正弦定理和余弦定理_PPT课件
合集下载
正弦定理(53张PPT)
系列丛书
课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
第一章 1.1 1.1.1
系列丛书
典例导悟
系列丛书
变式训练1
(1)一个三角形的两内角分别为45° 与60° ，
如果45° 角所对的边长是6，那么60° 角所对的边的边长为 ( ) A．3 6 C．3 3 B．3 2 D．2 6
1 (2)在△ABC中，若tanA＝ 3 ，C＝150° ，BC＝1，则AB ＝________.
人教A版· 数学· 必修5
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
第一章 1.1 1.1.1
系列丛书
(3)a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30° <90° 又∵bsinA＝6sin30° ＝3，a>bsinA ∴本题有两解． 由正弦定理得： bsinA 6sin30° 3 sinB＝ a ＝ ＝ 2 ，B＝60° 或120° ， 2 3 asinC 2 3sin90° 当B＝60° 时，C＝90° ，c＝ sinA ＝ sin30° ＝4 3； 当B＝120° 时，C＝30° ，
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
第一章 1.1 1.1.1
系列丛书
[点评]
依据条件中的边角关系判断三角形的形状
时，主要有以下两种途径： (1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因 式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形 状；
人教A版· 数学· 必修5
正弦定理和余弦定理课件PPT
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个 角的正弦.
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
正余弦定理课件
在△ABC 中，常有以下结论 (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)在三角形中大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；
sinA＋2 B＝cosC2；cosA＋2 B＝sinC2. (5)∠A>∠B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.
练习：1.[2016·上海模拟]在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC 的形状是( ) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
a2＋b2－c2 解析 由 sin2A＋sin2B<sin2C，得 a2＋b2<c2 所以 cosC＝ 2ab <0，
所以∠C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形，选 A.
三角 角和其他两条边
②已知两边和它们的夹
形的 ②已知两边和其中一边的对 角，求第三边和其他两个
问题 角，求另一边和其他两角 角
三角形中常用的面积公式
1．S＝21ah(h 表示边 a 上的高)． 2．S＝21bcsinA＝ 12acsinB＝12absinC .
3．S＝21r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．
因为 AB<BC，所以 C 为锐角，则 cosC＝ 1－sin2C＝
1－37＝27
7 .
因此 sin2C＝2sinC·cosC＝2×
721×27
7＝47
3 .
练习：
1．已知△ABC 中，a＝1，b＝ 2，B＝45°，则 A 等于(
解析 由正弦定理，得si1nA＝sin425°，得 sinA＝12.
余弦定理(55张PPT)
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定 a2>b2＋c2 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ a2＝b2＋c2 a2<b2＋c2 ____________，角A为锐角⇔____________.
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 __________________．
人教A版· 数学1.1.2
系列丛书
类型一 [例1]
利用余弦定理解三角形 在△ABC中，已知b＝3，c＝2 3，A＝30° ，求
边a、角C和角B.
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
系列丛书
正弦定理和余弦定理
第一章
解三角形
进入导航
系列丛书
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
若a，b，c分别是△ABC的顶点A，B，C所对的边 长，则 a2＝__________________ b2＋c2－2bccosA ，
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
第一章 1.1 1.1.2
系列丛书
3．怎样用余弦定理判断三角形的形状？
cosA=
b2＋c2－a2 2bc
提示：(1)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0° <A<90° ；反 之，若0° <A<90° ，则a2<b2＋c2. (2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90° ；反之，若A ＝90° ，则a2＝b2＋c2. (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90° <A<180° ；反之， 若90° <A<180° ，则a2>b2＋c2.
正弦定理和余弦定理ppt课件
总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理与余弦定理时PPT课件
第15页/共28页
• 解法二：已知等式变形为
• b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝ 2bccosB·cosC，
• ∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋ 2bccosB·cosC，
• ∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC • ＝(bcosC＋ccosB)2＝a2， • ∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
得aab2＋ ＝b62－ab＝7 ⇒aab2＋ ＝b62.＝13 7 分
消去 b 并整理得 a4－13a2＋36＝0， 解得 a2＝4，a2＝9.9 分
所以ab＝ ＝23 或ab＝ ＝32.
