第七章等价鞅测度模型和无套利均衡基本定理

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金融工程无套利均衡分析方法课件

❖ 企业的管理层应该关注于如何投资创造出新的价值, 而不是如何融资
❖ 对于企业的非金融性资产而言, 由于资产组合到一起会产生组合效应, 所以对于投资项目的评估要求净现值大于零。企业的价值是用其负债和权益的市场价值来度量。
❖ 企业的价值减去其各项资产的市场价值的加总后的差, 就是企业的资产组合起来所创造的净现值。
举例说明市场完全性
❖ 某位职员在工作状态下有一份特定数目的收入,但他面临未来失业的可能性,而失业则意味着完全没有收入.显然这个职员未来面临着两种可能性:工作或失业.
❖ 考虑到失业产生的痛苦,该职员宁愿降低工作状态下的消费量,将一部分收入转移至失业状态.
❖ 如果存在保险公司提供失业保险服务,那么, 职员就可以购买保险契约,将工作状态下的部分收入(保险费)转换为失业状态下可供消费的资源(保险赔偿)
无套利的价格是什么:
❖ 无套利均衡的价格必须使得套利者处于这样一种境地: 他通过套利形成的财富的现金价值，与他没有进行套利活动时形成的财富的现金价值完全相等，即套利不能影响他的期初和期末的现金流量状况。
套利及无套利定价的思想
❖ 在现代金融学中, 无套利均衡分析方法最早体现在莫迪格里亚尼和米勒研究资本结构和企业价值之间的关系的重要成果（MM理论）中。
❖ 如果市场是有效率的话, 市场价格必然由于套利行为作出相应的调整, 重新回到均衡的状态。这就是无套利的定价原则。
❖ 根据这个原则, 在有效的金融市场上, 任何一项金融资产的定价, 应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。
套利及无套利定价的思想
❖ 换言之, 如果某项金融资产的定价不合理, 市场必然出现以该项资产进行套利活动的机会, 人们的套利活动会促使资产的价格趋向合理, 并最终使套利机会消失。

【干货】关于等价鞅、反等价鞅、剀利公式、赌徒输光定理

【干货】关于等价鞅、反等价鞅、剀利公式、赌徒输光定理我很早就觊觎股市期市和汇市了，但是自己手里一直没有钱。

到了澳大利亚后有了奖学金，于是终于可以自己自由的玩这个东西了。

我选择了外汇保证金。

本来这个东西，打算在赚到钱之前不写什么东西的。

但是近的一系列醍醐灌顶的感觉让我觉得还是有必要记录一下最近的心理活动。

去年7月份入市以来，现在已经半年过去了，我总共亏损了2000美元。

不过相对于我得到的东西，我觉得这已经是相当值得的一个投入产出比了。

这半年来，我一直采用迷你帐户操作，爆仓四次。

在这个过程中，我经历了各种剧烈的心理变动，贪婪，恐惧，不确定。

自己的人性的各种丑陋的一面被暴露的淋漓尽致。

我同时也成了一个疯狂的技术研究者。

我疯狂的搜集各种资料，研究各种交易系统，指标，等等等等。

我先后尝试了均线，RSI，woodies CCI系统，KDJ和布林线相结合的短线抓震荡的系统，日本蜡烛图技术。

等等等等，也自己尝试写了很多自动交易程序，测试各种策略。

也求助过各种付费服务。

当然，结果，就像各个汇市老手所说的一样，必然是亏钱。

在交易了四五个月之后，我开始逐渐的真正开始理解“资金管理”的含义。

以前我一直用mini帐户，等于是毫无资金管理可言，而且我所做的事情，正象很多汇市老手描述的一样：“我认为我比别人聪明，因此我听不进老手的建议，我觉得我能找到一套完美的系统，然后使用他盈利，因此我使用极高的杠杆，过度交易，别人说我疯了，但是我自己一点也不这样认为，因为我觉得我比别人聪明”。

于是，我一点也没能逃过预言，越来越大的亏损接踵而至。

前几个星期里，我经历了第四次250美元涨到1200美元，然后直接亏到0。

四次了。

长期的亏损让我已经对亏钱麻木，心理承受能力也大大的增强了。

我开始反思自己的做法。

当我意识到我永远不可能寻找到一种完美的方法来预测市场的时候，“资金管理”的概念便开始真正的被我开始理解了。

于是我开始疯狂的搜索根资金管理和交易哲学的有关的东西。

无套利均衡原理-概念术语

第七章无套利均衡原理
绝对定价法
就是根据证券未来现金流的特征，运用恰当的贴现率将这些现金流贴现加总为现值，该现值就是此证券的合理价格。

相对定价法
基本思想就是利用标的资产价格与衍生品价格之间的内在关系，直接根据标的资产价格求出衍生品价格。

套利
是在某项金融资产的交易过程中，利用一个或多个市场存在的价格差异，交易者可以在不需要期初投资支出的条件下获取无风险报酬。

卖空
指交易者能够先卖出当时不属于自己的资产（俗称做空头），待以后资产价格下跌后再以低价买回，即所谓“先卖后买”。

复制技术的要点
是使复制组合的现金流特征与被复制组合的现金流特征完全一致，复制组合的多头（空头）与被复制组合的空头（多头）互相之间应该完全实现头寸对冲。

复制技术定价的原则
构造两个投资组合，如果两者的期末价值相等，则其期初价值一定相等，否则存在套利机会。

无套利的定价原则
在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。

无套利价格
在市场达到无套利均衡，此时得到的价格即为无套利价格。

一价法则
金融市场要实现无套利机会，未来现金流相同的金融资产组合必须有相同的价格。

无套利定价原理总结

以构建套利策略，寻求风险较低的利润。
摩擦成本与无套利定价的挑战
要点一
摩擦成本
要点二
挑战
在实际操作中，套利策略往往面临摩擦成本，如交易费用、融资成本、税收等。这些成本会侵蚀套利利润，甚至使一些看似有吸引力的套利机会变得不经济。
摩擦成本的存在使得无套利定价原理在实际应用中受到限制。套利者需要综合考虑成本因素，以确定是否值得进行套利操作。此外，市场的不完美性和非有效性也可能导致套利策略的难度增加。
无套利定价与金融市场效率
提高市场效率
无套利定价原理促进了市场价格发现的功能，使资产价格更趋近于其真实价值，从而提高金融市场的效率。
增强市场流动性
套利行为的存在会增加市场的交易量，从而增强市场的流动性。
降低市场风险
通过消除套利机会，无套利定价有助于降低市场的系统性风险，维护金融市场的稳定。
02
无套利定价的数学基础
概率论与数理统计
基础概念
概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，数理统计则是基于数据进行推断的学科，两者提供数学基础和分析工具。
在无套利定价中
用于描述和理解金融市场的随机性和不确定性，构建概率模型来刻画资产价格的动态变化。
随机过程与伊藤引理
基础概念
随机过程是一系列随机变量的集合，伊藤引理是描述随机过程函数性质的重要定理。
通过大量模拟，计算期权预期收益的统计特征，并根据无风险利率进行贴现，从而得到期权的无套利价格。
04
无套利定价原理的实证研究与挑战
实证研究方法与结果
方法
在实证研究中，通常使用历史数据来检验无套利定价原理的有效性。研究者会收集资产价格、收益率等数据，并运用统计方法和计量经济学模型进行分析。

