人教版八年级数学上册导学案-15.3 第2课时 分式方程的应用
新人教版八年级数学上册15.3分式方程导学案
新人教版八年级数学上册15.3分式方程导学案
学习目标
1.理解分式方程的概念和分式方程产生无解的原因.
2.掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程.(体会化归思想）
3.体会数学学习带来的快乐.
学习重难点：解分式方程
心灵寄语：与其羡慕别人优秀，不如让自己比别人更优秀！
学习过程：
一、创设情境，导入新课
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它沿江以最大航速顺流航行90 km 所用时间,与以最大航速逆流航行60 km 所用时间相等,江水的流速为多少?
二 合作交流，探究新知
1 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.如： 对比：分母里不含有未知数的方程叫做整式方程.如：3x+1=0，2x-3y=1等。
2 概念应用
下列方程中，哪些是整式方程，哪些是分式方程？
例：解分式方程：
思考：分式方程无解的原因？
v
v -=+306030
90
v v -=+306030902110.x 5x 25=--
三、巩固提高：
1. 解分式方程：
2.的解是中考）分式方程金华12
-x 1(=⋅ 3.211(=-++⋅x
x x x 中考）解方程：嘉兴
四、小结与作业：
1、解分式方程的步骤：通过去分母把分式方程化为 然后再解这个整式方程？最后一定要记得检验，这个解是否是这个分式方程的解。
2、作业：练习册
五、教学反思：
1、本节课你有哪些收获？
2、预习时的疑难问题解决了吗？你还有哪些疑惑？
015)4(1412)3(13321)2(3
221)1(222=--+-=-++=++=x x x x x x x x x x x x。
人教版八年级数学上册导学案 15.3分式方程(第二课时)
1 / 8 人教版八年级数学上册导学案 第十五章 分式 15.3分式方程（第二课时）【学习目标】1.会分析题意找出等量关系；2.会列分式方程解决实际问题，提高分析问题解决问题的能力.3.经历探索应用分式方程解决实际问题的过程，体会所学知识与实际生活的联系.【课前预习】1．某工程队承接了0米的修路任务，在修好米后，引进了新设备，工作效率是原来的倍，一共用天完成了任务．设引进新设备后平均每天修路米，则的值为（ ）A ．米B ．米C ．米D ．米2．某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h ，那么汽车原来的平均速度为（ ）A ．70B ．65C ．75D ．803．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm ，则根据题意可得方程( )A ．B ．C ．D ．4．某商店出售，两种型号的钢笔，已知型号的钢笔比型号的钢笔贵5元，小红用50元买了型号的钢笔，用若干元买了相同数量型号的钢笔，小红手机微信里的余钱共有83元，扫码付完款后发现余钱剩3元，设型号的钢笔每支售价为元，根据题意可列出的方程为（ ）A ．B ． 500220x x 20135175200km /km h /km h /km h /km h 240024008(120%)x x-=+240024008(120%)x x -=+240024008(120%)x x -=-240024008(120%)x x -=-A B A B A B A x 50305x x =-50335x x =-。
人教版八年级数学上册15.3.2《分式方程》(第2课时)导学案
人教版义务教育教科书八年级数学上册15.3．2《分式方程》第2课时 导学案一、学习目标1、了解解分式方程的基本思路和解法；2、理解解分式方程产生增根的原因，并掌握分式方程的验根方法。
二、预习内容1、阅读课本P150 ～ 151页，思考下列问题：（1）什么是分式方程？解分式方程的基本思想是什么？（2）解分式方程为什么必须检验？2、独立思考后我还有以下疑惑：三、探究学习1．若方程2x k x+-=2的根为1，则k= 2．若分式51x -与分式13x +的值相等，则x= 3. 若分式方程2a x -+12ax -=0的解为x=3，则a 的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4四、巩固测评1、要把方程 化为整式方程，方程两边可以同时乘以 （ ）A ．3y-6 B.3y C.3(3y-6) D.3y(y-2)2、分式方程 的最简公分母是3、如果 有增根,那么增根为4、关于x 的方程 =4 的解是x= ,则a=5、若分式方程 有增根x=2,则 a= 6.如果关于x 的方程 无解,则m 的值等于（ ） A.-3 B.-2 C.-1 D.37.解分式方程 1211+=-x x x x x --=+-21321xax 1+2104422=-+-x x a 2m =1-x-3x-3035632=--y y x x x 23532)1(-=-)1(516)2(++=+x x x x8. 若方程 会产生增根,试求k 的值作业：解分式方程五、学习心得： 323-=--x k x x 3221)1(+=x x 13321)2(++=+x x x 313.244x x x -+=--25334.322y y y y --=---。
人教版八年级数学上册《15-3 第2课时 分式方程的应用》导学案设计优秀公开课
自主学习第十五章 分式教学备注15.3 分式方程第 2 课时 分式方程的应用学习目标：1.理解实际问题中的数量关系.2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.学 生 在 课 前完 成 自 主 学习部分重点：能通过列分式方程解决实际问题.难点：找出实际问题中的数量关系，并列出方程.一、知识链接2x= 4x +11.解方程：x -1 2x - 22. 列方程（组）解应用题的一般步骤是什么？（1）；（2） ；（3）解所列方程；（4）检验所列方程的解是否符合题意；（5）写出完整的答案.3. 列方程（组）解应用题的关键是什么？二、新知预习4. 完成下面解题过程：小红和小丽分别将 9000 字和 7500 字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同.已知两人每分钟录入计算机字数的和是 220 字.两人每分钟各录入多少字？（1） 请找出上述问题中的等量关系；答：.（2） 试列出方程，并求方程的解；解：设小红每分钟录入 x 字，则小丽每分钟录入字.根据题意，得.解这个方程得 . 经检验，.答：.