高三艺术生高中数学基本知识汇编含答案

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高考文科艺术生数学主要知识点归纳必修1数学知识点集合1、一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。

记作B A ⊆.2、如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3、一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y .即}|{B x A x x B A ∈∈=或Y4、一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I .即}|{B x A x x B A ∈∈=且I5、全集、补集：{|,}U C A x x U x U =∈∉且 §1.2.1、函数的概念1、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.2、求定义域的一般方法：①整式：全体实数R ；②分式分母0≠， ③偶次根式：被开方式0≥；④、对数的真数0>。

§1.3.1、单调性与最大（小）值(1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数；],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.(2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性1、如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.函数与导数1、导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.2、几种常见函数的导数①'C 0=；②1')(-=n n nxx ； ③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=；⑤a a a xx ln )('=； ⑥xx e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 3、导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+. （3）'''2()(0)u u v uv v v v-=≠ 4、函数的极值(1)极值定义：极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值；极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＞)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极小值. (2)判别方法：①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值. 6、求函数的最值(1)求()y f x =在(,)a b 内的极值（极大或者极小值）(2)将()y f x =的各极值点与(),()f a f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。

2023艺术生新高考数学讲义第22讲解三角形(学生版+解析版)

第22讲解三角形【知识点总结】 1.角的关系++==+180,sin sin()A B C A B C =-+=-+cos cos(),tan tan(),A B C A B C++==sin cos ,cos sin .2222A B C A B C2.正弦定理===2(2sin sin sin a b c R R A B C 为∆ABC 的外接圆的直径）.正弦定理的应用：① 已知两角及一边求解三角形.②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：若<a b ,已知角Ａ求角Ｂ. π⎧>⎪⎪===⎨⎪<⎪⎩无解；两解（一锐角、一钝角）1,sin 1,21,B B 若>a b ,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.3.余弦定理=+-2222cos c a b ab C （已知两边a,b 及夹角Ｃ求第三边c ）+-=222cos 2a b c C ab（已知三边求角）.余弦定理的应用：①已知两边及夹角求解第三边； ② 已知三边求角；③已知两边及一边对角未知第三边. 4.三角形面积公式∆====1111sin sin sin .2222ABC S ah ab C bc A ac B【典型例题】例1．（2022·浙江·高三专题练习）ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，30A =︒，3a =，若这个三角形有两解，则b 的取值范围是（） A ．36b <≤ B ．36b << C ．6b <D ．6b ≤例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足cos cos b C a c B =+，则该三角形的形状是（） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形例3．（2022·全国·模拟预测）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .且sin sin sin sin sin ,2sin a B Cb B a Ac C a A-=-=，在①ABC 的周长为6；②sin 2sin B C =；③sin sin 3b C c B π⎛⎫ ⎪⎝+⎭=这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题.（1）求A ；（2）求ABC 的面积.注:如果选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.例4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，b =．（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值；（2）求a c +的最大值．例5．（2022·上海·高三专题练习）如图，在ABC 中，45B ∠=︒，点D 在BC 边上，且2CD =，3AD =，1cos 3ADC ∠=（1）求AC 的长；（2）求sin BAD ∠的值.例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4cos sin 33f x x xπ．（Ⅰ）求函数()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．（Ⅰ）在ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，若角C 为锐角，()f C ，且2c =，求ABC 面积的最大值．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，若22sin cos cos sin a A Bb A B=，则ABC 的形状为（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60A ∠=︒，1b =，ABCS2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于（）A B C D ．3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足222b c a bc +-=且a =sin bB=（） A ．2 B ．3C ．4D ．4．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，30A ∠=︒，AB =1BC =，则C ∠等于（） A ．3π或23πB ．6π或56π C ．6πD ．3π 5．（2022·全国·高三专题练习）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为)301m 的建筑物,AB 在它们之间的地面上的点(,,M B M D 三点共线）处测得楼顶A ､楼顶C 的仰角分别是15︒和60,︒在楼顶A 处测得楼顶C 的仰角为15︒，则估算黄鹤楼的高度CD 为（）A． B ． C ． D ．6．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，若a =1，b B =60°，则A =（） A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°7．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 中，4BC =，AC =30A ∠=︒，则B ∠=（） A ．30B ．30或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒8．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2220,a c b ac ABC +--=的ABC 的周长为9,则ac =（） A ．6B ．9C ．16D ．249．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，6,,sin 2sin 3BC A B C π===.则ABC 的面积为（）A ．B ．6C ．D ．10．（2022·浙江·高三专题练习）在ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（） A ．502030A b c ===，， B ．502030A B c ===，， C ．243130a b A ===，，D ．504529A a c ===，，11．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知12,30b A ==︒，使得三角形有两解的条件是（） A ．6a =B ．612a <<C ．12a ≥D ．6a <12．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其中2a =，sin sin sin sin sin sin A B A C B C +=，则b c +的最小值为（）A ．6B ．7C ．8D ．913．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2cos 3A =，2B A =．则ba=( ) A ．43B ．54 C ．32D ．6514．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 中，内角,,A B C 对应的边分别为a ，b ，c ，若4a b c +==，3C π=，则ABC 的面积为( )A B ．C ．4D ．15．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a =，45C ︒=，2cos cos ac B b bc A =+，则ABC 的面积为（）A ．12B ．1C ．2D ．416．（2022·浙江·高三专题练习）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()5c a b =-+，3C π=，则ABC 的面积是（）A ．3BCD ．17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，22213a b c -=，ABC 的面积为216c ，则A =（）A ．45°B ．60°C ．120°D ．150°18．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()()2232540a b a c -+-=，则ABC 最小内角的余弦值为（）A ．45B C ．35D ．3419．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222b c a +=，则角A 的大小为（） A ．6πB ．23π C ．3π D ．56π 20．（2022·全国·高三专题练习）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测量A ，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°．就可以计算出A ，B 两点的距离为（）．A． m B ．m C ．m D ． m二、多选题21．（2022·全国·高三专题练习）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（） A ．3a =，4b =，30A =︒ B ．3a =，4b =，3cos 5B =C ．3a =，4b =，30C =︒D ．3a =，4b =，30B =︒22．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，a ，b ，c 为三个内角A ，B ，C 的对边，若()222tan a c b B +-=，则角B =（） A ．30 B ．60︒ C ．150︒ D ．120︒三、填空题23．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知120A =︒，7a =，11cos 14B =，则b =___________ 24．（2022·全国·高三专题练习）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．25．（2022·全国·高三专题练习（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若1,4a B π==，ABC 的面积2S =，则ABC 的外接圆的面积为__________．26．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，若()sin sin cos sin A B B C +=，a =ABC 外接圆的面积为__________.27．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 外接圆的直径为d ，4AB =，5AC =，7BC =，则d =___________.28．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin :sin :sin 7:5:4A B C =，则最大角等于_________．29．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知23B C π+=，a =1b =，则ABC 的面积为______.30．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()cos cos 16c a B b A -=，8a b +=，60C ∠=，则c 的值等于__________31．（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，222sin sin sin A B C +-=则cos2C =________.32．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示四边形ABCD 中，AD DC =，AC =BC =120ADC =∠︒，75BCD ∠=︒，则四边形ABCD 的面积为________.33．（2022·全国·高三专题练习）为测量山高MN .选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得N 点的仰角30MAN ∠=︒，C 点的仰角60CAB ∠=︒以及105NAC ∠=︒，从C 点测得30NCA ∠=︒.已知山高150=BC 米.则所求山高MN 为___________米.四、解答题34．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中， a b c 、、分别为内角、、A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅰ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC 的形状．35．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，a ＝8，b ＝6，cosA 13=-，求：（1）角B ；（2）BC 边上的高．36．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值：（2）求sin C 的值．37．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且22cos b c a C -=. （1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，2c =，求b 的取值范围.38．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，已知角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+.（1）求角C ；（2）若2c =，求a b +的取值范围.39．（2022·天津北辰·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知7,8a c == （1）若4sin 7C =，求角A 的大小；（2）若5b =，求ABC 的面积．40．（2022·上海·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且22coscos 2A BB --sin()sin cos()A B B AC -++35=-（1）求cos A 的值；（2）若a =5b =，求B 和c .41．（2022·全国·高三专题练习）从①sin cos2A A=，②2cos cos cos a A b C c B =+，③()cos 2cos 0a C b c A ++=，这个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______．（1）求A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．42．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin b B c C a A+=sin b C -．（1）求A ；（2）若点D 在BC 上，满足AD 为BAC ∠的平分线，1AC =且sin C =AD 的长．43．（2022·全国·高三专题练习）在钝角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，()()sin sin 4sin 2A B A B A +--=.（1）求ba的值.（2）若c =π3C =，求ABC 的面积.44．（2022·全国·高三专题练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()2cos 2cos cos a C c B A -=+.（Ⅰ）求cos C ；（Ⅰ）若ABC 的面积ABC S =△，()()sin sin 2sin 2A B A B B++-=，求c .45．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin 0b C -=．（1）求角B 的大小；（2）从条件①4b a ==；条件②2,4a A π==这两个条件中选择一个作为已知，求ABC 的面积．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．46．（2022·全国·高三专题练习）ABC 中，2AB AC =，点D 在BC 边上，AD 平分BAC ∠.（1）若sin ABC ∠=cos BAC ∠；（2）若AD AC =，且ABC ，求BC .47．（2022·全国·高三专题练习（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且满足22b a ac -=，若.6A π=（1）求角B ；（2）若周长为6，求ABC 的面积.48．（2022·全国·高三专题练习（文））已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()1sin B A C -=+，4b =.（1）求sin B ；（2）若2C A π-=，求ABC 的面积.49．（2022·全国·高三专题练习（文））在ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos 3a B b A a +=，2cos 3B =．（Ⅰ）求c a的值；（Ⅰ）已知ABC 的面积为b ．50．（2022·全国·模拟预测）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos sin sin 0a B C A =. （1）求B ；（2）2,AC BC D ==是AC 边上的中点，求BD 的长.51．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos ccos a A b C B -=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅰ）若2a =，求b c +的取值范围．52．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四边形ABCD 中，2CD =，BC =4AB =，60BDC ∠=︒，cos ABC ∠=（1）求sin DBC ∠；（2）求AD .53．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形ABC ，AB AC =，D 为边BC 上的一点，90DAC ∠=︒，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，求ABD △的面积及BD 的长．条件①6AB =；条件②1cos 3BAC ∠=-；条件③CD =54．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形ABCD 中，5π6DAB ∠=，π4ADC ∠=，2AB AC ==1CD =.（1）求cos ACD ∠的值；（2）求BC 的值.55．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，且AC 为DAB ∠的角平分线，π3ABC ∠=，33AB BC ==．（1）求sin DAC ∠；（2）若2π3ADC ∠=，求四边形ABCD 的面积． 56．（2022·全国·高三专题练习）如图，ABC 中，角,,A B C 成等差数列，BAC DCA ∠=∠，1BD =，E 为AC 的中点.（1）若BCD S △CD ；（2）若AC A θ=，且122θππ<<，求sin θ的值．57．（2022·全国·高三专题练习）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．58．（2022·全国·高三专题练习）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与.D 现测得75BCD ∠=︒，60BDC ∠=︒，CD =C 测得塔顶A 的仰角为30，求塔高AB .第22讲解三角形【知识点总结】1.角的关系++==+180,sin sin()A B C A B C =-+=-+cos cos(),tan tan(),A B C A B C++==sin cos ,cos sin .2222A B C A B C 2.正弦定理===2(2sin sin sin a b c R R A B C为∆ABC 的外接圆的直径）. 正弦定理的应用：① 已知两角及一边求解三角形.②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：若<a b ,已知角Ａ求角Ｂ. π⎧>⎪⎪===⎨⎪<⎪⎩无解；两解（一锐角、一钝角）1,sin 1,21,B B 若>a b ,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.3.余弦定理=+-2222cos c a b ab C （已知两边a,b 及夹角Ｃ求第三边c ）+-=222cos 2a b c C ab（已知三边求角）. 余弦定理的应用：①已知两边及夹角求解第三边；② 已知三边求角；③已知两边及一边对角未知第三边.4.三角形面积公式∆====1111sin sin sin .2222ABC S ah ab C bc A ac B 【典型例题】例1．（2022·浙江·高三专题练习）ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，30A =︒，3a =，若这个三角形有两解，则b 的取值范围是（）A ．36b <≤B ．36b <<C ．6b <D ．6b ≤【答案】B【详解】因为这个三角形有两解，故满足sin b A a b <<，即sin 303b b <<，解得36b <<.故选：B例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足cos cos b C a c B =+，则该三角形的形状是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】C【详解】因为cos cos b C a c B =+，由正弦定理可得：sin cos sin sin cos B C A C B =+，所以[]sin cos sin cos sin ()B C C B B C π-=-+，所以sin()sin()B C B C -=+，所以B C B C -=+或B C B C π-=--，即0C =(舍去)或2B π=，故ABC 为直角三角形，故选：C例3．（2022·全国·模拟预测）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .且sin sin sin sin sin ,2sin a B C b B a A c C a A-=-=，在①ABC 的周长为6；②sin 2sin B C =；③sin sin 3b C c B π⎛⎫ ⎪⎝+⎭=这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题. （1）求A ；（2）求ABC 的面积.注:如果选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.【解析】（1）由正弦定理及sin sin sin sin sin sin a B C b B a A c C A-=-，得222b a bc c -=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，由于()0,A π∈，所以3A π=（2）选①:由ABC 的周长为6，得64b c a +=-=，由（1）得2222(31)6a b c bc b c bc =+-=+-=3,bc -所以21643a bc -==，所以ABC的面积为11sin 422S bc A ==⨯= 选②:由正弦定理及sin 2sin ,B C =得2b c =，由余弦定理得，2222222423a b c bc c c c c =+-=+-=，即243c =，解得c =所以2b c ==，所以ABC的面积为11sin 22S bc A === 选③:由正弦定理及sin sin 3b C c B π⎛⎫ ⎪⎝+⎭=，得sin sin sin sin 3()B C C B π=+，因为0C π<<，所以sin 0C >，所以sin sin()3B B π=+，即1sin sin 2B B B =，整理可得tan B = 因为0B π<<，则3B π=，所以ABC 为等边三角形，所以ABC的面积为211sin 422S a A ==⨯ 例4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，b =．（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值；（2）求a c +的最大值．【详解】（1）由角A 、B 、C 的度数成等差数列，得2B ＝A ＋C ．又A B C π＋＋＝，∴3B π＝．由正弦定理，得34c a ＝，即34c a ＝．由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =．（2）由正弦定理，得sin sin sin a c b A C B ===∴a A =，c C ．∴)()sin sin sin sin a c A C A A B +=+++⎤⎦π3πsin sin sin 326A A A A A ⎫⎤⎛⎫⎛⎫=++==+⎪ ⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎦⎭．由203A π<<，得5666A πππ<+<．所以当ππ=62A +时，即=3A π时，()max a c += 例5．（2022·上海·高三专题练习）如图，在ABC 中，45B ∠=︒，点D 在BC 边上，且2CD =，3AD =，1cos 3ADC ∠=（1）求AC 的长；（2）求sin BAD ∠的值.【详解】（1）2CD =，3AD =，1cos 3ADC ∠=， ∴在ADC 中，由余弦定理得222222321cos 22323AD CD AC AC ADC AD CD +-+-∠===⋅⨯⨯，29,3AC AC =∴=∴（2）1cos 3ADC ∠=，所以sin ADC ∠=，又由题意可得=BAD ADC B ∠∠-∠，sin =sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∴∠∠-∠=∠∠-∠∠13==例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4cos sin 33f x x x π．（Ⅰ）求函数()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．（Ⅰ）在ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，若角C 为锐角，()f C ，且2c =，求ABC 面积的最大值．