无套利均衡定价法名词解释

无套利均衡定价法1. 概述无套利均衡定价法（Arbitrage-free pricing）是金融学领域中一种重要的定价方法，用于确定金融资产的合理价格。

该方法的核心思想是通过排除套利机会来确定资产价格，以保证市场的有效性和公平性。

在金融市场中，套利是指通过买入低价资产并卖出高价资产来获取风险无关的利润。

无套利原理认为，在一个没有交易成本和信息不对称的完美市场中，不存在可以同时获得正收益且没有风险的投资机会。

因此，通过应用无套利原理，可以确定金融资产的公平价格。

2. 基本原理2.1 无套利条件在进行无套利定价时，需要满足以下几个基本条件：•市场完全竞争：市场上有足够多的买家和卖家，并且不存在垄断力量。

•无交易成本：买卖双方可以自由地进行交易，并且交易过程中不会产生额外费用。

•没有限制：没有任何法律或制度上的限制限制交易活动。

•无信息不对称：市场上的所有参与者都拥有相同的信息，并且可以自由获取和利用这些信息。

2.2 无套利定价方法无套利定价方法可以分为两类：静态定价方法和动态定价方法。

2.2.1 静态定价方法静态定价方法是指在某一时刻，通过考虑市场上所有相关资产的价格和现金流量，来确定特定资产的价格。

常用的静态定价方法包括：•均值方差法（Mean-Variance approach）：基于投资者对风险和回报之间的权衡关系，通过计算资产组合的期望收益率和方差来确定资产价格。

•CAPM模型（Capital Asset Pricing Model）：基于风险与回报之间存在正相关关系的假设，使用市场风险溢酬率来确定资产价格。

•市场多空组合法（Market-neutral portfolio approach）：通过构建多空组合，使得该组合在市场波动下保持稳定收益，并通过收益率计算出资产价格。

2.2.2 动态定价方法动态定价方法是指通过考虑未来市场条件和预期变化，来确定特定资产的价格。

常用的动态定价方法包括：•期权估值模型（Option pricing model）：通过考虑未来的风险和回报，来确定期权的价格。

简析等价鞅测度及其应用

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式 5;05"IJC)
+’ +!&;)* ’就等于 C $
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这
个特征阐明了在不丧失一般性条件下! 为什么可将人们的注意力限定在隐含锥空间 % 的特殊概率测度类型上 $ 重要的是要指出 ) 鞅概率测度 (: 不是为了将股票价格实际波动观测值模型化而外生引入的 $ 相反的是 ! 它应该被看作是衍生证券套利估价中非常有用的技术工具 $ 评价 ! 鞅测度 & 或风险中性概率 ’ 概念本质上取决于基数资产的选择 $ 可以确认相对股票价格 ?:0? > 5 的唯一鞅测度为 C 类的唯一因子 ( ! 且 ( 与 C 的以下值一致 )C0C0) 3 % 3 + 79 $
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-王俊
罗猛
自从 !" 世纪 #" 年代后数理分析工具广泛应用于金融分析领域 ! 其中最为知名的当属 $%$ 定理 "&’$( 以及无套利 )’(*+ 定理和鞅等价定理等 # 在这当中 ! 鞅等价定理直至目前仍然是金融分析中的前沿课题 $ 并且 ! 等价鞅测度定理还是人们在分析金融产品定价 % 消除金融投机套利机会 " 降低金融产品投资风险的主要工具 $ 等价鞅测度定理在金融市场分析中的很多领域都可以得到应用 $ 剖析等价鞅测度定理及其应用无疑对掌握金融产品定价方法 " 优化金融产品投资组合 " 降低金融产品投资风险将有所裨益 $ 一 ! 鞅的定义及含义一个关于 ,!-.-"" 适应的过程 /0)/-+-"" 称为一个 & 关于 ,!-.-"" 的 ’ 鞅 ! 如每个 /可积 ! 且 /-01)/-23 4 !-+ !-0"!3 ### &3 ’ 称为一个上鞅 ! 如式 &3 ’ 换为 /-$1)/-23 4 量族 !3! ( ( (!!* 生成而致 ! 从而更精确而言 !B; 0B &!"!!3!( ( (!!;’! &; )* ! 等式中

第七章利率期限结构

1 R t,T ln Et e t T t
T
r s ds

可见，只要给定瞬时利率在时刻的初始值及其动态过程，我们就可以推知时刻的任意期限的即期利率（或者说可以推知时刻的利率期限结构）及其动态的时变特征，从而可以推出利率产品的价格。与瞬时利率相近的一个概念是瞬时远期利率（表示，指的是在时刻，从未来某一时刻也可以表示为瞬时远期利率的函数，），我们用
其中
t ~ N 0,1 ，也就是说，每个瞬间的 t 都是服从标准正态分布的一个随机值；
， dz t 的值相互独立，也就是说，遵循标准布朗运
同时，对于任何两个不同的时间间隔动的变量具有独立增量的性质。只要 r
r t , t 和 r t , t 已知， t 是标准正态分布中的一个随机值，运用式
的某个函数，
r t , t r t ，其中与为常数。在实际应用时，还需要估计出合理的
参数值，例如与的具体数值。这些都将在后面几节加以介绍。（三）动态利率模型的分析框架在构建瞬时利率或瞬时远期利率的动态模型之后，如何由此推断整条利率曲线的动态模型，并为复杂的利率产品定价呢？我们仍然以瞬时利率为例，概述动态利率模型分析的基本框架。由于零息债价格

根据数学家是瞬时利率 r t 的函数，且 dz t 为标准布朗运动时，
提出的伊藤引理（
），当 r t 服从式

将服从
dB B (r , t , T )dt B (r , t , T )dz t B
其中，
B (r , t , T ) B (r , t , T )

《无套利定价原则》课件

概念
无套利定价原则是现代金融学的核心原则之一，它基于市场有效性假设，认为市场价格反映了所有可获得的信息，因此任何投资者都无法通过买卖资产获取超额收益。
无套利定价原则的重要性
市场有效性
无套利定价原则是市场有效性的重要体现，它保证了市场价格的公正性和合理性，避免了市场操
纵和过度投机。
资源配置
无套利定价原则有助于实现资源的有效配置，使得资金流向更有价值的领域，提高了市场的整体效率。
无套利定价的核心在于确保市场价格与成本之间的合理关系，以防止套利行为的发生。
数学模型
数学模型用于描述无套利定价的原理，通过建立数学方程来表达
市场价格与成本之间的关系。
常见的数学模型包括随机过程模型、期权定价模型等，这些模型为无套利定价提供了理论基础和
计算方法。
数学模型的应用有助于精确地预测市场价格，并为企业决策提供
后等。
模型精度问题
无套利定价原则的精度受到多种因素的影响，如数据质量、模型参数设定等，需要进一步提高模
型的预测精度。
风险控制不足
在无套利定价原则的实际应用中，风险控制是一个重要的问题，需要建立完善的风险管理体系，
以降低市场风险。
解决方案与建议
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加强数据管理
通过加强数据管理，提高数据的质量和获取效率，为无套利定价原则的应用提供更好的数据支持。
详细描述
金融机构可以利用无套利定价原则对各种金融产品进行合理定价，并根据市场情况及时调整风险敞口。这有助于降低潜在的损失，提高金融机构的风险管理能力。
04
无套利定市场环境变化
随着市场环境的变化，无套利定价原则的应用面临诸多挑战，如数据获取难度加大、模型更新滞

