第60讲 非负数的性质
非负数及其应用
(
)(
)
= −5+ 2 6
(第四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题） 第四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题） 第四届
[例3]
2u − v v − 2u 解： Q ≥ 0, ≥ 0. 4 u + 3v 4 u + 3v
∴ 2 u − v = 0. 即v = 2u.
v − 2u 3 2u − v 若u、、满足v = + + ， 4u + 3v 4u + 3v 2 2 2 求u − uv + v 的值.
定理
定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称 如果两个图形关于某直线对称， 定理 轴是对称点连线的垂直平分线。 轴是对称点连线的垂直平分线。 定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对 两个图形关于某直线对称， 定理 称直线或延长线相交，那么交点在对称轴上。 称直线或延长线相交，那么交点在对称轴上。
(
)
则 a − b ＞0.
2
(
( )
2
−2 a • b +
)
( )
b = −
2
(
a− b .
)
2
2
2 ab − a − b = =
( − a) + 2 − a ( − a + − b)
2 2
−b + −b
( )
2
Hale Waihona Puke = − a + −b.
(1997年重庆市初中数学竞赛决赛试题） 年重庆市初中数学竞赛决赛试题） 年重庆市初中数学竞赛决赛试题
[例2] 已知
解： Q
b a−b−2 3 +(a+b−2 2) =0,求 的值 。 a
非负数的性质
非负数的性质（两小时）【知识要点】1．二次根式的基本性质（式子a （a ≥0），叫做二次根式）。
2 对于非负数a ，有（a ）2=a （1）对于任意实数，则==a a 22、非负数即正数和0。
如果a 是实数，那么a ，)0(,2≥a a a 都是非负数，非负数主要的性质有： （1）非负数的和或积仍是非负数；（2）如果非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0。
【典型例题】例1、已知：25250x y x y +-+--=，（1）求x 与y 的值； （2）求y x +的平方根。
例2、若()2120a ab -+-=， 求()()()()1111119901990ab a b a b +++++++的值。
例3、若u,v 满足22343432u v v u v u v u v --=++++，求22u uv v -+的值。
a (a ﹥0)0 (a ﹦0)﹣a (a ﹤0)例4、已知a 、b 为实数，且224250a b a b +--+=，求1ab -的值。
例5、若m 适合关系式y x y x m y x m y x --∙+-=-++--+19919932253。
试确定m 的值。
思考题：设a 、b 为实数，求2072416178222+--+-=b a b ab a P 的最小值，并求P 取得最小值时a 、b 的取值。
【练习与拓展】1、m -是有理数时，一定有（ ）A ．m 是完全平方数B ．m 是负有理数C ．m 是一个完全平方数的相反数D ．m 是一个负整数 2、计算2-a +a -2等于（ ）A ．0．B ．4-2aC ．4D ．2a-4 3、若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为（ ） A.0. B.1. C.-1. D.-4.4、a 、b 、c 为三角形的三边长，化简a b c a b c a b c a b c ++-----+-+-的结果是（ ）A 、0B 、222a b c ++C 、4aD 、22b c -5、设等式()()a x a a y a x a a y -+-=---在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y+--+的值是（ ）A 、3B 、13 C 、2 D 、536、若式子2)4(a --有意义，则满足条件的a 有（ ）A 、0个B 、1个C 、4个D 、无数个7、若014)2003(2=++-y x ，则=+--y y x 3)2(102 。
非负数的性质及应用--华师大版
若a、b满足3 a 5 b 7,则S 2 a 3 b 的取值范围是_____
[一点就通]将条件和结论的两个等式看作关于 a, b 的方程组, 利用其有界性求出S的范围.
若a、b满足3 a 5 b 7,则S 2 a 3 b 的取值范围是_____
解:3 a 5 b 7
abx
c
ABX
C
已知a b c,求y x a x b x c 的最小值.
x
abx
c
ABX
C
显然,当X 点与B点重合时,
( B点在A、C之间), 该距离和y是最小.
这时,y= x-a x b x c
xa xc
xacx a c 所以, y的最小值等于c a.
原式 a (a b) c (b c)
aabcbc
2c
设实数x、y、z满足x y z 4( x 5 y 4 z 3), 则x _______, y ______, z _______
[一点就通]利用拆项或添项配方的办法将条件转化为几个非负数 之和为零的形式,即a2 b c 0,再由几个非负数之和为零则每 个非负数必须为零来解决.
设实数x、y、z满足x y z 4( x 5 y 4 z 3), 则x _______, y ______, z _______
解 :由原方程, 得 x yz4 x54 y44 z3 x4 x5 y4 y4z4 z30 [( x 5)2 4 x 5 4][( y 4)2 4 y 4 4][( z 3)2 4 z 3 4] 0 ( x 5 2)2 ( y 4 2)2 ( z 3 2)2 0 即 x 5 2 0, y 4 2 0, z 3 2 0, 解得 : x 9, y 8, z 7
非负数性质的应用及相关题型书写格式的规范
作者： 段和平
作者机构： 忻州师范学院附属外国语中学,山西忻州034000
出版物刊名： 忻州师范学院学报
页码： 134-134页
主题词： 书写格式 负数 性质 应用 题型 学习过程 偶次幂 绝对值
摘要：非负数就是一类不是负数的数，在初中学习过程中有关非负数性质的应用往往是一个难点。
其实在初中我们学过的非负数只有三种形式，即偶次幂、绝对值、和偶次方根。
在学习过程中如果把每个非负数比成一个有或没有苹果的篮子，不但容易理解，书写格式也能得到意想不到的规范。
非负数有几个性质，比如：最小值为0；几个非负数相加或相乘结果仍是非负数；几个非负数和为0，则每个加数都为0；几个非负数积为0，则至少有一个乘数为0。
绝对值和平方的非负性
数轴上表示数a的点与原点的距离 叫做数a的绝对值，记做|a|．
这里的数a可以是正数，负数或0.
一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0.
互为相反数的两个数的绝对值相等。
（1）当a＞0，|a|＝a；
（2）当a＜0，|a|＝－a； a 0
（3）当a＝0，|a|＝0.
绝对值的非负性
任何一个有理数的绝对值都是正数或0（非负数）
即
（1）如果 a≥0, （2）如果 a≤0
, 那么|a|＝a； ，那么|a|＝－a；
反过来 （3）如果 |a|＝a ,
那么 a≥0,
(4) 如果 |a|＝－a， 那么 a≤0
知识复习
乘方的 求ｎ个相同因数积的运算叫做乘方.
意义
1、正数的任何次幂都是_正__数__
例2 、 │a－2│和 │b+3│互为相反数,求a， b的值。
解：∵ │a－2│ ≥0， │b+3│ ≥0 且│a－2│+ │b+3│=0 ∴ │a－2│ =0, │b+3│ =0 ∴ a－2 =0， b+3 =0 ∴a =2， b =3
例3 、已知|x－4|+ |1－y| ＝0，求3x＋4y 的值.
符 2、负数的奇数次幂都是_负__数__
号 法
偶数次幂都是_正__数__
则
3、0的任何正整数次幂都是_0___
4、1的任何次幂等于1．
非负数的概念：0和正数统称为非负数。
非负数的性质：
如果几个非负数的和等于0， 那么每一个非负数都必须等于0.