要点归纳：根据 4 中的解题步骤，归纳用分式方程解决实际问题的一般步骤为：＝ 第一步，审清题意；第二步，根据题意设未知数；第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程； 第四步，解方程，并验根，还要看方程的解 ；第五步，作答． 三、自学自测1.八年级(1)班全体师生义务植树 300 棵．原计划每小时植树 x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的 1 .2 倍，结果提前 20 分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是( )教学备注 配套 PPT 讲授1. 问题引入（见幻灯片 3）A.300－20＝ 300B.300－ 300 ＝20 x 60 1.2x x 1.2xC.300－ 300 20D.300＝ 300 － 20 x x ＋1.2x 60 x 1.2x 60四、我的疑惑一、要点探究探究点 1：利用分式方程解决工程问题课堂探究2. 探究点 1 新知讲授（ 见 幻 灯 片4-19）例 1：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 分析：设乙单独完成这项工程需要 x 天.填写下列表格，并完成解答.典例精析工作时间（月）工作效率工作总量（1）甲队 乙队方法总结:可概括为“321”，即 3 指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2 指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1 指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量.针对训练抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3 个小时才能完成．现甲、乙两队合作2 个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？探究点2：利用分式方程解决行程问题例2：朋友们约着一起开着2 辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车车紧随其后，他们同时出发，当面包车车行驶了200 公里时，发现小轿车车只行驶了180 公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h, 请问面包车，小轿车的速度分别为多少km/h？方法总结：明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.教学备注3.探究点 2 新 知讲授（ 见 幻 灯 片17-19）典例精1. 小轿车发现跟丢时，面包车行驶了 200 公里，小轿车行驶了 180 公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在 300 公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少 km/h ？2. 两车发现跟丢时，面包车行驶了 200 公里，小轿车行驶了 180 公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在 s 公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少 km/h ？例 3：佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用 1200 元购进若干千克，并以每千克 8 元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高 了 10%，用 1452 元所购买的数量比第一次多 20 千克，以每千克 9 元售出 100 千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价 50%售完剩余的水果．(1) 求第一次水果的进价是每千克多少元？(2) 该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？方法总结：本题具有一定的综合性，应该把问题分解成购买水果和卖水果两部分分别考虑， 掌握这次活动的流程．针对训当堂检测二、课堂小结解题步骤解题策略 分式方程 (1)审清题意； 常见实际问题中的 的应用(2)设出 ；基本关系，如行程问 (3)找出，列出分式方程；题：速度＝路程/时(4)解这个分式方程， ，看方程的解是否 间；工作量问题：工满足方程和符合题意； 作效率＝工作量/工 (5)写出实际问题的答案.作时间等.1. 几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为 180 元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊 3 元车费，若设原来参加旅游的学生有 x 人，则所列方程为 ( )A.180－ 180＝3 B. 180 －180＝3 C.180－ 180＝3 D. 180 －180＝3 x x ＋2x ＋2 xx x －2 x －2 x2. 一轮船往返于 A 、B 两地之间，顺水比逆水快 1 小时到达.已知 A 、B 两地相距 80 千米水流速度是 2 千米/小时，求轮船在静水中的速度.3. 农机厂到距工厂 15 千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了 40 分钟， 其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的 3 倍，求两车的速度.4. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？教学备注 配套 PPT 讲授4.课堂小结5.当堂检测（ 见 幻 灯 片20-23）。
人教版八年级数学上册 教案：15.3 第2课时 分式方程的应用1【精品】
