØpÙØqÙrÙsÙØu)Ú(pÙqÙØrÙØsÙu)注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍1.6 推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p®r, r®Øs结论：s®q证明① s附加前提引入②p®r前提引入③r®Øs前提引入④p®Øs②③假言三段论⑤Øp①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。
离散数学总复习-知识点
离散数学总复习第1章命题逻辑一、命题的判断例：1、仁者无敌！2、x+y<23、如果雪是红的，那么地球是月亮的卫星。
4、我正在说谎。
二、命题符号化例：1、蓝色和黄色可以调成绿色。
2、付明和杨进都是运动员。
3、刘易斯是百米游泳冠军或百米跨栏冠军。
4、李飞现在在宿舍或在图书馆。
5、只要天不下雨，我就步行上学校。
6、只有天不下雨，我才步行上学校。
7、并非只要你努力了，就一定成功。
三、主范式1、会等值演算；2、主合取和主析取范式的相互转换。
例：求命题公式P∨Q的主析取范式和主合取范式。
3、根据主范式进行方案的选择例1：某科研所要从3名科研骨干A,B,C中挑选1-2名出国进修，由于工作需要，选派需同时满足条件：（1）若A去，则C同去；（2）只有C不去，B才去；（3）只要C不去，则A或B就可以去。
问有哪些选派方案？例2：甲、乙、丙、丁四人有且仅有两个人参加比赛，下列四个条件均要满足：（1）甲和乙有且只有一人参加；（2）丙参加，则丁必参加；（3）乙和丁至多有一人参加；（4）丁不参加，甲也不会参加。
问哪两个人参加了比赛？四、简单的推理例1：如果明天天气好我们就去爬长城。
明天天气好。
所以我们去爬长城。
例3：课后习题16第2章谓词逻辑一、谓词逻辑中的命题符号化例：1、所有运动员都是强壮的2、并非每个实数都是有理数3、有些实数是有理数二、量词的辖域，约束变元换名、自由变元代替例：1、∀x(P(x)∨∃yR(x,y))→Q(x)2、∀x(P(x,z)∨∃yR(x,y))→Q(x)中量词的辖域，重名情况，改名等三、命题逻辑永真式的任何代换实例必是谓词逻辑的永真式。
同样，命题逻辑永假式的任何代换实例必是谓词逻辑的永假式。
例：1、(∀xP(x)→∃xQ(x))↔(⌝∀xP(x)∨∃xQ(x))2、(∀xP(x)→∃xQ(x))∧(∃xQ(x))→∀zR(z)))→(∀xP(x) →∀zR(z))1-2是永真式（重言式）3、⌝(∀xF(x) ∃yG(y)) ∧ ∃yG(y) 永假式（矛盾式）四、消量词例：个体域D={1,2}，对∀x∀y(P(x)→Q(y))消量词五、简单的前束范式会判断即可。
离散数学笔记(最新)
第一章命题逻辑内容：命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法证明等方法教学目的：1．熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。
2．熟练掌握常用的基本等价式及其应用。
3．熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。
4．熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。
5．熟练掌握形式演绎的方法。
教学重点：1．命题的概念及判断2．联结词，命题的翻译3．主析（合）取范式的求法4．逻辑推理教学难点：1．主析（合）取范式的求法2．逻辑推理1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。
A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。
R：我是一名大学生。
1.2命题联结词1.2.1 否定联结词﹁P1.2.2 合取联结词∧1.2.3 析取联结词∨1.2.4 条件联结词→1.2.5 双条件联结词↔1.2.6 与非联结词↑性质：（1） P↑P⇔﹁（P∧P）⇔﹁P；（2）（P↑Q）↑（P↑Q）⇔﹁（P↑Q）⇔ P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）⇔﹁P↑﹁Q⇔ P∨Q。
1.2.7 或非联结词↓性质：（1）P↓P⇔﹁（P∨Q）⇔﹁P；（2）（P↓Q）↓（P↓Q）⇔﹁（P↓Q）⇔P∨Q；（3）（P↓P）↓（Q↓Q）⇔﹁P↓﹁Q⇔﹁（﹁P∨﹁Q）⇔P∧Q。
