垂直弦的直径2课件
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课件2：24.1.2垂直于弦的直径
思考:若圆心到弦的距离用d表示,半径用r表示,弦长用a表示, 这三者之间有怎样的关系?
练习：ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，Ｅ为垂足，若 ＡＥ＝９，ＢＥ＝１，求ＣＤ的长．
Ｃ
Ａ
Ｏ Ｅ
Ｂ
Ｄ
如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB 上的动点，则线段OM的长的最小值为____3.最大 值为_______5_____.
B
耐心填一填:
A
M
1. 如则图__A_1C_,在_=_B圆_C_O_中, _,_若_A_⌒M_N_N=_B⊥_⌒_NA__B_,M, _N__为_A_直⌒M__径=_B_, M_⌒_.
B ·CO N
2. 如图2,已知圆O的半径OA长为5,直径MN垂直于AB,AB长
M 图1
为8, 则OC的长为( A )
____2_或__8_______.
课堂小结
CD=10cm,请你帮助
工人师傅求出该破
轮的直径.
C
D
B
例２．已知⊙O的直径是５０ cm，⊙O的两条平行弦AB=４ ０ cm ，CD=４８cm， 求弦AB与CD之间的距离。
过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ。
A
20 E
B
A
E
B
. 25
15
C 25 O 7
24 F
D
C
.OF
D
AB、ＣＤ在点O两侧 ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２ AB、ＣＤ在点O同侧 ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８
问 题 ？
C 赵州桥的主桥拱是圆弧形，
它的跨度（弧所对的弦的长） A
D
为37.4米，拱高（弧的中点 到弦的距离）为7.2米，你能
r
课件《垂直于弦的直径》优秀PPT课件 _人教版2
E
A
B
D
知二推三
C
探究三
垂径定理的推论2:
弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦C所D过对圆的心两吗? 条弧.
CD⊥AB
条件
CD过圆心
结论 A⌒C=⌒BC
C
AE=BE
⌒AD=⌒BD
O
知二推三法
E
A
B
D
火眼金睛： 看下列图形，是否能使用垂径定理？ （2） 线段： AE=BE （4）平分弦所对的优弧 （1）圆是轴对称图形，请说出图中的一条对称轴。 答：赵州桥的主桥拱半径约为27. 在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得 平分弦 (不是直径) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 例 ：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37. （5）平分弦所对的劣弧 任何一条直径所在的直线都是对称轴。 将圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你能得到什么结论？ 2 掌握垂径定理及其推论（重点） 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧。
题设
结论
｝ （1）直径
（2）垂直于弦
知二
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 推三
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ） 任何一条直径所在的直线都是对称轴。 知二 推三 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。 火眼金睛： 看下列图形，是否能使用垂径定理？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ 将圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你能得到什么结论？ 你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造, 是世界现存最久远、跨度最大的石拱桥，雄伟的赵州桥举世闻名，它主桥拱的半径到 底有多大呢？ （2） 线段： AE=BE （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ （1）直径CD所在的直线是它的一条对称轴 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。 任何一条直径所在的直线都是对称轴。 例 ：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37. 2 掌握垂径定理及其推论（重点） 火眼金睛： 看下列图形，是否能使用垂径定理？ 垂直平分弦的直线过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
人教版初中九年级上册数学课件 《垂直于弦的直径》圆(第2课时)
A
O
B
DC
E
同学们，再见！
① ②
③ ④√ ⑤
① ③
②
④√这不里是的直弦径 ⑤
④平分弦所对的优弧,
⑤平分弦所对的劣弧.
拓展探究
①过圆心， ②垂直于弦， ③平分弦,
① ②
③ ④√ ⑤
① ③
②
④√这不里是的直弦径 ⑤
④ ⑤平 平分 分弦弦所所对对的的优劣①⑤弧弧 ,.
② ③？
④
拓展探究
猜想3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直 平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧．
猜想1：如果有一条直径平分一条弦，那么 它就能垂直于这条弦，也能平分这条弦所对 的两条弧.
C
C
C A
A
B
E
O
A
OB
O
C EO D
AE
B
D
D
B D
探究新知
C C
A
O
BA
O
B
D
D C
O
AE
B
D
C A
A
B
E
O
C EO D
B D
探究新知
猜想2：如果有一条直径平分一条不是直径 的弦，那么它就能垂直于这条弦，也能平分 这条弦所对的两条弧.