故 a＋b＝5.12 分 第19页/共28页
•变式训练4．若本例题中(2)的条件不变，
试求“△ABC内切圆的半径r”．
由bcb30bcsin303由正弦定理sinccsinbc60或120c60a90c120a30abc为等腰三角形abca3b4c373743边c最大则角c最大bc2ababcsinasinbsincsinasinbsinccosc2ab9t25t49t3t5t1201203ab2cosasinbsincabc180sincsina2cosasinbsinc2cosasinbsinacosbcosasinbsina根据余弦定理上式可化为coscabc为等边三角形由2cosasinbsinc得cosa2sinb2b3ab4bsinb2bccosbcoscabcsinccsinb2bccosbcoscb2sinbsinccosbcoscsinbsincsinbsinccosbcosccosbc0cosa02bccosbcosc2bccosbcoscbcoscccosbabc2csina
形，且角C为____直__角；a2＋b2>c2⇔△ABC是
• 解法二：已知等式变形为
• b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝ 2bccosB·cosC，
• ∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋ 2bccosB·cosC，
• ∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC • ＝(bcosC＋ccosB)2＝a2， • ∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
得aab2＋ ＝b62－ab＝7 ⇒aab2＋ ＝b62.＝13 7 分
消去 b 并整理得 a4－13a2＋36＝0， 解得 a2＝4，a2＝9.9 分
所以ab＝ ＝23 或ab＝ ＝32.
故 a＋b＝5.12 分 第19页/共28页
•变式训练4．若本例题中(2)的条件不变，
试求“△ABC内切圆的半径r”．
由bcb30bcsin303由正弦定理sinccsinbc60或120c60a90c120a30abc为等腰三角形abca3b4c373743边c最大则角c最大bc2ababcsinasinbsincsinasinbsinccosc2ab9t25t49t3t5t1201203ab2cosasinbsincabc180sincsina2cosasinbsinc2cosasinbsinacosbcosasinbsina根据余弦定理上式可化为coscabc为等边三角形由2cosasinbsinc得cosa2sinb2b3ab4bsinb2bccosbcoscabcsinccsinb2bccosbcoscb2sinbsinccosbcoscsinbsincsinbsinccosbcosccosbc0cosa02bccosbcosc2bccosbcoscbcoscccosbabc2csina
形，且角C为____直__角；a2＋b2>c2⇔△ABC是
6.4.3余弦定理与正弦定理课件(人教版)
所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
正弦定理
思考：怎么解决AAS型的解三角形问题？
例.在ABC中，已知角 A, B, 边a, 求边b.
A
c
b
C
a
B
b
a
若ABC为直角三角形，有 sin B, sin A
bsin C 72
2
sin B＝ c ＝50sin C>sin C＝ 2 .
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解.
反思感悟
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径
画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形
解的个数，解的个数见下表：
A为钝角
A为直角
所以
b 2 c 2 a 2 2ca cosC
余弦定理——向量法
余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两
边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
a b c 2bc cos C
2
2
2
b c a 2ca cos C
2
2
2
c a b 2ab cos C
C
B
图6.4-8
| c |2 (a b) (a b) a a b b 2a b a 2 b 2 2 | a | | b | cos C
c 2 a 2 b 2 2ab cosC
同理可得 a 2 b 2 c 2 2bc cosC
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
正弦定理
思考：怎么解决AAS型的解三角形问题？
例.在ABC中，已知角 A, B, 边a, 求边b.
A
c
b
C
a
B
b
a
若ABC为直角三角形，有 sin B, sin A
bsin C 72
2
sin B＝ c ＝50sin C>sin C＝ 2 .
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解.
反思感悟
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径
画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形
解的个数，解的个数见下表：
A为钝角
A为直角
所以
b 2 c 2 a 2 2ca cosC
余弦定理——向量法
余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两
边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
a b c 2bc cos C
2
2
2
b c a 2ca cos C
2
2
2
c a b 2ab cos C
C
B
图6.4-8
| c |2 (a b) (a b) a a b b 2a b a 2 b 2 2 | a | | b | cos C
c 2 a 2 b 2 2ab cosC
同理可得 a 2 b 2 c 2 2bc cosC
正弦定理和余弦定理-PPT课件
22
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
23
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
32
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
33
解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
27
[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
28
40
设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
41
[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
高三数学总复习《正弦定理与余弦定理》课件
答案:C
课时作业(三十) 正弦定理与余弦定理
一、选择题
12 1.(2009 全国Ⅱ已知 ) ABC中, cotA , 则cosA ( 5 12 5 5 12 A. B. C. D. 13 13 13 13 )
12 5 解析 :由cotA 知A为钝角, cosA . 5 13
解析 :由正弦定理 3sinBcosA cosAsinC cosCsinA 3 sin A C sinB,cosA . 3
3 答案 : 3
题型二 余弦定理的应用
例2 1 (2009 广东)在 ABC中, A、B、C的对边 分别为a、b、c, 若a c 6 2 , A 75, 则b ( A.2 B.4 2 3 C.4 2 3 ) D. 6 2
)
A.直角三角形,但不是等腰三角形
B.等腰三角形,但不是直角三角形
C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形
解析 :由正弦定理可知 又 a b c sinA sinB sinC
a b c , cosB sinB, cosC sinC, sinA cosB cosC 又B、C为 ABC的内角, B C 45 ABC为等腰直角三角形.