第2课时 分式方程的应用1．使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力．(重点)2．用分式方程解决现实情境中的问题，通过分式方程的应用教学，培养学生的数学应用意识．(难点)一、情境导入1．引导学生回顾列方程解应用题的一般步骤．学生积极思考，并交流、讨论总结出： 第一步，审清题意；第二步，根据题意设未知数；第三步，列式子并找出等量关系，建立方程；第四步，列方程，并解出答案；第五步，检查方程的解是否符合题意；最后作答．2．提问：分式方程的应用题应该怎么解呢？二、合作探究探究点：分式方程的应用【类型一】 由实际问题抽象出分式方程几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原少分摊3元车费，若设原参加旅游的学生有人，则所列方程为( )A.180x －180x ＋2＝3B.180x ＋2－180x＝3 C.180x －180x －2＝3 D.180x －2－180x＝3解析：本题的等量关系为：原每人分摊的钱数－实际每人分摊的钱数＝3.原参加旅游的学生有人，则增加两人后人数是(＋2)人，由题意得180x－180x＋2＝3，故选A.方法总结：解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系．【类型二】工程问题抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？解析：设甲队单独完成需要小时，则乙队需要(＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．解：设甲队单独完成需要小时，则乙队需要(＋3)小时．由题意得：2x＋xx＋3＝1.解得＝6.经检验＝6是方程的解．∴＋3＝9.答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时．方法总结：解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．【类型三】行程问题从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．(1)求普通列车的行驶路程；(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可；(2)设普通列车的平均速度是千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)．答：普通列车的行驶路程是520千米；(2)设普通列车的平均速度是千米/时，则高铁的平均速度是2.5千米/时，根据题意得520x －4002.5x＝3，解得＝120，经检验＝120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)．答：高铁的平均速度是300千米/时．方法总结：解决问题的关键是分析题意，找到关键描述语和合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式是：路程＝速度×时间．【类型四】 图表信息类问题某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？解析：设排球的单价为元，则篮球的单价为(＋60)元，根据“总价÷单价＝数量”的关系建立方程．解：设排球的单价为元，则篮球的单价为(＋60)元，根据题意，列方程得：2000x ＝3200x ＋60.解得＝100.经检验，＝100是原方程的根，当＝100时，＋60＝160.答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．方法总结：解答此类问题要结合图表提供的信息，找出相等关系列方程．【类型五】 销售盈亏问题佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．(1)求第一次水果的进价是每千克多少元？(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？解析：(1)根据第二次购买水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案；(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了．解：(1)设第一次购买的单价为元，则第二次的单价为1.1元，根据题意得14521.1x－错误!＝20，解得＝6.经检验，＝6是原方程的解．(2)第一次购买水果1200÷6＝200(千克)．第二次购买水果200＋20＝220(千克)．第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝－12(元)．所以两次共赚钱400－12＝388(元)．答：第一次水果的进价为每千克6元；该老板两次卖水果总体上是赚钱了，共赚了388元．方法总结：本题具有一定的综合性，应该把问题分解成购买水果和卖水果两部分分别考虑，掌握这次活动的流程．三、板书设计分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤是：第一步，审清题意；第二步，根据题意设未知数；第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程；第四步，解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；最后作答．在教学方法上，为了充分调动学生学习的积极性，使学生主动愉快地学习，采用启发讲授、合作探究、讲练相结合的教学方式．在课堂教学过程中努力贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生列表分析、找重点语句、探寻等量关系等，使学生充分地动口、动脑，参与教学全过程．。
新人教版八年级数学上册导学案15.3分式方程
课题：15.3分式方程1学习目标：1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．3．了解解分式方程解的检验方法．学习重点：(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想学习难点：检验分式方程解的原因学习过程：一、自主学习：1.概念：分式方程：分母中含有 的方程叫分式方程。
2.练习：判断下列各式哪个是分式方程．（1）5x y += （2）2253x y z +-= （3）1x （4）05y x =+ 3. 看课本例题回答问题：轮船顺流航行的速度为 千米/时；逆流航行的速度为 千米/时，顺流航行 100千米所用的时间为 小时，逆流航行 60 千米所用的时间为 小时。
由两次航行所用时间相等，可列方程100602020v v=+- 二、合作探究1、观察课本生解题过程，思考：方程100602020v v=+-和()()100206020v v -=+中 V 的取值范围相同吗？所以对上题中的解 v=5 必须检验。
检验：将 v=5 代入原方程中，左边= 4，右边=4 ，左边 =右边，因此 v=5 是原方程的解。
