复数的运算PPT课件
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《复数四则运算》课件
复数的表示方法
总结词
复数可以用平面坐标系上的点来表示。
详细描述
每个复数$a + bi$都可以表示为平面坐标系上的一个点$(a, b)$。实部是x坐标 ,虚部是y坐标。
复数的几何意义
总结词
复数在几何上表示平面上的向量。
详细描述
实部表示向量的水平分量,虚部表示向量的垂直分量。复数的模表示向量的长度 。
减法
复数的减法通过加上相反数的 形式转化为加法。
乘法
复数的乘法通过分配律和结合 律进行计算,结果实部和虚部
分别进行计算。
除法
复数的除法通过乘以倒数的方 式进行,结果实部和虚部分别
进行计算。
运算的几何意义
加法
表示两个复数对应的向量进行向量加法。
乘法
表示一个复数对应的向量绕原点旋转或伸缩 。
减法
表示两个复数对应的向量进行向量减法。
除法运算
总结词
复数除法运算规则是将除数的共轭复数与被除数 相乘,再取结果的倒数。
举例
$frac{2+3i}{1-4i} = frac{(2+3i)(1+4i)}{(14i)(1+4i)} = frac{5i}{5} = i$。
详细描述
复数除法运算的规则是将除数的共轭复数与被除 数相乘,再取结果的倒数,即 $frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}$。
注意事项
在进行复数除法运算时,需要注意除数为零的情 况,即分母不能为零。
03
7.2复数的四则运算PPT课件(人教版)
解:(1)A,B,C 三点分别对应复数 1,2+i,-1+2i. 所以O→A,O→B,O→C对应的复数分别为 1,2+i,-1+2i(O 为坐 标原点), 所以O→A=(1,0),O→B=(2,1),O→C=(-1,2). 所以A→B=O→B-O→A=(1,1), A→C=O→C-O→A=(-2,2), B→C=O→C-O→B =(-3,1). 即A→B对应的复数为 1+i,A→C对应的复数为-2+2i,B→C对应的 复数为-3+i.
A.-1-1+i z(1 + i) = 2i , 得
z
=
2i 1+i
=
2i(1-i) (1+i)(1-i)
=
2i(12-i)=i(1-i)=1+i.
复数 z=14+ -ii的虚部为________. 解析:z=41- +ii=( (41- +ii) )( (11- -ii) )=3-2 5i=32-52i. 答案:-52
z1z2=__z_2_z1__
结合律
(z1z2)z3=__z_1_(z_2_z_3_) ____
乘法对加法的分配律
z1(z2+z3)=__z_1_z2_+__z_1_z3___
■名师点拨 对复数乘法的两点说明
(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似,可仿多项式乘法进行 运算,但结果要将实部、虚部分开(i2 换成-1). (2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立,乘法公式也适用.
复数的四则运算
第七章 复 数
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
第七章 复 数
考点 复数加法、 减法的运算
复数加法 的几何意义
学习目标 掌握复数代数形式的加法、 减法运算法则 理解复数代数形式的加法、 减法运算的几何意义
复数的加、减运算及其几何意义课件共17张PPT
= (5-2-3)+(-6-1-4)i = -11i.
例2 设 及 分别与复数z1=5+3i及复数z2=4+i对应,试计算
z1+z2,并在复平面内作出
.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例3 求复平面内两点 Z1(x1, y1), Z2(x2, y2)之间的距离.
分析: z2 - z1 = Z1Z2, |z2 - z1|=|Z1Z2|. 解: |Z1Z2|=|Z1Z2|=|z2 - z1| =|(x2 + y2i)-(x1 + y1i)| =|(x2 - x1)+(y2 - y1)i| = (x2 - x1)2 +(y2 - y1)2 .
同理可证: (z1 + z2)+ z3 = z1 +(z2 + z3).
实数加法的交换律、结合律在复数集C中依然成立.
一、复数的加、减运算
问题 类比实数减法的意义,你认为该如何定义复数的减法?
类
规定复数的减法是加法的逆运算.
比
复数的减法法则:
(a + bi)-(c + di) =(a - c)+(b - d)i.
3.若z1=2-i,z2=-1+2i,z1,z2在复平面上所对应的点分别为 Z1,Z2,这两点之间的距离为__________.