【详解】解：（Ⅰ）()4cos sin()3f x x x π=-4cos sin cos cos sin 33x x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭14cos sin 2x x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos x x x =-sin 222sin(2)3x x x π==-，由42x ππ，有22633x πππ-，所以1sin 2123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭∴函数()f x 的值域为[]1,2．（Ⅰ）由()f C sin(2)3C π-=C 为锐角，233C ππ∴-=，3C π∴=．2c =，∴由余弦定理得：224a b ab +-=，222a b ab +，224a b ab ab ∴=+-．1sin 32ABC S ab C ∴==，∴当a b =，即ABC 为正三角形时，ABC 【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，若22sin cos cos sin a A Bb A B =，则ABC 的形状为（） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】D【分析】由已知条件，结合正弦定理得sin 2sin 2A B =，有A B =或2A B π+=，即可知正确选项.【详解】由22sin cos cos sin a A Bb A B =知：22sin cos sin sin cos sin =A BA AB B ，即sin cos sin cos A A B B =， ∴sin 2sin 2A B =，即22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=，故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60A ∠=︒，1b =，ABC S 2sin 2sin sin a b c A B C-+-+的值等于（） ABCD．【答案】A【分析】根据面积公式及余弦定理求出a ，以及根据正弦定理变形2sin 2sin sin sin a b c a A B C A-+=-+，进一步求出答案. 【详解】 1sin 2S bc A =∴24sin S c b A === ∴22212cos 116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=， ∴a =∴2sin 2sin sin sin a b c a A B C A -+=-+ 故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足222b c a bc +-=且a =sin b B=（） A ．2B ．3C ．4D ．【答案】A【分析】先利用余弦定理求得3A π=，再利用正弦定理求解即可.【详解】由题222b c a bc +-=，2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===,又0A π<<，3A π∴=，2sin sin b a B A ∴==，故选：A.4．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，30A ∠=︒，AB =1BC =，则C ∠等于（） A ．3π或23πB ．6π或56π C ．6πD ．3π 【答案】A 【详解】由正弦定理知sin sin BC ABA C=，∴1sin sin 2AB C A BC =⋅==， ∵0πC <<，C A >，∴3C π=或23π. 故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为)301m 的建筑物,AB 在它们之间的地面上的点(,,M B M D 三点共线）处测得楼顶A ､楼顶C 的仰角分别是15︒和60,︒在楼顶A 处测得楼顶C 的仰角为15︒，则估算黄鹤楼的高度CD 为（）A． B． C． D．【答案】C 【分析】分别在ABM ，ACM △及CDM 应用正弦定理求解. 【详解】在ABM 中，15,AMB ∠=︒则sin15ABAM == 在ACM △中，因为151530,1806015(105)CAM CMA ∠=︒+︒=︒∠=︒-︒+︒=︒，所以1801053045MCA ∠=︒-︒-︒=︒因为sin sin CM AM MAC MCA =∠∠，所以()60CM m =，故)sin 60CD CM m =︒=.故选：C.6．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，若a =1，bB =60°，则A =（） A ．30° B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°【答案】A 【分析】根据正弦定理sin sin a bA B=的式子，代入题中数据算出1sin 2A =，结合△ABC 中A <B ，可得A =30°.【详解】解：∵在△ABC 中，B =60°，∴根据正弦定理sin sin a bA B =，可得sin s 1i n 2a B b A ︒===，又∵在△ABC 中a <b ，可得A <B ，∴A =30°. 故选：A .7．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 中，4BC =，AC =30A ∠=︒，则B ∠=（） A ．30 B ．30或150︒ C ．60︒ D ．60︒或120︒【答案】D 【分析】直接利用正弦定理计算即可得出答案. 【详解】解：因为4BC =，AC =30A ∠=︒， sin sin BC ACA B=，所以1sin 2sin 4AC AB BC⋅=== 所以B ∠=60︒或120︒. 故选：D.8．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2220,a c b ac ABC +--=的ABC 的周长为9,则ac =（）A ．6B ．9C ．16D ．24【答案】B 【分析】首先由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==，所以3B π=，再由正弦定理可得 2sin 3b R B ==，根据周长为9，由22()39a c ac b +-==即可得解. 【详解】在ABC 中，由2220,a c b ac +--=可得222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，由0B π<<可得3B π=，所以2sin 3b R B ===，由ABC 的周长为9,所以9936a c b +=-=-=，由2220,a c b ac +--= 可得22()39a c ac b +-==，所以327ac =，所以9ac =，故选：B9．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，6,,sin 2sin 3BC A B C π===.则ABC 的面积为（）A．B ．6 C ．D ．【答案】A 【分析】由余弦定理可得2236c b bc =+-，由正弦定理可得2b c =，解得b 和c 的值，再由1sin 2S bc A =即可得解．【详解】2222cos a b c bc A =+-，2236c b bc ∴=+-，sin 2sin B C =，2b c ∴=.解得：c b ==∴ABC 的面积为11sin 22S bc A ==⨯=故选：A.10．（2022·浙江·高三专题练习）在ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（） A ．502030A b c ===，， B ．502030A B c ===，， C ．243130a b A ===，， D ．504529A a c ===，，【答案】C 【分析】根据三角形的性质依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，已知两边及夹角，由余弦定理可知第三边为定值，故只有一个解；对于B 选项，已知两角及任意一边，则三角形确定，只有一个解；对于C 选项，由正弦定理得sin 31sin sin 3048b A B a ==>，所以B 有两个解；对于D 选项，由正弦定理和大边对大角得C 为小于50的锐角，故只有一个解. 故选：C11．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知12,30b A ==︒，使得三角形有两解的条件是（） A ．6a = B ．612a << C ．12a ≥ D ．6a <【答案】B 【分析】计算C 到AB 的距离h ，结合图形即可得出结论．【详解】12b =，30A =︒，C ∴到AB 的距离sin 6h b A ==，∴当6a <时，三角形无解，当6a =时，三角形有一解，当612a <<时，三角形有两解，当12a 时，三角形有一解．故选：B ．12．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其中2a =，sin sin sin sin sin sin A B A C B C +=，则b c +的最小值为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【分析】根据题意，利用正弦定理得到ab ac bc +=，进而得到221c b+=，再结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意知sin sin sin sin sin sin A B A C B C +=，根据正弦定理，可得ab ac bc +=，因为2a =，所以22b c bc +=，即221c b+=，则2222()()448b c b c b c c b c b +=++=++≥+，当且仅当4c b ==时等号成立，即b c +的最小值为8．故选：C ．13．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2cos 3A =，2B A =．则ba=( ) A ．43B ．54 C ．32D ．65【答案】A 【分析】利用正弦定理并结合已知条件即可求解. 【详解】由正弦定理可得，sin sin 22sin cos 42cos sin sin sin 3b B A A A A a A A A =====.故选：A.14．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 中，内角,,A B C 对应的边分别为a ，b ，c ，若4a b c +==，3C π=，则ABC 的面积为( )A B ．C ．4D ．【答案】A 【分析】已知两边之和与第三边，直接套用余弦定理公式求出两边之积，再代入面积公式计算. 【详解】由余弦定理可得22272cos ()3163a b ab C a b ab ab =+-=+-=-，所以3ab =.所以11sin 322S ab C ==⨯=．故选：A ．15．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a =，45C ︒=，2cos cos ac B b bc A =+，则ABC 的面积为（）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】B 【分析】根据题意，结合余弦定理化简得出222a b =，从而求得b =in 12s S ab C =，即可求出结果. 【详解】解：已知2cos cos ac B b bc A =+，由余弦定理得：222222222a c b b c a ac b bc ac bc+-+-⋅=+⋅，解得：222a b =，故b =11sin 2122S ab C ∴==⨯=. 所以ABC 的面积为1. 故选：B.16．（2022·浙江·高三专题练习）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()5c a b =-+，3C π=，则ABC 的面积是（）A ．3 BCD．【答案】C 【分析】先根据题意以及余弦定理求出ab ，再根据三角形面积公式即可求解. 【详解】解：2222()525c a b a ab b =-+=-++，即22225a b c ab +-=-，由余弦定理得：222251cos 3222a b c ab ab ab π+--===，解得：5ab =，则ABC的面积为：11sin 522ab C =⨯=故选：C.17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，22213a b c -=，ABC 的面积为216c ，则A =（）A ．45°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A 【分析】由余弦定理和面积公式分别可得cos 3c A b =，sin 3cA b=，可得tan 1A =即可得解. 【详解】由余弦定理可得：222223cos 223c b c a c A bc bc b+-===由211sin 26ABCSbc A c == 可得sin 3cA b=，所以sin cos A A =，即tan 1A =，由0180A <<，所以45A =. 故选：A.18．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()()2232540a b a c -+-=，则ABC 最小内角的余弦值为（） A ．45BC ．35D ．34【答案】D 【分析】首先根据题意得到320450a b c a -=⎧⎨-=⎩，从而得到3254b a c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即可得到ABC 的最小内角为角A ，再计算cos A 即可.【详解】因为()()2232540a b a c -+-=，所以320450a b c a -=⎧⎨-=⎩，解得3254b a c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可知ABC 的最小内角为角A ，所以22222229253416cos 3524224a a abc a A bc a +-+-===⨯⨯. 19．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222b c a +=，则角A 的大小为（） A ．6πB ．23π C ．3π D ．56π 【答案】D 【分析】根据给定条件结合余弦定理求出cos A 即可得解. 【详解】在ABC中，因222b c a +=，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-===0A π<<，所以56A π=.故选：D20．（2022·全国·高三专题练习）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测量A ，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°．就可以计算出A ，B 两点的距离为（）．A ．m B ．m C ．m D ．m【答案】D 【分析】根据正弦定理，结合三角形内角和定理进行求解即可. 【详解】由三角形内角和定理可知：18030BAC ACB ABC ︒︒∠=-∠-∠=，由正弦定理得:501sin sin 2AB BC AB ACB BAC =⇒=⇒=∠∠ 故选：D二、多选题21．（2022·全国·高三专题练习）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（） A ．3a =，4b =，30A =︒ B ．3a =，4b =，3cos 5B =C ．3a =，4b =，30C =︒D ．3a =，4b =，30B =︒【答案】BCD 【分析】利用正弦定理、余弦定理一一判断即可；【详解】解：根据题意，在A 条件下sin 42sin sin sin 33a A B A b B =⇒=⨯=，因为1223<<所以角B 在,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭和35,46ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个解，并且这两个解与角A 的和都小于π，所以A 不满足；在B 条件下，3a =，4b =，3cos 5B =，根据余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即2181695c c =+-，解得5c =或75c =-（舍），所以只有1个解，满足题意；在C 条件下，条件为边角边，所以有唯一解；在D 条件下，sin 33sin sin sin 48a A A Bb B =⇒=⨯=，因为3182<，所以角A 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭和5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个解，当解在5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，角B 与角A 的和大于π，所以只有1个解，满足题意，故选：BCD ．22．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，a ，b ，c 为三个内角A ，B ，C 的对边，若()222tan a c b B +-=，则角B =（） A ．30 B ．60︒ C ．150︒ D ．120︒【答案】BD 【分析】由余弦定理化边为角即得. 【详解】由题得222tan 2a c b B ac +-=根据余弦定理可知cos tan sin B B B ==， ∴60B =︒或120B =︒．故选：BD.三、填空题23．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知120A =︒，7a =，11cos 14B =，则b =___________ 【答案】5 【分析】先结合B 的范围和同角三角函数的平方关系得到sin B = 【详解】由题意，由于B 为ABC 的内角，故(0,)sin 0B B π∈∴>sin B ∴=由正弦定理，sin sin sin sin a b a Bb A B A=∴=代入可得：75b == 故答案为：524．（2022·全国·高三专题练习）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．【分析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得sin ,A bc ，由此求得三角形ABC 的面积. 【详解】由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C ≠0，所以1sin 2A =. 因为b 2＋c 2－a 2＝8，所以222cos 02b c a A bc +-=>，0,cos 6A A A ππ<<⇒==，故222822b c a bc bc bc +-==⇒所以111sin 222ABCSbc A ====25．（2022·全国·高三专题练习（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若1,4a B π==，ABC 的面积2S =，则ABC 的外接圆的面积为__________．【答案】252π【分析】由ABC 的面积2S =，可求得c =5b =，然后利用正弦定理求出ABC 的外接圆的半径，从而可求出外接圆面积【详解】因为12sin 2S ac B ==⨯，所以c = 由余弦定理得2222cos 25b a c ac B =+-=，所以5b =，所以sin bB=所以ABC 的外接圆的面积为2252ππ⨯=⎝⎭．故答案为：252π26．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，若()sin sin cos sin A B B C +=，a =ABC 外接圆的面积为__________. 【答案】π 【分析】将给定等式消去角C ，而求得A ，再由正弦定理求出外接圆半径即可得解. 【详解】ABC 中，因()sin sin cos sin A B B C +=，则sin sin sin cos sin()A B A B A B +=+，化简得sin sin cos sin A B A B =，而sin B>0，则tan A =1，sin A =ABC 外接圆半径为R ，由正弦定理得22sin aR A==，即R =1，所以ABC 外接圆的面积为2S R ππ==. 故答案为：π27．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 外接圆的直径为d ，4AB =，5AC =，7BC =，则d =___________.【分析】根据余弦定理，求得cos A ，根据同角三角函数的关系，求得sin A ，利用正弦定理，即可求得答案. 【详解】由余弦定理得：2224571cos 2455A +-==-⨯⨯，所以sin A =由正弦定理得sin BC d A =28．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin :sin :sin 7:5:4A B C =，则最大角等于_________．【答案】1arccos 5⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由sin :sin :sin 7:5:4A B C =，利用正弦定理可得::7:5:4a b c =，从而可得角A 为最大角，设()7,5,40a x b x c x x ===>，再利用余弦定理即可的解. 【详解】解：因为sin :sin :sin 7:5:4A B C =，所以::7:5:4a b c =，所以a b c >>，所以A B C >>，设()7,5,40a x b x c x x ===>，则2222516491cos 2545x x x A x x +-==-⨯⨯，所以1arc cos 5A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即最大角为1arccos 5⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1arccos 5⎛⎫- ⎪⎝⎭29．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知23B C π+=，a =1b =，则ABC 的面积为______.【分析】利用余弦定理求得边c ，再利用三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】解：因为23B C π+=，所以3A π=，则2222cos a b c bc A =+-，即231c c =+-，解得2c =或1-（舍去），所以1sin 2ABCSbc A =30．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()cos cos 16c a B b A -=，8a b +=，60C ∠=，则c 的值等于__________【分析】由余弦定理把角化为边，即可求得,a b ，再由余弦定理即可求解【详解】()222222cos cos ()1622a c b b c a c a B b A c a b ac bc+-+--=⋅-⋅=，∴()()2216a b a b a b -=+-=，又8a b +=，则2a b -=， ∴5a =，3b =，又60C ∠=°，故2222cos 2591519c a b ab C =+-=+-=，∴c =故答案为：c =31．（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，222sin sin sin A B C +-=则cos2C =________.1 【分析】利用正弦定理将角化边可得222b c a +-=2cos C ，进而可求2sin C ，从而利用二倍角公式可解. 【详解】解：因为222sin sin sin A B C +-=所以由正弦定理得222b c a +-=，即2222b c ab a +-=由余弦定理得cos C =，所以2cos C =22sin 1co s C C =-=，所以22cos 2cos sin 1C C C =-==，1.32．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示四边形ABCD 中，AD DC =，AC =BC =，120ADC =∠︒，75BCD ∠=︒，则四边形ABCD 的面积为________.【答案】【分析】由已知条件可得5AD DC，6DCA π∠=，4ACB π∠=，应用三角形面积公式求ADC S △，ACB S △，即可求四边形ABCD 的面积. 【详解】由题意，知：52sin 2ACAD DC ADC ===∠，且6DCA π∠=，4ACB π∠=， ∴1sin 2ADCSDC AC DCA =⋅⋅∠，1sin 2ACBS AC BC ACB =⋅⋅∠， ∴四边形ABCD的面积111522222ADCACBS S+=⨯⨯+⨯=. 故答案为：33．（2022·全国·高三专题练习）为测量山高MN .选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得N 点的仰角30MAN ∠=︒，C 点的仰角60CAB ∠=︒以及105NAC ∠=︒，从C 点测得30NCA ∠=︒.已知山高150=BC 米.则所求山高MN 为___________米.【答案】【分析】在Rt ABC中可求得AC =ACN △利用正弦定理可求出AN =. 【详解】由题，在Rt ABC 中，150,60BC CAB =∠=，AC ∴= 在ACN △中，105NAC ∠=︒，30NCA ∠=︒，则45ANC ∠=，由正弦定理可得sin sin AN AC NCA ANC=∠∠，即12AN =AN = 又在Rt AMN △中，30MAN ∠=︒，MN ∴= 所以所求山高MN为.故答案为：.四、解答题34．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中， a b c 、、分别为内角、、A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅰ）若sin sin 1B C +=，试判断 ABC 的形状．【答案】o 120 ，等腰三角形【详解】试题分析：（1）利用正弦定理，化简得222a b c bc =++，在利用余弦定理，求解1cos 2A =-，即可求解角A的大小；（2）由（1），利用两角差的正弦函数，化简得0sin sin sin(60)B C B +=+，即可求解sin sin B C +的最大值.试题解析：（1）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++ 即222a b c bc =++，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+- 故1cos 2A =-，0120A =（2）由（1）得：001sin sin sin sin(60)sin sin(60)2B C B B B B B +=+-=+=+ 故当030B =时，sin sin B C +取得最大值1，此时三角形为等腰三角形. 考点：正弦定理；余弦定理.35．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，a ＝8，b ＝6，cosA 13=-，求：（1）角B ；（2）BC 边上的高．【答案】（1）B 4π=（2）4【分析】（1）由同角的三角函数关系可得sinA =再根据正弦定理解得sinB =即可求角；（2）先可求得()4sin sin 6C A B =+=,即可求得面积1sin 162ABCS ab C ==-进而求得BC 边上的高【详解】（1）在△ABC 中,a ＝8,b ＝6,cosA 13=-,所以角A 为钝角,由sin 2A +cos 2A ＝1,解得sinA =由正弦定理可得a b sinA sinB =,解得sinB =所以B 4π=（2）由（1）可得sinC ＝sin （A +B ）＝sinAcosB +cosAsinB 13⎛⎫=-=⎪⎝⎭,所以11861622ABCSabsinC ==⨯⨯=-,由于1116822ah h =-=⨯⨯,解得h ＝4,故BC 边上的高为4 【点睛】本题考查求三角函数值,考查正弦定理的应用,考查三角形面积公式的应用,考查运算能力36．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值：（2）求sin C 的值．【答案】（1）3a =，7b =；（2. 【分析】（1）利用二倍角公式求得cos B ，由此求得B ，结合已知条件和余弦定理求得,a b ；（2）先求得sin B ，由正弦定理求得sin C . 【详解】（1）由sin 2sin 0B B +=，得2sin cos sin 0B B B +=，因为在ABC 中，sin 0B ≠，得1cos 02B =-<，由于0B π<<，所以23B π=. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22215252b a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，因为10b a =-，所以2221(10)5252a a a ⎛⎫-=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得3a =，所以7b =.（2）由（1）得2sin sin3B π==由正弦定理得5sin sin 7c C B b ===37．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且22cos b c a C -=. （1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，2c =，求b 的取值范围. 【答案】（1）3A π=；（2）()1,4.【分析】（1）根据正弦定理即可解决.（2）利用正弦定理表示出b ，再根据是锐角三角形求出角C 的范围即可得到b 的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得：2sin sin 2sin cos B C A C -=，。