无套利均衡名词解释

无套利均衡名词解释
无套利均衡是经济学中一个非常重要的概念,它指的是市场中所有参与者在进行买卖时,应该满足没有任何一个参与者可以获得不公正的利润或没有多余的机会获得利润的情况。

具体来说,无套利均衡要求市场中所有参与者的买入价格与卖出价格应该相等,或者市场中的参与者应该能够以相等的成本进行买入和卖出。

无套利均衡是经济学中一个非常基础的概念,对于理解市场中各种行为和现象都有着重要的意义。

例如,无套利均衡可以解释为什么市场中的价格应该相等,同时也可以解释为什么市场中的参与者应该能够以相等的成本进行买入和卖出。

无套利均衡还可以被应用于许多其他领域。

例如,在金融领域中,无套利均衡可以解释为什么所有的银行都必须以相同的利率向客户贷款,因为如果某个银行可以以更低的利率贷款,那么其他银行就会因此失去竞争力,导致市场利率上升。

在国际贸易中,无套利均衡可以解释为什么所有参与国际贸易的国家对货物的关税应该相等,因为如果某个国家可以以更低的关税进口货物,那么其他国家就会
因此失去竞争力,导致市场不公平。

无套利均衡的概念在经济学和金融领域中应用广泛,并且对于理解市场中各种行为和现象都有着重要的意义。

无套利均衡的实现需要通过价格和成本的协调、竞争和合作的平衡等多方面的考虑。

金融工程原理无套利均衡分析课程设计

金融工程原理无套利均衡分析课程设计1. 研究背景金融工程作为一门交叉学科，研究金融市场中的各种金融工具和交易策略的设计、创新与应用。

无套利均衡是金融工程领域中非常重要的概念。

在金融工程领域中，套利是一种利用金融市场中的定价差异实现收益的交易策略。

如果市场处于套利状态，则市场不再有效，交易双方很难进行有效的交易。

无套利均衡是指金融市场中不存在任何的套利机会，市场处于有效状态。

这种状态下，交易双方可以达成协议，共同获得收益。

无套利均衡分析是金融工程领域中的一个重要课题，它涵盖了许多金融工具和交易策略的定价模型。

通过无套利均衡分析，可以有效评估金融市场的有效性，并且设计出一些相应的交易策略。

因此，在金融工程课程中，无套利均衡分析是必修的一门课程。

2. 研究目的本课程设计的主要目的是对无套利均衡分析的相关知识进行深入的研究和探讨。

通过本课程设计，旨在：•熟悉无套利均衡的概念和相关理论知识；•掌握无套利均衡的建模方法和实际应用；•学习常用的金融工具定价模型；•了解一些金融市场交易策略的设计思路；•提高学生的金融分析能力和创新能力。

3.1 理论学习本课程设计首先介绍无套利均衡的基本概念和原理，包括金融市场的有效性、套利与无套利、股票、期货、期权的定价基本原理和方法等。

具体学习内容如下：•无套利交易原理•股票的基本定价原理•期权的定价方法•期货的定价方法•外汇市场的定价方法•债券市场的定价方法•衍生品的应用和定价方法3.2 实际操作为了更好地理解和掌握课程内容，本课程设计还将包含一些实际操作环节，包括：•使用MATLAB编写股票、期货、期权的定价模型；•实现无套利套利的交易策略；•分析实际股票、期货、期权的交易数据，设计相应的交易策略。

4. 考核方式本课程设计采用多种考核方式，包括课堂测验、编写程序和实际操作等。

具体考核方式如下：•理论知识测试，占成绩的30%•编写程序，占成绩的30%•实际操作，占成绩的40%本课程设计旨在让学生深入了解和掌握无套利均衡分析的相关知识和技能，提高学生的金融分析能力和创新能力。