的几何意义吗? 复数减法的几何意义:
y Z2(c, d)
z = z1 - z2 OZ = OZ1 -OZ2
Z1(a, b)
O
x
复数的减法可以按照向量的减法来进行. 复数的减法符合向量减法的三角形法则.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i). 解: (5-6i)&加、减运算
例2 设 及 分别与复数z1=5+3i及复数z2=4+i对应,试计算
z1+z2,并在复平面内作出
.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例3 求复平面内两点 Z1(x1, y1), Z2(x2, y2)之间的距离.
分析: z2 - z1 = Z1Z2, |z2 - z1|=|Z1Z2|. 解: |Z1Z2|=|Z1Z2|=|z2 - z1| =|(x2 + y2i)-(x1 + y1i)| =|(x2 - x1)+(y2 - y1)i| = (x2 - x1)2 +(y2 - y1)2 .
同理可证: (z1 + z2)+ z3 = z1 +(z2 + z3).
实数加法的交换律、结合律在复数集C中依然成立.
一、复数的加、减运算
问题 类比实数减法的意义,你认为该如何定义复数的减法?
类
规定复数的减法是加法的逆运算.
比
复数的减法法则:
(a + bi)-(c + di) =(a - c)+(b - d)i.
3.若z1=2-i,z2=-1+2i,z1,z2在复平面上所对应的点分别为 Z1,Z2,这两点之间的距离为__________.
的几何意义吗? 复数减法的几何意义:
y Z2(c, d)
z = z1 - z2 OZ = OZ1 -OZ2
Z1(a, b)
O
x
复数的减法可以按照向量的减法来进行. 复数的减法符合向量减法的三角形法则.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i). 解: (5-6i)&加、减运算
高中数学一轮复习《复数》课件ppt(29张PPT)
解析 1-1 i=1+2 i=12+12i,其共轭复数为12-12i,
∴复数1-1 i的共轭复数对应的点的坐标为12,-12,位于第四象限,故选 D.
答案 D
5.(2019·全国Ⅲ卷)若z(1+i)=2i,则z=( )
A.-1-i
B.-1+i
C.1-i
D.1+i
解析 由 z(1+i)=2i,得 z=12+i i=(21i+(i1)- (1-i)i)=2i(12-i)=i(1-i)=1+i.
D.-
3 2i
解析 (1)∵z=(m2+m-6)+(m-2)i为纯虚数,
∴mm2-+2m≠-0,6=0,解得 m=-3,故选 D.
(2)∵z=1-
3i,∴-zz=z·-z-z2
=(1+|z|23i)2=1+2 43i-3=-12+
-
23i,∴zz的虚部
为 23.故选 C.
答案 (1)D (2)C
规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该 满足的条件,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式) 组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
建立平面直角坐标系来表示复数的 数;除了原点外,虚轴
复平面 平面叫做复平面,__x_轴___叫实轴,y 上的点都表示纯虚数,
轴叫虚轴
各象限内的点都表示
虚数
复数的 设O→Z对应的复数为 z=a+bi,则向量 模 O→Z的长度叫做复数 z=a+bi 的模
|z|=|a+bi|=__a_2_+__b_2
2.复数的几何意义
2.(新教材必修第二册 P69 例 1 改编)若复数 z=11++aii为纯虚数,则实数 a 的值为
复数的四则运算市公开课(一等奖)ppt课件
的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商,
记作
a bi
(a+bi)÷ (c+di) 或
c di
a c
bi di
(a (c
bi)(c di)(c
di)
di)本质:分母实数化,OK
ac
bd (bc c2 d2
ad
)i
ac c2
bd d2
【例3】求值:i i2 i3 i2009
解:原式 (i i2 i3 i4) (i5 i6 i7 i8) ... (i2005 i2006 i2007 i2008) i2009
0 i1 i
13
3. 共轭复数的概念、性质:
(1)定义: 实部相等,虚部互为相反数的两个复数
则(a bi)2 3 4i,
a2 2ab
b
2 4
3,
解得:ba
12,或ba
-2 .
-121
例3.设关于 x 的方程
x2 (tan i)x (2 i) 0 ( R)
若方程有实数根,求锐角 的值, 并求出
方程的所有根.
1 i
④1
⑤ i 2002+( 2 + 2 i)8 ( 2 )50
1i
⑤ -1+256 i
20
例2.
⑴、已知复数z的平方根为 3 + 4i ,求复数 z ;
⑵、求复数 z =3 + 4i 的平方根.
(1)由题意,知:z (3 4i)2,
7 24i.
