三元一次方程组及其解法
7.3.1三元一次方程组及其解法(代入)
,
z
3 2
代入②，得
5 y ( 3) 0
2
2
y=1
所以，原方程组的解是
x y
5 2 1
z
3
2
合作探究3
3x 4 y 3z 3.................① 2x 3y 2z 2.................② 5x 3y 4z 22.............③
分析：三个方程中未知数的系数都不是1或 -1，用代入消元法比较麻烦，可考虑用加 减消元法求解。
在三元化二元时，对于具体方法的选取应 该注意选择最恰当、最简便的方法。
x+y+z=2, x-y+z=0, x-z=4.
解： ①＋②，得 2x+2z=2 ,
化简，得 x+z=1 ④ x-z=4 ③
∴
x+z= 1 ④
③+④,得 2x=5
x 5
5
2
把 x= 2
代入③，得
5z4
2
z3 2
① ②
③
把x
5 2
下面我们讨论:如何解三元一
次方程组？
观察方程组：
x y z 12, ①
x
2
y
5z
22,
②
x 4 y.
③
消元
消元
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
解法：消x 由③代入①②得
解得
y 2, z 2.
5y z 12, ④ 6y 5z 22. ⑤
把y=2代入③，得x=8.
x 8,
④
③十④，得：19x= 114，
所以 x=6 把x=6代入②得：
30+6y=42，
如何解三元一次方程组
如何解三元一次方程组三元一次方程组是指包含三个未知数和三个方程的方程组。
解三元一次方程组的基本方法有两种：代入法和消元法。
以下将详细介绍两种方法。
一、代入法：代入法是指从方程组中选择一个方程，将该方程中的一个未知数用其他未知数的表达式表示，再将该表达式代入其他方程中，从而减少未知数的个数，直至得出所有未知数的值。
具体步骤如下：1.从方程组中选择一个方程，将其中一个未知数用其他未知数的表达式表示。
2.将该表达式代入其他方程中，得到一个新的方程。
3.解这个新的方程，求出一个未知数的值。
4.将此值代入原有的方程中，求解其他未知数的值。
5.最后检查解是否符合所有方程，如果符合，则为方程组的解；如果不符合，则无解。
二、消元法：消元法是指通过对方程组中的方程进行运算，使其中的一些未知数的系数为零，从而将方程组转化为含有更少未知数的方程组，最终降低问题的复杂度。
具体步骤如下：1.对方程组中的方程逐一进行消元运算，使得每个方程中最后一个未知数的系数为12.用第一个方程消去其他方程中与第一个方程中最后一个未知数系数相同的项。
3.对第二个方程进行类似操作，依此类推，直至最后一个方程。
4.得到转化后的简化方程组。
5.通过逆向代入的方法解出未知数的值。
6.最后检查解是否符合所有方程，如果符合，则为方程组的解；如果不符合，则无解。
实际解题过程中，我们可以根据具体情况选择采用代入法或消元法，或结合使用两种方法进行求解。
需要注意的是，三元一次方程组可能存在无解或无穷多解的情况，因此在解题过程中需要特别注意检查解是否满足所有方程。
如果方程组无解，则说明方程组中方程之间存在矛盾；如果方程组有无穷多解，则说明方程组中的方程不足以确定唯一解。
以上就是解三元一次方程组的基本方法。
实际解题过程中需要灵活运用这些方法，结合具体问题及方程组的特点，选择合适的方法进行求解。
6.10三元一次方程组及其解法(南汇四中陈秀红)
6．10三元一次方程组及其解法教学目标1、知道三元一次方程组的概念；2、会利用“消元法”解简单的三元一次方程组；3、能根据题目的特点，确定消元方法、消元对象；渗透“消元”的思想，设法把未知数转化为已知.教学重点会解简单的三元一次方程组进一步体会“消元”的基本思想.教学难点能灵活使用代入法消元法、加减法消元法等方法解简单的三元一次方程组． 教学过程一、观察方程组，引入三元一次方程组概念我们一起来看下面的方程组有什么特点：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=+-131********z z y x z y x ; ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=--1063584236z y x z y x z y x .学生：他们都含有三个未知数，且含有未知数的项的次数是一次的.教师：同学们说的非常好，把你们讲的归纳在一起就是今天我们要讲的三元一次方程的定义.如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组.二、新课讲授1、思考问题 解二元一次方程组的基本方法有哪几种？解二元一次方程组的基本思想是什么？我们怎样解三元一次方程组呢？同学们可以小组讨论一下.解三元一次方程组的思想方法是：三元一次方程组−−→−消元二元一次方程组−−→−消元一元一次方程组.2、例题讲解例题1、解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=16253z x y x x )3()2()1(分析：代入消元法例题2 解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=++30724622523z y x z y x z y x )3()2()1( 【说明】有了前例的基础，让学生独立尝试解题，可以培养他们分析问题、解决问题的能力；在解题后归纳题目的特点为，点明消元方法和消元对象，更有助于学生探索方法、掌握技巧．例题3 解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+19714z x z y y x )3()2()1(【说明】通过一题多解，不仅能开阔学生的思维，培养学生的兴趣，而且，可以巩固解方程组时通过“消元”把未知转化为已知的基本思想．三、巩固练习：练习6.10 的1、2题.【说明】独立完成练习后，同桌、前后桌之间按不同解法的同学交换，看哪种方法最简单.四、课堂小结1．解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？2．解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．3．注意检验．【说明】这样总结，既突出了本课重点，又突出了本节内容中例题、习题的特点—某个方程只含两元，使学生在以后解题时有很强的针对性．五、布置作业1.练习册6.102.解方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧=-+==732532z y x z y x （2）⎩⎨⎧=++=243:2:1::z y x z y x3.已知04)2(422=+-+++--c b a c b b a ，求c b a -+3的值.。
