江苏高考数学导数练习题教学教材
江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第5章导数及其应用测评课件苏教版选择性必修第一册
（2）在（1）的条件下，求函数 在 上的最小值.
由（1），得 ， ，由 ，得 或 .因为 , ，所以当 时， ，当 时， ，因此函数 在 , 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以函数 在 , 上的最小值为 .
19.（12分）已知函数 ，其中 为常数.
12.对于函数 ，下列说法正确的是( )
ACD
A. 在 处取得极大值 B. 有两个不同的零点C. D.若 在 上恒成立，则
[解析] 对于A， 的定义域为 ，所以 .令 ，解得 .当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，当
时， ，所以函数 在 上单调递减，所以函数在 时取得极大值也是最大值 ，故A正确；对于B，当 时， ， ， ，当 时， ，如图,函数 有且只有一个零点，故B错误;对于C，因为当 时 为单调递减函数，所以 .因为
依题意，企业加工生产不出现亏损，则当 时，都有 ，即 .令 ， ，则 .令 ，则 ，可知 在 上单调递减，从而 .又 ，所以当 时， 在 上单调递减，因此， ，即 .故当美元的贬值指数 , 时，该企业加工生产不会亏损.
21.（12分）已知 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
单调递增，而 ， ，故存在 , ，使得 ，所以当 时， ，即 在区间 上单调递减，所以当 时， ，所以 符合题意.综上所述， 的取值范围为 .
高中数学 第3章《导数及其应用》复习 精品导学案2 苏教版选修1-1
江苏省响水中学高中数学 第3章《导数及其应用》复习2导学案 苏教版选修1-1复习要求：1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值．课前预习：1．知识要点回顾：(1)函数的导数与单调性的关系：(2)函数的极值与导数：(3)函数的最值与导数①函数f(x)在[a ，b]上有最值的条件：如果在区间[a ，b]上函数y ＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．②求y ＝f(x )在[a ，b]上的最大(小)值的步骤：（4）若函数f(x)在定义域A 上存在最大值与最小值，则①对任意x ∈A ，f(x)＞0⇔ ＞0；②存在x ∈A ，f(x)＞0⇔ ＞0.2．判断： (1)函数f(x)在区间(a ，b)内单调递增，则f′(x)>0；( )(2)函数的极大值一定比极小值大；( )(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件；( )(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值。
( )3．函数f(x)＝x ＋4x的单调减区间是 4.函数f(x)＝xex 的极小值点是5．已知f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是课堂探究：2.已知函数f(x)＝x－alnx．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．3.已知函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6a x.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．变式：已知函数f(x)＝(x－k)ex(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．3.设函数f(x)＝x3－3ax＋b (a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．4. 设L为曲线C：y＝ln xx在点(1,0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
江苏省连云港市灌云县四队中学高中苏教版数学选修1-1教案：《导数习题课》
四队中学教案纸 （备课人： 吴利霞 学科： 高二数学 ） 备课时间教学 课题 教时 计划 2 教学 课时 2 教学目标 掌握导数的应用重点难点导数的应用教学过程 一、利用导数研究曲线的切线例1.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 .解析：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得：2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+-- 即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =，∴切线方程12(1)y x -=-，即210x y --=.二、利用导数研究函数的单调性例2已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x-=-+-∈ （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性. 解：（1） 当 1 ()a f x =-=时，),,0(,12ln +∞∈-++x xx x ()222x x f x x +-'= 因此，()21f '=,又,22ln )2(+=f所以曲线()2(2)) (ln 22)2, y f x f y x =-+=-在点（，处的切线方程为ln 20. x y -+=即（2）因为11ln )(--+-=x a ax x x f ,所以211)('xa a x x f -+-=221x a x ax -+--= ),0(+∞∈x ,令,1)(2a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围．解：依题意，得a x x =+-+)1ln(2)1(在区间[O ，2]上恰有两个相异实根． 令)1ln(2)1()(x x x g +-+=，则)(x g ⋅+-=+-=11121x x x 当)1,0[∈x 时'()0g x <，当]2,1(∈x '()0,g x >)(x g ∴在[)0,1上是减函数，在]2,1(上是增函数．min ()(1)22ln 2.g x g ∴==- 又,3ln 23)2(,1)0(-==g g Θ∴>∴),2()0(g g 只要),2()1(g g ≤<α如图，即3ln 232ln 22-≤<-a ，可以使方程)(x f a x x ++=2在区间]2,0[上恰有两个相异实根，故a 的取值范围是].3ln 23,2ln 22(--五、利用导数证明不等式例5．已知217()ln ,()(0).22f x xg x x mx m ==++<直线l 与函数()(),f x g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1． （1）求直线l 的方程及m 的值；（2）若()()()1'h x f x g x =+-（其中()'g x 是()g x 的导函数），求函数()h x 的最大值；（3）当0b a <<时，求证：()()22b a f a b f a a-+-<． 解：(1)依题意知，直线l 是函数()f x lnx =在点)0,1(处的切线，故其斜率'1(1)1,1k f === 所以直线l 的方程为.1-=x y 又因为直线l 与)(x g 的图像相切，所以由 22119(1)0172222y x x m x y x mx =-⎧⎪⇒+-+=⎨=++⎪⎩得 2(1)902(4m m m ∆=--=⇒=-=不合题意，舍去）(2)因为'()(1)()ln(1)h x f x g x x x =+-=+-+)1(2->x ，所以'1()111x h x x x -=-=⋅++ 当01<<-x 时',()0;h x >当0>x 时',()0.h x <。
江苏省苏州市高中数学第一章导数及其应用导数的应用教学设计新人教A版选修2-2
导数的应用一、教材分析“导数的综合应用”是高中数学人教A版教材选修2—2第一章的内容，是中学数学新增内容，是高等数学的基础内容，它在中学数学教材中的出现,使中学数学与大学数学之间又多了一个无可争辩的衔接点。
导数的应用是高考考查的重点和难点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题，这要求我们复习时要掌握基本题型的解法，树立利用导数处理问题的意识．二、学情分析根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。
三、教学目标1、知识与技能：(1）利用导数的几何意义。
（2）利用导数求函数的单调区间;(3)利用导数求函数的极值以及函数在闭区间上的最值;（4）解决根分布及恒成立问题2、过程与方法：(1)能够利用函数性质作图像，反过来利用函数的图像研究函数的性质如交点情况，能合理利用数形结合解题.(2)学会利用熟悉的问答过渡到陌生的问题。
3、情感、态度与价值观:这是一堂复习课，教学难度有所增加,培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心。
四、教学重点、难点重点是应用导数求单调性，极值，最值难点是方程根及恒成立问题五、学法与教法➢学法与教学用具学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题（如问题3的处理）。
（2）自主学习：引导学生从简单问题出发，发散到已学过的知识中去。
（如问题1、2的处理）.(3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知(如问题1、2的发散和直击高考的处理)。
教学用具：多媒体。
➢教法:变式教学———这样可以让学生从题海中解脱出来，形成知识网络，增强知识的系统性与连贯性,从而使学生能够抓住问题的本质，加深对问题的理解，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变"的本质中探索“变”的规律；教学教学内容师生互动设计思路环节3、若f（x)在x=1处取得极值（1）此时方程f（x）=0有三个根,求c的取值范围.分组讨论,学生讲思路，讲方法。
江苏专版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算教案文含解析苏教版
江苏专版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算教案文含解析苏教版第一节 导数的概念及导数的运算1．导数的概念 (1)平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 ①定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，此值ΔyΔx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝x α f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[Cf (x )]′＝Cf ′(x )(C 为常数)；(3)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x (g (x )≠0)．[小题体验]1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________． 解析：由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案：e2．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 答案：2x －y ＋1＝03．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝_____.解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，所以f ′(3)＝－13，因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案：01．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x α)′＝αx α－1与指数函数的求导公式(a x)′＝a xln a 混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[小题纠偏]1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .答案：－x sin x2．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a·e x图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a·e 0x＝－1，所以ex ＝a ，又－1a·e 0x＝－x 0＋1，所以x 0＝2，a ＝e 2.答案：e 23．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a ＝________.解析：因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.答案：－1或－2564考点一 导数的运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]求下列函数的导数． (1)f (x )＝x 3＋x ； (2)f (x )＝sin x ＋x ； (3)f (x )＝e x cos x ； (4)f (x )＝x －1x－ln x . 解：(1)f ′(x )＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋(x )′＝3x 2＋1. (2)f ′(x )＝cos x ＋1.(3)f ′(x )＝e xcos x －e xsin x ＝e x(cos x －sin x )． (4)f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－xx2.[谨记通法]求函数导数的3种原则考点二 导数的几何意义题点多变型考点——多角探明[锁定考向]导数的几何意义是把函数的导数与曲线的切线联系在一起，一般不单独考查，在填空题中会出现，有时也体现在解答题中，难度偏小．常见的命题角度有： (1)求切线方程； (2)求切点坐标；(3)求参数的值(范围)．[题点全练]角度一：求切线方程1．(2019·泰州检测)若函数f (x )＝2x 在点(a ，f (a ))处的切线与直线2x ＋y －4＝0垂直，则该切线方程为________．解析：∵切线与直线2x ＋y －4＝0垂直， ∴切线的斜率是12.∵f (x )＝2x ，∴f ′(x )＝x12-，∴f ′(a )＝a12-＝12. 解得a ＝4，则f (4)＝4，故函数f (x )在点(4,4)处的切线方程为x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝02．已知曲线y ＝x 与y ＝8x的交点为C ，两曲线在点C 处的切线分别为l 1，l 2，则切线l 1，l 2与y 轴所围成的三角形的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝8x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，即C (4,2)，由y ＝x ，得y ′＝(x )′＝12x ，则直线l 1的斜率k 1＝14，∴l 1：y ＝14x ＋1.同理可得l 2：y ＝－12x ＋4，如图，易知S △ABC ＝12×3×4＝6，即所求的面积为6.答案：6角度二：求切点坐标3．(2019·扬州模拟)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为________．解析：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，符合题意．答案：(1,3)和(－1,3) 角度三：求参数的值(范围)4．(2018·常州高三期末)已知函数f (x )＝bx ＋ln x ，其中b ∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________．解析：设切点为(x 0，bx 0＋ln x 0)，f ′(x )＝b ＋1x ，则k ＝b ＋1x 0，故切线方程为y －(bx 0＋ln x 0)＝⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1x(x －x 0)，将(0,0)代入，可得x 0＝e ，则k ＝b ＋1e ，∴k －b ＝1e .答案：1e[通法在握]与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A (x 0，y 0)求斜率k ，即求该点处的导数值，k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)求过某点M (x 1，y 1)的切线方程时，需设出切点A (x 0，f (x 0))，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再把点M (x 1，y 1)代入切线方程，求x 0.[演练冲关]1．曲线f (x )＝2x －e x与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为________． 解析：曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为(0，－1)． 且f ′(x )＝2－e x，所以f ′(0)＝1. 所以所求切线方程为y ＋1＝x ，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝02．(2018·南京、盐城高三二模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x＝1处的切线为l ，则点(2，－1)到直线l 的距离的最大值为________．解析：把x ＝1代入y ＝m x ＋1，得y ＝m2， 则切线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m 2.∵y ′＝－m x ＋12，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－m4.∴切线l 的方程为y －m 2＝－m4(x －1)，即mx ＋4y －3m ＝0.∴点(2，－1)到直线l 的距离d ＝|2m －4－3m |m 2＋42＝|－4－m |m 2＋16＝m ＋4m 2＋16＝m ＋42m 2＋16＝m 2＋8m ＋16m 2＋16＝1＋8mm 2＋16＝ 1＋8m ＋16m≤ 1＋82m ·16m＝2，当且仅当m ＝16m，即m ＝4时取“＝”，故所求最大值为 2. 答案： 23．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝b ＝0，f ′0＝－aa ＋2＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·常州调研)函数f (x )＝e x ＋x 2＋sin x 的导函数f ′(x )＝________. 答案：e x＋2x ＋cos x2．(2018·镇江调研)函数f (x )＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于________． 解析：由f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，得f ′(x )＝3x 2＋2x －1， 所以f ′(1)＝3＋2－1＝4. 答案：43．(2018·苏州暑假测试)曲线y ＝e x在x ＝0处的切线方程为____________． 解析：因为y ′＝e x，所以y ＝e x在x ＝0处的切线斜率k ＝e 0＝1， 因此切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝04．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x(－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 答案：－3π5．(2019·苏州调研)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R)图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23，当x ＝a 3时，f ′(x )取到最大值a 23.∴a 23＜1，解得－3＜a ＜ 3. 答案：(－3，3)6．(2018·苏北四市调研)已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：因为f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，所以f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，所以f ′(－1)＝8， 故切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0， 令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，所以所求面积S ＝12×54×10＝254.答案：254二保高考，全练题型做到高考达标1．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(2)＝________. 解析：因为f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，所以f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－2，则f ′(x )＝2x －4，所以f ′(2)＝2×2－4＝0.答案：02．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝________. 解析：因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7. 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8. 答案：83．(2019·淮安调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________． 解析：因为y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， 所以y ′＝x ＋2－x x ＋22＝2x ＋22，y ′| x ＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， 所以所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：y ＝2x ＋14．(2018·无锡期末)在曲线y ＝x －1x(x ＞0)上一点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴，y轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则x 0＝________.