高三数学知识点大全及答案

高三数学知识点大全及答案高三是每个年轻学子都必须面对的重要阶段，也是决定大学录取的关键时期。

其中，数学作为一门重要的学科，占据了高考试卷中的很大比例。

为了帮助同学们更好地备战高考，本文将从基础知识到高级技巧，列举出高三数学必备知识点，并提供答案和解析。

一、数与代数1. 实数：实数包括有理数和无理数，有理数又分为整数、分数和小数。

例如，π、√2都是无理数。

2. 复数：复数由实部和虚部组成，形如a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

3. 多项式：多项式是由常数与变量的乘积相加减所得到的代数表达式。

例如，3x^2+5x-2就是一个二次多项式。

4. 因式分解：因式分解是将一个多项式拆解为更简单的乘积形式。

例如，x^2+5x+6可以因式分解为(x+3)(x+2)。

5. 线性方程：线性方程是指未知数的最高次数为1的方程。

例如，2x+3=7就是一个线性方程。

6. 二次方程：二次方程是指未知数的最高次数为2的方程。

例如，x^2-5x+6=0就是一个二次方程。

解二次方程的公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

二、平面几何1. 直线与角度：直线是没有弯曲的线段，可以用斜率来表示。

角度是由两条射线共享同一端点而形成的图形。

2. 三角形：三角形是由三条边和三个角组成的图形。

根据三边关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

3. 相似三角形：相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

相似三角形的对应边长成比例。

4. 圆和圆周率：圆是由一条不断延伸的弯曲线组成的图形，圆周率π≈3.14159，是一个无理数。

5. 平行线和垂直线：平行线是指在同一平面内不相交的两条直线，它们的斜率相等。

垂直线是指在同一平面内相交成直角的两条直线，它们的斜率互为负倒数。

三、立体几何1. 立体图形的表面积和体积：立体图形的表面积是指其所有表面的总面积，体积是指其所包围的空间容量。

2. 空间几何体：常见的空间几何体包括球体、圆柱、锥体和棱柱等。

高考数学艺体生百日突围专题(11)立体几何(基础篇,含答案)

高考数学艺体生百日突围专题(11)立体几何（基础篇，含答案）《2021艺体生文化课-百日突围系列》专题11立体几何三视图[背诵基础知识]1.投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图――是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图――光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图――光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图――光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图在前视图下方，“长度”等于前视图；侧视图图片位于前视图的右侧，“高度”等于前视图，“宽度”等于顶视图。

（缩写为“正面和侧面一样高，正面和顶部一样长，底部和侧面一样宽。

”（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。

3.视觉图表——通过观察站在某一点的空间几何图形绘制的图形。

视觉图像通常是在平行投影下绘制的空间图形。

【谈论基本技能】1必备技能：三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．通常，如果在俯视图中出现一个圆，几何体可能是一个球或一个旋转体。

如果俯视图是多边形，则几何体通常是多面体；如果前视图和左视图中出现三角形，则几何体可能是椎体。

2个典型例子例1某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）1b.2c.3d.2a。

【答案】c【解析】【试验场地定位】三视图【名师点晴】本题主要考查的是三视图，属于容易题．解题时一定要抓住三视图的特点，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体中最长棱的棱长即可．示例2如果图中显示了几何图形的三个视图，则几何图形的表面积等于（）2111a、 8岁？22b.11？22c.14？22天。

15[答]B[分析]【考点定位】三视图和表面积．【名师注】三视图检查和表面积计算的关键是根据三视图恢复体积，掌握常用几何的三视图，如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、棱锥、圆锥、球、圆锥及其组合，并理解几何尺寸与三视图尺寸之间的关系；有时，还可以使用外部形状补充方法将几何体补充到普通几何体（如立方体或立方体）中，这属于中级问题1.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16?20?，则r?()（a） 1（b）2（c）4（d）8[回答]b[分析]【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式【著名老师的注意】这个问题考察了三种简单组合观点的识别，这是一个常规问题。

特长生高考数学试卷及答案

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 若函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$在区间$[0,2]$上单调递增，则$f(1)$的取值范围是（）。

A. $[0,2]$B. $(-2,0]$C. $[0,2)$D. $(-2,2)$2. 在直角坐标系中，点A(1,2)，点B在直线$y = x$上，且三角形ABO的面积最大，其中O为坐标原点。

则点B的坐标是（）。

A. (1,1)B. (2,2)C. (3,3)D. (1,3)3. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2^n - 3^n$，则数列$\{a_n^2\}$的前$n$项和$S_n$可以表示为（）。