且弦EF分别交AB、AC于点M、N.
求证:△AMN是等腰三角形. A
EM N
D
F
G
O
B
C
新知应用
证明：∵OE、OF分别平分弦AB、
AC，
∴OE⊥AB，OF⊥AC．
∴∵∠OEE=DOMF=，∠FGN=90°． A
∴∠E=∠F．
EM N
∴∠EMD=∠FNG． D
O
B
DC
E
同学们，再见！
① ②
③ ④√ ⑤
① ③
②
④√这不里是的直弦径 ⑤
④平分弦所对的优弧,
⑤平分弦所对的劣弧.
拓展探究
①过圆心， ②垂直于弦， ③平分弦,
① ②
③ ④√ ⑤
① ③
②
④√这不里是的直弦径 ⑤
④ ⑤平 平分 分弦弦所所对对的的优劣①⑤弧弧 ,.
② ③？
④
拓展探究
猜想3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直 平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧．
猜想1：如果有一条直径平分一条弦，那么 它就能垂直于这条弦，也能平分这条弦所对 的两条弧.
C
C
C A
A
B
E
O
A
OB
O
C EO D
AE
B
D
D
B D
探究新知
C C
A
O
BA
O
B
D
D C
O
AE
B
D
C A
A
B
E
O
C EO D
B D
探究新知
猜想2：如果有一条直径平分一条不是直径 的弦，那么它就能垂直于这条弦，也能平分 这条弦所对的两条弧.
且弦EF分别交AB、AC于点M、N.
求证:△AMN是等腰三角形. A
EM N
D
F
G
O
B
C
新知应用
证明：∵OE、OF分别平分弦AB、
AC，
∴OE⊥AB，OF⊥AC．
∴∵∠OEE=DOMF=，∠FGN=90°． A
∴∠E=∠F．
EM N
∴∠EMD=∠FNG． D
27.2 垂径定理 (2) 公开课一等奖课件
【综合运用】 18．(14分)(2015· 安徽)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上 ，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ. (1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度； (2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
解：(1)PQ＝ 6
3 3 (2)PQ 长的最大值为 2
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要 的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是 综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好 的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常 重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满 阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的 ，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满 自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天 取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分英语141 分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学院 北京市文科状元 阳光女 孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何 旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的 笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是 学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她 的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后， 她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。
2．(4分)(2015· 遂宁)如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm ，OC⊥AB于点C，则OC＝( B ) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 3．(4分)如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一 点，则线段OM的长可能是( C ) A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 PPT课件
A．4 2 B．8 2
C．2 5
D．4 5
练习巩固，综合应用
2．如图，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好 经过圆心O，则折痕AB的长为 __2__3__cm．
3．⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB 上的一个动点，则OP长的取值范围为 3≤OP≤5．
练习巩固，综合应用
4．已知⊙O中，若弦AB的长为
8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm， A 求⊙O的半径．
解：连结OA，过O作OE⊥AB，
E
B
．
O
垂足为E，则OE=3 cm，AE=BE．
∵AB=8 cm，∴AE=4 cm．
在Rt△AOE中，根据勾股定理可得OA=5 cm．
∴⊙O的半径为5 cm．
练习巩固，综合应用
5．如图，AB是⊙O的直径，作半径OA的垂直平分 线，交⊙O于C，D两点，垂足为H，连接BC，BD．
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径．
再见
2
∴r=2 3．
故⊙O的半径长是2 3 ．
练习巩固，综合应用
6．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修 理人员准备更换一段新管道．如下图所示，污水水 面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问 修理人员应准备内径多大的管道?
