质点运动微分方程中加速度的方向如何确定
用Lagrange方程求自由质点在球坐标系中运动微分方程
用Lagrange方程求自由质点在球坐标系中运动微分方程1. 引言1.1 研究背景当我们研究物体的运动时，通常会采用拉格朗日方程这一数学工具。
拉格朗日方程是描述多自由度动力学系统的重要工具，它可以方便地推导出物体的运动方程，帮助我们更好地理解物体在运动过程中的行为。
在多种坐标系中，我们可以用拉格朗日方程来描述物体的运动，包括直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
在球坐标系中，物体的运动可以更自然地描述出来，特别是对于涉及到球对称性的运动问题。
通过拉格朗日方程，我们可以推导出物体在球坐标系中的运动微分方程，从而更深入地研究物体的运动规律。
这对于研究天体运动、分子运动等问题都具有重要的意义。
通过对自由质点在球坐标系中的运动微分方程进行研究，可以帮助我们更好地理解物体的运动规律，为解决实际问题提供有力的数学工具。
在本文中，我们将介绍拉格朗日方程的基本概念和推导过程，以及自由质点在球坐标系中的运动微分方程，同时给出一些实际应用的举例，希望能为读者带来一定的启发和帮助。
1.2 研究意义研究自由质点在球坐标系中运动微分方程的意义在于可以帮助我们更好地理解物体在空间中的运动规律。
通过求解这些微分方程，我们可以得到质点在球坐标系中的位置、速度和加速度随时间的变化关系，从而揭示质点在球坐标系内的轨迹和轨迹方程，以及质点受到的力和力矩等信息。
这对于研究空间运动系统的动力学特性、分析系统的稳定性和控制系统的设计等方面都具有重要的意义。
研究自由质点在球坐标系中运动微分方程还可以为实际工程和科学问题的求解提供重要的参考。
在机械工程、航空航天、物理学等领域，往往需要对运动系统进行建模和仿真，以便对系统进行分析和优化。
而球坐标系是描述空间中天体运动和球形机构运动的常用坐标系，因此掌握球坐标系中质点的运动微分方程对于这些领域的研究具有重要的指导意义。
深入研究自由质点在球坐标系中运动微分方程的意义在于提高我们对物体运动规律的理解，为实际问题的数值模拟和分析提供参考，以及指导工程设计和科学研究的开展。
理论力学 第11章 质点运动微分方程
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
《理论力学 动力学》 第十六讲 变质量质点的运动微分方程
变质量动力学曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、变质量质点的运动微分方程2、变质量动力学在火箭发射中的应用3、变质量质点的动力学普遍定理1、变质量质点的运动微分方程(1) 变质量质点的运动微分方程m 在时刻t ，质点的质量为m ，速度为vv 1在时刻t+d t ，并入速度为v 1的微小质量d mm +d m v 并入后，系统质量变为m +d m ，速度变为v +质点系在t 瞬时的动量：11d m m =+×p v v t +d t 质点系在t+d t 瞬时的动量：2(d )(d )m m =++p v v 根据动量定理有：(e)21d d t=-=p p p F (e)1d d d d d d m m m m t+×+×-×=v v v v F 略去高阶微量d m ·d v ，并在等式两边同时除以d t , 得：(e)1d d ()d d m m t t --=v v v F 式中v 1-v=v r 为微小质量在并入前相对于质点m 的相对速度, 令d d r m t f =F v 则有：(e)d d m tf =+v F F —变质量质点的运动微分方程方程形式与常质量质点运动微分方程相似，仅在右端多了一项F ϕ，它具有力的量纲，常称为反推力。
当d m /d t >0 时，F ϕ与v r 同向；当d m /d t <0 时，F ϕ与v r 反向。
1、变质量质点的运动微分方程(2) 常用的几种质量变化规律i 质量按线性规律变化1)1(0<-=t t m m b b ，由知，其反推力为：b 0d d m t m-=r 0rd d mm t f b ==-F v v 当v r 为常量时，反推力也为常量，且与v r 方向相反。