例题讲解
例1、│a│+ │b│=0,求a，b的值。 解：∵ │a│≥0， │b│ ≥0 且│a│+ │b│=0 ∴ │a│=0 ,│b│=0 ∴ a=0,b=0
培优专题3 非负数的性质及应用(含解答)-
培优专题3 非负数的性质及应用一个实数的绝对值、偶次方，一个非负数的偶次算术根（这里主要指算术平方根）都是非负数．非负数有一个重要性质：若几个非负数的和等于零，则只有在每个非负数均为零时，等式成立，这个性质应用特别广泛，它不但可以启迪我们的思维，还可以让我们感觉到数学变形的美妙．例1实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图3-1所示，化简a+│a+b ││b-c │． 分析 此题化简的关键是我们想办法根据a 、b 、c 在数轴上的位置，确定各自的性质，去掉绝对值符号和根号．解：∵a+b<0，c>0，b-c<0，∴原式=a-（a+b ）-│c │+（b-c ）．=a-a-b-c+b-c=2c ．练习11．若a<0，且x ≤||a a ，那么化简│x+1│-│x-2│=________． A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-32．已知a<0，ab<0=________． 3．已知abc ≠0，试求||a a +||b b +||c c 的值．例2设实数x、y、z满足x+y+z=4则x=_____，y=_______，z=_______．分析利用折项或添项配方的办法将条件转化为几个非负数之和为零的形式，即a+│b│+=0，再由几个非负数之和为零则每个非负数必须为零来解决．解：由原方程，得．[222，）2+）2+）2=0．解得：x=9，y=9，z=7．练习21．实数x、y、z满足x+y+z=________． A．6 B．12 C．14 D．202，（a≥b，c≥0），那么a+b的值是_________．A．-2 B．0 C．2 D．43．已知a、b、c、x、y、z是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by+cz，的值．例3．分析要解决没有明确条件限制的有关字母化简问题，•要充分挖掘题目中的隐含条0，-a3≥0．解：∵-a3≥0，∴a≤0．0，∴a≠0．∴a<0．∴原式．练习31=_________．2．已知1a-│a│=1，那么代数式1a+│a│的值为________．3例4若a、b满足│b│=7，则│b│的取值范围是_____．分析│b│的方程组，利用其有界性求出S的范围．解：，①│b│=S．②①×3+②×5得．①×2-②×3得19│b│=14-3S．由21501430SS+≥⎧⎨-≥⎩得：215143SS⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩故-215≤S≤143．练习41．已知a、b、x、y满足y+=1-a2，│x-3│=y-1-b2，则2x+y+3a+b的值为_______．2．如果│x+2│+x-2=0，则x的取值范围是_________．3．求使72为自然数的整数a的值．例5 已知a<b<c，求y=│x-a│+│x-b│+│x-c│的最小值．分析由绝对值的几何意义可知：│x-a│+│x-b│+│x-c│的最小值的几何意义就是在数轴上，求到a、b、c所对应的三点距离之和最小的点所表示的数．解：设a、b、c、x在数轴上对应的点分别是A、B、C、X，则│x-a│、│x-b│、│x-c│分别表示线段AX、BX、CX的长，现在要求│x-a│、│x-b│、│x-c│之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使X到A、B、C三点的距离之和最小，•如图3-2．显然，当X点与B点重合时，（∵B点在A、C点之间），该距离和y最小．这时，y=│x-a│+│x-b│+│x-c│=│x-a│+│x-c│=x-a+c-x=-a+c．所以，y的最小值等于c-a．练习51．若x为有理数，求│x+23│+│x-23│的最小值．2．已知│x-1│+│x-5│=4，求x的取值范围．3．若x为有理数，求│x-1│+│x-2│+…+│x-1999│的最小值．答案:练习11．D23．∵abc≠0，∴a≠0，b≠0，c≠0．（1）若a、b、c都为正数时，原式=3；（2）若a、b、c中有两个正数时，原式=1；（3）若a、b、c都有一个正数时，原式=-1；（4）若a、b、c都为负数时，原式=-3．练习21．D 2．B3．∵a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by+cz，∴a2+b2+c2+x2+y2+z2=2ax+2by+2cz．∴a2-2ax+x2+b2-2by+y2+c2-2cz+z2=0．∴（a-x）2+（b-y）2+（c-z）2=0．∴a-x=0，b-y=0，c-z=0．∴x=a，y=b，z=c．练习31．1 23．∵-a2≥0，∴a2≤0．∴a=0．∴原式．练习41．17 2．x≤23．设9-4a=m2（m为整数），于是，4a+m2=9．∵4a为偶数，9为奇数，∴m2必为奇数，即m必为奇数．又即7||2m->0．∴│m│<7．∴-7<m<7．∴m=±1，±3，±5．故a=0，2，4．练习51．432．1≤x≤53．设x在数轴上的对应点P0，而1，2，…，1999在数轴上对应点分别为P1，P2，…，P1999，•如图所示:则│x-1│+│x-2│+│x+3│+…+│x-1999│=P0P1+P0P2+P0P3+…+P0P1999．当P0运动到P1000，即P0与P1000重合时，P0P1+P0P2+P0P3+…+P0P1999最短，也就是│x-1│+│x-2│+│x-3│+│x-4│+…+│x-1999│有最小值，设这个最小值为S最小．则S最小=│1000-1│+│1000-2│+│1000-3│+…+│1000-1999│=999+998+997+…+2+1+0+1+2+…+998+999=2+999(9991)2⨯+=999×1000=999000．。
第三章 实数 考点3 非负数的性质：算术平方根(解析版)
第三章实数（解析板）3、非负数的性质：算术平方根知识点梳理1．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．2．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．3．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．同步练习一．选择题（共19小题）1．若+|y+3|＝0，则的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】非负数的性质：绝对值；算术平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】先根据非负数的性质求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可．【解答】解：∵+|y+3|＝0，∴2x+1＝0，y+3＝0，解得x＝﹣，y＝﹣3，∴原式＝＝．故选：C．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知几个非负数的和为0时，其中每一项必为0是解答此题的关键．2．已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（）A．m＞6B．m＜6C．m＞﹣6D．m＜﹣6【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；解一元一次不等式．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．【解答】解：根据题意得：，解得：，则6﹣m＜0，解得：m＞6．故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．3．若+|b+2|＝0，那么a﹣b＝（）A．1B．﹣1C．3D．0【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后求出a﹣b的值．【解答】解：∵，|b+2|≥0，∵+|b+2|＝0，∴a+1＝0，b+2＝0，解得：a＝﹣1，b＝﹣2，把a＝﹣1，b＝﹣2代入a﹣b＝﹣1+2＝1，故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．4．若（m﹣1）2+＝0，则m+n的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，m﹣1＝0，n+2＝0，解得m＝1，n＝﹣2，所以，m+n＝1+（﹣2）＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．5．若|x+2|+，则xy的值为（）A．﹣8B．﹣6C．5D．6【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】已知任何数的绝对值一定是非负数，二次根式的值一定是一个非负数，由于已知的两个非负数的和是0，根据非负数的性质得到这两个非负数一定都是0，从而得到一个关于x、y的方程组，解方程组就可以得到x、y的值，进而求出xy的值．【解答】解：∵|x+2|≥0，≥0，而|x+2|+＝0，∴x+2＝0且y﹣3＝0，∴x＝﹣2，y＝3，∴xy＝（﹣2）×3＝﹣6．故选：B．【点评】本题考查的是非负数的性质，一元一次方程的解法及代数式的求值．题目注重基础，比较简单．6．已知|x﹣3|+＝0，则（x+y）2的值为（）A．4B．16C．25D．64【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：由题意得，x﹣3＝0，x+2y﹣7＝0，解得x＝3，y＝2，则（x+y）2＝（3+2）2＝25，故选：C．【点评】本题考查了非负数的性质，关键是掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．7．已知实数x，y满足，则y的值是（）A．2B．﹣2C．0D．3【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负性即可求出x与y的值．【解答】解：由题意可知：x+2＝0，3x+y+8＝0，∴x＝﹣2，y＝﹣2，故选：B．【点评】本题考查绝对值与二次根式，解题的关键是熟练运用绝对值与二次根式的性质，本题属于基础题型．8．已知x，y为实数且|x+1|+＝0，则（）2012的值为（）A．0B．1C．﹣1D．2012【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而求出答案．【解答】解：∵|x+1|+＝0，∴x+1＝0，y﹣1＝0，解得：x＝﹣1，y＝1，∴（）2012＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．9．已知，则a+b的值是（）A．1B．﹣1C．3D．﹣3【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得a﹣2＝0，b+1＝0，解得a＝2，b＝﹣1，则a+b＝2﹣1＝1．故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．10．已知|7+b|+＝0，则a+b为（）A．8B．﹣6C．6D．8【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性得出7+b＝0，a﹣1＝0，求出a、b的值即可．