复数的运算PPT课件

共轭虚数：虚部不为0的共轭复数。
特别地，实数的共轭复数是实数本身。
在复平面内,如果点Z表示复数 z ,点 Z 表 示复数 Z ,那么点Z和 Z 关于实轴对称. 复平面内与一对共轭复数对应的点Z 和 Z 关于实轴对称. Z :a+bi y
y
Z :a+bi
b o -b x
b -b
Z :a-bi
o
x
Z :a-bi
4、复数的除法法则 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
4、复数的除法法则
设 z1 a bi ， z 2 c di是任意两个复数， 那么它们的商
ac bd bc ad a bi c di 2 2 2 2 i c d c d
3、复数的乘方：
m , n N z , z , z C 对任何 1 2 及 ，有
z z z
m n
m n
mn
(z ) z n n n ( z1 z2 ) z1 z2
mn
特殊的有： i 1
3 2
i i 1
2
Z 一般地，如果 n n N ，有
i i i i
注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小? 答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.
即:若z1>z2 z1,z2∈R且z1>z2.
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复数的四则运算
复数的加法、减法、乘法运算与实
数的运算基本上没有区别，最主要的 是在运算中将i21结合到实际运算过 程中去。
、
2 3. 由于i2= (-i) = -1，知 i为-1的一个 平方根 、-1的另一个 平方根为-i
;
一般地，a(a>0)的平方根为 a 、 - a (a>0)的平方根为 a i
小数 实数 (b=0) 有理数 分数 正分数 零
负分数
无理数 不循环小数
4. 复数z=a+bi
(a、bR) 虚数 (b0)
4 n1
i i i i i 1
4 3
i 1, i
4n
i , i
4 n 2
1, i
4 n 3
i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须 在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并. 两个复数的积仍然是一个复数.
例2.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i)
那么它们的积
a bi c di (ac bd ) (ad bc )i
C 任何 z1 , z 2 , z 3 ， 交换律 z1 z2 z2 z1 结合律 ( z1 z 2 ) z 3 z1 ( z 2 z 3 )
分配律 z1 ( z 2 z 3 ) z1 z 2 z1 z 3
1.对虚数单位i 的规定
① i 2= -1; ②i 可以与实数一起进行四则运算,并且加、 乘法运算律不变.
2. 我们把形如a+b i(其中 a、b R )的数 称为 复数,
z=a+bi ， 其中a叫做复数 z 的 实部 记作： b叫做复数 z 的 虚部 . 全体复数集记 为 C .
有时把实部记成为Re(z);虚部记成为Im(z).
(5 6i) (2 i) (3 4i)
(5 6 i ) (2 i ) (3 4 i ) (5 2 3) (6 1 4) i 11i
2、复数的乘法法则： 设 z1 a bi ， z 2 c di是任意两个复数，
2
所以 x 3 ．
a bi 记做 (a bi ) (c di )或 . c di a bi (a bi)(c di) (a bi) (c di) c di (c di)(c di) ac bd (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母 都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式 (分母实数化).
例5.计算
1 2 i 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (1 2i )(3 4i ) (3 4i )(3 4i ) 3 8 6 i 4 i 5 10 i 2 2 3 4 25 1 2 i 5 5
例4
已知复数 x x 2 ( x 3x 2)i
2 2
是 4 20i 的共轭复数，求x的值． 解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i， 根据复数相等的定义，可得
x x 2 4, 2 x 3 x 2 20. x 3或x 2 解得 x 3或x 6
特别的当 a=0 时 纯虚数
a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 必要但不充分 条件.
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.
5. 两个复数相等
a c 设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则 z1=z2 b d ,
即实部等于实部,虚部等于虚部. 特别地，a+bi=0 a=b=0 .
1、复数的加法与减法
a bi c di a c b d i
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与 虚部分别相加(减).
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 例1.计算 解:
解:
(1 2i )(3 4i )( 2 i ) (11 2i )( 2 i ) 20 15i
例3.证明: (a bi)(a bi) a b (a, b R).
2 2
两个复数的和与积都是实数的充要条件是, 这两个复数互为共轭复数.
概念：共轭复数：实部相等，虚部互为相反数 的两个复数。