解析：因为y ′＝1＋1x2，切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0－1x 0，x 0＞0，所以切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝1＋1x 20，所以切线方程是y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 20(x －x 0)．令y ＝0，得x ＝2x 0x 20＋1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0x 20＋1，0； 令x ＝0，得y ＝－2x 0，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2x 0.所以S △OAB ＝12·2x 0x 20＋1·2x 0＝2x 20＋1＝13，解得x 0＝ 5.答案： 55．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝________.解析：因为f ′(x )＝1x，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，解得m ＝－2. 答案：－26．(2018·淮安高三期中)已知函数f (x )＝x 3.设曲线y ＝f (x )在点P (x 1，f (x 1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x 2，f (x 2))，记f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′x 1f ′x 2的值为________．解析：由f ′(x )＝3x 2，得f ′(x 1)＝3x 21，所以曲线y ＝f (x )在点P (x 1，x 31)处的切线方程为y ＝3x 21x －2x 31，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 21x －2x 31，y ＝x 3，解得Q(－2x 1，－8x 31)，所以x 2＝－2x 1，所以f ′x 1f ′x 2＝3x 213x 22＝14.答案：147．(2019·南通一调)已知两曲线f (x )＝2sin x ，g (x )＝a cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2相交于点P .若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．解析：f ′(x )＝2cos x ，g ′(x )＝－a sin x ．设点P 的横坐标为x 0，则f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)·g ′(x 0)＝－1，即2sin x 0＝a cos x 0，(2cos x 0)·(－a sin x 0)＝－1，所以4sin 2x 0＝1.即 sin x 0＝±12，因为x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin x 0＝12，cos x 0＝32，所以a ＝233.答案：2338．曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1(x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为________．解析：设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 2＋1)＝2x 0(x －x 0)，所以y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝－2x 20＋6x 0＋2，所以S 普通梯形＝g 1＋g 22×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋134，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134时，S 普通梯形最大．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1349．(2019·盐城中学月考)求下列函数的导数： (1)y ＝x 2(ln x ＋sin x )； (2)y ＝cos x －x x2； (3)y ＝x ln x .解：(1)y ′＝2x (ln x ＋sin x )＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋cos x ＝2x ln x ＋2x sin x ＋x ＋x 2cos x .(2)y ′＝－sin x －1x 2－cos x －x ·2xx 4＝x －2cos x －x sin xx 3.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x ln x ＋x ·1x ＝2＋ln x 2x .10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，所以经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14得， f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax . 设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)， g ′(x )＝－1x， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ －ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34， 所以x 0＝e 34，所以a ＝－1e34＝－e 34-. 答案：－e34-2．(2018·启东中学高三测试)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线l：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线l既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，解得a＝－2.(2)存在，理由如下：由已知得，直线l恒过定点(0,9)，若直线l是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f′(x)＝－6x2＋6x＋12，①由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10.所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
高考新创新一轮复习理数江苏专版教师用书：第三章+导数及其应用
第三章 导数及其应用1．瞬时速度和瞬时加速度(1)瞬时速度：对于t ∈[t 0，t 0＋Δt ]时的平均速度v ＝Δs Δt ，当Δt →0时，v ＝ΔsΔt 趋近于一个常数，这个常数就是t ＝t 0的瞬时速度．(2)瞬时加速度：对于t ∈[t 0，t 0＋Δt ]时的平均加速度a ＝Δv Δt ，当Δt →0时，a ＝Δv Δt趋近于一个常数，这个常数就是t ＝t 0的瞬时加速度．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．3．函数f (x )的导函数若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内任意一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．4．基本初等函数的求导公式(1)[f (x)±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)[Cf (x )]′＝Cf ′(x )(C 为常数)；(4)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．已知函数的解析式求导数[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln xx ； (3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x －2x ＋e.[解] (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x -12－x 12，∴y ′＝(x-12)′－(x 12)′＝－12x -32－12x -12.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2 ＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋(e)′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2. [方法技巧]导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．导数运算的应用[例2] (x 0)＝2 018，则x 0＝________.(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 017)＋2 017ln x ，则f ′(1)＝________.[解析] (1)由题意可知f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ·1x ＝2 018＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 018，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 017)＋2 017x ， 所以f ′(2 017)＝2 017＋2f ′(2 017)＋2 0172 017， 即f ′(2 017)＝－(2 017＋1)＝－2 018. 故f ′(1)＝1＋2×(－2 018)＋2 017＝－2 018. [答案] (1)1 (2)－2 018 [方法技巧]对抽象函数求导的解题策略在求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为f (x )＝f ′(x 0)x ＋sin x ＋ln x (x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求的导数值．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1213＝f ′2(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )(n ∈N *且n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 017⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝sin x －cos x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝sin x ＋cos x ，故周期为4，前四项和为0，所以原式＝f 1⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋cos π2＝1.答案：12.[考点二](2018·徐州期初检测)记定义在R 上的函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )．如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (b )－f (a )＝f ′(x 0)(b －a )成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“中值点”，那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2,2]上的“中值点”的个数为________．解析：因为f (2)＝2，f (－2)＝－2，f (2)－f (－2)2－(－2)＝1，所以f ′(x )＝3x 2－3＝1，得x ＝±233∈[－2,2]，故有2个“中值点”．答案：23.[考点二](2018·南京重点中学月考)已知函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于________．解析：因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.答案：－944.[考点二]在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为________．解析：因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.又数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝4 096.答案：4 0965.[考点一]求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ； (3)y ＝cos xe x. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x . 突破点(二) 导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.[例1] 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. [方法技巧]求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；②根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．[提醒] “过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．求切点坐标[例2] (1)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________．(2)(2018·广州模拟)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为________．[解析] (1)y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1.y ＝1x (x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，设P (m ，n )，则曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m ＞0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)． (2)由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ，所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0， 又切线方程为x ＋y ＝0，所以x 0≠0，且⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋2ax 0＝－1，x 0＋x 30＋ax 2＝0， 解得a ＝±2，x 0＝－a2.所以当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，a ＝－2时，点P 的坐标为(1，－1)；当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，a ＝2时，点P 的坐标为(－1,1)． [答案] (1)(1,1) (2)(1，－1)或(－1,1)求参数的值[例3] (1)直线y ＝3(1,3)，则2a ＋b 的值为________．(2)已知曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝________. [解析] (1)依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ×1＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ×1＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1.(2)由y ′＝－2(x －1)2得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－12，又切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则⎝⎛⎭⎫－12×(－a )＝－1，得a ＝－2. [答案] (1)1 (2)－2 [方法技巧]根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”解析：∵f (x )＝2e x sin x ，∴f (0)＝0，f ′(x )＝2e x (sin x ＋cos x )，∴f ′(0)＝2，∴曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .答案：y ＝2x2.[考点三](2018·仪征中学高三月考)若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________．解析：设直线y ＝2x ＋m 与曲线y ＝x ln x 相切于P (t ，t ln t )，t ＞0，由y ＝x ln x 得y ′＝ln x ＋1，由题意ln t ＋1＝2，所以t ＝e ，即P (e ，e)，所以e ＝2e ＋m ，解得m ＝－e.答案：－e3.[考点二]在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x ＋1上，且在第二象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：由y ′＝3x 2－1＝2，得x ＝±1，又点M 在第二象限内，故x ＝－1，此时y ＝1，即点M 的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)4.[考点三](2018·衡阳八中模拟)已知函数f (x )＝a x ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a ＞0且a ≠1，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：因为f (x )＝a xln x ，所以f ′(x )＝ln a ·a xln x ＋a x x .又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案：35.[考点一]如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为________．解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝0. 答案：y －3＝0 [课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考1．(2018·镇江调研)函数f (x )＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于________． 解析：f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，f ′(x )＝3x 2＋2x －1，f ′(1)＝3＋2－1＝4. 答案：42．(2017·苏州暑假测试)曲线y ＝2x 在x ＝0处的切线方程是________．解析：因为y ′＝2x ln 2，所以在x ＝0处的切线斜率为k ＝20×ln 2＝ln 2，因此切线方程是y －1＝ln 2×(x －0)，即y ＝x ln 2＋1.答案：y ＝x ln 2＋13．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a e x 图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)．f ′(x )＝－1a e x ，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a ·e x＝－x 0＋1，∴x 0＝2，∴a ＝e 2.答案：e 24．(2018·无锡期末)过曲线y ＝x －1x (x ＞0)上一点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则x 0＝________.解析：∵y ′＝1＋1x 2，∴y ′x ＝x 0＝1＋1x 20，∴AB ：y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 20(x －x 0)． 又y 0＝x 0－1x 0，∴y －x 0＋1x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 20(x －x 0) 令x ＝0得y ＝－2x 0；令y ＝0得x ＝2x 01＋x 20， ∴S △OAB ＝12·2x 0·2x 01＋x 20＝13，解得x ＝5(负值舍去)．答案： 55．(2018·常州月考)设点P 为函数f (x )＝12⎝⎛⎭⎫x 3－1x 图象上任一点，且f (x )在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为________．解析：由f (x )＝12⎝⎛⎭⎫x 3－1x 得，f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎫3x 2＋1x 2≥12×23＝3，即tan α≥3(α∈[0，π))，解得π3≤α＜π2.答案：⎣⎡⎭⎫π3，π2[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2018·扬州期初测试)若以数列{a n }中的各项a n 作为系数，构成一个函数系y ＝a n x 3，其图象在x ＝1处的切线的斜率为4a n －1－1(n ≥2)，且a 1＝43，则a n ＝________.解析：由y ＝a n x 3，得y ′＝3a n x 2，故当x ＝1时，切线的斜率k ＝3a n ，从而3a n ＝4a n －1－1(n ≥2)，于是3a n －3＝4a n －1－4(n ≥2)，故a n －1a n －1－1＝43(n ≥2)，又a 1＝43，所以a 1－1＝13，所以数列{a n －1}是以13为首项，43为公比的等比数列，故a n －1＝13×⎝⎛⎭⎫43n －1，从而a n ＝4n －13n ＋1.答案：4n －13n ＋12．(2018·泰州模拟)已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．解析：设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝f ′(t )＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1，0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故－a ＋274－a ＝0，解得a ＝278.