复变函数(全)解析

1
2
3
1
2
3 1 23
12 3
z (z z ) z z z z
12
3
12
13
第二节 复数的几何表示
1.复平面 （ 1 ） 定 义 复 数 z x iy 与 有 序 实 数
(x, y) 一一对应，对于平面上给定的直角 坐标系，复数的全体与该平面上的点的全
体成一一对应关系，从而复数 z x iy 可
界的,否则称为无界.
第四节 区 域
2.单连通域与多连通域 复平面上的一个区域B ,如果在其中任
意作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属 于B ,就称为单连通域.如果一个区域不是 单连通域,就称为多连通域
第五节 复变函数
1.复变函数的定义
定义 设G 是一个复数 z x iy 的集合,
如果有一个确定的法则存在,按照这一法则,
第一节 复数及其代数运算
注：两个复数相等,必须且只须它们的 实部和虚部分别相等.一个复数为0 ,必 须且只须它们的实部和虚部分别为0 .
第一节 复数及其代数运算
2 复数的代数运算
(1)定义 两个复数z x iy , z x iy
1
1
12
2
2
加减法 z z (x x ) i( y y ) ,
都属于G ,那么称z 为G 的内点.如果G 内的 0
每个点都是G 的内点,那么称G 为开集.
第四节 区 域
(3) 区域 平面点集D 称为一个区域,如果D 满足下列 两个条件:
1)D 是一个开集;
2)D 是连通的,即D 中任意两点都可以
用完全属于D 的折线连接起来.
第四节 区 域
（4） 闭区域 设D 为复平面内的一个区域，如果点
P 不属于D ，但在P 的任意小的邻域内总 有包含D 中点，则P 点称为D 的边界点,D 的所有边界点组成D 的边界,区域D 与它的 边界一起构成闭区域或闭域,记作D .
第四节 区 域
(5)有界,无界
如果一个区域D 可以被包含在一个以原点 为中心的圆里面,即存在正数M ,使区域D
的每一个点 z 都满足 z M ,那么D 称为有
用该平面上的点(x, y) 来表示，此时，x 轴 称为实轴，y 轴称为虚轴，两轴所在的平
面称为复平面或z 平面
第二节 复数的几何表示
(2)复数的模
复数z x iy 的模为 z x2 y2
(3)复数的辐角
复数 z x iy 的辐角定义为
Argz 2k 0
其中 满足 称为 Argz 的主值,
第一节 复数及其代数运算
1 复数的概念 对 任 意 二 实 数 x, y , 称 z x iy 或
z x yi 为复数,其中x, y 分别称为z 的实部
和虚部,记作 x Re(z), y Im( z).
当 x 0, y 0 时,z iy 称 为纯 虚数 ; 当 y 0时,x x i0可看作实数x .
对复平面内任一点z ,用一条直线将N 与z 连结起来,该直线与球面交于异于N 的 唯一点P ,这样除了N 之外,复平面内点与 球面上的点存在一一对应的关系.这样的 球面称为复球面.
第三节 复数的乘幂与方根
1. 乘积与商
设有两个复数
（1）乘积
z1
r1 (cos 1
sin1 )
r e i1 1
,
z2
r2 (cos2
0
0
记作arg z .
当z 0 时, z 0 ,辐角不确定.
第二节 复数的几何表示
(4) 复数的三角表示 z r(cos sin )
(5) 复数的指数表示
z rei
第二节 复数的几何表示
2 复球面 取一个与复平面切与原点的球面,球
面上一点S 与原点重合,过S 作垂直于复平 面的直线与球面相交于另一点N ,称N 为 南极,S 称为北极.
z2 r2
第二节 复数的几何表示
2.幂与根 (1) 幂 n个相同复数z 的乘积称为z 的n次幂,记作zn ,即
z n z zz r n (cos n sin n )
n
第二节 复数的几何表示
(2)方根 设z 已知，把满足方程 n z 的 称为z 的n 次根,记作 n z ,即
n z r1 n (cos 2k i sin 2k)
对于集合G 中的每一个复数z , 就有一个或 几个复数w u iv 与之对应,那么称复变数 w是复变数z 的函数(简称复变函数),记作
z f (z)
集合G 称为 f (z) 定义集合(或定义域),对应于 G中所有z 的一切w 值所成的集合G 称为函数
值集合.
第五节 复变函数
2.映射的概念
如果用z 平面上的点表示自变量z 的值， 而用另一个平面—w 平面上点表示函数w 的 值，那么函数w f (z) 在几何上就可以看做 是把 z 平面上的点集G 变到w 平面上点集G
n
n
第四节 区 域
1.区域的概念
(1) 邻域
平面上以z 为中心, (任意的正数)为半 0
径的圆: z
z 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
内 部 的 点 的 集 合 称 为z 0
的
邻域,而称不等式0 z z 所确定的点集 0
为z 的去心邻域. 0
第四节 区 域
(1)开集
设G 为平面点集,z 为G 中任意一点, 0
如果存在z 的一个邻域,该邻域内的所有点 0
1
2
1
2
1
2
乘法
z z (x x y y ) i(x y x y ),
12
12
12
21
12
商
z 1
xx 12
yy 12
i
xy 21
xy 12
z
x2 y2
x2 y2
2
2
2
2
2
第一节 复数及其代数运算
(2)性质
z z z z , zz zz;
1
2
2
1
12
21
z (z z ) (z z ) z ,z (z z ) (z z )z
的映射（或变换）这个映射通常简称为由函
数w f (z)所构成的映射.如果G 中的点z 被 映射w f (z) 映成G 中的点w ,那么w 称为 z 的象(映象),而z 称为w 的原象.
第六节 复变函数的极限和连续性
1. 复变函数的极限
定义 设函数w f (z)定义在z 的去心邻 0
sin2 )
r e i2 2
,
三角表示
z1z2 r1r2[cos(1 2 ) sin(1 2 )]
指数表示
z z r r e 1 2
i ( 1 2 ) 12
第三节 复数的乘幂与方根
（2）商
三角表示
z1 z2
r1 r2
[cos(1
2)
sin(1
2 )]
指数表示
z r e 1
1 i ( 1 2 )