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02
复数的应用
Chapter
电路分析中的应用
电路分析中,复数是一种常用的数学工具,用于描述交 流电路中的电压、电流和阻抗等参数。
通过使用复数表示,可以简化计算过程,方便分析和设 计电路。
复数在交流电路分析中的应用包括计算交流阻抗、交流 功率和交流电流等。
信号处理中的应用
在信号处理中,复数常用于表示和处 理信号,如频谱分析和滤波器设计等 。
复数在信号处理中的应用还包括数字 滤波器设计和数字信号处理算法的实 现等。
通过将信号表示为复数形式,可以方 便地进行信号的频域分析和处理,如 傅里叶变换和离散余弦变换等。
控制系统中的应用
在控制系统中,复数常用于描 述系统的传递函数和稳定性等 特性。
通过使用复数表示,可以方便 地分析系统的频率响应和稳定 性,以及设计控制系统的参数 。
实例
$2(cos frac{pi}{3} + i sin frac{pi}{3}) + 1(cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) = sqrt{3}(cos frac{7pi}{12} + i sin frac{7pi}{12})$。
指数形式的计算
定义
复数指数形式是 $re^{itheta}$,其中 $r$ 是模长,$theta$ 是辐角 。
复数课件ppt免费
目录
• 复数的基本概念 • 复数的应用 • 复数的计算方法 • 复数的历史发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
Chapter
复数的定义
总结词
复数是由实部和虚部构成的数,通常表示为a+bi,其中a是实部,b是虚部,i 是虚数单位。
《复数的四则运算》优质课PPT课件
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
【变式探究】
2.(1)若 a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则 a=( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
(2)复数 z=3-14-i1i+4 i2(其中 i 是虚数单位),则 z·-z 的值为
___________.
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
解:(1)由已知得 4a+(a2-4)i=-4i,
(3)复数相等的充要条件:
a+bi=c+di⇔__a_=__c_且___b_=__d___(a,b,c,d∈R).
特别地,a+bi=0⇔__a_=__b_=___0_ (a,b∈R).
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
2.复数的几何意义
(1)复平面:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面,x 轴叫
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
点评:(1)本题全面考查了复数的概念,主要考查了复 数的实部、虚部,复数的模、共轭复数等概念,考查了复 数乘、除等基本运算.
(2)处理复数的基本概念问题,常常要结合复数的运算 把复数化为 a+bi 的形式,然后从定义出发,把复数问题 转化为实数问题来处理.
复习目标
课前预习
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
解:(1)表示-z 的点与表示 z 的点关于实轴对称, 所以表示-z 的点为 B. (2)根据题意,画出示意图:
①因为 AD = BC = AC - AB ,所以 AD 对应的复数为 (-2+6i)-[(3+2i)-(1-2i)]=-4+2i. ②因为 OD - OA = AD ,所以 OD = OA + AD , 所以 D 对应的复数为(1-2i)+(-4+2i)=-3.
《复数的四则运算》专题精讲课件
+ = ,
+ = .
解得 = −, = ± .所以 = − ± ,
即方程 + + = 的根为 = − ± .
=
.③
= −.
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
典例6 在复数范围内解方程: + + = .
思路 本题考查复数四则运算的应用,在复数范围内解方程,复数范围内,利用实系数一
元二次方程 + + = ≠ 求解方法.
(1)求根公式法
①当 ⩾ 时, =
于的周期性要记熟,即 + + + + + + = ∈ ∗ .另外记住以下结果,
可提高运算速度:① +
由于
=
−
+
= , −
= −.②
−
+
=
+
−,
−
= −,所以 = − + − + − = −.
虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数,如 +
+ = − + , +
= +
= + + + =
− + − .
解析
−
=
−
−
2.复数加、减法的几何意义
如图所示,设复数 = + , = + ∈ 对应的向量分别为
, ,四边形 为平行四边形,则与 + 对应的向量是,与
+ = .
解得 = −, = ± .所以 = − ± ,
即方程 + + = 的根为 = − ± .
=
.③
= −.
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
典例6 在复数范围内解方程: + + = .
思路 本题考查复数四则运算的应用,在复数范围内解方程,复数范围内,利用实系数一
元二次方程 + + = ≠ 求解方法.
(1)求根公式法
①当 ⩾ 时, =
于的周期性要记熟,即 + + + + + + = ∈ ∗ .另外记住以下结果,
可提高运算速度:① +
由于
=
−
+
= , −
= −.②
−
+
=
+
−,
−
= −,所以 = − + − + − = −.
虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数,如 +
+ = − + , +
= +
= + + + =
− + − .
解析
−
=
−
−
2.复数加、减法的几何意义
如图所示,设复数 = + , = + ∈ 对应的向量分别为
, ,四边形 为平行四边形,则与 + 对应的向量是,与
《复数基础知识》课件
02
计算方法:利用三角函数的加Байду номын сангаас公式 和减法公式可以计算出复数的乘积和 商。
03
应用:复数的乘除运算是复数运算的 基本法则之一,它们在解决实际问题 中具有广泛的应用。
03
复数的应用
在电路分析中的应用
总结词
利用复数表示交流电的各种参数,如电压、电流、阻抗等,简化计算过程。
详细描述
在电路分析中,许多参数如电压、电流、阻抗等都是时间的函数,具有频率和相 位。利用复数表示这些参数,可以将实数和虚数部分合并,方便进行计算和比较 。通过复数运算,可以快速得到电路的响应,简化计算过程。
在信号处理中的应用
总结词
利用复数进行信号的频谱分析和滤波器设计。
详细描述
在信号处理中,频谱分析和滤波器设计是常见的任务。复数可以用于表示信号的频谱,使得频谱分析变得简单直 观。同时,利用复数进行滤波器设计,可以方便地实现低通、高通、带通等不同类型的滤波器。通过复数运算, 可以快速得到滤波器的响应,提高信号处理的效率。
利用复数的模和辐角,可以将任意复 数转换为三角形式。
复数的模与辐角
定义
复数的模定义为 $sqrt{a^2 + b^2}$, 辐角定义为 $arctan(frac{b}{a})$, 当$a > 0$时,辐角在 第一象限;当$a < 0$ 时,辐角在第三象限。
计算方法
利用勾股定理和反正切 函数可以计算出任意复 数的模和辐角。
控制工程
在控制工程中,系统的传递函数和 稳定性分析通常需要用到复数,以 描述系统的动态特性。
05
复数与实数的关系
复数与实数的转化关系
实数轴上每一个点都 可以对应一个复数, 反之亦然。
7.2.2复数的乘、除运算 课件(共32张PPT)
第七章 §7.2 复数的四则运算
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 复数的乘法及其运算律
12345
5.若复数z满足(3-4i)z=4+3i(i是虚数单位),则|z|=___1__. 解析 因为(3-4i)z=4+3i, 所以 z=43+-34ii=43+ -34ii33+ +44ii=2255i=i. 则|z|=1.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式,复数的乘法满足交换律、结合律 以及乘法对加法的分配律. (2)在进行复数代数形式的除法运算时,通常先将除法写成分式的形式,再把分子、 分母都乘以分母的共轭复数,化简后可得,类似于以前学习的分母有理化. 2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题. 3.复数问题实数化思想. 复 数 问 题 实 数 化 是 解 决 复 数 问 题 的 基 本 思 想 方 法 , 其 桥 梁 是 设 复 数 z = a + bi(a , b∈R),利用复数相等的充要条件转化.
(1)-4-3i; 解 -24--i3i=-24--i3i--4+4+3i3 i=-8+62i5+4i+3=-52+5 10i=-15+25i;
1+2i2+31-i
(2)
;
2+i
解 1+2i22++i31-i=-3+24+i+i 3-3i=2+i i=i25-i=15+25i.
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 复数的乘法及其运算律
12345
5.若复数z满足(3-4i)z=4+3i(i是虚数单位),则|z|=___1__. 解析 因为(3-4i)z=4+3i, 所以 z=43+-34ii=43+ -34ii33+ +44ii=2255i=i. 则|z|=1.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式,复数的乘法满足交换律、结合律 以及乘法对加法的分配律. (2)在进行复数代数形式的除法运算时,通常先将除法写成分式的形式,再把分子、 分母都乘以分母的共轭复数,化简后可得,类似于以前学习的分母有理化. 2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题. 3.复数问题实数化思想. 复 数 问 题 实 数 化 是 解 决 复 数 问 题 的 基 本 思 想 方 法 , 其 桥 梁 是 设 复 数 z = a + bi(a , b∈R),利用复数相等的充要条件转化.
