信号与系统习题解

第1章 信号及信号的时域分析

1.1本章要点

本章在时域范围内讨论信号的分类和信号的基本运算，通过本章的学习，读者应该了解信号的各种分类、定义及相关波形；了解各类常用信号及其性质，掌握几种奇异信号的特性及运算方法；了解和掌握信号的基本运算方法，深刻理解卷积与输入、输出信号和系统之间的物理关系及其性质，为后续课程打下牢固的基础。 1、信号的分类

（1）连续信号与离散信号

一个信号，如果在连续时间范围内(除有限个间断点外)有定义， 就称该信号在此区间内为连续时间信号，简称连续信号。仅在离散时间点上有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。

（2）确定信号与随机信号

确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号。即给定某一时间值，就能得到一个确定的信号值。随机信号是时间的随机函数，即给定某一时间值，其函数值并不确定的信号。

（3）周期信号与非周期信号

对于连续信号)(t f ，若存在0>T ，使得)()(t f rT t f =+，r 为整数，则称)(t f 为周期信号；对于离散信号)(n f ，若存在大于零的整数N ，使得)()(n f rN n f =+，r 为整数，则称)(n f 为周期信号。不满足周期信号定义的信号称为非周期信号。

① 几个周期信号相加而成的信号的周期问题

几个周期信号相加，所产生的信号可能是周期信号，也可能是非周期信号，这主要取决于几个周期信号的周期之间是否存在最小公倍数0T 。以周期分别为1T 、2T （角频率分别为

21,ΩΩ）的两个信号相加产生的信号()t f 为例，

归一化能量为有限值，归一化功率为零的信号为能量信号，即满足∞<

（5）实信号与复信号 在各时刻t （或n ）上的信号幅值为实数的信号为实信号，信号幅值为复数的信号称为复信号。

2、常用连续信号及其性质

（1）.单位阶跃信号用)(t u 表示，定义为：

⎩⎨

⎧<>=0

01)(t t t u （1-2）

（2）单位冲激信号用)(t δ表示，其狄拉克(Dirac)定义为：

⎪⎩⎪⎨⎧≠==⎰∞∞-0

,0)(1

)(t t dt t δδ （1-3）

冲激信号的性质：

1）筛选性

)()0()()(t f t t f δδ= （1-4）

)()()()(000t t t f t t t f -=-δδ （1-5）

2）取样性 )0()()0()()0()()(f dt t f dt t f dt t t f ===⎰⎰⎰∞

∞-∞

∞-∞

∞-δδδ （1-6）

)()()()()()()(000000t f dt t t t f dt t t t f dt t t t f =-=-=-⎰⎰⎰∞

∞-∞

∞-∞

∞

-δδδ

（1-7）

3）尺度变换

以及()at δ的n 阶导数为 4）奇偶性

利用式（1-10）来分析()t δ的奇偶性是比较方便的。令1-=a ，得

()

()()()()t t n n n δδ1-=- （1-11）

n 为偶数时，有

()

()()()

Λ,4,2,0==-n t t n n δδ

（1-12）

n 为奇数时，有

()()()()

Λ,5,3,1=-=-n t t n n δδ （1-13）

这样，得到

)()(t t δδ=- （1-14）

()()t t δδ'-=-' （1-15）

即()t δ是偶函数，而()t δ'是奇函数。 5） )(t δ与)(t u 互为微分与积分的关系，

⎰∞-=t

d t u ττδ)()( （1-16）

对于形如()[]t f δ的冲激信号，若()0=t f 有m 个互不相等的实根（如果()0=t f 有重根，()[]t f δ没有意义），则有

（3）单位冲激偶函数 1）单位冲激偶函数的定义

单位冲激偶函数可通过对矩形脉冲求一阶导数再取极限引出其定义。脉宽为τ、幅度为

波形如图1-1所示。

图1-1 对矩形脉冲求导的波形

2）单位冲激偶函数的性质： ① 因为)(t δ'是奇函数，所以

⎰∞

∞

-='0)(dt t δ （1-19）

②

⎰

∞

-='t

t d )()(δττδ （1-20）

③ )()0()()0()()(t f t f t t f δδδ'-'=' （1-21） 推广，有

)()()()()()(00000t t t f t t t f t t t f -'--'=-'δδδ （1-22） ④ ⎰∞

∞-'-=')0()()(f dt t t f δ （1-23）

推广，有

()

()()⎰∞

∞--=)0(1)()(n n n f dt t t f δ （1-24） ⎰∞

∞-'-=-')()()(00t f dt t t t f δ （1-25） ()()()⎰∞

∞

--=-)(1)()(00t f dt t t t f n n

n δ （1-26）

（4）斜坡信号

单位斜坡信号用()t r 表示，其定义为：

()⎩⎨

⎧≤>==0

0)(t t t

t tu t r （1-27）

)(t r 与)(t u 之间的关系为：

ττd u t r t

⎰∞-=)()( （1-28）

（5）符号函数()t sgn

符号函数用()t sgn 表示，其定义为：