注意：分式方程必须检验2、解方程：2110525x x =-- 小结：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此检验时常将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根三、学以致用1、解方程：（1）1223x x =+ （2）21133x x x x =+++ （3）22411x x =-- 四、能力提升：1、若关于 x 的分式方程1011m x x x --=--有增根， 则m 的取值是? 点拨：把分式方程进行转化，然后找到有可能的增根，代入。
五、课堂小结六、课后作业课题：15．3分式方程2学习目标：1．会分析题意找出等量关系.2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.学习重点：利用分式方程组解决实际问题.学习难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.学习过程：一、自主学习：1、工程问题：工作量=工作效率×工作时间工作效率= 工作时间=例如：一项工程 , 甲单独做5小时完成, 乙单独做 6小时完成工作总量是__________ 甲的工作效率_________乙的工作效率__________二、合作探究：1、两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这是增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快?分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1解：设__________________根据题意得2、某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？解：设________________根据题意得三、学以致用：1、甲、乙两工程队各挖15千米水渠，甲队每天挖水渠是乙的1.2倍，甲队的完工时间比乙队少半天，问甲、乙两工程队每天各挖水渠多少千米？解：设__________________根据题意得2、甲做180个机器零件与乙做240个机器零件所用的时间相同，已知两人每小时共做70个机器零件，两人每小时各做多少个？解：设_________________根据题意得四、能力提升：1、学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个. 解：设________________根据题意得2. 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?解：设_________________根据题意得五、课堂小结课题：15．3分式方程3学习目标：1．会分析题意找出等量关系.2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.学习重点：利用分式方程组解决实际问题.学习难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.学习过程：一、自主学习：1、行程问题：路程= _____×_____ ==时间速度顺水速度= ____________+____________逆水速度=_____________+____________二、合作探究：1、从2005年5月起某列车平均提速 y 千米/时，用相同的时间，列车提速前行驶s 千米，提速后比提速前多行使50千米，提速前列车的平均速度是多少？分析：是一道行程问题的应用题, 基本关系是：速度=时间路程.这题用字母表示已知数（量）.等量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间解：设__________________根据题意得2：八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达。
新人教版八年级上《15.3.1分式方程(二)》导学案
15.3.1 分式方程(二)【学习目标】1.进一步了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的根.3．理解“增根”和“无解”不是一回事.【学习重点】：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的根.【学习难点】：掌握“增根”和“无解”不是一回事【知识准备】：【自主探究文】【探究一】解分式方程 .⑴11122x x =-- ⑵ 214111x x x +-=--【探究二】X 为何值时，代数式xx x x 231392---++的值等于2？【探究三】利用增根的性质解题。
若分式方程424-+=-x a x x 有增根，求a 的值【探究四】理解“增根”和“无解”.（一）已知分式方程有增根，确定字母系数的值。
例1.当a 为何值时，关于x 的方式方程349332+=-+-x x ax x 有增根？归纳:解决此类问题的一般步骤是：（1）把分式方程化为 方程；（2）求出使最简公分母为 的x 的值；（3）把x 的值分别代入整式方程，求出字母系数的值。
（二）已知分式方程无解，确定字母系数的值。
例2 若关于X 的分式方程132323-=-++--xmx x x 无解，求出m 的值。
【自测自结】1、方程2332x x =--的解是 ， 2、若x =2是关于x 的分式方程2372a x x +=的解，则a 的值为 3、解方程①2373226x x +=++ ②2512552x x x +=+-③3233x x x =--- ④ 2211566x x x x =+-++4.如果关于x 的方程7766x m x x --=--有增根，则增根为 ， 5.分式方程()2933x x x x x =+--出现增根，那么增根一定是( ) A ．0 B ．3 C ．0或3 D ．1通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑呢？。
人教版数学八年级上册15.3 第2课时 分式方程的应用1 教案2