1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P 是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P↔Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
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《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明)一、命题逻辑[复习知识点］1、命题与联结词(否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔）,复合命题2、命题公式与赋值(成真、成假）,真值表,公式类型（重言、矛盾、可满足),公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论本章重点内容:命题与联结词、公式与解释、(主)析取范式与（主)合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理［复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法.2、理解公式与赋值的概念;掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取(合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取(合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取)范式的方法.4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析］1、公式类型的判定判定公式的类型,包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。
具体方法有两种，一是真值表法,二是等值演算法。
2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点:一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律）,结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语(或子句）只保留一个.3、逻辑推理掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法(直接证明法、附加前提证明法和归谬法）. 例1.试求下列公式的主析取范式:(1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）2．用真值表判断下列公式是恒真?恒假？可满足？（1)（PP ）Q （2)（P Q)Q （3）（（P Q)(Q R ））（P R) 解：（1） 真值表 P QP P P （P P)Q 0 01 0 1 0 11 0 0 1 00 0 1 1 1 0 0 0因此公式(1)为可满足.（2） 真值表P Q P Q （P Q) （P Q）Q0 0 1 0 00 1 1 0 01 00 1 01 1 1 0 0因此公式（2）为恒假。
离散数学复习资料
离散数学复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表h“”否定联结词，P是命题，P是P的否命题，是由联结词和命题P组成的复合命题.P取真值1，P取真值0，P取真值0，P取真值1. 它是一元联结词.h “”合取联结词，P Q是命题P，Q的合取式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P Q取值为0，只有P，Q之一取0.h “”析取联结词，“”不可兼析取(异或)联结词， P Q是命题P，Q的析取式，是“”和P，Q组成的复合命题. P Q是联结词“”和P，Q组成的复合命题. 