A. $S_n = (2^n - 3^n)^2$B. $S_n = (2^n + 3^n)^2 - 4^n$C. $S_n = (2^n - 3^n)^2 - 4^n$D. $S_n = (2^n + 3^n)^2$4. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 3n^2 + 2n$，则第10项$a_{10}$的值为（）。

A. 32B. 34C. 36D. 385. 已知函数$f(x) = \ln(x+1) - \frac{1}{x+1}$，则$f'(0)$的值为（）。

A. 1B. -1C. $\frac{1}{2}$D. $-\frac{1}{2}$6. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$a^2 + b^2 - c^2 = 2ab$，则角C的大小为（）。

A. $30^\circ$B. $45^\circ$C. $60^\circ$D. $90^\circ$7. 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}$，则数列$\{a_n\}$的通项公式是（）。

A. $a_n = \frac{n(n+1)}{2}$B. $a_n = \frac{n(n+1)}{2} + 1$C. $a_n = \frac{n(n+1)}{2} - 1$D. $a_n = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{1}{2}$8. 已知函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$，若$f(x) = 0$的三个根分别为$x_1, x_2, x_3$，则$x_1 + x_2 + x_3$的值为（）。

高三数学知识点带题及答案

高三数学知识点带题及答案作为高中阶段的关键年级，高三对于学生们来说是充满挑战的一年。

在备战高考的过程中，数学作为一门重要科目，同样也是考试成绩的关键因素之一。

本文将针对高三数学中的一些重要知识点进行讲解，并提供相应的题目和答案，帮助同学们更好地复习和应对考试。

1.函数与方程函数是高中数学中的基础概念之一，掌握函数的性质和解题方法对于理解和应用数学知识至关重要。

题目1：已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 4，求f(2)的值。

答案：将x = 2代入函数中，得到f(2) = 2*(2)^2 + 3*2 - 4 = 14。

题目2：已知方程2x^2 - 3x + 1 = 0，求其根的个数和和根的值。

答案：根据一元二次方程求根公式，可得x = (3±√(3^2 -4*2*1))/(2*2) = (3±√(1))/4。

由于判别式为1，有两个不相等的实数根，分别为x = (3+1)/4 = 1和x = (3-1)/4 = 1/2。

2.数列与数列求和数列是指按一定规律排列的一串数值，在高中数学中占据重要位置。

掌握数列的性质和求和公式对于解决数列相关问题至关重要。

题目3：已知等差数列的前n项和为Sn = 2n^2 + n，求该数列的公差。

答案：等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2，其中a1为首项，an为末项。

将Sn的表达式与公式相比较，可知a1 = 2/2 = 1，an = 2n^2 + n。

由于公差为d，则an = a1 + (n-1)d，代入值后得到2n^2 + n = 1 + (n-1)d。

整理后可得d = 4。

题目4：已知等比数列的前n项和为Sn = 3(2^n - 1)，求该数列的首项和公比。

答案：等比数列的前n项和公式为Sn = a1(1 - q^n)/(1 - q)，其中a1为首项，q为公比。

将Sn的表达式与公式相比较，可知a1 = 3，q = 2。

高三艺术生数学基础知识点

高三艺术生数学基础知识点在高三阶段，作为艺术生的同学们，除了注重专业课程的学习，数学也是必不可少的一门学科。

虽然艺术生相对于理科生来说，对于数学的要求并不像他们那样高，但数学作为一门基础学科，仍然有其重要性。

本文将为高三艺术生总结一些数学基础知识点，以帮助他们更好地备考。

一、函数与方程函数与方程是数学中的基本概念，对于解决各种数学问题起到重要作用。

首先，艺术生需要掌握函数的概念和性质，包括函数的定义、函数的图像、函数的性质等。

其次，方程也是数学中常见的问题形式，艺术生需要学会解一元一次方程、一元二次方程等基本的方程式，并了解方程在实际问题中的应用。

二、数列与数列的应用数列是一系列按照一定规律排列的数，对于解决一些序列问题非常重要。

高三艺术生需要熟悉数列的概念、等差数列和等比数列的性质以及数列求和的方法。

此外，数列的应用也是艺术生需要掌握的，比如利用数列推断某种规律、预测未来的情况等。

三、平面与空间几何艺术生在学习数学时，需要掌握平面几何和空间几何的基本知识。

在平面几何中，艺术生需要学会判断点、线、面等图形的位置关系，熟悉各种图形的性质和计算面积、周长等基本操作。

在空间几何中，艺术生需要学会理解和分析立体图形的特点和各种投影，熟悉体积、表面积等计算方法。

四、概率与统计概率与统计是数学中非常实用的一门学科，也是艺术生需要掌握的。

在概率方面，艺术生需要了解事件的概念、概率的计算方法以及概率的性质。

在统计方面，艺术生需要熟悉统计调查的基本方法、数据的处理与分析等，以求得准确的统计结果。

五、数学思维与解题方法除了基础知识点外，艺术生还需要培养良好的数学思维和解题方法。

数学思维是指运用逻辑、抽象和推理等思维方式解决数学问题的能力。

解题方法包括理解问题、分析问题、选用合适的解法、检查结果等。

艺术生需要通过多做题和多实践，逐渐培养出自己的数学思维和解题方法。

总结：通过学习以上提到的数学基础知识点，高三艺术生可以提高数学水平，更好地备考数学考试。

2022届高考数学艺考生冲刺文化课必备考点01 集合(解析版)

（{1,2,3}B)U B ={4}{1,2,3}.，，则实数B ．1 ．2，而，（，故选：A、已知集合（ D ．【答案】C.，集合A ，B 满足A B ，则下列选项正确的有AB B =A B B = C ．()U A B =∅D ()U A B =∅【答案】B 、D 【解析】A B ，A B A ∴=，A B B =，()U C A B =≠∅，()U AC B =∅，{0,3,4}UB =(){3}U B =}1,2{2,B a a ={}1B ={}1B =1{|2A x =-<}20x ->B =}1x <-B R =A = RB =()2,1-(-∞{ R|B x = RB =(),1-∞{5,7,11B =B 中元素的个数为年高考全国Ⅲ卷理数已知集合{(A x = ） B ．3C ．4B 中的元素满足y x ≥的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)B 中元素的个数为【新课标】已知集合A =B ={(,)x y │AB ．21相交于两点(1,1B 中有两个元素，T（）∅【答案】C【解析】任取t T∈因此，S T T=.故选：1、（2021·苏州·一模）如图，阴影部分表示的集合为(B)BM N P PB A B=∅【答案】B【解析】A=（－1，故B⊂≠A，故选4、（2021·山东青岛市·高三二模）已知的子集，且，则下面选项中一定成立的是（）．的子集，且，，，C方法总结(1)若B⊆A，应分两种情况讨论.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系考向三集合的运算)RA B A⋂=A⊆A B R=B=∅R B=R)R B A=RBB=∅B=（，则：}0P Q ({B x=又全集所以，图中阴影部分所表示的集合为故选：D.方法总结：集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，{3,2,3B =-{3,U =-){2,0B =-M P=，则[-1，1]M P=，所以a P∈，得的取值范围是[1,1]-={x|x2－2x＞＜5＝，则（B．A∪B，0)∪(2，N M=．高三二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（【答案】AD【解析】：由图可知，阴影部分是集合与C的交集，()B C()UB C⋂⋂)(A B A C⋂⋃⋂。

高考美术生数学试卷及答案

1. 下列各数中，有理数是（）A. √-1B. πC. √4D. 无理数2. 已知函数f(x) = 2x + 1，若f(2) = 5，则x =（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 在直角坐标系中，点A(1, 2)，点B(3, 4)的坐标中，横坐标之差是（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列各式中，能表示圆的方程是（）A. x² + y² = 1B. x² + y² = 4C. x² + y² = 9D. x² + y² = 165. 已知等差数列{an}中，a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10 =（）A. 21B. 23C. 25D. 276. 下列函数中，是偶函数的是（）A. f(x) = x² - 1B. f(x) = x³C. f(x) = |x|D. f(x) = x + 17. 若等比数列{an}中，a1 = 2，公比q = 3，则第5项a5 =（）A. 18B. 27C. 54D. 818. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a² + b² = c²，则三角形ABC是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形9. 已知数列{an}中，a1 = 1，an = an-1 + 2n（n ≥ 2），则数列{an}的通项公式是（）A. an = n²B. an = n(n + 1)C. an = n(n + 2)D. an = n(n + 3)10. 在平面直角坐标系中，直线y = kx + b与圆x² + y² = r²相切，则k² + b² =（）A. r²B. 2r²C. r²/2D. r²/41. 函数f(x) = |x - 2| + 3的最小值是______。

高三数学知识点总结大全及答案

高三数学知识点总结大全及答案高三是学生们关键的一年，数学作为学科中的一大难点，也是让许多学生头痛的存在。

为了帮助高三学生们更好地复习和应对数学考试，本文将对高三数学知识点进行全面总结和整理，希望对大家有所帮助。

一、导数与微分1. 导数的概念：导数表示函数在某一点的变化速率，记作f'(x)或dy/dx。

2. 基本导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。

3. 微分的概念：微分是导数的几何意义，表示函数在某一点的近似值与实际值之差。

二、极限与连续1. 极限的概念：极限表示函数在接近某一点时的趋势，分为左极限和右极限。

2. 基本极限公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的极限公式。

3. 连续的概念：函数在某一点的左极限、右极限和函数值均相等，则该函数在该点处连续。

三、函数与方程1. 二次函数与一次函数：包括函数的定义、图像、性质和应用。

2. 指数函数和对数函数：包括函数的定义、图像、性质和应用。

3. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义、图像、性质和应用。

4. 求解一元一次方程与一元二次方程的方法。

5. 求解三角方程的方法。

四、平面几何1. 平面几何中的基本概念：点、直线、线段、角等。

2. 平面几何中的性质定理：如垂直平分线定理、角平分线定理、等腰三角形的性质等。

3. 平面几何中的相似与全等：相似三角形与全等三角形的判定方法及性质。

4. 平面向量：向量的定义、运算及性质。

五、立体几何1. 空间几何中的基本概念：点、直线、平面、三棱柱、四棱锥、棱台等。

2. 空间几何中的性质定理：如对顶角定理、底面角、对棱角等定理。

3. 空间几何中的计算：如体积、表面积等的计算公式。

六、概率与统计1. 概率的基本概念：样本空间、事件等。

2. 概率的计算：如加法原理、乘法原理、全概率公式、贝叶斯公式等。

3. 统计的基本概念：总体、样本、频率分布等。

4. 统计的分析方法：如均值、方差、标准差、相关系数等计算公式。

届艺术生高三数学一轮复习基础知识归纳高中全部

2016届艺术生高三数学一轮复习：基础知识归纳第一部分集合1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…2.数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3.(1) 元素与集合的关系：U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. （2）德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I . （3A B A A B B =⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦI U C A B R ⇔=U 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况.（4）集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空真子集有2n –2个.4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分函数与导数1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；⑤换元法；⑥利用均值不等式 2222b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨平方法；⑩ 导数法3．复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([xgfy=分解为基本函数：内函数)(xgu=与外函数)(ufy=②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

高三艺术班数学知识点汇总

高三艺术班数学知识点汇总随着高三学业压力逐渐增大，高三艺术班的学生也需要掌握一定的数学知识点，以应对高考的挑战。

本文将对高三艺术班需要掌握的数学知识点进行汇总和总结，帮助大家更好地备考。

一、代数与函数1. 一次函数概念及其性质2. 二次函数的图像、性质和应用3. 指数函数与对数函数4. 多项式函数的图像与性质5. 三角函数的基本概念与性质6. 线性规划的基本概念和解法7. 集合与命题的基本概念二、几何与向量1. 平面几何的基本概念和性质2. 平面向量的基本概念和运算3. 平面向量的线性相关性与线性无关性4. 平面向量的数量积与向量积5. 解析几何的基本概念和性质6. 空间几何的基本概念和性质7. 空间向量的基本概念和运算三、数与数列1. 实数的基本性质和分类2. 数列的定义和基本性质3. 数列的极限与收敛性4. 数列的通项公式与递推公式5. 等差数列与等比数列的性质和求和公式6. 一些常见的数学问题的数列应用四、概率与统计1. 随机事件与概率的基本概念2. 概率的计算方法和性质3. 条件概率与独立事件4. 排列与组合的基本概念和计算方法5. 统计样本与抽样调查6. 统计图表的制作与分析7. 正态分布的基本概念和应用五、数学建模1. 数学建模的基本方法和步骤2. 选择适当的数学模型进行建模3. 运用数学方法解决实际问题4. 数据分析与结果验证5. 模型的评价与改进综上所述，高三艺术班学生需要掌握的数学知识点包括代数与函数、几何与向量、数与数列、概率与统计以及数学建模等方面。