练习巩固，综合应用
解：如图所示，连接OA，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于
2
2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2． 解得R≈27.3(m)． 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
D
A
B
R
O
练习巩固，综合应用
垂直于弦的直径2
图（2）
AC BC
观察图形特点，发现两个图形中的直径都是互相平分的， 即AO=BO，CO=DO，所不同的是图(1)是斜交，图(2)是垂直．
接着再观察，若把直径AB向下平移，变成非直径的弦 时，直径CD两侧相邻的两条弧是否还相等？
C
C
A
┓ O
B
O
E A
D
┓
D
B
我们猜想一下： AD BD 还有相等其它的关系吗？ 我们再猜想：AE=BE
C
下面请同学们动手折叠手中的圆形纸片，观察两侧半圆 的重合情况 先沿任一直线对折
C
又沿任一直径对折
C
A
O
D
D
结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线 都是它的对称轴．
当两条直径互相垂直 时(图2)，直径CD的 两侧相邻的两条弧相 等吗？
C A
C
O
A
┓ O
B
答：相等
AD BD
B D
D
图（1）
1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性 和垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧． 2.垂径定理的证明，是通过“实验—观察—猜想—证明” 实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想 后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思 想方法． 3.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是 一条非常重要的辅助线．圆心到弦的距离、半径、弦长 构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题．
AC BC
我们的猜想 正确吗？ 下面我们动 手证明一下。
请同学们拿出刚才的圆形纸片如图画线、标点 我们知道OA=OB
C
沿直径CD对折 我们发现CD两侧的两个半圆重合， 点A和点B重合，AE和BE重合，
课件《垂直于弦的直径》优质PPT课件_人教版2
B
O·
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.
2m,求桥拱的半径(精确到0. 做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况. 2m,求桥拱的半径(精确到0.
A
C
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常连接半径； 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。
垂径定理经常和勾股定理结合使用。
课堂讨论
①
根据已知条件进行推导： ②
③ ④ ⑤
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦
① ③
② ④ ⑤
① ④
③ ② ⑤
④平分弦所对优弧 ① ⑤平分弦所对劣弧 ⑤
③② ④③ ②
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为B M, M
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
5．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且 相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证四边形ADOE是正方形．
8cm
小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧；
做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况.
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
O
E
AB
O
E
A
B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
24.1.2垂直于弦的直径 课件人教版数学九年级上册
(1)证明：∵PG平分∠EPF,
∴∠DPO=∠APO. ∵AOIIPE,∴∠DPO=∠AOP, ∴∠APO=∠AOP,.∴AP=AO.
【综合拓展类作业】
(2)解：如图，过点O作OH⊥AB 于点H,
在Rt△AOH中， ∵AO=5,AH=4, ∴OH=√52-42=3. ∵AP=AO=5, ∴PH=AP+AH=9,
探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了 什么?由此你能得出什么结论?
猜想：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
你能证明上述结论吗?
证明：如图，设CD是○O的任意一条直径， A为 0O上点C,D 以外的任意一点. 过点A作AA'⊥CD, 交00于点A', 垂足为M, 连接OA,OA'.
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
垂直于圆的直径 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
【知识技能类作业】必做题：
1.往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面 宽AB=48cm, 则水的最大深度为( C )
A.4cm
B.3cm
C.2cm
D.1cm
【知识技能类作业】必做题： 3.已知○ O 中，弦AB=8cm, 圆 心 到AB 的距离为3cm, 则此圆的半径为_5 cm.
4.如图，OE⊥AB 于E, 若○ O 的半径为10cm,OE=6cm, 则AB=16 .cm.
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，在00中，弦AB的长为8cm, 圆心O到AB的距离为3cm.求 0 0 的半径.
∵OA=OB∴△OAB是等腰三角形
∴∠DPO=∠APO. ∵AOIIPE,∴∠DPO=∠AOP, ∴∠APO=∠AOP,.∴AP=AO.
【综合拓展类作业】
(2)解：如图，过点O作OH⊥AB 于点H,
在Rt△AOH中， ∵AO=5,AH=4, ∴OH=√52-42=3. ∵AP=AO=5, ∴PH=AP+AH=9,
探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了 什么?由此你能得出什么结论?
猜想：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
你能证明上述结论吗?
证明：如图，设CD是○O的任意一条直径， A为 0O上点C,D 以外的任意一点. 过点A作AA'⊥CD, 交00于点A', 垂足为M, 连接OA,OA'.
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
垂直于圆的直径 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
【知识技能类作业】必做题：
1.往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面 宽AB=48cm, 则水的最大深度为( C )
A.4cm
B.3cm
C.2cm
D.1cm
【知识技能类作业】必做题： 3.已知○ O 中，弦AB=8cm, 圆 心 到AB 的距离为3cm, 则此圆的半径为_5 cm.
4.如图，OE⊥AB 于E, 若○ O 的半径为10cm,OE=6cm, 则AB=16 .cm.
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，在00中，弦AB的长为8cm, 圆心O到AB的距离为3cm.求 0 0 的半径.