联结词“”或“”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P Q”“(P Q)(P Q)”. P Q取值1，只要P，Q之一取值1，P Q取值0，只有P，Q都取值0.h “”蕴含联结词， P Q是“”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q取值为0时，P Q取值为0；其余各种情况，均有P Q的真值为1，亦即10的真值为0，01，11，00的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P Q”.h “” 等价联结词，P Q是P，Q的等价式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“…当且仅当…”，P Q取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别h命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.h命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.既非永真，也非用假，成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)范式法，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式.h等值式A B，命题公式A，B在任何赋值下，它们的真值均相同，称A，B等值。
离散数学知识点整理
离散数学一、逻辑与证明1、1命题逻辑命题:就是一个可以判断真假的陈述句。
联接词:∧、∨、→、↔、¬。
记住“p仅当q”意思就是“如果p,则q”,即p→。
记住“q除非p”意思就是“¬p→q”。
会考察条件语句翻译成汉语。
系统规范说明的一致性就是指系统没有可能会导致矛盾的需求,即若pq无论取何值都无法让复合语句为真,则该系统规范说明就是不一致的。
1、3命题等价式逻辑等价:在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题,可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
谓词+量词变成一个更详细的命题,量词要说明论域,否则没有意义,如果有约束条件就直接放在量词后面,如∀x>0P(x)。
当论域中的元素可以一一列举,那么∀xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)、、、∧P(xn)。
同理,∃xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)、、、∨P(xn)。
两个语句就是逻辑等价的,如果不论她们谓词就是什么,也不论她们的论域就是什么,她们总有相同的真值,如∀x(P(x)∧Q(x))与(∀xP(x))∧(∀xQ(x))。
量词表达式的否定:¬∀xP(x) ⇔∃x¬P(x),¬∃xP(x) ⇔∀x¬P(x)。
1、5量词嵌套我们采用循环的思考方法。
量词顺序的不同会影响结果。
语句到嵌套量词语句的翻译,注意论域。
嵌套量词的否定就就是连续使用德摩根定律,将否定词移入所有量词里。
1、6推理规则一个论证就是有效的,如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。
但有效论二、集合、函数、序列、与矩阵2、1集合∈说的就是元素与集合的关系,⊆说的就是集合与集合的关系。
常见数集有N={0,1,2,3、、、},Z整数集,Z+正整数集,Q有理数集,R实数集,R+正实数集,C 复数集。
A与B相等当仅当∀x(x∈A↔x∈B);A就是B的子集当仅当∀x(x∈A→x∈B); A就是B的真子集当仅当∀x(x∈A→x∈B)∧∃x(x∉A∧x∈B)。
离散数学重点难点复习提纲
第一部分数理逻辑第一章命题逻辑重点：●熟练掌握联结词的定义；●掌握数理逻辑中命题的翻译及命题公式的定义；●熟记基本的等价公式和蕴涵公式；●利用真值表技术和公式法求公式的主析取范式和主合取范式；●熟练掌握应用基本推理方法完成命题逻辑推理：1.直接证法2.反证法3.CP规则难点：●如何正确地掌握对语言的翻译；●如何利用推理方法正确的完成命题推理。
第二章谓词逻辑重点：●谓词、量词、个体域的概念；●谓词逻辑中带量词命题的符号化；●熟记基本的谓词等价公式；●求公式的前束范式；●掌握谓词逻辑的推理规则以及能够熟练地完成一阶逻辑推理；难点：●谓词逻辑中带量词命题的符号化；●如何利用推理方法正确地完成一阶逻辑推理。