答案：2783．(2018·太仓高级中学模拟)若点P ，Q 分别是曲线y ＝x ＋4x与直线4x ＋y ＝0上的动点，则线段PQ 长的最小值为________．解析：易知曲线y ＝x ＋4x 与直线4x ＋y ＝0无公共点，设直线4x ＋y ＝m 与y ＝x ＋4x 相切，P 为切点．对y ＝x ＋4x 求导得y ′＝－4x 2，由－4x 2＝－4得x ＝±1，因此P (1,5)或P (－1，－3)，解得m ＝9或m ＝－7，此时两直线4x ＋y ＝m,4x ＋y ＝0间的距离分别为917，717，故线段PQ 长的最小值为71717.答案：717174．(2018·淮安月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上为凸函数的是________．(填序号)①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ；③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x .解析：在定义域⎝⎛⎭⎫0，π2内，由f ″(x )＝－sin x －cos x ＜0，得①是凸函数；由f ″(x )＝－1x2＜0，得②是凸函数；由f ″(x )＝－6x ＜0，得③是凸函数；由f ″(x )＝2e x ＋x e x ＞0，得④不是凸函数．答案：①②③5．(2018·重庆诊断)已知函数f (x )＝2e x＋1＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)的值为________．解析：∵f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，∴f ′(x )＝－2e x (e x ＋1)2＋cos x ，f (x )＋f (－x )＝2e x＋1＋sin x ＋2e －x ＋1＋sin(－x )＝2，f ′(x )－f ′(－x )＝－2e x (e x ＋1)2＋cos x ＋2e －x(e －x ＋1)2－cos(－x )＝0，∴f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2.答案：26．(2018·宿迁期初测试)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(ⅰ)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(ⅱ)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ，下列四个命题：①直线l ：y ＝0在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3； ②直线l ：y ＝x －1在点P (1,0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x ； ③直线l ：y ＝－x ＋π在点P (π，0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ； ④直线l ：y ＝x ＋1在点P (0,1)处“切过”曲线C ：y ＝e x . 其中正确的命题有________．(填序号)解析：对于①，y ＝x 3在点P (0,0)处的切线为y ＝0，且曲线y ＝x 3在(0,0)附近位于直线y ＝0两侧，符合题中两个条件，所以正确；对于②，曲线C ：y ＝ln x 在直线l ：y ＝x －1的同侧，不符合题意，所以错误；对于③，由图象可知，曲线C ：y ＝sin x 在点P (π，0)附近位于直线l 的两侧，符合题意，所以正确；对于④，曲线C ：y ＝e x 在直线l ：y ＝x ＋1的同侧，不符合题意，所以错误．即正确的有①③.答案：①③7．(2018·启东中学月考)若曲线y ＝a ln x 与曲线y ＝x 22e 在它们的公共点P (s ，t )处具有公切线，则ts ＝________.解析：函数y ＝a ln x 的导函数为y ′＝a x ，其切线在P (s ，t )处的斜率为k 1＝a s .函数y ＝x 22e 的导函数为y ′＝x e ，其切线在P (s ，t )处的斜率为k 2＝s e .由曲线y ＝a ln x 与曲线y ＝x 22e在它们的公共点P (s ，t )处具有公切线，可得a s ＝s e ，且t ＝s 22e ＝a ln s ，s ＞0，所以ln s ＝12，所以s 2＝e ，所以t ＝12，s ＝e ，即t s ＝e 2e . 答案：e 2e8．(2018·无锡期初测试)曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1，x ∈[1,2]上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为________．解析：设P (x 0，x 20＋1)，x ∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，令y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1＝g (x )，由g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)，得S 普通梯形＝g (1)＋g (2)2×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎫x 0－322＋134，所以当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，134时，S 普通梯形最大．答案：⎝⎛⎭⎫32，1349．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又曲线存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝0，即a ＝－13x3(x ＞0)，故a ∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0)10．(2018·南通调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线y ＝x 2(x ＞0)和y ＝x 3(x ＞0)均相切，切点分别为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，则x 1x 2的值是________． 解析：由y ＝x 2得y ′＝2x ，切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，切线方程为y －x 32＝3x 22(x －x 2)，即y ＝3x 22x －2x 32，由⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝3x 22，x 21＝2x 32，得x 1x 2＝43. 答案：43二、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1， 解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．12．(2018·启东中学高三月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，因为f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x 0＝－1时，g ′(－1)＝0，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，g ′(1)＝12，切线方程为y ＝12x ＋9.由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11，①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0, 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18；在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9.所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9.②由f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12，解得x ＝0或x ＝1.在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11；在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10；所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线不是y ＝12x ＋9.综上所述，y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9，此时k ＝0.函数y ＝f (x )在某个区间内可导：(1)若f ′(x )＞0，则f (x )为这个区间上的增函数；(2)若f ′(x )＜0，则f (x )为这个区间上的减函数；(3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间上是常数函数．2．由函数的单调性与导数的关系可得的结论(1)函数f (x )在(a ，b )内可导，且f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0.当x ∈(a ，b )时，①f ′(x )≥0⇔函数f (x )在(a ，b )上单调递增；②f ′(x )≤0⇔函数f (x )在(a ，b )上单调递减．(2)f ′(x )＞0(＜0)在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的充分条件．判断函数单调性的三种方法[解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x. (1)当a ≥1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)当a ≤0时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(3)当0＜a ＜1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )＞0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 上单调递减，在1－a 2a，＋∞上单调递增． [方法技巧]导数法研究函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)得出结论：当f ′(x )＞0时，函数f (x )在(a ，b )内单调递增；当f ′(x )＜0时，函数f (x )在(a ，b )内单调递减．[提醒] 讨论含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．求函数的单调区间[例2] 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，求函数f (x )的单调区间． [解] 对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x， 由曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. 所以f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5，因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．所以函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0,5)．[方法技巧] 用导数求函数单调区间的三种类型及方法 f ′(x )＞0(＜0)可解 先确定函数的定义域，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间f ′(x )＝0可解 先确定函数的定义域，解方程f ′(x )＝0，求出实数根，把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f ′(x )在各个区间内的符号，从而确定单调区间f ′(x )＞0(＜0)及f ′(x )＝0不可解 先确定函数的定义域，当不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0及方程f ′(x )＝0均不可解时，求导并化简，根据f ′(x )的结构特征，选择相应基本初等解析：依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )＞0，解得x ＞2，所以f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)2.[考点一]下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是________．(填序号)①f (x )＝sin 2x ；②f (x )＝x e x ；③f (x )＝x 3－x ；④f (x )＝－x ＋ln x .解析：对于①，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )； 对于②，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于③，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＞0，得x ＞33或x ＜－33， ∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递增； 对于④，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．答案：②3.[考点二](2018·盐城中学月考)函数f (x )＝x －ln x 的单调减区间为________． 解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x .令f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ＜0，得0＜x ＜1.则函数f (x )＝x －ln x 的单调减区间为(0,1)．答案：(0,1)4.[考点一]已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)，讨论函数f (x )的单调性．解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a (x ＞0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a ＞0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a ＞0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＝1－ax x＞0； 当x ＞1a 时，f ′(x )＝1－ax x ＜0，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 由①②知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 5.[考点二]已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；(2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间．解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ＋1＝c ，g (1)＝1＋b ＝c ，2a ＝3＋b ，解得a ＝b ＝3. (2)令F (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 24x ＋1，F ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 24，令F ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a 6， ∵a ＞0，∴x 1＜x 2，由F ′(x )＞0得，x ＜－a 2或x ＞－a 6； 由F ′(x )＜0得，－a 2＜x ＜－a 6. ∴函数f (x )＋g (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2，⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6. 突破点(二) 利用导数解决函数单调性的应用问题利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：(1)已知函数的单调性求参数范围问题：解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解．(2)比较大小或解不等式问题：利用导数方法解决此类问题的主要技巧就是灵活地构造函数，通过函数的性质求解．[例1] 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围；(2)若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，求a 的取值范围；(3)若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值．[解] (1)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3，即a 的取值范围为(－∞，3]．(2)因为f (x )在区间(－1,1)上为减函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，即a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x ＜1，所以3x 2＜3，所以a ≥3.即a 的取值范围为[3，＋∞)．(3)因为f (x )＝x 3－ax －1，所以f ′(x )＝3x 2－a .由f ′(x )＝0，得x ＝±3a 3(a ≥0)． 因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)，所以3a 3＝1，即a ＝3. [方法技巧]由函数的单调性求参数取值范围的方法(1)可导函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围，注意检验等号成立时导数是否在(a ，b )上恒为0.(2)可导函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)在该区间上存在解集，即f ′(x )max ＞0(或f ′(x )min ＜0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 上含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．比较大小或解不等式[例2] (1)若0＜x 1＜x 2＜1，则下列各式中关系正确的序号是________．①e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1；②e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1；③x 2e x 1＞x 1e x 2；④x 2e x 1＜x 1e x 2. (2)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )＜12，则不等式f (x 2)＜x 22＋12的解集为________．(3)(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)构造函数f (x )＝e x －ln x ，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x －1x .令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x 与y ＝1x 的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此f (x )＝e x －ln x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)的大小，故①②错；构造函数g (x )＝e x x ，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，故函数g (x )＝e x x 在(0,1)上单调递减，故g (x 1)＞g (x 2)，即e x 1x 1＞e x 2x 2，则x 2e x 1＞x 1e x 2，故③正确，④错误．(2)设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )＜12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12＜0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)＜x 22＋12，∴f (x 2)－x 22＜f (1)－12， ∴F (x 2)＜F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2＞1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(3)由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ， 得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )， 所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号， 所以f (x )在其定义域内单调递增．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)，所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12， 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. [答案] (1)③ (2)(－∞，－1)∪(1，＋∞)(3)⎣⎡⎦⎤－1，12 [方法技巧]利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数形式有：(1)f (x )＞g (x )→F (x )＝f (x )－g (x )；(2)xf ′(x )＋f (x )→[xf (x )]′；(3)xf ′(x )－f (x )→⎣⎡⎦⎤f (x )x ′； (4)f ′(x )＋f (x )→[e x f (x )]′；(5)f ′(x )－f (x )→⎣⎡⎦⎤f (x )e x ′.1.[考点一](2018·常州高三期初测试)若函数f (x )＝ln x －ax 2－4x (a ≠0)在区间⎣⎡⎦⎤14，13上单调递增，则实数a 的最大值为________．