通过系统的学习和练习，加强对这些知识点的理解和掌握，相信大家能够在高考中取得优异的成绩。

祝愿大家学业顺利，实现自己的艺术与数学双重梦想！。

高三艺术生数学知识点

高三艺术生数学知识点在高三阶段，作为艺术生的学生们需要加强对数学知识点的掌握，以应对高考数学的考试要求。

以下是一些高三艺术生需要重点复习的数学知识点。

1. 高中数学基础知识回顾在开始复习高三数学知识点之前，艺术生需要回顾和巩固高中数学的基础知识，包括数列、函数、图形的性质、三角函数、概率等内容。

2. 复数与向量复数是艺术生需要重点关注的数学知识点之一，包括复数的定义、运算法则、共轭复数以及与实数的关系。

此外，向量也是需要掌握的重要内容，涉及向量的表示方法、运算法则、数量积和向量积等。

3. 函数与导数函数与导数是高考数学中的重点内容，艺术生需要重点关注函数的性质、图像与变化规律、三角函数的图像与性质。

同时，导数的概念、性质、常用函数的导数以及导数的应用也是需要掌握的内容。

4. 三角函数与解三角形艺术生需要熟悉三角函数的定义、性质、常用角的三角函数值以及三角函数的图像与变化规律。

此外，解三角形的方法、定理等也需要重点复习。

5. 数列与数学归纳法数列是高考数学中的常考点，艺术生需要熟悉数列的定义、性质、通项公式、数列的极限以及等差数列、等比数列等特殊数列的特点。

同时，数学归纳法作为证明数列等式的重要方法也需要掌握。

6. 概率与统计概率与统计是高考数学考试中的一大模块，艺术生需要掌握概率的基本概念、性质，包括事件的计算、概率的计算、条件概率以及排列组合等内容。

同时，统计学的基本概念、统计量的计算、直方图、折线图、频率分布表等图表的解读也需要重点复习。

7. 解析几何解析几何是高考数学中的难点之一，艺术生需要熟悉平面直角坐标系、曲线的方程与性质、直线与圆的相交情况、双曲线与抛物线等内容。

8. 数学证明数学证明是高考数学考试中的重要环节，艺术生需要掌握证明的基本方法与思路，包括直接证明、间接证明、递推证明、反证法等常用证明方法。

总之，高三艺术生在备战高考数学中，需要全面复习数学的基础知识，并重点关注复数与向量、函数与导数、三角函数与解三角形、数列与数学归纳法、概率与统计、解析几何以及数学证明等知识点。