ii 质量按指数规律变化tm m b -=e 0由知，其反推力为：0d d t m m e t b b -=-r 0rd d tmm e t b f b -==-F v v 令a ϕ表示仅在反推力F ϕ作用下变质量质点的加速度，则：0rrtt m e m m e b f f b b b ---===-F v a v 当v r 为常量时，a ϕ也为常量，即由反推力引起的加速度为常量。
《工程力学 》课件第14章
14.2.3 点的加速度
同直角坐标法求速度的方法一样， 动点的加速度在直角 坐标轴上的投影为
ax
lim vx Δt0 t
dv x dt
d2x dt 2
ay
lim v y Δt0 t
dv y dt
d2 y dt 2
（14-19）
即动点的加速度在直角坐标轴上的投影等于其相应的速度
投影对时间的一阶导数，也等于其相应的坐标对时间的二阶导
当点M沿已知轨迹运动时， 弧坐标s是时间t的单值连续函
数， 即
s f (t)
（14-1）
上式称为动点沿已知轨迹的运动方程。当函数已知时，任一瞬 时点在轨迹上的位置即可确定。
图14-1
例14-1 点M沿已知曲线轨迹运动，如图14-2所示。其运 动方程为s=t2-2t-1(s的单位为cm，t的单位为s)。试求当t=0、1、 2、3s时，点的弧坐标s以及0～3s内动点所走过的路程。
如图14-4所示，动点M沿已知轨迹运动。以动点M为坐标 原点， 以轨迹上M点的切线和法线为坐标轴，并规定切线坐标 轴（切向轴）τ以指向弧坐标正的方向为正向，法线坐标轴 （法向轴）n以指向轨迹曲率中心为正向。 此正交坐标系称为 自然坐标系，简称自然轴系。可见, 自然轴系随动点M沿已知 轨迹运动。
图14-4图
a an 4R 2
其方向沿MO且指向O，可知套环M沿固定圆环作匀速圆周运动。
14.2 直角坐标法求点的速度和加速度
14.2.1 点的运动方程
设一动点M相对于直角坐标系Oxy作平面曲线运动，如图 14-8所示，某瞬时它的位置可用直角坐标系的两个坐标x、y确 定。点运动时，两个坐标x、y都是时间t的单值连续函数，即
数。 有了加速度的两个投影，即可求得加速度a的大小和方向
质点的位移、速度和加速度
t
2. 瞬时速度
(1) 匀速直线运动
瞬时速度
v =
_
v
Δr
t
瞬时速度 = 平均速度
(2)变速曲线运动
瞬时速度
v
lim
r
dr
t0 t dt
说明
(1) 速度是位矢的一阶导数
r
v2
Δ r2 t2
r2
B
A
C
r1 v1
Δ r1 t1
vA
接近匀速直线运动
(2) 速度 与 r ( t 0时 ) 方向相同 ，沿轨迹切线方向
1.2 质点的位移、速度和加速度
一、 位移 (t t) r (t)
位移
位矢
r
在t
时间内的增量
说明
s
r(t)
r
P
O• r (t t)
(1) r是矢量， s 是标量，且大小一般不等
Δr
(2) 分清
r
r s
与Δr ( r)的区别
二、 速度
1. 平均速度
v
r
v
P•r
趋向切线方向
Q
L
(3) 根据运动方程
r
r (t)
，可确定任意时刻的速度
v
三、 加速度
1. 速度增量
v v(t t) v(t)
2 . 平均加速度
a
v
t
3. 瞬时加速度
a
v lim t0 t
dv dt
d
2
r
dt 2
讨论
v (t )
A •
v(t t)
•
B
r(t)
r(t t)
O•
v
(1) 加速度是速度的一阶导数，是位矢的二阶导数
质点运动学问题的解
§3 质点运动学问题的解上两次课我们就如何描述质点的运动情况，定义了a v r,,和给出了轨道的表达式，以及a v r ,,这些矢量在各种坐标系中的分量表达式。
如果我们已知其中的某个量，那么根据上述这些量的关系，就可求出其余各个量。
这也就是对质点运动学问题的解。
虽然，质点运动学问题各种各样的很多。
但是，对于常见质点运动学问题加以分类的话，它可分为三种类型。
一、三种类型1、第一种类型：是已知运动方程)(t r r =，求速度v 和加速度a 。
这类问题比较简单。
基本上就是按照速度和加速度在各种坐标系中的分量式直接计算。
它的主要运算过程就是微分、导数。
所以比较简单，对大家来说不会有什么问题。
2、第二种类型：是已知)(t a a =或)(v a a =或)(r a a =求)(,t r r v =。
显然这一类问题是第一类问题的逆过程，它的基本计算方法是积分，有时也要解一些简单的微分方程。
对于已知)(t a a =这种情况，只要用积分公式可直接积分。
对于后两种情况，要通过适当的积分变换后才能积分。