鞅在期权定价中的应用

The Annals of Applied Probability1999,Vol.9,No.2,504–528PRICING CONTINGENT CLAIMS ON STOCKSDRIVEN BY L´EVY PROCESSES1By Terence ChanHeriot-Watt UniversityWe consider the problem of pricing contingent claims on a stock whose price process is modelled by a geometric L´e vy process,in exact analogy withthe ubiquitous geometric Brownian motion model.Because the noise pro-cess has jumps of random sizes,such a market is incomplete and there isnot a unique equivalent martingale measure.We study several approachesto pricing options which all make use of an equivalent martingale measurethat is in different respects“closest”to the underlying canonical measure,the main ones being the F¨o llmer–Schweizer minimal measure and the mar-tingale measure which has minimum relative entropy with respect to thecanonical measure.It is shown that the minimum relative entropy measureis that constructed via the Esscher transform,while the F¨o llmer–Schweizermeasure corresponds to another natural analogue of the classical Black–Scholes measure.1.Introduction.We consider the problem of pricing contingent claims on a stock whose price at time t,S t,is modelled by a geometric L´e vy processdS t=σt S t−dY t+b t S t−dtwhere Y is a general L´e vy process(satisfying some additional conditions)and not merely a Brownian motion.The classical option pricing theory of Black and Scholes relies on the fact that the payoff of every contingent claim can be duplicated by a portfolio consisting of investments in the underlying stock and in a bond paying a riskless rate of interest;in other words,the risk of buying or writing an option can be completely hedged against.In such complete mar-kets,there is a unique measure which is equivalent to the canonical measure (the“real world”measure)and which makes the discounted price process a martingale.The unique fair price of a contingent claim is then the expectation under this martingale measure of the discounted payoff at maturity,which is essentially the content of the famous Black–Scholes formula.For the stock prices described above,there are many equivalent measures under which the discounted price process is a martingale,in contrast to the geometric Brownian model.In other words,such a market is incomplete—that is,contingent claims cannot in general be hedged by a suitable portfolio. Because there does not exist a unique equivalent martingale measure,it is not possible simply to use the martingale measure to price a contingent claim in the manner just described.Instead,additional criteria must be used to select Received April1997;revised November1997.1Supported in part by the Carnegie Trust for the Universities of Scotland.AMS1991subject classiﬁcations.Primary90A09,60G35;secondary60J30,60J75.Key words and phrases.Option pricing,incomplete market,equivalent martingale measures.504OPTION PRICING WITH L´EVY PROCESSES505an appropriate martingale measure from among the uncountably many such measures with which to price a contingent claim.Many different approaches to this problem have been proposed in recent years but there is as yet no deﬁnitive way of pricing contingent claims in incomplete markets which is preferable to the other possible methods in all situations.Moreover,compared to the large body of work devoted toﬁnding new approaches to option pricing in incomplete markets,relatively little seems to have been done to compare and to investigate the relationship between the various approaches.Part of the aim of this paper is to go a little way toward redressing the balance.For our particular model,we shall concentrate on various approaches to pricing options which are all based on the idea of using an equivalent martingale measure that is in different respects“closest”to the underlying canonical measure,the main ones being the F¨o llmer–Schweizer minimal measure and the martingale measure which has minimum relative entropy with respect to the canonical measure.2.Description of the model.Before describing the model,weﬁrst re-view some preliminary results concerning L´e vy processes.For a more detailed treatment,the reader is referred to Protter(1990),Jacod and Shiryaev(1987) and Liptser and Shiryayev(1989).A L´e vy process Y t is simply a process with stationary and independent increments:in other words,Y s+t−Y s is independent of Y u u≤s and has the same distribution as Y t−Y0.All L´e vy processes are semimartingales and throughout this paper we adopt the convention that all L´e vy processes are right continuous with left limits(cadlag).Since Y has stationary independent increments,its characteristic function must take the formE exp −iθY t =exp −tψ θfor some functionψ,called the L´e vy exponent of Y.The L´e vy–Khintchine formula says that2 1 ψ θ =c22θ2+iαθ+ x <1 1−e−iθx−iθx ν dx + x ≥1 1−e−iθx ν dxforα,c∈R and for someσ-ﬁnite measureνon R\ 0 satisfying2 2 min 1 x2 ν dx <∞The measureνis called the L´e vy measure of Y.The L´e vy–Khintchine formula(2.1)is intimately connected to the structure of the process Y itself,in particular to the L´e vy decomposition of Y,which we describe below.From the L´e vy–Khintchine formula we can deduce that Y must be a linear combination of a Brownian motion and a quadratic pure jump process X which is independent of the Brownian motion.[A process is506T.CHANsaid to be quadratic pure jump if the continuous part of its quadratic variation X c≡0,in which case its quadratic variation becomes simplyX t= 0<s≤t X s 2where X s=X s−X s−is the jump size at time s.]It will be convenient to explicitly separate out the Brownian component from the quadratic pure jump component X and we therefore write2 3 Y t=cB t+X twhere B is a standard Brownian motion on R and X is quadratic pure jump. We now proceed to describe the L´e vy decomposition of X[the full L´e vy de-composition of Y is then obtained by combining this with(2.3)].Let Q dt dx be a Poisson measure on R+×R\ 0 with expectation(or intensity)measure dt×ν whereνis the L´e vy measure introduced earlier and dt denotes Lebesgue measure.The measureν(or more precisely dt×ν)is also sometimes called the compensator of Q.The L´e vy decomposition of X says that2 4 X t= x <1 x Q 0 t dx −tν dx + x ≥1 x Q 0 t dx +t E X1− x ≥1 xν dx= x <1 x Q 0 t dx −tν dx + x ≥1 x Q 0 t dx +αtwhere we have putα=E X1− x ≥1 xν dxThe parameterαis called the drift of the L´e vy process X.For the purposes of our model,we require the process Y to satisfy certain additional conditions.The key assumption we require of Y is that2 5 E exp −hY1 <∞for all h∈ −h1 h2 ,where0<h1,h2≤∞.This implies that Y t hasﬁnite moments of all orders, and in particular,E X1 <∞.In terms of the L´e vy measureνof X we havex ≥1 e−hxν dx <∞(2.6a)x ≥1 xγe−hxν dx <∞∀γ>0(2.6b)x ≥1 xν dx <∞(2.6c)OPTION PRICING WITH L´EVY PROCESSES507 for all h∈ −h1 h2 .[Note that as(2.6a)holds for all h in an open interval, (2.6b)and(2.6c)follow from(2.6a).]With these assumptions in mind,(2.4)can be rewritten as2 7 X t= R x Q 0 t dx −tν dx +t E X1 =M t+atwhere M t= R x Q 0 t dx −tν dx is a martingale and a=E X1 .Ob-serve that(2.7)gives the Doob decomposition of X as the sum of a martingale and a previsible process ofﬁnite variation.Even though a is not the drift of X in the sense in which the term is usually understood(αis the drift in the technical sense),we shall see later that a plays the role of a drift contribution from the jump component of Y.We refer to a(or more correctly,the process t→at)as the previsible part of X.In addition,(2.5)implies that instead of the characteristic function,one could consider the Laplace transform of Y t instead.By a slight abuse of nota-tion,we also useψto denote the“L´e vy exponent”and write E exp −θY t = exp −tψ θ .Bearing in mind the simpliﬁed decomposition(2.7)for processes satisfying(2.5),the L´e vy–Khintchine formula(2.1)now becomes2 8 ψ θ =−c2θ22+aθ+ R 1−e−θx−θx ν dxA very similar analysis can be carried out for more general semimartingales with jumps and in particular for processes with independent but not neces-sarily stationary increments.Jacod and Shiryaev(1987)have a full treat-ment.A random measure Q dt dx is also associated with such a process, but it is not necessarily a Poisson measure.As in the case of L´e vy processes, the measure Q describes the mechanism by which jumps of the process oc-cur.The compensator of Q is the unique previsible measureν dt dx such that Q 0 t −ν 0 t is a martingale for any Borel set ⊂R\ 0 .If the process in question has independent increments,the measureνis neces-sarily deterministic,so Q is an inhomogeneous Poisson measure.