三元一次方程组及解法
要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1. 三元一次方程的定义:含有三个相同的未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义：一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．(2) 在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4．解这个方程组，求出未知数的值；5．写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1. 下列方程组不是三元一次方程组的是（）．A．B．C．D．【思路点拨】根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证．【答案】B【解析】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．A、满足三元一次方程组的定义，故A选项错误；B、x2-4=0，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项正确；C、满足三元一次方程组的定义，故C选项错误；D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；故选B．【总结升华】三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的定义进行判断类型二、三元一次方程组的解法2. 解三元一次方程组【思路点拨】特点：①，③是比例形式，策略：引入参数k．【答案与解析】解法一：由①，设，则x＝3k+1，y＝4k+2，代入②，③得，解之，得．从而x＝7，y＝10．故原方程组的解为，解法二：由③得，则y＝5k，z＝3k．代入①、②得：，解得，故原方程组的解为．【总结升华】若某一方程是比例形式，则先引入参数，后消元3. 已知方程组的解使得代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值．【思路点拨】由题意可知，此方程组中的a是已知数，x、y、z是未知数，先解方程组，求出x，y，z(含有a的代数式)，然后把求得的x、y、z代入等式x-2y+3z＝-10，可得关于a的一元一次方程，解这个方程，即可求得a的值【答案与解析】解法一：②-①，得z-x＝2a④③+④，得2z＝6a，z＝3a把z＝3a分别代入②和③，得y＝2a，x＝a．∴．把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x-2y+3z＝10得a-2×2a+3×3a＝-10．解得．解法二：①+②+③，得2(x+y+z)＝12a．即x+y+z=6a④④-①，得z＝3a，④-②，得x＝a，④-③，得y＝2a．∴，把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x-2y+3z＝10得a-2×2a+3×3a＝-10．解得．【总结升华】当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以运用此题解法2中的技巧解这类方程组（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
三元一次方程组及其解法
三元一次方程组及其解法三元一次方程组是由三个一次方程组成的方程组，每个方程都是关于三个未知数的线性方程。
解决三元一次方程组的方法有多种，包括代入法、消元法、克莱姆法等。
本文将以消元法为例，介绍如何解决三元一次方程组。
消元法是一种代数方法，通过对方程进行逐步变换，将三元一次方程组转化为只有一个未知数的方程，从而求得其解。
下面以一个具体的三元一次方程组为例进行解答。
假设我们有以下三元一次方程组：```2x + 3y - z = 7x - 2y + 3z = 123x + 2y + z = 10```我们可以通过消元法将方程组转化为简化形式。
我们可以选择任意两个方程，并通过消元的方式将它们的某一未知数消去。
在这个例子中，我们可以选择第一和第二个方程。
我们通过第一行乘以2，第二行乘以3，然后将它们相加，将x消去：```4x + 6y - 2z = 143x - 6y + 9z = 36```将上述两个方程相加，我们得到：```7x + 7z = 50```接下来，我们再选择另外两个方程进行消元。
我们可以选择第一行乘以3，第三行乘以2，然后将它们相加，将x消去：```6x + 9y - 3z = 216x + 4y + 2z = 20```将上述两个方程相减，我们得到：```5y - 5z = 1```现在我们得到了两个只包含y和z的方程，接下来我们可以通过解这两个方程得到y和z的值。
这里我们可以选择将第二个方程乘以5，然后与第一个方程相减，将z消去：```5y - 5z = 125y - 25z = 25```将上述两个方程相减，我们得到：```-20y = -24```解得y = 1.2。
将y = 1.2代入其中一个方程，我们可以求得z的值：```5(1.2) - 5z = 16 - 5z = 1-5z = -5```解得z = 1。