第二部分集合论第三章集合与关系重点：●掌握集合的五种基本运算和集合相等的证明方法；●幂集的概念以及和子集的关系；●序偶和笛卡尔积的概念；●关系定义及其和笛卡尔积之间的联系；●关系的复合；●关系的五种性质及其判断和证明；●关系的闭包；●等价关系定义、证明及其与等价类、集合的划分间的关系；●偏序关系的定义和证明，哈斯图；●偏序关系中的特殊元素；难点：●如何正确证明集合之间包含和相等关系；●如何正确地理解和判断关系的性质；●非常重要的关系性质的证明方法——按定义证明法；●如何正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系；●如何正确地理解和判断偏序关系中的八种特殊元素。
第四章函数重点：●能够判定某个二元关系是否是函数；●几种特殊的函数：满射，单射，双射；难点：●如何正确地判断三种特殊函数。
第三部分代数结构重点：●理解代数结构的构成和研究方法；●代数结构中运算的性质以及特殊元素；●广群⇒半群⇒独异点⇒群；●群的定义与性质；●环与域的判断和证明；●格的两种定义；●特殊格：分配格、有界格、有补格、有补分配格；●有补分配格与布尔代数之间的联系；难点：●循环群的判断和证明；●如何正确理解由偏序关系定义的格与由代数系统定义格之间的关系和区别；●如何正确理解布尔代数的概念。
离散数学复习要点
《离散数学》期末考试复习要点（长期有效）第一章命题逻辑1-1 ：命题、原子命题、复合命题、命题常量、命题变元1-2 ：联结词否定、和取、析取、条件、双条件1-1,1-2习题（1）（3）（5）（6）1-3：翻译例题3---例题61-3 习题（1）（5）(7)1-4: 真值表，等价公式例题1—例题61-4 习题（1）1-5 所有知识，表1-5.21-5 习题（1）（6）（7）1-7：合取范式、吸取范式、小项、大项及其性质、主析取范式及其简洁式、主合取范式及其简洁式、命题公式的成真赋值例题6---例题111-7习题（4）1-8：论证过程三种方法--真值表法、直接证法、间接证法例题1（p42）例题2—例题6 表1-8.3和表1—8.41-8 习题（1）（3）（4）（5）第二章谓词逻辑2-1 ：所有知识2-2：所有知识2-1,2-2习题（1）（2）2-3 例题1—例题42-3 习题（4）2-4 所有知识2-4 习题（2）（3）2-5 所有知识2-5 习题（1）（2）2-6 所有知识例题1，例题22-7 全称指定、全称推广、存在指定、存在推广。
例题1—例题32-7 习题（1）a）b）（2）a)（3）第三章集合与关系3-1 所有知识3-1 习题（4）（6）（7）（9）3-2 所有知识3-2 习题（3）（6）3-4 序偶、定理3-4.1例题13-4 习题（1）（2）（3）d）e）3-5 关系的定义，空关系，全域关系，恒等关系，关系矩阵，关系图。
例题1-例题63-5 习题（1）（2）（7）3-6 所有知识例题1—例题53-6 习题（1）3-7 复合关系，逆关系，例题1—例题43-7 习题（1）3-8 关系的闭包的定义，会求三个闭包。
例题1—例题33-8 习题（1）（2）3-9 集合的划分和覆盖的定义3-9 习题（1）3-10 等价关系的定义，等价类的概念。
商集的概念。
例题1—例题3。
3-10 习题（2）（3）3-11 相容关系的概念，相容类，最大相容类。
离散数学第一章知识点总结
离散数学第一章知识点总结（仅供参考）1.判断给定的句子是否为命题的基本步骤：首先应是陈述句；其次要有唯一的真值。
例：（1）我正在说谎。
不是命题。
因为无法判定其真假值，若假设它为假即我正在说谎，则意味着它的反为真，即我正在说实话，二者相矛盾；若假定它为真即我正在说实话，则意味着它的反为假，我正在说谎，二者也相矛盾。
这其实是一个语义上的悖论。
悖论不是命题（2）x-y ＞2。
不是命题。
因为x, y的值不确定，某些x, y使x−y＞2为真，某些x, y使x−y＞2为假，即x−y＞2的真假随x, y的值的变化而变化。
因此x−y＞2的真假无法确定，所以x−y＞2不是命题。
2.命题可以分为两种类型：原子命题（不能再分解为更简单命题，又可称为简单命题）；复合命题(通过联结词、标点符号将原子命题联结而成的命题）3.命题常元：一个命题标识符如果表示确定的简单命题，就称为命题常元命题变元：如果一个命题标识符只表示任意简单命题的位置标志，就称它为命题变元注：当命题变元P用一个特定的简单命题取代时，P才能确定真值，这时也称对P进行指派4.联接词：（1）否定联接词：﹁假为真，真为假；还可以用“非”、“不”、“没有”、“无”、“并不”等多种方式表示否定（2）合取联接词：∧一个为假就为假还可用“并且”、“同时”、“以及”、“既……又……”、“不但……而且……”、“虽然……但是……”等多种方式表达合取（3）析取联接词：∨一个为真就为真；一般用或表示注：联结词∨是可兼或，因为当命题P和Q的真值都为真时，其值也为真。