解析：对函数f (x )求导得f ′(x )＝1x －2ax －4＝－2ax 2＋4x －1x(x ＞0)．依题意，得f ′(x )≥0在⎣⎡⎦⎤14，13上恒成立，即2ax 2＋4x －1≤0在⎣⎡⎦⎤14，13上恒成立，所以a ≤12⎝⎛⎭⎫1x 2－4x ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1x －22－4恒成立，因为1x ∈[3,4]，所以a ≤－32，即实数a 的最大值为－32. 答案：－322.[考点二]函数f (x )的导函数f ′(x )的图象是如图所示的一条直线l ，l 与x 轴的交点坐标为(1,0)，则f (0)与f (3)的大小关系为____________．解析：由题意知f (x )的图象是以x ＝1为对称轴，且开口向下的抛物线，所以f (0)＝f (2)＞f (3)．答案：f (0)＞f (3)3.[考点一]若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是____________．解析：因为f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )＞0，得函数的增区间是(－∞，－2)及(2，＋∞)，由f ′(x )＜0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1＜－2＜k ＋1或k －1＜2＜k ＋1，解得－3＜k ＜－1或1＜k ＜3.答案：(－3，－1)∪(1,3)4.[考点二](2018·苏州中学检测)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )＜0恒成立，则x 的取值范围为________．解析：由题意得，函数的定义域是R ，且f (－x )＝(－x )3＋(－x )＝－(x 3＋x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数， 又f ′(x )＝3x 2＋1＞0，所以f (x )在R 上单调递增，所以f (mx －2)＋f (x )＜0可化为：f (mx －2)＜－f (x )＝f (－x )，由f (x )递增知：mx －2＜－x ，即mx ＋x －2＜0，则对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )＜0恒成立，等价于对任意的m ∈[－2,2]，mx ＋x －2＜0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋x －2＜0，2x ＋x －2＜0，解得－2＜x ＜23，即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，23. 答案：⎝⎛⎭⎫－2，23 5.[考点二]已知定义域为R 的函数f (x )满足f (4)＝－3，且对任意的x ∈R 总有f ′(x )＜3，则不等式f (x )＜3x －15的解集为________．解析：令g (x )＝f (x )－3x ＋15，则f (x )＜3x －15的解集即为g (x )＜0的解集．又g ′(x )＝f ′(x )－3＜0，所以g (x )在R 上是减函数．又g (4)＝f (4)－3×4＋15＝0，所以g (x )＜g (4)，故x ＞4.所以f (x )＜3x －15的解集为(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)1．(2018·前黄中学期中考试)函数f (x )＝x ln x 的单调减区间是________．解析：函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )＝ln x ＋1＜0得0＜x ＜1e，所以函数f (x )＝x ln x 的单调减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e . 答案：⎝⎛⎫0，1e 2．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析：f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ＞0时，f ′(x )＞0，即a ＞0时，f (x )在R 上单调递增，由f (x )在R 上单调递增，可得a ≥0.故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．答案：充分不必要3．(2018·阜宁中学模拟)若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪e x 2－a e x (a ∈R)在区间[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是________．解析：设g (x )＝e x 2－a e x ，则g ′(x )＝e x 2＋a e x .①当a ＞0时，g ′(x )＞0，g (x )在R 上单调递增，且g (ln 2a )＝0，依题意知ln 2a ≤1，解得0＜a ≤e 22.②当a ＝0时，f (x )符合题意．③当a ＜0时，令g ′(x )＝0，解得x ＝ln －2a .当x ＜ln －2a 时，g ′(x )＜0，g (x )在(－∞，ln －2a )上单调递减，当x ＞ln －2a 时，g ′(x )＞0，g (x )在(ln －2a ，＋∞)上单调递增，故当x ＝ln －2a 时，g (x )取得最小值，又g (ln －2a )＞0，所以g (x )＞0恒成立，所以依题意知ln －2a ≤1，解得－e 22≤a ＜0.综上，所求a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－e 22，e 22.答案：⎣⎡⎦⎤－e 22，e 22 4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )＝5＋cos x ，x ∈(－1,1)，且f (0)＝0，如果f (1－x )＋f (1－x 2)＜0，则实数x 的取值范围为________．解析：∵导函数f ′(x )是偶函数，且f (0)＝0，∴原函数f (x )是奇函数，∴所求不等式变形为f (1－x )＜f (x 2－1)，∵导函数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，又f (x )的定义域为(－1,1)，∴－1＜1－x ＜x 2－1＜1，解得1＜x ＜2，∴实数x 的取值范围是(1，2)．答案：(1，2)[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2018·南通高三期初测试)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)＜f (3x )，则实数x 的取值范围是________．解析：由f (x )＝ln x ＋2x ，得f ′(x )＝1x ＋2x ln 2＞0，x ∈(0，＋∞)，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又由f (x 2＋2)＜f (3x )，得0＜x 2＋2＜3x ，所以x ∈(1,2).答案：(1,2)2．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[]1，4上单调递减，则实数t 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[]1，4上单调递减，则有f ′(x )≤0在[]1，4上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[]1，4上恒成立，因为y ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[]1，4上单调递增，所以t ≥32⎝⎛⎭⎫4＋14＝518. 答案：⎣⎡⎭⎫518，＋∞3．(2018·苏州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＋f ′(x )＞1，f (0)＝4，则不等式e x f (x )＞e x ＋3(其中e 为自然对数的底数)的解集为________．解析：设g (x )＝e x f (x )－e x ，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x ) －e x ，因为f (x )＋f ′(x )＞1，所以f (x )＋f ′(x ) －1＞0，所以g ′(x )＞0，所以y ＝g (x )在定义域R 上单调递增．因为e x f (x )＞e x ＋3，所以g (x )＞3，又因为g (0)＝e 0f (0)－e 0＝3，所以g (x )＞g (0)，所以x ＞0，即x ∈(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)4．(2018·靖江诊断考试)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，所以f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)＜f ⎝⎛⎭⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )，所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)＜f (0)＝a ，所以c ＜a ＜b .答案：b ＞a ＞c5．若函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是________．(填序号)①(－2,0)；②(0,1)；③(1，＋∞)；④(－∞，－2)．解析：由题意知，f ′(x )＝1－b x 2，∵函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－bx 2＝0时，b ＝x 2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)．令f ′(x )＞0，解得x ＜－b 或x＞b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)，∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意．答案：④6．已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有f ′(x )＋f (x )x ＞0，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，当a ＞b 时，下列不等式成立的是________．(填序号)①af (a )＜bf (b )；②af (a )＞bf (b )； ③af (b )＞bf (a )；④af (b )＜bf (a )．解析：由f ′(x )＋f (x )x ＞0得xf ′(x )＋f (x )x ＞0，即[xf (x )]′x ＞0，即[xf (x )]′x ＞0.∵x ＞0，∴[xf (x )]′＞0，即函数y ＝xf (x )为增函数，由a ，b ∈(0，＋∞)且a ＞b ，得af (a )＞bf (b )．答案：②7．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)8．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 9．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)·f ′(x )＞0的解集为_________________________．解析：由题图可知，⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )＞0，x ∈(1，＋∞)∪(－∞，－1)，f ′(x )＜0，x ∈(－1，1)，不等式(x 2－2x －3)f ′(x )＞0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )＞0，x 2－2x －3＞0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )＜0，x 2－2x －3＜0，解得x ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)10．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 二、解答题11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R)．试讨论f (x )的单调性． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a3. 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，x ∈⎝⎛⎭⎫－2a3，0时，f ′(x )＜0， 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单凋递增，在⎝⎛⎭⎫－2a3，0上单调递减； 当a ＜0时，x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞时，f ′(x )＞0，x ∈⎝⎛⎭⎫0，－2a3时，f ′(x )＜0， 所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，－2a3上单调递减． 12．(2018·宿迁期初测试)已知函数f (x )＝e x －ax －1. (1)求函数f (x )的单调增区间．(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求实数a 的取值范围．(3)是否存在实数a ，使得函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：(1)易知f′(x)＝e x－a.若a≤0，则f′(x)＝e x－a＞0恒成立，即f(x)在R上单调递增；若a＞0，令e x－a＞0，得e x＞a，即x＞ln a，此时f(x)的单调增区间为(ln a，＋∞)．(2)要使f(x)在R内单调递增，只要f′(x)≥0在R上恒成立，即e x－a≥0⇒a≤e x在R 上恒成立，又因为e x＞0，所以a≤0，即实数a的取值范围是(－∞，0]．(3)假设存在a满足条件．由题意知e x－a≤0在(－∞，0]上恒成立，所以a≥e x在(－∞，0]上恒成立．因为e x在(－∞，0]上为增函数，所以a≥1.同理可知e x－a≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以a≤e x在[0，＋∞)上恒成立，所以a≤1.综上，a＝1.函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．函数的极值极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．[例1] Array x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________．(填序号)①函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；②函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)；③函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)；④函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)．[解析] 由图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．[答案] ④ [方法技巧]知图判断函数极值情况的策略知图判断函数极值情况的思路是：先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x 轴交点的横坐标为函数的极值点．求函数的极值[例2] (2018·桂林、崇左联考)设a ＞0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x .(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处切线的斜率； (2)求函数f (x )的极值．[解] (1)由已知x ＞0.当a ＝2时，f ′(x )＝x －3＋2x ，∴曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处切线的斜率为f ′(3)＝23.(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋ax＝x 2－(a ＋1)x ＋a x＝(x －1)(x －a )x. 由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝a .①若0＜a ＜1，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(a,1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． ∴当x ＝a 时，f (x )取极大值f (a )＝－12a 2－a ＋a ln a ，当x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝－a －12.②若a ＞1，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(1，a )时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． ∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝－a －12；当x ＝a 时，f (x )取极小值f (a )＝－12a 2－a ＋a ln a .③当a ＝1时，x ＞0时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，f (x )没有极值． 综上，当0＜a ＜1时，f (x )的极大值为－12a 2－a ＋a ln a ，极小值为－a －12；当a ＞1时，f (x )的极大值为－a －12，极小值为－12a 2－a ＋a ln a ；当a ＝1时，f (x )没有极值．[方法技巧] 利用导数求函数极值的步骤[例3] a 的取值范围是________．(2)(2018·太原五中检测)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a 的值为________．[解析] (1)∵f (x )＝x (ln x －ax )， ∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，由函数f (x )有两个极值点，可知f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点， 令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x ， 设g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln xx 2， ∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0， 而g (x )max ＝g (1)＝1， ∴只需0＜2a ＜1，即0＜a ＜12.(2)由题意得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为在x ＝1处，f (x )有极值10， 所以f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3，当a ＝－3，b ＝3时，在x ＝1处f (x )无极值，不符合题意； 当a ＝4，b ＝－11时，符合题意，所以a ＝4.。
高考数学(江苏版)一轮配套课件：第十八章 简单的复合函数的导数
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5、最有价值的知识是关于方法的知识。
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6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月下午5时16分21.10.1617:16October 16, 2021
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7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021年10月16日星期六5时16分2秒17:16:0216 October 2021
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8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。下午5时16分2秒下午5时16分17:16:0221.10.16
方法技巧
方法 运用导数求解含参复合函数问题的方法
求参数的取值范围是高中数学的重要内容.解题的一般思路为:由可导
函数f(x)在某个区间D内单调递增(或递减),可以得出f '(x)≥0(或f '(x)≤
0)在区间D内恒成立,从而转化为恒成立问题,再利用分离参数法,把不
等式恒成立问题转化为求函数的最值问题来解决.
高考数学
第十八章 简单的复合函数的导数
知识清单
1.复合函数求导法则 [f(g(x))]'x=f '(u)|u=g(x)·g'(x),即y'x=y'u·u'x. 以上求导法则,也称为复合函数求导的“链式法则”. 2.(1)[f(ax)]'x=① a·f '(ax) (其中a≠0); (2)[f(x+b)]'x=② f '(x+b) ; (3)[f(ax+b)]'x=af '(ax+b)(其中a≠0).
例
(2016江苏五校联考)已知函数f(x)=
江苏专版2023_2024学年新教材高中数学午练29导数的概念课件苏教版选择性必修第一册
午练29 导数的概念
1.设 ，则 ( )
C
A. B. C.4 D.8
2.曲线 在点 处的切线的倾斜角为( )
C
A. B. C. D.
3.设 ，若 ，则 ( )
A
A.2 B. C.3 D.不确定
4.设 在 处可导， 的值是( )
[解析] 由切线与直线 垂直，可知曲线在点 处的切线的斜率为 ，设 , ，因为 ，当 时， ，所以 ，则点 的坐标为 , 或 , .
10.已知函数 的图象上两点 ， .
（1）若割线 的斜率不大于 ，求 的取值范围；
解 .因为割线 的斜率不大于 ，所以 ，解得 .又 ，所以 的取值范围为 .
C
A. B. C. D.不一定存在
5.某物体做直线运动，其运动规律是 （时间 的单位： ，位移 的单位： ，则它在 时的瞬时速度为( ) BA. B.Fra bibliotek C. D.
6.函数 的图象如图所示， 是函数 的导函数，则下列数值排序正确的是( )
B
A. B. C. D.
7.（多选题）已知曲线 在点 处的切线平行于直线 ，那么点 的坐标为 ( )
A. B. C. D.
[解析] 设 ，则 ，令 ，即 ，解得 .又 , ，所以点 的坐标为 或 .故选 .