将y = 1.2和z = 1代入其中一个方程，我们可以求得x的值：```2x + 3(1.2) - 1 = 72x + 3.6 - 1 = 72x = 7 - 3.6 + 12x = 4.4```解得x = 2.2。
三元一次方程组及其解答-重难点题型(融会贯通)(沪科版)(学生版)
专题3.10 三元一次方程组及其解答-重难点题型【沪科版】【题型1 三元一次方程组的解】【例1】（2022春•零陵区期末）若二元一次方程组{2x +y =33x −y =2的解同时也是方程2x ﹣my ＝﹣1的解，那么m 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．3D ．4【变式1-1】（2022春•梁平区期末）三元一次方程组{2x =3y =6zx +2y +z =16的解是（ ）A ．{x =1y =3z =5B ．{x =6y =3z =2C ．{x =6y =4z =2D ．{x =4y =5z =6【变式1-2】（2022•坪山区模拟）若二元一次方程3x ﹣y ﹣7＝0，2x +3y ﹣1＝0和2x +y ﹣m ＝0有公共解，则m 的取值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．3D ．4【变式1-3】（2022春•高新区期末）如果方程组{x =4ax +by =5的解与方程组{y =3bx +ay =2的解相同，则a +b＝ ．【题型2 用消元法解三元一次方程组】【例2】（2022春•宝山区期末）解方程组：{x −y +z =04x +2y +z =325x +5y +z =60．【变式2-1】（2022春•松江区期末）解方程组：{3x +4y +z =14x +5y +2z =172x +2y −z =3．【变式2-2】（2022春•新抚区期末）解方程组：{x +2y +z =82x −y −z =−33x +y −2z =−1．【变式2-3】（2022•浙江自主招生）解方程组{x(y +z)=2.5，(y −1)(z +x +1)=9.5，(z +1)(x +y −1)=11.【题型3 用换元法解三元一次方程组】 【例3】（2022春•南陵县期末）已知：a3=b 5=c7，且3a +2b ﹣4c ＝9，则a +b +c 的值等于 ．【变式3-1】（2022•晋江市模拟）已知方程组{x +y −5z =0x −y +z =0，则x ：y ：z ＝ ．【变式3-2】（2022秋•静安区月考）已知x+y 2=z+y 3=x+z 4，那么代数式x−2y+z 2x−y+z= ．【变式3-3】解方程组：{x 2=y 3=z 4①2x +y +z =22②方程组中的①式实际包含三个等式：x2=y 3，x2=z4，y 3=z4，只需任取其中两个（另一个通过这两个代换即可得），便可以与②式联立成三元一次方程组，如{3x =2y4y =3z 2x +y +z =22，然后用一般方法求解．对原方程组也可以用换元的方法来求解．令x2=y 3=z 4=k ，则有x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ③，把③代入②，得4k +3k +4k＝22，解得k ＝2，所以x ＝4，y ＝6，z ＝8，所以原方程组的解为{x =4y =6z =8．借鉴上述“换元法”，解方程组{x+12=y+23=z+342x +3y −z =13．【题型4 构建三元一次方程组解题】【例4】（2022秋•邛崃市期末）当x ＝﹣2时，代数式ax 2+bx +c 的值是5；当x ＝﹣1时，代数式ax 2+bx +c 的值是0；当x ＝1时，代数式ax 2+bx +c 的值是﹣4；则当x ＝2时，代数式ax 2+bx +c 的值是 ．【变式4-1】（2022春•和平区期末）在等式y ＝ax 2+bx +c 中，当x ＝﹣1时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝3；当x＝5时，y ＝60，则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ．【变式4-2】（2022春•海口期末）在等式y ＝ax 2+bx +c 中，当x ＝﹣1时，y ＝0；当x ＝5时，y ＝60；当x ＝0时，y ＝﹣5．求a 2+2ab +c 2的值．【变式4-3】（2022春•崇川区校级月考）已知y ＝ax 2+bx +c ，当x ＝1时，y ＝8；当x ＝0时，y ＝2；当x ＝﹣2时，y ＝4． （1）求a ，b ，c 的值； （2）当x ＝﹣3时，求y 的值．【题型5 运用整体思想求值】【例5】（2022•苏州一模）阅读材料：善于思考的小明在解方程组{4x +10y =6①8x +22y =10②时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程②8x +20y +2y ＝10，变形为2（4x +10y ）+2y ＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y ＝10，则y ＝﹣1；把y ＝﹣1代入①得，x ＝4，所以方程组的解为：{x =4y =−1请你解决以下问题：（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组{2x −3y =7①6x −5y =11②（2）已知x 、y 、z ，满足{3x −2z +12y =47①2x +z +8y =36②试求z 的值．【变式5-1】（2022春•金坛区期末）若2x +y +z ＝10，3x +y +z ＝12，则x +y +z ＝ ． 【变式5-2】阅读以下材料：若x +3y +5z ＝5，x +4y +7z ＝7，求x +y +z 的值．解：x +y +z ＝3（x +3y +5z ）﹣2（x +4y +7z ）＝3×5﹣2×7＝1． 答：x +y +z 的值的为1．根据以上材料提供的方法解决如下问题：若2x +5y +4z ＝6，3x +y ﹣7z ＝﹣4，求x +y ﹣z 的值．