但自然语言中的“或”既可以是“排斥或”也可以是“可兼或”。
例1.6 晚上我们去教室学习或去电影院看电影。
（排斥或）例1.7 他可能数学考了100分或英语考了100分。
（可兼或）例1.8 刘静今天跑了200米或300米远。
（既不表示“可兼或”也不表示“排斥或”，它只是表示刘静所跑的大概路程，因此它不是命题联结词，故例1.8是原子命题。
离散数学期末复习要点与重点
离散数学期末复习要点与重点大纲(复习以课本和笔记为主。
文中标红为需重点掌握的，祝大家都能取得好成绩!）第1章 命题逻辑复习要点1．理解命题概念,会判别语句是不是命题．理解五个基本联结词：否定⌝P 、析取∨、合取∧、条件→、和双条件↔及其真值表，理解其他联结词的定义及基本等价式，会将简单命题符号化．具有确定真假意义的陈述句称为命题．命题必须具备：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2．理解公式的概念(公式、赋值、成真指派和成假指派)和公式真值表的构造方法．能熟练地作公式真值表．理解永真式和永假式概念,掌握其判别方法．判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，其二是等价演算法。
3．了解公式等价概念,掌握公式的重要等价式和判断两个公式是否等价的有效方法：等价演算法、列真值表法和主范式方法．4．理解析取范式和合取范式、极大项和极小项、主析取范式和主合取范式的概念，熟练掌握它们的求法(真值表法和等价推导法）．命题公式的范式不惟一,但主范式是惟一的．命题公式A 有n 个命题变元，A 的主析取范式有k 个小项，有m 个大项,则nm k 2=+ 于是有（1） A 是永真式⇔k =2n （m =0）； (2) A 是永假式⇔m ＝2n （k =0)；5．了解C 是前提集合｛A 1,A 2，…,A m }的有效结论或由A 1, A 2, …， A m 逻辑地推出C 的概念．要理解并掌握推理理论的规则、重言蕴含式和等价式，掌握命题公式的证明方法：真值表法、直接证法、间接证法．重点：命题与联结词，真值表，主析取(合取)范式，命题演算的推理理论.第2章 谓词逻辑复习要点1．理解谓词、量词、个体词、个体域，会将简单命题符号化．原子命题分成个体词和谓词，个体词可以是具体事物或抽象的概念，分个体常项和个体变项．谓词用来刻划个体词的性质或之间的关系．量词分全称量词∀,存在量词∃。
命题符号化注意：使用全称量词∀,特性谓词后用→；使用存在量词∃，特性谓词后用∧．2．了解原子公式、谓词公式、变元（约束变元和自由变元）与辖域等概念．掌握在有限个体域下消去公式的量词和求公式在给定解释下真值的方法．由原子公式、联结词和量词构成谓词公式．谓词公式具有真值时,才是命题．在谓词公式∀xA 或∃xA 中，x 是指导变元，A 是量词的辖域．会区分约束变元和自由变元．在非空集合D （个体域)上谓词公式A 的一个解释或赋值有3个条件．在任何解释下，谓词公式A 取真值1，A 为逻辑有效式(永真式）;公式A 取真值0,A 为永假式;至少有一个解释使公式A 取真值1，A 称为可满足式．在有限个体域下，消除量词的规则为：设D ＝{a 1， a 2, …, a n ｝，则)(...)()()(21n a A a A a A x xA ∧∧∧⇔∀)(...)()()(21n a A a A a A x xA ∨∨∨⇔∃会求谓词公式的真值,量词的辖域，自由变元、约束变元，以及换名规则、代入规则等． 掌握谓词演算的等价式和重言蕴含式．并进行谓词公式的等价演算． 3．理解前束范式的概念,掌握求公式的前束范式的方法. 若一个谓词公式F 等价地转化成 B x Q x Q x Q k k ...2211,那么B x Q x Q x Q k k ...2211就是F 的前束范式，其中Q 1，Q 2，…，Q k 只能是∀或∃，而x 1, x 2， …， x k 是个体变元，B 是不含量词的谓词公式．前束范式仍然是谓词公式．重点：翻译；前束范式．第3章 集合与关系复习要点1．理解集合、元素、集合的包含、子集、相等，以及全集、空集和幂集等概念，熟练掌握集合的表示方法．集合的表示方法：列举法和描述法。