例如在一维的情况下：（1）如果已知：)(v f a =则有：)(v f dtdv =在一维的情况下，不需要用矢量表示，它的方向完全可由正负来表示。
将上式变换为：dt v f dv =)(这种形式之后，方可两边同时进行积分：⎰⎰⎰⎰=→=t t v v dt v f dv dt v f dv 00)()(得到速度)()(t x t v →（2）如已知：)(x f a =，则)(v f dt dv =显然不能直接积分，需作一下数学变换，将⎰⎰→=→=→==dx x f vdv x f dxdv v dx dv v dt dx dx dv dt dv )()(由这个式子可以解出)(x v ϕ=，再变换一下就可以求出：)(t x x =。
对于这类简单的数学变换大家必须要熟悉，解决物理问题的过程是离不开数学运算技巧的。
第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
解 分别取圆轮和物块A为研究对象 设滑块A有向下加速度a，圆轮有角加速度ε。由运动学知 a=rε 即a =0.4ε 取物块A为研究对象，受力图如图所示，物块有向下的加速 度a做平移运动。列出动力学基本方程
再取圆轮为研究对象,受力图如 图所示, 列出动力学基本方程
F=ma
质点动力学 基本方程
F表示作用于质点上力系的合力，加速 度a的方向与质点合力F的方向相同。
第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－1 动力学基本定律
质点动力学基本方程具有下列几个方面的含义：
(1)作用在质点上的力与质点的加速度是 瞬时关系。两者同瞬时产生，同瞬时 消失；力变化时，加速度随着变化； 若合力为零，质点作惯性运动。
第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
转动惯量 I. 转动惯量的概念
mi代表各质点的质量，ri为各质点 到转动轴线的距离
飞轮
刚体的质量愈大，或质量分布离转轴愈 远，则转动惯量就愈大；反之，则愈小。
第3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
式中,Fx表示作用于质点上的合力沿x轴方向的投影，Fy 表示合力沿y轴方向的投影, ax为加速度在x轴方向的投 影, ay为加速度在y轴方向的投影。 第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－2 质点运动微分方程及其应用
求解质点动力学的两类问题
1.质点动力学的第一类问题---已知运动 求作用力
已知质点的运动(运动方程、速度方程和 加速度),将运动方程或速度方程对时间求 导得到加速度,将加速度代入基本方程,可 求解出质点上的作用力。求解较容易。
理论力学课后答案-谢传峰、王琪-动力学部分
( x 2 R 2 ) 2 xx 3 2 2 R 2 xx 2x x
后，可求得： 将上式消去 2 x
x
2 R4 x
( x 2 R 2 )2
(d)
由上式可知滑块 A 的加速度方向向左，其大小为 取套筒 A 为研究对象，受力如图所示， 根据质点矢量形式的运动微分方程有：
0
a
av cos 2 45 0 av l 2l
v r1
1－15 解：动点：销子 M 动系 1：圆盘 动系 2：OA 杆 动系：机座； 运动分析： 绝对运动：曲线运动 相对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动 根据速度合成定理有
ve1
ve2
v r2
x
va1 ve1 v r1 ，
va2 ve2 v r2
y’
va
vr
ve
O
x’
va ve vr
将上式沿绝对速度方向投影可得：
v a v e v r
y’ 因此
vr ve va
v 其中： v a v B , v e R B , A ， RA
由此可得： v r
arn
RB 380 v A vB m/s RA 9
O1 A 2R
根据加速度合成定理有
a a a et a en a r aC
将（b）式在垂直于 O1A 杆的轴上投影得
（b）
aet aen
ar
aa
aC
a a sin 30 0 a et cos 30 0 a en sin 30 0 aC
其中： a a R ， a 2 R
ve
质点动力学-动量及动量定理 (2)
柔绳对桌面的冲力F＝－F’ 即：
M 2 2 Fv v 而 v 2 g x FM 2 g x / L L