【解答】解：|7+b|+＝0，7+b＝0，a﹣1＝0，b＝﹣7，a＝1，所以a+b＝1+（﹣7）＝﹣6，故选：B．【点评】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，能根据绝对值和算术平方根的非负性得出7+b＝0和a﹣1＝0是解此题的关键．11．已知△ABC的三边长a、b、c满足+|b﹣1|+（c）2＝0，则△ABC一定是（）三角形．A．锐角B．钝角C．直角D．一般【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】先根据非负数的性质求出a、b、c的值，再根据勾股定理逆定理进行判断即可．【解答】解：∵+|b﹣1|+（c）2＝0，∴a＝1，b＝1，c＝，∵a2+b2＝1+1＝2，c2＝（）2＝2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故选：C．【点评】本题考查非负数的性质，解题的关键是掌握一个数的算术平方根与某个数的绝对值以及另一数的平方的和等于0，那么算术平方根的被开方数为0，绝对值里面的代数式的值为0，平方数的底数为0及勾股定理的逆定理．12．已知，则y的值为（）A．1B．﹣2．C．﹣1D．﹣4【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式计算求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得x﹣y+2＝0，x+y＝0，解得x＝﹣1，y＝1．故选：A．【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．13．若x，y为实数，且，则的值为（）A．1B．2011C．﹣1D．﹣2011【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；代数式求值．【分析】由于|x+2|和都是非负数，而它们的和为0，根据非负数的性质即可求出x、y的值，接着可以求出题目的结果．【解答】解：∵若x，y为实数，且，而|x+2|和都是非负数，∴x+2＝0且y﹣2＝0，∴x＝﹣2，y＝2，∴＝（﹣1）2011＝﹣1．故选：C．【点评】此题主要考查了非负数的性质和代数式的求值，解题的关键是根据非负数的性质得到x+2＝0且y﹣2＝0，由此求出x、y的值解决问题．14．若+（y+2）2＝0，则（x+y）2020等于（）A．﹣1B．1C．32020D．﹣32020【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵+（y+2）2＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，∴x＝1，y＝﹣2，∴（x+y）2020＝（1﹣2）2020＝1，故选：B．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．15．若|x﹣2|+＝0，则xy的值为（）A．﹣8B．﹣6C．5D．6【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：根据题意得：，解得：，则xy＝﹣6．故选：B．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．16．已知实数x，y满足，则x﹣y等于（）A．3B．﹣3C．1D．﹣1【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，所以，x﹣y＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3．故选：A．【点评】本题考查了算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．17．如果|x﹣3|+＝0，则＝（）A．2B．C．﹣2D．3【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】先根据非负数的性质得出x和y的值，再代入化简即可得．【解答】解：∵|x﹣3|+＝0，∴x﹣3＝0，y﹣2＝0，则x＝3，y＝2，∴＝＝2，故选：A．【点评】本题主要考查非负数的性质，解题的关键是掌握非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．18．已知+（b+3）2＝0，则（a+b）2020的值为（）A．0B．1C．﹣1D．2020【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】直接利用互为相反数的定义结合绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵+（b+3）2＝0，∴a﹣2＝0，b+3＝0，解得：a＝2，b＝﹣3，∴（a+b）2020＝（2﹣3）2020＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确应用算术平方根和绝对值的性质是解题关键．19．已知实数x，y满足+|y+2|＝0，则x+y的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣4【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x＝0，y+2＝0，∴x＝0，y＝﹣2，∴x+y＝﹣2故选：A．【点评】本题考查非负数的性质，解题的关键是熟练运用非负数的性质，本题属于基础题型．二．填空题（共17小题）20．已知a、b满足（a﹣1）2+＝0，则a+b＝﹣1．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】直接利用非负数的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵（a﹣1）2+＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴a+b＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．21．当x取﹣5时，的值最小，最小值是0；当x取5时，2﹣的值最大，最大值是2．【考点】非负数的性质：算术平方根．【分析】依据算术平方根的非负性可知当10+2x＝0时，的值最小，当5﹣x＝0时，2﹣的值最大．【解答】解：当10+2x＝0时，的值最小，解得x＝﹣5，此时的最小值为0．当5﹣x＝0时，即x＝5时，＝0，此时2﹣的值最大，最大值是2．故答案为：﹣5；0；5；2．【点评】本题主要考查的是非负数的性质，掌握算术平方根的非负性是解题的关键．22．已知+|x2﹣3y﹣13|＝0，则x+y＝﹣1．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2＝0，x2﹣3y﹣13＝0，解得x＝2，y＝﹣3，所以，x+y＝2+（﹣3）＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．23．如果与（2x﹣4）2互为相反数，那么2x﹣y的平方根是±1．【考点】非负数的性质：偶次方；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】直接利用算术平方根以及偶次方的性质得出2x﹣y的值，进而得出答案．【解答】解：∵与（2x﹣4）2互为相反数，∴y﹣3＝0，2x﹣4＝0，解得：y＝3，x＝2，∴2x﹣y＝1，∴2x﹣y的平方根是：±1．故答案为：±1．【点评】此题主要考查了平方根以及算术平方根和偶次方的性质，正确得出x，y的值是解题关键．24．已知+＝0，则+＝．【考点】非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，a﹣3＝0，2﹣b＝0，解得a＝3，b＝2，所以，+＝+＝+＝．故答案为：．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．25．若，则m﹣n的值为4．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据任何非负数的平方根以及偶次方都是非负数，两个非负数的和等于0，则这两个非负数一定都是0，即可得到关于m．n的方程，从而求得m，n的值，进而求解．【解答】解：根据题意得：，解得：．则m﹣n＝3＝（﹣1）＝4．故答案是：4．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．26．如果＝0，那么xy的值为﹣6．【考点】非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后相乘即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣3＝0，y+2＝0，解得x＝3，y＝﹣2，所以，xy＝3×（﹣2）＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．27．当x取5时，代数式2﹣取值最大，并求出这个最大值2．【考点】非负数的性质：算术平方根．【分析】根据二次根式的性质解答．【解答】解：当5﹣x＝0，即x＝5时，代数式2﹣取值最大，此时这个最大值2．故答案为：5，2．【点评】本题考查二次根式的性质，解决本题的关键是能够正确运用二次根式的性质．28．已知+|3x+2y﹣15|＝0，则的算术平方根为．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算，再根据算术平方根的定义解答．【解答】解：由题意得，x+3＝0，3x+2y﹣15＝0，解得x＝﹣3，y＝12，所以，＝＝3，所以，的算术平方根为．故答案为：．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．29．已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于3．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，所以，x﹣y＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．30．如果+＝0，那么xy的值为﹣6．【考点】非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质求出x、y，计算即可．【解答】解：由题意得，x﹣3＝0，y+2＝0，解得，x＝3，y＝﹣2，则xy＝﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．31．已知与（x+y﹣4）2互为相反数，则y﹣x＝8．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】由与（x+y﹣4）2互为相反数，得出+（x+y﹣4）2＝0，根据非负数的性质得出x、y的值，进一步代入求得答案即可．【解答】解：∵与（x+y﹣4）2互为相反数，∴+（x+y﹣4）2＝0，∴x+2＝0，x+y﹣4＝0，∴x＝﹣2，y＝6，∴y﹣x＝6﹣（﹣2）＝6+2＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了代数式求值，非负数的性质，能够正确利用非负数的性质求得字母的数值是解决问题的关键．32．若+|b2﹣9|＝0，则ab＝±6．