[For L´e vy processes,the stationarity of increments implies thatν dt dx =dtν dx .] The compensator can also be characterized as the unique previsible measure such that2 9 E 0 t × H s x Q ds dx =E 0 t × H s x ν ds dxfor any Borel set and any previsible process H.We also have an analogue of the L´e vy–Khintchine formula:E exp −θX t =exp −ψX t θ where 2 10 ψX t θ =a tθ+ R 1−exp −θx −θx ν 0 t dxwhere a t=E X t is the previsible part of X.Together with the quadratic variation of the continuous part of X(which is zero if X is quadratic pure jump as in our case),the compensator measure and previsible part form the508T.CHANthree components of the characteristics of a semimartingale.The following result is also worth noting:for any measurable function f t x ,2 11 0<s≤t f s X s = t0 R f s x Q ds dxNext,we recall Itˆo’s formula for cadlag semimartingales.If X1 X2 X n are cadlag semimartingales and f a C2function,thenf X1t···X n t −f X10···X n0= t0f i X1s−···X n s− dX i s+12 t0f i j X1s−···X n s− d X i X j c s+ 0<s≤t f X1s···X n s −f X1s−···X n s− −f i X1s−···X n s− X i swhere X i X j c is the continuous part of the mutual variation of X i and X j, f i=∂f/∂x i,f i j=∂2f/∂x i∂x j and we have used index summation convention. This will often be abbreviated tod f X1t X2t···X n t=f i X1t−···X n t− dX i t+12f i j X1t−···X n t− d X i X j c t+f X1t···X n t −f X1t−···X n t− −f i X1t−···X n t− X i t Turning now to a description of the model,on a probability space t P ,let Y t=cB t+X t=cB t+M t+at be a L´e vy process of the form described earlier,satisfying the condition(2.5).We assume that theﬁltration t is the minimal one generated by Y.The stock price S t is the solution of the stochastic differential equation2 12 dS t=σt S t−dY t+b t S t−dt=σt S t− c dB t+dM t + aσt+b t S t−dtwhere the coefﬁcientsσt and b t are deterministic continuous functions.Equa-tion(2.12)has an explicit solution[see Protter(1991)]given by2 13 S t=S0exp t0σs dY s+ t0 b s−c2σ2s2 ds× 0<s≤t 1+σs Y s exp −σs Y s=S0exp t0cσs dB s+ t0σs dM s+ t0 aσs+b s−c2σ2s2 ds × 0<s≤t 1+σs M s exp −σs M sFrom this we see thatσ S u u≤t = t and so a contingent claim T expiring at time T may be regarded as a nonnegative T-measurable random variable.OPTION PRICING WITH L´EVY PROCESSES509 The Doob decomposition of Y suggests that b t+aσt rather than b t should be regarded as the drift in(2.12).Although in practice,a and b cannot be estimated separately and consequently there is no need to add a drift to X separately from b in(2.12),we have chosen to consider the parameters a and b separately for convenience,because the value of a is often implicit in the speciﬁcation of a particular process as X and so cannot be chosen indepen-dently(e.g.,if we specify that X be a Poisson process of rateλ,this forces a=λ).In order to ensure that S t≥0for all t almost surely,we needσt M t≥−1 for all t.This in turn implies that the jumps of X must be bounded on at least one side,that is,either bounded from below or bounded from above. Suppose that X t= M t∈ −c1 c2 which is equivalent to saying that the L´e vy measureνis supported on −c1 c2 where c1,c2≥0and one(but not both)of c1,c2may be inﬁnite.This implies that at least one of h1,h2in(2.5) must be inﬁnite.In order to ensure that S t≥0we need2 14 −1c2≤σt≤1c1for all t.As far as the Brownian component of Y is concerned,the sign of the volatilityσis inconsequential,but if one were to keep to the usual convention thatσ>0, then(2.14)shows that the jumps of X should be bounded from below(i.e., c1<∞).The conditions(2.5)and(2.14)will of course rule out any processes with“fat-tailed”distributions such as stable processes.However,the allowable L´e vy processes here include all the processes considered in Gerber and Shiu (1994):for example the gamma,the inverse Gaussian,the Poisson and the difference of two independent Poisson processes.The riskless rate of interest is given by a deterministic continuous function r t and the value P t of a bond or bank account paying this rate of interest evolves according to the ODE˙P t=r t P tAs withσand b,we could also allow r to be adapted to t ,although this is a less useful generalization in practice.For notational convenience,we denote byˆS t the discounted stock price deﬁned by2 15 ˆS t=exp − t0r s ds S tIt will be seen in the next section that,in this model,there are many mea-sures,equivalent to the underlying canonical measure P,which makesˆS t a martingale.We conclude this section by brieﬂy mentioning some other similar models which have been considered by various authors.Bardhan and Chao(1993)con-sidered a similar model where the noise consists of several Brownian motions and several point processes whose jumps are all of size1but whose intensities510T.CHANmay not be time-homogeneous and may be random.However,the contingent claims they considered are on more than one stock,where the number of stocks exactly equals the total number of noise terms(Brownian motions and point processes).This,together with the fact that the jump sizes areﬁxed,ensure that their model is complete.Aase(1988)is essentially an attempt at a more general model than that of Bardhan and Chao,where the point process may have random jump sizes but still aﬁnite number of jumps in anyﬁnite time interval.Unfortunately,Aase(1988)claims that the model is also complete even though there are more than one equivalent martingale measure;this is false because it contradicts a well-known theorem of Harrison and Pliska (1981,1983)to the effect that completeness of the market is equivalent to uniqueness of the equivalent martingale measure.Indeed,Aase(1988)claims that every martingale can be represented as an integral with respect toˆS t,in the form2 16 t0θs dˆS swhereθt is a previsible process.(The existence of such a representation is equivalent to completeness.)This is false,as the martingale representation theorem[see,e.g.,Jacod and Shiryaev(1987)]for the jump processes consid-ered in Aase(1988)(which includes certain classes of L´e vy processes)says that every martingale has the representationt0H s x ˜Q ds dx −˜ν ds dxwhere˜Q ds dx is a random jump measure whose compensator is˜ν—analogous,respectively to the Poisson and L´e vy measures associated with a L´e vy process—and where H s x is a previsible Borel function(see the next section for a precise deﬁnition).We shall see in the next section that, under any equivalent martingale measure,the jump part ofˆS t has the representationt0γs d˜M s= t0 Rγs x ˜Q ds dx −˜ν ds dxHence,in order that the representation(2.16)holds,we need H s x =θsγs x, which of course is not true in general.Finally,Gerber and Shiu(1994)con-sider the case where the stock price is modelled by a process of the form exp σY t+bt ,whereσand b are constants and Y is a L´e vy process satisfying (2.5).This has many similarities with our present model and both are obvious generalizations of the geometric Brownian model.The program carried out in the next section can be equally well carried out for the Gerber–Shiu model, often with only fairly minor modiﬁcations.Each model has its own advantages and disadvantages.The main advantage of the Gerber–Shiu model is that the jumps of X can be of any size and do not have to be bounded from one side. The present model based on(2.12)describes the price dynamics in a mannerOPTION PRICING WITH L´EVY PROCESSES511 which is intuitively more natural and is also more appealing in other mathe-matical respects.This is because the starting point of the classical geometric Brownian model is(2.12);that the price S t also has the form exp σ Y t+b t isa direct consequence of the stochastic calculus involved,in particular,Itˆo’s for-mula.For discontinuous L´e vy processes,Itˆo’s formula is rather different and so a model which takes as its starting point a differential equation like(2.12) and then takes account of the differences in the underlying stochastic calculus in the subsequent computations is more likely to lead to simpler calculations and more attractive results.This point is illustrated in Section3.3in relation to the Esscher transform and minimum relative entropy measure.Gerber and Shiu(1994)deal only with pricing contingent claims by Esscher transforms, without explaining why the Esscher transform is a particularly appropriate martingale measure to use.