高三艺术生高中数学基本知识(汇编)含答案

一集合与简易逻辑基本知识点答案1.__一定范围内某些确定的,不同的对象的全体__构成集合,_集合中的每一个对象_叫元素;2.集合的分类:__含有有限个元素的集合__叫有限集,__ 含有无限个元素的集合___叫无限集,__不含任何元素的集合__叫空集;3.集合的表示:__将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“｛｝”内,这种表示集合的方法__叫列举法,__将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式,这种表示集合的方法__叫描述法, ___用Venn图表示集合的方法__叫图示法;4.集合元素的3个性质:1._确定性_; 2._互异性_;3.__无序性_;5.常见的数集:6. 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫集合B的子集A⊆B; 如果A⊆B,且A≠B,那么集合A叫集合B的真子集, 如果A⊆B,且B⊆A,那么A,B 两集合相等;7. 如果集合S包含我们所要研究的各个集合,S可以看作全集, 设A⊆S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为A在S中的补集;8. 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B;由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的叫并集,记作A∪B;.9.含有n个元素的集合有2n个子集.10.原命题:若p则q;逆命题为: 若q则p ;否命题为: 若﹁p则﹁q ;逆否命题为: 若﹁q则﹁p ;11.四种命题的真假关系:两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;四种命题中真命题或假命题的个数必为__偶数__个.12.充分条件与必要条件:⑴如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;⑵如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充分必要条件.⑶如果p⇒q,且q⇒/p ,则p是q的充分而不必要条件;⑷如果q⇒p,且p⇒/q ,则p是q的必要而不充分条件;⑸如果p⇒/q,且q⇒/p ,则p是q的既不充分也不必要条件.13.14.“___∃x∈M,﹁p(x)__;“∃x∈M,p(x)”的否定为____∀x∈M,﹁p(x)____;15. “p∧q”的否定为﹁p∨﹁q ;“p∨q”的否定为﹁p∧﹁q ;二基本初等函数知识点答案1.函数的定义:__设A,B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应法则,对于集合A中的每一个元素x,集合B中都有唯一元素y和它对应,那么称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数__, 所有输入值x组成的集合叫定义域,__所有输出值y组成的集合_叫值域.2.函数的表示方法:⑴_解析式_;⑵__列表法_;⑶__图象法__;3.__设函数y=f(x)定义域为A,区间I A,对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),就说y=f(x)在区间I上是_增函数; 对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),就说y=f(x)在区间I上是减函数;4.__ 设函数y=f(x)定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有f(－x)=－f(x),那么称函数y=f(x)__是奇函数;其图象特征:___关于原点对称__;如果对于任意的x∈A,都有f(－x)=f(x),那么称函数y=f(x)__叫偶函数;其图象特征:__ 关于y轴对称__;奇偶函数的定义域___关于原点对称___;5. 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任意一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么y=f(x) 叫周期函数,_T称为这个函数的周期_, 如果在周期函数y=f(x)的所有周期中,存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫最小正周期.7.na ＝n m a ;na-＝nm a1＝nma1(a>0,m,n∈N*);8.对数定义:a b ＝N _b=log a N __(a>0,a≠1);9.对数运算性质:⑴___log a (MN)=log a M+log a N__;⑵__ log a MN =log a M －log a N__;⑶___ log a M n =nlog a M___; 10.对数恒等式:N aNa =log ;换底公式:aNN C C a log log log =;11.指数函数,对数函数图象与性质三导数基本知识点答案1.设函数y=f(x)在区间上(a,b)有定义,x 0∈(a,b),当x 的增量△x 无限趋近于0时,比值△x△y =00()()f x x f x x∆∆+-无限趋近于一个常数A,则称函数f(x)在x=x 0处可导,并称该常数A 为函数y=f(x)在x=x 0处的_导数_,记作__f′(x 0)__.2.导数的几何意义:曲线y=f(x)上有两点0,f((x 0)),P(x 0+△x ,f((x 0+△x)),则割线PQ 的斜率为00()()f x x f x x∆∆+-,当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时,割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率,即当△x 无限趋近于0时,k PQ ＝00()()f x x f x x∆∆+-无限趋近点Q 处切线的_斜率_,即y=f(x)在点(x 0,f((x 0))处的__导数__. 4.基本初等函数的求导公式:(C)′＝____0___;(x α)′＝__αx α－1__,(α为常数);(a x )′＝___a x lna__(a ＞0,a≠1) (log a x)′＝1log a e x＝1ln x a ,(a ＞0,a≠1);注:当a ＝e 时, (e x )′＝___ e x ___,(lnx)′＝1x , (sinx)′＝__cosx __,(cosx)′＝__－sinx__; 5.导数的运算法则法则1 [u(x)±v(x)]′＝__ u ′(x)±v′(x)__; 法则2 [cu(x)]′＝___ cu′(x)____;法则3 [u(x)v(x)]′＝__u′(x)v(x)+u(x)v′(x)___;法则4 [u(x)v(x)]′＝2()()()()()u x v x u x v x v x ''-(v(x)≠0). 6.用导数的符号判别函数增减性的方法:若f′(x)>0,则函数f(x)为__增函数__,若f′(x)<0,则函数f(x)为__减函数__;7.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:⑴确定函数f(x)的__定义域__;⑵求f′(x),令f′(x)＝0,解此方程,求出它在定义域内的一切_实数解__;⑶把上面的各实根按由__从小到大_的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;⑷确定f′(x)在各个小区间内的符号,根据f′(x)的__符号__判断函数f′(x)在每个相应小区间内的增减性; 8.函数极值的定义:设函数f(x)在点x 0附近有定义,如果对0x 附近的所有点,都有f(x)<f(x 0)(或f(x)>f(x 0)),就说f(x 0)是函数f(x)的一个极__大__值(或极___小__值); ___极大值__和___极小值___统称为极值;9.求可导函数f(x)在[a,b]上的最大或最小值的一般步骤和方法:①求函数f(x)在(a,b)上的值;②将极值与区间端点的函数值f(a),f(b) 比较,确定最值.四三角函数基本知识点答案1.与角α终边相同的角的集合__{β|β=k·360°+α,k∈Z}__;2.360°＝_2π_rad,180°＝_π_rad,1°＝180πrad≈_0.01745_rad,1rad ＝π180°≈_57.3_°;3.用弧度表示的弧长公式:__l =|α|r_,面积公式:lr S 21=. 4.三角函数定义:__平面直角坐标系中,设角α的终边上任意一点P 的坐标是(x,y),它与原点的距离是r,则xy r x r y ===αααtan ,cos ,sin ; 正弦,余弦,正切在各个象限的符号:_sin α,一,二象限正,三,四负,cos α,一,四正,二,三负, tan α,一,三正,二,四负,(记忆口诀:一全,二正,三切,四余) .5.__同角三角函数关系__公式:⑴平方关系:__ sin 2α+cos 2α=1__,⑵商数关系:αααcos sin tan =; 6.__诱导__公式:⑴sin(2kπ＋α)＝_ sin α_,cos(2kπ＋α)＝_ cos α_,tan(2kπ＋α)＝_ tan α_; ⑵sin(－α)＝__ －sin α_,cos(－α)＝___ cos α__,tan(－α)＝－tan α__; ⑶sin(π－α)＝__ sin α__,cos(π－α)＝__ －cos α__,tan(π－α)＝－tan α__;⑷sin(π＋α)＝___ －sin α__,cos(π＋α)＝__ －cos α__,tan(π＋α)＝__ tan α__; ⑸sin(2π－α)＝__ －sin α_,cos(2π－α)＝___ cos α__,tan(2π－α)＝__ －tan α__;⑹sin(π2－α)＝_ cos α_,cos(π2－α)＝_ sin α_; ⑺sin(π2＋α)＝_ cos α_,cos(π2＋α)＝_ －sin α_;⑻sin(3π2－α)＝－cos α,cos(3π2－α)＝－sin α_;⑼sin(3π2+α)＝_ －cos α__,cos(3π2+α)＝_ sin α_;记忆口诀:___ 奇变偶不变,符号看象限___. 7.特殊角三角函数值)10.___和差角___cos(α－β)＝__cos αcos β+sin αsin β__;cos(α＋β)＝___ cos αcos β－sin αsin β__; sin(α－β)＝___sin αcos β－cos αsin β__;sin(α＋β)＝____sin αcos β+cos αsin β___; tan(α－β)＝βαβαtan tan 1tan tan +-;tan(α＋β)＝βαβαtan tan 1tan tan -+;11. 辅角公式:asinα＋bcosα＝ tan ),sin( 22abb a =++ϕϕα; 12. 2倍角公式:sin2α＝ 2sinαcos α ,cos2α＝ cos 2α－sin 2α ＝ 2cos 2α－1 ＝ 1－2sin 2α , tan2α＝ tan 1tan 22αα-; 13.__降幂(或半角)_公式: sin 2α＝122cos α－,cos 2α＝ 22cos 1 α+,tan 2α＝12 12cos cos αα+－; 14.__万能公式_公式: 设t ＝tan α2,则sin ＝ 2tan 12tan22αα+,cosα＝221212tan tan αα+－,tanα＝222 12tantan αα－;15.用sinα,cosα表示tan α2＝ cos 1sin αα+＝1cos sin αα－; 16.正弦定理: 2R sinCc sinB b sinA a===; 17.三角形面积公式: sin 21sin 21sin 21 B ac A bc C ab S ===; 18.余弦定理:⑴a 2＝__b 2+c 2－2bccosA__, b 2＝a 2+c 2－2accosB , c 2＝a 2+b 2－2abcosC ;⑵cosA ＝ 2bc b222a c -+, 2ac a cosB 222b c -+=, 2aba cosC 222cb -+=;五向量基本知识点答案1._长度为零的向量_叫零向量;__长度等于一个单位的向量_叫单位向量;2.向量加法运算律:⑴交换律: a b b a +=+; ⑵结合律:)()(c b a c b a ++=++;3.向量共线定理:a 与b 共线⇔b a λ=;4.向量加法,减法,数乘的坐标运算法则:已知a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),λ∈R,那么a ＋b ＝ (x 1+ x 2,y 1+y 2) ;a －b ＝ (x 1－ x 2,y 1－y 2) ;λa ＝ (λx 1,λy 1) ;5.向量AB 坐标(x,y)与其起点A(x 1,y 1),终点B(x 2,y 2)坐标关系:_ (x 2－x 1,y 2－y 1)_;6.向量平行的坐标表示:已知a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),a 与b 平行⇔_x 1y 2－x 2y 1=0;7.向量数量积的定义: cos | | || θb a b a =⋅;8.向量数量积的运算律:⑴ a b b a ⋅=⋅; ⑵ ) ()() ( b a b a b a ⋅=⋅=⋅λλλ; ⑶ )( c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅;9.向量数量积的坐标表示:已知a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝_x 1x 2+y 1y 2_;10.已知a ＝(x,y),则a 2＝_x 2+y 2_; |a |＝＝11.两点间距离公式12.已知非零向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),它们的夹角为θ,则其夹角公式: _cos θ_＝＝222221212121yx yx y y x x +++;13.已知非零向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔ 0 =⋅b a ⇔_ x 1x 2+y 1y 2=0_六数列基本知识点答案㈠数列1. 按一定次序排列的一列数叫数列; 其中的每一个数叫数列的项,数列可以看作一个定义域为 N*或其真子集{1,2,3…,n} 的函数,它的图象是一群孤立的点 .2. 一个数列{a n }的第n 项a n 与项数n 之间的关系,如果可以用一个公式来表示,这个公式叫数列的通项公式.3. 一个数列{a n }的第n 项a n 可以用它的前几项来表示,这样的公式叫数列的递推公式.4.数列的分类:⑴按项数分: 有穷数列 , 无穷数列 ;⑵按照项与项的大小关系分: 递增数列 , 递减数列 , 摆动数列 , 常数列 ,5.若已知数列{a n }的前n 项和S n ,则其通项a n =1112nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩ .㈡等差数列6. 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列叫等差数列; 常数叫这个等差数列的公差 .7. a,P,b 成等差数列,则P 叫a,b 的等差中项.8.等差数列的通项公式 a n =a 1+(n －1)d , a n =a m +(n －m)d . 9.等差数列的图象是一条直线上均匀分布的点 . 10.等差数列前n 项和公式 2)( 1n n a a n S +=, d 2)1( 1-+=n n na S n .求等差数列前n 项和的方法叫倒序相加法 . 11.{a n }是等差数列⇔a n ＝ An+B ; {a n }是等差数列⇔S n ＝ Cn 2+Dn ;12.一个等差数列有五个基本元素: a 1,d,n,a n ,S n ,知道其中三个,就可以求出其它两个,即“知三求二 ”. 13.等差数列的单调性:①d>0时,{a n }递增 ,S n 有最小值; ②d<0时,{a n }递减 ,S n 有最大值; ③d ＝0时,{a n } 为常数列 .14.下标和性质:等差数列{a n }中,m,n,p,q ∈N*,若m ＋n ＝p ＋q,则 a m +a n =a p +a q ;若m ＋n ＝2p,则 a m +a n =2a p .15.等差数列{a n }中,S n 是前n 项和,则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 是等差数列. 16.{a n },{b n }均为等差数列,m,k ∈R,则 {ma n +k},{ma n +kb n } 仍是等差数列. 17.等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,则a mb m ＝ 1212--m m TS.18.等差数列{a n }中,①若a n ＝m,a m ＝n(m≠n),则a m+n ＝ 0 ; ②若S n ＝m,S m ＝n(m≠n),则S m+n ＝－(m+n) ;㈢等比数列19. 