第2章+选址模型及应用

38
模型
min xj jN
s.t.
yij 1,
jB (i )
iN
di yij C j x j , j N
iA( j )
xj {0,1},
iN
yij 0,
jN
(2 -17)
(2 -18) (2 -19) (2 - 20) (2-21)
39
例2
• 卫生部门计划在某地区的9个村增加一系列 诊所（图2-10）。它希望每个村周围30km 范围内至少有一个诊所，而且不考虑诊所 能力的限制。除了第6个村子外，其它的村 子都可以建诊所。卫生部门要确定建多少 诊所，分别建在哪里。
19
例 商店选址(续)
• 对上面两式微分，并令微分值等于零，可 以得到解：
dZ
ds
s i0
wi
n
wi
i s 1
0
dZ s
L
w(x)dx w(x)dx
ds x0
xs
(2.5) (2.6)
20
2.5.1 连续点选址模型
2.5.1.1 交叉中值型(Cross Median)
n
z wi | xi xs | | yi ys | (2.7) i 1
45
– yij：节点i需求中被分配给j点设施的百分比。
1, 节点j有设施 xj 0,节点j没有设施
46
max
di yij
jN iA( j )
s.t.
yij 1,
jB ( i )
iN
di yij C j x j , j N
iA( j )
xj p
jN
x j {0,1},
iN
yij 0,
34
2.5.2 离散点选址模型
• 离散点选址模型是指在有限的候选位置里 面，选取最为合适的一个或者一组位置为 最优方案的模型。
• 分类：
覆盖模型
集合覆盖模型 最大覆盖模型
P 中值模型
35
2.5.2.1 覆盖模型
36
37
2.5.2.1.1 集合覆盖模型
• 用尽可能少的设施覆盖所有需求点
– 设施候选停放点为所有的需求点
– 本例的贪婪算法显然没有达到最优值,算法有问 题么?
52
一个复杂的例子
• 基于禁忌搜的救护车选址问题
53
2.5.2.2 P—中值模型
• 已知:
– 需求点的位置和需求量 – 设施数量p – 候选位置
24
表2-1 需求点对应的权重
需求点
x坐标
1
3
2
5
3
4
4
2
5
1
W
1 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
n i 1
wi
y坐标 1 2 3 4 5
权重wi 1 7 3 3 6
25
需求点 x坐标 wi 从左到右
5
1 6=6
4
2 6+3=9
1
3 6+3+1=10
3
4
2
5
从右到左
2
5 7=7
3
4 7+3=10
1
3
4
2
5
1
表 2 ｜ 2 x 轴 方 向 的 中 值 计 算
40
41
• 解题步骤
– 找到每个村子建立卫生所的覆盖集A(j)（如表26所示）；
– 在所有的A(j)中去掉一些被包含的子集； – 在剩下的集合中确定最佳位置；
42
表2-6 候选位置的服务范围
村编号 A(j)
1
1,2,3,4
2
1,2,3
3
1,2,3,4,5
4
1,3,4,5,6,7
5
3,4,5,6
29
2.5.1.2 精确重心法
n
1/ 2
min z wi (xi xs )2 ( yi ys )2
i1
n wi xi
xs
i 1 n
dis wi
d i1 is
n wi yi
ys
i 1 n
dis wi
d i1 is
(2.10)
(2-11)
(2-12)
30
dis
(xi
xs )2
( yi
0.5
wixi /dis(i-1), wiyi /dis(i-1) 1.5,0.5
2 (5,2) 7 2.24 3.13 15.63, 6.25
34 5 (4,3) (2,4) (1,5) 33 6 1 1.41 2.82 3 2.13 2.13 12,9 4.25, 2.13,
8.5 10.63
• 使用式2-13，2-14，带入初值(3,3)得到 （3.26, 3.20）。使用matlab编程，可以求 得最优点是(3.9273,2.9793)。
– 第二步：找到一个点使得该点覆盖的村最多； 然后从A中删除该点，在S中增加该点，删除该 点所覆盖的村庄；重复第二步直到A为空集或 者S中的个数满足了约束。
