三元一次方程组及其解法

①
x+2y+5z=22 ② x=4y ③
x 8 y 2 z 2
3x+4z=7 ① 2x+3y+z=9 ② 5x-9y+7z=8 ③
x y 3 ① y z 5 ② z x 4 ③
x5 1 y 3 z 2
x 1 y 2 z 3
① ② ③
注：如果三个方程中有一个方程是二元一次 方程（如例1中的③），则可以先通过对另 外两个方程组进行消元，消元时就消去三个 元中这个二元一次方程（如例1中的③）中 缺少的那个元。缺某元，消某元。
在三元化二元时，对于具体方法的选取应 该注意选择最恰当、最简便的方法。
试一试
解方程组：
x+y+z=12
3x 4 y 3z 3.................① 2 x 3 y 2 z 2.................② 5 x 3 y 4 z 22.............③
解： ③ - ②，得
3x+6z=-24 即 x+2z=-8 ④ ① ×3+ ② ×4，得 17x-17z=17 即 x-z=1 ⑤ 联立④，⑤，得 解得 x 2

问题3：解方程组 3x 4 y 3z 3.................① 2 x 3 y 2 z 2.................② 5 x 3 y 4 z 22.............③
分析：三个方程中未知数的系数都 不是1或-1，用代入消元法比较麻 烦，可考虑用加减消元法求解。
把x=1,y=-3 代入④，得
z=7-3-6=-2 2 x 3 y 4(7 3x 2 y) 3 所以原方程组的解是 x 2 y 3(7 3x 2 y ) 1 x 1 整理，得 2 x y 5 y 3 z 2 5 x 2 y 11
①＋②，得
,
5 3 x ,z 2 2 5 3 y ( ) 0 2 2
y=1
③+④,得 2x=5
5 2
x
5 2
5 z4 2
3 z 2
5 x 2 y 1 3 z 2
x+y+z=2, x-y+z=0, x-z=4.
问题2：解方程组
2 x 3 y 4 z 3...........① 3 x 2 y z 7.............② x 2 y 3 z 1.............③
解：由方程②，得 z=7-3x+2y ④
将④分别代入方程①和③，得
x 1 解得 y 3
3、进一步体会消元转化思想．
进入新课
自主探究
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共
计22元，其中1元的纸币的数量是2元纸币数量的4倍。
求1元、2元、5元纸币各多少张。 探究： （1）这个问题中包含有 三 个相等关系： 1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张 1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22 元 1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍 （2）这个问题中包含有 三 个未知数: 1元、2元、5元纸币的张数
自主探究
你能根据等量关 系列出方程吗
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共
计22元，其中1元的纸币的数量是2 元纸币数量的4倍。 求1元、2元、5元纸币各多少张。
设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张
①、1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张 ②、1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元 ③、1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍
的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做三
元一次方程。 2、含有三个未知数，每个方程中含未
知数的项的次数都是1，像这样的方程组叫
做三元一次方程组。
怎样解三元一次方程组？
三元一次方程组 消元 总 结
消元
二元一次方程组
一元一次方程
三元一次方程组求法步骤：
（也就是消去一个未知数） 1.化“三元”为“二元” 2.化“二元”为“一元”
课堂小结
说说你的 收获
(1)解三元一次方程组的基本方法是代入法和加 减法 ，加减法比较常用.
(2) 解三元一次方程组的基本思想是消元, 关键也是消元。我们一定要根据方程组 的特点,选准消元对象, 定好消元方案.
(3) 解完后要代入原方程组的三个方程中进行检验.
当堂训练，达标测评
1.解方程组：
3x y z 4 2 x 3 y z 12 x y z 6
2. 在等式y=ax +bx+c中，当x=-2时,y=9；当x=0时， y=3；当x=2时，y=5。求a、b、c的值。
1 + (y + z - 2)2 + ｜x + z - 3 ｜ = 0求x、 y、 z的值。 3、若｜x + y -｜
作业
1.教材P41页 习题7.3第1,2题(上交作业B本)； 2.练习册本课时的习题（家庭作业P50-52页）.
7.3 三元一次方程组
及其解法
复习导入
什么叫做二元一次方程组?
方程组中含有两个未知数,且含未知数的项的次数是一 次，这样的方程组叫做二元一次方程组。
解二元一次方程组有哪几种方法？它 们的基本思想是什么？
消元
二元一次方程组
代入
加减
一元一次方程
学习目标：
1、了解三元一次方程组的定义； 2、掌握三元一次方程组的解法；
根据题意，可以得到下面三个方程： x+y+z=12 ①
x+2y+5z=22 x=4y ② ③
来自百度文库
& 合作交流
x+y+z=12 ①
x+2y+5z=22 ② x=4y ③
观察方程①、②与二元一次方程（组）比较有什 么相同点？有什么不同点？请回答。
问题：1、什么叫三元一次方程？ 2、什么叫三元一次方程组？
1、都含有三个未知数，并且含有未知数
交流探究
问题1 解方程组
x+y+z= 2 x-y+z= 0 x-z=4.
① ② ③
1 . 化“三元”为“二元”
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）
2.
化“二元”为“一元” 。
x+y+z=2, x-y+z=0, x-z=4.
解：
2x+2z=2 化简，得 x+z=1 ④
z 3
将x=-2，z=-3代入方程②，得y=0. 所以原方程组的解是
x 2 y 0 z 3
x 2 z 8 x z 1
三元一次方程组
消元
求出第三个未知数的值
二元一次方程组
消元
求出第二个未知数的值
一元一次方程
求出第一个未知数的值
劳动教养了身体，学习教养了心 灵。 —— 史密斯