2
而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L 所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
fi 0
i
'
f
质点系
结论：质点系的内力之和为零
F
外力: 系统外部对质点系内部质点的作用力 约定：系统内任一质点受力之和写成 外力之和
F i fi
内力之和
二、质点系的动量定理
•两个质点的系统
m
1
f
F1
F2
d P1 F1 f dt
m
2
f
d P P 1 d 2 F f F f 1 2 d t d t
解：以链条为系统，向上为X正向，地面为原点建立 坐标系。 t时刻，系统总动量 P X v xv a d x d v dP d(xv) v x x d t d t dt dt
v ax
2
O
变质量问题
系统动量对时间的变化率为：
d P 2 3 ax v ax 2 ax ax d t t时刻，系统受合外 Iy Iz
t2 t1 t2 t1 t2 t1
F x dt F y dt F z dt
+
0 t1 t2 t
（注意可取 + -号）
冲量的几何意义：冲量
I x 在数值上等于
Fx ~ t 图线与坐标轴所围的面积。
3、质点的动量定理
d v d P F m a m d t d t
《理论力学》第十章 质心运动定理
－－质心运动定理 －－质心运动定理
结论： 结论：
质心“ 1. 质心“像一个质点一样遵循牛顿第二定 理”。 无论刚体（ ）、质点系做何形式的运 2. 无论刚体（系）、质点系做何形式的运 动，此定理成立。 此定理成立。 3. 质心的运动仅与质系的外力有关，与
内力无关。 内力无关。
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质心是永远存在， 质心是永远存在，而重心只有在重力场中才存在
在重力场内， 在重力场内，质心与重心重合
Wi ∑ ix C x = W Wi ∑ iy y = C W W ∑ izi z C= W
质心坐标
（二）质心运动定理 d2r i m 2 =F 对每个质点 i i d t 2 dr i 求和 F m 2 =∑ i ∑ i d t 2 2 2 d d dr C 左 = 2 (∑ ir) = 2 (mC) =m 2 边 mi r d t d t d t E I 右 =∑F +F =∑ iE +∑ iI 边 F F i i
mi ∑ ir r = C m ∑ i
问题： 问题：
mi ∑ ix x C= m ∑ i mi ∑ iy y = C m ∑ i mi ∑ iz z C= m ∑ i
构成，每个刚体质心位置已知， 系统由几个刚体构成，每个刚体质心位置已知， 系统质心如何确定？ 1. 系统质心如何确定？ 质心的速度如何确定？ 2. 质心的速度如何确定？
运动微分方程
F = ma
铁球在未离开筒壁前m的vR2速度F，N等mvgcoRwsq πnR
于筒壁上与其重合点的速度。即
30
运动微分方程
mvR2 FNmgcosq
v Rw πnR
30
1
nπ3R0m R(FNmgcoqs)2
当θ=θ0 时铁球将落下，这时FN =0，于是得滚筒转速
n9.549 Rg cosq0
q0 F
速度成正比：F=cv，c为常数。求回收舱到达地
面时的速度和加速度。
运动微分方程
例题粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平
匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。
为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在θ=θ0 时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。
q0 F
n
FN mg
视铁球为质点。铁球被旋 转的滚筒带着沿圆弧向上运动， 当铁球到达某一高度时，会脱 离筒壁而沿抛物线下落。
aC
Fe
OC
O'
R
这就是小环 M 相对于大圆环的运动微分方程。
应用循环变换q q dq，将式( a )的变量分离并代
dq
入初始条件进行积分
运动微分方程
q q dq dq
qw2siqn
qqdqqw2siqndq
2w
0
q w q 222(1co)s
w O
art
