2021届山东省新高考质量测评联盟高三上学期12月联合调研考试数学试卷及答案

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2021届百校联盟高三教育教学质量监测考试12月全国卷(新高考)数学试题(解析版)

2021届百校联盟高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题一、单选题1．设i 是虚数单位，若复数221z i i=++，则z =（）A ．12B ．1CD ．2【答案】C【分析】根据复数除法运算法则，分子分母同乘以共轭复数，计算出复数z ，再代入模长公式计算即可.【详解】()222122212111i z i i i i i i i-=+=+=-+=++-，故z = 故选：C.2．设集合{}24A x x =-<<，{}260B x x x =+-<，则A B =（）A ．{}22x x -<< B ．{}32x x -<< C ．{}23x x -<< D ．{}24x x <<【答案】A【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合B ，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为{}24A x x =-<<，{}{}26032B x x x x x =+-<=-<<，所以{}22A B x x ⋂=-<<，故选：A. 3．曲线1axy x =-在点()2,2a 处的切线方程为30x y b -+=，则（）． A ．3a =，12b =- B ．3a =-，0b = C ．3a =，0b = D ．3a =-，12b =-【答案】D【分析】根据导数几何意义求出函数在2x =处的导数就是其切线斜率即可求出a ，将点代入直线方程求出b .【详解】解：由题意得()()()22111a x axay x x --'==---，所以()2221x ay a ==-=--'，因为直线30x y b -+=的斜率为3，所以3a -=，故3a =-，故切点为()2,6-，代入切线方程为30x y b -+=得12b =-．故选：D.【点睛】若已知曲线()y f x =过点00(,)P x y ，求曲线过点P 的切线方程的方法（1）当点00(,)P x y 是切点时，切线方程为000()()y y f x x x '-=⋅-. （2）当点00(,)P x y 不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标11(,())P x f x '；第二步：写出过点11(,())P x f x '的切线方程111()()()y f x f x x x '-=⋅-；第三步：将点P 的坐标00(,)x y 代入切线方程求出1x ；第四步：将1x 的值代入方程111()()()y f x f x x x '-=⋅-可得过点00(,)P x y 的切线方程. 4．意大利数学家斐波那契（约1170～1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()21n n n a a a n *++=+∈N ，若3579551k a a a a a a ++++++=，则k =（）．A ．2020B ．2021C ．59D ．60【答案】D【分析】根据题意234456,a a a a a a +=+=⋅⋅⋅，将所求化简即可得答案. 【详解】依题意，3579591a a a a a ++++++2357959a a a a a a ++++++=457959a a a a a ++++=+67959585960a a a a a a a ++++==+==，则60k =．故选：D5．已知A ，B 为单位圆22:1O x y +=上的两点，且满足3AB =，点P 为圆O 上一动点，则AP PB ⋅的取值范围是（）． A ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【分析】根据题意 ()()AP PB OP OA OB OP ⋅=-⋅-，化简整理可得()12AP PB OP OA OB ⋅=⋅+-，设AB 的中点为M ，OM 与OP 的夹角为θ，利用数量积公式，结合θ的范围，即可求得答案.【详解】如图，圆的半径为1，且3AB =，易得120AOB ∠=︒．由题意知()()AP PB OP OA OB OP ⋅=-⋅-2OP OB OP OA OB OA OP =⋅--⋅+⋅111cos120OP OB OA OP =⋅--⨯⨯︒+⋅()12OP OA OB =⋅+-．设AB 的中点为M ，则2OA OB OM +=，且12OM =，设OM 与OP 的夹角为θ，则1122cos 22AP PB OM OP OM OP θ⋅=⋅-=- 11121cos cos 222θθ=⨯⨯⨯-=-．又因为[]0,πθ∈，所以AP PB ⋅的范围为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：B6．已知双曲线()222:10x C y a a-=>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以F 为圆心，OF 为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若OAF △的面积等于2，则双曲线C 的离心率为（）．A ．2B ．2C ．52D ．5【答案】C【分析】设D 为OA 中点，则DF OA ⊥，取渐近线1y x a=，则可求DF 的长，根据1tan DF AOF OD a∠==，结合题意，可求得a 的值，代入公式即可求得答案. 【详解】设D 为OA 中点，则DF OA ⊥，如图所示：渐近线方程为1y x a =±，不妨取1y x a=，(),0F c ．其中2221c a =+，则2211DF a==+，因为D 为AO 中点．因为1tan DF AOF OD a∠==，所以OD a =，2AO a =．则12122OAF S a =⨯⨯=△．解得2a =，所以离心率52c e a ==．故选：C7．如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得60AB =米，60BC =米，40CD =米，60ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD 大约为（）．（结果精确到1米） 2 1.414≈3 1.732≈5 2.236≈7 2.646≈）A ．39米B ．43米C ．49米D ．53米【答案】D【分析】求出AC ，在CDA 中，用余弦定理即可求得AD . 【详解】在ACB △中，60AB =，60BC =，60ABC ∠=︒，所以60AC =，在CDA 中，2222cos60AD AC CD AC CD =+-⋅⋅︒22160402604028002=+-⨯⨯⨯=，所以20753AD =≈（米）．故选：D【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 8．已知关于x 的方程0xxk e e x ⋅-=恰好有3个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为（）．A ．21e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭B ．234e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭C ．11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．21,12e e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】转化为函数()x f x =的图象与直线1y k =-有3个交点，利用导数得到函数()f x 的单调性，作出函数的图象，根据图象列式可得结果. 【详解】因为关于x 的方程0xxk e e x ⋅-=恰好有3个不相等的实数根，即1x k -=恰好有3个不相等的实数根，设()()xx f x x e=∈R ，则函数()y f x =的图象与直线1y k =-有3个交点，当0x ≥时，()xx f x e =，故()()211222x xxx e xe x xf x xe e --'==，当102x ≤<时，()0f x '>，当12x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在1[0,)2上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，且()00f =，1222e f e ⎛⎫=⎪⎝⎭，当0x <时，()x xf x e-=，故()()2112202x xx x e xe x x xe e f x '-----==-<-，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，函数()f x 的图象如图：由图可知，12012e k f ⎛⎫<-<=⎪⎝⎭，所以211e k <<+. 故选：D【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题 9．设函数()1122x x f x --=+，则（）．A ．()f x 在()0,∞+上单调递增B ．()f x 的最小值是2C ．()f x 的图象关于直线1x =对称D ．()f x 的图象关于点()1,0对称【答案】BC【分析】先根据()()2f x f x =-可判断C 正确，AD 错误，再根据基本不等式即可判断B 正确．【详解】解：对A ，D ，C ，()1122x x f x --=+， ()()()()21121122222x x x x f x f x ------+-=+==∴，即()()2f x f x =-，即()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，故AD 错误；对B ，1120,20x x -->>，()11222x x f x --=+≥=∴，当且仅当“1122x x --=”，即“1x =”时取等号，故B 正确. 故选：BC.10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n a S n +=+-，则下列结论正确的是（）． A ．若11a =，则数列{}n S n +为等比数列 B ．若11a =，则数列{}1n a +为等比数列 C ．若11a =-，则数列{}n S n +为等差数列 D ．若11a =-，则数列{}1n a +为等差数列【答案】ACD【分析】由n a 与n S 的关系可推出()112n n S n S n +++=+，若11a =则1120S +=≠，由112n n S n S n+++=+可证明{}n S n +为等比数列；由A 求出数列{}n S 的通项公式从而可由1n n n a S S -=-求得{}n a 的通项公式；若11a =-则110S +=，可推出0n S n +=判断C 选项；此时由1n n n a S S -=-可推出10n a +=，即可判断D 选项. 【详解】因为111n n n n a S S S n ++=-=+-即121n n S S n +=+-，所以()112n n S n S n +++=+．若11a =，则1120S +=≠，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．故数列{}n S n +是以2为首项，2为公比的等比数列，故A 正确；由A 知2n n S n +=，则2nn S n =-，当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，由11a =，21a =，33a =可得112a +=，212a +=，314a +=，即32211111a a a a ++≠++，故B 错误；若11a =-，则110S +=，所以由()112n n S n S n +++=+，得0n S n +=，此时数列{}n S n +为等差数列，故C 正确；由C 知n S n =-，则当2n ≥时，()1[1]1n n n a S S n n -=-=----=-，所以1n a =-，10n a +=，此时数列{}1n a +为等差数列，故D 正确．故选：ACD11．甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，设每场比赛双方获胜的概率都为12，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．则下列说法正确的是（）． A ．最少进行3场比赛 B ．第三场比赛甲轮空的概率为14C ．乙最终获胜的概率为932D ．丙最终获胜的概率716【答案】BCD【分析】根据题意，依次分析选项，结合相互对立事件的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，故A 错；第三场比赛甲轮空，即第三场是乙和丙比赛，则第二场甲一定参赛了，说明第一场甲赢了，第二场是甲和丙比赛，甲输了，所以第三场比赛甲轮空的概率为111224P =⨯=，故B 正确；记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输，记事件M ：甲赢，记事件N ：丙赢，则甲赢的基本事件包括：BCBC ，ABCBC ，ACBCB ，BABCC ，BACBC ，BCACB ，BCABC ，BCBAC ，所以甲赢的概率为()4511972232P M ⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为()97123216P N =-⨯=．故选：BCD【点睛】利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路： 1、将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和；2、将彼此互斥简单的事件中的简单事件，转化为几个已知概率的相互独立事件的积事件；3、代入概率的计算公式进行运算.12．如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点D ，E 分别是AC ，AB 的中点，以DE 为折痕把ADE 折起，使点A 到达点A '的位置（A '∉平面BCDE ），则在ADE 翻转过程中，下列说法正确的是（）．A ．四棱锥A BCDE '-的体积的最大值是98B ．当二面角A DE B '--为直二面角时，102A B '=C ．一定存在某个位置，使平面A BC '⊥平面BCDED ．平面A ED '⊥平面BCDE 时，四棱锥A BCDE '-外接球的表面积为13π3【答案】BD【分析】对A ，平面A ED '⊥平面BCDE 3公式计算；对B ，取ED 的中点M ，利用勾股定理即可计算；对C ，根据图像的特点，可知翻折的时候不会出现平面A BC '⊥平面BCDE 的情况；对D ，设球的半径，根据勾股定理列方程求解.【详解】在翻折过程中，平面A ED '⊥平面BCDE 时，四棱锥A BCDE '-体积最大，1313333323428BCDE V S =⋅⋅=⋅⋅=，故A 错误．对于B ，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示，可得A M '⊥平面BCDE ，则2222371022A B A M BM ⎛⎫⎛⎫''=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确．对于C ，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此C 不正确．对于D ，平面A ED '⊥平面BCDE 时，设外接球球心为O ，如图，易知BC 中点H 即为四边形BCDE 的外接圆的圆心，设球的半径为R ，OH d =，则有22233d R ⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，221d R +=，解得21312R =，所以外接球的表面积为213π4π3S R ==，故D 正确．故选：BD.【点睛】关于立体几何的问题的判断，需要注意结合几何体的图分析，一般涉及二面角的问题的求解，一种是采用定义的方法，分别在两个平面内找与交线垂直的线，围成的角即为二面角的平面角，再采用勾股定理或者余弦定理求解角；另一种是利用空间向量的方法，计算平面的法向量，再代入数量积的公式计算.三、填空题13．已知函数()2log ,01,02xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，且()()10f a f +-=，则实数a =______．【答案】14【分析】先求()12f -=，得()2f a =-，结合解析式可得0a >，()2log 2f a a ==-，从而得解.【详解】因为()12f -=，()20f a +=，所以()2f a =-，由()2log ,01,02xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，知0x ≤时，()120xf x ⎛⎫= ⎪⎭>⎝，所以0a >，()2log 2f a a ==-，解得14a =．故答案为：14. 14．已知圆()22:11E x y +=-的圆心与抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 重合，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，与圆E 交于M ，N 两点（其中A 点和M 点在第一象限），则AM BN ⋅=______．【答案】1【分析】由题意，求得抛物线方程为24y x =，设直线:1l x ty =+，联立方程组，求得124y y =-，结合抛物线的定义求得1AM x =，2BN x =，根据()2221212124416y y y y BN M x A x ⋅==⋅=，即可求解. 【详解】由题意，圆()22:11E x y +=-的圆心坐标为(1,0)，可得12p=，即2p =，所以抛物线方程为24y x =，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:1l x ty =+，代入抛物线方程，得2440y ty --=，所以124y y =-，因为圆E 的圆心为抛物线焦点F ，根据抛物线的定义知，1AF x =+，21BF x =+，故1AM x =，2BN x =，所以()2221212124416y y y y BN M x A x ⋅==⋅=，因为124y y =-，所以1AM BN ⋅=．故答案为：1.【点睛】与抛物线的焦点有关问题的解题策略：1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点(,)P x y 到焦点F 的距离：2PF px =+或2PF p y =+. 15．如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．255【分析】根据垂直关系得出111332BMN V S CM BN MN CM =⋅=⨯⨯⋅⋅△，设BN x =，则可得()(56212620x x V x -=<<，再利用导数可求出最值.