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列叫等比数列; 常数叫这个等比数列的公比 .20. a,P,b 成等比数列,则P 叫a,b 的叫等比中项. 21等比数列的通项公式 a n =a 1q n －1 , a n =a m q n －m .22.等比数列前n 项和公式 1 1)(1,1q 11qqa a S q q a S n n n n --=--=≠或时, q=1时, S n =na 1 .求等比数列前n 项和的方法叫错位相减法 .23.一个等比数列有五个基本元素: a 1,q,n,a n ,S n ,知道其中三个,就可以求出其它两个,即“知三求二 ”.24.已知等比数列{a n }首项a 1,公比q,则其单调性: ① a 1>0,q>1或a 1<0,0<q<1 时,{a n }递增; ② a 1<0,q>1或a 1>0,0<q<1 时,{a n }递减;③ q=1 时,{a n }为常数列;④ q<0 时,{a n }为摆动数列.25.下标和性质:等比数列{a n }中,m,n,p,q ∈N*,若m ＋n ＝p ＋q,则 a m ·a n =a p ·a q ;若m ＋n ＝2p,则 a m ·a n =a p 2 .26.等比数列{a n }中,S n 是前n 项和,则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 是等比数列. 27.{a n },{b n }均为等比数列,m,k ∈R,则{},{},{}nn n n nma ma ma b b ⋅仍是等比数列. 七不等式基本知识点答案1.三个“二次型”的关系⇔ b<a ; ②传递性a>b,b>c ⇒ a>c ;③加法性质a>b, c ∈R ⇒ a+c>b+c ,a>b,c>d ⇒ a+c>b+d ;④乘法性质a>b,c>0⇒ ac>bc ,a>b,c<0⇒ ac<bc ,a>b>0,c>d>0⇒ ac>bd ;⑤正数乘方a>b>0⇒ a n >b n ; ⑥正数开方a>b>03.已知a,b∈(0,+∞),有四个数:a 2＋b 22,a+b 2,ab,21a ＋1a,用“≤”连接这几个数 2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+. 4.a>0,b>0,a,b 的乘积为定值p 时,那么当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值是a,b 的和为定值s 时,那么当且仅当 a=b 时,ab 有最大值是s 24.5.二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中,直线Ax+By+C=0(A,B 不同时为0)将平面分成三个部分,直线上的点满足于 Ax+By+C=0 ,直线一边为 Ax+By+C>0 ,另一边为 Ax+By+C<0 ,如何判断不等式只需取一个不在直线上的特殊点代入即可.6.线性规划问题一般用图解法,其步骤如下:⑴根据题意设出变量; ⑵找出__线性约束条件;⑶确定线性目标函数;⑷画出可行域; ⑸利用线性目标函数画出平行直线系;观察函数图形,找出最优解,给出答案.八立体几何基本知识点答案㈠空间几何体及表面积和体积1. 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的的几何体叫棱柱,棱柱的底面是两个全等的平面多边形,且对应边平行且相等,侧面都是平行四边形;2. 棱柱的一个底面缩成一个点时形成的几何体叫棱锥,棱锥的底面是平面多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形;3. 棱锥被平行于底面的一个平面所截,截面和底面之间的几何体叫棱台.4.圆柱由矩形绕它的一边旋转而成;圆锥由直角三角形形绕一直角边旋转而成;圆台由直角梯形形绕垂直于底边的腰旋转而成;球由半圆形绕它的直径旋转而成.5.直棱柱侧面积公式:S直棱柱= ch ; 正棱锥侧面积公式:S正棱锥= 12ch′;正棱台侧面积公式:S正棱台= 12(c+c′)h′ ; 球表面积公式:S球= 4πR2 ;6.柱体体积公式:V柱体= Sh ;锥体体积公式:V锥体= 13Sh ;球体体积公式:V球=43πR3.㈡点线面位置关系1.平面的基本性质及推论:⑴公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面上,那么这条直线上所有的点都在这个平面内;⑵公理2: 如果两个平面有一个公共点,那么它还有其它公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线;⑶公理3: 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面;①推论1: 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面;②推论2: 经过两条相交直线,有且只有一个平面;③推论3: 经过两条平行直线,有且只有一个平面 ; 公理4: 平行于同一条直线的两条直线互相平行 ;等角定理: 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等 ;2.空间两条直线的位置关系有: 相交,平行,异面 ,通常有两种分类方法:⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧异面平行无公共点相交有公共点异面平行相交共面 . 3. 过空间任一点分别引两条异面直线的平行直线,那么这两条相交直线所成的锐角(或直角)叫异面直线所成角,其范围是 (0°,90°] .bb αββ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭6. 平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角, 叫直线和平面所成角面垂直,就说它们所成角是90°,所以其范围是 [0°,90°] . 7.平面与平面的位置关系有:___两__种:8. 从同一条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角, 在二面角的棱上任取一点,过该点在两个半平面内分别作两条射线垂直于棱,则两条射线所成的角叫二面角的平面角,其范围是 [0°,180°] .,,b b b ββαααβ⎫⎪⊂⊂⇒⎬⎪⋂⎭a b b βγγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭九解析几何基本知识点答案1. 对于一条与x 轴相交的直线l ,把x 轴绕交点按逆时针方向旋转到与直线l 重合时,所转过的最小正角叫直线的倾斜角,其范围是 [0,180°) ; 已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),如果x 1≠x 2,那么2121y y x x -=-叫直线P 1P 2的斜率,它与倾斜角α的关系是 k=tan α .2.直线方程有5种形式:① 点斜式: y －y 1=k(x －x 1) ;② 斜截式: y=kx+b ; ③ 两点式:112121y y x x y y x x --=--;④ 截距式:1x ya b+=;⑤ 一般式: Ax ＋By ＋C ＝0 .3.已知直线l 1:y ＝k 1x ＋b 1,l 2:y ＝k 2x ＋b 2,则l 1∥l 2⇔ k 1＝k 2,且b 1≠b 2 ;l 1与l 2重合⇔ k 1＝k 2,且b 1＝b 2 ;l 1与l 2相交⇔ k 1≠k 2 ;l 1⊥l 2⇔ k 1·k 2=－1 ; 已知直线l 1:A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2:A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,则l 1∥l 2⇔111222A B C A B C =≠; l 1与l 2重合⇔111222A B C A B C ==; l 1与l 2相交⇔1122A B A B ≠;l 1⊥l 2⇔ A 1·A 2+ B 1·B 2＝0 . 4.已知直线l 1:A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2:A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,则方程组⎩⎨⎧=++=++0C y B x A 0C y B x A 222111 无解时, l 1∥l 2;方程组有无数组解时,l 1与l 2重合;方程组只有一组解时,l 1与l 2相交, 这组解就是交点坐标. 5.坐标平面上两点间距离公式中点坐标公式22 210210⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y y y x x x .6.点P(x 0,y 0)到直线l :Ax ＋By ＋C ＝0距离公式:d =两平行直线l 1:Ax ＋By ＋C 1＝0,l 2:Ax ＋By ＋C 2＝0间距离公式d =.7.圆的标准方程: (x －a)2+(y －b)2=r 2 ;圆的一般方程: x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2－4F>0) ; 已知点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),以线段AB 为直径的圆方程: (x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y－y2)=0 .8.已知⊙C方程f(x,y)=0,点P(x0,y0),则点P在⊙C上⇔___f(x0,y0)=0___;点P在⊙C外⇔___ f(x0,y0)>0____;点P在⊙C内⇔__ f(x0,y0)<0___;9.直线和圆的位置关系.10.圆的切线:⑴点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过点P的圆的切线方程:___x0x+y0y=r2___; ⑵点P(x0,y0)在圆(x－a)2+(y－b)2=r2上,则过点P的圆的切线方程:__(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=r2__;⑶点P(x0,y0)在圆C外,则过点P的圆的切线有__两_条,先设出切线的__点斜式_式方程,再利用__d=r __求出切线斜率,如果只求出一个斜率值,要注意斜率不存在时的情况. 11.直线和圆相交,⑴设圆心到直线距离为d,圆的半径为r,则直线被圆截得的弦长为＿＿＿⑵斜率为k的直线l与曲线相交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则x2|_=_12.断圆和圆的位置关系.13.⑴经过圆C1:f(x,y)=0,圆C2:g(x,y)=0交点的圆系方程:___f(x,y)+λg(x,y)=0(λ≠－1)__;⑵经过圆C1:f(x,y)=0,圆C2:g(x,y)=0交点的直线(即公共弦所在直线)方程: f(x,y)－g(x,y)=0_;14.空间直角坐标系中两点间距离公式中点坐标公式 222210210210⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=z z z y y y x x x .㈡椭圆1椭圆的第一定义: 平面上到两个定点F 1,F 2距离之和等于定长(>|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆.注:a ＞0,当|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＞ |F 1F 2|＝2c 时,满足条件的轨迹是椭圆 ; 当|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝ |F 1F 2|＝2c 时,满足条件的轨迹是线段F 1F 2 ; 当|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＜ |F 1F 2|＝2c 时,满足条件的轨迹是不存在 .2.椭圆的第二定义: 平面上到一个定点与一条定直线距离之比等于常数e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆.3.4.双曲线的第一定义: 平面上到两个定点F 1,F 2距离之差的绝对值等于定长(<|F 1F 2|)的点的轨迹叫双曲线.注:a ＞0,当| |PF 1|－|PF 2| |＝2a ＜ |F 1F 2|＝2c 时,满足条件的轨迹是双曲线 ; 当| |PF 1|－|PF 2| |＝2a ＝ |F 1F 2|＝2c 时,满足条件的轨迹是两条射线 ;当| |PF1|－|PF2| |＝2a ＞|F1F2|＝2c时,满足条件的轨迹是不存在.5.双曲线的第二定义: 平面上到一个定点与一条定直线距离之比等于常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线.6.x∈(－∞,a]∪[a,+∞),y∈R y∈(－∞,a]∪[a,+∞),x∈R 7.抛物线的定义: 平面上到一个定点与一条定直线距离之比等于常数1的点的轨迹是抛物线.8.十复数基本知识点答案1.复数的概念及分类:⑴概念:形如a ＋bi(a,b∈R)的数叫做复数 ,其中a 与b 分别为它的实部和__虚部__.⑵分类:①若a ＋bi(a,b∈R)为实数,则 b=0 ,②若a ＋bi(a,b∈R)为虚数,则 b≠0 ,③若a ＋bi (a,b∈R)为纯虚数,则 a=0,b≠0 ;⑶复数相等:若复数a ＋bi ＝c ＋di(a,b,c,d∈R)⇔ a=c 且b=d ;⑷共轭复数: a ＋bi 与c ＋di 共轭(a,b,c,d∈R)⇔__a=c 且b=－d_,z 的共轭复数记作 z ;2.复数的加、减、乘、除法则:设z 1＝a ＋bi,z 2＝c ＋di(a,b,c,d∈R),则⑴加法:z 1＋z 2＝ (a ＋c)+(b ＋d)i ;⑵减法:z 1－z 2＝ (a －c)+(b －d)i ;⑶乘法:z 1·z 2＝ (ac －bd)+(ad ＋bc)i ;⑷乘方:z n ＝n zzz z ;z m ·z n ＝ z m+n ;(z m )n ＝ z mn ;(z 1·z 2)n ＝ z 1n ·z 2n ;⑸除法:z 1z 2＝2222()()()()a bi a bi c di ac i c di c di c di c d c d++-==+++-++ ; 3.复数的几何意义:⑴复平面的概念:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 , x 轴叫做实轴, y轴叫做虚轴;实轴上的点表示实数 ,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 . ⑵复数z=a+bi 都可以由复平面中的点(a,b)表示,因而复数与复平面中的点是一一对应__关系;⑶复平面上,两个复数z 1,z 2对应的两点Z 1,Z 2间的距离| Z 1Z 2|= |z 1－z 2| . 4.复数的模:向量OZ 的模叫做复数z ＝a ＋bi(a,b∈R)的绝对值 (或模 ),即|z|＝|a ＋bi|1|z 2|≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|;⑵|z|2＝|z ˉ|2＝|z 2|＝|z ˉ2|＝z·z ˉ;5.常见的结论:⑴i 的运算律:i 4n ＝ 1 , i 4n+1＝ i _, i 4n+2＝－1 , i 4n+3＝－i ,i n ＋i n+1＋i n+2＋i n+3＝ __0 ;⑵(1＋i)2＝ 2i ;(1－i)2＝－2i ;1＋i 1－i ＝ i ;1－i 1＋i＝－i . ⑶设ω＝－12±32i,则ω3＝ 1 ,ω2＝ω ,1＋ω＋ω2＝ 0 . 十一算法框图、概率统计基本知识点答案1.算法是指: 对一类问题机械的,统一的求解方法 .2.算法的特点:⑴ 确定性 ;⑵ 有限性 .3.流程图是是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形 ;算法的三种基本结构有① 顺序结构 ;② 选择结构 ;③ 循环结构 .6. 一定条件下必然发生的事件叫必然事件,用 Ω 表示; 一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件,用 ○／表示; 在一定条件下可能发生,也可能不发生的事件叫随机事件,随机事件A 的概率记作 P(A) .7. 不可能现时发生的两个事件叫互斥事件; 两个事件必有五个发生的互斥事件叫对立事件; 互斥事件概率的加法公式: P(A+B)=P(A)+P(B) ; 特别地,若事件A 与B 是对立事件,则其概率关系为 P(A)+P(B)=1 .8.古典概型必然满足的两个条件是:⑴ 试验中所有可能出现的基本事件有有限个 ;⑵ 每个基本事件出现的可能性相同 .9.求古典概型概率的公式为: P(A) =m n. 10.几何概型必然满足的两个条件是:⑴试验中所有可能出现的基本事件有无限个 ;⑵ 每个基本事件出现的可能性相同. 11.求几何概型概率的公式为: P(A) =d 的测度D 的测度.。