vr
FN M
ae
aC
Fe
arn qFC s
牛顿定律的适用范围： 惯性坐标系； 速度远远小于光速； 宏观物体; 质点(平动刚体)
动力学理论有着广泛的应用。航天航空中的动力学计 算、结构的动荷响应、高速转动机械的动力学行为分 析等都需要有动力学的知识作为基础。
w11 质点的运动微分方程
d2y dt 2
Y
m
d2y dt 2
Z
x x(t)
(
式中
y
y(t)
为质点直角坐标形式的运动方程 )
z z(t)
3. 自然坐标形式的质点运动微分方程
m
d 2s dt 2
F
m
v2
Fn
(式中s s(t )为质点的弧坐标形式的 运动方程。F ,Fn ,Fb分别为力F在
0
mg
dx dt
dy dt
c1 gtc2
x
y
c1t c3 1 gt2
2
c2t
c4
微分方程 积分一次
再积分一次
16
代入初始条件得 : c1 v0cos0 ,c2 v0sin0 ,c3 c4 0
则运动方程为 os0 ,
ma F ,
G g
dv dt
Gsin
1
man Fn ,
G v2 T Gcos
gl
2
⑤求解未知量
由2式得 T G(cos v2 ) ,
gl
其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动 ,
因此 0时 , T Tmax
Tm
ax
G(1
v02 gl
dy dt
eA mk
sin
kt
25
已知: m , v0 , E Acos kt, v0 E, F eE,不计重力
求:质点的运动轨迹。
由 t 0时 x y 0,积分
x
(导学)10质点运动微分方程
g e
。
工程力学导学 动力学
动力学基本定律 质点运动微分方程
20
8 战斗机重力为P1=29.4kN,引擎的推进力为F1=14.7kN，其 起飞速度为v=36.1m/s。空气阻力与速度的平方成正比，为 FR=kv2，单位为N，阻力方向与速度方向相反，其中，k=1.96。 为使战斗机能在舰船上起飞，采用弹射器以减少飞机的滑行路 程，假定弹射器的附加推力等于F2＝4.9kN,试问战斗机起飞跑 道的长度可缩短多少？
工程力学导学 动力学
动力学基本定律 质点运动微分方程
4
2) 质点运动微分方程的常用表达式
形式 矢量 O
r
图例 M
a
F
运动微分方程
d2 r m 2 F dt
适用 空间曲线
z
直角坐标
az Fy
Fx
Fz
M
z
x
ay
y
x
弧坐标
（自然法）
O
y
ax
s (-)
O a n (+) Fn
Fr
答案
Fmax=102kN，F=99kN。
工程力学导学 动力学
动力学基本定律 质点运动微分方程
17
5 筛粉机如图所示。已知曲柄OA以匀角速度转动， OA=AB=l，石料与筛盘间的摩擦因数为fs，为使碎石料在筛盘 中来回运动。试求曲柄OA的角速度至少应多大？
答案
gf s 2l
。
工程力学导学 动力学
切线方向：
mq r mg sin q
q g sin q / r
积分（注意分离变量）：
dq dq dq dq q q dt d q d t dq
10 质点的运动微分方程
dy 1 2 = gt + c3 , y = gt + c3t + c4 dt 2
再积分式（2），有 v y =
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第十章 质点运动微分方程
当t=0时， y = y 0 = 0, v y = v0 y = v0 sin α 代入上式得：
1 2 于是有 y = v 0 t sin α gt （4） 2 式（3）、（4）为所求的炮弹运动方程。
2
b
an
Fn
n
a
M
F
aτ
Fτ
上式即为自然轴投影式的质点运动微分方程。
τ
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第十章 质点运动微分方程
§10－ 3质点动力学两类基本问题 10－
用质点运动微分方程的投影式可解决质点动力学问题，解 题时要注意根据问题的条件对质点进行受力分析合运动分析。 包括两类问题 ①已知质点的运动规律，求作用于质点的力。此类问题仅 用到微分运算，故又称为微分问题。 ②已知作用于质点的力，求质点的运动规律。此类问题需 对质点运动微分方程进行积分，故又称为积分问题。 第二类问题比较复杂。除了要给知作用于质点的力外，还 须给运动的初始条件，这样才能确定质点的运动。
【思考题】