第2课时分式方程的应用1．使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力．(重点)2．用分式方程来解决现实情境中的问题，通过分式方程的应用教学，培养学生的数学应用意识．(难点)一、情境导入1．引导学生回忆列方程解应用题的一般步骤．学生积极思考，并交流、讨论总结出：第一步，审清题意；第二步，根据题意设未知数；第三步，列式子并找出等量关系，建立方程；第四步，列方程，并解出答案；第五步，检查方程的解是否符合题意；最后作答．2．提问：分式方程的应用题应该怎么解呢？二、合作探究探究点：分式方程的应用【类型一】由实际问题抽象出分式方程几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，假设设原来参加旅游的学生有x人，那么所列方程为( )A.180x－180x＋2＝3 B.180x＋2－180x＝3C.180x－180x－2＝3 D.180x－2－180x＝3解析：x人，那么增加两人后人数是(x ＋2)人，由题意得180x－180x＋2＝3，应选A.方法总结：解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到适宜的等量关系．【类型二】工程问题抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做那么超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？解析：设甲队单独完成需要x小时，那么乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1〞列方程．解：设甲队单独完成需要x小时，那么乙队需要(x＋3)小时．由题意得：2x＋xx＋3xx ＝6是方程的解．∴x＋3＝9.答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时．方法总结：解决工程问题的思路方法：各局部工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．【类型三】行程问题从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3倍．(1)求普通列车的行驶路程；，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．解析：，两数相乘即可；(2)设普通列车的平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)．答：普通列车的行驶路程是520千米；(2)设普通列车的平均速度是x千米/时，x千米/时，根据题意得520x－400x＝3，解得x＝120，经检验x＝120是原方程的解，那么高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)．答：高铁的平均速度是300千米/时．方法总结：解决问题的关键是分析题意，找到关键描述语和适宜的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式是：路程＝速度×时间．【类型四】图表信息类问题某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王教师和李教师去购置一些篮球和排球．回校后，王教师和李教师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？解析：设排球的单价为x元，那么篮球的单价为(x＋60)元，根据“总价÷单价＝数量〞的关系建立方程．解：设排球的单价为x元，那么篮球的单价为(x＋60)元，根据题意，列方程得：2000x＝3200x＋60.解得x，x＝100是原方程的根，当x＝100时，x＋60＝160.答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．方法总结：解答此类问题要结合图表提供的信息，找出相等关系列方程．【类型五】销售盈亏问题佳佳果品店在批发市场购置某种水果销售，第一次用1200元购进假设干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购置时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购置的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．(1)求第一次水果的进价是每千克多少元？(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？解析：(1)根据第二次购置水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案；(2)先计算两次购置水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了．解：(1)设第一次购置的单价为x元，x 元，根据题意得1452x－错误!＝20，解得x，x＝6是原方程的解．(2)第一次购置水果1200÷6＝200(千克)．第二次购置水果200＋20＝220(千克)．第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，第二次赚钱为100×(9－ 6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝－12(元)．所以两次共赚钱400－12＝388(元)．答：第一次水果的进价为每千克6元；该老板两次卖水果总体上是赚钱了，共赚了388元．方法总结：此题具有一定的综合性，应该把问题分解成购置水果和卖水果两局部分别考虑，掌握这次活动的流程．三、板书设计分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤是：第一步，审清题意；第二步，根据题意设未知数；第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程；第四步，解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；最后作答．在教学方法上，为了充分调动学生学习的积极性，使学生主动愉快地学习，采用启发讲授、合作探究、讲练相结合的教学方式．在课堂教学过程中努力贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心〞的教学思想，通过引导学生列表分析、找重点语句、探寻等量关系等，使学生充分地动口、动脑，参与教学全过程．。
人教版八年级数学上册 学案：15.3 第2课时 分式方程的应用【精品】
第2课时 分式方程的应用学教目标：1．会分析题意找出等量关系.2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.3．在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，引导学生努力寻找解决问题的方法，体会数学的应用价值。
学教重点：利用分式方程组解决实际问题.学教难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.学教过程：一、温故知新：1、分式方程的解法步骤是什么？完成 P36 第4题。