48
贪婪算法求解过程
初始化
村编号 3 4 8
A(j) 1,2,3,4,5 1,3,4,5,6,7 6,7,8,9
需要覆盖的村庄 1,2,3,4,5, 6,7,8,9
6
7
4,6,7,8,9
8
6,7,8,9
9
8,9
B(i) 1,2,3,4 1,2,3 1,2,3,4,5 1,3,4,5,7 3,4,5 4,5,7,8 4,7,8,9 7,8,9 8,9
A(j):每个村子可以提供 的服务
B（i）可以给该村提供 服务的村子
43
• 讨论
– 试对本例建立一个数学模型 – 表2-6中的B(i)有何作用？
ys
)
2
1/
2
1/ 2
d is( i1)
(xi
x )2 s( i1)
( yi
2
y ) s(i1)
31
n wi xi
d i1 is(i1)
x si
n
wi
d i1 is(i1)
n wi yi
d i1 is(i1)
y si
n
wi
d i1 is(i1)
(2-11)
(2-12)
32
• 迭代终止规则
0
5
6
7
2.5
3.5
5.5
反中心点 中心点
中值
13
2.3.3 选址成本(续)
• 固定权重与可变权重 • 被定位设施间有无相互联系 • 确定性与随机性 • 静态与动态
14
2.4 选址问题中的距离计算
• 直线距离（欧几里得距离）
diEj (xi x j )2 ( yi y j )2
• 折线距离（城市距离）
jN
(2 - 22)
(2 - 23) (2 - 24) (2 - 25) (2 - 26) (2 - 27)
47
• 以例2的数据为例，假设只允许建立两个卫 生所，怎样选址使得覆盖的村庄最多？
• 用贪婪算法求解
– 首先得到处理过的候选集A＝{3,4,8}，并且令S 表示最后选定的位置，初始化S={Ф} ；
第二章 选址模型及应用
• 选址的意义 • 选址决策的影响因素 • 选址模型的分类 • 选址问题中的距离计算 • 选址模型 • 实例分析
1
2.1选址的意义
• 定义
– 选址决策就是确定所要分配的设施的数量、位 置及分配方案。
• 意义
– 就单个企业而言，它决定了整个物流系统及其 它层次的结构。
– 影响物流成本：库存、运输（图2.1,2.2） – 核心企业的选址影响供应物流系统选址
1
2121
313
2
3 7 21 2
2 7 14
3
1333
030
4
2364
339
5
4 6 24 5
5 6 30
56
56
28
• 最优解是点(3,3)到点(4,3)间的线段上任意 点
• 讨论
– 经过10年后，在该地区又增加了2个小区，分 别位于(3,7)和(1,6)，它们的人口权重wi分别是2， 5。现在需要搬家，试确定新的最佳位置
– N={1, 2, … , n}，所有的需求点；
– di：第i个节点的需求量； – Cj：设施节点j的容量； – A(j)：设施节点j所覆盖的需求点集合；
– B(i)={j|iA(j)}：可以覆盖节点i的设施的集合；
– yij：节点i需求中被分配给j点设施的百分比。
1, 节点j有设施
xj 0,节点j没有设施
➢wi：与第i个点对应的权重（例如需求）； ➢(xi, yi)：第i个点的坐标； ➢(xs, ys)：设施服务点的坐标； ➢n：需求点的总数目
21
n
n
z wi | xi xs | wi | yi ys |
i 1
i 1
(2.8)
• 本模型的解是：
– xs是x方向的对所有权重wi的中值点； – ys是y方向的对所有权重wi的中值点；
机变量；
– xs ：表示所选择点的坐标（介于第s个点和第 s+1个点之间）
n
min z wi | xs xi |
(2.3)
i0
18
例 商店选址(续)
• 如果顾客可以出现在这条街的任一个点x， 且每个点x上出现顾客的随机变量是w(x)。 假设街道长为L，商店选在s点。
s
L
min z 0 w(x)(s x)ds s w(x)(s x)ds (2.4)
22
例2.1 报刊亭选址
• 一个报刊连锁公司想在一个地区开设一个 新的报刊零售点，主要的服务对象是附近 的5个小区的居民。图2-6笛卡尔坐标系表 示了这些小区的坐标。表2-1显示各点的坐 标值和权重（根据各小区的人数确定）。 要求确定报刊亭的位置，使得每个月顾客 到报刊亭所行走的距离总和最小。