1．选择题 （1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平面曲线运 动，速度为v。试问下列各式是否正确？
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第十章 质点运动微分方程
dv dv a.m = Fτ , b.m = F dt dt
A．a、b都正确。 B．a、b都不正确。 C．a正确，b不正确。 D．a不正确，b正确。
第十章 质点运动微分方程
1.直角坐标系的投影式 1.直角坐标系的投影式 将（3）式投影至固定的直角坐标系oxyz坐标轴上：
理论力学11 质点运动微分方程
质点。
2.质点系 质点系：由有限或无限个有着一定联系 质点系 的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 刚体 不变的质点组成,又称为不变质点系。
1
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。 三.动力学分类: 质点动力学
5
二. 第二定律（力与加速度关系定律） 第二定律（力与加速度关系定律） 质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大 小成正比，与质点的质量成反比， 小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方 向相同。 向相同。
即：
r r F a= m
r r 或 ma = F
由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常称上式 为动力学基本方程 动力学基本方程。 动力学基本方程 注意： 注意：当质点同时受几个力的作用时,式中的F 为这ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力的合力。
2
授课教师：薛齐文 授课教师： 土木与安全工程学院力学教研室
3
第十一章
质点运动微分方程
§11–1 动力学基本定律 §11–2 质点运动微分方程
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§11.1 动力学基本定律 动力学的理论基础：是牛顿三大定律，它们也被称为 动力学的理论基础 动力学的基本定律。 第一定律（惯性定律） 一. 第一定律（惯性定律） 任何质点如不受力作用， 任何质点如不受力作用，则将保持其原来静止的或匀速 直线运动的状态不变。 直线运动的状态不变。 质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性 称为惯性 事实上，不存在不受力的质点，若作用在质点上的力系为 平衡力系，则等效于质点不受力。 该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。 该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。
关于质点系运动微分方程的应用
应用质点系运动微分方程的研究技术一、质点系运动微分方程的定义质点系运动微分方程是一种描述物体在特定的空间内的运动轨迹的数学方程。
它是一种描述物体运动的微分方程，可以用来求解物体在特定条件下的运动轨迹。
它是一种描述物体运动轨迹的一般微分方程，可以用来解决质点系的运动问题，它可以用来求解物体在特定条件下的运动轨迹。
质点系运动微分方程的定义是：当物体处于一定的空间中，它的运动轨迹可以用一个特殊的微分方程来描述，这个微分方程就是质点系运动微分方程。
它由一个或多个未知函数的求导与一个或多个已知函数的乘积组成，这些函数可以是时间函数、位置函数或速度函数等，只要它们满足物体运动的物理规律。
例如，用质点系运动微分方程来描述一个抛物运动的物体，可以得到一个如下的微分方程：\frac{d^2x}{dt^2}=-g，其中，g表示重力加速度。
又如，用质点系运动微分方程来描述一个摆动运动的物体，可以得到一个如下的微分方程：\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{g}{l}sin(x)，其中，g表示重力加速度，l表示摆的长度。