2、解决应用问题的一般步骤是什么？3、解分式方程二、学教互动：（自主探究）课本例3分析：这是一道工程问题应用题，它的问题是甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快？这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同，根据题意，寻找未知数，然后根据题意找出问题中的等量关系列方程.求得方程的解除了要检验外，还要比较甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快，才能完成解题的全过程。
基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1认真审题，然后回答下列问题：1、怎样设未知数，根据哪个关系？2、题中有哪些相等关系？怎样列方程？三、随堂练习： 132x x=-1.为迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务。
这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做4面。
如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？2. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.四、反馈检测：1、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。
已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。
八年级数学上册-人教版八年级上册数学 15.3第2课时 分式方程的应用15.3.1分式方程的应用导学案
15.3.1 分式方程的应用【学习目标】1.使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力；2.通过列分式方程解应用题，渗透方程的思想方法。
【学习重点】列分式方程解应用题.【学习难点】根据题意，找出等量关系，正确列出方程.【知识准备】1．解分式方程的步骤有哪些？每一步你最容易出错在哪些方面？2．列方程应用题的五个步骤是：__________；_______；_______;______;_________。
【自习自疑】一、阅读教材内容P35-37，思考并回答下面的问题我们现在所学过的应用题有几种类型？每种类型题的基本公式是什么？(1)行程问题：基本公式：____________.而行程问题中又分相遇问题、追及问题．它们常.用的公式有哪些？(2)工程问题:基本公式：________________________(3)顺水逆水问题:v顺水=________ ___; v逆水=________________认真阅读课本上的例3，并回答下列问题：（1）工程问题中几个量的关系？（2）问题中的哪个等量关系可以用来列方程？（3）列分式方程解应用题与以前解应用题有哪些主要区别？（4）列分式方程解应用题的步骤：二、预习评估1. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.2.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?我想问：请你将预习中未能解决的问题和有疑问的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。
等级组长签字【自主探究】【探究一】工程问题两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。
八年级数学上册 15.3 分式方程 第2课时 分式方程的实际应用教学设计 (新版)新人教版
八年级数学上册 15.3 分式方程第2课时分式方程的实际应用教学设计（新版）新人教版一. 教材分析本节课是人教版八年级数学上册第15.3节分式方程的实际应用。
分式方程是初中数学中的重要内容，是解决实际问题的基础。
本节课通过实际应用引出分式方程的概念，让学生在解决实际问题的过程中，体会分式方程的作用，培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了分式的基本概念和性质，对分式有一定的理解。
但解决实际问题的能力还不够强，需要通过实际应用来提高。
学生在学习过程中，需要教师的引导和启发，才能将理论知识与实际问题相结合。
三. 教学目标1.理解分式方程的概念，掌握分式方程的解法。
2.能够将实际问题转化为分式方程，并解决问题。
3.培养学生的数学应用意识，提高解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.分式方程的概念和解法。
2.如何将实际问题转化为分式方程。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生从实际问题中发现问题，提出问题，通过合作交流，解决问题。
教师在这个过程中，起到引导和启发的角色。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于导入和巩固环节。
2.准备分式方程的解法，用于讲解和操练环节。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出分式方程的概念。
例如：一个长方形的长是宽的2倍，长方形的面积是36平方厘米，求长方形的宽。
让学生尝试解决这个问题，引出分式方程的概念。
2.呈现（15分钟）讲解分式方程的解法，并通过例题进行演示。
让学生跟随教师一起解题，巩固分式方程的解法。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些分式方程的练习题，检验学生对分式方程解法的掌握程度。
教师在这个过程中，给予学生个别化的指导。
4.巩固（10分钟）通过一些实际问题，让学生运用分式方程解决问题。
例如：一个水池，注水速度是每分钟1.2立方米，排水速度是每分钟0.8立方米，问多少时间才能注满水池？让学生运用分式方程解决这个问题。
5.拓展（10分钟）让学生尝试解决一些更复杂的实际问题，提高学生解决实际问题的能力。
人教版八年级上册数学导学案-分式方程的应用
学习活动
设计意图
程的 ＋ 。
等量关系为：甲、乙两个工程总量＝总工程量
则有 ＋ ＋ ＝1
※分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：
工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.