(1)-4-3i; 解 -24--i3i=-24--i3i--4+4+3i3 i=-8+62i5+4i+3=-52+5 10i=-15+25i;
1+2i2+31-i
(2)
;
2+i
解 1+2i22++i31-i=-3+24+i+i 3-3i=2+i i=i25-i=15+25i.
《复数——复数的四则运算》数学教学PPT课件(4篇)
=(1-i)(1+i)-12+
3
2
i
=(1-i2)-12+
3
2
i
=2-12+ 23i=-1+ 3i.
第七章 复 数
栏目 导引
第七章 复 数
(2)选 D.因为 a-i 与 2+bi 互为共轭复数, 所以 a=2,b=1,所以(a+bi)2=(2+i)2=3+4i. (3)设 z=a+bi(a,b∈R),则-z =a-bi, 由已知得,(1+2i)(a-bi)=(a+2b)+(2a-b)i=4+3i,由复数相等 的条件知,a2+a-2bb==43,,解得 a=2,b=1, 所以 z=2+i.
复数 z=14+ -ii的虚部为________. 解析:z=41- +ii=( (41- +ii) )( (11- -ii) )=3-2 5i=32-52i. 答案:-52
栏目 导引
第七章 复 数
复数的乘法运算
(1)(1-i)-12+ 23i(1+i)=(
)
A.1+ 3i
B.-1+ 3i
C. 3+i
(2)
1+i 1-i
2
019
=
(1+i)(1+i) (1-i)(1+i)
2
9
=
2i
2
2
019
=
i2
019 =
(i4)504·i3=1504·(-i)=-i.
【答案】 (1)B (2)-i
栏目 导引
第七章 复 数
(1)i 的周期性要记熟,即 in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*). (2)记住以下结果,可提高运算速度. ①(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i. ②11- +ii=-i,11+ -ii=i. ③1i =-i.
《复数的四则运算》复数PPT课件(复数的乘、除运算)
答案:(1)C (2)A
必修第二册·人教数学A版
探究三 复数范围内解方程
[例 3] 在复数范围内解下列方程:
(1)2x2+3=0;(2)x2+3x+4=0;
(3)2x2+3x+c=0(c∈R).
[解析] (1)因为 x2=-32,所以 x=± 26i.
(2)配方,得(x+32)2=-74,
即 x+32=± 27i,
答案:(1)D (2)A
必修第二册·人教数学A版
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探究二 复数代数表示式的除法运算
[例 2] (1)若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i(i 是虚数单位),则 z 为( )
A.3+5i
B.3-5i
C.-3+5i
D.-3-5i
(2)设 i 是虚数单位,复数12+-aii为纯虚数,则实数 a 为(
4-b2 2 i.
必修第二册·人教数学A版
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形形色色的 in(n∈N*)值 [典例 1] 计算1-2-2i3i=_______.
►逻辑推理、数学运算
[解析]
1-2-2i3i=1-2+2ii=1-2+2ii11++
2i = 2i
2+2i+i+ 3
2i2=33i=i.
[答案] i
必修第二册·人教数学A版
A.2
1 B.2
C.-12
D.-2
(3)把复数 z 的共轭复数记作 z ,i 为虚数单位,若 z=1+i,则(1+z)·z =________
必修第二册·人教数学A版
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[解析] (1)i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i,故选 D. (2)(1+ai)(2+i)=2-a+(1+2a)i,要使复数为纯虚数,所以有 2-a=0,1+2a≠0, 解得 a=2. (3) z =1-i,(1+z)·z =(1+1+i)(1-i)=(2+i)(1-i)=3-i.
必修第二册·人教数学A版
探究三 复数范围内解方程
[例 3] 在复数范围内解下列方程:
(1)2x2+3=0;(2)x2+3x+4=0;
(3)2x2+3x+c=0(c∈R).
[解析] (1)因为 x2=-32,所以 x=± 26i.
(2)配方,得(x+32)2=-74,
即 x+32=± 27i,
答案:(1)D (2)A
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探究二 复数代数表示式的除法运算
[例 2] (1)若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i(i 是虚数单位),则 z 为( )
A.3+5i
B.3-5i
C.-3+5i
D.-3-5i
(2)设 i 是虚数单位,复数12+-aii为纯虚数,则实数 a 为(
4-b2 2 i.
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形形色色的 in(n∈N*)值 [典例 1] 计算1-2-2i3i=_______.