【变式5-3】（2022春•鼓楼区期中）解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组：解方程组{x +y +z =2，①2x +3y −z =8，②3x −2y +z =3，③小曹同学的部分解答过程如下： 解： + ，得3x +4y ＝10，④+ ，得5x +y ＝11，⑤ 与 联立，得方程组 {3x +4y =10，④5x +y =11，⑤（1）请补全小曹同学的解答过程：（2）若m 、n 、p 、q 满足方程组{m +n +p +q =42(m +n)+3p −q =163(m +n)−2p +q =6，则m +n ﹣2p +q ＝ ．【题型6 三元一次方程组的应用】【例6】汽车在平路上每小时行30千米，上坡时每小时行28千米，下坡时每小时行35千米，现在行驶142千米的路程用去4小时30分钟，回来使用4小时42分钟，问这段路中平路有多少千米？去时上、下坡各有多少千米？【变式6-1】某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、丙两组的和的14，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株？【变式6-2】如图中的□、△、○分别代表一个数字，且满足以下三个等式： □+□+△+○＝17 □+△+△+○＝14 □+△+○+○＝13，则□、△、○分别代表什么数字？并说明理由．【变式6-3】（2022春•乐清市期末）为了推动我市消费市场快速回暖，加快消费水平复苏和振兴，市人民政府决定，举办“春暖瓯越•温享生活”消费券多次投放活动，每期消费券共可减68元，共5张，其中A 型1张，B 型2张，C 型2张，如下表：A 型B 型C 型 满168元减38元满50元减10元满20元减5元在此次活动中，小明父母领到多期消费券．（1）若小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了199元，已知她用了3张A 型消费券，5张B 型的消费券，则用了 7 张C 型的消费券．（2）若小明父母使用消费券共减了230元．①若他们用12张三种不同类型的消费券消费，已知C型比A型的消费券多1张，请求出他们用这三种不同类型的消费券各多少张？②若他们共领到6期消费券（部分未使用），用A，B，C型中的两种不同类型的消费券消费，直接写出他们使用哪两种消费券各多少张．。
常见的三元一次方程组的解法
常见的三元一次方程组的解法三元一次方程组的常规解法是：通过代入法或加减法把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再把二元一次方程组转化为一元一次方程从而解出方程组.但有时我们也可根据三元一次方程组的结构特点采取非常规的方法来解方程组.常见的方法有：一、缺项型的解法例1 解方程组4917(1)31518(2)232(3)x z x y z x y z -=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩分析：由于方程（1）缺少未知数y ，这方程时只要在方程（2）（3）中消去未知数y 即可把三元一次方程组转化为二元一次方程组，从而顺利地解出方程组.（2）2(3)⨯-得：52734(4)x z +=（1）3(4)⨯+得：1785x = 5x =把5x =代入（1）得：20917z -= 13z =把5x =，13z =代入（3）得：5212y ++=， 2.y =- ∴方程组的解为：5213x y z ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩二、标准型的要选择确当的未知例2 解方程组34(1)2312(2)6(3)x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩解：要消去三个未知数中的一个，相对而言消未知数z 比较方面.（1）+（2）得：5216(4)x y +=（3）+（2）得：3418(5)x y +=(5)(4)2-⨯得：20x =把20x =代入（4）得：100216y +=42y =.把20x =，42y =代入（1）得：60424z -+=14z =-.∴方程组的解为：204214x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.三、轮换的特殊解法例3 解方程组2(1)4(2)6(3)x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解：这样轮换缺少未知数的方程可以采用下面特殊方法来解.（1）+（2）+（3）得：22212x y z ++=∴6(4)x y z ++=（4）-（1）得：4z =（4）-（2）得：2x =（4）-（3）得：0y =∴方程组的解为：204x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩.四、有比巧设参数x ：y=2：1 （1）例4 解方程组 y ：z=1：3 （2） 23414x y z +-=- （3）解：由（1）得：设其中的一份为k ，则2x k =，y k =. 把y k =代入（2）得：3z k =.把2x k =，y k =，3z k =代入（2）得：431214k k k +-=-.2 k=.∴方程组的解为：426 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩.。
3.6 三元一次方程组及其解法(课件)沪科版(2024)数学七年级上册
x＝1， 故这个三元一次方程组的解为y＝2，
z＝3.
x∶ y=1∶ 2， ①
(3) ൞y∶ z=2∶ 3， ② 解x：+由y+①z=和36②；，③得 x∶y∶z＝1∶2∶3， 所以设 x＝k，y＝2k，z＝3k(k≠0)． 将 x＝k，y＝2k，z＝3k 代入③， 得 k＋2k＋3k＝36，解得 k＝6. 所以 x＝6，y＝12，z＝18.
