第七章 等价鞅测度模型和无套利均衡基本定理

第七章 等价鞅测度模型和无套利均衡基本定理

一、等价鞅测度的基本涵义

1、鞅的定义：

随机过程[Z n ,n ≥0]如果满足以下两个条件：

（1）∞<||n Z E ，对于n ≥0的任何n 。

（2）n n n Z Z Z Z E =+}|{01

2、等价鞅测度的定义

随机过程{S （t ）,),0(+∞∈t }是一个鞅（对应于信息结构t φ和条件概率P *）如果对任意t ＞0，满足以下三个条件：

（1）S （t ）在t φ信息结构下已知。

（2）+∞<|)(|t S E

（3）())()(t S T S E =τ，t ＜T ，以概率为1成立。

即∑===k i t i t S S P T S E 1)

(*}|)({*φ

式中T 时S （T ）的可能取值S 1，S 2……S k 共k 种，P*为相应的条

件概率。则称条件概率P*为真实概率P 的等价鞅测度或等价鞅概率。

根据等价鞅测度的关系，正是表达风险中性定价原则，即各阶段依信息结构t φ决定的条件概率所求的平均价值的现值，总与初始阶段

的价值相等，这样就可以求解条件概率P*，在无套利条件下作为现实世界的P ，为期权的风险中性定价服务。

为了更好地理解风险中性定价，我们可以举一个简单的例子来说明。

假设一种不支付红利证券（no-dividend-paying ）目前的市价为100元，我们知道在半年后，该股票价格要么是110元，要么是90元。假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份6个月期协议价格为105元的该股票欧式看涨期权的价值。

由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于半年后证券的市价。若6个月后该股票价格等于110元，则该期权价值为5元；若6个月后该股票价格等于90元，则该期权价值为0。

为了找出该期权的价值，我们假定所有投资者都是风险中性的。在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P*，下跌的概率为1-P*。这种概率被称为风险中性概率，它与现实世界中的真实概率是不同的。实际上，风险中性概率已经由股票价格的变动情况和利率所决定：

100*)]1(90*110[5.01.0=-+⨯-P P e

P*=0.7564

根据风险中性定价原理，我们就可以算出该期权的价值：

5975.3)2436.007564.05(5.01.0=⨯+⨯=⨯-e f

二、从实例考察等价鞅测度的存在性和唯一性

参阅《金融工程原理》P,108-P112

例1. 通过等价鞅概率求期望值

（1）先求各状态下该奇异期权的价值

奇异期权：合约结构不标准而且很复杂，而不是说很罕见、很少交易或高风险的期权。可分为三种类型：合同条件变更型期权（改变

期权的某些条件）、路径依赖型期权（最终结算根据基础资产价格在一段时间内的变化路径来决定）、多因素期权（最终结算根据两种或两种以上基础资产的价格来决定）。

[](){}1212max 2(2)(2)142min (),(),0x s s s t s t =+-+⎡⎤⎣⎦

所以1()max{[2149142min(10,11,14,10,9,9)],0}x ω=⨯+--

=28+9-14-18=5

同理可求得92,1),(1 =i x ω，如以下图示：

（2）求出所有的等价鞅测度

由等价鞅测度的条件3可知：

)(}/)({*s s t S S E ξξ=Φ

所以：10)0()/)1((*101==ΦS S E 10)0()/)1((*202==ΦS S E 如果记)/(*01Φ=B P p )/(*02Φ=B P q

则一定有1-p-q=)/(*03ΦB P

由上两式可知：

⎩

⎨⎧=--++=--++10)1(1110910)1(81111q p q p q p q p 解此方程组可得唯一解：p=q=1/3

同理可求得：)/(*1j B P ω i=1,2,…9 j=1,2,3

因为所有解都可求出，而且是唯一的，所以由无套利均衡第二基本定理可知该模型是有生存性的，所有的衍生证券均可通过无套利均衡来定价。

（3）求奇异买权的价格

∑====∏

9

12167.1)(*)()(*ˆi i i P x x E ωω 例2. 首先求等价鞅测度P*，由等价鞅测度的条件3可知：

10)0()/)1((*101==ΦS S E

记)/(*01Φ=B P p 则1-p 20*(/)P B =Φ

可得方程组：

⎩

⎨⎧=--++=--++10)1(1110910)1(81111q p q p q p q p 即⎩⎨⎧==1223p p 所以此方程组无解，故不存在等价鞅测度，该模型无生存性，不

是一个均衡模型。

例3. 首先求等价鞅测度P*，由等价鞅测度的条件3可知：

10)0()/)1((*101==ΦS S E

记)/(*01Φ=B P p q )/(*02Φ=B P

则一定有1-p-q=)/(*03Φ=B P

11p+10q+8(1-p-q)=10

即3p+2q=2

显然，上面这个方程有无数组解。同理，由11)1()/)2((*111==S B S E 也可以解得无数个解，所以等价鞅测度有无数个，从而该模型有生存性，但是并非所有的衍生证券都可通过无套利均衡定价。因为衍生证券的价格x 要保证为一个常数才有意义，所以应该有一定的限制条件。我们虽然得不到唯一的等价鞅测度，但由等价鞅测度的条件3我们可以得到以下关系式：

10201121425273833*(/)2*(/)22*(/)2*(/)12*(/)2*(/)13*(/)2*(/)2

P B P B P B P B P B P B P B P B ωωωωωωΦ+Φ=⎧⎪-=-⎪⎨-=-⎪⎪-=⎩ （*） 我们需要保证：∑==9

1)(*)()(*i i i P x x E ωω是一个常数.

)

/(*)/(*)()/(*)/(*)()/(*)/(*)()/(*)/(*)()/(*)/(*)()/(*)/(*)()/(*)/(*)()/(*)/(**)()/(*)/(*)()(*033990338803377022660225502244011330112201111Φ+

Φ+Φ+Φ+Φ+

Φ+Φ+Φ+Φ=B P B P x B P B P x B P B P x B P B P x B P B P x B P B P x B P B P x B P B P P x B P B P x x E ωωωωωωωωωωωωωωωωωω（书上的表达方式不太准确）

由上式和方程组（*）经过推导可得：