►逻辑推理、数学运算
[解析]
1-2-2i3i=1-2+2ii=1-2+2ii11++
2i = 2i
2+2i+i+ 3
2i2=33i=i.
[答案] i
必修第二册·人教数学A版
A.2
1 B.2
C.-12
D.-2
(3)把复数 z 的共轭复数记作 z ,i 为虚数单位,若 z=1+i,则(1+z)·z =________
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[解析] (1)i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i,故选 D. (2)(1+ai)(2+i)=2-a+(1+2a)i,要使复数为纯虚数,所以有 2-a=0,1+2a≠0, 解得 a=2. (3) z =1-i,(1+z)·z =(1+1+i)(1-i)=(2+i)(1-i)=3-i.
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义PPT课件(人教版)
(2)对角线C→A所表示的复数; (3)对角线O→B所表示的复数及O→B的长度. 解 (2)因为C→A=O→A-O→C, 所以C→A所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为对角线O→B=O→A+A→B=O→A+O→C, 所以O→B所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, 所以|O→B|= 12+62= 37.
【训练 2】 (1)已知复平面内的平面向量O→A,A→B表示的复数分别是-2+i,3+
2i,则|O→B|=____1_0___.
(2)若 z1=2+i,z2=3+ai,复数 z2-z1 所对应的点在第四象限内,则实数 a 的 取值范围是__(_-__∞_,__1_)__. 解析 (1)∵O→B=O→A+A→B, ∴O→B表示的复数为(-2+i)+(3+2i)=1+3i, ∴|O→B|= 12+32= 10. (2)z2-z1=1+(a-1)i, 由题意知a-1<0,即a<1.
2.已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2等于( B )
A.8i
B.6
C.6+8i D.6-8i
解析 根据复数的加法法则得z1+z2=(3+4i)+(3-4i)=6.
3.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于( D )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
【 训 练 3 】 设 复 数 z = a + bi(a , b∈R) , 1≤|z|≤2 , 则 |z + 1| 的 取 值 范 围 是 __[0_,__3_]__. 解析 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知,1≤|z|≤2表示如图所 示的圆环,而|z+1|表示复数z的对应点A(a,b)与复数z1=-1的对应点 B(-1,0)之间的距离,即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合 时,dmin=0,当点A与点C(2,0)重合时,dmax=3,∴0≤|z+1|≤3.
7.2.2 复数的乘除运算PPT课件(人教版)
∴虚部为1.
2
课堂互动
题型剖析
题型一 复数代数情势的乘法运算
【例1】 计算下列各题: (1)(1-i)(1+i)+(-1+i); (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i. 解 (1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i. (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i =(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i =(3+11i)(3-4i)+2i =(9-12i+33i-44i2)+2i =53+21i+2i=53+23i.
题型三 复数范围内解方程
【例3】 已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数). (1)求b,c的值; (2)试判断1-i是否为方程的根. 解 (1)∵1+i是方程x2+bx+c=0的根,∴(1+i)2+b(1+i)+c=0, 即(b+c)+(2+b)i=0. ∴b2+ +cb==00,,得bc==2-. 2,∴b=-2,c=2. (2)由(1)知方程为x2-2x+2=0,把1-i代入方程左边,得 x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立, ∴1-i也是方程的一个根.
A.1+2i
B.1-2i
C.2+i D.2-i
-
(2)若z (1+i)=1-i,则 z=( D )
A.1-i
B.1+i
C.-i D.i
解析 (1)31+ +ii=( (31+ +ii) )( (11- -ii) )=4-2 2i=2-i.
-
(2)由z (1+i)=1-i,
得-z=11- +ii=(1+(i1)-(i)1-2 i)=-i,故 z=i.
【训练 2】 (1)设 z=11- +ii+2i,则|z|=( C )
2
课堂互动
题型剖析
题型一 复数代数情势的乘法运算
【例1】 计算下列各题: (1)(1-i)(1+i)+(-1+i); (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i. 解 (1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i. (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i =(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i =(3+11i)(3-4i)+2i =(9-12i+33i-44i2)+2i =53+21i+2i=53+23i.
题型三 复数范围内解方程
【例3】 已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数). (1)求b,c的值; (2)试判断1-i是否为方程的根. 解 (1)∵1+i是方程x2+bx+c=0的根,∴(1+i)2+b(1+i)+c=0, 即(b+c)+(2+b)i=0. ∴b2+ +cb==00,,得bc==2-. 2,∴b=-2,c=2. (2)由(1)知方程为x2-2x+2=0,把1-i代入方程左边,得 x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立, ∴1-i也是方程的一个根.