3y=6
xy－z=－3
x－z=1
y－x=－1，
ቐ x+z=3， 2y－z=0
感悟新知
知识点 2 解三元一次方程组
知2－讲
1. 解三元一次方程组的基本思路
通过“代入”或“加
减” 进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元
一次方程组转化为解二元一次方程组，再转化为解一元一
次方程 .
2. 求解方法 加减消元法和代入消元法 .
是三元一次方程，三元一次方程组中的方程，可 以是一元一次方程，或二元一次方程，或三元一 次方程，只需方程组中共有三个未知数即可.
2. 三元一次方程组
知1－讲
由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫
作三元一次方程组 .
必备条件：(1)都是整式方程；(2) 含三个未知数；(3)
有三个方程；(4)都是一次方程 .
B.
1 x
，1y，1z不是整式，故
B
不是；
C. 方程组含有四个未知数，故 C 不是；
D. 符合三元一次方程组的定义 . 答案：D
知1－练
1-1.下列方程组中，不是三元一次方程组的是( B )
x+y=1，
x2－4=0，
x=2，
A. ቐ2y+z=－2，B. ቐ y+1=x， C. ቐ2y=－3， D.
高中数学解三元一次方程组的方法及相关题目解析
高中数学解三元一次方程组的方法及相关题目解析一、引言三元一次方程组是高中数学中的重要内容之一。
解三元一次方程组需要使用代数方法，通过变量的消元、代入等步骤，找到方程组的解。
本文将介绍解三元一次方程组的常用方法，并通过具体题目进行解析，帮助读者更好地理解和掌握该知识点。
二、方法一：代入法代入法是解三元一次方程组的常用方法之一。
具体步骤如下：1. 选取一个方程，将其中一个变量表示为其他变量的函数。
2. 将该函数代入其它方程，得到一个二元一次方程组。
3. 解二元一次方程组，求出两个变量的值。
4. 将求得的变量值代入原方程中，求出第三个变量的值。
以下通过一个例题来说明代入法的具体操作：例题：解方程组2x + y + z = 10x + 3y - z = 4x + 2y + 3z = 14解析：选取第一个方程，将z表示为其他变量的函数：z = 10 - 2x - y将z代入第二个方程，得到一个二元一次方程组：x + 3y - (10 - 2x - y) = 4化简得：3x + 4y = 14解二元一次方程组3x + 4y = 14和第一个方程2x + y + z = 10，可以得到x和y 的值：x = 2, y = 1将求得的x和y代入第一个方程，求出z的值：z = 10 - 2x - y = 10 - 2(2) - 1 = 5因此，方程组的解为x=2，y=1，z=5。
三、方法二：消元法消元法是解三元一次方程组的另一种常用方法。
具体步骤如下：1. 选取两个方程，通过消元的方式，将其中一个变量消去。
2. 得到一个二元一次方程组。
3. 解二元一次方程组，求出两个变量的值。
4. 将求得的变量值代入原方程中，求出第三个变量的值。
以下通过一个例题来说明消元法的具体操作：例题：解方程组2x + y + z = 10x + 3y - z = 4解析：选取第一个方程和第二个方程，通过消元的方式将z消去：(2x + y + z) - (x + 3y - z) = (10) - (4)化简得：x + 4y = 6解二元一次方程组x + 4y = 6和第三个方程x + 2y + 3z = 14，可以得到x和y 的值：x = 2, y = 1将求得的x和y代入第一个方程，求出z的值：2(2) + 1 + z = 10化简得：z = 5因此，方程组的解为x=2，y=1，z=5。
解三元一次方程组的方法与实例
解三元一次方程组的方法与实例数学是一门重要的学科，也是许多学生所困扰的学科之一。
在初中阶段，学生们开始接触到更加复杂的数学问题，其中包括解三元一次方程组。
本文将介绍解三元一次方程组的方法与实例，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。
一、高斯消元法高斯消元法是解三元一次方程组最常用的方法之一。
其基本思想是通过变换方程组，使得方程组的解易于求得。
下面通过一个实例来说明高斯消元法的具体步骤。
假设有以下三元一次方程组：2x + 3y - z = 73x - 2y + 2z = 11x + 2y - 3z = -5首先，将方程组写成增广矩阵的形式：[2 3 -1 | 7][3 -2 2 | 11][1 2 -3 | -5]接下来，通过行变换将矩阵化为上三角矩阵。
具体步骤如下：1. 将第一行乘以3，第二行乘以2，第三行乘以1，得到：[6 9 -3 | 21][6 -4 4 | 22][1 2 -3 | -5]2. 将第二行减去第一行，第三行减去第一行，得到：[6 9 -3 | 21][0 -13 7 | 1][0 -7 0 | -26]3. 将第三行乘以(-13/7)，得到：[6 9 -3 | 21][0 -13 7 | 1][0 13 0 | 26]4. 将第三行加上第二行，得到：[6 9 -3 | 21][0 -13 7 | 1][0 0 7 | 27]此时，方程组化为了上三角矩阵的形式。
接下来，通过回代求解方程组。