等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1
【练习】课本P154页练习
教师板书解答、检验过程
五、课堂小测（约5分钟）
六、独立作业我能行
1、独立思考＄15.3分式方程（四）工具单
2、练习册
七、课后反思：
1、学习目标完成情况反思：
2、掌握重点突破难点情况反思：
3、错题记录及原因分析：
学习活动
设计意图
自我பைடு நூலகம்价
课上
1、本节课我对自己最满意的一件事是：
2、本节课我对自己最不满意的一件事是：
作业
独立完成（）求助后独立完成（）
未及时完成（）未完成（）
五、课堂小测（约5分钟）
◆要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，恰好在规定的日期内完成，如果乙单独做，则要超过规定如期3天才能完成，现甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成，问规定的日期是多少天？
利用分式方程组解决实际问题.
学习难点
列分式方程表示实际问题中的等量关系.
学具使用
多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等
学习内容
学习活动
设计意图
一、创设情境独立思考（课前20分钟）
1、阅读课本P152～页，思考下列问题：
人教版数学八年级上册15.3.2分式方程的应用(教案)
2.教学难点
（1）理解实际问题的等量关系，将问题转化为分式方程。
-难点举例：在商场打折问题中，学生需要理解原价、折数与现价之间的关系，并能够将其转化为分式方程。
（2）在解决分式方程时，对分母的处理，避免出现除以零的情况。
-难点举例：在工资问题中，学生需注意分母不能为零的情况，确保方程有意义。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是含有未知数的分式等式，它在表示比例关系、解决实际问题时具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设某人以固定速度行驶，我们需要计算他在不同时间内能行驶多远。这个案例将展示分式方程在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
在教学过程中，教师应针对上述重点和难点内容，采用生动的实例、图示和实际操作等方式，帮助学生形象理解，并逐步引导他们通过自主探究、合作交流等方法，突破难点，掌握分式方程的应用和解题技巧。同时，教师应注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，提高他们对数学学科的兴趣和认识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
人教版数学八年级上册15.3.2分式方程的应用（教案）
一、教学内容
人教版数学八年级上册15.3.2分式方程的应用。本节课我们将围绕以下内容展开：
1.掌握分式方程在实际问题中的应用。
2.学会列分式方程解决实际问题，理解等量关系。
3.能够解决涉及分数、比例、百分比等实际问题的分式方程。
具体内容包括：
（1）行程问题：如甲、乙两地相距x公里，某人从甲地出发，以v1公里/小时的速度行驶，另一个人从乙地出发，以v2公里/小时的速度行驶，问多少小时后两人相遇？
人教版八年级数学上册 教案：15.3 第2课时 分式方程的应用2【精品】
第2课时 分式方程的应用学教目标：1、能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结。
2、通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程应用的过程，提高学生运用方程思想解决问题的能力,和思维水平。
3、在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，引导学生努力寻找解决问题的方法，体会数学的应用价值。
学教重点：实际生活中分式方程应用题数量关系的分析。
学教难点：将复杂实际问题中的等量关系用分式方程表示, 并进行归纳总结 学教过程：一、温故知新1.解方程2.列方程（组）解应用题的一般步骤是什么？（1） ；（2） （3）解所列方程；（4）检验所列方程的解是否符合题意；（5）写出完整的答案。
3.列方程（组）解应用题的关键是什么？4、轮船在顺水中航行20千米与逆水中航行10千米所用时间相同，水流速度为2.5千米/小时，求轮船的静水速度。
5. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度. 3152422236x x x -+-+=-二、学教互动：（自主探究）例4分析：这是一道行程问题的应用题，本题中涉及到的列车平均提速v千米/时，提速前行驶的路程为s千米，基本关系是：速度=路程/时间。
等量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间。
设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，正确地理解问题情境，分析其中的等量关系是设未知数、列方程的基础. 可以多角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系，解分式方程应用题必须双检验：（1）检验方程的解是否是原方程的解；（2）检验方程的解是否符合题意.认真审题，然后回答下列问题：1、速度之间有什么关系？时间之间有什么关系？2、怎样设未知数，根据哪个关系？3、题中有哪些相等关系？怎样列方程？三、拓展延伸：1．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后由于把速度加快1/5，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。
2020年人教版八年级上册全册课时导学案：15-3分式方程的应用
2020年人教版八年级上册全册课时导学案15.3分式方程解应用导学案【学习目标】：1．会分析题意找出等量关系.2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.学习重点：利用分式方程组解决实际问题.学习难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.复习1.两个工程队共同参与一项筑路任务，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？（工程问题的数量关系___________________，此题的等量关系_____________________.）2. 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?3．甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的3倍，求甲、乙两队单独完成各需多少天？4、为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。