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以PA CM ⊥，又CM AB ⊥，PAAB A =，所以CM ⊥平面PAB ，因为PB ⊂平面PAB ，所以CM PB ⊥，又因为CN PB ⊥，CM CN C ⋂=，所以PB ⊥平面CMN ，又MN ⊂平面CMN ，所以PB MN ⊥，三棱锥B CMN -体积111332BMN V S CM BN MN CM =⋅=⨯⨯⋅⋅△，由2PA AB ==，可知PAB △为等腰直角三角形，设BN x =，则MN x =，BM =，在直角三角形ABC 中，又CM AB ⊥，所以2CM AM BM =⋅，因为2AB =，所以2AM =，所以CM =故111326V BN MN CM x =⨯⨯⋅⋅=16x ==0x =<<，令56u x =-，则()45466x x x u ='-=，令0u '=，则x =当06x <<时，0u '>；当6x <<0u '<，故当6x =56u x =-取最大值，此时V 也取最大值，最大值为2max16V =⎝⎭125125618618=⨯=⨯=．. 【点睛】本题考查立体几何中的体积问题，解题的关键是证明垂直关系，得出11320V BN MN CM x =⨯⨯=⋅⋅<<，利用导数求出最值.四、双空题16．已知函数()sin 2sin f x x x =⋅，则()f x 的最小正周期为______；()f x 的最大值为______．【答案】π【分析】由正弦函数性质先确定()f x 的一个周期是π，然后证明π是最小正周期，在(0,)π上利用导数确定函数的单调性，结合(0)()0f f π==可得最小正周期，从而可得最大值．【详解】由题()sin 2sin f x x x =⋅，则()()()()πsin 2πsin πsin 2sin f x x x x x f x +=+⋅+=⋅-=⎡⎤⎣⎦，从而π是函数的周期，当0πx ≤≤，()sin 2sin f x x x =⋅，则()6sin cos cos f x x x x ⎛'=+- ⎝⎭⎝⎭，设0παβ<<<，且cos α=，cos β=，则当0x α<<时，()0f x '>，()f x 单调递增，当x αβ<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当πx β<<时，()0f x '>，()f x 单调递增，又()()π00f f ==，所以函数的最小值正周期是π，最大值为()9f α=．故答案为：π．【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的最小正周期．方法是由部分函数的性质确定函数的一个周期，然后证明此周期是最小正周期即可，证明时可在一个周期内确定函数的性质，如单调性，以排除此区间内的周期性．从而得最小正周期．五、解答题17．在①2cos 3B =-；②7a =；③3b =，这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，使问题中的三角形存在，并求ABC 的面积．问题：在ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，已知()sin sin sin B C A C -=-，补充的条件______和______．【答案】答案见解析.【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin 0C ≠，可得1cos 2A =，结合A 的范围可求π3A =，若补充的条件中有①，则21cos 32B =-<-且(0,)B π∈，可得23B π>,推出A B π+>，矛盾；可得只能补充的条件为②③，利用余弦定理解得c的值，进而根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】在ABC 中，πA B C ++=，那么由()sin sin sin B C A C -=-，可得()()sin sin sin A C C A C +-=-，sin cos cos sin sin sin cos cos sin A C A C C A C A C +-=-，∴2cos sin sin 0A C C =≠，∴1cos 2A =， ∴在ABC 中，π3A =．补充的条件为②③时，三角形存在，补充的条件为①②或①③时，三角形不存在，理由如下：若补充的条件中有①，因为21cos 32B =-<-，且()0,πB ∈，所以2π3B >．所以πA B +>，矛盾．所以ABC 不能补充的条件①，只能补充的条件为②③，因为2222cos a b c bc A =+-，所以222173232c c =+-⨯⨯⨯，解得8c =，或5c =-（舍）．所以ABC 的面积1sin 2S bc A ==．【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变形推出π3A =，结合此条件可排除选择①是解决此问题的关键所在，选②③后利用余弦定理求边c ，根据三角形面积公式即可求解.18．已知数列{}n a 是等差数列，23a =且2372a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若10a >，设数列{}n b 满足231232222n n n b b b b a ++++=，n *∈N ，求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）1n a n =+或()31n a n =-；（2）3122n n T =-. 【分析】（1）设等差数列的基本量1,a d ，根据条件建立方程组解出，可求解通项公式（2）由数列{}2nn b ⋅的前n 项和为1n +，可先求出{}2nn b ⋅的通项公式（注意分类讨论），再求出n b ，再求出{}n b 的前n 项和. 【详解】（1）∵23a =，∴13a d +=， ①∵2372a a =，∴()()211226a d a d +=+， ②由①②得：112d a =⎧⎨=⎩或130d a =⎧⎨=⎩，当112d a =⎧⎨=⎩时，1n a n =+．当130d a =⎧⎨=⎩时，()31n a n =-．所以数列{}n a 的通项公式为1n a n =+或()31n a n =-．（2）∵10a >，∴1n a n =+，2312322221n n b b b b n ++++=+， ①()231123122222n n b b b b n n --++++=≥， ②①－②得：21nn b =，2n ≥，得12n nb =，2n ≥， 1n =时，11b =不满足上式，所以1,11,22n nn b n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩，所以2n ≥时，12231111222n n nT b b b =+++=++++211113122112212n n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=--，当1n =时，11T =满足上式，所以3122n nT =-．【点睛】1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；2、给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a .19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160ABC A AC ∠=∠=︒，1AC BA ⊥．（1）证明：11A A A C =；（2）若二面角1A AC B --为直二面角，求直线BD 与平面1A BC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）55．【分析】（1）设BD 交AC 于点O ，连接1A O ，证明1A O 是AC 中垂线即可得出结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面1A BC 的法向量，利用线面夹角公式sin n BD n BDθ⋅=代值计算即可.【详解】（1）设BD 交AC 于点O ，连接1A O ，因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，且O 为AC 及BD 的中点．因为1AC BA ⊥，1BDBA B =，所以AC ⊥平面1A BO ．因为1AO ⊂平面1A BO ，所以1A O AC ⊥，又AO CO =，所以11A A A C =．（2）因为1A O AC ⊥，BO AC ⊥，所以1A OB ∠即为二面角1A AC B --的平面角，因为二面角1A AC B --为直二面角，所以1A O OB ⊥，从而OB ，OC ，1OA 两两垂直，如图，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的坐标系，因为底面ABCD 为菱形，11A A A C =，160ABC A AC ∠=∠=︒，所以ABC 和1A AC 均为等边三角形，设2AB =，则)3,0,0B，()0,1,0C ，(13A ，()3,0,0D -．()3,1,0BC =-，(13,0,3BA =-，()23,0,0BD =-，设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z =，可得100n BC n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30330x y x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，不妨令1x =，则3y =1z =，可取()1,3,1n =，设直线BD 与平面1A BC 所成角为θ，则235sin 523n BD n BDθ-⋅===⋅ 所以直线BD 与平面1A BC 5．【点睛】利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).（2）通过平面的法向量来求.若直线l 与平面α的夹角为θ，直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角为β，则2πθβ=-或2πθβ=-，故有sin cos l n l nθβ⋅==⋅.20．设椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左顶点A 在抛物线22:8C y x =的准线上，F是椭圆1C 的右焦点，且椭圆1C 的焦距为2，过点F 且斜率不为0的直线l 与椭圆1C 交于D ，E 两点，直线AD 和AE 分别与直线4x =交于点M ，N ．（1）求椭圆1C 的方程；（2）22MF NF +是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，36．【分析】（1）求出抛物线的准线方程为2x =-，求得(2,0)A -，求得2a =，利用焦距求出c ，即可求得椭圆的方程；（2）设()()()004,,4,,,M m N n D x y ，直线4x =与x 轴交点为()4,0P ，写出AM 的方程，联立方程组，利用根与系数的关系及判别式，求出D 得坐标，然后推出直线FD 的斜率,FD FE k k ，利用数量积为0，转化为222MF NFMN +=，即可求解.【详解】（1）由题意，抛物线22:8C y x =的准线为2x =-，椭圆左顶点A 在抛物线22:8C y x =的准线上，所以()2,0A -，2a =，椭圆1C 的焦距为2，所以22c =，所以1c =，所以2223b a c =-=，所以椭圆1C 的方程为22143x y +=．（2）22MF NF +存在最小值为36，理由如下：设()4,M m ，()4,N n ，()00,D x y ，直线4x =与x 轴交点为()4,0P ，易知0m ≠，0n ≠，直线AM 的方程为()26my x =+，联立得()2226143m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得()()222227441080m x m x m +++-=，则()()()2222442741080mm m ∆=-+->成立，由2024108227m x m --=+，解得20254227m x m-=+，所以()002182627m my x m =+=+，所以22254218,2727m m D m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，当3m =时，22542127m m-=+，即DE x ⊥轴，由椭圆的对称性可得3n =，即3MP FP NP ===，又因为3PF =，90MPF NPF ∠=∠=︒，所以45MFP NFP ∠=∠=︒，90MFN ∠=︒，此时22236MF NFMN +==，当3m ≠时，3n ≠，直线FD 的斜率2222180********27FDmmm k m m m -+==---+，同理269FE nk n=-，因为DE 过点F ，所以226699m nm n =--，所以9mn =-，()3,FM m =，()3,FN n =，90FM FN mn ⋅=+=所以90MFN ∠=︒，222MF NFMN +=，3m ≠且3n ≠，所以6MN MP NP m n =+=+>==，22236MF NF MN +=>，综上可知，22MF NF +的最小值为36．【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.该网络公司每销售一件“小型会议”，“中型会议”，“大型会议”产品，可以获得的销售利润分别为150，350，550（单位：元）．（1）根据统计结果估计该网络公司每销售一件网络会议产品获得的平均销售利润；（2）该公司为了解月广告费用x （单位：万元）对月销售量y （单位：百件）的影响，对近5个月的月广告费用i x 和月销售量()1,2,3,4,5i y i =数据做了初步处理，发现k y a x =⋅可以作为月销售量y （百件）关于月广告费用x （万元）的回归方程，同时得到如下一些统计量的值．表中ln i i u x =，ln i i v y =，5115i i u u ==∑，5115i i v v ==∑．（ⅰ）建立y 关于x 的回归方程；（取 4.15964e =）（ⅱ）结合（ⅰ）的结果及所求的回归方程估计该公司应投入多少广告费，才能使得该产品月收益达到最大？（收益＝销售利润－广告费用）参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii ni i u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆav u β=-．【答案】（1）400元；（2）（ⅰ）1464y x =；（ⅱ）256万元.【分析】（1）根据题意，写出每销售一件网络会议产品的销售利润的分布列，计算期望；（2）对函数取对，换元以后代入最小二乘法计算回归方程；（3）根据收益＝销售利润－广告费用，列出函数关系式，换元以后求导，判断函数的单调性，即可得函数的最大值.【详解】（1）设每销售一件网络会议产品的销售利润为ξ元，则ξ的所有可能取值为150，350，550，三类产品的频率分别为0.15，0.45，0.4，所以()1500.15P ξ==，()3500.45P ξ==，()5500.4P ξ==，所以随机变量ξ的分布列为：所以()1500.153500.455500.4400E ξ=⨯+⨯+⨯=，故每销售一件网络会议产品的销售利润估计值为400元．（2）（ⅰ）由b y a x =⋅得，()ln ln ln ln by a xa b x =⋅=+，令ln u x =，ln y υ=，ln c a =，则c bu υ=+，由表中数据可得，()()()515210.41ˆ0.251.64iii ii u u bu u υυ==--===-∑∑，则24.8716.30ˆˆ0.25 4.15955cbu υ=-=-⨯=，所以，ˆ 4.1590.25u υ=+，即()144.159ˆln 4.1590.25ln ln y x e x =+=⋅，因为 4.15964e =，所以14ˆ64y x =，故所求的回归方程为1464y x =．（ⅱ）设月收益为z 万元，则()14256z E y x x x ξ=⋅-=-，设14t x =，()4256f t t t =-，则()()332564464f t t t '=-=-，当()0,4t ∈时，()0f t '>，()f t 在()0,4单调递增，当()4t ,∈+∞时，()0f t '<，()f t 在()4,+∞单调递减，所以当4t =，即256x =时，z 有最大值为768，即该公司投入256万元广告费，能使得该产品每月的收益达到最大768万元．【点睛】关于概率统计类的解答题，一是考查随机变量及其分布，正态分布问题，一般需要列分布列求解期望，需要注意题目是属于超几何分布问题还是二项分布问题；二是考查回归分析，利用最小二乘法求解回归方程，如果是非线性的情况需要换元变为线性的情况求解；三是考查样本估计总体，频率分布直方图，需要计算中位数、平均数和方差等数字特征；四是考查独立性检验问题，建立22⨯列联表，代入公式计算卡方比较大小判断.22．已知函数()()2ln 2xf x e x ax a =--∈R 在点11,22f⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与y 轴垂直．（1）求实数a 的值；（2）()1f x kx ≥+对一切0x >恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）22a e =-；（2）(],0-∞．【分析】（1）求出导数，由题可知102f ⎛⎫=⎪⎭'⎝，即可求出a ；（2）可知2121f k⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，可得0k ≤，再利用导数求出()f x 的最小值112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可判断.【详解】（1）()212xf x ea x'=--， ()f x 在12x =的切线斜率为12202f e a ⎛⎫=--= ⎪'⎝⎭，解得22a e =-．（2）由（1）知，()()2ln 222xf x e x e x =---，由()1f x kx ≥+对一切0x >恒成立，故有2121f k⎛⎫≥+⎪⎝⎭，又112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故112k +≤，从而0k ≤，由()()2ln 222xf x ex e x =---，则()21222xf x ee x '=--+，()2214xf x e x''=+，由()f x ''在()0,∞+上恒大于零，()f x '在()0,∞+上单调递增，又102f ⎛⎫=⎪⎭'⎝，故102x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 12x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，故()f x 有最小值112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，而当0k ≤时，112k x +≤恒成立，即()12f x kx ≥+恒成立，故实数k 的取值范围为(],0-∞．【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用导数求出函数()f x 的最小值，结合不等式恒成立得解.。