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：+|b2﹣9|＝0，∴a﹣2＝0，b＝±3，因此ab＝2×（±3）＝±6．故结果为：±6．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．33．已知，则a b＝1．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，a﹣1＝0，a+b+1＝0，解得a＝1，b＝﹣2，所以，a b＝1﹣2＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．34．若＝3﹣x，则x的取值范围是x≤3．【考点】非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列出关于x的不等式，求出x的值即可．【解答】解：∵＝3﹣x，∴3﹣x≥0，解得x≤3．故答案为：x≤3．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知算术平方根具有非负性是解答此题的关键．35．若a、b为实数，且（a+）2+＝0，则a b的值3．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据偶次方、算术平方根的非负性分别求出a、b，根据乘方法则计算即可．【解答】解：∵（a+）2+＝0，∴（a+）2＝0，＝0，解得，a＝﹣，b＝2，则a b＝（﹣）2＝3，故答案为：3．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握偶次方、算术平方根的非负性是解题的关键．36．已知非零实数a，b满足，则a+b等于1．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】由题设知a≥3，化简原式得，根据非负数的性质先求出a，b的值，从而求得a+b的值．【解答】解：∵a≥3，∴原等式可化为，∴b+2＝0且（a﹣3）b2＝0，∴a＝3，b＝﹣2，∴a+b＝1．故答案为1．【点评】本题考查了非负数的性质，一个数的算术平方根、偶次方都是非负数．三．解答题（共9小题）37．已知|2a+b|与互为相反数．（1）求2a﹣3b的平方根；（2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0．【考点】非负数的性质：绝对值；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得2a﹣3b的值，最后依据平方根的定义求解即可；（2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可．【解答】解：由题意，得2a+b＝0，3b+12＝0，解得b＝﹣4，a＝2．（1）∵2a﹣3b＝2×2﹣3×（﹣4）＝16，∴2a﹣3b的平方根为±4．（2）把b＝﹣4，a＝2代入方程，得2x2+4×（﹣4）﹣2＝0，即x2＝9，解得x＝±3．【点评】本题主要考查的是平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握平方根的定义、非负数的性质是解题的关键．38．已知+|x﹣1|＝0．（1）求x与y的值；（2）求x+y的平方根．【考点】非负数的性质：绝对值；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】（1）先依据非负数的性质得到x﹣1＝0，x+2y﹣7＝0，然后解方程组即可；（2）先求得x+y的值，然后再求其平方根即可．【解答】解：（1）∵+|x﹣1|＝0，∴x﹣1＝0，x+2y﹣7＝0，解得：x＝1，y＝3．（2）x+y＝1+3＝4．∵4的平方根为±2，∴x+y的平方根为±2．【点评】本题主要考查的是非负数的性质，依据非负数的性质求得x、y的值是解题的关键．39．若+（3x+y﹣1）2＝0，求的平方根．【考点】非负数的性质：偶次方；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】先根据非负数的性质求出x，y的值，代入代数式即可得出结论．【解答】解：∵+（3x+y﹣1）2＝0，∴，解得，∴原式＝＝3．∴的平方根为±．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知非负数之和等于0时，各项都等于0是解答此题的关键．40．已知a、b、c满足．（1）求a、b、c的值；（2）判断以a、b、c为边的三角形的形状．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】（1）根据非负数的性质可求出a、b、c的值；（2）利用勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形．【解答】解：（1）根据题意得：a﹣＝0，b﹣5＝0，c﹣4＝0，解得：a＝，b＝5，c＝4；（2）∵（）2+52＝（4）2，∴a2+b2＝c2，∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．41．已知+|y3+1|＝0，求4x﹣3y的平方根．【考点】非负数的性质：绝对值；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】首先根据绝对值和被开方数的非负性可以求x、y的值，再根据平方根的定义即可求解．【解答】解：根据题意知2x﹣3＝0，y3+1＝0∴x＝，y＝﹣1，∴4x﹣3y＝9，∴4x﹣3y的平方根为±3．【点评】此题主要考查了立方根、平方根定义和非负数的性质，其中求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．注意：（1）一个数的立方根与原数的性质符号相同．（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．42．已知x、y满足+|y+1|＝0，求x2﹣4y的平方根．【考点】非负数的性质：绝对值；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】直接利用绝对值以及算术平方根的定义得出x，y的值，进而得出答案．【解答】解：∵+|y+1|＝0，∴，解得：，∴x2﹣4y＝1+4＝5，故x2﹣4y的平方根为：±．【点评】此题主要考查了非负数的性质以及平方根，正确得出x，y的值是解题关键．43．已知|a+b﹣3|++（a+2）2＝0，求（a+c）b的值．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】首先根据题意及非负数的性质求出a、b、c的值，然后代入所求代数式求值．【解答】解：∵|a+b﹣3|++（a+2）2＝0，∴a+b﹣3＝0，c﹣4＝0，a+2＝0，∴a＝﹣2，b＝5，c＝4，∴（a+c）b＝（﹣2+4）5＝25＝32，即（a+c）b的值是32．【点评】本题主要考查非负数的性质，解题的关键是先根据题意及非负数的性质求出a、b、c的值．44．已知（3x﹣1）2+＝0，求18xy的平方根．【考点】非负数的性质：偶次方；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算，再根据平方根的定义解答．【解答】解：由题意得，3x﹣1＝0，3﹣2y＝0，解得x＝，y＝，所以，18xy＝18××＝9，所以，18xy的平方根±3．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．45．已知实数x，y满足（x﹣4）2+＝0，求﹣xy的平方根．【考点】非负数的性质：偶次方；平方根；非负数的性质：算术平方根．【分析】因为（x﹣4）2和都是非负数，当几个非负数的和为0时，几个非负数都为0，可得关于x和y的方程，求出x，y的值，再根据平方根的定义求解．【解答】解：∵（x﹣4）2 +＝0∴（x﹣4）2＝0，＝0∴x﹣4＝0，y+16＝0，∴x＝4，y＝﹣16∴﹣xy＝﹣4×（﹣16）＝64∴﹣xy的平方根是±8【点评】本题考查了偶次方和算术平方根的性质以及开平方运算，明确非负数的性质及开平方的方法，是解题的关键。
非负数的性质及应用--华师大版
化简 : a3 a a2
[一点就通]要解决没有明确条件限制的有关字母化简问题,要 充分挖掘题目中的隐含条件: a2 0,a3 0
化简 : a3 a a2
解 : a3 0 a 0
a2 0 a 0 a 0
原式 a2
a a a
a2
a a a 1
实数abc在数轴上对应的点如图所示,化简 a+ a+b c2 b c .
a
b
0
c
[一点就通]此题化简的关键是我们想办法根据a、b、c在数轴上 的位置,确定各自的性质,去掉绝对值符号和根号.
实数abc在数轴上对应的点如图所示,化简 a+ a+b c2 b c .
a
b
0
c
解: a+b<0,c>0,b-c<0,
abx
c
ABX
C
已知a b c,求y x a x b x c 的最小值.
x
abx
c
ABX
C
显然,当X 点与B点重合时,
( B点在A、C之间), 该距离和y是最小.
这时,y= x-a x b x c
xa xc
xacx a c 所以, y的最小值等于c a.
[一点就通]由绝对值的几何意义可知: x a x b x c 的 最小值的几何意义就是在数轴上,求到a、b、c所对应的三点 距离之和最小的点所表示的数.
已知a b c,求y x a x b x c 的最小值.
解 : 设a、b、c、x在数轴上对应的点分别是A、B、C、X, 则 x-a 、x b 、x c 分别表示线段AX、BX、CX的长, 现在要求 x-a 、x b 、x c 之和的值最小,就是要在数 轴上找一点X ,使X到A、B、C三点的距离之和最小, 如图:
第一章 有理数 考点6 非负数的性质：绝对值(解析板)
第一章有理数（解析板）6、非负数的性质：绝对值知识点梳理1．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．2．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．同步练习一．选择题（共9小题）1．若|a+1|+|b﹣2|+|c+3|＝0，则（a﹣1）（b+2）（c﹣3）的值是（）A．﹣48B．48C．0D．无法确定【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】直接利用绝对值的性质得出a，b，c的值，进而得出答案．【解答】解：∵|a+1|+|b﹣2|+|c+3|＝0，∴a＝﹣1，b＝2，c＝﹣3，∴（a﹣1）（b+2）（c﹣3）＝﹣2×4×（﹣6）＝48．故选：B．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．2．已知|x﹣2|+|y﹣1|＝0，则x﹣y的相反数为（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：根据题意得：x﹣2＝0，y﹣1＝0，解得：x＝2，y＝1，则x﹣y＝2﹣1＝1，所以x﹣y的相反数为﹣1．故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．3．已知|a+2|+|b﹣3|＝0，则a﹣b的值是（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】首先根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出a、b的差．