总之，质点系运动微分方程是一种描述物体在特定的空间内的运动轨迹的数学方程，它由一个或多个未知函数的求导与一个或多个已知函数的乘积组成，它可以用来求解物体在特定条件下的运动轨迹。
二、质点系运动微分方程的常见形式质点系运动微分方程是一组常见的微分方程，它们描述了质点系的运动。
它们的形式是一般的欧拉方程，也就是一阶微分方程组，其中有n个未知函数，每个函数有m个变量。
它们的具体形式是：$$\frac{d \mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x},t)$$其中，$\mathbf{x}$ 是质点系的状态变量，$\mathbf{f}$ 是质点系的动力学方程，描述了质点系的运动规律。
质点系运动微分方程有许多不同的形式，比如牛顿运动方程，描述了质点受到外力时的运动规律：$$m \frac{d^2 \mathbf{x}}{dt^2} = \mathbf{F}(\mathbf{x}, t)$$这里，$m$ 是质量，$\mathbf{F}$ 是外力。
质点运动微分方程
式中：m——质点的质量； F——作用于质点上的所有力的合力； a——质点获得的加速度。 该式是研究质点动力学问题的基本依据，称为动力学基本方程。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 根据动力学基本方程，当质点不受力的作用(合力为零)时，其
加速度必为零，此时质点将保持静止或匀速直线运动状态不变。 物体的这种保持运动状态不变的属性称为惯性。两个质点受力相 同时，质量大的加速度小，说明其运动状态不容易改变，即它的 惯性大；质量小的加速度大，说明其运动状态容易改变，即它的 惯性小。因此，质量是质点惯性的度量。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
1.3 刚体平行移动微分方程
v0 v
0
解得活塞的速度为 v=v0e-kt
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
将上式写为
dx dt
v0ekt
再次积分
x
t
dx v0ektdt
解得
0
0
x v0 (1 ekt )
k
即为活塞的运动规律。
当t→∞时，e-kt→0，由v=v0e-kt 可知，活塞的速度趋于零；由上 式可知，此时x趋于最大值。由此确定液压缸的长度为
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
解 把活塞看作一质点，作用于活塞上
的力为液体的阻力F。如图所示，取活塞初 始位置为坐标原点，建立x轴。列出活塞的 运动微分方程
m d2x F dt 2
或
m d2x v
dt 2
令k
m
，则上式成为
dv kv dt
分离变的方向恒指向椭圆中心，这种力称为有心力。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 例7.2 液压减振器 （如图）的活塞在获得初速度v0后，在液压
[理学]动力学专题4——质点的运动微分方程
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第三定律（作用与反作用定律）
两个质点间相互作用的力，总是大小相等，方 向相反，且沿着同一直线，分别作用在这两个质 点上。
在静力学里，研究物体的平衡用到它。在动力 学里，这一定律依然成立。
由于作用与反作用，引起了机械运动在相互 作用的两质点（物体）间发生转移。力就是这种 机械运动转移的反映。
v0cos0
sg 2gH
v0sin0 2gH
抛射初速度大小与发射角0为：
v0
(v0cos0)2(v0sin0)2
g2s2 2gH 2gH
9.81252 29.811.5m/s10.5m/s 29.811.5
0 ta 1 v v 0 0 c s nio 0 0 n tsa 1 2 s H n ta 1 2 5 n 1 .5 3 1
动拉力。全部拉力称为动拉力。
例题 4-2
煤矿用填充机进行填充, 为保证充填材料抛到 距离为s=5 m，H=1.5 m的顶板A处。求 (1)充填材 料需有多大的初速度v0 ？ (2)初速 v0与水平的夹
角 0？ 不计空气阻力。
解：已知力为常量，属于第二类问题。 选择填充材料M为研究对象，画受力图，M作 斜抛运动。 t0,x00,y00;
§4-1 动力学基本定律
1. 动力学基本定律