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离散数学复习要点第一章命题逻辑一、典型考查点1、命题的判断方法：陈述句真值唯一，特殊：反问句也是命题。
其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。
详见教材P12、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的：1∧1⇔1，0∨0⇔0，1→0⇔0，11⇔1，00⇔1详见P53、命题符号化步骤：A划分原子命题，找准联结词。
特殊自然语言：不但而且，虽然但是用∧，只有P才Q，应为Q→P；除非P否则Q，应为┐P→Q。
B设出原子命题写出符号化公式。
详见P54、公式的分类判定（重言式、矛盾式、可满足式）方法：其一根据所有真值赋值情况，其二根据等价演算来判断。
详见P95、真值表的构造步骤：①命题变元按字典序排列，共有2n个真值赋值。
②对每个指派，以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。
③若公式较复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公式的真值。
详见P8。
6、基本概念：置换规则，P规则，T规则，详见P24；合取范式，析取范式，详见P15；小项详见P16；大项详见P18，最小联结词组详见P157、等价式详见P22表1.6.2 证明方法：①真值表完全相同②用等价演算③利用A⇔B的充要条件是A⇒B且B⇒A。
主要等价式：(1)双否定：⎤⎤A⇔A。
(2)交换律：A∧B⇔B∧A，A∨B⇔B∨A，A↔B⇔B↔A。
3)结合律：(A∧B)∧C⇔A ∧(B∧C)，(A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)，(A↔B)↔C⇔A↔(B↔C)。
(4) 分配律：A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)。
(5) 德·摩根律：⎤(A∧B)⎤⇔A∨⎤B，⎤(A∨B)⎤⇔A∧⎤B。
(6) 等幂律：A∧A⇔A，A∨A⇔A。
(7) 同一律：A∧T⇔A，A∨F⇔A。
(8) 零律：A∧F⇔F，A∨T⇔T。
(9) 吸收律：A∧(A∨B)⇔A，A∨(A∧B)⇔A。
(10) 互补律：A∧⎤A⇔F，(矛盾律)，A∨⎤A⇔T。
(排中律)(11) 条件式转化律：A→B⎤⇔A∨B，A→B⎤⇔B→⎤A。
(12) 双条件式转化律：A↔B⇔(A→B)∧(B→A)⇔(A∧B)∨(⎤A∧⎤B)8、蕴含式详见P23表1.6.3 证明方法：①前件真导后件真方法②后件假导前件假方法③真值表中，前件为真的行，后件也为真或者后件为假的行，前件也为假。
④用定义，证A⇒B，即证A→B是永真式。
9、范式求法步骤：①使用命题定律，消去公式中除∧、∨和⎤以外公式中出现的所有联结词；②使用⎤(⎤P)⇔P和德·摩根律，将公式中出现的联结词⎤都移到命题变元之前；③利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取范式。
10、主范式的求法重点步骤：(a)把给定公式化成析取（合取）范式；(b)删除析取范式中所有为永假的简单合取（析取）式；(c)用等幂律化简简单合取（析取）式中同一命题变元的重复出现为一次出现，如P∧P⇔P。
(d)用同一律补进简单合取（析取）式中未出现的所有命题变元，如Q，则P⇔P∧（⎤Q∨Q)或P⇔P∨（⎤Q∧Q)，并用分配律展开之，将相同的简单合取式的多次出现化为一次出现，这样得到了给定公式的主析取（合取）范式。
注意：主析取范式与主合取范式之间的联系。
例如：(P→Q)∧Q⇔m1∨m3⇔M0∧M2，即剩下的编码就是另一个主范式的编码，因此，求主范式，哪一个简单易求，就先求哪个，然后对应出所求结果。
详见P1611、推理证明：重点方法：演算、演绎法（常用的格式）、反证法、CP规则即附加前提等。
重点规则（主要蕴含式）：(1) P∧Q⇒P化简(2) P∧Q⇒Q化简(3) P⇒P∨Q附加(4) ⎤P⇒P→Q变形附加(5)Q⇒P→Q变形附加(6) ⎤(P→Q)⇒P变形化简(7) ⎤(P→Q)⎤⇒Q变形化简(8) P，(P→Q)⇒Q假言推理(9) ⎤Q，(P→Q)⎤⇒P拒取式(10) ⎤P，(P∨Q)⇒Q析取三段论(11) (P→Q)，(Q→R)⇒P→R条件三段论(12) (P↔Q)，(Q↔R)⇒P↔R 双条件三段论文字证明推理三步：一命题符号化，二写出前提和结论，三进行证明。