【解答】解：∵|a+2|+|b﹣3|＝0，∴a+2＝0，b﹣3＝0，∴a＝﹣2，b＝3；因此a﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5．故选：C．【点评】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．4．若m是有理数，则|m|﹣m一定是（）A．零B．非负数C．正数D．非正数【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，可得答案．【解答】解：m是有理数，则|m|﹣m一定是0或正数，故选：B．【点评】本题考查了绝对值，注意非负数的绝对值是它的相反数．5．若|x+2|+|y﹣3|＝0，则x+y的值是（）A．1B．﹣1C．5D．﹣5【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：因为|x+2|+|y﹣3|＝0，所以x+2＝0，y﹣3＝0，解得x＝﹣2，y＝3，所以，x+y＝﹣2+3＝1．故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．6．|a﹣2|+|b+1|＝0，则（a+b）2等于（）A．﹣1B．1C．0D．﹣2【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵|a﹣2|+|b+1|＝0，∴a﹣2＝0，b+1＝0，∴a＝2，b＝﹣1，∴（a+b）2＝（2﹣1）2＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了绝对值，正确得出a，b的值是解题关键．7．已知2020|a+1|与2021|b+3|互为相反数，则a﹣b的值为（）A．﹣1B．﹣2C．4D．2【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据相反数的定义列出算式，根据非负数的性质求出a、b的值，代入计算即可．【解答】解：因为2020|a+1|与2021|b+3|互为相反数，所以2020|a+1|+2021|b+3|＝0，所以a+1＝0，b+3＝0，解得，a＝﹣1，b＝﹣3，则a﹣b＝﹣1﹣（﹣3）＝2，故选：D．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．8．已知|x﹣2|+＝0，则点P（x，y）在直角坐标系中（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；坐标确定位置．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，从而得到点P的坐标，再根据坐标位置的确定即可解答．【解答】解：根据题意得，x﹣2＝0，y+3＝0，解得x＝2，y＝﹣3，∴点P的坐标是（2，﹣3），∴点P位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．9．若|a﹣2019|与|b﹣2020|互为相反数，则a﹣b＝（）A．1B．﹣1C．4029D．﹣4029【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】由非负数的性质可知a＝2019，b＝2020，然后求得a﹣b的值即可．【解答】解：∵|a﹣2019|与|b﹣2020|互为相反数，∴|a﹣2019|+|b﹣2020|＝0．∴a﹣2019＝0，b﹣2020＝0，∴a＝2019，b＝2020．∴a﹣b＝2019﹣2020＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查的是非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．二．填空题（共18小题）10．式子|m﹣3|+6的值随着m的变化而变化，当m＝3时，|m﹣3|+6有最小值，最小值是6．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．【解答】解：式子|m﹣3|+6的值随着m的变化而变化，当m＝3时，|m﹣3|+6有最小值，最小值是：6．故答案为：3，6．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的性质是解题关键．11．若|3x﹣2|与|y﹣1|互为相反数，则xy＝．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】利用非负数的性质求出x与y的值，代入所求式子计算即可求出值．【解答】解：∵|3x﹣2|+|y﹣1|＝0，∴x＝，y＝1，所以xy＝，故答案为：【点评】此题考查非负数的性质，关键是利用非负数的性质求出x与y的值．12．已知|a+2|+|b﹣1|＝0，则a+b＝﹣1．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后相加即可得解．【解答】解：根据题意得，a+2＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b＝1，所以，a+b＝﹣2+1＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．13．若|a﹣4|+|b+5|＝0，则a﹣b＝9．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出a、b的值，再代入所求代数式即可．【解答】解：依题意得：a﹣4＝0，b+5＝0，∴a＝4，b＝﹣5．a﹣b＝4+5＝9．【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．14．若|x﹣6|+|y+5|＝0，则x+y＝1．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据绝对值的非负性分别求出x、y，计算得到答案．【解答】解：∵|x﹣6|+|y+5|＝0，∴x﹣6＝0，y+5＝0，解得，x＝6，y＝﹣5，则x+y＝1，故答案为：1．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握绝对值的非负性是解题的关键．15．若|x+2|+|y﹣5|＝0，则x+y＝3．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据绝对值的非负性可得x+2＝0，y﹣5＝0，再解方程即可．【解答】解：∵|x+2|+|y﹣5|＝0，∴x+2＝0，y﹣5＝0，解得：x＝﹣2，y＝5，∴x+y＝﹣2+5＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了非负数的性质，关键是掌握绝对值具有非负性．16．若|m+3|与|5﹣n|互为相反数，则mn＝﹣15．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据互为相反数两数之和为0列出等式，利用非负数的性质列出方程，求出方程的解得到m与n的值，即可求出mn的值．【解答】解：∵|m+3|与|5﹣n|互为相反数，即|m+3|+|5﹣n|＝0，∴m+3＝0，5﹣n＝0，解得：m＝﹣3，n＝5，则mn＝﹣15，故答案为：﹣15．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质：绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．若|a﹣2|+|b+3|＝0，那么a+b＝﹣1．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】由非负数的性质可知；a﹣2＝0，b+3＝0，从而可求得a＝2，b＝﹣3，然后利用有理数的加法法则计算即可．【解答】解：∵|a﹣2|+|b+3|＝0，∴a﹣2＝0，b+3＝0．∴a＝2，b＝﹣3．∴a+b＝2+（﹣3）＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查的是非负数的性质和有理数的加法，掌握非负数的性质是解题的关键．18．若|x+2|+|y﹣3|＝0，则2x﹣y＝﹣7．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+2＝0，y﹣3＝0，解得x＝﹣2，y＝3，所以，2x﹣y＝2×（﹣2）﹣3＝﹣4﹣3＝﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．19．若|m﹣2|+|n+3|＝0，则2n﹣3m＝﹣12．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质得到算式，求出m、n的值，代入代数式计算即可．【解答】解：由题意得，m﹣2＝0，n+3＝0，解得，m＝2，n＝﹣3，则2n﹣3m＝﹣12，故答案为：﹣12．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键．20．如果|a﹣1|+|b+2|＝0，那么a+b＝﹣1．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】先根据绝对值的性质求出a、b的值，进而可得出结论．【解答】解：∵|a﹣1|+|b+2|＝0，∴a﹣1＝0，b+2＝0，解得a＝1，b＝﹣2，∴a+b＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知任意一个数的绝对值都是非负数是解答此题的关键．21．若|x|＝2，则x＝±2；已知|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数，则3a+2b的值12．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据绝对值的意义解答；根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵|x|＝2，∴x＝±2；∵|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数，∴|a﹣2|+|b﹣3|＝0，∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得a＝2，b＝3，所以，3a+2b＝3×2+2×3＝6+6＝12．故答案为：±2，12．【点评】本题考查了绝对值的意义，非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．22．若|x﹣2|+|y+3|＝0，则x﹣y＝5．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】直接利用绝对值的性质得出x﹣2＝0，y+3＝0，进而得出x，y的值，即可得出答案．【解答】解：∵|x﹣2|+|y+3|＝0，∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得：x＝2，y＝﹣3，故x﹣y＝2﹣（﹣3）＝5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．23．若|a+1|与|b﹣2|互为相反数，则b﹣2a＝4．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后相减即可得解．