BC
8.若一物体的运动方程为 则此物体在 时的瞬时速度为___.
6
[解析] 当 时， ，则 ，故此物体在 时的瞬时速度为6.
9.曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则点 的坐标为____________________.
, 或 ,
（2）用导数的定义求函数 在 处的导数 ，并求在点 处的切线方程.
，又 ，所以在点 处的切线方程为 ，即 .
(江苏专用)高考数学一轮复习 第四章 导数及其应用 热点探究课2 函数、导数与不等式教师用书-人教版
热点探究课(二) 函数、导数与不等式[命题解读] 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的X 围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有.热点1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板)函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的X 围.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值X 围.【导学号：62172114】[思路点拨] (1)求出导数后对a 分类讨论，然后判断单调性；(2)运用(1)的结论分析函数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求a 的X 围．[规X 解答] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .2分若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.3分若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0.5分所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.6分 (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a >0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.11分 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a>2a －2等价于ln a ＋a －1<0.12分令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值X 围是(0,1).14分[答题模板] 讨论含参函数f (x )的单调性的一般步骤 第一步：求函数f (x )的定义域(根据已知函数解析式确定)． 第二步：求函数f (x )的导数f ′(x )．第三步：根据f ′(x )＝0的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论． 第四步：求解(令f ′(x )>0或令f ′(x )<0)． 第五步：下结论．第六步：反思回顾，查看关键点、易错点、注意解题规X ．温馨提示：1.讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断f ′(x )的符号问题上，而f ′(x )＞0或f ′(x )＜0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题．2.若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解.[对点训练1] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x，若函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，某某数c 的取值X 围．[解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.2分当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1，解得a ＝－1.4分(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)，列表如下：所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.8分(3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x， 有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x＝(－x 2－3x ＋c －1)e x，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立， 只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值X 围是[11，＋∞).14分热点2 利用导数研究函数的零点或曲线交点问题研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值X 围.(2016·高考节选)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值X 围． [解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .2分 因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c .4分 (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.6分令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.8分f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：x (－∞，－2)－2 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23 －23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞ f ′(x ) ＋－＋f (x )c c －3227所以，当c ＞0且c －27＜0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－3，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点.14分[规律方法] 用导数研究函数的零点，常用两种方法：一是用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；二是将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．[对点训练2] 设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数. 【导学号：62172115】[解] (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex，则f ′(x )＝x －ex 2，由f ′(x )＝0，得x ＝e.2分 ∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2.4分(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0).6分设φ(x )＝－13x 3＋x (x >0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0,1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减，∴x ＝1是φ(x )唯一的极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.10分又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点.14分热点3 利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题. ☞角度1 证明不等式设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1且x ＞0时，e x＞x 2－2ax ＋1.[解] (1)由f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R ，f ′(x )＝e x－2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，ln 2)ln 2 (ln 2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减2(1－ln 2＋a )单调递增故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a ).6分(2)设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R .于是g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a ＞ln 2－1时，g ′(x )最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )＞0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )＞0，所以g (x )在R 内单调递增．于是当a ＞ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)． 又g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0. 即e x－x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1.14分 ☞角度2 不等式恒成立问题(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．(1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值X 围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞).1分 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f (1)＝0，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2.3分故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0.6分 (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0等价于ln x －a x －1x ＋1＞0.设g (x )＝ln x －a x －1x ＋1，则g ′(x )＝1x－2a x ＋12＝x 2＋21－a x ＋1x x ＋12，g (1)＝0.9分 ①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1＞0，故g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)单调递增，因此g (x )＞0；②当a ＞2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－a －12－1，x 2＝a －1＋a －12－1.由x 2＞1和x 1x 2＝1得x 1＜1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(1，x 2)单调递减，因此g (x )＜0.综上，a 的取值X 围是(－∞，2].14分 ☞角度3 存在型不等式成立问题设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.(1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1，求a 的取值X 围．[解] (1)f ′(x )＝a x＋(1－a )x －b . 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1.3分 (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1).5分①若a ≤12，则a1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1的充要条件为f (1)<a a －1，即1－a 2－1<aa －1，解得－2－1<a <2－1.7分②若12<a <1，则a 1－a >1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞上单调递增.10分所以存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a <aa －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 221－a ＋a a －1>a a －1，所以不合题意． ③若a >1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1恒成立，所以a ＞1.综上，a 的取值X 围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞).14分 [规律方法] 1.运用导数证明不等式，常转化为求函数的最值问题．2.不等式恒成立通常可以利用函数的单调性求出最值解决．解答相应的参数不等式，如果易分离参数，可先分离变量，构造函数，直接转化为函数的最值问题，避免参数的讨论．3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f (x )≥g (a )对于x ∈D 恒成立，应求f (x )的最小值；若存在x ∈D ，使得f (x )≥g (a )成立，应求f (x )的最大值．应特别关注等号是否成立问题．热点探究训练(二)1.设函数f (x )＝3x 2＋axex(a ∈R )． (1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值X 围. 【导学号：62172116】 [解] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝ 6x ＋a e x －3x 2＋ax exe x 2＝－3x 2＋6－a x ＋aex.3分 因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e ，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e(x －1)，化简得3x －e y ＝0.7分(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋6－a x ＋aex， 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366.9分当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数； 当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0，故f (x )为增函数； 当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数.11分由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92.故a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞.14分2.(2017·某某模拟)设函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值X 围． [解] (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x＝x e x －2e x x 3－k x －2x 2＝x －2e x－kx x 3.由k ≤0可得e x－kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞).6分 (2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减， 故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x－kx ，x ∈[0，＋∞)． 因为g ′(x )＝e x－k ＝e x－e ln k，当0<k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x－k >0，y ＝g (x )单调递增， 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点； 当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减，x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增．所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g 0>0，g ln k <0，g 2>0，0<ln k <2，解得e<k <e22.13分综上所述，函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e 22. 14分3.(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值X 围．[解] (1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x＋2a ).1分 (ⅰ)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.3分 (ⅱ)设a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )． ①若a ＝－e 2，则f ′(x )＝(x －1)(e x－e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a ＞－e2，则ln(－2a )＜1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )＜0.所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a )，1)上单调递减.5分③若a ＜－e2，则ln(－2a )＞1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )＜0.所以f (x )在(－∞，1)，(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a ))上单调递减.7分(2)(ⅰ)设a ＞0，则由(1)知，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b ＜0且b ＜ln a 2，则f (b )＞a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－32b ＞0，所以f (x )有两个零点.9分(ⅱ)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x，所以f (x )只有一个零点．(ⅲ)设a ＜0，若a ≥－e2，则由(1)知，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时f (x )＜0，故f (x )不存在两个零点；若a ＜－e2，则由(1)知，f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )＜0，故f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值X 围为(0，＋∞).14分4.(2017·某某模拟)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值X 围；(3)求证：ln 22×ln 33×ln 44×…×ln n n <1n (n ≥2，n ∈N ＋). 【导学号：62172117】[解] (1)f ′(x )＝a 1－xx(x >0)． 当a >0时，f (x )的单调增区间为(0,1]，减区间为[1，＋∞)； 当a <0时，f (x )的单调增区间为[1，＋∞)，减区间为(0,1]； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数.4分(2)由f ′(2)＝－a 2＝1得a ＝－2，∴f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′t <0，g ′3>0.由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )<0恒成立，所以有：⎩⎪⎨⎪⎧g ′1<0，g ′2<0，g ′3>0，∴－373<m <－9.8分(3)证明：令a ＝－1，此时f (x )＝－ln x ＋x －3，所以f (1)＝－2，由(1)知f (x )＝－ln x ＋x －3在(1，＋∞)上单调递增，∴当x ∈(1，＋∞)时f (x )>f (1)，即－ln x ＋x －1>0，∴ln x <x －1对一切x ∈(1，＋∞)成立，∵n ≥2，n ∈N ＋，则有0<ln n <n －1，∴0<ln n n <n －1n.word11 / 11 ∴ln 22×ln 33×ln 44×ln n n <12×23×34×…×n －1n ＝1n(n ≥2，n ∈N ＋).16分。
2020版高考数学(江苏专用)一轮教师用书(PDF)：第三章§3.2 导数的应用
ｆ ′（ ｘ） ≥０，即∀ｘ∈（ －１，２） ，ｇ（ ｘ） ＝ ｘ－ａ＋１≥０⇒ｇ（ －１） ＝ －ａ≥０⇒
ａ≤０，因此 ａ≤－１．
（２） ａ≥２ 时， ｆ （ ｘ） ＝ ｅｘ （ ａ － ｘ） ， ｆ ′（ ｘ） ＝ ｅｘ （ ａ － ｘ － １） ， 此 时
ｆ ′（ ｘ） ≥０，∀ｘ∈（ －１，２） ，ｈ（ ｘ） ＝ －ｘ＋ａ－１≥０⇒ｈ（２） ＝ ａ－３≥０⇒ａ
ｙ ＝ ｜ ｔｅｔ ｜ 大致图象如下：
（２） 若 ｆ（ ｘ） 在区间（ －１，１） 上为减函数，求 ａ 的取值范围； （３） 若 ｆ（ ｘ） 在区间（ －１，１） 上不单调，求 ａ 的取值范围． １－２ 解析 （１） 因为 ｆ ′（ ｘ）＝ ３ｘ２ －ａ，且 ｆ（ ｘ） 在区间（１，＋∞ ） 上 为增函数，所以 ｆ ′（ ｘ） ≥０ 在（ １，＋∞ ） 上恒成立，即 ３ｘ２ －ａ≥０ 在 （１，＋∞ ）上恒成立，所以 ａ≤３ｘ２ 在（１，＋∞ ） 上恒成立，所以 ａ≤ ３，即 ａ 的取值范围为（ －∞ ，３］ ． （２） 由题意得 ｆ ′（ ｘ） ＝ ３ｘ２ －ａ≤０ 在（ －１，１） 上恒成立，得 ａ≥ ３ｘ２ 在（ －１，１） 上恒成立．因为－１＜ｘ＜ １，所以 ３ｘ２ ＜ ３，所以 ａ≥３．所 以 ａ 的取值范围为［３，＋∞ ）．
（３ 分）
当
ｘ≤２
时，Ｆ′（ ｘ）＝
３ｘ２
－
１
＝
３
æ
ç
è
ｘ＋
３ ３
ö
÷
ø
æ
ç
è
ｘ－
３ ３
ö
÷
ø
，
所以，只要 ２－ａ≤－１ 或－１－ａ≥０ 即可， 解得 ａ≤－１ 或 ａ≥３． 故实数 ａ 的取值范围是（ －∞ ，－１］∪［３，＋∞ ）． 一题多解二： ｆ（ｘ）＝ ｅｘ ｜ ｘ－ａ ｜ ＝ ｜ ｅｘ（ｘ－ａ） ｜ ， 令 ｇ（ ｘ） ＝ ｅｘ（ ｘ－ａ） ，ｇ′（ ｘ） ＝ ｅｘ（ ｘ－ａ＋１） ， ｘ＜ａ－１ 时，ｇ′（ ｘ） ＜０，ｘ＞ａ－１ 时，ｇ′（ ｘ） ＞０， 所以 ｇ（ｘ）≥ｇ（ａ－１）＝ －ｅａ－１ ＜０， 所以满足①２≤ａ － １；②ａ≤ － １， 故 ａ≤－１ 或 ａ≥３．
江苏专版高中数学第5章导数及其应用培优课导数中的函数构造问题课件苏教版选择性必修第一册
例2（1） 设函数 的定义域为 ， 是其导函数，若 ， ，则不等式 的解集是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 令 ，则 .因为 ，所以 ，化简可得 ，即 ，所以函数 在 上单调递增.因为 ，所以 .因为 ， ，所以 ，解得 ，所以不等式 的解集是 ．故选A.