如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成。
问原来规定修好这条公路需多长时间？5.某镇道路改造工程，有甲、乙两工程队合作20天可完成，已知甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.⑴求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？⑵如果甲工程队施工每天须付施工费1万元，乙工程队施工每天须付施工费2.5万元，甲工程队至少单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的任务，才能使施工费不超过64万元？7.某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目．公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍；甲、乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1000元、乙队每天的工作费用为550元．根据以上信息，从节约资金的角度考虑公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？小结1.注重备课。
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第十五章 分式
15.3 分式方程
第2课时 分式方程的应用
学习目标：1.理解实际问题中的数量关系.
2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.
重点：能通过列分式方程解决实际问题.
难点：找出实际问题中的数量关系，并列出方程.
一、知识链接
1.解方程：
2.列方程（组）解应用题的一般步骤是什么？
（1） ；（2） ；（3）解所列方程； （4）检验所列方程的解是否符合题意；（5）写出完整的答案. 3.列方程（组）解应用题的关键是什么？ 二、新知预习 4.完成下面解题过程：
小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同.已知两人每分钟录入计算机字数的和是220字.两人每分钟各录入多少字？ （1）请找出上述问题中的等量关系； 答：________________________________________________________________________. （2）试列出方程，并求方程的解；
解：设小红每分钟录入x 字，则小丽每分钟录入______字.根据题意，得
_________________________.
解这个方程得_____________________. 经检验，__________________________.
答：_____________________________________________________________. 要点归纳：根据4中的解题步骤，归纳用分式方程解决实际问题的一般步骤为：
第一步，审清题意；
第二步，根据题意设未知数；
第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程； 第四步，解方程，并验根，还要看方程的解______________； 第五步，作答． 三、自学自测
1.八年级(1)班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是( )
A.300x －2060＝3001.2x
B.300x －3001.2x ＝20
C.300x －300x ＋1.2x ＝2060
D.300x ＝3001.2x －2060 四、我的疑惑
自主学习
教学备注
学生在课前完成自主学习部分
241122x x x x +=
--
2.两车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在s公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小
轿车提速多少km/h？
典例精析
例3：佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以
每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提
高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，
因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
(1)求第一次水果的进价是每千克多少元？
(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
方法总结：本题具有一定的综合性，应该把问题分解成购买水果和卖水果两部分分别考
虑，掌握这次活动的流程．
二、课堂小结
解题步骤解题策略
分式方程
的应用
(1)审清题意；
(2)设出________；
(3)找出__________，列出分式方程；
(4)解这个分式方程，________，看方程的解是否
满足方程和符合题意；
(5)写出实际问题的答案.
常见实际问题中的
基本关系，如行程问
题：速度＝路程/时
间；工作量问题：工
作效率＝工作量/工
作时间等.
1.几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，
结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加旅游的学生有x人，则所列方程为
()
A.
180
x－
180
x＋2
＝3 B.
180
x＋2
－
180
x＝3 C.
180
x－
180
x－2
＝3 D.
180
x－2
－
180
x＝3
2.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知A、B两地相距80千米，
水流速度是2千米/小时，求轮船在静水中的速度.
3.农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，
其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.
4.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回
校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？
~
当堂检测
教学备注
配套PPT讲授
4.课堂小结
5.当堂检测
（见幻灯片
20-23）。