【解答】解：∵|a+1|与|b﹣2|互为相反数，∴|a+1|+|b﹣2|＝0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2，所以b﹣2a＝2﹣2×（﹣1）＝2+2＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．24．若|x﹣2|与|y+1|互为相反数，则xy＝﹣2．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据相反数的概念列出等式，根据绝对值的非负性分别求出x、y，计算即可．【解答】解：由题意得，|x﹣2|+|y+1|＝0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，解得，x＝2，y＝﹣1，则xy＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查的是非负数的性质、相反数的概念、有理数的乘法，掌握绝对值的非负性是解题的关键．25．|x﹣3|+|y+2|＝0，则x﹣y＝5．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，再将它们代入代数式中求解即可．【解答】解：根据题意得：，解得：，则x﹣y＝3﹣（﹣2）＝5．故答案是：5．【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．26．若|a+2|+|b﹣3|＝0，则a﹣b＝﹣5．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】首先根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出a、b的差．【解答】解：∵|a+2|+|b﹣3|＝0，∴a+2＝0，b﹣3＝0，∴a＝﹣2，b＝3；∴a﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了非负数的性质，解答此题的关键是掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．27．已知a，b为有理数，且|a+1|+|2013﹣b|＝0，则a b＝﹣1．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据两个绝对值的和为0，可得每个绝对值为0，再根据绝对值，可得a，b的值，可得答案．【解答】解：|a+1|+|2013﹣b|＝0，∴a+1＝0，2013﹣b＝0，a＝﹣1，b＝2013，∴a b＝（﹣1）2013＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了非负数的性质：绝对值，两个绝对值的和为0，可得每个绝对值为0是解题关键．三．解答题（共9小题）28．如果|x﹣2|+|y+8|＝0，求x﹣y的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2＝0，y+8＝0，解得x＝2，y＝﹣8，所以，x﹣y＝2﹣（﹣8）＝2+8＝10．即x﹣y的值是10．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．29．若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．计算：（1）x，y，z的值．（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】（1）根据非负数的性质“三个非负数相加，和为0，这三个非负数的值都为0”列出三元一次方程组，即可解出x、y、z的值；（2）将（1）中求出的x、y、z的值分别代入，先根据绝对值的性质去掉绝对值的符号，再运用有理数加法法则计算即可．【解答】解：（1）由题意，得，解得．即x＝2，y＝﹣3，z＝5；（2）当x＝2，y＝﹣3，z＝5时，|x|+|y|﹣|z|＝|2|+|﹣3|﹣|5|＝2+3﹣5＝0，即|x|+|y|﹣|z|的值是0．【点评】本题主要考查了非负数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．30．已知|3x﹣2|+|y﹣4|＝0，求|6x﹣y|的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，3x﹣2＝0，y﹣4＝0，解得x＝，y＝4，所以，|6x﹣y|＝|6×﹣4|＝|4﹣4|＝0，即|6x﹣y|的值是0．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．31．红武发现：如果|x|+|y|＝0，那么x＝y＝0．他的理由如下：∵|x|≥0，|y|≥0且|x|+|y|＝0，∴|x|＝0，|y|＝0，∴x＝0，y＝0．请根据红武的方法解决下面的问题：已知|m﹣4|+|n|＝0，求m+n的值并说明理由．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】直接利用非负数的性质得出m，n的值进而得出答案．【解答】解：∵|m﹣4|+|n|＝0，∴|m﹣4|＝0，|n|＝0∴m＝4，n＝0，故m+n＝4．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出m，n的值是解题关键．32．已知|a+3|+|b﹣5|＝0，x，y互为相反数，求3（x+y）﹣a+2b的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质得出a，b的值，再代入计算即可．【解答】解：∵|a+3|≥0，|b﹣5|≥0且|a+3|+|b﹣5|＝0，∴|a+3|＝0，|b﹣5|＝0即：a+3＝0，b﹣5＝0，∴a＝﹣3，b＝5又∵x、y互为相反数，∴x+y＝0，∴原式＝3×0﹣（﹣3）+2×5＝13．【点评】本题考查了非负数的性质，掌握互为相反数的两数之和为0，是解题的关键．33．若|x﹣1|+|y+2|＝0，求x﹣y的相反数．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】先根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再代入x﹣y中求值，最后根据相反数的定义求出x﹣y的相反数．【解答】解：∵|x﹣1|+|y+2|＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，解得x＝1，y＝﹣2，∴x﹣y＝1﹣（﹣2）＝3，∴x﹣y的相反数是﹣3．【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．34．若a、b、c为有理数，且|a+1|+|b+2|+|c+3|＝0，求（a﹣1）×（b+2）×（c﹣3）的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据已知等式，利用非负数的性质求出a，b，c的值，即可确定出（a﹣1）×（b+2）×（c﹣3）的值．【解答】解：∵|a+1|+|b+2|+|c+3|＝0，∴a+1＝0，b+2＝0，c+3＝0，∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3，∴（a﹣1）×（b+2）×（c﹣3）＝﹣2×0×（﹣6）＝0．【点评】此题考查了代数式求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．35．若|x﹣1|+|y+2|＝0，求（x﹣1）（y+2）的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据绝对值得出x﹣1＝0，y+2＝0，再代入求值即可．【解答】解：∵|x﹣1|+|y+2|＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，∴（x﹣1）（y+2）＝0．【点评】本题考查了绝对值，有理数的乘法，整体思想的应用是本题的关键．36．已知|2a+b|与互为相反数．（1）求2a﹣3b的平方根；（2）比较a+与|b+|大小，并说明理由．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】（1）先由|2a+b|与互为相反数，列出等式，再根据绝对值和算术平方根的非负性得出a和b的值，然后计算2a﹣3b的平方根即可；（2）将a和b的值分别代入a+与|b+|，然后用“作差法“比较大小即可．【解答】解：（1）∵|2a+b|与互为相反数，∴|2a+b|+＝0，∴2a+b＝0，3b+12＝0，解得：b＝﹣4，a＝2，∴2a﹣3b＝4+12＝16，∴2a﹣3b的平方根是±4；（2）∵a＝2，b＝﹣4，∴a+＝2+，|b+|＝|﹣4+|＝4﹣，∵2+﹣（4﹣）＝2+﹣4+＝+﹣2＞0，∴2+＞4﹣，∴a+＞|b+|．【点评】本题考查了相反数的意义、绝对值和算术平方根的非负性、求平方根及实数的大小比较等基础知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键。
初中数学非负数
七年级数学中的非负数问题在实数范围内，“非负数”是一个非常重要的数学概念，也是一个使一部分学生头疼的难点之一。
如果能够灵活地运用非负数的有关性质进行变形，那就可以开拓思路，发现解题途径。
其实，非负数并没有想象中的那么可怕，可怕的是有些同学概念不清，也记不住非负数的性质，导致看到题的以后做的一塌糊涂。
一、非负数的概念：正数和零总称为非负数。
在这里我们要用的最多的也是学生们最容易忘的就是非负数中的“零”。
二、非负数定理：非负数大于等于0。
非负数的和为零，则每个非负数必等于零。
（有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零）非负数的积为零，则至少有一个非负数为零。
非负数的绝对值等于本身。
任何一个非负数乘于-1都会得到一个非正数。
非负数中有有理数也有无理数。
非负数的和或积仍是非负数。
在非负数的性质中我们用的最多的就是：如果有限个非负数的和等于零，则必有每个非负数都同时为零。
三、三种非负数：实数的绝对值、实数的偶次幂、算术根等都是常见的非负数。
四、表达形式：非负数的表达形式通常是│a│、a2n等。
那么在我们的初中学习中，所学的哪些数或式子是非负的呢？我们在解题中该注意哪些问b）。
题呢？在初一时，我们学过的非负数有两个，一个是绝对值，一个是数的偶次方（||a和2n出现的形式也是非常单一的，共有三种情况：222||||0||00a b a b a b +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩。
在这三种情况中不管出现哪一种，则都会有00a b =⎧⎨=⎩，当然，我们这里的a 和b 往往不是一个单独的字母，而是一个代数式。
例如：2|3|(2)0a b -+-=，这时就有23a b =⎧⎨=⎩。
这就是我们初一学的非负数，只要牢记出现的形式，就不难得到答案。
例： (a-3)²+(b+2)²=0，求a 、b 的值？未完待八年级需增加平方根内容。
非负数的性质与应用
非负数的性质与应用作者：谢妮娜来源：《学周刊》2017年第27期摘要：非负数是初中代数中一个重要的基本概念，通过对非负数性质介绍和应用举例，可以对初中数学中利用非负数解方程和几何应用问题加以分析，从中整理经验并指导教学。