高三数学上学期12月份调研考试试题含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校天一2021届高三数学上学期12月份调研考试试题〔含解析〕一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分．请把答案填写上在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.设全集{|5,*}Ux x x N =<∈，集合{1A =，3}，{3B =，4}，那么()U C A B =_____.答案：{2}，分析：由全集{|5,*}U x x x N =<∈，可得{1U =，2，3，4}，然后根据集合混合运算的法那么即可求解．解：{1A =，3}，{3B =，4}， {1AB ∴=，3，4}，{|5,*}{1U x x x N =<∈=，2，3，4}，2.i 是虚数单位，假设复数(12)()z i a i =++的实部与虚部相等，那么实数a 的值是．答案：3-分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a 值．解：(12)()(2)(21)z i a i a a i =++=-++，且z 的实部与虚部相等，221a a ∴-=+，即3a =-．故答案为：3-．3.函数2()log (1)f x x -的定义域为_____.答案：[0,1)分析：利用偶次根式被开方数大于等于0，再结合对数函数的真数大于0即可求解. 解：由题意得010x x ≥⎧⎨->⎩，解得01x ≤<故函数()f x 的定义域为[0,1)4.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，那么甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为．答案：23分析：根据古典概型的概率公式即可得到结论．解：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，一共有〔甲乙〕，〔甲丙〕，〔甲丁〕，〔乙丙〕，〔乙丁〕，〔丙丁〕六种，其中甲乙两人中有且只一个被选取，那么〔甲丙〕，〔甲丁〕，〔乙丙〕，〔乙丁〕，一共4种，故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为4263=，故答案为：235.对一批产品的质量〔单位：克〕进展抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如下列图．根据HY ，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．那么样本中次品件数为．答案：200分析：结合频数分布直方图确定落在[10，15，)、[15，20)、[35，40]的人数由容量⨯⨯频率组距组距求出．解：样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如下列图．根据HY ，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．其件数为：800(0.01250.02500.0125)5200⨯++⨯= 故答案为：2006.如图是一个算法流程图，那么输出的b 的值是．答案：8分析：根据程序框图进展模拟运算即可．解：1a =，1b =，10a >否，2a =，1b =， 10a >否，123a =+=，211b =-=， 10a >否，314a =+=，312b =-=， 10a >否，426a =+=，422b =-=， 10a >否，628a =+=，624b =-=， 10a >否，8412a =+=，1248b =-=， 10a >是，输出8b =，故答案为：87.假设抛物线22y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线22451x y -=的右焦点，那么p =____．分析：根据双曲线方程求出焦点坐标，根据抛物线的几何性质求得p ．解：双曲线22451x y -=的右焦点是(3，0)， ∴抛物线22y px =的焦点为(3，0)，∴32p =，6p ∴=故答案为：68.函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，那么()8f π-的值是．答案：分析：利用辅助角公式进展化简，结合三角函数奇偶性的性质进展求解即可．解：())cos(2)2sin(2)6f x x x x πϕϕϕ=+-+=+-， ()f x 是奇函数，6k πϕπ∴-=，即6k πϕπ=+，k Z ∈，0ϕπ<<，0k ∴=时，6πϕ=，即()2sin 2f x x =，那么()2sin()284f ππ-=-=-=故答案为：9.数列{}n a 与2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，那么10a =．答案：20分析：设等差数列{}n a 的公差为d．又数列2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，可得222(2)2(22)2213d d ++⨯=+，解得d ，即可得出．解：设等差数列{}n a 的公差为d ．又数列2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，222(2)2(22)2213d d ++∴⨯=+，解得2d =．那么1029220a =+⨯=．故答案为：20．10.如图，在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上，假设134DE DF =，那么线段BD 的长为．分析：先由平面向量数量积的运算可得：4AB AC =，再由余弦定理可得：BC =，然后设(01)BD BC λλ=，结合平面向量的线性运算可得：213()()121874DE DF BE BD DC CF λλ=-+=-+=，解得：14λ=，即可得解．解：因为在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，所以4AB AC =，又在ABC ∆中，由余弦定理可得：2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠，又4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，得BC =，设(01)BD BC λλ=，那么()()DEDF BE BD DC CF =-+134=，解得：14λ=，即14BD BC =，即线段BD 的长为2，． 11.点(3,0)A -，(1,2)B --，假设圆222(2)(0)x y r r -+=>上恰有两点M ，N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，那么r 的取值范围是．答案：2，2分析：求得||AB 的值，得出两点M ，N 到直线AB 的间隔相等，写出AB 的直线方程，根据圆上的点到直线AB 的间隔求出r 的取值范围．解：由题意可得||AB根据MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，可得两点M ，N 到直线AB 的间隔为由于AB 的方程为032013y x -+=---+，即30x y ++=；假设圆上只有一个点到直线AB 的间隔为那么有圆心(2,0)到直线ABr =+r =；假设圆上只有3个点到直线AB 的间隔为那么有圆心(2,0)到直线ABr =-r =；综上，r 的取值范围是2，)2．故答案为：． 12.函数2()234x a a x f x x x lnx e e --=--++，其中e 为自然对数的底数，假设存在实数0x 使0()3f x =成立，那么实数a 的值是．答案：12ln -分析：令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，求出()g x 与()h x 的值域即可判断0x 的值，从而得出a 的值．解：令()3f x =可得：22334x a a x x x lnx e e -----=--，令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，那么21431()43x x g x x x x--'=--=，令()0g x '=可得24310xx --=，即1x =或者14x =-〔舍)，∴当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，()g x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()g x g ∴〔1〕4=-，〔当且仅当4x aa x ee --=即2x a ln =+时取等号〕， 0()3f x =，即00()()g x h x =， 012x a ln ∴==+，12a ln ∴=-．故答案为：12ln -．32ln ,0(),0e x x f x x x x >⎧=⎨+≤⎩，假设函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，那么实数a 的取值范围是_____.答案：(0,1){2}-解：当0x ≤时，由()0g x =得，320xax x -+=，∴0x =或者210x ax -+=①∴当2a <-时，在(,0]-∞上有三个根，当2a =-时，在(,0]-∞上有两个根，当2a >-时，在(,0]-∞上有一根当0x>时，由()0g x =得22ln 0e x ax -=，那么22ln e xa x=②，设22ln ()e x h x x =〔0x >〕，32(12ln )'()e x h x x-=∴当x ∈时,'()0h x >，函数单调递增，当)x ∈+∞时,'()0h x <，函数单调递减可结合图像可知，01a h <<=时，方程②有两个根；当1a =或者0a ≤时，方程②有一个根；当1a >时，方程②没有实根，综上：当01a <<或者2a=-时，()g x 有三个零点.14.在锐角三角形ABC ，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，那么111tan tan tan A B C++的最小值为．分析：不妨设1BD DC ==，BC 边上的高为h ，那么tan 2B h =，2tan 3C h =，再根据正切值求出tan A ，然后用根本不等式可求得．解：不妨设1BD DC ==，BC 边上的高为h ，那么tan 2B h =，2tan 3C h =，从而tan tan 2tan tan()3tan tan 114B C A B C B C h+=-+==--，所以11113132tan tan tan 2828h h A B C h h++=+⨯=，〔当且仅当1328h h =，即2h =时，取等〕二、解答题：本大题一一共6小题，一共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内答题．解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤15.〔本小题总分值是14分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的．〔1〕求3cos()4πα-的值；〔2〕假设以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为求αβ+的值．分析：〔1〕直接利用三角函数的定义的应用求出结果．〔2〕利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果．解：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A，所以由任意角的三角函数的定义可知sin α=从而cosα==．〔1〕3cos()cos 4πα-=cosα3sin 4π+sin α34π，(==．〔2〕因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是，所以cosβ=sin β=．于是sin()sin αβ+=cos αcos β+sin α(2β==．因为α为锐角，β为钝角，所以(2παβ+∈，3)2π，从而34παβ+=．16.〔本小题总分值是14分〕如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点．〔1〕求证：D 为BC 的中点；〔2〕求证：//EF 平面1ADC ．分析：〔1〕推导出1CC ABC ⊥，1AD CC ⊥，从而AD ⊥平面11BCC B ，进而AD BC ⊥，由此能证明D 为BC 的中点．〔2〕连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，推导出1//OD A B ，1//EF A B ，从而//EF OD ，由此能证明//EF 平面1ADC ．证明：〔1〕在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，1CC ABC ∴⊥，1AD CC ∴⊥，111C D CC C =，AD ∴⊥平面11BCC B ，AD BC ∴⊥，D ∴为BC 的中点．〔2〕连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，正三棱柱111ABC A B C -中，11ACC A 是矩形，O ∴是1A C 的中点，1//OD A B ∴，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，1//EF A B ∴， //EF OD ∴，EF ⊂/平面1ADC ，DO ⊂平面1ADC ．//EF ∴平面1ADC ．17.〔本小题总分值是14分〕某有一特色酒店由10座完全一样的帐篷构成〔如图1)．每座帐篷的体积为354m π，且分上下两层，其中上层是半径为(1)r r〔单位：)m 的半球体，下层是半径为rm ，高为hm 的圆柱体〔如图2)．经测算，上层半球体局部每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个局部平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y 千元．〔1〕求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；〔2〕当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值. 分析:〔1〕由图可知帐篷体积=半球体积+圆柱体积，即322543r r h πππ+=，表示出h ，那么22(222323)10y r r rh πππ=⨯+⨯+⨯⨯，化简得25460()y r rπ=+；再由254203r r ->，那么3133r <，所以定义域为3{|133}r r <，〔2〕254()f r r r=+，3133r <，根据导函数求出其最小值即可．解：〔1〕由题意可得322543r r h πππ+=，所以25423h r r =-，所以2222542(222323)1010060()3y r r rh r r r r πππππ=⨯+⨯+⨯⨯=+-，即25460()y r rπ=⨯+；因为1r，0h >，所以254203r r ->，那么3133r <，所以定义域为3{|133}r r <，〔2〕设254()f r r r =+，3133r <，那么254()2f r r r'=-，令()0f r '=，解得3r =，当[1r ∈，3)时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(3r ∈，时，()0f r '>，()f r 单调递增，所以当3r =时，()f r 取极小值也是最小值，且()1620min f r π=．答：当半径r 为3m 时，建造费用最小，最小为1620π千元． 18．〔本小题总分值是16分〕如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，假设椭圆C经过点，离心率为12，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A ，B 两点．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕假设点N 为△12F AF 的内心〔三角形三条内角平分线的交点〕，求△12F NF 与△12F AF 面积的比值；〔3〕设点A ，2F ，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ，E ．