动力学基本定律是动力学的基础,但它们只能直 接应用于质点。对于质点系,应该将它们分别应用于 每一质点,然后导出质点系的运动规律。
质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复 杂物体系统的基础，质点动力学基本方程给出了质 点受力与其运动变化的关系，质点动力学的基础是 三个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人研究成 果基础上提出的，称为牛顿三定律。
研究对象 2. 受力分析
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待解决
质点运动微分方程中加速度的方向如何确定
回答:这里选择三维笛卡尔坐标系来讲解
质点运动微分方程公式： M dV F Ma dT →→→==，其中M ：质量，a →
：加速度，V T d d →：速度的一紒导数。
要判断加速度的方向即是求V T
d d →的方向。
一般物理中的动力学问题是： 1，知道动力学方程求物体的轨迹。
2，知道物体轨迹求动力学方程。
第一种情况加速度方向
已知，对第二种情况。
设运动轨迹方程：R X i Y j Z k →→→→=++，对其求导得：(/)(/)(/)V i dx dt j dy dt k dz dt →→→→
=++--（1），在对（1）式求导得
V T d d →=(/)/(/)/(/)/i d dx dt dt j d dy dt dt k d dz dt dt →
→→++，可知加速度的方向就可求的，加速度与x 轴夹角V V =arccos[*(/)/]/[(/)/]T T d d i d dx dt dt i d dx dt dt d d α→→
→→
加速度与y 轴夹角 V V =arccos[*(/)/]/[(/)/]T T d d j d dy dt dt j d dy dt dt d d β→→→→
加速度与z 轴夹角 V V =arccos[*(/)/]/[(/)/]T T d d k d dz dt dt k d dz dt dt d d θ→→
→→
注：在一或二维的笛卡尔坐标系的陈述略；在非笛卡尔坐标系中如曲线坐标系中他是可以把坐标转化成笛卡尔坐标故略。
如果排除解析几何这一数学工具，单纯用纯几何的方法求解，一般要用到三角形，立体几何，与向量性质，与作为参考系的不在同一平面的三条直线；一般的求解也是在寻找与已知的直线方位的关系。
但过程就十分复杂了，方法途径就显得多样没有规律。
故我们一般选择参考系的时候选择笛卡尔坐标系，这样解析几何的优势就被体现出来了。
物力加速度问题，答的好给50分！
悬赏分：20 - 离问题结束还有 16 天 20 小时
问题补充：
一个球以初速度20m/s 向上抛出，如果当球向上抛得过程中我们不忽略空气阻力，球得加速度是大于，等于还是小于由于重力造成得加速度？ 请说你的理由
不是理想情况，是不忽略空气阻力！！看清楚
回答：
在回答之前列出题中关键概念，（参见《大学物理手册》）
重力：地球对对其表面附近尺寸不大的物体的万有引力叫做重力。
万有引力：设有两质点，其质量m1，m2，相距r ；他们之间有万有引力F ，用公式表示212F=G (m *)/m r →→，F 的方向向着两质点连线。
参考系，质点概念略。
一般我们选地球为参考系，把地球看成标准的球体以球心为基点建立参考系，牛顿早已证明在标准球体的表面，质点对他的吸引力等同于把球体看成球心中一质点，质点质量等于球体质量，这里证明略。
而又地球在自转，故表面的物体也就有一个离心力大小f=mv*v/r*r ，方向，物体在地球表面纬线平面的法线方向；从这些可知道地球对一般物体的重力用仪器测得的大小是万有引力与离心力合力。
但是由重力定义可知道，理论上重力只与万有引力有关；而问题中物体是以速度大小为20m/s 向上抛出，由万有引力公式可知道重力在减少，重力加速度大小也就在减小。
而这时候物体的力是万有引力与离心力合力，易知合力的大小永远不可能大于二力的代数和与小于二力之差；而处于这两种极端情况是南北两极与赤道，更一般
的情况合力大小其中a 是向量f1与f2在同一起点二者
的最小夹角，a 00(90,180)∈；由公式可知道在上抛的过程中加速度是大于重力加速度的，
注意这里的重力加速度是上抛各位置点的重力加速度，而这时的重力加速度相对地面的重力加速度是减小的；而如果这时候与地面的重力加速度相比较这略。