∵OA=OB∴△OAB是等腰三角形
24.1.2垂直于弦的直径
R 2 300 2 R 90 . D 解这个方程, 得R 545. 这段弯路的半径约为545m.
2
C
E F
●
O
活动三
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解： OE
AB
A
E
B
1 1 AE AB 8 4 2 2
OEA 90
EAD 90
ODA 90
C
∴四边形ADOE为矩形， ∵ OE⊥AC OD⊥AB 1 1 ∴ AE AC，AD AB 2 2 ∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
又
·
O D B
A
M
E A
.O
小结:
B
A
. E
C
O
D
B
C A
D B
.O
问 题 ？
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距 离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
A
B O
问 题 ？
例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
在Rt△AOE中
2 2
O
·
AO OE AE
2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
2
C
E F
●
O
活动三
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解： OE
AB
A
E
B
1 1 AE AB 8 4 2 2
OEA 90
EAD 90
ODA 90
C
∴四边形ADOE为矩形， ∵ OE⊥AC OD⊥AB 1 1 ∴ AE AC，AD AB 2 2 ∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
又
·
O D B
A
M
E A
.O
小结:
B
A
. E
C
O
D
B
C A
D B
.O
问 题 ？
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距 离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
A
B O
问 题 ？
例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
在Rt△AOE中
2 2
O
·
AO OE AE
2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
2012年省初中数学优质课比赛课件-九上数学24.1.2 垂直于弦的直径2
·O
A B
圆弧形的主Leabharlann 桥,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.
活 动 二
如图，AB是⊙O的一条弦， 做直径CD，使CD⊥AB， 垂足为E． （1）C是弧AB的中点吗？
（2）你能发现图中还有哪些相等的线段和弧？ C
（1）C是弧AB的中点
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两
D
天空的幸福是穿一身蓝 森林的幸福是披一身绿
阳光的幸福是如钻石般耀眼 老师的幸福是因为认识了你们 愿你们努力进取，永不言败 谢谢大家
直径 垂直于弦
判断
下列命题是真命题还是假命题？ （1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分 弦所对的弧。 ( × ) （2）一条过圆心的直线垂直于弦，必平 不是直径 分这条弦。 ( √ ) （3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧。 ( × )
C C
A
O
B A
O B D
D
垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且 平分弦所对的两条弧. 垂径定理推论： 平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弧.
A E
B
⌒ ⌒ 个半圆重合，ＡＣ和ＢＣ重合
（2）线段： AE=BE
·O
⌒
D
弧：ＡＣ＝ＢＣ
⌒
⌒
，ＡＤ＝ＢＤ
⌒
垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧.
C A E
O
B
几何语言表达：
∵CD是直径且CD⊥AB
D
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AE=BE， AC= BC AD= BD
题设 结论 平分弦 平分弦所对的两条弧
人教版 九年级上册
2412垂直于弦的直径2 ppt课件
∵ CD是直径， AE=BE
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
B
=BC, =BD.
5
垂径定理的本质是
满足其中任两条，必 定同时满足另三条
（1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦 （4）这条直线平分弦所对的优弧 （5）这条直线平分弦所对的劣弧
2020/12/2
6
1、两条辅助线：
O
D
A
B
2020/12/2
C
8
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A 圆心到弦的距离d、弦长a中， 任意知道两个量，可根据
B
定理D求出第三个量：
2020/12/2
9
2.如图，CD为圆O的直径，弦
A
AB交CD于E， ∠ CEB=30°，
DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
F
D
E C
O
B
3.如图，AB是⊙O的弦，∠OCA=300，OB=5cm，
OC=8cm，则AB=
；
O
45
┌
A
D
8
30°
B
C
2020/12/2
10
巩固训练
一弓形弦长为4 6 cm，弓形所在的圆的半径为 7cm，则弓形的高为＿＿＿＿.