连结AE ，BD ，试问：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？假设是，恳求出定点T 的坐标；假设不是，请说明理由．分析：〔1〕由题意知b =．12c a =，可得b a =，解得a 即可得出椭圆C 的方程．〔2〕由点N 为△12F AF 的内心，可得点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r，可得12121212121||21(||||||)2F NF F AF F F r S SAF AF F F r =++．〔3〕假设直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，那么直线AE 的方程为2121(4)4y y y y x x --=--．令52x =，此时21215(4)42y y y y x-=+--，把根与系数关系代入可得0y =，因此点5(,0)2T在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．即可得出结论．解：〔1〕由题意知b 12c a =，所以b a =2a =，所以椭圆C 的方程为：22143x y +=．〔2〕因为点N 为△12F AF 的内心，所以点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，那么12121212121||2121223(||||||)2F NF F AF F F r S c c Sa c a c AF AF F F r ====++++．〔3〕假设直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．因为直线l 经过椭圆C 内的点(1,0)，所以△0>．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，那么2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+．由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，那么直线AE 的方程为2121(4)4y y y y x x --=--．令52x =，此时2112212112(4)3()5(4)422(4)y y x y y y y y x x --+-=+-=-- 3332124328244002(4)(34)k k k k k x k ++--==-+，所以点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ． 19.〔本小题总分值是16分〕设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列．〔1〕11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；〔2〕22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，假设数列{}n b 唯一，求1b 的值.〔3〕数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式〔用含n ，d 的式子表达〕；〔1〕解：设{}n b 的公比为q ，那么有360q q -+=，即2(2)(23)0q q q +-+=；解得2q =-；∴1(2)3n n S --=；〔2〕∵{}n a 为等差数列，又∵22a =，4710++21a a a =∴7321a =，77a =，那么公差1d =，那么n a n =数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，即11+b ，22+b ，33+b 成等比，2213(2+)(1+)(3+)b b b =，整理得131+=b b设数列{}n b 的公比为q ，显然10b ≠那么2111+=b b q ，21110b qb --=∵数列{}n b 唯一确定， ∴1104(1)0b b ∆=++=解得：11b =-或者10b =〔舍〕即11b =-〔3〕解：11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+⋯①112211(2)22n n n a b a b a b n --++⋯+=-+⋯②∴①-②，得2(2)n n n a b n n =；112a b =；∴*2()n n n a b n n N =∈⋯③ ∴111(1)2(2)n n n a b n n ---=-⋯④令③÷④，得12(2)1n n a nq n a n -=⋯-⑤；其中q 是数列{}n b 的公比； ∴122(1)(3)2n n a n q n a n ---=⋯-⑥ 令⑤÷⑥，得2221(2)(3)(1)n n n a a n n n a n ---=-； ∴31234a a a =，即1121(2)3()4a d a a d +=+；解得1a d =或者13a d =-；假设13a d =-，那么40a =，有444420a b ⨯==，矛盾；1a d ∴=满足条件，此时n a dn =；2n n b d=；20.〔本小题总分值是16分〕设a 为实数，函数()x f x axe =()a R ∈．〔1〕当0a <时，求函数()f x 的单调区间；〔2〕设b 为实数，假设不等式2()2f x x bx +对任意的1a 及任意的0x >恒成立，求b 的取值范围；〔3〕假设函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围．分析：〔1〕根据导数和函数单调性的关系即可求出，〔2〕别离参数，可得2xe x b -对任意的0x >恒成立，构造函数()2x x e x ϕ=-，利用导数求出函数的最值即可求出b 的范围，〔3〕先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a 的范围．解：〔1〕当0a <时，因为()(1)x f x a x e '=+，当1x <-时，()0f x '>；当1x >-时，()0f x '<．所以函数()f x 单调减区间为(,1)-∞-，单调增区间为(1,)-+∞．〔2〕由2()2f x x bx +，得22xaxe x bx +，由于0x >，所以2xae x b +对任意的1a 及任意的0x >恒成立．由于0xe>，所以x x ae e ，所以2x e x b -对任意的0x >恒成立．设()2x x e x ϕ=-，0x >，那么()2x x e ϕ'=-，所以函数()x ϕ在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)+∞上单调递增，所以()(min x ln ϕϕ=2)22ln =-2，所以22bln -2．〔3〕由()ln x g x axe x x =++，得1(1)(1)()(1)1xxx axe g x a x e x x++'=+++=，其中0x >．①假设0a 时，那么()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不合题意；②假设0a <时，令()0g x '=，得10x xe a=->．由第〔2〕小题知，当0x >时，()222x x e x ln ϕ=--20>，所以2xe x >，所以22x xe x >，所以当0x >时，函数xxe 的值域为(0,)+∞．所以存在00x >，使得0010ax ex +=，即001ax ex =-①，且当0x x <时，()0g x '>，所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞上单调递减．因为函数有两个零点1x ，2x ，所以0000()()max g x g x ax ex x ln ==++001x x ln =-++00x >②．设()1ln x x x ϕ=-++，0x >，那么1()10x xϕ'=+>，所以函数()x ϕ在(0,)+∞上单调递增．由于(1)ϕ0=，所以当1x >时，()0x ϕ>，所以②式中的01x >．又由①式，得001x ex a=-．由第〔1〕小题可知，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以1e a->，即1(a e∈-，0)．()i 由于111()(1)0eae g e e e =+-<，所以01()()0g g x e<．因为011x e<<，且函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，函数()g x 的图象在0(0,)x 上不连续，所以函数()g x 在0(0,)x 上恰有一个零点；()ii 由于1111()()g e ln aaaa-=---+-，令1t e a=->，设()t F t e t ln =-++t ，t e >，由于t e >时，ln t t <，2tet >，所以设()0F t <，即1()0g a-<．由①式，得当01x >时，0001x ex x a -=>，且01()()0g g x a-<，同理可得函数()g x 在0(x ，)+∞上也恰有一个零点．综上，1(a e∈-，0)．2021年天一十二月份调研考试高三数学〔Ⅱ〕试题21．此题一共2小题，每一小题10分，一共计20分，请在答题卡指定区域内答题，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，A 的一个特征值2λ=，其对应的一个特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦〔1〕求矩阵A ；〔2〕设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l 的方程．分析：〔1〕由111211a A b αλα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦即可求出a ，b ；〔2〕设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(,)x y ''，根据122144x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得2,3.6x y x x y y '-'⎧=⎪⎪⎨'+'⎪=⎪⎩进而得到l 的方程；．解：〔1〕1122112a a A b b α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，124212λα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ∴24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩解得2,4,a b =⎧⎨=⎩故1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；〔2〕1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，121331166A -⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵1A -对应的变换作用下得到点(,)x y ''，那么2121333311116666x y x x y y x y ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4x y -=，23y ∴'=， ∴直线l 的方程为23y =．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos ,(1cos 2x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数〕，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．分析：化直线l 的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线C 的参数方程为普通方程，联立求解得答案．解：直线l 的直角坐标方程为y x =．由方程4cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩，可得22212cos 2()48x y x α===，又1cos 1α-，44x ∴-．∴曲线C 的普通方程为21(44)8y x x =-．将直线l 的方程代入曲线方程中，得218x x =，解得0x =，或者8x =〔舍去〕． ∴直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标为(0,0)．第22题、第23题，每一小题10分，一共计20分，请在答题卡指定区域内答题，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 22．〔本小题总分值是10分〕如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12A A AB ==，3ABC π∠=，E，F 分别是BC ，1A C 的中点．〔1〕求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；〔2〕点M 在线段1A D 上，11A MA Dλ=．假设//CM 平面AEF ，务实数λ的值．分析：〔1〕建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；〔2〕点M 在线段1A D 上，11A MA Dλ=．求出平面AEF 的法向量，利用//CM 平面AEF ，即可务实数λ的值．解：因为四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1A A ⊥平面ABCD ．又AE ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以1A A AE ⊥，1A A AD ⊥．在菱形ABCD 中3ABC π∠=，那么ABC ∆是等边三角形．因为E 是BC 中点，所以BC AE ⊥．因为//BC AD ，所以AE AD ⊥．建立空间直角坐标系．那么(0A ，0，0)，C 1，0)，(0D ，2，0)，1(0A ，0，2)，E 0，0)，F ，12，1)．〔1〕(0AD =，2，0)，(2EF =-，12，1)，所以异面直线EF ，AD=．〔2〕设(M x ，y ，)z ，由于点M 在线段1A D 上，且11A MA Dλ=，那么(x ，y ，2)(0z λ-=，2，2)-．那么(0M ，2λ，22)λ-，(CM=-21λ-，22)λ-．设平面AEF 的法向量为0(n x =，0y ，0)z ．因为(3AE =0，0)，3(2AF =，12，1)，由0000012y z =++=，得00x =，00102y z +=．取02y =，那么01z =-，那么平面AEF 的一个法向量为(0n =，2，1)-．由于//CM 平面AEF ，那么0n CM =，即2(21)(22)0λλ---=，解得23λ=． 23．〔本小题总分值是10分〕n 局得n 分(*)n N ∈的情况就算游戏过关，同时游戏完毕，假设四局过后仍未过关，游戏也完毕．〔1〕求在一局游戏中得3分的概率；〔2〕求游戏完毕时局数X 的分布列和数学期望()E X ．分析：〔1〕根据互相HY 事件的概率公式求出对应的概率值；〔2〕由题意知随机变量X 的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．解：〔1〕设在一局游戏中得3分为事件A ，那么P 〔A 〕1112213525C C C C ==；〔2〕由题意随机变量X 的可能取值为1，2，3，4；且在一局游戏中得2分的概率为1221222135310C C C C C +=；那么2122351(1)5C C P X C ===， 436(2)51025P X ==⨯=，43228(3)(1)P X==⨯-⨯=，510512543342P X==⨯-⨯=，(4)(1)5105125∴的分布列为：X162842337E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．()1234525125125125。