具体步骤如下：1. 根据最后一行的方程7z = 27，解得z = 3。
2. 将z = 3代入第二行的方程-13y + 7z = 1中，解得y = -2。
3. 将y = -2和z = 3代入第一行的方程6x + 9y - 3z = 21中，解得x = 1。
因此，方程组的解为x = 1，y = -2，z = 3。
二、克拉默法则克拉默法则是另一种解三元一次方程组的方法。
其基本思想是利用行列式的性质求解。
解三元一次方程组的方法
解三元一次方程组的方法三元一次方程组是指含有三个未知数的一次方程组，通常形式为：a1x + b1y + c1z = d1。
a2x + b2y + c2z = d2。
a3x + b3y + c3z = d3。
解三元一次方程组的方法主要有消元法、代入法和矩阵法。
下面将分别介绍这三种方法的具体步骤。
一、消元法。
消元法是解三元一次方程组常用的方法之一，其基本思想是通过加减消元将方程组化简为二元一次方程组，然后逐步求解。
具体步骤如下：1. 选择一个方程，通过乘以适当的系数使得其系数与另一个方程中对应未知数的系数相等，然后将两个方程相加或相减，消去该未知数的项。
2. 重复以上步骤，逐步消去另外两个未知数的项，最终得到一个二元一次方程组。
3. 解二元一次方程组，得到一个未知数的值。
4. 将求得的未知数的值代入原方程组中，求解出另外两个未知数的值。
二、代入法。
代入法是另一种解三元一次方程组的常用方法，其基本思想是通过将一个方程中的一个未知数用另外两个未知数的表达式代入另外两个方程中，从而化简为一个二元一次方程组。
具体步骤如下：1. 选择一个方程，将其中一个未知数用另外两个未知数的表达式代入另外两个方程中，得到一个包含两个未知数的方程。
2. 解得一个未知数的值。
3. 将求得的未知数的值代入原方程组中，求解出另外两个未知数的值。
三、矩阵法。
矩阵法是利用线性代数中矩阵的性质来解三元一次方程组的方法，其基本思想是将方程组写成矩阵的形式，通过矩阵运算来求解未知数的值。
具体步骤如下：1. 将方程组写成增广矩阵的形式。
2. 通过行变换将增广矩阵化简为阶梯形矩阵或行最简形矩阵。
3. 根据化简后的矩阵，逐步求解得到未知数的值。
以上就是解三元一次方程组的方法，消元法、代入法和矩阵法是三种常用的解法，可以根据具体情况选择合适的方法来求解三元一次方程组。
希望本文可以帮助到您。
解三元一次方程组的常见方法与技巧
解三元一次方程组的常见方法与技巧在数学中，三元一次方程组是由三个未知数及其对应的线性方程组成的。
解决这类方程组是基础中的基础，因为它们涉及到许多实际问题的解决。
本文将介绍一些解三元一次方程组的常见方法和技巧，帮助读者在解题过程中更加便捷和准确。
一、代入法代入法是解三元一次方程组的最基本且常用的方法之一。
它的基本思想是将方程组中的一个未知数（通常选取其中一个不含有系数的方程）表示成其他未知数的函数，然后代入到其他方程中，最终得到一个二元方程组，从而求解出未知数的值。
例如，考虑以下方程组：```2x - 3y + z = 7 (1)3x + y - 2z = -5 (2)x + 2y - 3z = 1 (3)```我们可以从第一个方程中将 z 表示出来：```z = 7 - 2x + 3y```然后代入到第二个和第三个方程中，得到一个二元方程组：```3x + y - 2(7 - 2x + 3y) = -5 (4)x + 2y - 3(7 - 2x + 3y) = 1 (5)```通过解这个二元方程组，我们可以得到 x 和 y 的值。
最后再将求得的 x、y 值代入到第一个方程中，求得 z 的值，从而得到方程组的解。
二、消元法消元法是解三元一次方程组的另一种常见方法。
它的基本思想是通过适当的加减运算将方程组转化成一个简化的形式，从而降低问题的复杂度。
消元法有多种具体的实现方式，如高斯消元法和克拉默法则等。
这里我们以高斯消元法为例进行说明。
考虑以下方程组：```2x + 3y - z = 7 (6)4x - 2y + 3z = -9 (7)x + 2y + 3z = 18 (8)```我们通过将第一个方程的两倍加到第二个方程中，以及第一个方程的十倍减去第三个方程，可以将方程组化为如下形式：```2x + 3y - z = 7 (6)-8y + 5z = -25 (9)-19y + 13z = -53 (10)```然后，我们可以通过类似的运算，进一步消去 y 变量。
(完整版)三元一次方程及其解法
三元一次方程组及其解法1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程2。
三元一次方程组：由三个一次方程(一元、二元或三元)组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组3. 三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值 解题思路：利用消元思想使三元变二元，再变一元4.三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元,即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程． 例题解析一、三元一次方程组之特殊型例1：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++=++③②①y x z y x z y x 4225212分析：方程③是关于x 的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x ”的目标. 解法1：代入法,消x 。