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意，函数 满足 .令 ，则 ，所以函数 是定义域为 的单调递减函数.因为 ，关于 的不等式 可化为 ，即 ，所以 且 ，解得 ，所以不等式 的解集为 ．故选B．
【题型四】其他函ห้องสมุดไป่ตู้的构造
例4（1） 已知 是定义域为 的函数 的导函数,若对任意实数 都有 ，且 ，则不等式 的解集为( )
[解析] 当 时， ，故函数 在区间 上单调递减，易知 ，故当 时， ， ，当 时， ， ；而 ，而 为奇函数，则当 时， 的解集为 ，故当 时， 的解集为 或 ，故不等式 的解集为 ．
题后反思 对于 ，构造 ;对于 ，构造 .
跟踪训练4（1） 已知 为 的导函数，且满足 ，对任意的 总有 ，则不等式 的解集为________.
[解析] 设函数 ，则 ．又因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增.又 ，故不等式 可化为 ．由 的单调性可得,该不等式的解集为 ．
（2）已知偶函数 的定义域为 ，其导函数为 ，当 时，有 成立，则关于 的不等式 的解集为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设 ，则 .当 时，因为 ，所以 ，所以 在区间 上单调递减.又因为 在区间 上是偶函数，所以 ，所以 是偶函数.由 ，可得 ，即 ，即 ．又由 为偶函数，且在区间 上单调递减，定义域为 ，得 ，解得 或 ，即不等式的解集为 .故选B．
高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第3课时 导数与函数的综合问题教师用书
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第3课时导数与函数的综合问题题型一导数与不等式有关的问题命题点1 解不等式例1 设f(x)是定义在R上的奇函数，f（2）＝0，当x〉0时,有错误!<0恒成立，则不等式x2f(x）>0的解集是________________。
答案(－∞，－2）∪(0，2）解析∵当x>0时,错误!′<0，∴φ（x）＝错误!为减函数，又φ（2）＝0,∴当且仅当0〈x<2时，φ(x）>0,此时x2f（x）>0。
又f(x）为奇函数,∴h（x）＝x2f（x)也为奇函数.故x2f（x)>0的解集为(－∞,－2)∪（0，2）。
命题点2 证明不等式例2 （2016·全国丙卷）设函数f(x)＝ln x－x＋1。
(1)讨论f(x）的单调性；(2）证明:当x∈（1，＋∞)时，1<错误!〈x;（3）设c〉1,证明：当x∈（0，1)时,1＋（c－1）x>c x。
（1)解由题设，f(x）的定义域为（0，＋∞)，f′（x)＝错误!－1，令f′（x)＝0，解得x ＝1.当0〈x〈1时，f′（x)〉0,f（x）单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f（x）单调递减。
高考数学大一轮复习 3.3导数的综合应用教师用书 理 苏教版
§3.3 导数的综合应用1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 2．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题． 3．方程解的个数问题构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)连续函数在闭区间上必有最值．( √ )(2)函数f (x )＝x 2－3x ＋2的极小值也是最小值．( √ )(3)函数f (x )＝x ＋x －1和g (x )＝x －x －1都是在x ＝0时取得最小值－1.( × ) (4)函数f (x )＝x 2ln x 没有最值．( × ) (5)已知x ∈(0，π2)，则sin x >x .( × )(6)若a >2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上没有实数根．( × )1．(2014·湖南改编)若0<x 1<x 2<1，则下列命题正确的是________． ①2e x －1e x >ln x 2－ln x 1； ②1e x －2e x <ln x 2－ln x 1；③12e x x > 21e x x ； ④12e x x <21e x x . 答案 ③解析 设f (x )＝e x－ln x (0<x <1)， 则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x－1＝0.根据函数y ＝e x与y ＝1x的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故①②不正确． 设g (x )＝e xx(0<x <1)，则g ′(x )＝exx －x 2.又0<x <1，∴g ′(x )<0.∴函数g (x )在(0,1)上是减函数． 又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)， ∴x 21e x >x 12e x .2．(2013·福建改编)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是________． ①∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)； ②－x 0是f (－x )的极小值点； ③－x 0是－f (x )的极小值点； ④－x 0是－f (－x )的极小值点． 答案 ④解析 ①错，因为极大值未必是最大值．②错，因为函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点．③错，函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称，x 0应为－f (x )的极小值点．④对，函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称，－x 0应为y ＝－f (－x )的极小值点．3．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当MN 达到最小时t 的值为________．答案22解析 MN 的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x (x >0)的最小值， h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，显然x ＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点， 也是最小值点，故t ＝22. 4．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式：y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为______百万件． 答案 3解析 y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)， 当0<x <3时，y ′>0； 当x >3时，y ′<0.故当x ＝3时，该商品的年利润最大.题型一 利用导数证明不等式例1 (2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2. (1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.(1)解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋bxe x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2. (2)证明 由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2xe x －1，x ∈(0，＋∞)， 从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x－2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x . 所以当x ∈(0，1e )时，g ′(x )<0；当x ∈(1e ，＋∞)时，g ′(x )>0.故g (x )在(0，1e)上单调递减，在(1e，＋∞)上单调递增， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (1e )＝－1e .设函数h (x )＝x e －x－2e ，则h ′(x )＝e －x(1－x )． 所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0. 故h (x )在(0,1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .所以g (x )≥－1e≥h (x )．又因为两等号无法同时取到，所以g (x )>h (x ) 综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.思维升华 (1)证明f (x )>g (x )可转化为证明F (x )＝f (x )－g (x )的最小值大于0，再利用导数求F (x )的最小值．(2)对于F (x )＝f (x )－g (x )的最小值，不易求出的情况，也可以通过f (x )，g (x )的最值情况进行证明(如本题中g (x )min ＝h (x )max )．证明：当x ∈[0,1]时，22x ≤sin x ≤x . 证明 记F (x )＝sin x －22x ， 则F ′(x )＝cos x －22. 当x ∈(0，π4)时，F ′(x )>0，F (x )在[0，π4]上是增函数；当x ∈(π4，1)时，F ′(x )<0，F (x )在[π4，1]上是减函数．又F (0)＝0，F (1)>0，所以当x ∈[0,1]时，F (x )≥0， 即sin x ≥22x . 记H (x )＝sin x －x ，则当x ∈(0,1)时，H ′(x )＝cos x －1<0， 所以H (x )在[0,1]上是减函数，则H(x)≤H(0)＝0，即sin x≤x.综上，22x≤sin x≤x，x∈[0,1]．题型二利用导数研究函数零点问题例2 (2013·北京)已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．解(1)由f(x)＝x2＋x sin x＋cos x，得f′(x)＝x(2＋cos x)．∵y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切．∴f′(a)＝a(2＋cos a)＝0且b＝f(a)，则a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f′(x)＝0，得x＝0.∴当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上递增．当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减．∴f(x)的最小值为f(0)＝1.∵函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，∴当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，b的取值范围是(1，＋∞)．思维升华函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0， ∴a ＝1.∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3，由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合如图所示f (x )的图象可知： 实数m 的取值范围是(－3,1)． 题型三 生活中的优化问题例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．思维点拨 (1)由x ＝5时y ＝11求a ；(2)建立商场每日销售该商品所获利润和售价x 的函数关系，利用导数求最值． 解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4时，函数f (x )在区间(3,6)内取得极大值，也是最大值． 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值， 且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．思维升华 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解 设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm. 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0<x <30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′>0；当x ∈(20,30)时，V ′<0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.一审条件挖隐含典例：(16分)设f (x )＝a x＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M . (2)如果对于任意的s ，t ∈[12，2]，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．(1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M(正确理解“存在”的含义) [g (x 1)－g (x 2)]max ≥M挖掘[g (x 1)－g (x 2)]max 的隐含实质g (x )max －g (x )min ≥MM 的最大整数值(2)对任意s ，t ∈[12，2]都有f (s )≥g (t )(理解“任意”的含义)f (x )min ≥g (x )max求得g (x )max ＝1ax＋x ln x ≥1恒成立 分离常数a ≥x －x 2ln x 恒成立求h (x )＝x －x 2ln x 的最大值a ≥h (x )max ＝h (1)＝1a ≥1规范解答解 (1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M .[2分] 由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x (x －23)．[3分]令g ′(x )>0得x <0，或x >23，又x ∈[0,2]，所以g (x )在区间[0，23]上单调递减，在区间[23，2]上单调递增，所以g (x )min＝g (23)＝－8527，g (x )max ＝g (2)＝1.[6分]故[g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min ＝11227≥M ，则满足条件的最大整数M ＝4.[8分](2)对于任意的s ，t ∈[12，2]，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在区间[12，2]上，函数f (x )min ≥g (x )max .[10分]由(1)可知在区间[12，2]上，g (x )的最大值为g (2)＝1.在区间[12，2]上，f (x )＝ax＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立．[12分]设h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ，可知h ′(x )在区间[12，2]上是减函数，又h ′(1)＝0，所以当1<x <2时，h ′(x )<0；当12<x <1时，h ′(x )>0.[14分]即函数h (x )＝x －x 2ln x 在区间(12，1)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h (x )max＝h (1)＝1，所以a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．[16分]温馨提醒 (1)“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化．(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离常数的方法，转化为求函数的值域问题．方法与技巧1．利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．2．在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x 轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 失误与防范1．函数f (x )在某个区间内单调递增，则f ′(x )≥0而不是f ′(x )>0，(f ′(x )＝0在有限个点处取到)．2．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的极小值是________．答案 c解析 由y ＝f ′(x )的图象可知，当x ＝0时，函数取得极小值，f (x )极小值＝c .2．(2014·课标全国Ⅱ改编)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增⇔f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)．3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞) 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0. ∴a >6或a <－3. 4．若函数f (x )＝xx 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________． 答案3－1解析 f ′(x )＝x 2＋a －2x 2x 2＋a 2＝a －x 2x 2＋a2，若a >1，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当1<x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ＝a 时，令f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意． 若0<a ≤1，则f ′(x )≤0，f (x )在[1，＋∞)上单调递减， ∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，a ＝3－1.5．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a >0，且a ≠1)，fg＋f －g －＝52.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ng n 的前n 项和大于62，则n 的最小值为________． 答案 6 解析 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gxg x>0，知f xg x在R 上是增函数，即f x g x＝a x为增函数， ∴a >1. 又a ＋1a ＝52，∴a ＝2或a ＝12(舍)．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫fn g n 的前n 项和S n ＝21＋22＋ (2)＝－2n1－2＝2n ＋1－2>62.即2n>32，∴n >5.6．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝________. 答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，且当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a >12，∴0<1a <2.当x <1a时，f ′(x )>0，f (x )在(0，1a )上单调递增；当x >1a 时，f ′(x )<0，f (x )在(1a，2)上单调递减，∴f (x )max＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a＝－1，解得a ＝1.7．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________. 答案 －2或2解析 设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减． 由题意知，f (1)＝0或f (－1)＝0， 若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2； 若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.8．设函数f (x )＝kx 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数k 的值为________．答案 4解析 若x ＝0，则不论k 取何值，f (x )≥0都成立； 当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝kx 3－3x ＋1≥0可化为k ≥3x 2－1x3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝－2xx 4，所以g (x )在区间(0，12]上单调递增，在区间[12，1]上单调递减，因此g (x )max ＝g (12)＝4，从而k ≥4；当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝kx 3－3x ＋1≥0可化为k ≤3x 2－1x 3，g (x )＝3x 2－1x3在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而k ≤4，综上k ＝4. 9．设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x>x 2－2ax ＋1.(1)解 由f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x－2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a ＝2－2ln 2＋2a .(2)证明 设g (x )＝e x－x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0， 所以g (x )在R 内单调递增．于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)， 都有g (x )>g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0. 