23
– 成本 – 服务水平
7
2.2.3 案例分析
• 肯德基的选址秘笈
– 本案例中考虑了那些因素？这些因素和我们刚 才讲过的因素怎样对应？
– 商圈的成熟度和稳定度、聚客点、人流的主要 动线怎样影响肯德基的选址？
– 肯德基选址使用选址模型么？ – 如果要开一家中餐馆、物流中心、超市、银行
等，你认为肯德基的方法、指标那些是可以借 鉴的？哪些是不同的？
44
2.5.2.1.2 最大覆盖模型
• 服务设施有限的前提下，最大化提供服务
– 设施候选停放点为所有的需求点 – N={1, 2, … , n}，所有的需求点； – di：第i个节点的需求量； – Cj：设施节点j的容量； – A(j)：设施节点j所覆盖的需求点集合； – B(i)={j|iA(j)}：可以覆盖节点i的设施的集合； – p：设施数目
• A=｛3，4，8｝，S＝｛Ф｝
49
第一次循环
村编号 3 8
A(j) 1,2,3,4,5 6,7,8,9
需要覆盖的村庄 2,8,9
• A=｛3，8｝，S＝｛4｝
50
第二次循环
村编号 3
A(j) 1,2,3,4,5
需要覆盖的村庄 2
• A=｛3｝，S＝｛4，8｝ • 结束，村庄2未被满足
51
• 讨论
8
2.3 选址模型的分类
• 被定位设施的维度及数量 • 选址问题目标区域的特征 • 选址成本 • 选址约束
9
2.3.1被定位设施的维度及数量
• 根据设施的维度
– 体选址 – 面选址 – 线选址 – 点选址 – 更高维度的选址
• 设施选址的数量
– 单一设施 – 多设施
10
2.3.2 选址问题目标区域的特征
• 连续选址 • 网格选址 • 离散选址
11
2.3.3 选址成本
• Minisum目标函数
min x
j
Cj (X )
– X：新的待定设施物体的坐标
– j：已存在且位置固定的物体的编号
– Cj(X)：j到X的成本
• minmax目标函数
• maxmin目标函数
12
三种中心的例子
minisum minmax maxmin
2
3
4
2.2 选址决策的影响因素
• 外部因素：宏观政治及经济因素、基础设 施及环境、竞争对手等
• 内部因素：企业的发展战略、产品、技术 或服务的特征
5
2.2.1外部因素分析
• 宏观政治及经济因素
– 宏观政治因素包括：政权是否稳定、法制是否 健全、是否存在贸易禁运政策等。
– 宏观经济因素包括：税收政策、关税、汇率等
• 基础设施及环境
– 基础设施包括交通设施、通信设施等 – 环境包括自然环境、社会环境（劳动力成本、
素质）
• 竞争对手
– 远离还是靠近？
6
2.2.2 内部因素分析
• 选址决策要与企业的发展战略相适应
– 制造业
• 高技术→高素质 • 劳动力密集→低人力成本
– 商业及服务业
• 便利店：人口密集、面积小 • 超市、批发市场：不需要人口密集、面积大
26
需求点 y坐标 wi 从上到下
5
5 6=6
4
4 6+3=9
3
3 6+3+3=12
2
2
1
1
从上到下
1
1 1=1
2
2 1+7=8
3
3 1＋7＋3＝11
4
4
5
5
表 2 ｜ 3 y 轴 方 向 的 中 值 计 算
27
表2-4 位置A、B间的加权距离比较
位置A(3,3)
位置B(4,3)
需求点 距离 权重 总和 需求点 距离 权重 总和
– N步之后停止 – 迭代结果变化小于给定值之后
xs | xsi xs(i1) | xslimit
ys | ysi ys(i1) | yslimit
(2-15) (2-16)
33
表2-5 精确重心法计算
需求点(i)
1
位置(xi,yi) 权重(wi)
(3,1) 1
(dis(i-1))
2
wi /dis(i-1)
diRj | xi xj | | yi yj |
15
16
2.5 选址模型
• 商店选址：在一条直线上（街道）选个商 店的位置，使得所有顾客到商店的平均距 离最短
– 是选在中间位置么？
17
例 商店选址(续)
• 如果顾客只出现在n个点上，商店选在其中 一个点上。假设：
– xi ：表示第i个点坐标； – Wi ：一段时间内，第i个点上出现顾客数量的随