C
C
A
D
B
O
O
202图，点A、B是⊙O上两点，AB=8, 点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）, 连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
辽宁省鞍山市第二中学九年级数学上册 24.1.2垂直于弦的直径 课件
------华罗庚
C
O
A
A
E
B
A
O
D
B
D
B
O
D
C
A
A
O
C
B
C
C
B
D
O
几何语言： ∵OE⊥AB于E点
∴AE=BE AC BC
C
O
A
E
B
几何语言： ∵OC⊥AB于C点 ∴AC=BC
A
O
Байду номын сангаас
C
B
几何语言：
∵OC⊥AB于D点
∴AD=BD AC BC
A
O
D
B
C
A
C
B
D
O
思考：若C、D为弦AB，弧AB中点呢？
对的两条弧． 垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直
于弦，并且平分弦所对的两条弧。 ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合
是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形—
（结合）勾股定理—建立方程．
新的数学方法和概念，常常比解决 数学问题本身更重要。
24.1.2 垂直于弦的直径
二中 黄雅秋
探究新知
请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的直径翻折，重 复做几次，你发现了什么？
圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。
1、下列图是否具备垂径定理的条件。
c
C
A
D
B
O
O
A
E
B
A
O
C
B
A
O
D
B
C
第2课时 垂直于弦的直径
1.实验发现
实验： 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径
对折，重复做几次，你发现了什么？由此你 能得到什么结论？
结论： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条
过圆心的直线.
2.探索
请按要求回答以下问题： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使
CD⊥AB，垂足为M.
(1)右图是轴对称图形吗？ 如果是，其对称轴是什么？
巩固练习
1.如图，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O
到AB的距离为3 cm，求⊙O的半径．
解： OE AB，
A
E
B
AE 1 AB 1 8 （ 4 cm）.
2
2
在Rt △ AOE 中，
O·
AO2 OE2 AE2，
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5（cm）.
推论
① CD是直径 ③ AM=BM
③AM=BM
④ AC BC ⑤ AD BD
② CD⊥AB ④ AC BC
⑤ AD=BD
例题评析
完成情境引入的问题. 如图，用 AB 表示主桥拱，设 AB 所在圆
的圆心为O，半பைடு நூலகம்为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D， 根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 AB 的中点，CD 就是拱高．
例题评析
解：如图，AB=37，CD=7.23,所以
C
AD 1 AB 1 37 18.5,
2
2
OD=OC－CD=R－7.23.
A
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
R O
OA2 = AD2+OD2.
24.1.2垂直于弦的直径(2)课件ppt
求半径OC的长。
O
D
A
B
C
练习1:在⊙O中，CE是直径，
E
CE交弦AB于 D，且AD=BD,
OD=4 ㎝，弦AC= 1㎝0 ，
求圆O的半径。
O
D
A
B
C
第7页，共16页。
2.如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
D
A
F
E C
O B
3.如图，AB是⊙O的弦，∠OCA=300，OB=5cm，
E
O
A
D
B
第12页，共16页。
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上
的一个动点，那么OP长的取值范围
是 3cm≤O。P≤5cm
O
5
3
A 4 CP
B
第13页，共16页。
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如 果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最短的
弦等于 2 5c. m
2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米，最短弦
C
•
证明：连接AO、BO，
∵AO=BO ∴△AOB为等腰三角形 ∵AE=BE ∴CD⊥AB ∵CD是直径，
∴⌒AD=⌒BD,A⌒C=⌒BC
•O
A
E•
•B
•
D
第4页，共16页。
垂径定理的推论 1
为什么弦 不是直径？
C
平分弦(不是直径)的直径垂
直于弦，并且平分弦所得的
两条弧. C
O
B
E
A
B
O(E) D
OC=8cm，则AB=
；
O
45
人教版数学九年级上册垂直于弦的直径二教学课件
O．
A
E C
DB
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
人教版数学九年级上册24.1第3课时 垂直于弦的直径（二）课件
所以，AC＝BD
人教版数学九年级上册24.1第3课时 垂直于弦的直径（二）课件
2.如图所示，P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O 半径为5cm，则经过P点的最短弦长为 __8_c_m__；最长弦长为_1_0_c_m__．
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
·O
A
D
B
人教版数学九年级上册24.1第3课时 垂直于弦的直径（二）课件
人教版数学九年级上册24.1第3课时 垂直于弦的直径（二）课件
练习：
3．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到 AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
24.1 圆的有关性质
第3课时 垂直于弦的直径（二）
1
复习提问
垂径定理的内容是什么？
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦 所对的两条弧．
C
垂径定理：
·O
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
E
A
B
推论：
D
由 ① CD是直径 ③ AE=BE
可推得
注意：AB可运动，但不能是直径
③AE=BE,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
人教版数学九年级上册24.1第3课时 垂直于弦的直径（二）课件
随堂练习
1． 判断：
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