把③分别代入①、②得⎩⎨⎧=+=+⑤④2256125z y z y解得2,2.y z =⎧⎨=⎩把y=2代入③，得x=8.∴8,2,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解。
根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为： 类型一：有表达式，用代入法型.针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z ，因此利用①、②消z ，也能达到消元构成二元一次方程组的目的。
解法2：消z.①×5得 5x+5y+5z=60 ④ ④-② 得 4x+3y=38 ⑤ 由③、⑤得⎩⎨⎧=+=⑤③38344y x yx解得8,2.x y =⎧⎨=⎩把x=8，y=2代入①得z=2。
∴8,2,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解。
根据方程组的特点,可归纳出此类方程组为： 类型二：缺某元，消某元型.例2：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①172162152z y x z y x z y x 分析:通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。
具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组"，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。
三元一次方程组解法
三元一次方程组解法
1、什么是三元一次方程组？
三元一次方程组是一组关于三个未知变量的一次方程。
该方程组有三个未知量，每个未知量只有一个出现的幂次，而且所有未知量的和为定值，此类方程组称为三元一次方程组。
2、如何解三元一次方程组？
（1）一般解法：
a.首先通过联立初等变换，将方程组化简为一对含有两个未知量的方程组，然后求出这两个未知量的解；
b.然后将所求出的两个未知量替代其他变量，从而求得另一个未知量的解；
c.最后将所求出的三个未知量替代原方程组中的变量，核对检查原方程组是否满足，以确定方程组的解的唯一性。
（2）直接解法：
把三元一次方程组展开两个一元二次方程，两个一元二次方程涉及三个未知量，因此可列出简表（即代数体系和代数棋盘），该系统中三个未知量关联，共有4个以上空余变量，直接代入即可求解。
3、三元一次方程组的应用
主要作为数学模型，应用于解决社会经济、科学与技术等方面的实际问题。
具体应用如下：
（1）实际问题中的消费问题
消费者面前有着不同的产品，他需要选择出最有利的购物方案。
这种
情况用数学模型很容易就可以表达出来，譬如当面临物品A，B，C时，用来表示消费者有限资源时，所需要求最优解的问题，此时一般就是
三元一次方程组。
（2）网络交通规划问题
譬如在网络交通规划中，一般存在两个交通网络终点之间多条可选择
的交通线路，为确保较快到达终点可以用三元一次方程组解决。
（3）政策分析问题
三元一次方程组可用于对政策的分析，例如投资估算问题，企业管理
问题、教育研究提及水土保持研究等。
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劳动教养了身体，学习教养了心 灵。 —— 史密斯
3、进一步体会消元转化思想．
进入新课
自主探究
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共
计22元，其中1元的纸币的数量是2元纸币数量的4倍。
求1元、2元、5元纸币各多少张。 探究： （1）这个问题中包含有 三 个相等关系： 1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张 1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22 元 1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍 （2）这个问题中包含有 三 个未知数: 1元、2元、5元纸币的张数
的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做三
元一次方程。 2、含有三个未知数，每个方程中含未
知数的项的次数都是1，像这样的方程组叫
做三元一次方程组。
怎样解三元一次方程组？
三元一次方程组 消元 总 结
消元
二元一次方程组
一元一次方程
三元一次方程组求法步骤：
（也就是消去一个未知数） 1.化“三元”为“二元” 2.化“二元”为“一元”
7.3 三元一次方程组
及其解法
复习导入
什么叫做二元一次方程组?