[However,in their response to the discussions that follow their paper,they give a justiﬁcation of the Esscher transform in terms of utility;see page175of Gerber and Shiu(1994).]We shall show that it is the martingale measure which has minimum relative entropy with respect to the canonical measure.3.Equivalent martingale measures and pricing formulas.We be-gin by characterizing all equivalent martingale measures Q under which the discounted price processˆS deﬁned at(2.15)is a t -martingale.To this end, weﬁrst need to characterize all the measures which are absolutely continuous with respect to P.We continue to use the notation established in the previous section.In particular,Y t=cB t+X t is a L´e vy process satisfying(2.5)and X t is a quadratic pure jump L´e vy process with L´e vy measureνsupported on a subset of −c1 c2 ,where at least one of c1,c2isﬁnite.The Doob–Meyer decompo-sition of X is given by X t=M t+at,where M is a quadratic pure jump martingale with M0=0and a=E X1 .If Q dt dx is the Poisson measure associated with X,let M dt dx =Q dt dx −dtν dx denote the compen-sated measure.Thus,for example,the martingale part of X can be written as M t= t0 R x M ds dx .Further,expectations under the canonical measure P will be denoted by E · while expectations with respect to any other measure Q will be denoted by Q · .Let denote the previsibleσ-algebra on ×R+associated with theﬁltra-tion t and let˜ = × ,where is the Borelσ-algebra on R.A function H ω t x which is˜ -measurable will be called Borel previsible.Thus,sup-pressing the explicit dependence onω,a Borel previsible function or process H t x is one such that the process t→H t x is previsible forﬁxed x and the function x→H t x is Borel-measurable forﬁxed t.Lemma3.1.Let G t and H t x be previsible and Borel previsible processes respectively.Suppose thatE t0G2s ds <∞512T.CHANand H≥0,H t 0 =1for all t≥0.Let h t x be another Borel previsible process such that3 1 R H t x −1−h t x ν dx <∞Deﬁne a process Z t by3 2 Z t=exp t0G s dB s−12 t0G2s ds+ t0 R h s x M ds dx− 0 t ×R H s x −1−h s x ν dx ds × 0<s≤t H s X s exp −h s X sThen Z is a nonnegative local martingale with Z0=1and Z is positive if and only if H>0.Remark.The process h referred to in Lemma3.1is,of course,not unique. However,given H,it is essentially unique in the following sense:suppose that h t x and f t x are two Borel previsible processes such that(3.1)holds;then because R f t x −h t x ν dx <∞,it is an easy exercise to check that the process Z is unchanged if h is replaced by f in(3.2):simply write f= h+ f−h .[However,note that it is crucial that R f t x −h t x ν dx <∞: the terms involving h in(3.2)do not cancel precisely because R h t x ν dx may diverge.]Thus,once H isﬁxed,Z does not depend on the choice of the process h satisfying(3.1).Of course,the easiest and most obvious choice of h is h≡H−1 However,in the present context,particularly in connection with the Esscher transform discussed below,it is useful to allow more general choices of h.In the case where x→H t x is twice-differentiable,the natural choice of h t x ish t x =x ∂H∂x t 0 =h t x say,for then H t x ∼1+h t x+O x2 as x→0and because of(2.6c)we simply have to choose H so thatx ≥1H t x ν dx <∞We shall henceforth assume that h t x =h t x is related to H t x in this way.Proof of Lemma3.1.It is clear that Z is nonnegative(resp.,positive)if and only if H≥0(resp.,H>0).That Z is a local martingale is a simpleOPTION PRICING WITH L´EVY PROCESSES513consequence of Itˆo’s formula;indeed,noting that Z t−Z t−=Z t− H t X t −1 ,Itˆo’s formula givesZ t=1+ t0G s Z s−dB s+ t0 R h s x Z s−M ds dx− t0 R Z s− H s x −1−h s x ν dx ds+ 0<s≤t Z s− H t X t −1−h s X s=1+ t0G s Z s−dB s+ t0 R h s x Z s−M ds dx+ t0 R Z s− H s x −1−h s x M ds dx=1+ t0G s Z s−dB s+ t0 R Z s− H s x −1 M ds dxThis last expression is a local martingale.2The processes G,H and h can be chosen so that E Z t =1for all t,in which case Z is a martingale.The next result is essentially a summary of Theorems3.24and5.19in Chapter III of Jacod and Shiryaev(1987)as they apply to the present setting.Theorem3.2.Let˜P be a measure which is absolutely continuous with re-spect to P on T.Thend˜Pd P T=Z Twhere Z is as in Lemma3.1,for some G,H and h for which E Z T =1. Moreover,under˜P,the process3 3 ˜B t=B t− t0G s dsis a Brownian motion and the process X is a quadratic pure jump process with compensator measure given by˜ν dt dx =dt˜νt dx ,where3 4 ˜νt dx =H t x ν dxand previsible part given by3 5 ˜a t=˜P X t =at+ t0 R x H s x −1 ν dx dsRemark.Jacod and Shiryaev(1987)treat only the case that h≡H−1 for the process Z in Lemma3.1.Also,in their treatment of characteristics of general semimartingales,Jacod and Shiryaev(1987)introduce truncation functions,and the corresponding results in Theorem3.24of that book depend514T.CHANin part on the choice of truncation function.In the present situation,assump-tion(2.6c)renders the introduction of truncation functions unnecessary.Turning now to the problem of pricing a contingent claim T,we wish to ﬁnd an equivalent measure Q under which the discounted price processˆS t as deﬁned in(2.15)is a martingale;the price of T is then Q exp − T0r s ds T . By Theorem3.2,under Q,X has Doob–Meyer decomposition3 6 X t=˜M t+at+ t0 R x H s x −1 ν dx dswhere˜M is a Q-martingale.In fact,˜M t=M t− t0 R x H s x −1 ν dx dswhere M is the P-martingale in the Doob–Meyer decomposition of X under P. Note that ˜M t= M t.Therefore,writing the discounted share priceˆS t in terms of the Q-martingale˜M and Q-Brownian motion˜B,we haveˆS t=S0exp t0cσs dB s+ t0σs dM s+ t0 aσs+b s−r s−c2σ2s2 ds × 0<s≤t 1+σs M s exp −σs M s=S0exp t0cσs d˜B s+ t0σs d˜M s+ t0 aσs+cσs G s+b s−r s−c2σ2s2 ds+ t0σs R x H s x −1 ν dx ds × 0<s≤t 1+σs ˜M s e−σs ˜M sSinceexp t0cσs d˜B s+ t0σs d˜M s− t0c2σ2s2ds 0<s≤t 1+σs ˜M s exp −σs ˜M sis a Q-martingale,a necessary and sufﬁcient condition forˆS to be a martingale under Q is the existence of G and H for which the process Z in Lemma3.1isa positive martingale and such that3 7 cσs G s+aσs+b s−r s+ Rσs x H s x −1 ν dx =0for all s,almost surely.Note that h does not appear in(3.7),which is another reﬂection of the fact that h is essentially unique,given H,in the sense of the remark following Lemma3.1.It will turn out that G and H are in fact deterministic functions in all the cases considered in the sequel;in this case, (2.5)ensures that Z in Lemma3.1is a positive martingale and the key con-dition for an equivalent martingale measure is then(3.7).Moreover,B andOPTION PRICING WITH L´EVY PROCESSES515 X are still independent and have independent increments under Q in this connection,note that˜νis a deterministic measure.Of course,(3.7)does not specify G and H,and hence the equivalent martin-gale measure Q,uniquely.Below,we examine various approaches to choosingG and H based on other criteria,additional to(3.7).3.1.The F¨o llmer–Schweizer minimal measure.Recall that when the noise Y in(2.12)is just a standard Brownian motion,the unique equivalent mar-tingale measure Q is obtained by3 8 d Q d P T=Z Twhere Z satisﬁesdZ t=γt Z t dB tand the processγis chosen so as to makeˆS a martingale under Q.In the present setting,a natural analogue of this would be to use the martingale measure Q deﬁned by(3.8),where the Radon–Nikodym derivative Z is now given bydZ t=γt Z t− c dB t+dM tor equivalently3 9 Z t=1+ t0γs Z s− c dB s+dM sIn other words,the Brownian motion in the classical Black–Scholes setting has been replaced by the martingale part of the noise process Y.We saw in the proof of Lemma3.1that,in general,Z t=1+ t0G s Z s−dB s+ t0 R Z s− H s x −1 M ds dx Comparing this last expression with(3.9),we see that we require3 10 H s x −1=c−1G s x=h s xso thatγs=c−1G s.[When c=0,this just boils down to G≡0 H s x −1=γs x.]To obtain a martingale measure,we now use the martingale condition (3.7)together with(3.10).Puttingv= R x2ν dxit is easily veriﬁed that the solution to(3.7)and(3.10)is3 11G s=c r s−b s−aσsσs c2+v H s x −1= r s−b s−aσsσs c2+vx516T.CHANIn(3.9),we therefore have3 12 γs=r s−b s−aσsσs c2+vFinally,we need some conditions to ensure that H s X s >0;otherwise, the measure we have obtained will not be a probability measure but only a signed measure.Since we are assuming throughout this paper that the jump size X∈ −c1 c2 ,we require the right-hand side of(3.11)of be greater than −1for all x∈ −c1 c2 ,which is equivalent to the condition that3 13 −1c2< r s−b s−aσsσs c2+v<1c1So far,we have done nothing more than show that one can obtain an equiv-alent martingale measure by drawing an obvious analogy with the classical Black–Scholes setting.It turns out,however,that the martingale measure given by(3.8),(3.9)and(3.12)is precisely the F¨o llmer–Schweizer minimal measure introduced in F¨o llmer and Schweizer(1991),which we shall proceed to show.The minimal measure is closely connected to a hedging portfolio,which minimizes the risk involved in trying to duplicate a contingent claim T(pro-vided such a portfolio exists).We brieﬂy sketch the main ideas below,following closely the treatment in F¨o llmer and Schweizer(1991)but omitting some of the technical assumptions not essential to the exposition.We adopt the notational convention that for any quantity f t,the discounted quantity will be denoted byˆf t=exp − t0r s ds f t.The value V t of any hedg-ing portfolio can be written as V t=ξt S t+ηt exp t0r s ds and hence the discounted value isˆV t=ξtˆS t+ηtwhereξandηare,respectively,the number of units of stock and bond.Only strategies for which V T= T P-a.s.are admissible.Deﬁne the cumulative cost at time t byC t=ˆV t− t0ξs dˆS sand the remaining risk byE C T−C t 2 t(In complete markets,C t is constant and hence the risk is zero.)The idea is to look for strategies ξ η which minimizes the remaining risk in a local sense: the risk is minimal under all“inﬁnitesimal perturbations”of the strategy at time t.This is equivalent to the following precise technical deﬁnition.Definition3.1.An admissible strategy ξ η is called optimal if the asso-ciated cost C is a square-integrable martingale orthogonal to the martingale part(in the Doob decomposition)ofˆS under P.。