A.1+2i
B.1-2i
C.2+i D.2-i
-
(2)若z (1+i)=1-i,则 z=( D )
A.1-i
B.1+i
C.-i D.i
解析 (1)31+ +ii=( (31+ +ii) )( (11- -ii) )=4-2 2i=2-i.
-
(2)由z (1+i)=1-i,
得-z=11- +ii=(1+(i1)-(i)1-2 i)=-i,故 z=i.
【训练 2】 (1)设 z=11- +ii+2i,则|z|=( C )
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那么它们的积
a bi c di (ac bd ) (ad bc )i
C 任何 z1 , z 2 , z 3 , 交换律 z1 z2 z2 z1 结合律 ( z1 z 2 ) z 3 z1 ( z 2 z 3 )
分配律 z1 ( z 2 z 3 ) z1 z 2 z1 z 3
4、复数的除法法则 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
4、复数的除法法则
设 z1 a bi , z 2 c di是任意两个复数, 那么它们的商
ac bd bc ad a bi c di 2 2 2 2 i c d c d
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母 都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式 (分母实数化).
例5.计算
1 2 i 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (1 2i )(3 4i ) (3 4i )(3 4i ) 3 8 6 i 4 i 5 10 i 2 2 3 4 25 1 2 i 5 5
特别的当 a=0 时 纯虚数
a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 必要但不充分 条件.
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.
5. 两个复数相等
a c 设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则 z1=z2 b d ,
即实部等于实部,虚部等于虚部. 特别地,a+bi=0 a=b=0 .
3、复数的乘方:
m , n N z , z , z C 对任何 1 2 及 ,有
z z z
m n
m n
mn
(z ) z n n n ( z1 z2 ) z1 z2
mn
特殊的有: i 1
3 2
i i 1
2
Z 一般地,如果 n n N ,有
i i i i
例4
已知复数 x x 2 ( x 3x 2)i
2 2
是 4 20i 的共轭复数,求x的值. 解:因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i, 根据复数相等的定义,可得
x x 2 4, 2 x 3 x 2 20. x 3或x 2 解得 x 3或x 6
1、复数的加法与减法
a bi c di a c b d i
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与 虚部分别相加(减).
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 例1.计算 解:
1.对虚数单位i 的规定
① i 2= -1; ②i 可以与实数一起进行四则运算,并且加、 乘法运算律不变.
2. 我们把形如a+b i(其中 a、b R )的数 称为 复数,
z=a+bi , 其中a叫做复数 z 的 实部 记作: b叫做复数 z 的 虚部 . 全体复数集记 为 C .
有时把实部记成为Re(z);虚部记成为Im(z).
、
2 3. 由于i2= (-i) = -1,知 i为-1的一个 平方根 、-1的另一个 平方根为-i
;
一般地,a(a>0)的平方根为 a 、 - a (a>0)的平方根为 a i
小数 实数 (b=0) 有理数 分数 正分数 零
负分数
无理数 不循环小数
4. 复数z=a+bi
(a、bR) 虚数 (b0)
注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小? 答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.
即:若z1>z2 z1,z2∈R且z1>z2.
复数的四则运算
复数的加法、减法、乘法运算与实
数的运算基本上没有区别,最主要的 是在运算中将i21结合到实际运算过 程中去。
4 n1
i i i i i 1
4 3
i 1, i
4n
i , i
4 n 2
1, i
4 n 3
i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须 在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并. 两个复数的积仍然是一个复数.
例2.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i)
共轭虚数:虚部不为0的共轭复数。
特别地,实数的共轭复数是实数本身。
在复平面内,如果点Z表示复数 z ,点 Z 表 示复数 Z ,那么点Z和 Z 关于实轴对称. 复平面内与一对共轭复数对应的点Z 和 Z 关于实轴对称. Z :a+bi y
y
Z :a+bi
b o -b x
b -b
Z :a-bi
o
x
Z :a-bi
(5 6i) (2 i) (3 4i)
(5 6 i ) (2 i ) (3 4 i ) (5 2 3) (6 1 4) i 11i
2、复数的乘法法则: 设 z1 a bi , z 2 c di是任意两个复数,
解:
(1 2i )(3 4i )( 2 i ) (11 2i )( 2 i ) 20 15i
例3.证明: (a bi)(a bi) a 要条件是, 这两个复数互为共轭复数.