关键词：非负数；代数式；方程中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）27-0102-02DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2017.27.063对于初中数学这个大家庭而言，“非负数”是一个不可或缺的重要成员。
从数轴，绝对值，到乘方，完全平方公式，再到开方，二次根式，到处都能看到“非负数”的身影。
那到底什么是非负数呢？所谓非负数，就是指零和正实数，这是从数的层面下的定义；从几何层面来理解，非负数是指在数轴上，原点与原点右边的点所表示的数。
一、常见的非负数初中数学重点学习的非负数主要有三种：1.任何实数的绝对值：a？叟0；2.任何实数的平方：a2？叟0；3.任何非负实数的算术平方根（二次根式）：？叟0（a？叟0）。
二、非负数常用的性质1.有限个非负数之和是非负数；2.有限个非负数之和是0，则每一个均为0，即所谓的“0+0=0”。
三、非负数的应用在初中阶段，非负数的应用集中在对其知识点性质的相关运用。
此类应用在解题时通常需要挖掘题目中暗藏的非负性条件，利用配方、倍分、拆项、添项等变形技巧，通过列方程或不等式解决问题。
（1）化简例1、设2x-4解：∵2x-4∴原式=+=x-3+x-2=3-x+2-x=5-2x（2）求最值例2、求二次函数y=-2x2-8x+3的最大值解：y=-2x-8x+3=-2（x+4x）+3=-2（x+4x+4）+11=-2（x+2）+11∵（x+2）？叟0∴-2（x+2）？燮0∴ y？燮11故y的最大值是11。
（3）求代数式的值在求代数式的值时，必须先求出字母的值，再代入代数式求值。
但在求每个字母的值时，如果已知条件的个数少于其字母的个数，就经常需要根据非负数的性质，将已知条件划分开，求出每个字母的值或找到字母之间的关系，从而求出代数式的值。
初中数学中的“非负数”问题正规版
初中数学中的“非负数”问题(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）初中数学中的三个“非负数”问题巴州区大和小学李平：636031我们知道：绝对值、偶次方、二次根式都是一个“非负数，即≥0，≥0（n为整数）、。
我们称其具有非负性。
这三条性质常作为求解很多实数问题的隐含条件，对于解答“0+0=0”形的代数问题非常重要，要求学生要熟练掌握。
一、绝对值的非负性例1若m、n满足，则－ｍ·ｎ= 。
解：∵，又∴3m－６＝０ｎ+４＝０∴ｍ＝２ｎ＝－４∴—ｍｎ＝－２×（－４）＝８。
例2若，求：的值解：∵，又∴a－１＝０ａｂ－２＝０∴ａ＝１ｂ＝２原式＝＝＝１－＝二、偶次幂的非负性例３已知，求：⑴；⑵解：∵，又∴ｘ－２＝０３－ｙ＝０∴ｘ＝２ｙ＝３∴⑴＝＝８⑵＝三、二次根式的非负性例4 已知＋＝０，求ｘ，ｙ的值．分析：因为≥０，≥０，根据几个非负数之和等于０，则每个非负数都等于０，可知，从而，解之，得ｘ＝－１，ｙ＝４．例5 若实数ａ、ｂ满足＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿．分析：因为≥０，≥０，故由非负数的性质，得，两式相加，即得２ｂ－ａ＋１＝０．例6 已知实ａ满足，求ａ-2021的值．解：由ａ-20210，得ａ2021。
故已知式可化为ａ-2021+=ａ，∴=2021，两边平方并整理，得：ａ-2021＝2021．例7 在实数范围内，求代数式的值．解：考虑被开方数，得从而，又，故＝０，ｘ＝４．∴原式＝１．例8 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值．解：由ａ（ｘ－ａ）≥０及ｘ－ａ≥０得ａ≥０；由ａ（ｙ－ａ）≥０及ａ－ｙ≥０得ａ≤０，故ａ＝０，从而已知式化为，ｘ＝－ｙ≠０，故原式＝＝.由上面八道例题，我们可以看出：绝对值、偶次幂、二次根式的非负性通常都是作为隐含条件出现的。
解答这类问题的一般思路是：①先根据绝对值、偶次幂、二次根式的非负性，求出有关字母的值；②再将所求得的字母值代入相应的代数式。
非负数的性质练习题及讲解高中
非负数的性质练习题及讲解高中# 非负数的性质练习题及讲解## 练习题### 题目1：不等式求解已知 \( x \geq 0 \)，求不等式 \( x^2 - 4x + 4 \leq 0 \) 的解集。
### 题目2：函数值域若 \( f(x) = x^2 + 2x + 3 \)，求函数 \( f(x) \) 在 \( x \geq0 \) 时的值域。
### 题目3：几何意义在平面直角坐标系中，点 \( P(x, y) \) 满足 \( x^2 + y^2 = 1 \)，求点 \( P \) 的坐标范围。
### 题目4：数列问题数列 \( \{a_n\} \) 满足 \( a_1 = 1 \) 且 \( a_{n+1} = a_n^2 \)，求 \( a_n \) 的通项公式。
### 题目5：最值问题若 \( a, b \) 均为正数，求 \( a^2 + \frac{1}{a^2} \) 的最小值。
## 讲解### 解题思路对于非负数的性质，我们通常利用其在几何、代数以及数列中的应用来解决问题。
以下是对上述题目的简要讲解。
### 题目1 讲解由于 \( x \geq 0 \)，我们可以将不等式 \( x^2 - 4x + 4 \) 重写为 \( (x - 2)^2 \)。
由于平方总是非负的，所以 \( (x - 2)^2\leq 0 \) 只有在 \( x = 2 \) 时成立。
因此，解集为 \( \{2\} \)。
### 题目2 讲解函数 \( f(x) = x^2 + 2x + 3 \) 可以重写为 \( (x + 1)^2 + 2 \)。
由于 \( (x + 1)^2 \) 是非负的，所以 \( f(x) \) 的最小值为 2，当 \( x = -1 \) 时取得。
由于 \( x \geq 0 \)，函数 \( f(x) \)在 \( x \geq 0 \) 时的值域为 \( [2, +\infty) \)。
非负数的性质(含答案)
非负数的性质专题训练1│1+y│=0，则x2+y2=_______．2．若（）2=0，试解关于x的方程（a+2）x+b2=a-1．3．若2│x-y│2-z+14=0，求x+y+z的值．4x+y+1）25．若a2+b2-2a-4b+5=0．数学中国，lhnen整理- 1 -6．若的值．7．若2=x+y+z，求x、y、z的值．8．已知a、b、c为实数，且ax2+bx+c=0．│a-2│（c+3）2=0，求4x2-10x的值．92+21b+2=4，求：a+1a+b+1b的值．答案:数学中国，lhnen整理- 2 -1．109点拨：由于非负数都不小于0．所以:若n个非负数的和为0，则这n•个非负数均为0，初中阶段常见的非负数形式有：a2n，│a（a≥0）．0，│1+y│≥0+│1+y│=0，所以3x-1=0，且1+y=0，即x=13，y=-1．所以x2+y2=（13）2+（-1）2=19+1=109．2．解：（2≥0≥0，且（）2=0．所以，2a+6=0，即，a=-3．原方程可化为：（-3+2）x+）2=-3-1，-x+2=-4，x=6．3．解：原等式可变形为：2│x-y│（z-12）2=0．因为│x-y│≥00，（z-12）2≥0．所以0,20,10.2x yy zz⎧⎪-=⎪+=⎨⎪⎪-=⎩解得x=-14，y=-14，z=12．所以x+y+z=-14-14+12=0．点拨：题目把非负数的性质与解方程联系起来，利用非负数的性质求出x、y、•z的值，进而求代数式的值．4+（x+y+1）2=0，即│x-y+2│+（x+y+1）2=0．因为│x-y+2│，（x+y+1）2≥0，所以x+y+1=0，且x-y+2=0，解得x=-32，y=12．数学中国，lhnen整理- 3 -．x+y+1）2都是非负数，它们互为相反数，则它们都是0，所以x+y+1=0且x-y+2=0，求出x、y的值，即可得出本题的结论．5．解：因为a2+b2-2a-4b+5=0，所以a2+b2-2a-4b+1+4=0，即（a-1）2+（b-2）2=0，所以a=1，b=2．点拨：所给的条件等式中并非全都是非负数，所以把常数项5拆成了1和4，进而构造两个完全平方式，出现了非负数，使题目顺利地得以解决．•题目中采用的这种拆项配完全平方的方法是同学们必须要掌握的．6．解：依题意，x>0，y>0，所以，可化为）22=0-）2=0，所以x=y．34xx==34．点拨：由所求的代数式可知，x、y不能同时为0，又因为xy>0，所以x、y•只能同号，当x、y 同负时，条件等式的左边为负数，等式不会成立，所以x、y是两个正数．那么，等式左边的代数式可化为一个完全平方式，进而找到x到y的关系．即x=y，然后把这一条代入所求代数式，进行化简计算，明确x、y的取值范围很重要，它是解此题的关键．7．解：依题意：x≥0，y≥1，z≥2．因为2=x+y+z，所以．）2+1+）2+1+）2．-1）2+）2+）2=0-1=0-1=0．解得x=1，y=2，z=3．数学中国，lhnen整理- 4 -点拨：题目的条件等式中并没有出现完全平方式，因此要对条件等式进行变形，•使之出现右边为0，左边为几个非负数的和的形式，进而利用非负数的性质求出x、•y、z的值，在去括号，移项后，仍没有出现所需的非负数形式，故用添常数项的方法，在等式的左边构造出了三个完全平方式，进而求出了x、y、z的值．•本题的添拆项是难点所在，同学们要认真学习，牢牢掌握．8．解：因为│a-2│（c+3）2=0，所以a-2=0，a+b-c=0，c+3=0．即a=2，c=-3，b=-5，依题意：2x2-5x-3=0，即2x2-5x=3，所以4x2-10x=2（2x2-5x）=2×3=6．点拨：在利用非负数的性质求出a、b、c的值之后，ax2+bx+c=0就变成了一个关于x的方程，由于我们暂时不会解这种方程，所以采用了整体代入的方法，即使我们在学习了下一章后，这种方法仍要比求值代入的方法简便、快捷．9+b2+21b+2=4，b2+21b-2=0．即|a+1a|2+（b-1b）2=0，所以a+1b=0，b-1b=0．因为（b-1b）2=b2+21b-2=（b+1b）2-4=0．所以（b+1b）2=4，b+1b=±2．所以a+1a+b+1b=±2．点拨：由非负数的性质可知a+1a=0，b-1b=0．因此，利用条件，求b+1b成了解题的关键，利用完全平方公式的变形求值是同学们应掌握的解题技巧．数学中国，lhnen整理- 5 -。
非负数