方程组中含有两个未知数,且含未知数的项的次数是一 次，这样的方程组叫做二元一次方程组。
解二元一次方程组有哪几种方法？它 们的基本思想是什么？
消元
二元一次方程组
代入
加减
一元一次方程
学习目标：
1、了解三元一次方程组的定义； 2、掌握三元一次方程组的解法；
问题3：解方程组 3x 4 y 3z 3.................① 2 x 3 y 2 z 2.................② 5 x 3 y 4 z 22.............③
分析：三个方程中未知数的系数都 不是1或-1，用代入消元法比较麻 烦，可考虑用加减消元法求解。
把x=1,y=-3 代入④，得
z=7-3-6=-2 2 x 3 y 4(7 3x 2 y) 3 所以原方程组的解是 x 2 y 3(7 3x 2 y ) 1 x 1 整理，得 2 x y 5 y 3 z 2 5 x 2 y 11
交流探究
问题1 解方程组
x+y+z= 2 x-y+z= 0 x-z=4.
① ② ③
1 . 化“三元”为“二元”
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）
2.
化“二元”为“一元” 。
x+y+z=2, x-y+z=0, x-z=4.
解：
2x+2z=2 化简，得 x+z=1 ④
自主探究
你能根据等量关 系列出方程吗
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共
计22元，其中1元的纸币的数量是2 元纸币数量的4倍。 求1元、2元、5元纸币各多少张。
设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张
①、1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张 ②、1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元 ③、1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍
①
x+2y+5z=22 ② x=4y ③
x 8 y 2 z 2
3x+4z=7 ① 2x+3y+z=9 ② 5x-9y+7z=8 ③
x y 3 ① y z 5 ② z x 4 ③
x5 1 y 3 z 2
x 1 y 2 z 3
根据题意，可以得到下面三个方程： x+y+z=12 ①
x+2y+5z=22 x=4y ② ③
& 合作交流
x+y+z=12 ①
x+2y+5z=22 ② x=4y ③
观察方程①、②与二元一次方程（组）比较有什 么相同点？有什么不同点？请回答。
问题：1、什么叫三元一次方程？ 2、什么叫三元一次方程组？
1、都含有三个未知数，并且含有未知数
①＋②，得
,
5 3 x ,z 2 2 5 3 y ( ) 0 2 2
y=1
③+④,得 2x=5
5 2
x
5 2
5 z4 2
3 z 2
5 x 2 y 1 3 z 2
x+y+z=2, x-y+z=0, x-z=4.
课堂小结
说说你的 收获
(1)解三元一次方程组的基本方法是代入法和加 减法 ，加减法比较常用.
(2) 解三元一次方程组的基本思想是消元, 关键也是消元。我们一定要根据方程组 的特点,选准消元对象, 定好消元方案.
(3) 解完后要代入原方程组的三个方程中进行检验.
当堂训练，达标测评
1.解方程组：
3x y z 4 2 x 3 y z 12 x y z 6
3x 4 y 3z 3.................① 2 x 3 y 2 z 2.................② 5 x 3 y 4 z 22.............③
解： ③ - ②，得
3x+6z=-24 即 x+2z=-8 ④ ① ×3+ ② ×4，得 17x-17z=17 即 x-z=1 ⑤ 联立④，⑤，得 解得 x 2
z 3
将x=-2，z=-3代入方程②，得y=0. 所以原方程组的解是
x 2 y 0 z 3
x 2 z 8 x z 1
三元一次方程组
消元
求出第三个未知数的值
二元一次方程组
消元
求出第二个未知数的值
一元一次方程
求出第一个未知数的值
① ② ③
注：如果三个方程中有一个方程是二元一次 方程（如例1中的③），则可以先通过对另 外两个方程组进行消元，消元时就消去三个 元中这个二元一次方程（如例1中的③）中 缺少的那个元。缺某元，消某元。
在三元化二元时，对于具体方法的选取应 该注意选择最恰当、最简便的方法。
试一试
解方程组：
x+y+z=12
问题2：解方程组
2 x 3 y 4 z 3...........① 3 x 2 y z 7.............② x 2 y 3 z 1.............③
解：由方程②，得 z=7-3x+2y ④
将④分别代入方程①和③，得
x 1 解得 y 3
2. 在等式y=ax +bx+c中，当x=-2时,y=9；当x=0时， y=3；当x=2时，y=5。求a、b、c的值。
1 + (y + z - 2)2 + ｜x + z - 3 ｜ = 0求x、 y、 z的值。 3、若｜x + y -｜
作业
1.教材P41页 习题7.3第1,2题(上交作业B本)； 2.练习册本课时的习题（家庭作业P50-52页）.