无套利理论的基本思想

（２）第二种观点隐含着一种“完全市场”的假设。因为，只有在“完全市场”中，每一种价值取决于股价变化的衍生证券，都可以通过某种股市交易策略来“复制”，从而它们的价格就可以由股价和交易策略根据线性定价法则来决定。（３）资产定价基本理论。第三种观点表达成严格的数学形式后，就称为资产定价基本理论。也就是说，（完整的）无套利假设等价于存在对未来的不确定性的一种估计，使得任何时候的股价都等于未来股价的平均值。注：完全市场是指满足如下条件的市场:(1)同质产品；(2) 众多的买者与卖者；(3)买者和卖者可以自由进入市场；(4)所有买者和卖者都掌握当前物价的完全信息，并能预测未来物价；(5)就总成交额而言，市场各个经济主体的购销额是无关紧要的；(6)买者与卖者无串通合谋行为；(7)消费者追求效用最大化，生产者追求利润最大化；(8)商品可转让。
（3）概率意义下的期权定价思想为什么？——在假定“未来”可能有的两种情况时，并未规定它们的可能性（概率）有多大。并且，投资可以根据自己所掌握的信息对这两种可能性作出自己的估计（主观概率）。这样，我们给出无套利假设下的几个假设：（１）系数a和b必然有一个大于１，另一个小于１；（２）投资者总有一定的资金可以支配，且股市允许卖空；（３）“当前”与“未来”的货币价值一样时，不存在未来价值高于当前价值的证券组合。在以上假设下，就存在一种未来的可能估计，使得“未来”的股价的平均值恰好就等于“当前”的股价。有上文知道，a>1,b<1,必然存在q(在０和１之间）使得， aq+(1-q)b=1 然而，“当前”的期权价格应该就是在这种可能性估计下的“未来”的期权价格的平均值： C0=qCa+(1-q)Cb
（一）无套利理论的提出现代理论金融经济学研究的中心问题是金融资产定价问题。Arrow & Debreu模型回答了普通商品的定价问题：假定消费者追求最大消费效用、生产者追求最大生产利润、然后在一定条件下，存在一个一般经济均衡的价格体系，使得商品的供需达到平衡。对于金融资产的定价似乎也应该走这条路。但是，由于金融市场的最主要的特征在于未来的不确定性，沿“均衡定价论”的道路前进步履十分艰难。 1958年，Modigliani & Miller 提出了无套利假设来作为“公理”来作为金融资产定价的出发点。事实上，这条“公理”其实只是“均衡定价论”的推论，即达到一般均衡的价格体系一定是无套利的。这一理论十分有效：Black-Schels-Merton理论、Ross的APT理论几乎完全基于此。不过“套利定价理论”只能就事论事，由此无法建立全市场的理论框架，它只能作为“均衡定价论”的补充。

无套利均衡操作方法

无套利均衡操作方法无套利均衡（No-Arbitrage Equilibrium）是指在金融市场中，不存在可以获得无风险利润的投资机会。

在无套利均衡下，市场中所有的资产价格都能充分反映市场的供求关系和各种风险的影响，从而使得投资者无法通过买卖资产来获得超过市场平均水平的利润。

要达到无套利均衡，需要进行以下步骤：1. 资产定价理论：资产定价理论是无套利均衡的理论基础。

根据资产定价理论，资产的价格应该等于其未来现金流的折现值。

这基于市场效率假设，即投资者都是理性的、信息对称的，并且利用所有行为者共享的信息做出决策。

2. 建立资产组合：在无套利均衡下，投资者需要选择最佳的资产组合来实现预期收益和风险的平衡。

投资者可以通过投资不同类型、不同风险水平的资产，以获得最佳回报。

3. 风险管理：无套利均衡的操作需要对市场风险进行有效管理。

投资者可以通过多元化投资组合来降低投资风险，如同时投资不同行业、不同地区、不同类型的资产。

4. 动态调整：无套利均衡是一个动态过程，需要根据市场情况不断调整投资组合。

投资者应及时了解市场动态，随时根据市场变化调整资产配置。

5. 市场监测：无套利均衡需要投资者定期对市场进行监测和分析，以确定潜在的套利机会。

投资者可以通过技术分析和基本面分析来识别市场趋势和变动，并作出相应的调整。

6. 有效执行：无套利均衡需要投资者能够有效执行交易，并选择合适的交易策略。

投资者应该了解不同的交易方式，包括市价交易和限价交易，在不同市场条件下选择最适合的交易方式。

7. 风险管理：无套利均衡操作也需要进行风险管理，包括控制交易风险和市场风险。

投资者可以通过设置止损和止盈点来限制亏损，并采取对冲策略来应对市场风险。

总之，无套利均衡是金融市场中的一个理论概念，通过有效的资产定价、资产组合选择、风险管理、动态调整、市场监测、执行交易和风险管理等步骤，投资者可以在市场中实现长期积极的回报，并避免风险。

投资者需要具备专业的知识和技能，并且耐心、谨慎地处理投资决策，才能实现无套利均衡操作。

等价鞅测度和鞅定价方法导数

risk premium
调整至
以规避对风险溢酬的估计，简化期望值的计算。显然我们并不知道期望的风险溢酬究竟是多少，因此无法采用这一方法。
改变概率测度，改变期望值，但不改变方差。
在概率测度下，随机变量的分布为
则我们有
1 3 10
1 3 3
1 3 1
2
98
3
为了将其期望值调整为，我们采用概率测度。显然，概率测度应满足以下三个条件：
当概率测度与关于中哪些集合具有零概率是一致的时候，我们称它们为等价测
度。注：对于等价测度来说，当我们称一个事件几乎必然发生时，不必指明是在哪一个测
度下成立。注：在一个测度下构造的无风险组合，在其等价测度下必然也是无风险组合，因为两
个等价测度对于具有概率的事件是一致的。
几乎必然非负。
1
|
定理
定理（一维情形）
设 ,0 是概率空间, , 上的布朗运动。 ,0 是关于该布
朗运动的域流。设 ,0 是一个适应过程。定义
exp
1 2
0
2
0
在条件下，我们有
0
0
2
2
1
并且，在概率测度下，过程 ,0 是一个布朗运动。
证明：
1
证明：
当
几乎必然严格为正时，
证明：
在概率空间, , 上，如果是几乎必然非负的随机变量，且满足 1，
则对于定义的
是一个概率测度。证明：
由
可证其正则性。
1
为证其可数可加性，设 1, 2,... 是中一列互不相交的集合，并定义
证明：首先，由于遵循广义几何布朗运动的随机过程