详见P21二、强化练习1.命题的是( )A.走，看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗?2.下列式子为重言式的是( )A.P→P∨QB.(┐P∧Q)∧(P∨┐Q)C.┐ (P Q)D.(P∨Q) (P→Q)3．下列为两个命题变元P，Q的小项是（）A．P∧Q∧⎤ P B．⎤ P∨Q C．⎤ P∧Q D．⎤ P∨P∨Q4．下列语句中是真命题的是（）A．我正在说谎B．严禁吸烟C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那雪是黑的5．设P：我们划船，Q：我们跑步。
命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（）A．⎤ P∧⎤ Q B．⎤ P∨⎤ Q C．⎤（P↔Q） D．⎤（⎤ P∨⎤ Q）6．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（）A．矛盾式B．蕴含式C．重言式D．等价式7．命题公式⎤（P∧Q）→R的成真指派是（）A．000，001，110，B．001，011，101，110，111 C．全体指派D．无8．设P：他聪明，Q：他用功，命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是（）A ．⎤ P ∧QB ．P ∧⎤ QC ．P →⎤ QD ．P ∨⎤ Q9．下面联结词运算不可交换的是（ ）A ．∧ B ．→ C ．∨ D ．10下列命题公式不是重言式的是（ ）A ．Q →（P ∨Q ）B ．（P ∧Q ）→PC ．⎤（P ∧⎤ Q ）∧（⎤ P ∨Q ）D ．（P →Q ）（⎤ P ∨Q ）11.设命题变元为P ，Q ，R ，则小项m100=________，大项M010=________。
12.置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的任何子命题公式都可以________，记为________规则。
13.请用联结词┐，∧表示联结词∨和联结词 ：________，________。
14．两个重言式的析取是________式，一个重言式与一个矛盾式的析取是________式。
15．命题公式（P ∧Q ）→⎤ P 的成真指派为__________，成假指派为__________。
16.用等值演算求(P →Q)→R 的主合取范式。
17.列出(P →(Q ∨R)) (P →Q)的真值表。
19．构造命题公式（（P ∧Q ）→P ）∨R 的真值表。
20．求下列公式的主合取范式和主析取范式：P ∨（⎤ P →（Q ∨（⎤ Q →R ）））21．构造命题公式（R Q Q P ∧→∨）→P ∧⎤ R 的真值表。
22．求下列公式的主析取范式和主合取范式：（P →（Q ∧R ））∧（⎤ P →（⎤ Q →R ））。
23.用推理方法证明：P ∨Q ，P →R ，Q →S├R ∨S 。
24．构造下面推理的证明。
如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。
小赵不去看电影或小张去看电影。
小王去看电影。
所以，当小赵去看电影时，小李也去。
25．构造下面推理的证明。
只要A 曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A 就犯了谋杀罪。
A 曾到过受害者房间。
如果在11点以前离开，看门人会看见他。
看门人没有看见他。
所以A 犯了谋杀罪。
离散数学复习要点 第二章谓词逻辑一、典型考查点1、基本概念：个体词、个体域、谓词、特性谓词、辖域，详见P27；前束范式详见P362、谓词符号化 步骤：①正确理解给定命题。
必要时把命题改叙，使其中每个原子命题、原子命题之间的关系能明显表达出来。
②把每个原子命题分解成个体、谓词和量词；在全总论域讨论时，要给出特性谓词。
③找出恰当量词。
应注意全称量词(∀x)后跟条件式，存在量词(∃x)后跟合取式。
④用恰当的联结词把给定命题表示出来。
详见P303、谓词公式类型的判定（永真式、永假式、可满足式） 方法：利用论域翻译成自然语言后进行判断。