即e x－x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.10．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解 (1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040小时，共耗油10040×(1128 000×403－380×40＋8)＝17.5(升)．因此，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时， 从甲地到乙地要耗油17.5升． (2)当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝(1128 000x 3－380x ＋8)·100x＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， h ′(x )＝x640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； 当x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数， 所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25. 易知h (80)是h (x )在(0,120]上的最小值．故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1．(2014·辽宁改编)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－6，－2]解析 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max .设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝x －x 3－x 2－4x －x 2x 6＝－x 2－8x －9x4＝－x －x ＋x4>0，∴φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6， ∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min .仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－x －x ＋x 4.当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )<0， 当x ∈(－1,0)时，φ′(x )>0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值． 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2xx ，x ＋x，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是________．答案 [－2,0] 解析 |f (x )|≥ax ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－－x 2＋2xax x ，x ＋ax x，成立．①由(1)得x (x －2)≥ax 在区间(－∞，0]上恒成立． 当x ＝0时，a ∈R ；当x <0时，有x －2≤a 恒成立， 所以a ≥－2.故a ≥－2.②由(2)得ln(x ＋1)－ax ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，设h (x )＝ln(x ＋1)－ax (x >0)，则h ′(x )＝1x ＋1－a (x >0)，可知h ′(x )为减函数．当a ≤0时，h ′(x )>0，故h (x )为增函数， 所以h (x )>h (0)＝0恒成立； 当a ≥1时，因为1x ＋1∈(0,1)， 所以h ′(x )＝1x ＋1－a <0，故h (x )为减函数， 所以h (x )<h (0)＝0恒成立，显然不符合题意；当0<a <1时，对于给定的一个确定值a ，总可以至少找到一个x 0>0，满足h (x 0)＝ln(x 0＋1)－ax 0<0成立．如a ＝12时，取x 0＝4，则h (x 0)＝ln 5－2<0成立，可知0<a <1时，不符合题意． 故a ≤0.由①②可知a 的取值范围是[－2,0]．3．已知f (x )＝x e x，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是____________．答案 [－1e，＋∞)解析 f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x(1＋x )当x >－1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x <－1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 所以函数f (x )的最小值为f (－1)＝－1e .而函数g (x )的最大值为a ，则由题意， 可得－1e ≤a 即a ≥－1e.4．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－x －a x ＋a x.由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增， 要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．只要⎩⎪⎨⎪⎧f＝a －1≥e－1，f ＝a 2－e 2＋a e≤e 2，解得a ＝e.5．已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln x x，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12；(3)是否存在正实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． (1)解 ∵a ＝1，∴f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x＝x －1x， ∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当1<x ≤e 时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)证明 ∵f (x )的极小值为1，即f (x )在(0，e]上的最小值为1，∴[f (x )]min ＝1. 又g ′(x )＝1－ln xx2， ∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增． ∴[g (x )]max ＝g (e)＝1e <12，∴[f(x)]min －[g(x)]max >12，∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.(3)解 假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3， 则f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当0<1a <e 时，f (x )在(0，1a)上单调递减，在(1a，e]上单调递增，[f (x )]min ＝f (1a)＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件；②当1a≥e 时，f (x )在(0，e]上单调递减，[f (x )]min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)，所以，此时f (x )无最小值．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时f (x )有最小值3.。
江苏省苏州市高中数学第一章导数及其应用1.1.2导数的概念教案新人教A版选修2-2
导数的概念本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．教学内容分析1．导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时,导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具。
2．本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因,一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想,这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面,函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型,并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率,我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．教学目的1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验;5．通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．教学准备1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法;2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训；3．制作《数学实验记录单》及上课课件．教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：复习准备理解平均速度与瞬时速度的区别与联系．体会模型感受当△t→0时，平均速度逼近于某个常数．提炼模型从形式上完成从平均速度向瞬时速度的过渡．形成概念由物体运动的瞬时速度推广到函数瞬时变化率，并由此得出导数的定义．应用概念理解导数概念，熟悉求导的步骤，应用计算结果解释瞬时变化率的意义．小结作业通过师生共同小结，使学生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．教学过程设计5分钟1．复习准备设计意图：让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系,感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度．（1）提问：请说出函数从x1到x2的平均变化率公式．（2)提问：如果用x1与增量△x表示平均变化率的公式是怎样的？(3）高台跳水的例子中，在时间段]4965,0[里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态。
高考数学人教版江苏专用新精准大一轮复习课件：第2章13第13讲 导数的综合运用5
第二章 基本初等函数、导数的应用
(1)求高铁运行全程所需的总费用与列车速度的函数关系式，并 写出定义域； (2)当列车速度为多少时，运行全程所需的总费用最低？ 【解】 (1)设高铁运行全程所需的总费用为 y，列车速度为 x， 高铁每小时使用的能源费用为 m，由题意得 m＝kx3(k 为常数)， 又当 x＝100 时，m＝0.06，代入解得 k＝6×10－8. y＝1 7x50(m＋3.24)＝1 7506×10－8x2＋3.x24，
第二章 基本初等函数、导数的应用
(2)因为 g(x)＝2ln x，所以 g′(x)＝2x. 又 g(2)＝2ln 2，g′(2)＝1， 所以切线方程为 y－2ln 2＝x－2，即 x－y＋2ln 2－2＝0. 故函数 g(x)在(2，g(2))处的切线方程为 x－y＋2ln 2－2＝0. (3)由题意得，当 x∈(1，e]时，mexx－2ln x>2 恒成立， 即当 x∈(1，e]时，m>（2＋2xln x）ex恒成立．
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数的应用
2．(2017·高考江苏卷)已知函数 f(x)＝x3－2x＋ex－e1x，其中 e 是自然对数的底数．若 f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数 a 的取值范 围是________．
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数的应用
解析：由 f(x)＝x3－2x＋ex－e1x，得 f(－x)＝－x3＋2x＋e1x－ex＝
栏目 导引
解：(1)当 a＝0 时，f(x)＝2xe2，
第二章 基本初等函数、导数的应用
所以 f(x)≤0 的解集为{0}．
当 a≠0 时，f(x)＝x2xe－a， 若 a＞0，则 f(x)≤0 的解集为[0，2ea]；
江苏高考数学一轮复习《导数的基本运算》教程学案
____第19课__导数的基本运算____1. 能根据导数定义求简单函数(如：y ＝c ，y ＝x 2，y ＝1x，y ＝x 等)的导数．2. 熟记基本初等函数的导数公式；理解导数的四则运算法则；能利用导数公式表的导数公式和导数四则运算法则求简单函数的导数1. 阅读：选修11第80～85 页．2. 解悟：①熟记教材第81页中的两个表格中常见函数和基本初等函数的求导公式；②教材第83页的函数的和、差、积、商求导法则你记住了吗？有没有特别留意积、商求导法则中的表达式的结构特征？③重点理解教材第83页的例2和例3，并体会解题过程中使用的法则依据，例3(2)，你还能想出其他的解法吗？并总结对一个函数求导的关键是什么？3. 践习：在教材空白处，完成第82页练习第2、7题，第84～85页练习第4、5题，习题第5、8、14题，第98页习题第1、3、4、7题.基础诊断1. (1) (2x )′＝__2x ln 2__； (2) (3x)′＝__13x －23__；(3) (3sin x)′＝__3cos x__； (4) (ln 2x)′＝__1x__．2. 已知函数f(x)＝1x cos x 则f(π)＋f′⎝⎛⎭⎫π2＝__－3π__． 解析：由题意得，f′(x)＝－1x 2cos x －1x sin x ，所以f′⎝⎛⎭⎫π2＝－1⎝⎛⎭⎫π22 cos π2－1π2sin π2＝－2π，f(π)＝1π×cosπ＝－1π，所以f(π)＋f′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π－2π＝－3π. 3. 若函数f(x)＝e x1－x，则f′(2)＝__0__．解析：由题意得，f′(x)＝e x （2－x ）（1－x ）2，当x ＝2时，f′(2)＝0.4. 曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1，3)处的切线的倾斜角为__π4__．解析：因为(1，3)在曲线y ＝x 3－2x ＋4上，y′＝3x 2－2，所以在点(1，3)处的切线的斜率k ＝3×1－2＝1.设切线的倾斜角为α，所以tan α＝1，所以α＝π4，故所求的倾斜角为π4.范例导航考向❶ 利用导数公式和四则运算法则求简单函数的导数 例1 求下列函数的导数． (1) f(x)＝log 2x ＋x 2； (2) f(x)＝e xx；(3) f(x)＝x －3x ＋1(x>0)； (4) y ＝x ln x ＋1； (5) f(x)＝e x ·ln x ； (6) f(x)＝(x 2－9)⎝⎛⎭⎫x －3x . 解析： (1) f′(x)＝1x ln 2＋2x (2) f′(x)＝x e x －e xx 2(3) f′(x)＝1－32x(x>0) (4) y′＝ln x ＋1 (5) y′＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x (6) f′(x)＝3x 2－27x2－12下列函数求导运算错误的个数为__3__． ①(3x )′＝3x log 3e; ②(log 2x)′＝1x ln 2； ③⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3； ④⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝x. 解析：①(3x )′＝3x ln 3，故①错误；②(log 2x)′＝1x ln 2，故②正确，③⎝⎛⎭⎫sin π3′＝0，故③错误；④⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1x （ln x ）2，故④错误．所以运算错误的个数为3.考向❷ 导数的运算与导数几何意义的应用例2 设函数f(x)＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c(其中a>0)，曲线y ＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y ＝1.(1) 求b ，c 的值；(2) 当a ＝4时，求过点(0，c)与曲线y ＝f(x)相切的直线方程． 解析：(1) 由题意得，f′(x)＝x 2－ax ＋b.因为曲线y ＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝1，f′（0）＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，c ＝1.(2) 由(1)知b ＝0，c ＝1. 又因为a ＝4,所以f(x)＝13x 3－2x 2＋1，则f′(x)＝x 2－4x.设切点M(m ，13m 3－2m 2＋1)，所以k ＝f′(m)＝m 2－4m ，则切线方程为y －13m 3＋2m 2－1＝(m 2－4m)(x －m)，将点(0，1)代入得1－13m 3＋2m 2－1＝(m 2－4m)(0－m)，解得m ＝0或m ＝3，所以过点(0，1)与曲线y ＝f(x)相切的直线方程为y ＝1或3x ＋y －1＝0.对于例2中的f(x)，若过点(0，2)可作曲线y ＝f(x)的三条不同的切线，求实数a 的取值范围.解析：设切点为(t ，f(t))．过点(0，2)可作曲线y ＝f(x)的三条不同的切线，等价于方程f(t)－2＝f′(t)(t －0)有三个相异的实根，即等价于方程23t 3－a2t 2＋1＝0有三个相异的实根．设g(t)＝23t 3－a2t 2＋1，则由g′(t)＝2t 2－at>0得t<0或t>a2；由g′(t)＝2t 2－at<0得 0<t<a2，所以函数g(t)在区间(－∞，0)和区间⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫0，a2上为单调递减，且极大值为g(0)＝1，极小值为g ⎝⎛⎭⎫a 2＝1－a324. 要使g(t)＝0有三个相异的实根当且仅当g ⎝⎛⎭⎫a 2＝1－a 324<0，即a>233时满足题意， 故实数a 的取值范围是(233，＋∞).考向❸ 导数运算的灵活应用例3 已知f 1(x)＝sin x ＋cos x ，f 2(x)＝f′1(x)，f 3(x)＝f′2(x)，…，f n (x)＝f′n －1(x)，n ∈N *，n ≥2，求f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 014⎝⎛⎭⎫π2的值． 解析：因为f 1(x )＝sin x ＋cos x ， 所以f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－sin x －cos x ＝－f 1(x )，f 4(x )＝f ′3(x )＝－cos x ＋sin x ＝－f 2(x )， 即f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0.又因为f 5(x )＝f ′4(x )＝sin x ＋cos x ＝f 1(x )，所以f n (x )是周期为4的周期函数，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 014⎝⎛⎭⎫π2＝f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＝1＋0＋0－1＝0.自测反馈1. 已知曲线y ＝x 2－2x ＋1，则在点(1，0)处的切线方程为__y ＝0__．解析：由题意得，点(1，0)在曲线y ＝x 2－2x ＋1上，所以切点为(1，0)．因为y′＝2x －2，当x ＝1时，y′＝0，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y ＝0.2. 若直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝ln x 相切，则a 的值为__－1__．解析：设切点为(x 0，x 0＋a)，y ＝ln x 的导数为y′＝1x ，所以1x 0＝1，即x 0＝1，所以切点为(1，1＋a)．又因为切点也在曲线y ＝ln x 上，所以1＋a ＝ln 1，解得a ＝－1，故a 的值为－1.3. 曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为__12__． 解析：由题意知，点M ⎝⎛⎭⎫π4，0在曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12上，所以切点为⎝⎛⎭⎫π4，0.因为y′＝1（sin x ＋cos x ）2，当x ＝π4时，y′＝1⎝⎛⎭⎫sin π4＋cos π42＝12，所以曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. 4. 曲线f(x)＝f′（1）e e x －xf(0)＋12x 2在点(1，f(1))处的切线方程为__y ＝e x －12__．解析：由题意得，f′(x)＝f′（1）ee x－f(0)＋x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝f′（1）e ，f′（1）＝f′（1）－f （0）＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝1，f′（1）＝e ，所以原函数的表达式可化为f(x)＝e x －x ＋12x 2，所以f(1)＝e －12，所以所求切线的方程为y －⎝⎛⎭⎫e －12＝e (x －1)，即y ＝e x －121. 准确应用求导公式和根据函数结构选择合适的求导法则是正确求导的前提．2. 直线和函数类曲线的相切问题需要明确：“在点P处”的曲线切线方程，一定是以点P为切点，“过点P处”的曲线切线方程，不论点P是否在曲线上，点P都不一定是切点．3. 你还有哪些体悟，写下来：。
江苏专用2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3_1导数的概念及运算教师用书理苏教版