应用文-简析等价鞅测度及其应用

简析等价鞅测度及其应用'摘要：自从20世纪50年代后数理分析工具广泛用于金融分析领域，其中最为知名的当属M-M定理、CAMP以及无套利(APT)定理和鞅等价定理等。

在这当中，鞅等价定理直至目前仍然是金融分析中的前沿课题。

并且，等价鞅测度定理还是人们在分析金融产品定价、消除金融投机套利机会、降低金融产品投资风险的主要工具。

等价鞅测度定理在金融市场分析中的很多领域都可以得到。

剖析等价测度定理及其应用无疑对掌握金融产品定价方法、优化金融产品投资组合、降低金融产品投资风险将有所裨益。

\xa0关键词：鞅；测度；等价鞅测度\xa0早在1900年，法国人L.巴恰利埃在一篇关于金融投机的中，已经开始利用随机过程工具探索那时尚无实物的金融衍生证券的定价问题。

但是直到20世纪50年代，金融研究仅有一些含混不清的“大拇指法则”和对所观察到的财务数据的文字性描述。

然而进入50年代以后，数学工具在金融研究领域的应用蓬勃。

马科维茨1952年的那篇仅有14页的论文既是现代资产组合理论的发端，又标志着现代金融理论的诞生。

随后，莫迪里阿尼和米勒（1958年）第一次应用无套利定理证明了以他们名字命名的M-M 定理。

同时，德布鲁（1959年）和阿罗（1964年）将一般均衡模型推广至不确定性分析当中，为日后金融理论的发展提供了灵活而统一的分析框架。

稍后，夏普（1964年）、林特内（1965年）和莫辛（1966年）共同导出了著名的资本资产定价模型（CAPM）；另一方面，赫什雷弗（1966年）在一般均衡体系中证明了M-M定理。

20世纪70年代，布莱克推导出无风险不存在情况下的“零-ß\xa0CAPM”；萨缪尔森、鲁宾斯坦、克劳斯和利茨伯格导出了跨期CAPM；而莫顿则将伊藤积分引入经济分析；提出了连续时间的CAPM；另一方面，罗斯提出\xa0了与CAPM相平行的套利定价理论。

当然，上世纪70年代最具革命性意义的事件是布莱克和斯科尔斯的期权定价公式以及哈里森与克雷普斯的证券定价鞅定理。

鞅与等价鞅测度

8.2 鞅与等价鞅测度布朗运动具有鞅性资产价格序列4☐在金融中，我们经常讨论的是价格序列St 。

☐假定当前时刻是t 0，那么从现在来看，资产在未来时刻 t> t 0 的价格都是不确定的，将来可以大于当前值，可以小于当前值，也可以等于当前值。

☐资产价格随时间变化的关系S t 可以被描述为一个随机过程。

理想条件下，股票价格序列是一个鞅过程资产价格序列5☐由于在t 0时刻，投资者只能观察到该时刻及其之前的S t 值，而对于t> t 0 的价格只能根据相关的信息进行预测。

若以F t 表示在t时刻获得的能够用来推断资产未来价格的信息，那么投资者在t时刻对未来的推断，就是此时的条件期望E t (S t+ |F t )。

☐如果价格序列是一个鞅过程，那就是在目前时刻的所有信息下，对价格未来的预期值应该等于其当前的观察值。

鞅与等价鞅测度7☐按照鞅的定义，序列 S t e -rt 是一个鞅，也就意味着在目前时刻的所有信息下，对S t e -rt 未来的条件期望值等于其当前的观察值，即：S t e -rt = E *t (S t+τ e -r （t+τ）)其中，E *是在P *世界里的期望。

☐等价化简得到S t = e -r τE*t (S t+τ)即现在的价格等于未来价格期望按P *的无风险贴现。

P *为P的等价鞅测度， P *与P在鞅意义下等价。

两个问题☐这样的等价鞅测度 P*是否一定存在？✓资产定价的基本定理：对于有限离散时间金融市场，市场无套利等价于存在等价鞅测度。

☐ P*世界是哪个世界？✓我们取P*为风险中性世界。

即所有投资者都是风险中性的。

也就是我们上节课讲过的主体的效用函数为线性函数：确定性财富带来的效用等于参与期望收益相同的一场赌博带来的期望效用。

8谢谢聆听！。

第七章--等价鞅测度模型和无套利均衡基本定理

第七章等价鞅测度模型和无套利均衡基本定理一、等价鞅测度的基本涵义1、鞅的定义：随机过程[Z n ,n ≥0]如果满足以下两个条件：（1）∞<||n Z E ，对于n ≥0的任何n 。

（2）n n n Z Z Z Z E =+}|{01 2、等价鞅测度的定义随机过程{S （t ）,),0(+∞∈t }是一个鞅（对应于信息结构t φ和条件概率P *）如果对任意t ＞0，满足以下三个条件：（1）S （t ）在t φ信息结构下已知。

（2）+∞<|)(|t S E（3）())()(t S T S E =τ，t ＜T ，以概率为1成立。

即∑===ki t i t S S P T S E 1)(*}|)({*φ式中T 时S （T ）的可能取值S 1，S 2……S k 共k 种，P*为相应的条件概率。

则称条件概率P*为真实概率P 的等价鞅测度或等价鞅概率。

根据等价鞅测度的关系，正是表达风险中性定价原则，即各阶段依信息结构t φ决定的条件概率所求的平均价值的现值，总与初始阶段的价值相等，这样就可以求解条件概率P*，在无套利条件下作为现实世界的P ，为期权的风险中性定价服务。

为了更好地理解风险中性定价，我们可以举一个简单的例子来说明。

假设一种不支付红利证券（no-dividend-paying ）目前的市价为100元，我们知道在半年后，该股票价格要么是110元，要么是90元。

假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份6个月期协议价格为105元的该股票欧式看涨期权的价值。

由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于半年后证券的市价。

若6个月后该股票价格等于110元，则该期权价值为5元；若6个月后该股票价格等于90元，则该期权价值为0。

为了找出该期权的价值，我们假定所有投资者都是风险中性的。

在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P*，下跌的概率为1-P*。

这种概率被称为风险中性概率，它与现实世界中的真实概率是不同的。

金融工程概论中央财经大学 7 第七章无套利均衡原理 (7.2.2) 7.2.2无套利定价机制

4
无套利定价的步骤
构造两个投资组合，如果两者的期末价值相等，则其期初价值一定相等，否则存在套利机会。
第一步
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第二步
5
谢谢聆听！
7.2.2 无套利定价机制
主讲人：刘向丽
无套利定价的思想
在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。
当市场达到无套利均衡时，此时得到的价格即为无套利价格。
无套利分析法是衍生资产定价的基本思想和重要方法，也是金融学区别于经济学“供给需求分析”的一个重要特征。
2
无套利定价的思想
当价格出现偏离时，如果市场是有效率的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态，这就是无套利均衡的定价原则。
巨大的套利头寸成为推动市场价格变化的力量，这种力量能够迅速消除套利机会。
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无套利定价原理
一价法则
金融市场要实现无套利机会，未来现金流相同的金融资产组合就必须有相同的价格。否则，投资者在金融市场中就可以进行套利交易。