注意:要熟记一些常见结论,如:①三角形三内角A,B,C成等差 数列的充要条件是B=60°;
②若三内角的正弦值成等差数列,则三边也成等差数列;
③△ABC是正三角形的充要条件是三内角A,B,C成等差数列 且对应三边a,b,c成等比数列.
4.已知三角形的两边及一边的对角解三角形
(1)先判断三角形解的情况,在△ABC中,已知a,b,A时,判断方法
)
D.等腰或直角三角形
第六章6.4.3余弦定理、正弦定理PPT课件(人教版)
训练题
1.［2019·江西九江一中高一检测］若三角形的三边长之比是1∶ 3 ∶2，
则其所对角之比是（ A ） A.1∶2∶3 B.1∶ 3 ∶2 C.1∶ 2 ∶ 3 D. 2 ∶ 3 ∶2
2. ［2019·江西赣州五校高一联考］已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶ 6 ∶
（ 3 +1），求△ABC中各角的度数.
训练题
1. 2019·江西九江一中高一检测］设△ABC的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且cos A＝ 3 ，cos B＝ 5 ，b＝3，则c＝
5
13
14 5
.
2. ［2019·北京东城区高三二模］在△ABC中，A＝ ，a2+b2-c2＝ab， 4
c＝3，则C＝
3 ，a＝
6.
3.已知两边及一边的对角解三角形 例5在△ABC中，a＝ 3 ，b＝ 2 ，B＝45°，求A，C，c.
【解】 ∵ A＝45°，C＝30°，∴ B＝180°-（A+C）＝105°.
由 a ＝ c 得a＝ csinA ＝10 sin45 ＝10 2 .
sinA sinC
sinC
sin30
由 b ＝ c 得b＝ csinB ＝10 sin105 ＝20sin 75°.
sinB sinC
sinC
sin30
∵ sin 75°＝sin （30°+45°）＝sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°＝
【解】 由正弦定理及已知条件，有 3 ＝ 2 ，得sin A＝ 3 .
sinA sin45
2
∵ a>b，∴ A>B＝45°.∴ A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝180°-45°-60°＝75°，
《正弦定理余弦定理》课件
THANKS
感谢观看
REPORTING
基础习题2
基础习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所对 的边分别为a、b、c，若$a = 8, b = 10, C = 45^{circ}$，求边c。
在三角形ABC中，已知A=60°，a=3, b=4, 求角B的大小。
进阶习题
进阶习题1
在三角形ABC中，已知A=45°， a=5, b=5sqrt{2}, 求边c。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应角的正弦值的比等于其他两边的平方和与该边的平方的差的平 方根。余弦定理则是指在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去两倍的另一边与其对应角的 余弦值的乘积。
定理的推导过程
总结词
正弦定理和余弦定理的推导过程涉及到三角函数的定义、性质以及一些基本的 代数运算。
进阶习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 10, b = 8, C = 120^{circ}$，求 边c。
进阶习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 6, b = 8, C = 60^{circ}$，求边c。
综合习题
综合习题1
面积求解
总结词
余弦定理还可以用于计算三角形的面积，通过已知的两边及其夹角，使用面积公式进行计算。
详细描述
已知边a、边b和夹角C，可以使用余弦定理结合面积公式计算三角形ABC的面积，公式为：S = 1/2 ab sin(C)。
PART 04
正弦定理与余弦定理的对 比与联系
REPORTING
定理的异同点
详细描述
首先，利用三角函数的定义和性质，我们可以得到一些基本的等式。然后，通 过一系列的代数运算，将这些等式转化为正弦定理和余弦定理的形式。
正弦定理和余弦定理课件PPT
在钝角三角形 ABC 中，a＝1，b＝2，c＝t，且 C 是最大角，则 t 的取值范围是________．
[错解] ∵△ABC 是钝角三角形且 C 是最大角，∴C>90°， ∴cosC<0，∴cosC＝a2＋2ba2b－c2<0， ∴a2＋b2－c2<0，即 1＋4－t2<0. ∴t2>5.又 t>0，∴t> 5， 即 t 的取值范围为( 5，＋∞)．
sin A
3
y 4sin x 4sin( 2 x) 2 3 3
4 3 sin(x ) 2 3， 6
A ,0 B x 2 .