第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算教师用书 理 苏教版1.导数与导函数的概念(1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数(derivative)，记作f ′(x 0).(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.记作f ′(x )或y ′. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0). 3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝C (C 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α为常数)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝ln x f ′(x )＝1xf (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)[f xg x ]′＝f ′x g x －f x g ′xg 2x(g (x )≠0).5.复合函数的导数若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a . 【知识拓展】1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.2.[1f x]′＝－f ′xf 2x(f (x )≠0).3.[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x ).4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( × ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同.( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x .( × ) 1.(教材改编)若f (x )＝x ·e x，则f ′(1)＝ . 答案 2e解析 f ′(x )＝e x＋x ·e x，∴f ′(1)＝2e.2.(教材改编)①(cos x )′＝sin x ；②若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；③(－1x )′＝12x x .其中正确的个数是 . 答案 1解析 因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误； (1x2)′＝(x －2)′＝－2x －3，所以②错误；(－1x )′＝(12x --)′＝3212x -＝12x x ，所以③正确.3.(教材改编)曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为 . 答案 5x ＋y ＋2＝0解析 因为y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.4.(教材改编)若过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为 . 答案 (12，2)或(－12，－2)解析 ∵y ′＝(x －1)′＝－1x2＝－4，∴x 2＝14，x ＝±12.∴切点坐标为(12，2)或(－12，－2).5.(教材改编)函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有 条. 答案 2解析 ∵y ′＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点(33，39)和点(－33，－39)处有斜率为1的切线. 题型一 导数的计算 例1 求下列函数的导数.(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x e x ；(4)y ＝sin(2x ＋π3)；(5)y ＝ln(2x －5).解 (1)y ′＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝(ln x ＋1x )′＝(ln x )′＋(1x)′＝1x －1x2.(3)y ′＝(cos xex )′＝cos x ′·e x－cos x e x′e x 2＝－sin x ＋cos x ex. (4)设u ＝2x ＋π3，则y ＝sin u ，则y ′＝(sin u )′·u ′＝cos(2x ＋π3)·2即y ′＝2cos(2x ＋π3).(5)令u ＝2x －5，则y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′·u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2017，则x 0＝ .(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝ . 答案 (1)1 (2)－2解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017，得2 017＋lnx 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2. 题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)(2016·南通一调)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线y ＝x 2(x >0)和y ＝x 3(x >0)均相切，切点分别为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，则x 1x 2的值为 .(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 . 答案 (1)43(2)x －y －1＝0解析 (1)方法一 由题设可知曲线y ＝x 2在A (x 1，y 1)处的切线方程为y ＝2x 1x －x 21，曲线y＝x 3在B (x 2，y 2)处的切线方程为y ＝3x 22x －2x 32，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝3x 22，x 21＝2x 32，解得x 1＝3227，x 2＝89，所以x 1x 2＝43.方法二 由题设得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝3x 22，x 32－x 21x 2－x 1＝2x 1，解得x 1＝3227，x 2＝89，所以x 1x 2＝43.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0).又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝1＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1，0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点2 求参数的值例3 (1)(2016·徐州模拟)函数y ＝e x的切线方程为y ＝mx ，则m ＝ .(2)(2016·苏州暑假测试)已知函数f (x )＝x －1＋1e x ，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，则实数k ＝ . 答案 (1)e (2)1－e解析 (1)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由y ′＝e x， 得00|e xx x y '==， 从而切线方程为000ee ()x x y x x -=-，又切线过定点(0，0)，从而000e e ()x x x -=-，解得x 0＝1，则m ＝e.(2)设切点为(x 0，y 0).因为f ′(x )＝1－1e x ，则f ′(x 0)＝k ，即1－01e x ＝k ，且kx 0－1＝x 0－1＋01ex ， 所以x 0＝－1，所以k ＝1－1e－1＝1－e. 命题点3 导数与函数图象的关系例4 如图，点A (2，1)，B (3，0)，E (x ，0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的 . 答案 ④解析 函数的定义域为[0，＋∞)，当x ∈[0，2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f ′(x )在[0，2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是下凸的；当x ∈(2，3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f ′(x )在(2，3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是上凸的； 当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f ′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线.思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面 (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0). (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f ′x 1x 0－x 1求解即可.(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.(1)(2016·泰州模拟)已知曲线y ＝x 24－3lnx 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 .(2)(2016·昆明模拟)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝ . 答案 (1)3 (2)－1解析 (1)设切点的横坐标为x 0，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)， 即切点的横坐标为3.(2)∵y ′＝－1－cos xsin 2x ，∴2|x y π='＝－1. 由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.3.求曲线的切线方程典例 若存在过点O (0，0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值. 错解展示 现场纠错解 易知点O (0，0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上. (1)当O (0，0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0，0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝0|x x y '=＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况. 1.(2016·天津)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为 . 答案 3解析 因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.2.已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为 . 答案 1e解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点为(x 0，ln x 0)，则0|x x y '=＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.3.若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为 . 答案 1或134解析 ∵y ′＝3x 2－6x ＋p ，设切点为P (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋p ＝1，x 30－3x 20＋px 0＝x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，p ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，p ＝134.4.若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)＝ . 答案 －4解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2， 所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.5.(2016·江苏扬州中学期中)若x 轴是曲线f (x )＝ln x －kx ＋3的一条切线，则k ＝ . 答案 e 2解析 由f (x )＝ln x －kx ＋3，得f ′(x )＝1x－k ，设点M (x 0，y 0)是曲线f (x )上的一点，则曲线f (x )＝ln x －kx ＋3在点M 处的切线方程为y －(ln x 0－kx 0＋3)＝(1x 0－k )(x －x 0)，∵x 轴是曲线f (x )＝ln x －kx ＋3的一条切线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0－kx 0＋3＝0，1x 0－k ＝0，解得k ＝e 2.6.已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为 . 答案 14解析 由题意可知f ′(x )＝1212x -，g ′(x )＝ax ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12×121()4-＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意.7.已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝ . 答案 1解析 f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝1＋3a ，f (1)＝a ＋2.所以函数在(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(1＋3a )(x －1). 将(2，7)代入切线方程，得7－(a ＋2)＝1＋3a ， 解得a ＝1.8.(2016·南京模拟)曲线y ＝log 2x 在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于 . 答案12ln 2解析 y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2， ∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1).∴三角形面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2.9.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x.∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点， 即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2.*10.已知曲线f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为 . 答案 －1解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1， 点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1， ∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016， 则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015 ＝log 2 016(x 1x 2…x 2 015)＝－1.11.(2016·江苏五校联考)已知曲线y ＝x 与y ＝8x的交点为P ，两曲线在点P 处的切线分别为l 1，l 2，则切线l 1，l 2与y 轴所围成的三角形的面积为________． 答案 6解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝8x， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，即P (4,2)，由y ＝x ，得y ′＝(x )′＝12x，则直线l 1的斜率k 1＝14，∴l 1：y ＝14x ＋1.同理可得l 2：y ＝－12x ＋4， 如图，易知S △PAB ＝12×3×4＝6，即所求的面积为6. 12.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝________. 答案 －1解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x. ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.13.已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13. ∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0. 14.曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1 (x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为____________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134 解析 设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，∴y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)，∴S 普通梯形＝g 1＋g 22×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋134，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134时，S 普通梯形最大． 15.已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A (x 0，13x 30＋43)，则切线的斜率为y ′|0x x ＝＝x 20.∴切线方程为y －(13x 30＋43)＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.*16.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3 x 20(x －x 0)， 即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3 x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值且此定值为6.。
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江苏高考数学导数练
习题
B
A 1 A 2 C O A 3 导数复习课
1．记定义在R 上的函数y ＝f (x )的导函数为f′(x )．如果存在x 0∈
[a ，b ]，使得f (b )－f (a )＝f′(x 0)(b －a )成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“中值点”．那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2，2]上“中值点”的个数为 ．
2．问题“求方程345x x x +=的解”有如下的思路：方程345x x x +=可变为34()()155x x +=，考察函数34()()()55
x x f x =+可知，(2)1f =，且函数()f x 在R 上单调递减，∴原方程有唯一解2x =.仿照此解法可得到不等式：632(23)(23)x x x x -+>+-的解是 ．
3．已知函数221()23ln 2f x x ex e x b =+--，若函数F (x ) = f ’(x ) + x
a 有最小值m ，且m ＞2e ，则实数a 的取值范围是 ．
4.已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）设.1-<a 如果对任意的求a x x x f x f x x ,4)()(),,0(21212,1-≥-+∞∈取值范围。
5.如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为
O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置
三个等分点A 1，A 2，A 3。
点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等。
设细绳的总长为y
（1）设∠CA 1O = θ (rad )，将y 表示成θ的函数关系式；
（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长。
6．已知函数，
. (1)讨论函数f(x)的单调性;
(2) 是否存在实数，使当时恒成立？若存在，求 出实数a;若不存在，请说明理由。
7.已知函数()ln f x x mx m =-+，m R ∈
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()0f x ≤在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，任意的0a b <<，证明：()()()
11f b f a b a a a -<-+. 8．设()f x 是定义在(0 )+∞，的可导函数，且不恒为0，记()()()n n f x g x n x
=∈*N ．若对定义域内的每一个x ，总有()0n g x <，则称()f x 为“n 阶负函数”；若对定义域内的每一个x ，总有[]()0n g x '≥，则称()f x 为“n 阶不减函数”（[]()n g x '为函数()n g x 的导函数）．
（1）若31()(0)a f x x x x
x =-->既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a 的取值范围；
（2）对任给的“2阶不减函数”()f x ，如果存在常数c ，使得()f x c <恒成立，试判断()f x 是否为“2阶负函数”？并说明理由．。