高三艺术生高中数学基本知识汇编印刷稿

一集合与简易逻辑基本知识点1.________________________________________叫集合,______________________叫元素;2.集合按其元素个数分类:可分为:1.__________;2.__________;3.__________;3.集合的表示方法有:1._____________; 2._____________;3._____________;4.集合元素的3个性质:1._____________; 2._____________;3._____________;5.常见的数集:数集符号6.若_______________________________________,则称A是B的真子集,记作___________;若_______________________________________,则称A与B相等.7.设全集为U,__________________________________叫A在U中的补集,记作___________;8. ____________________________________________叫A与B的交集,记作___________; _____________________________________________叫A与B的并集,记作___________.9.含有n个元素的集合有个子集.10.原命题:若p则q;逆命题为: ;否命题为: ;逆否命题为: ;11.四种命题的真假关系:两个命题互为逆否命题,它们有的真假性;四种命题中真命题或假命题的个数必为___________个.12.充分条件与必要条件:⑴如果p⇒q,则p是q的条件,q是p的条件;⑵如果p⇒q,q⇒p,则p是q的条件.⑶如果,则p是q的充分而不必要条件;⑷如果,则p是q的必要而不充分条件;⑸如果,则p是q的既不充分也不必要条件.13.复合命题形式的真假判别方法;p q 非p P或q P且q真真真假假真假假14.““∃x∈M,p(x)”的否定为___________________;15. “p∧q”的否定为__________________;“p∨q”的否定为___________________;二基本初等函数知识点1.函数的定义:_________________________________________________________________, _____________叫定义域,____________叫值域.2.函数的表示方法:⑴___________;⑵___________;⑶___________;3.____________________________________________________________________叫增函数; __________________________________________________________________叫减函数;4.__________________________________叫奇函数;其图象特征:_______________________; ___________________________________叫偶函数;其图象特征:______________________;奇偶函数的定义域_______________________________;5._____________________________________叫周期函数,________________叫最小正周期.6.基本初等函数的图象与性质:一次函数y＝kx+b反比例函数y=kx(k≠0)k>0 k<0 k>0 k<0 图象性质定义域值域单调性二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)钩函数y=x+1x桥函数y=x－1xa>0 a<0图象性质定义域值域顶点极值点: 零点: 对称轴渐近线: 渐近线: 单调性7.nm a ＝___________;nm a＝________＝__________(a>0,m,n ∈N*);8.对数定义:a b ＝N ___________________(a>0,a ≠1);9.对数运算性质:⑴__________________;⑵__________________;⑶____________________; 10.对数恒等式:_________________;换底公式:________________________; 11.指数函数,对数函数图象与性质指数函数y ＝_________ 对数函数y ＝_________a>1 0<a<1a>10<a<1图象性质定义域值域过定点单调性12.幂函数的图象与性质 y=x α(α∈Q) 奇偶性 α>1 0<α<1 α<0 图象图象图象 α=奇奇α=偶奇α=奇偶三导数基本知识点1.设函数y=f(x)在区间上(a,b)有定义,x 0∈(a,b),当x 的增量△x 无限趋近于0时,比值△x△y=___________________________无限趋近于一个常数A,则称函数f(x)在x=x 0处可导,并称该常数A 为函数y=f(x)在x=x 0处的_______,记作________. 2.导数的几何意义:曲线y=f(x)上有两点:Q(x 0,f((x 0)),P(x 0+△x,f((x 0+△x)),则割线PQ 的斜率为_____________,当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时,割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率,即当△x 无限趋近于0时,k PQ ＝____________无限趋近点Q 处切线的_________,即y=f(x)在点(x 0,f((x 0))处的________. 4.基本初等函数的求导公式:(C)′＝________;(x α)′＝________,(α为常数);(a x )′＝________,(a ＞0,a ≠1) (log a x)′＝________＝________,(a ＞0,a ≠1); 注:当a ＝e 时, (e x )′＝________,(lnx)′＝________, (sinx)′＝_________,(cosx)′＝_________; 5.导数的运算法则法则1 [u(x)±v(x)]′＝_____________________; 法则2 [cu(x)] ′＝_____________________; 法则3 [u(x)v(x)]′＝_____________________; 法则4 [u(x)v(x)]′＝_____________________(v(x)≠0).6.用导数的符号判别函数增减性的方法:若f′(x)>0,则函数f(x)为_____________,若f′(x)<0,则函数f(x)为____________;7.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:⑴确定函数f(x)的_________;⑵求f′(x),令f′(x)＝0,解此方程,求出它在定义域内的一切___________;⑶把上面的各实根按由_________的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;⑷确定f′(x)在各个小区间内的符号,根据f′(x)的_______判断函数f′(x)在每个相应小区间内的增减性; 8.函数极值的定义:设函数f(x)在点x 0附近有定义,如果对0x 附近的所有点,都有f(x)<f(x 0)(或f(x)>f(x 0)),就说f(x 0)是函数f(x)的一个极_____值(或极______值); __________和___________统称为极值;9.求可导函数f(x)在[a,b]上的最大或最小值的一般步骤和方法:①求函数f(x)在(a,b)上的值;②将极值与区间端点的函数值f(a),f(b) 比较,确定最值.四三角函数基本知识点1.与角α终边相同的角的集合___________________________;2.360°＝_____rad,180°＝____rad,1°＝____rad≈____rad, 1rad ＝____°≈____°;3.用弧度表示的弧长公式:____________,面积公式:_________________.4.三角函数定义:__________________________________________________; 正弦,余弦,正切在各个象限的符号:___________________________________.5.______________________公式:⑴平方关系:_______________________,⑵商数关系:_____________________; 6._____________公式:⑴sin(2kπ＋α)＝_______,cos(2kπ＋α)＝_________,tan(2kπ＋α)＝________; ⑵sin(－α)＝__________,cos(－α)＝____________,tan(－α)＝___________; ⑶sin(π－α)＝_________,cos(π－α)＝___________,tan(π－α)＝__________; ⑷sin(π＋α)＝_________,cos(π＋α)＝___________,tan(π＋α)＝__________;⑸sin(2π－α)＝_________,cos(2π－α)＝___________,tan(2π－α)＝__________;⑹sin(π2－α)＝_______,cos(π2－α)＝_______; ⑺sin(π2＋α)＝______,cos(π2＋α)＝_______;⑻sin(3π2－α)＝______,cos(3π2－α)＝______; ⑼sin(3π2+α)＝______,cos(3π2+α)＝______;记忆口诀:_____________________________________________.7.特殊角三角函数值角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度sinαcosαtanα函数正弦余弦正切图象定义域值域周期性奇偶性单调性对称性9.图象变换(写出下列图象变换过程)y＝sinx—————————→y＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx)———————→y＝sin(ωx＋φ)———→y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0) 10._____________公式:cos(α－β)＝____________________;cos(α＋β)＝_____________________;sin(α－β)＝____________________;sin(α＋β)＝______________________;tan(α－β)＝____________________;tan(α＋β)＝______________________;11._____________公式:asinα＋bcosα＝____________________________________;12._____________公式:sin2α＝_________,cos2α＝____________＝____________＝_____________,tan2α＝_________;13._____________公式:sin2α＝___________,cos2α＝___________,tan2α＝____________;14._____________公式:设t ＝tan α2,则sinα＝_________,cosα＝__________,tanα＝___________;15.用sinα,cosα表示tan α2＝_________＝_________;16.正弦定理:_____________________________________________; 17.三角形面积公式:_______________________________________;18.余弦定理:⑴a 2＝_______________,b 2＝_______________,c 2＝____________;⑵cosA ＝___________________,cosB ＝___________________,cosC ＝_________________;五向量基本知识点1.向量概念:⑴___________________________叫向量;________________叫做向量的模. ⑵____________________________叫零向量, _______________________叫单位向量. ⑶___________________________叫平行向量,又叫_______向量,规定:0→与任一向量共线. ⑷__________________________叫相等向量,___________________________叫相反向量. 2.向量加法运算律:⑴_________________; ⑵_________________; 3.向量共线定理:与共线⇔___________________________________; 4.向量加法,减法,数乘的坐标运算法则:已知＝(x 1,y 1),＝(x 2,y 2),λ∈R,那么＋＝________;－＝_________;λ＝__________;5.向量AB 坐标(x,y)与其起点A(x 1,y 1),终点B(x 2,y 2)坐标关系:______________;6.向量平行的坐标表示:已知＝(x 1,y 1),＝(x 2,y 2),与平行⇔_______;7.向量数量积的定义:________________________________;8.向量数量积的运算律:⑴_____________; ⑵____________; ⑶__________;9.向量数量积的坐标表示:已知a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝_____________; 10.已知＝(x,y),则2＝____________; ||＝____________＝__________; 11.两点间距离公式:_____________________________________________; 12.已知非零向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),它们的夹角为θ,则其夹角公式: ________＝_________________＝________________;13.已知非零向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔_______⇔_______;六数列基本知识点㈠数列1.____________________________________________叫数列; ______________叫数列的项, 数列可以看作一个定义域为____________的函数,它的图象是____________.2._________________________________________________________叫数列的通项公式.3.________________________________________________________叫数列的递推公式.4.数列的分类:⑴按项数分:______________,______________;⑵按照项与项的大小关系分:__________,__________,_____________,_______________,5.若已知数列{a n}的前n项和S n,则其通项a n=_____________.㈡等差数列6.______________________________________叫等差数列; 常数叫这个等差数列的______.7.______________________________________________叫等差中项.8.等差数列的通项公式___________________,_____________________.9.等差数列的图象是______________________.10.等差数列前n项和公式______________________,________________________.求等差数列前n项和的方法叫______________________.11.{a n}是等差数列⇔a n＝_____________________;{a n}是等差数列⇔S n＝______________________;12.一个等差数列有五个基本元素:_________________________,知道其中___个,就可以求出其它___个,即“知___求___”.13.等差数列的单调性:①d>0时,{a n}递_____,S n有最____值;②d<0时,{a n}递_____,S n有最____值;③d＝0时,{a n}_______.14.下标和性质:等差数列{a n}中,m,n,p,q∈N*,若m＋n＝p＋q,则_____________;若m＋n＝2p,则___________15.等差数列{a n}中,S n是前n项和,则S m, _________,________是等差数列.16.{a n},{b n}均为等差数列,m,k∈R,则________________________仍是等差数列.17.等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,则a mb m＝__________.18.等差数列{a n}中,①若a n＝m,a m＝n(m≠n),则a m＋n＝________;②若S n＝m,S m＝n(m≠n),则S m＋n＝________;㈢等比数列19.______________________________________________________叫等比数列;常数叫这个等比数列的______.20.______________________________________________叫等比中项.21.等比数列的通项公式___________________,_____________________.22.等比数列前n项和公式____________________,________________________.求等比数列前n项和的方法叫______________________.23.一个等比数列有五个基本元素:_________________________,知道其中___个,就可以求出其它___个,即“知___求___”.24.已知等比数列{a n }首项a1,公比q,则其单调性:①________________________________________________时,{a n }递增;②________________________________________________时,{a n }递减;③_______________时,{a n }为常数列;④___________时,{a n }为摆动数列.25.下标和性质:等比数列{a n}中,m,n,p,q∈N*,若m＋n＝p＋q,则_______________;若m＋n＝2p,则___________26.等比数列{a n}中,S n是前n项和,则S m, _________,__________是等比数列.27.{a n},{b n}均为等比数列,m,k∈R,则__________________仍是等比数列.七不等式基本知识点1.三个“二次型”的关系判别式△＞0 △=0 △＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的解一元二次不等式的解集ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0)2.不等式性质:①对称性a>b⇔________;②传递性a>b,b>c⇒________;③加法性质a>b,c∈R⇒____________,a>b,c>d⇒_____________;④乘法性质a>b,c>0⇒_________,a>b,c<0⇒_________,a>b>0,c>d>0⇒_____________;⑤正数乘方a>b>0⇒____________;⑥正数开方a>b>0⇒____________.3.已知a,b∈(0,+∞),有四个数:a2＋b22,a+b2,ab,21a＋1b,用“≤”连接这几个数.___________________________.使用基本不等式要注意:一正,二定,三相等.4.a>0,b>0,a,b的乘积为定值,那么当且仅当________时,a+b有最值是_______;a,b的和为定值,那么当且仅当______时,ab有最_____值是_____.所谓和定积最大,积定和最小.5.二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中,直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)将平面分成三个部分,直线上的点满足于_______________________,直线一边为________ ___________,另一边为________________,如何判断不等式只需取一个_______代入即可.6.线性规划问题一般用图解法,其步骤如下:⑴根据题意设出_________________________;⑵找出________________;⑶确定____________;⑷画出_________________;⑸利用线性目标函数___________________;观察函数图形,找出_______________________,给出答案.八立体几何基本知识点一空间几何体及表面积和体积1.________________________________的几何体叫棱柱,棱柱的底面是______________,且对应边________,侧面都是_____________;_______________________________叫直棱柱, ___________________________叫正棱柱.2._____________________________的几何体叫棱锥,棱锥的底面是__________,侧面是___; __________________________________________________________叫正棱锥.3.____________________________________________________的几何体叫棱台.4.圆柱由________形绕_________旋转而成;圆锥由____________形绕__________旋转而成;圆台由_______形绕___________旋转而成;球由_______形绕______旋转而成.5.直棱柱侧面积公式:S直棱柱=_________; 正棱锥侧面积公式:S正棱锥=__________;正棱台侧面积公式:S正棱台=_________; 球表面积公式:S球=______________;6.柱体体积公式:V柱体=________;锥体体积公式:V锥体=________;球体体积公式:V球=_______.二点线面位置关系1.平面的基本性质及推论:⑴公理1:__________________________________________________________;⑵公理2:__________________________________________________________;⑶公理3:__________________________________________________________;①推论1:__________________________________________________________;②推论2:__________________________________________________________;③推论3:__________________________________________________________;⑷公理4:__________________________________________________________;⑸等角定理:_______________________________________________________;2.空间两条直线的位置关系有:_____________,通常有两种分类方法:_________________.3.________________________________________叫异面直线所成角,其范围是_________. 直线与平面的位置关系有:________种.位置关系公共点符号表示图形表示定理名称图形符号表示证明方向线面平行判定定理aα bααα∥∥ababa⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄线线平行=>线面平行线面平行性质定理线面垂直判定定理线面垂直性质定理6.__________________________________________叫直线与平面所成的角其范围是_____.7.平面与平面的位置关系有:________种:位置关系公共点符号表示图形表示叫二面角, ________________________叫二面角的平面角,其范围是__________.用符号表述下列定理,并画出图形定理名称图形符号表示证明方向面面平行判定定理面面平行性质定理面面垂直判定定理面面垂直性质定理九解析几何基本知识点㈠直线和圆1.___________________________________________叫直线的倾斜角,其范围是__________; ___________________________________叫直线的斜率,它与倾斜角的关系是________.2.直线方程有5种形式:①________式:_______________;②________式:_________________;③_____式:________________;④_______式:_________________;⑤____式:___________.3.⑴已知直线l1:y＝k1x＋b1,l2:y＝k2x＋b2,则l1∥l2⇔______________;l1与l2重合⇔________; l1与l2相交⇔___________;l1⊥l2⇔_____________;⑵已知直线l1:A1x＋B1y＋C1＝0,l2:A2x＋B2y＋C2＝0,则l1∥l2⇔_____________________; l1与l2重合⇔________________;l1与l2相交⇔_______________;l1⊥l2⇔_____________;4.直线l 1:A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2:A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,则方程组⎩⎨⎧=++=++0C y B x A 0C y B x A 222111________时, l 1∥l 2;方程组_______________时,l 1与l 2重合;方程组________时,l 1与l 2相交,_______就是交点坐标.5.坐标平面上两点间距离公式:______________________;中点坐标公式______________.6.点P(x 0,y 0)到直线l :Ax ＋By ＋C ＝0距离公式:_____________________________;两平行直线l 1:Ax ＋By ＋C 1＝0,l 2:Ax ＋By ＋C 2＝0间距离公式___________.7.圆的标准方程:__________________________;圆的一般方程:________________________,已知点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),以线段AB 为直径的圆方程:_____________________________. 8.已知⊙C 方程f(x,y)=0,点P(x 0,y 0),则点P 在⊙C 上⇔___________________;点P 在⊙C 外⇔________________;点P 在⊙C 内⇔______________; 9.直线和圆的位置关系.直线与圆位置相离相切相交判断方法代数法(两方程联立)几何法(圆心到直线距离d,半径r)10.圆的切线:⑴点P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=r 2上,则过点P 的圆的切线方程:__________________; ⑵点P(x 0,y 0)在圆(x －a)2+(y －b)2=r 2上,则过点P 的圆的切线方程:____________________; ⑶点P(x 0,y 0)在圆C 外,则过点P 的圆的切线有_____条,先设出切线的________式方程,再利用_____________求出切线斜率,如果只求出一个斜率值,要注意斜率不存在时的情况. 11.直线和圆相交,⑴设圆心到直线距离为d,圆的半径为r,则直线被圆截得的弦长为_______;⑵斜率为k 的直线l 与曲线相交于点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则|AB|=____________=__________. 12.断圆和圆的位置关系. 圆与圆位置外离外切相交内切内含判断方法:几何法(两圆心距d, 两圆半径R,r)13.⑴经过圆C 1:f(x,y)=0,圆C 2:g(x,y)=0交点的圆系方程:______________________________; ⑵经过圆C 1:f(x,y)=0,圆C 2:g(x,y)=0交点的直线(即公共弦所在直线)方程:____________; 14.空间直角坐标系中两点间距离公式:_________________;中点坐标公式______________.㈡椭圆1椭圆的第一定义:___________________________________________________________ 注:a＞0,当|PF1|＋|PF2|＝2a ＞|F1F2|＝2c时,满足条件的轨迹是________________; 当|PF1|＋|PF2|＝2a ＝|F1F2|＝2c时,满足条件的轨迹是____________________; 当|PF1|＋|PF2|＝2a ＜|F1F2|＝2c时,满足条件的轨迹是____________________.2.椭圆的第二定义:3.椭圆的的标准方程和几何性质标准方程x2a2+y2b2＝1(a>b>0)y2a2+x2b2＝1(a>b>0)图形几何性质范围焦点顶点对称性长短轴离心率准线方程㈢双曲线4.双曲线的第一定义:___________________________________________________________ 注:a＞0,当| |PF1|－|PF2| |＝2a ＜|F1F2|＝2c时,满足条件的轨迹是________________; 当| |PF1|－|PF2| |＝2a ＝|F1F2|＝2c时,满足条件的轨迹是____________________;当| |PF1|－|PF2| |＝2a ＞|F1F2|＝2c时,满足条件的轨迹是____________________. 5.双曲线的第二定义: .6.双曲线的的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0,b>0)图形几何性质范围焦点顶点对称性实虚轴长离心率准线方程渐近线方程7.抛物线的定义:___________________________________________________________8.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2=2px(p>0) y2=－2px(p>0) x2=2py(p>0) y2=－2px(p>0) 图形几何性质范围焦点顶点对称性离心率准线方程焦半径通径十复数基本知识点1.复数的概念及分类:⑴概念:形如a ＋bi(a,b ∈R)的数叫做 ,其中a 与b 分别为它的和______.⑵分类:①若a ＋bi(a,b ∈R)为实数,则 ,②若a ＋bi(a,b ∈R)为虚数,则 ,③若a ＋bi(a,b ∈R)为纯虚数,则 ;⑶复数相等:若复数a ＋bi ＝c ＋di(a,b,c,d ∈R)⇔ ;⑷共轭复数: a ＋bi 与c ＋di 共轭(a,b,c,d ∈R)⇔________,z 的共轭复数记作________; 2.复数的加、减、乘、除法则:设z 1＝a ＋bi,z 2＝c ＋di(a,b,c,d ∈R),则 ⑴加法:z 1＋z 2＝______;⑵减法:z 1－z 2＝______;⑶乘法:z 1·z 2＝______;⑷乘方:z n ＝______; z m ·z n ＝_______________;(z m )n ＝_______________;(z 1·z 2)n ＝_______________;⑸除法:z 1z 2＝_________________;3.复数的几何意义:⑴复平面的概念:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 , 叫做实轴,____叫做虚轴;实轴上的点表示 ,除原点外,虚轴上的点都表示 .⑵复数z=a+bi 都可以由复平面中的点(a,b)表示,因而复数与复平面中的点是_______关系; ⑶复平面上,两个复数z 1,z 2对应的两点Z 1,Z 2间的距离| Z 1Z 2|=_____________.4.复数的模:向量OZ 的模叫做复数z ＝a ＋bi(a,b ∈R)的 (或 ),即|z|＝|a ＋bi|＝____; 复数模的性质:⑴|z 1|－|z 2|≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|;⑵|z|2＝|z ˉ|2＝|z 2|＝|z ˉ2|＝z·z ˉ;5.常见的结论:⑴i 的运算律:i 4n ＝____, i 4n+1＝____, i 4n+2＝____, i 4n+3＝____,i n ＋i n+1＋i n+2＋i n+3＝______;⑵(1＋i)2＝_____;(1－i)2＝_____;1＋i 1－i ＝______;1－i1＋i＝______;⑶设ω＝－12±32i,则ω3＝_________,ω2＝__________,1＋ω＋ω2＝_________.十一算法框图、概率统计基本知识点1.算法是指:__________________________________________________________________.2.算法的特点:⑴.________________________;⑵.________________________.3.流程图是_______________________________________________________;4.流程图中的常用符号名称 _____框 _____框 _____框 _____框流程线含义图形6._______________叫必然事件,用____表示;____________叫不可能事件,用________表示; ______________________叫随机事件,随机事件A 的概率记作_________.7.______________________叫互斥事件;_______________________叫对立事件; 互斥事件概率的加法公式:___________________________________________; 特别地,若事件A 与B 是对立事件,则其概率关系为_____________________.8.古典概型必然满足的两个条件是:⑴______________________;⑵___________________. 9.求古典概型概率的公式为:_________________________.10.几何概型必然满足的两个条件是:⑴___________________;⑵______________________. 11.求几何概型概率的公式为:_________________________________.。

2018年艺体生复习资料高中数学全套(含答案)

2018年艺体生全套复习资料高中数学集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。

（2）集合与元素的关系用符号⊆∈, 表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集 N ；正整数集 N * 、 N + ；整数集 Z ；有理数集 Q 、实数集 R 。

（4）集合的表示法:列举法，描述法，符号法（数轴法，韦恩图法）注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==； }12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2xy z x x y z G =++== （5）空集是指不含任何元素的集合。

（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。

二、集合间的关系及其运算（1）符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“⊄⊂,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。

（2）A ⋂B={ x| x ∈A且x ∈B} A ⋃B={ x| x ∈A 或x ∈B}； C I A={ x| x ∈ I 且x ∉A }（3）对于任意集合B A ,，则：①A B B A =；A B B A =；B A B A ⊆；②=A B A A ⊆B ；=A B A B ⊆A ；⇔=U B A C U A ⋃B=；⇔=φB A C U A ⋂B=U ；③=B C A C U U )(B A C U ⋃; B C A C U U ⋃)(B A C U =；（4）①若n 为偶数，则=n 2K,(k Z ∈)；若n 为奇数，则=n 2k+1, (k Z ∈)；②若n 被3除余0，则=n 3k, (k Z ∈)；若n 被3除余1，则=n 3k+1(k Z ∈)；若n 被3除余2，则=n 3k+2(k Z ∈)；三、集合中元素的个数的计算：（1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为2n，所有真子集的个数是2n -1，所有非空真子集的个数是2n -2。