概念:共轭复数:实部相等,虚部互为相反数 的两个复数。
2
所以 x 3 .
a bi 记做 (a bi ) (c di )或 . c di a bi (a bi)(c di) (a bi) (c di) c di (c di)(c di) ac bd (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
a bi c di (ac bd ) (ad bc )i
C 任何 z1 , z 2 , z 3 , 交换律 z1 z2 z2 z1 结合律 ( z1 z 2 ) z 3 z1 ( z 2 z 3 )
分配律 z1 ( z 2 z 3 ) z1 z 2 z1 z 3
4、复数的除法法则 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
4、复数的除法法则
设 z1 a bi , z 2 c di是任意两个复数, 那么它们的商
ac bd bc ad a bi c di 2 2 2 2 i c d c d
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母 都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式 (分母实数化).
例5.计算
1 2 i 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (1 2i )(3 4i ) (3 4i )(3 4i ) 3 8 6 i 4 i 5 10 i 2 2 3 4 25 1 2 i 5 5
特别的当 a=0 时 纯虚数
a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 必要但不充分 条件.
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.
5. 两个复数相等
a c 设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则 z1=z2 b d ,
即实部等于实部,虚部等于虚部. 特别地,a+bi=0 a=b=0 .
3、复数的乘方:
m , n N z , z , z C 对任何 1 2 及 ,有
z z z
m n
m n
mn
(z ) z n n n ( z1 z2 ) z1 z2
mn
特殊的有: i 1
3 2
i i 1
2
Z 一般地,如果 n n N ,有
i i i i
例4
已知复数 x x 2 ( x 3x 2)i
2 2
是 4 20i 的共轭复数,求x的值. 解:因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i, 根据复数相等的定义,可得
x x 2 4, 2 x 3 x 2 20. x 3或x 2 解得 x 3或x 6
1、复数的加法与减法
a bi c di a c b d i
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与 虚部分别相加(减).
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 例1.计算 解:
1.对虚数单位i 的规定
① i 2= -1; ②i 可以与实数一起进行四则运算,并且加、 乘法运算律不变.
2. 我们把形如a+b i(其中 a、b R )的数 称为 复数,
z=a+bi , 其中a叫做复数 z 的 实部 记作: b叫做复数 z 的 虚部 . 全体复数集记 为 C .
有时把实部记成为Re(z);虚部记成为Im(z).
、
2 3. 由于i2= (-i) = -1,知 i为-1的一个 平方根 、-1的另一个 平方根为-i
;
一般地,a(a>0)的平方根为 a 、 - a (a>0)的平方根为 a i
小数 实数 (b=0) 有理数 分数 正分数 零
负分数
无理数 不循环小数
4. 复数z=a+bi
(a、bR) 虚数 (b0)
注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小? 答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.
即:若z1>z2 z1,z2∈R且z1>z2.
复数的四则运算
复数的加法、减法、乘法运算与实
数的运算基本上没有区别,最主要的 是在运算中将i21结合到实际运算过 程中去。
4 n1
i i i i i 1
4 3
i 1, i
4n
i , i
4 n 2
1, i
4 n 3
i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须 在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并. 两个复数的积仍然是一个复数.
例2.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i)
共轭虚数:虚部不为0的共轭复数。
特别地,实数的共轭复数是实数本身。
在复平面内,如果点Z表示复数 z ,点 Z 表 示复数 Z ,那么点Z和 Z 关于实轴对称. 复平面内与一对共轭复数对应的点Z 和 Z 关于实轴对称. Z :a+bi y
y
Z :a+bi
b o -b x
b -b
Z :a-bi
o
x
Z :a-bi
(5 6i) (2 i) (3 4i)
(5 6 i ) (2 i ) (3 4 i ) (5 2 3) (6 1 4) i 11i
2、复数的乘法法则: 设 z1 a bi , z 2 c di是任意两个复数,
解:
(1 2i )(3 4i )( 2 i ) (11 2i )( 2 i ) 20 15i
例3.证明: (a bi)(a bi) a 要条件是, 这两个复数互为共轭复数.
概念:共轭复数:实部相等,虚部互为相反数 的两个复数。
2
所以 x 3 .
a bi 记做 (a bi ) (c di )或 . c di a bi (a bi)(c di) (a bi) (c di) c di (c di)(c di) ac bd (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d