新高考五省百校联盟2021届高三上学期12月份联考数学试题含答案

新高考联合质量测评12月联考试题高三数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,0,1,2,3A =--，集合{}12log 2B x x =≥-，则A B ⋂=（）．A ．{}2,1,0,1,2,3--B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2,3D ．∅2．设复数z 满足()()11i 1i z ++=-，则z =（）． A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +3．已知1234a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1432b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3223c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）．A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c b a >>4．函数()x xe ef x x-+=的图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．5．已知,0x y >，且230x y xy +-=，则32x y +的最小值是（）．A ．B ．C ．20D ．256．已知()()()621a x x a -+∈R 展开式的各项系数之和为64，则展开式中3x 的系数为（）． A ．10或2970B ．10或1890C ．10D ．18907．意大利数学家斐波那契的名著《算盘书》中有一经典的“生兔问题”：一对小兔子（雌雄各一），过一个月就长成一对大兔子，大兔子每过一个月都要生出一对雌雄各一的小兔子，若照此生下去，且无死亡，问一年后有多少对兔子？每月兔子总数形成“斐波那契”数列：1，1，2，3，5，8，…，则一年后共有兔子（）． A ．144对B ．232对C ．375对D ．376对8．已知三棱锥P ABC -三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且2PA PB PC ===，M ，N 分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则M 、N 两点间的距离最大值为（）．A ．23+B ．2+C 1D ．23+二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．关于平面向量a ，b ，c ，下列说法不正确的是（）． A ．若//a b ，//b c ，则//a c B ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅C ．若()23a a b ⋅+=，且1a b ==，则//a b D ．若a b b c ⋅=⋅，则a c =10．2020年上半年受疫情影响，我国居民人均消费支出情况也受到了影响，现统计出2015-2020年上半年我国居民人均消费支出情况如图所示，则下列说法正确的是（）．A ．从2015年到2019年我国居民人均消费支出逐年减少B ．若2020年下半年居民消费水平与上半年相当，则全年消费与2018年基本一致C ．若2020年下半年居民消费水平比上半年提高20％，则全年消费支出将超过2019年D ．随着疫情的有效控制，2020年下半年居民消费水平比上半年有所提高，居民人均消费支出较2019年减少不会超过10％11．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，点M 、N 为正方体表面上两动点，则下列说法正确的是（）．A ．当M 为11A C 的中点时，有BD ⊥平面1A BMB ．若点M ，N 均在线段11AC 上运动，且1MN =，则三棱锥1B MNB -的体积为定值C ．以点D 为球心作半径为3πD ．当点M 在平面11AA B B 内运动，点N 在平面11BCC B 内运动时（M ，N 不重合），BM 与BN 的夹角最大为π312．已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭，π3-为()f x 的一个零点，π6x =为()f x 图像的一条对称轴，()f x 右移π6个单位长度得到函数()g x ，则下列说法正确的是（）． A ．π3ϕ=B ．若()f x 在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则17,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦C ．若()sin g x x ω=，则1ω=D ．若()g x 为偶函数，则ω的最小值为5 三、填空题： 13．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan α=______． 14．某班预备在今年的元旦晚会中排15个节目，其中弹唱类6个，小品、相声类4个，舞蹈类4个，魔术类1个，甲、乙两人计划从中各选1个节目参加，且两人不选择同一个节目，则两人选择同一类节目的概率为______．15．已知命题21:01x p x -≤+，命题:0x q xe a ->．若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围为______． 16．已知函数()2ln ,043,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩，若函数()()g x ax a =∈R 使得方程()()f x g x =恰有3个不同根，则实数a 的取值范围为______．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．①πsin cos 6b A a B ⎛⎫=-⎪⎝⎭；②cos2cos 0B B +=；③4ABC S =△，B 为锐角．从以上三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______，若b =，求ABC △周长的最大值．18．在等差数列{}n a 中，34596a a a ++=，753a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意m +∈N ，将数列{}n a 中落入区间()137,7m m +内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S ．19．已知函数()()2ln f x x x mx m =-∈R ．（1）若()f x 在点()()1,1f 处的切线斜率为2，求()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值；（2）若函数()f x 有两个不同的零点，求m 的取值范围．20．随着生产力和国家经济实力的提升，网购成为了人们心中首选的购物方式．方便快捷、价格实惠、商品丰富成为吸引消费者进行网购的主要因素．据统计，全国约有55％的居民进行网购，而其中年龄在40岁及以下的约占811．（1）如果采用分层抽样的方式从“网购”与“非网购”居民中随机抽取40人，其中“网购”居民中年龄在40岁及以下的有16人，“非网购”居民中年龄在40岁及以下的有5人，试问是否有99.5％的把握认为是否网购与年龄有关？（2）“双十一”期间各大电商平台积极宣传促销，全网销售额达到2674亿元，其中天猫占比高达60％，若从网购居民中随机选取3人，用ξ表示所选3人中在天猫购买商品的人数，求ξ的分布列和数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．如图（1），已知梯形ABCD ，DE AB ⊥，24BE CD ==，45B ∠=︒，将ADE △沿DE 向上翻折，构成如图（2）所示的四棱锥P BCDE -，M 为PB 的中点．（1）证明：//CM 平面PDE ；（2）当四棱锥体积最大时，若二面角M CE B --的余弦值为3，求直线CM 与平面BCDE 所成角的余弦值．22．已知函数()21ln 2f x x ax bx =++，,a b ∈R ．（1）当0a <，且1b a =+时， ①试求函数()f x 的单调区间； ②证明：()112f x a≤--．（2）当0a ≠时，若()f x 是()0,+∞上的单调函数，求a b +的最小值．参考答案1．C 由12log 2≥-，得04x <≤，故{}1,2,3A B ⋂=．2．B1i1i 1iz -+==-+，所以1i z =--，所以1i z =-+． 3．B 14312b ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，31122228313274c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==<=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故b a c >>．4．C()f x 为奇函数，排除A ，B ；当0x +→时，2xxe e -+→，()f x →+∞，排除D ．5．D由230x y xy +-=得321x y+=．所以()32669432132532x y x y x y x y y x ⎛⎫+=+++≥+ ⎪⎝⎭+=+=． 6．A展开式的各项系数之和为()()621164a -+=，解得1a =或3a =-．当1a =时，3x 的系数为2366210C C -=．当3a =-时，3x 的系数为()()4343662332970C C ---=．故选A ．7．A由题可知数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，共144对． 8．D由已知可将该三棱锥补成如图所示正方体．则三棱锥内切球球心O ，外接球球心2O ，以及内切球与面ABC 的切点G 三点均在1PD 上，且21163GO PD ==．设内切球半径为r ，外接球半径为R ，则R ==由()1133ACP BCP ABP ABC ABP S S S S r S PC +++=⋅⋅△△△△△，，解得1r =-，故M 、N 两点间距离的最大值为2223R GO r ++=+． 9．ABD当0b =时，A 不成立；B 显然错误；()22212cos ,3a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+=，则cos ,1a b =，即,0a b =，即//a b ，故C 正确；当0b =时，D 不成立． 10．BD A 显然错误；9718219436⨯=，与2018年基本一致，B 正确； 9718 2.221379.621559⨯=<，不会超过，C 错误；215599718210021559-⨯⨯％9.8≈％，不会超过10％，D 正确．11．BC1BD A M ⊥，但BD 与1A B ，BM 都不垂直，A 错误；如图，1112323B MNB B B MN V V --==⨯=，B 正确；所截得的弧为3个半径为2的14圆弧，弧长和为32π23π4⨯⨯=，C 正确；当点M 在AB 上运动时，BM ⊥平面11BCC B ，BM BN ⊥，此时夹角为π2，D 错误．12．ABD A ，1ππ3k ωϕ-+=， ①()212πππ,62k k k ωϕ+=+∈Z ， ②由①②，得1221π3k k ϕ++=．又π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π3ϕ=，所以()πsin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A 正确．B ，()f x 的单调递减区间为2ππ2π7π,66k k ωωωω⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，则2πππ632π7ππ62k k ωωωω⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得176423k k ω+≤≤+．又0714632k k k ω>⎧⎪⎪+>+⎨⎪∈⎪⎩Z，所以0k =．此时1723ω≤≤，B 正确． C ，()ππππsin sin sin 6363g x x x x ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以ππ2π36k ω-=．所以()2121k k ω=-≠∈Z ，C 错误． D ，()ππsin 63g x x ωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数，则()ππππ362k k ω-=+∈Z ，所以61k ω=--．因为0ω>，所以min 5ω=，D 正确． 13．3+由已知可得πcos 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππ0,44α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则πtan 42α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1ππtan tan 344αα+⎡⎤⎛⎫=-+==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．14．935222644215549151435A A APA++===⨯．15．1,e⎛⎤-∞-⎥⎝⎦由211xx-≤+，解得112x-<≤．因为p是q的充分条件，所以xa xe<在11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦上恒成立．设()xf x xe=，其图象如图．所以1ae≤-．16．104a a ae⎧⎫≤<=⎨⎬⎩⎭或由已知得()f x的图象如图(1)．(1)当0a>时，要使得方程()()f xg x=恰有3个不同根，则需存在1x>，使得ln x ax>，即ln xax<．又ln xyx=的图象如图(2)，故10ae<<．(2)当0a<时，由图(1)知y ax=需与函数()224343f x x x x x=++=---相切．设切点为()00,x y，则()()()000y f x f x x x'-=-，即()()()200004324y x x x x x----=---过点()0,0，故2200004324x x x x++=+，解得23x=．因为x<，故x=()04a f x'==．(3)当0a=时，显然符合题意．综上，实数a 的取值范围为104a a a e ⎧⎫≤<=⎨⎬⎩⎭或． 17．解：选择①．由正弦定理，得1sin sin sin sin 2B A A B B ⎫=+⎪⎪⎝⎭，即sin sin cos A B A B =．因为sin 0A >，所以sin B B =，即tan B =t ．因为0πB <<，所以π3B =．由余弦定理，得2231cos 22a c B ac +-==，即223a c ac +-=．由均值不等式知()()()()22222231344a c ac a c ac a c a c a c +-=+-≥+-+=+（“＝”成立a c ⇔=）．故()2134a c +≤，即a c +≤所以周长a b c ++≤即周长的最大值为选择②．由二倍角公式，得()()22cos 1cos cos 12cos 10B B B B -+=+-=．解得cos 1B =-或1cos 2B =．在ABC △中，0πB <<，故1cos 2B =．所以π3B =．(下同) 选择③．因为4ABC S =△，所以14sin 2ac B ⨯⋅=，解得sin B =．因为π02B <<，所以π3B =．(下同) 18．解：(1)因为数列{}n a 是等差数列，所以3454396a a a a ++==．所以432a =．设公差为d ，因为753a =，所以74774a a d -==-．由413a a d =+可得13221a =+，所以111a =．所以()()11117174n a a n d n n =+-=+-=+． (2)由1377m m n a +<<，得137747m m n +<+<，所以31447777m m n --<<-，所以31771m m n -≤≤-，所以()()3131717177m m m m m b --=---=-，所以()()25831231277777777m m m m S b b b -=+++=++++-++++()()2332137177174977717173426m m m m ++----=-=+--- 3213507577342m m +++-⋅=．19．解：(1)函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1ln 2f x x mx '=+-，所以()1122f m '=-=，所以12m =-，所以()1ln f x x x '=++，()110f x x''=+>，所以()f x '在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．又110f e e ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，所以()0f x '>，所以()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．所以()()2max 12f e e e f x ==+． (2)由()0f x =可得ln xm x=．设()ln x g x x =，则()21ln xg x x -'=，所以()g x 在(]0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，所以当x e =时，()g x 有极大值()1g e e=，且()10g =，当x e >时，()0g x >，所以其图象如图所示．要使得()f x 有两个零点，即y m =与()y g x =的图象有两个不同的交点，需10m e <<．所以m 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．20．解：(1)由题意可得22⨯列联表如下：()22401613658.0217.87922182119K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5％的把握认为是否网购与年龄有关．(2)由题意可知33,5B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ()338015125P ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()21333361155125P C ξ⎛⎫==-⋅= ⎪⎝⎭， ()22333542155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()332735125P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以ξ的分布列为数学期望355E ξ=⨯=． 21．(1)证明：如图，取PE 的中点N ，连接DN ，MN ，CM ，则12MN BE ．又12DC BE ，故MN DC ．所以四边形DCMN 为平行四边形，所以//CM DN ．又CM ⊄平面PDE ，DN ⊂平面PDE ，所以//CM 平面PDE ．(2)解：当PE ⊥平面BCDE 时，四棱锥体积最大．又DE BE ⊥，故以E 为原点，ED ，EB ，EP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设PE a =，则()0,0,P a ，()2,2,0C ，()0,4,0B ，0,2,2a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2,2,0EC =，0,2,2a EM ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设平面MCE 的法向量()1,,n x y z =，则1100EC n EM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220202x y a y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩．令1x =，则141,1,n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．又平面BCE 的法向量()20,0,1n =，所以1212124cos ,2n n a n n n n ⋅===⋅+．解得4a =．所以()2,0,2CM =-．设直线CM 与平面BCDE 所成角为θ，则22sin cos ,222CM n θ===，故cos 2θ=，即直线CM 与平面BCDE 所成角的余弦值为2． 22．(1)解：①当0a <，且1b a =+时，()()21ln 12x a f ax x x =+++．因为()f x 的定义域为()0,+∞，()()()21212ax x f x x ++'=，又0a <，则当10,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故函数，()f x 的单调增区间是10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间是1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． ②证明：由①知0a <时，()f x 在12x a =-处取得最大值，最大值为11111ln 22242f a a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以()1111111ln 1222422a a a f a x ⎛⎫≤--⇔---≤-- ⎪⎝⎭，即1111ln 02242a a ⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭．令12t a =-，因为0a <，所以0t >，则只要证()1ln 102t t -+≤．令()ln 1g t t t =-+，0t >，则()111t g t t t -'=-=，则当()0,1t ∈时，()0g t '>，当()1,t ∈+∞时，()0g t '<．故()g t 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()()10g t g ≤=，故()102g t ≤成立，即()1ln 102t t -+≤．因此，0a <时，()112f x a ≤--． (2)解：()()242102ax bx f x x x++'=>，因为()f x 在()0,+∞上单调，所以()0f x '≤或()0f x '≥恒成立．当0a <时，设()2421h x ax bx =++，则24160b a -∆>=，所以()0h x =有两个相异的根1x ，2x ，且12104x x a =<．不妨设120x x >>，则当()10,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递增；当()1,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<，所以()f x 在()1,x +∞上单调递减．所以0a <不合题意．当0a >时，则()0f x '≥对()0,x ∈+∞恒成立．即1202ax b x++≥在()0,x ∈+∞恒成立，设()122x ax b x ϕ=++，只需()min 0x ϕ≥．因为122ax b b b x ++≥=，当且仅当x =所以0b ≥，即b ≥-．所以)2111a b a +≥-=-≥-，当且仅当1a =，2b =-时取等号．当1a =，2b =-时，()()22102x f x x -'=≥且不恒为0，此时()f x 在()0,+∞内单调递增．所以a b +的最小值为1-．。