详见P344、自由变元与约束变元的判定 方法：按定义，关键是要看它在A 中是约束出现，还是自由出现，若与量词的指导变元相同，就是约束出现，不同就是自由出现。
详见P31。
5、等价式 (1)量词否定等价式：(a)⎤(∀x)A ⇔(∃x)⎤A(b)⎤(∃x)A ⇔(∀x)⎤A(2) 量词辖域缩小或扩大等价式(a) (∀x)(A(x)∧B)⇔(∀x)A(x)∧B (b) (∀x)(A(x)∨B)⇔(∀x)A(x)∨B(c) (∀x)(A(x)→B)⇔(∃x)A(x)→B (d) (∀x)(B →A(x))⇔B →(∀x)A(x)(e) (∃x)(A(x)∧B)⇔(∃x)A(x)∧B (f) (∃x)(A(x)∨B)⇔(∃x)A(x)∨B(g) (∃x)(A(x)→B)⇔(∀x)A(x)→B (h) (∃x)(B →A(x))⇔B →(∃x)A(x)。
(3) 量词分配律等价式：(a) (∀x)(A(x)∧B(x))⇔(∀x)A(x)∧(∀x)B(x) (b)(∃x)(A(x)∨B(x))⇔(∃x)A(x)∨(∃x)B(x)其中，A(x)，B(x)为有x 自由出现的任何公式。
详见P34356、蕴含式(a)(∀x)A(x)∨(∀x)B(x)⇒(∀x)(A(x)∨B(x))(b) (∃x)(A(x)∧B(x))⇒(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)(c) (∀x)(A(x)→B(x))⇒(∀x)A(x)→(∀x)B(x)(d) (∀x)(A(x)→B(x))⇒(∃x)A(x)→(∃x)B(x)其中，A(x)和B(x)为含有x 自由出现的任意公式。
详见P356、前束范式 方法：①把量词全部通过等值演算化到整个谓词公式的前面②把量词前面的┐全部通过德摩根定律化到谓词公式的内部。
详见P367、推理：方法：演绎（常用格式）、反证法、CP 规则即附加前提等。
对于命题逻辑中的所有规则都可用。
特殊规则：(1)量词消去 (简称UI 或US 规则) (∀x)A(x)⇒A(c) (∀x)A(x)⇒A(y) (∃x)A(x)⇒A(c)量词产生规则(简称EG 或UG 规则) A(c)⇒(∃y)A(y) A(x)⇒(∀y)A(y) 详见P38二、强化练习1.下列式子不是谓词合式公式的是( )A.(∀x)(P(x)→(∃x)(Q(x) ∧A(x ，y)))B.(∀x)∧(∃y)∨P(x ，y)C.(∀x)P(x)→R(y)D.(∃x)P(x)∧Q(y ，z)2.设个体域为实数集，特定元素a=0，函数f(x ，y)=x-y ，特定谓词F(x ，y)为x<y ，下列公式真值为真的是( )A.(∀x)(∀y)F(x ，f(f(x ，y)，y))B.(∀x)(∀y)(┐F(f(x ，y)，x))C.(∀x)(∀y)(∀z)(F(x ，y)→F(f(x ，z)，f(y ，z)))D.(∀x)F(f(a ，x)，a)3.对于公式(∀x)(∀y)P(x ，y)∨Q(x ，z)∧(∃x)P(x ，y)，下列说法正确的是( )A.x 是自由变元B.x 是约束变元C.( ∀x)的辖域是P(x ，y)∨Q(x ，z)D.(∀x)的辖域是P(x ，y)4.设论域为{1，2}，与公式(∀x)┐A(X)等价的是( )A. ┐A(1) ∨┐A(2) B . ┐A(1)→┐(A2)C. ┐A(1) ∧┐A(2)D. A(1) →A(2)5．在公式（x ∀）F （x ，y ）→（∃ y ）G （x ，y ）中变元x 是（ ）A ．自由变元B ．约束变元C ．既是自由变元，又是约束变元D ．既不是自由变元，又不是约束变元6．下列等价式不正确的是（ ）A ．)(Q )(P ))(Q )(P (x x x x x x x ∀∨∀⇔∨∀B ．)(Q )(P ))(Q )(P (x x x x x x x ∀∧∀⇔∧∀C ．)(Q )(P ))(Q )(P (x x x x x x x ∃∨∃⇔∨∃D ．Q )(P )Q )(P (∧∀⇔∧∀x x x x7．设A （x ）:x 是人，B （x ）：x 犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（ ）A ．))(B )(A (x x x ∧∀ B ．⎤→∃)(A (x x ⎤ B （x ））C ．⎤))(B )(A (x x x ∧∃D ．⎤∧∃)(A (x x ⎤ B(x))二、填空题8.一个公式，如果量词均在全式的________，其作用域延伸到整个公式的________，则该公式称为前束范式。