数列通项公式和前n项和求解方法
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数列通项公式的求法详解
关键是找出各项与项数n 的关系.) 例1:根据数列的前4项,写出它的一个通项公式: (1)9,99,999,9999,…(2)K ,1716
4,1093
,542,21
1(3)
K ,52,21,32
,1(4)K ,5
4
,43,32,21-- 答案:(1)110-=n
n a (2);1
22++=n n n a n (3);12+=n a n (4)1)1(1+⋅
-=+n n
a n n .
公式法1:特殊数列
例2: 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列,数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列,若函数f (x ) =
(x -1)2
,且a 1 = f (d -1),a 3 = f (d +1),b 1 = f (q +1),b 3 = f (q -1),求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。
答案:a n =a 1+(n -1)d = 2(n -1); b n =b ·q n -1=4·(-2)n -1
例3. 等差数列{}n a 是递减数列,且432a a a ⋅⋅=48,432a a a ++=12,则数列的通项公式是( )
(A) 122-=n a n (B) 42+=n a n
(C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 答案:(D)
例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ,公比10< 简析:由题意,321++++=n n n a a b ,又{}n a 是等比数列,公比为q ∴ q a a a a b b n n n n n n =++=+++++2 13 21,故数列{}n b 是等比数列,易得)1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n n n .点评:当数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的通项 公式,只需求首项及公差公比. 公式法2: 知n s 利用公式 ⎩⎨ ⎧≥-==-2,1 ,11n S S n s a n n n . 例5:已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式,求}{n a 的通项公式.(1)13-+=n n S n . (2)12 -=n s n 答案:(1)n a =3232+-n n ,(2)⎩ ⎨ ⎧≥-==)2(12)1(0 n n n a n 点评:先分n=1和2≥n 两种情况,然后验证能否统一. 【型如)(1n f a a n n +=+的地退关系递推关系】 简析:已知a a =1,)(1n f a a n n =-+,其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数,求通项n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数,累加后可转化 为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数,累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和各式相加得 例5:已知数列6,9,14,21,30,…求此数列的一个通项. 答案:) (52N n n a n ∈+= 例6. 若在数列{}n a 中,31=a ,n n n a a 21+=+,求通项n a . 答案:n a =12+n 例7.已知数列}{n a 满足31=a ,)2()1(11≥-+ =-n n n a a n n ,求此数列的通项公式. 答案:n a n 1 2-= 【 形如1+n a =f (n)·n a 型】 (1)当f(n)为常数,即: q a a n n =+1(其中q 是不为0的常数) ,此时数列为等比数列,n a =1 1-⋅n q a . (2)当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 例8:在数列{n a }中,1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ,求n a 的表达式. 例9: 已知数列{}n a 中,3 1 1= a ,前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ,试求通项公式n a . . 答案:.) 12(12(1 -+= n n a n 思考题1:已知1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{a n }的通项公式. 分析:原式化为 ),1(11+=++n n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进一步转化为n n nb b =+1形式,累积得解. 构造1:【形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型】 (1)若c=1时,数列{n a }为等差数列; (2)若d=0 时,数列{n a }为等比数列;(3)若01≠≠且d c 时,数列{n a }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求. 方法如下:设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得 )0(,1≠-= c c d λ, 所以:)1(11-+=-+-c d a c c d a n n ,即⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧ -+1c d a n 构成以11-+ c d a 为首项,以c 为公比的等比数列. 例10:已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ,且11=a 求通项n a . 答案:12-=n n a 构造2:相邻项的差为特殊数列 例11:在数列{}n a 中,11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++,求n a .提示:变为)(3 1 112n n n n a a a a --=-+++. 构造3:倒数为特殊数列【形如s ra pa a n n n += --11 】 例12: 已知数列{n a }中11=a 且1 1+=+n n n a a a (N n ∈), ,求数列的通项公式. 答案 n b a n n 1 1== 例13:设数列}{n c 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和,若c 1=2,c 2=4,c 3=7,c 4=12,求通项公式c n 解析:设1 )1(-+-+=n n bq d n a c 建立方程组,解得. 点评:用待定系数法解题时,常先假定通项公式或 前n 项和公式为某一多项式,一般地,若数列}{n a 为等差数列:则c bn a n +=,cn bn s n +=2 (b 、c为常数), 若数列}{n a 为等比数列,则1-=n n Aq a ,)1,0(≠≠-=q Aq A Aq s n n . 例14:(1)数列{n a }满足01=a ,且)1(2121-=++++-n a a a a n n Λ,求数列{a n }的通项公式.