2021届山东省新高考高三上学期12月联合调研考试数学试卷及答案

2021届山东省新高考高三上学期12月联合调研考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)考试用时120分钟, 满分150分．注意事项：1. 答题前,考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置．2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.3. 考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知集合4{|0}5xA xx-=<-, 集合{|35}B x x=<≤, 则A∩B =A.(3,6)B.[3,6)C.[4,5)D.(4,5)2.12i()3iz aa+=∈+R, 若z为实数,则a的值为A.23B.12C.13D.323.若非零向量m , n满足|m| =| n |,则“|3m2n | =| 2m +3n | ”是“m n”的A.充分不必要条件,B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知变量x,y之间的一组数据如下表：x 1 2 3 4 5y 3.4 7.5 9.1 13.8 m若 y关于x的线性回归方程为y=3x+1, 则m的值为A. 16B.16.2C.16.4D.16.65.“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则异面直线AB 与CD 所成角的大小是 A.30°B.45°C.60°D. 120°6.为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划,某地方党委政府决定从 4 名男党员干部和3 名女党员干部中选取 3 人参加西部扶贫,若选出的 3 人中既有男党员干部又有女党员干部,则不同的选取方案共有 A. 60 种B. 34 种C. 31 种D. 30 种7.已知函数 y =f ( x ) 的图像如图所示,则此函数可能是A. 2e e ()||2x xf x x x --=+-B. 2e e ()||2x xf x x x --=+-C. 2||2()e e x x x x f x -+-=-D. 2||2()e ex x x x f x -+-=-8.对于实数x , [ x ] 表示不超过x 的最大整数.已知数列{a n } 的通项公式1n a n n=++,前n 项和为S n , 则[S 1]+ [S 2]+…+ [S 40]= A.105B.120C.125D.130二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分9.新冠肺炎疫情的发生,我国的三大产业均受到不同程度的影响,其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020 年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据,如图所示：图1为国内三大产业比重,图2为第三产业中各行业比重．以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是A.在第三产业中,“批发和零售业” 与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产。

山东省2021-2022学年高三上学期12月备考监测第二次联合考试数学试题

山东省2021-2022学年高三上学期12月备考监测第二次联合考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知是互相垂直的单位向量，若，则（）,a b 2c a b =-b c ⋅= A ．B ．C ．0D ．22-1-2．已知全集，且，则（）{}{},1,2,2,3U U U A B ⊆==R {}1,3,4,5A B = A =A ．B ．C ．D ．{}3,5{}4,5{}3,4{}3,4,53．若“”为假命题，则的取值范围为（）()0,,sin2sin 0x x k x π∃∈-<k A ．B ．C ．D ．(],2-∞-(],2-∞(),2-∞-(),2-∞4．已知函数，若，则（）()31f x x x =+-()1lg 2f m =1lg f m ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．1-12-32-52-5．如图，位于贵州黔南的“中国天眼”是具有我国自主知识产权､世界最大单口径､最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠所在球的半径为，球冠底的半径为，球冠的高为，球冠底面圆的周长为.已知球冠的表R r h C 面积公式为，若，则球冠所在球的表面积为（）2S Rh π=65000,500S C ππ==A ．B ．C ．D ．1620000π1690000π1720000π1790000π二、未知6．“”是“的最小正周期为”的（）2ω=2tan 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2πA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在正项等比数列中，，且是和的等差中项，则（）{}n a 13a =23a 3a 4a 2a =A ．8B ．6C ．3D ．328．某地由于人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年的比例降低.若20%要求患病率低于当前患病率的，则至少需要经过的时间为（）（参考数据：13）lg20.3,lg30.48≈≈A ．4年B ．5年C ．6年D ．7年9．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）{},,a b cA ．B ．,,2a b c a b b c ++-+ ,,a b a c b c ---C ．D ．2,2,a b a b a c+-+ 2,63,a b b a c--- 10．，若2是与的等比中项，则的最小值为___________.0,0a b >>a 1b +a b +11．赵爽是我国古代数学家､天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为169，小正方形的面积为49，若直角三角形较小的锐角为，则的值为___________.α3tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭12．设复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：z 1z z =+11z z -+z =___________.13．如图，某校学生在开展数学建模活动时，用一块边长为的正方形铝板制作一12dm 个无底面的正棱锥（侧面为等腰三角形，底面为正边形）道具，他们以正方形的儿n n 何中心为田心，为半径画圆，仿照我国古代数学家刘徽的割圆术裁剪出份，再6dm m 从中取份，并以O 为正棱锥的顶点，且落在底面的射影为正边形的几何n ()3n n O n 中心，侧面等䁏二角形的顶角为，当11122,O A O A nπ∠=12AOA ∠α=时，设正棱锥的体积为，则的最大值为___________.112cos 2cos 1AO A ∠α=-3dm V Vn14．在①的周长为6，②，③这三个条件中任选一个，补充在下ABC sin 2a B =4ab =画问题中.若问题中的三角形存在，判断的形状；若问题中的三角形不存在，说明ABC 理由.问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且成等差数列，ABC ,,A B C ,,a b c ,,a c b___________？ABC S = 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.15．设函数，其中，其图象的两条对称轴间的最()()sin f x m x ωϕ=+0,0,2m πωϕ>><短距离是，若对恒成立，且.2π()12f x f π⎛⎫- ⎪⎝⎭ x ∈R 212f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（1）求的解析式；()f x （2）在锐角中，是的三个内角，满足ABC ,,A B C ABC，求的取值范围.()()sin 2B f A B A B ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭sin sin C B 三、多选题16．已知曲线，则下面结论正确的是（）122:cos2,:sin 3C y x C y x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭A ．把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线问石平1C 移个单位长度，得到曲线56π2C B ．把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平1C 移个单位长度，得到曲线6π2C C ．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的21C 712π倍，纵坐标不变，得到曲线2C D ．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的21C 12π倍，纵坐标不变，最后把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线π2C 17．我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.”其大意为今有良马和驽马从长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走里.良马先到齐国，再返回迎接驽马，9天后两马相遇.下列结论正确的是0.5（）A ．长安与齐国两地相距1530里B ．3天后，两马之间的距离为里328.5C ．良马从第6天开始返回迎接驽马D ．8天后，两马之间的距离为里377.518．关于函数，下列说法不正确的是（）()e 11x f x x -=+A ．当或时，；当时，0x >1x <-()0f x >10x -<<()0f x <B ．函数在定义域上单调递增()y f x =C ．若方程恰有两个不同的实数解，则()f x k '=e 2k =D ．若恒成立，则()()ln 1f x a x + 1a 四、解答题19．根据市场调查，某种商品在最近30天内的价格（单位：元/件）､日销售量()f t ()(g t 单位：件）与时间（单位：天）的关系分别是t ()()()40,010,,50,(030,).100,103010t t f t t g t t t t t t t +<⎧⎪=∈=-+∈⎨⎪+⎩N N （1）求该商品的日销售额（单位：元）与时间之间的函数关系式；y t （2）求这种商品的日销售额的最大值.注：日销售额=销售量价格.⨯20．如图，在正四棱柱中，为的中点.1111ABCD A B C D -1,AB E =1CC（1）当时，证明：平面平面.12AA =BDE ⊥11A B E （2）当时，求到平面的距离.13AA =1A BDE 21．已知数列的前项和为，且满足.{}n a n n S ()11122,24n n n a a a n a --==+ （1）证明数列是等比数列，并求出的通项公式.112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭{}n a （2）证明：.172122n n S ⎡⎤⎛⎫-<<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦22．设函数.()ln 1f x x ax =-+（1）若恒成立，求的取值范围.()0f x a （2）证明：.()ln 21e 11e xx x -⎛⎫++<+⎪⎝⎭。

高三数学12月调研考试试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校一中2021级高三12月调研考试数学〔理〕试题一、单项选择题〔每一小题5分，一共60分〕1.集合，那么满足的集合的个数是〔〕A.2B.3C.4D.8【答案】C【解析】由题意可得结合，其中集合是集合的子集，利用子集个数公式可得：集合的个数是个.此题选择C选项.2.“〞是“〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“〞能推出“〞，反过来，“〞不能推出“〞，因为，所以是充分不必要条件，应选A.3.点在角的终边上，且，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，可得，解得或者〔舍去〕，可得，可得，应选.4.函数，那么的值是〔〕A.6B.12C.24D.36【答案】C【解析】∵，∴，，，∴．选C。

5.曲线，那么曲线在点P(2,4)的切线方程为()A.4x－y－4＝0B.x－y＋2＝0C.2x－y＝0D.4x＋y－8＝0【答案】A【解析】由题意可得：，那么：，据此可得切线方程为：，整理成一般式为：.此题选择A选项.6.上的偶函数满足，当时，，那么的零点个数为〔〕A.4B.8C.5D.10【答案】C【解析】∵，∴，故函数的周期T=2。

∵0≤x≤1时，且是R上的偶函数，∴﹣1≤x≤1时，，令，画出函数的图象，如以下图所示：由图象得函数和的交点有5个，∴函数的零点个数为5个。

选C．点睛：对于判断函数零点个数的问题，常转化为两函数图象的公一共点的个数的问题处理，解题时要合理构造出两个函数，然后在同一坐标系中画出两个函数的图象，通过观察两图象公一共点的个数确定函数零点的个数。

此类问题往往要用到函数的奇偶性、周期性等性质。

7.为了得到，只需将作如下变换〔〕A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【答案】C【解析】试题分析：因为，所以只需将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象，应选C.考点：图象平移变换.8.数列的前项和为，假设，且，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，得，即，由可知：，两式相减可得，即，故数列是从第二项起以2为公比的等比数列，那么，应选C.9.某几何体的三视图如以下图，那么该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是如以下图所示的组合体，其体积，应选A.考点：1.三视图；2.多面体的体积.10.平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点P在△COD的内部〔不含边界〕．假设,那么实数对〔x，y〕可以是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】如以下图，在平行四边形ABCD中，点P在△COD的内部〔不含边界〕，且。