3
3
故 x ( , 5),sin(x ) (1 ,1］,
6 66
62
∴y的取值范围为 (4 3,6 3］.
正、余弦定理的综合应用 【名师指津】正、余弦定理的综合应用
(2)由于 a:b:c＝1: 3:2， 可设 a＝x，b＝ 3x，c＝2x. 由余弦定理的推论，得 cosA＝b2＋2cb2c－a2 ＝32x×2＋43xx2×－2xx2＝ 23，故 A＝30°. 同理可求得 cosB＝12，cosC＝0，所以 B＝60°，C＝90°.
已知三角形的三边长分别为 x2＋x＋1，x2－1 和 2x＋ 1(x>1)，求这个三角形的最大角．
∵∠ADC＝45°，DC＝2x， ∴在△ADC 中，根据余弦定理，得 AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos45°， AC2＝4x2－4x＋2， 又 AC＝ 2AB， ∴AC2＝2AB2， 即 x2－4x－1＝0，解得 x＝2± 5. ∵x>0，∴x＝2＋ 5，即 BD＝2＋ 5.
名师辨误做答
第一章
解三角形
第一章
1．1 正弦定理和余弦定理
人教版高中数学必修2《余弦定理》PPT课件
[微思考] 勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 2．解三角形的定义：
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形 的_元__素__．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_解__三__角__形__．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
2×( 6＋ 2)×2 3×cos 45°＝8，
所以 b＝2 2. 由 cos A＝b2＋2cb2c－a2，
得 cos A＝2
22＋ 6＋ 2×2 2×
22－2 6＋ 2
32＝12.
因为 0°<A<180°，所以 A＝60°.
(2)由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A ＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)， 所以 49＝64－2bc1－12，即 bc＝15. 由bbc＋＝c1＝58， 解得bc＝＝53， 或cb＝＝35.，
二、应用性——强调学以致用 2. 在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用
三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边长分别为 a，b，c， 则其面积 S＝ pp－ap－bp－c，这里 p＝a＋2b＋c.已知在△ABC 中， BC＝6，AB＝2AC，求当△ABC 的面积最大时，sin A 的值． [析题建模] 由海伦公式，结合基本不等式，求出△ABC 的面积最大时 边 AB 及 AC 的长．再由余弦定理求出 cos A，进而求出 sin A.
6．4.3 余弦定理、正弦定理
明确目标
发展素养
1.借助向量的运算，探索三角 1.通过对余弦定理、正弦定理的学习及运
形边长与角度的关系，掌握 用，提升直观想象、数学抽象和逻辑推
余弦定理、正弦定理．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
26
解法二:由余弦定理得:|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|·|BC|cosB,
即:4=12+|BC|2-2× ×|BC|× 2 3
3,
2
∴|BC|2-6|BC|+8=0,∴|BC|=2或|BC|=4.
(1)当|BC|=2时,S△=
1 |AB|·|BC|·sinB 2
16
2.VABC的边分别为a､b､c,且a 1, c 4 2, B 45,则VABC 的面积为( )
A.4 3 B.5
C.2
D.6 2
解析 : SVABC
1 2
acsinB
1 2
1 4
2 sin45 2.
答案:C
17
3.在VABC中,角A､B､C的对边分别为a、b、c, 若 a2 c2 b2
又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°, ∴∠D=30°,∴BD=BC,即 10t 6∴.t= 6小时≈15分钟.
10
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,
大约需要15分钟.
46
[评析]应用解三角形的知识解决实际问题的基本步骤是:(1) 根据题意,抽象或者构造出三角形;(2)确定实际问题所涉及 的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边和角的对 应关系;(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求 解;(4)给出结论.
32
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
33
解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
2.(1)仰角､俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上 方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.
(2)坡角､坡度:坡面与水平面的夹角叫做坡角;坡面的竖直高 度与水平宽度的比值叫做坡度.
36
3.测量角度问题,首先要明确方位角､方向角的含义:指北或指 南方向线与目标方向线所成的0°~90°的角叫做方向角: 从指正北方向线顺时针转到目标方向线所成的角度叫做方 位角.
13
7.△ABC的面积公式有
(1)S
1 2
agh a
(ha表示a边上的高);
(2)S 1 absinC 2R2sinAsinBsinC 1 a2 sinBsinC abc ;
2
2 sinA 4R
(3)S 1 r(a b c)(r为内切圆半径); 2
(4)S p( p a)( p b)( p c)[其中p 1 a b c].
