第五章点的运动学习题解答

习 题

5-1 如图5-13所示，偏心轮半径为R ，绕轴O 转动，转角t ωϕ=（ω为常量），偏心距e OC =，偏心轮带动顶杆AB 沿铅垂直线作往复运动。试求顶杆的运动方程和速度。

图5-13

)(cos )sin(222t e R t e y ωω-+=

)

(cos 2)

2sin()[cos(2

22t e R t e t e y v ωωωω-+

==

5-2 梯子的一端A 放在水平地面上，另一端B 靠在竖直的墙上，如图5-14所示。梯子保持在竖直平面内沿墙滑下。已知点A 的速度为常值v 0，M 为梯子上的一点，设MA = l ，MB = h 。试求当梯子与墙的夹角为θ时，试点M 速度和加速度的大小。

图5-14

A M x h

l h

h x +=

=θsin θcos l y M = 0cos v h

l h x h l h h x A M +=+== θθ 得 θθ

cos )(0h l v += θθθθθtan )

(cos )(sin sin 0

0h l lv h l v l l y M +-=+⨯-=-=

0=M x

θθθθθ3

22

002

020cos )(cos )(sec )(sec )(h l lv h l v h l lv h l lv y M +-=+⨯+-=+-= θ

3

22

cos )(h l lv a M

+=

5-3 已知杆OA 与铅直线夹角6/πt =ϕ（ϕ 以 rad 计，t 以s 计），小环M 套在杆OA 、CD 上，如图5-15所示。铰O 至水平杆CD 的距离h =400 mm 。试求t = 1 s 时，小环M 的速度和加速度。

图5-15

ϕtan h x M =

ϕϕϕ22sec 6

π

400sec ⨯== h x

M ϕϕϕϕϕϕϕsin sec 9

π200sin sec 6π3π400)sin sec 2(6π400323

3=⨯⨯=⨯⨯= M x

当s 1=t 时6

π

=

ϕ mm/s 3.2799π

800346π400)6π(sec 6π4002==⨯==M v

223232mm/s 8.1683

27π80021)32(9π200)6πsin()6π(sec 9π200==⨯⨯=⨯⨯=M a

5-4 点M 以匀速u 在直管OA 内运动，直管OA 又按t ωϕ=规律绕O 转动，如图5-16所示。当t = 0时，M 在点O 处，试求在任一瞬时点M 的速度和加速度的大小。

图5-16

)cos(t ut x ω= )sin(t ut y ω=

)sin()cos(t t u t u x ωωω-= )cos()sin(t t u t u y ωωω+=

)cos()sin()sin(2t t u t u t u x

ωωωωωω---= )]cos()sin(2[t t t u ωωωω+-= )]sin()cos()[cos(t t t t u y ωωωωω-+= )]sin()cos(2[t t t u ωωωω-=

222)(1t u y x

v ω+=+=

222)(4t u y

x a ωω+=+=

5-5 点沿曲线AOB 运动，如图5-17所示。曲线由AO 、OB 两段圆弧组成，AO 段半径R 1= 18m ，OB 段半径R 2= 24m ，取圆弧交接处O 为原点，规定正方向如图。已知点的运动方程s =3 +4t – t 2，t 以s 计，s 以m 计。试求：(1) 点由t = 0 到t = 5 s 所经过的路程；（2）t = 5 s 时点的加速度。

图5-17

243t t s -+= t s

v 24-== 0=v 时s 2=t 3)0(=s 7)2(=s 2)5(-=s

由t = 0 到t = 5 s 所经过的路程 m 13|72|)37(=--+-=s 2τ-=a 2122n m/s 28

36

)104(==-==R R v a

2222

n 2τm/s 828.22222==+=+=a a a

5-6 图5-18所示的摇杆滑道机构中的滑块M 同时在固定的圆弧槽BC 和摇杆OA 的滑道中滑动。如BC 的半径为R ，摇杆OA 的轴O 在弧BC 的圆周上。摇杆绕轴O 以等角速度ω转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法给出点M 的运动方程，并求其速度和加速度。

图5-18

直角坐标法

)2cos 1(cos t R R R x ωθ+=+= t R R y ωθ2sin sin ==

t R x

ωω2sin 2-= t R y ωω2cos 2= t R x

ωω2cos 42-= t R y ωω2sin 42-= ωR y x

v 222=+=

2224ωR y

x a =+= 自然法

t R t R s ωω22=⨯=

ωR s

v 2== 0τ==s

a 22

n 4ωρ

R v a ==

5-7 小环M 在铅垂面内沿曲杆ABCE 从点A 由静止开始运动，如图5-19所示。在直线段AB 上，小环的加速度为g ；在圆弧段BCE 上，小环的切向加速度ϕτcos g a =。曲杆尺寸如图所示，试求小环在C 、D 两处的速度和加速度。

图5-19

在直线段AB

R v R v B B g 2g 2022

==- 圆弧段BCE

ϕcos g τ=a R s

t v cos g d d = R s t s s v cos g d d d d =⨯ R s s v v cos g d d = ⎰⎰=s v v s R

s v v B 0

d cos g d R

s R v v B sin g )(2122=- 在C 处

2πsin g )(2122R v v B C =- R R v v B C g 4g 22

2=+=

R v C g 2=