2021年高三上学期12月月考数学试卷含解析

2021年高三上学期12月月考数学试卷含解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|，B={y|y=2x2，x∈R}，则A∩B=（）A． {x|﹣1≤x≤1} B． {x|x≥0} C． {x|0≤x≤1} D．φ2．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于（） A． 2 B． 2 C． 4 D． 83．设函数，则的值为（）A． B． C． D．4．若的值（）A． B． C． D．5．已知一个等比数列的前三项的积为3，后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为（）A． 9 B． 10 C． 11 D． 126．已知x＞0，y＞0，且是3x与33y的等比中项，则+的最小值是（）A． 2 B． 2 C． 4 D． 27．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则角A的大小为（）A．或 B． C．或 D．8．已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．9．若x，y满足不等式，则2x+y的最小值为（）A．﹣4 B． 3 C． 4 D． 010．已知命题：“∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是（） A． [﹣3，+∞） B．（﹣3，+∞） C． [﹣8，+∞） D．（﹣8，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．已知等差数列{a n}满足a3+a7=10，则该数列的前9项和S9= ．12．已知=（1，2），=（1，1），且向量与+m垂直，则m= ．13．已知函数f（x）=sin2x+cos2x，则f（x）的对称中心坐标是．14．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．15．给出下列四个结论：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真；③已知直线l1：ax+2y﹣1=0，l1：x+by+2=0，则l1⊥l2的充要条件是；④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．其中正确结论的序号是（填上所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．17．已知向量=（2cosx，2sinx），向量=（cosx，cosx），函数f（x）=﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间．18．数列{a n}的前n项的和为S n，对于任意的自然数a n＞0，（Ⅰ）求证：数列{a n}是等差数列，并求通项公式（Ⅱ）设，求和T n=b1+b2+…+b n．19．△ABC中，内角A、B．C所对边分别为a、b、c，己知A=，，b=1．（1）求a的长及B的大小；（2）若0＜x＜B，求函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣的值域．20．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？21．已知函数f（x）=e x﹣kx，其中k∈R；（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）求证：当k＞ln2﹣1且x＞0时，f（x）＞x2﹣3kx+1．xx学年山东省菏泽市曹县三桐中学高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|，B={y|y=2x2，x∈R}，则A∩B=（）A． {x|﹣1≤x≤1} B． {x|x≥0} C． {x|0≤x≤1} D．φ考点：函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：通过函数的定义域求出集合A，函数的值域求出集合B，然后求解交集即可．解答：解：因为集合A={x|={x|﹣1≤x≤1}，B={y|y=2x2，x∈R}={y|y≥0}，所以A∩B={x|0≤x≤1}．故选C．点评：本题考查函数的定义域与函数的值域，交集的求法，考查计算能力．2．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于（）A． 2 B． 2 C． 4 D． 8考点：复数求模；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：先将z计算化简成代数形式，根据纯虚数的概念求出a，再代入|a+2i|计算即可．解答：解：z==．根据纯虚数的概念得出∴a=2．∴|a+2i|=|2+2i|==2故选B．点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，纯虚数的概念、复数的模．考查的均为复数中基本的运算与概念．3．设函数，则的值为（）A． B． C． D．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．专题：计算题．分析：分段函数的求值问题，必须分段考虑，由于，故利用下面一个式子求解．解答：解：由于，∴=．故选D．点评：本题考查分段函数的求值问题，“分段函数”是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，它是一个函数，解决分段函数的基本策略是：分段解决．4．若的值（）A． B． C． D．考点：二倍角的余弦；诱导公式的作用．专题：计算题．分析：利用诱导公式求得cos（α+）=，利用二倍角的余弦公式求得的值．解答：解：∵，∴cos（α+）=sin[﹣（α+）]=．∴=cos2（α+）=2﹣1=，故选A．点评：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．5．已知一个等比数列的前三项的积为3，后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为（）A． 9 B． 10 C． 11 D． 12考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由题意可得 a1a n=a1=3，再由所有项的积为a1•a1q•…=243=35①，倒序可得…•a1q•a1=35②，①②对应项相乘可得 =310，解得 n的值．解答：解：设等比数列的公比等于q，a1a2a3=3，且 a n﹣2a n﹣1a n=9，两式相乘可得 a1a n=a1=3．再由所有项的积为a1•a1q•…=243=35①，…•a1q•a1=35②，把①②对应项相乘可得 =35•35=310，解得 n=10，故选B．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于中档题．6．已知x＞0，y＞0，且是3x与33y的等比中项，则+的最小值是（）A． 2 B． 2 C． 4 D． 2考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由等比数列可得x+3y=1，可得+=（+）（x+3y）=2+，由基本不等式可得．解答：解：∵x＞0，y＞0，且是3x与33y的等比中项，∴3x•33y=3x+3y=3，即x+3y=1，∴+=（+）（x+3y）=2+≥2+2=4，当且仅当即x=3y=时取等号，∴+的最小值为：4故选：C点评：本题考查基本不等式，涉及等比数列的性质，属基础题．7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则角A的大小为（）A．或 B． C．或 D．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：先利用正弦定理将边转化为角，再切化弦，利用和角的正弦公式，化简即可求得角A．解答：解：∵∴∴∴∴∵角A是△ABC的内角∴A=故选D．点评：本题考查正弦定理的运用，考查和角的正弦公式，解题的关键是利用正弦定理将边转化为角．8．已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（） A． B．C． D．考点：函数的图象与图象变化；函数图象的作法．专题：计算题．分析：根据函数y=a x与y=log a x互为反函数，得到它们的图象关于直线直线y=x对称，从而对选项进行判断即得．解答：解：∵函数y=a x与y=log a x互为反函数，∴它们的图象关于直线y=x对称．再由函数y=a x的图象过（0，1），y=a x，的图象过（1，0），观察图象知，只有C正确．故选C．点评：本小题主要考查反函数、反函数的应用、对数函数、指数函数的图象等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．9．若x，y满足不等式，则2x+y的最小值为（）A．﹣4 B． 3 C． 4 D． 0考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，设z=2x+y，化为y=﹣2x+z，由图可知，当直线过A（﹣1，﹣2）时，z有最小值，等于2×（﹣1）﹣2=﹣4．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10．已知命题：“∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是（） A． [﹣3，+∞） B．（﹣3，+∞） C． [﹣8，+∞） D．（﹣8，+∞）考点：特称命题．专题：常规题型．分析：题中条件：““∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题”说明只要存在x∈[1，2]，保证x2+2x+a≥0即可，据二次函数的图象与性质得，只要在x=2处的函数值不小于0即可，从而问题解决．解答：解：设f（x）=x2+2x+a，要使∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0，据二次函数的图象与性质得：只要：f（2）≥0即可，∴22+2×2+a≥0，∴a≥﹣8．故选C．点评：本小题主要考查特称命题、特称命题的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．已知等差数列{a n}满足a3+a7=10，则该数列的前9项和S9= 45 ．考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由数列{a n}为等差数列，利用等差数列的性质得到a3+a7=2a5，由a3+a7的值，求出a5的值，然后利用等差数列的求和公式表示出数列的前9项和S9，利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．解答：解：∵数列{a n}为等差数列，∴a3+a7=2a5，又a3+a7=10，∴2a5=10，即a5=5，则该数列的前9项和S9==9a5=45．故答案为：45点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．12．已知=（1，2），=（1，1），且向量与+m垂直，则m= ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量垂直与数量积的关系即可得出．解答：解：∵向量=（1，2），=（1，1），∴+m=（1，2）+m（1，1）=（1+m，2+m）．∵与+m垂直，∴•（+m）=1+m+2（2+m）=0，解得m=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．13．已知函数f（x）=sin2x+cos2x，则f（x）的对称中心坐标是（，0），k∈Z ．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用辅助角将函数进行化简，即可求函数的对称中心．解答：解：y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），由2x+=kπ，解得x=，故f（x）的对称中心坐标为（，0），k∈Z故答案为：（，0），k∈Z点评：本题主要考查三角函数的性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．14．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．考点：函数的零点．专题：数形结合法．分析：先把原函数转化为函数f（x）=，再作出其图象，然后结合图象进行求解．解答：解：函数f（x）==，得到图象为：又函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，知f（x）=m有三个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．点评：本题考查函数的零点及其应用，解题时要注意数形结合思想的合理运用，15．给出下列四个结论：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真；③已知直线l1：ax+2y﹣1=0，l1：x+by+2=0，则l1⊥l2的充要条件是；④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．其中正确结论的序号是①④（填上所有正确结论的序号）考点：命题的真假判断与应用；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线垂直的判定．专题：综合题．分析：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，可由命题的否定的书写规则进行判断；②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真，可由不等式的运算规则进行判断；③l1⊥l2时，a+2b=0，只有当b≠0时，结论成立；④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x），可由函数单调性与导数的关系进行判断．解答：解：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，此是一个正确命题；②由于其逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，当m=0时不成立，故逆命题为真不正确；③l1⊥l2时，a+2b=0，只有当b≠0时，结论成立，故不正确；④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x），由于两个函数是一奇一偶，且在x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，故当x＜0，f′（x）＞g′（x），成立，此命题是真命题．综上①④是正确命题故答案为①④点评：本题考查命题的否定，函数的单调性与导数的关系，及不等式关系的运算，涉及到的知识点较多，解题的关键是对每个命题涉及的知识熟练掌握，且能灵活运用它们作出判断．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．考点：等差数列与等比数列的综合；等差数列的前n项和．专题：综合题．分析：（1）设出公差d，由a1，a3，a9成等比数列得关于d的一元二次方程，解得d=1，d=0，{a n}是公差不为零的等差数列，d=1，再由a1=1，代入通项公式可求解；（2）由（1）知，d=1，又已知a1=1，{a n}是等差数列，选择含有首项a1和公差d等差数列的前n项和公式代入即可．解答：解：（1）由题设知公差d≠0，由a1=1，a1，a3，a9成等比数列，得（1+2d）2=1×（1+8d），即d2﹣d=0，…（4分）解得d=1，d=0（舍去），…（6分）故{a n}的通项a n=1+（n﹣1）×1=n．…（9分）（2）由（Ⅰ）及等差数列前n项和公式得…（14分）点评：本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式，已知数列为等差数列，求通项公式，求首项和公差即可；求前n项和时，有两个公式，结合已知，选择一个最易计算的公式．17．已知向量=（2cosx，2sinx），向量=（cosx，cosx），函数f（x）=﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=+．即可得出函数f（x）的最小正周期．．（2）由，解得，k∈Z．即可得出函数f（x）的单调递增区间．解答：解：（1）函数f（x）=﹣===+．∴函数f（x）的最小正周期T==π．（2）由，解得，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．点评：本题考查了向量的数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．数列{a n}的前n项的和为S n，对于任意的自然数a n＞0，（Ⅰ）求证：数列{a n}是等差数列，并求通项公式（Ⅱ）设，求和T n=b1+b2+…+b n．考点：数列的求和；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）令n=1求出首项，然后根据4a n=4S n﹣4S n﹣1进行化简得a n﹣a n﹣1=2，从而得到数列{a n}是等差数列，直接求出通项公式即可；（Ⅱ）确定数列通项，利用错位相减法，可求数列的和．解答：（Ⅰ）证明：∵4S1=4a1=（a1+1）2，∴a1=1．当n≥2时，4a n=4S n﹣4S n﹣1=（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，∴2（a n+a n﹣1）=a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1=2，∴数列{a n}是等差数列，∴a n=2n﹣1；（Ⅱ）解：=∴T n=b1+b2+…+b n=++…+﹣﹣﹣①∴T n=++…++﹣﹣﹣②①﹣②T n=+2（++…+）﹣=∴T n=1﹣．点评：本题主要考查了数列的递推关系，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．19．△ABC中，内角A、B．C所对边分别为a、b、c，己知A=，，b=1．（1）求a的长及B的大小；（2）若0＜x＜B，求函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣的值域．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosA的值代入求出a的值，利用等边对等角确定出B的度数即可；（2）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出f（x）的值域即可．解答：解：（1）∵△ABC中，A=，c=，b=1，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+3﹣3=1，即a=1，则A=B=；（2）f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），由0＜x＜，得到＜2x+＜，即＜sin（2x+）≤1，则函数的值域为（，2]．点评：此题考查了余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．20．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？考点：利用导数研究函数的极值；函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题．分析：（I）把用的时间求出，在乘以每小时的耗油量y即可．（II）求出耗油量为h（x）与速度为x的关系式，再利用导函数求出h（x）的极小值判断出就是最小值即可．解答：解：（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升，依题意得，．令h'（x）=0，得x=80．当x∈（0，80）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；当x∈（80，120）时，h'（x）＞0，h（x）是增函数．∴当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25．因为h（x）在（0，120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．点评：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．21．已知函数f（x）=e x﹣kx，其中k∈R；（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）求证：当k＞ln2﹣1且x＞0时，f（x）＞x2﹣3kx+1．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）若k=e，利用导数求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，只需转化为f（x）＞0对任意x ≥0成立即可．（Ⅲ）利用导数求函数的最值，利用导数证明不等式．解答：解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=e x﹣ex，所以f'（x）=e x﹣e．由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，1）．（Ⅱ）由f（|﹣x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．由f'（x）=e x﹣k=0得x=lnk．①当k∈（0，1]时，f'（x）=e x﹣k＞1﹣k≥0（x＞0）．此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （0，lnk） lnk （lnk，+∞）f'（x）﹣ 0 +f（x）单调递减极小值单调递增由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k﹣klnk．依题意，k﹣klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．（Ⅲ）由题，f（x）＞x2﹣3kx+1，即e x﹣kx＞x2﹣3kx+1⇔e x﹣x2+2kx﹣1＞0记g（x）=e x﹣x2+2kx﹣1，则g'（x）=e x﹣2x+2k，记h（x）=e x﹣2x+2k则h'（x）=e x﹣2，得h'（x）＞0⇔e x＞2⇔x＞ln2因此，h（x）在（﹣∞，ln2）上递减，在（ln2，+∞）上递增；得h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2+2k；因为，k＞ln2﹣1，可得h（x）min=2﹣2ln2+2k＞0所以，g'（x）＞0，说明g（x）在R上递增，因此，当x＞0时有g（x）＞g（0）=0由上，e x﹣x2+2kx﹣1＞0，因此得f（x）＞x2﹣3kx+1；点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数的应用，考查学生的运算能力．33503 82DF 苟M36713 8F69 轩@*25189 6265 扥-b <33226 81CA 臊36351 8DFF 跿28230 6E46 湆。