7
8
4.测距离的应用
9
10
5.测高的应用
11
6.仰角､俯角､方位角､视角 (1)在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做
仰角,在水平线下方的角叫做俯角,如下左图所示.
12
(2)如上右图所示,P点的方向角为南偏东60°. (3)由物体两端射出的两条光线,在眼球内交叉而成的角叫做
视角.
sinC sinB
∴sinC=
ABsinB 2
31 2
3.
AC
2
2
由AB>AC知∠C>∠B,则∠C有两解.
25
(1)当C为锐角时,∠C=60°,∠A=90°,由三角形面积公式得:
S= AB·AC·sinA= 1 2 3
1
2
×2×sin90°= 2 3 .
(S2=)当12C2为A钝B角·时AC,∠·Cs=in12A0=°12,∠A2=330°2,由12 三角3,形面积公式得:
42
解斜三角形应用题的一般步骤是: ①准确理解题意,分清已知与所求; ②依题意画出示意图; ③分析与问题有关的三角形; ④运用正､余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的
答案; ⑤注意方程思想的运用; ⑥要把立体几何知识与平面几何知识综合运用.
43
[探究]如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处( 3 1) 海
30
【典例2】在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C 的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)•sin(A+B),试判断该 三角形的形状.
[分析]利用正、余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角 角关系.
31
[解]解法一:由已知(a2+b2)sin(A-B) =(a2-b2)•sin(A+B). 得a2[sin(A-B)-sin(A+B)] =b2[-sin(A+B)-sin(A-B)] ∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA. 由正弦定理得 sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA, 即sin2A•sinAsinB=sin2B•sinAsinB.
b2 c2 a2
cosA
;
2bc
cosB a2 c2 b2 ; 2ac
cosC a2 b2 c2 . 2ab
5
(3)勾股定理是余弦定理的特殊情况 在余弦定理表达式中分别令A､B､C为90°,则上述关系式分
别化为:a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2.
6
3.解斜三角形的类型 在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:
2R
2R
2
③asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA; ④a:b:c=sinA:sinB:sinC.
3
2.余弦定理 (1)余弦定理的内容 c2=b2+a2-2bacosC, b2=a2+c2-2accosB, a2=b2+c2-2bccosA.
4
(2)余弦定理的变形
关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出 三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.在两 种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提 取公因式,以免漏解.
35
类型三
测量高度和角度问题
解题准备:
1.在测量高度的问题中,要正确理解仰角､俯角和坡角､坡度等 特定的相关概念,画出准确的示意图.
走私船,则CD1=0 3
t海里,BD=10t海里,在△ABC中,
由余弦定理,有BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,
( 3 1 )2+22-2(
3 1 )·2·cos120°=6,
∴BC= 6 海里.
又∵ BC ACBiblioteka ,sinA∴sin∠ABC=
sinABACCgsinA
2gsin120o
里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海
里的C处的我方缉私船奉命10 以3
海里/小时的速度追截
走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度,从B处向北偏
东30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获
走私船?并求出所需时间.
44
[解]设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)
2,
BC
6
2
∴∠ABC=45°,∴B点在C点的正东方向上,
∴∠CBD=90°+30°=120°.
45
在△BCD中,由正弦定理,得
BD CD , sinBCD sinCBD
∴sin∠BCD=
BDgsinCBD 10tgsin120o 1 ,
CD
10 3t 2
∴∠BCD=30°,∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),
即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∴a=b或c2=a2+b2,
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
34
[反思感悟]判断三角形形状主要有如下两条途径: (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式
分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状; (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的
2
14
考点陪练
15
1.已知VABC中, a 2,b 3, B 60, 那么角A等于( )
A.135 B.90
C.45
D.30
解析 :由正弦定理 a b ,得 2 3 ,可得sinA 2 .
sinA sinB sinA 3
2
2
又a 2 b 3,所以A B,所以A 45.
答案:C
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
27
[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
28
类型二
判断三角形的形状
解题准备:1.这类题型主要是利用正､余弦定理及其变形,把题 设条件中的边､角关系转化为角或边的简单关系,从而进行 判断.
29
2.判断三角形的形状的思路大致有两种:一是化边为角,以角 为着眼点,利用正､余弦定理及变形,把已知条件转化为内角 三角函数之间的关系,走三角变形之路;二是化角为边,以边 为着眼点,利用正､余弦定理及变形,把已知条件转化为边的 关系,走代数变形之路.在运用这些方法对等式变形时,一般 两边不约去公因式,应移项提公因式,以免产生漏解.
2
2