第二章点集论

（孤立点集必为有限集或可数集）
§3 开集，闭集，完备集
1、开集
定义：设 E Rn，如果E 的每一点都是E的内点，则称E为开集。 E为开集的充要条件是 E E ，即 E E
E为一集合，则 E 为开集
例如：（a,b)
开集性质：
[a,b) 有理数点集 U P0
任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。
2、欧几里得空间，欧几里得距离：
对R n 中的任意两点，x(1,2,...,n), y(1,2,...,n)规定距离
1
dx, y
n
i
i
2
2
i1
则 R n , d 称为n维欧几里得空间,其中 d 称为欧几里得距离。
3、邻域
R n 中所有和定点 P 0 之距离小于定数 0的点的全体，即集合
注意：任意多个开集的交不一定是开集。例如，
Gn11 n,11 n, n1,2,...是开集，但
Gn 1,1 不是开集，
n 1
k
G
n 1
n
是开集。
2、闭集 定义：设 E Rn，如果E 的每一个聚点都属于E，则称E为闭集。
E为闭集的充要条件是 E E(o r E E )
例如：[a,b]
闭集性质：
U P 0 , P |d P ,P 0
称为点 P 0 的 邻域，P 0 称为邻域的中心， 称为邻域的半径。
邻域性质：
（1） PU P （2）对于 U 1 P 和 U 2 P ，存在 U 3P U 1P U 2P （3）对于 QUP ，存在 U(Q)UP （4）对于 P Q ，存在 U P 和 U ( Q ) ，使 UPU(Q)
4、点列收敛
设{ P m }为 R n 中一点列，P0 R n ，如果当 n时有 d(Pm,P0) ，0
则称点列{ P m } 收敛于 P 0 ，即为

lim
m
Pm
P0
即：对于 P 0 的任一邻域 U ( P 0 ) ，存在某个自然数 N ，使得当 m N时，Pm U(P0)
P m P 0 ( m ) x i n x i( m ) , i 1 , 2 , . . . , n
(2)如果P 0 是 E 的内点，则称 P 0 为E的外点。
(3)如果 P 0 既非E的内点又非E的外点，也就是说：P 0 的任 意邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称P 0 为E 的界点或边界点。
注：从定义可知，E的内点一定属于E，E的外点一定不属于E；E的界点可以 属于E，也可以不属于E；E的内点与E的余集的外点是一致的；E的界点与E 的余集的界点是一致的。
3°有限集无聚点。
4°E的孤立点必为E的边界点，而E的边界点不是E的聚点，就是E的 孤立点。
E0,1, 12,..., 1n,...
E
1,
1,..., 2
1n,...
E 0,1
定理 1：下面三个陈述是等价的：
（1）P 0 是E的聚点； （2）P 0 的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P 0 的点。 （3）存在E中互异的点所成点列{ P n } ，使 PnP0(n) 3、开核、边界、导集、闭包
dx,0K 这里0=(0,…,0),称为n为空间的原点。
（4）开区间I： x 1 ,x 2 , . . . ,x n |a i x i b i,i 1 ,2 , . . . ,n
（5）区间I的体积 |I|：n (bi a i ) i1
§2 聚点，内点，界点
1、内点、外点和界点 (1)如果存在 P 0 的某一邻域 U ( P 0 ) ,使得 U(P0) E ,则称 P 0 为 E的内点。
2、聚点、孤立点
(1)设E是 R n 中一点集，P 0 为R n 中一定点，如果 P 0 的任一邻 域内部都含有无穷多个属于E的点，则称 P 0 为E的一个聚点。
(2)设E是 R n中一点集，P 0 为R n 中一定点，如果P 0 属于E但不 是E的聚点，则称 P 0 为E的一个孤立点。
注：1°聚点和孤立点是相对立的，但是应该注意，E的孤立点一定属 于E，而E的聚点未必属于E。 2°E的内点必为E的聚点，而E的聚点未必是E的内点，还可能是E的界点。
点列收敛等价于按坐标收敛。
5、点集间的距离
（1）两个非空点集A、B的距离定义为dA,Binfd(P,Q) PA QB
（2）一个非空点集E的直径定义为E supd(P,Q)
PE QE
（3）如果 E ，则称E为有界点集。空集也是有界点集。
E为有界点集的充要条件就是存在常数 K ，对所有 x E 有
（1）E的全体内点所成的集合，称为E的开核，记为 E （2）E的全体界点所成的集合，称为E的边界，记为 E
（3）E的全体聚点所成的集合，称为E的导集，记为 E （4）EE称为E的闭包，记为 E
4、开核、导集、闭包之间的关系
E E, E( E)
2A B A B ,A B , A B
[a,b) E{0,1,1,...,1,...} 2n
(1)任意多个闭集之交仍是闭集，有限多个闭集之和仍是闭集。
d (x ,y) 0 ,d (x ,y) 0 的充要条件为 x y d (x ,y ) d (x ,z) d (y ,z)对任意的 z 都成立， 则称 d ( x, y )是 x , y 之间的距离，称 ( X , d )为度量空间或距离空 间。X 中的元素称为点。 如果 ( X , d ) 是度量空间，Y 是 X 的一个非空子集，则( Y , d ) 也是一个度量空间，称为 ( X , d ) 的子空间。
3(A B)A B
定理 4 （Bolzano-Weierstrass定理）任意有界无穷点集 至少有一个聚点。
空集没有聚点也没有孤立点。
E
1,
1,..., 2
1n,...
E 0,1
例题 1 设 A R1 为非空集合，求证：
（1）若A是孤立点集，则 A a （2）A \ A a （3）若 A a ，则 A a
第二章 点集论
§1 度量空间，n维欧式空间 §2 聚点，内点，界点 §3 开集，闭集，完备集 §4 直线上的开集、闭集及完备集的构造
§1 度量空间，n维欧式空间
1、度量空间
设 X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x , y ,都有唯一确定 的实数 d ( x, y )与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：