第一讲 非负数内容提要1. 非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数.a 是非负数，可记作0a ≥,读作a 大于或等于零，即a 不小于零.2. 初中学过的几种非负数：⑴实数的绝对值是非负数. 若a 是实数，则a ≥0.⑵实数的偶数次幂是非负数. 若a 是实数，则2na ≥0（n 是正整数）.⑶算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数. 若a 是二次根式，则a ≥0， a ≥0.⑷一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立.若二次方程20ax bx c ++= (0a ≠)有两个实数根， 则240b ac -≥. 若240b ac -≥ (0a ≠)， 则二次方程20ax bx c ++=有两个实数根.⑸数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.3. 非负数的性质：⑴非负数集合里，有一个最小值，它就是零.例如：2a 有最小值0（当a=0时）， 1+x 也有最小值0（当1x =-时）. ⑵如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零.若0a ≥且0a -≥，则0a =；如果0a b -≥且0b a -≥，那么0a b -=.⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.例如：若,,a b x 都是实数数，则220a b +≥,||||0a b ⨯≥,a ≥0. ⑷若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零.例如若21(3)0a b -++= 那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-0120)3(012c b a 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-0120301c b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-==5.031c b a .例题例1.求证：方程423260x x x +++=没有实数根例2.a 取什么值时，根式)1)(2()1)(2(a a a a --+--有意义？例3. 要使等式21(2)034x x -+=-成立，x 的值是＿＿＿＿.例4 把根号外因式移到根号里：① -＿＿＿， ②=＿＿＿＿， ③-=＿＿＿＿. 练习1. 已知在实数集合里x x -+-33有意义，则x =____.2. 要使不等式2(1)0a +≤成立，实数a = _____.3. 已知1212+++-b b a ＝0，则a =＿＿, b =＿＿, 100101a b = ____.4.如果a b <,那么)()(3b x a x ++-等于（ ）（A ）(x a +. (B) (x a +.(C) (x a -+ (D) (x a -+.5．已知a 是实数且使=x , 则x =＿＿＿＿.6. 已知,a b 是实数且a 2111+-+-≤b b .=＿.7 已知：,141=-+-c a 且a -1,4-c 都是整数.求,a c 的值.8. 求方程2222640x y x y xy ++++=的实数解.9. 求适合不等式22244440x xy y x ++-+≤的未知数x 的值.10. 比较222a b c ++与ab bc ca ++的大小.11.已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=++a z xy a xz yz xy z y x 112的解,,x y z 都是非负数. 求a 的值.。
初中数学竞赛专题选讲非负数
初中数学竞赛专题选讲(初三.4)非负数一、内容提要1. 非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数.a 是非负数，可记作a ≥0,读作a 大于或等于零，即a 不小于零.2. 初中学过的几种非负数：⑴实数的绝对值是非负数. 若a 是实数，则a ≥0.⑵实数的偶数次幂是非负数. 若a 是实数，则a 2n ≥0（n 是正整数）. ⑶算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数. 若a 是二次根式，则a ≥0， a ≥0.⑷一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立. 若二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 有两个实数根， 则b 2－4ac ≥0. 若b 2－4ac ≥0 (a ≠0)， 则二次方程ax 2+bx+c=0有两个实数根.⑸数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.3. 非负数的性质：⑴非负数集合里，有一个最小值，它就是零.例如：a 2有最小值0（当a=0时）， 1+x 也有最小值0（当x=－1时）. ⑵如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零.若a ≥0且－a ≥0， 则a=0；如果a －b ≥0且b －a ≥0，那么a －b=0.⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.例如：若a ，b ，x 都是实数数，则a 2+b 2≥0, a ×b ≥0, a 2x ≥0. ⑷若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零.例如 若+-1a （b ＋3）2+12+c =0那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-0120)3(012c b a 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-0120301c b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-==5.031c b a .二、例题例1. 求证：方程x 4+3x 2+2x+6=0没有实数根证明：把方程左边分组配方，得（x 4+2x 2+1）+(x 2+2x+1)+4=0即（x 2+1）2+(x+1)2=－4∵（x 2+1）2＞0，(x+1)2≥0，∴（x 2+1）2+(x+1)2≥0.但右边是－4.∴不论x 取什么实数值， 等式都不能成立.∴方程x 4+3x 2+2x+6=0没有实数根.例2. a 取什么值时，根式)1)(2()1)(2(a a a a --+--有意义？ 解：∵二次根式的被开方数（a －2）()1-a 与(a －2)(1－)a 都是非负数，且（a －2）()1-a 与(a －2)(1－)a 是互为相反数，∴（a －2）()1-a ＝0. （非负数性质2）∴a －2=0；或 1-a =0.∴a 1=2, a 2=1, a 3=－1.答：当 a=2或a=1或a=－1时，原二次根式有意义.例3. 要使等式（2－31x ）2+48162--+x x x ＝0成立，x 的值是＿＿＿＿. （1991年泉州市初二数学双基赛题）解：要使原等式成立∵（2－31x ）2≥0， ∴48162--+x x x ≤0. ∴48162--+x x x ＝44--x x ＝－1，(x －4≠0) ∴（2－31x ）2＝1，且x －4<0. 即⎪⎩⎪⎨⎧<-=041)3122x x －（ 解得⎩⎨⎧<=493x x x 或＝ ∴x=3 .答：x 的值是3.例4. 当a, b 取什么实数时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0有实数根？（1987年全国初中数学联赛题）解：∵当△≥0时，方程有实数根.解如下不等式：［2（1＋a ）］2－4(3a 2+4ab+4b 2+2)≥0－8a 2－16ab －16b 2+8a －4≥0，2a 2+4ab+4b 2－2a+1≤0，（a+2b ）2+(a －1)2≤0 ①∵（a+2b ）2≥0且(a －1)2≥0，得（a+2b ）2+(a －1)2≥0 ②∴只有当（a+2b ）2＝0且(a －1)2＝0 不等式①和②才能同时成立.答：当a=1且b=－21时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0有实数根. 三、练习 1. 已知在实数集合里x x -+-33有意义，则 x=____.2. 要使不等式（a+1）2≤0成立，实数a=_____.3. 已知1212+++-b b a ＝0，则 a=＿＿, b=＿＿, a 100b 101=____.4. 把根号外因式移到根号里：① －a a =＿＿＿， ② b b -=＿＿＿＿， ③－c c 1-=＿＿＿＿. 5.如果a<b,那么)()(3b x a x ++-等于（ ）（A ）（x+a ）))((b x a x ++-. (B) （x+a ）))((b x a x ++.(C) －（x+a ）))((b x a x ++-. (D) －（x+a ）))((b x a x ++.（1986年全国初中数学联赛题）6. 已知a 是实数且使a a -=x , 则x=＿＿＿＿.(1990年泉州市初二数学双基赛题)7. 已知a, b 是实数且a 2111+-+-≤b b . 化简1214422+--+-ab b a ab a 后的值是＿＿＿＿.(1990年泉州市初二数学双基赛题)8. 当x=＿＿时，3－（x ＋2）有最大值＿＿＿.（1986年泉州市初二数学双基赛题）9. 已知： ,141=-+-c a 且a -1, 4-c 都是整数.求a, c 的值. （1989年全国初中数学联赛题） 10.求方程x 2+y 2+x 2y 2+6xy+4=0的实数解. 11.求适合不等式2x 2+4xy+4y 2－4x+4≤0的未知数x 的值. 12.求证：不论k 取什么实数值，方程x 2+(2k+1)x －k 2+k=0都有不相等的实数解. 13. 比较a 2+b 2+c 2与ab+bc+ca 的大小.14.已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=++a z xy a xz yz xy z y x 112的解x,y,z 都是非负数. 求a 的值.练习题参考答案1. 32. －13. 1，－1，－14. ①－3a ， ②－3b -， ③ c -5. C6. 0。
非负数初中数学中考知识点
非负数初中数学中考知识点
非负数初中数学中考知识点
非负数，顾名思义，就是不是负数的数，也就是零和正实数。
例如：0、3。
4、9/10、π（圆周率）。
下面是店铺整理的非负数初中数学中考知识点，欢迎大家阅览。
非负数
非负数大于或等于0。
非负数中含有有理数和无理数。
非负数的和或积仍是非负数。
非负数的和为零，则每个非负数必等于零。
非负数的积为零，则至少有一个非负数为零。
非负数的绝对值等于本身。
常见的`非负数
实数的绝对值、实数的偶次幂、算术根等都是常见的非负数。
常见表现形式
非负数的准确数学表达是a≥0、│a│、a^2n是常见的非负数。
知识归纳：任何一个非负数乘以—1都会得到一个非正数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第60讲 非负数的性质
一、知识点分析：
非负数：若a 为实数，则2a ，a 均为非负数。
即02
≥a ，0≥a 。
非负数的性质：几个非负数的和等于0，则每个非负数都等于0。
如：002===+b a b a ，则。
二、典例解析：
例1、若|x-1|+|y+2|=0，求x+y 的值．
【随堂练习】
已知n=4，且|x-5|+|y-2n|=0，求x-y+8的值．
例2、已知()()036322=-+-b a ，求b a 的值．
【随堂练习】
已知 ()()0432
2=-++y x ，求x-y 的值．
例3、一个两位数，个位数字和十位数学的和是x ，个位数字是y ．
（1）用含x ，y 的代数式表示这两个位数；
（2）若x ，y 满足（x-6）2+|x-2y-4|=0，求出这个两位数．
【随堂练习】 已知（2a-1）2+|b+1|=0，求2014211⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛b a 。
例4、已知|2-b|与|a-b+4|互为相反数，求ab-2014的值．
【随堂练习】
已知|-x+7|与|-2y-1|互为相反数，求2y −x 的值．
例5、若|a+2|与（b-3）2互为相反数，求a b +3（a-b ）的值．
【随堂练习】
已知|a-1|与（b+2）2互为相反数，求（a+b ）2013+a 2014的值
例6、已知|a-2|+|3b-1|+|c-4|=0，求a+6b+2c 的值．
【随堂练习】
若|a-
21|+|b-31|+|c-4
1|=0．求a+b-c 的值．。