2021年高三(上)12月月考数学试卷(理科)含解析

2021年高三（上）12月月考数学试卷（理科）含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）若复数）是纯虚数，则实数a的值为﹣1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：将化为再判断即可．解答：解：∵==是纯虚数，∴a+1=0且1﹣a≠0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数的分母实数化是关键，属于基础题．2．（5分）（xx•松江区一模）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为4．考点：并集及其运算．专题：计算题．分根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．析：解答：解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16} ∴∴a=4，故答案为：4．点评：本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．3．（5分）经过点（2，﹣1），且与直线2x﹣3y﹣1=0垂直的直线方程是3x+2y﹣4=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由题意易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，进而可得所求直线的斜率，又该直线过定点，由点斜式可得方程，化为一般式即可．解答：解：根据题意，易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，根据互相垂直的直线的斜率的关系，可得l的斜率为，又由直线经过点（2，﹣1），则所求的直线方程为y+1=﹣（x﹣2），即3x+2y﹣4=0，故答案为：3x+2y﹣4=0．点评：本题为直线方程的求解，由垂直关系找出直线的斜率是解决问题的关键，注意最后要化为直线方程的一般式，属基础题．4．（5分）平面直接坐标系xoy中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=﹣x 上，则sinα=±．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：因为知道了角α的终边，可以在角的终边上任取一点，求出该点到原点的距离，直接运用三角函数的定义求解．解答：解：在直线y=﹣x上任意取一点（a，﹣a），且a≠0 则，r==2|a|，再由sinα===±，故答案为±．点评：本题考查了任意角的三角函数定义，解答此题的关键是熟记定义，是基础题．5．（5分）某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．解答：解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：=；他们同时选中B食堂的概率也为：=；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=故答案为：点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．6．（5分）右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s=81．考点：循环结构．专题：计算题．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：当i=1时，不满足退出循环的条件，S=3，i=2；当i=2时，不满足退出循环的条件，S=9，i=3；当i=3时，不满足退出循环的条件，S=27，i=4；当i=4时，不满足退出循环的条件，S=81，i=5；当i=5时，满足退出循环的条件，故答案为：81点本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环评：的结果，找规律，属于基础题．7．（5分）（xx•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．解答：解：∵C为三角形的内角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．8．（5分）设向量，，，的夹角为120°，则实数k=3．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量夹角公式可得，cos120°==＜0可知，k＞0，解方程即可求解k解答：解：由向量夹角公式可得，cos120°===﹣∴k＞0整理可得，k2=9∴k=3故答案为：3点评：本题主要考查了向量夹角公式的坐标表示，解题中不要漏掉对k的范围的判断，本题容易漏掉判断k而产生两解k=±39．（5分）（xx•东城区一模）过点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为2x﹣4y+3=0．考直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．点：专题：计算题．分析：研究知点在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当∠ACB最小时，直线l与CM 垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程．解答：解：验证知点在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程，圆心C（1，0）∵k CM==﹣2，∴k l=∴l：y﹣1=（x﹣），整理得2x﹣4y+3=0 故应填2x﹣4y+3=0点评：本题考点是直线与圆的位置关系，考查到了线线垂直时斜率之积为﹣1，以及用点斜式写出直线的方程．10．（5分）已知函数f（x）=，若f（3﹣2a2）＞f（a），则实数a的取值范围是a＜﹣或a＞1．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：当x≥0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0．当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．解答：解：当x≥0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0．当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．故答案为：a＞1或a＜﹣．点评：本题考查函数解析式的求解和常用方法，解题时要认真审题，注意分段函数的性质和应用．11．（5分）设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n（x）=．考点：归纳推理．专题：归纳法．分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案．解答：解：观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，可知：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，故f n（x）=．故答案为点评：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．12．（5分）（xx•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：解法一：可先直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．解答：解法一：由题意，可得直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为两直线联立得T（），由于此点在椭圆上，故有，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0即e2+10e﹣3=0，解得故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．延长TO交圆O于N易知直线A1B1斜率为1，TM=MO=ON=1，，设T（x′，y′），则，y′=x′+1，由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，（负值舍去）易知：B1（0，﹣1）直线B1T方程：令y′=0，即F横坐标即原椭圆的离心率e=．故答案：．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）已知函数f（x）=，若关于的方程满足f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根，且α，β分别是三个根中最小根和最大根，则的值为．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：同一坐标系内作出函数y=f（x）的图象和直线y=m，因为两图象有且仅有三个公共点，所以m=1．再解方程f（x）=1，得最小根β=，最大根α=，将它们代入再化简，即可得到要求值式子的值．解答：解：函数f（x）=的图象如下图所示：可得函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣）和（，π）；单调增区间为（﹣，）和（π，+∞），f（x）的极大值为f（）=1，极小值为f（﹣）=﹣和f（π）=0将直线y=m进行平移，可得当m=1时，两图象有且仅有三个不同的公共点，相应地方程f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根．令f（x）=1，得x1=，x2=，x3=，所以β=，α=，∴β•sin（+α）=•sin=•（﹣）=故答案为：点评：本题以分段函数为例，求方程的最大根和最小根，并且用这个根来求值，着重考查了函数与方程的关系，以及三角函数求值等知识，属于中档题．14．（5分）（2011•盐城二模）已知f（x）=cosx，g（x）=sinx，记S n=2﹣，T m=S1+S2+…+S m，若T m＜11，则m的最大值为5．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：先将数列通项化简，再求和，利用T m＜11，即可求得m的最大值．解答：解：由题意，a n=2﹣=∴S n==∴T m=S1+S2+…+S m=2m+1﹣＜11 ∴m的最大值为5．故答案为：5点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤．15．（14分）（xx•湖北模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）通过求出，利用二倍角以及三角形的内角和化简，即可求出它的值；（Ⅱ）利用，结合余弦定理，求出a，c的关系，通过基本不等式求出a，c，然后求出三角形的面积最大值．解答：（本小题满分13分）解：（I）因为，所以．…（1分）又==+=．…（6分）（II）由已知得，…（7分）又因为，所以．…（8分）又因为，所以ac≤6，当且仅当时，ac取得最大值．…（11分）此时．所以△ABC的面积的最大值为．…（13分）点评：本题考查二倍角公式，余弦定理，基本不等式的应用，考查计算能力．16．（14分）已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（1）求⊙C的方程；（2）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值．考点：关于点、直线对称的圆的方程；平面向量数量积的运算．专题：综合题．分析：（1）设圆心的坐标，利用对称的特征，建立方程组，从而求出圆心坐标，又⊙C过点P（1，1），可得半径，故可写出⊙C方程．（2）设Q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值．解答：解：（1）设圆心C（a，b），则，解得a=0，b=0则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标（1，1）代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2；（2）设Q（x，y），则x2+y2=2，=（x﹣1，y﹣1）•（x+2，y+2）=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，令x=cosθ，y=sinθ，∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+ ）﹣2，∴θ+=2kπ﹣时，sin（θ+）的最小值为﹣1，所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4．点评：本题考查圆的对称性，考查圆的标准方程，考查两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．17．（14分）如图，xx年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO 中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．解答：解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（6分）（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．…（8分）故=（cosα﹣3，sinα+），=（﹣cosα﹣3，﹣sinα+），∴•=（cosα﹣3）（﹣cosα﹣3）+（sinα﹣）（﹣sinα﹣）=11（10分）||•||=×=×==由α∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…（12分）所以cos∠MSN=∈[，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面点评：本题考查的是解三角形的应用，解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理．18．（16分）如图，椭圆C：+=1的右顶点是A，上下两个顶点分别为B，D，四边形DAMB 是矩形（O为坐标原点），点E，P分别是线段OA，MA的中点．（1）求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）过点B的直线l1，l2与椭圆C分别交于R，S（不同于B点），且它们的斜率k1，k2满足k1•k2=﹣求证：直线SR过定点，并求出此定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定直线DE与BP的直线方程，可得交点坐标，满足椭圆方程，可得结论；（2）设出直线方程，求得R，S的坐标，利用R，S关于原点O对称，即可得到结论．解答：证明：（1）由题意，A（4，0），B（0，2），D（0，﹣2），E（2，0），P（4，1），则直线DE的方程为y=x﹣2，直线BP的方程为联立方程，可得直线DE与BP的交点坐标为（）∵椭圆C：+=1，∴（）满足方程，∴直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）直线BR的方程为y=k1x+2解方程组，可得或∴R的坐标为（，）∵k1•k2=﹣，∴直线BS的斜率k2=﹣，∴直线BS的方程为y=﹣x+2 解方程组得或∴S的坐标为（，）∴R，S关于原点O对称∴R，O，S三点共线∴直线SR过定点，定点的坐标为O（0，0）．点评：本题考查直线的交点，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（16分）（xx•昌平区二模）设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是等差数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n}的通项，利用{a n}是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{a n}的首项a1的所有取值．解答：解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），①用n+1去代n得，3（a1+a n+1）﹣4=2（a1+a2…+a n+a n+1），②②﹣①得，3（a n+1﹣a n）=2a n+1，a n+1=3a n，（2分）在①中令n=1得，a1=1，则a n≠0，∴，∴数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，∴a1+a2+a3+…+a n=．（4分）（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），③用n+1去代n得，（n+1）（a1+a n+1）=2（a1+a2…+a n+a n+1），④④﹣③得，（n﹣1）a n+1﹣na n+a1=0，⑤（6分）用n+1去代n得，na n+2﹣（n+1）a n+1+a1=0，⑥⑥﹣⑤得，na n+2﹣2na n+1+na n=0，即a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，（8分）∴数列{a n}是等差数列．∵a3=3，a9=15，∴公差，∴a n=2n﹣3．（10分）（3）由（2）知数列{a n}是等差数列，∵a2﹣a1=2，∴a n=a1+2（n﹣1）．又{a n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m ﹣1）=a1+2（p﹣1），得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，（12分）又由已知，，故．一方面，当时，S n=n（n+a1﹣1）＞0，对任意n∈N*，都有．另一方面，当a1=2时，S n=n（n+1），，则，取n=2，则，不合题意．（14分）当a1=4时，S n=n（n+3），，则，当a1≥6时，S n=n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，又，∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．20．（16分）已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：证明题；新定义．分析：（I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB 的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．…（1分）解答：由已知得，．…（2分）（1）当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（3分）（2）当a＜0时，①当时，即a＜﹣1时，令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；…（4分）②当时，即a=﹣1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（5分）③当时，即﹣1＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（6分）综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（2）当a＜﹣1时，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；（3）当a=﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（4）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（7分）（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则，．==…（8分）曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率k=f'（x0）==，…（9分）依题意得：=．化简可得：=，即==．…（11分）设（t＞1），上式化为：，即．…（12分）令，=．因为t＞1，显然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，显然有g（t）＞2恒成立．所以在（1，+∞）内不存在t，使得成立．综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”．…（14分）点此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简评：求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题．27369 6AE9 櫩29240 7238 爸•332196 7DC4 緄x940318 9D7E 鵾F25668 6444 摄038532 9684 隄_37108 90F4 郴T。

2021年高三上学期12月质检数学试卷(文科)含解析

2021年高三上学期12月质检数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集M={0，1，2}，N={x|x2+x﹣2≤0}，则M∩N=（） A． {1} B． {2} C． {0，1} D． {1，2}2．全称命题：任意x∈R，x2＞0的否定是（）A．任意x∈R，x2≤0 B．存在x∈R，x2＞0C．存在x∈R，x2＜0 D．存在x∈R，x2≤03．若复数i满足z（1+i）=2i，则在复平面内z对应的点的坐标是（） A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）4．等差数列{an }中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a6的值为（）A． 10 B． 9 C． 8 D． 75．已知正数x，y满足，则x+2y的最小值为（） A． 8 B． 4 C． 2 D． 06．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）7．函数y=cos2x的图象可以看作由y=cos2x+sinxcosx的图象（）得到．A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移单位长度 D．向右平移单位长度8．已知直线l，m平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α∥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中真命题是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④9．圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0与直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0（t∈R）的位置关系是（） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能10．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D． 2二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．11．已知向量= ．12．已知若9a=3，log3x=a，则x= ．13．若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值是．14．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆=1的右焦点重合，则P的值为．15．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6c m的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．16．已知向量=（﹣cosA，sinA），=（cosB，sinB），且=，其中A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．（1）求角C的大小；（2）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．17．已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．19．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求m的取值范围．20．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．xx学年山东省滨州市邹平县黄山中学高三（上）12月质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集M={0，1，2}，N={x|x2+x﹣2≤0}，则M∩N=（）A． {1} B． {2} C． {0，1} D． {1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由x2+x﹣2≤0求出集合N，再由交集的运算求出M∩N．解答：解：由x2+x﹣2≤0得，﹣2≤x≤1，则集合N={x|﹣2≤x≤1}，又M={0，1，2}，所以M∩N={0，1}，故选：C．点评：本题考查交集及其运算，以及二次不等式的解法，属于基础题．2．全称命题：任意x∈R，x2＞0的否定是（）A．任意x∈R，x2≤0 B．存在x∈R，x2＞0C．存在x∈R，x2＜0 D．存在x∈R，x2≤0考点：命题的否定．专题：阅读型．分析：欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“任意”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．解答：解：命题：任意x∈R，x2＞0的否定是：存在x∈R，x2≤0．故选D．点评：这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．3．若复数i满足z（1+i）=2i，则在复平面内z对应的点的坐标是（）A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知等式两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简，则答案可求．解答：解：由z（1+i）=2i，得．∴在复平面内z对应的点的坐标是（1，1）．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a6的值为（）A． 10 B． 9 C． 8 D． 7考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：依题意，利用等差数列的性质，可知a3+a6+a9=27，再利用等差中项的性质可得答案．解答：解：∵等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，∴a3+a6+a9=27，∴3a6=27，∴a6=9，故选：B．点评：本题考查等差数列的性质，求得a3+a6+a9=27是关键，属于基础题．5．已知正数x，y满足，则x+2y的最小值为（）A． 8 B． 4 C． 2 D． 0考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：先把x+2y转化成x+2y=（x+2y）•（）展开后利用均值不等式即可求得答案，注意等号成立的条件．解答：解：∵，∴x+2y=（x+2y）•（）=4+≥4+2=8，当且仅当即x=2y=4时等号成立，∴x+2y的最小值为8．故选A．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则．属于中档题．6．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题．分析：函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．解答：解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选B．点评：本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．7．函数y=cos2x的图象可以看作由y=cos2x+sinxcosx的图象（）得到． A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移单位长度 D．向右平移单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用诱导公式化简函数 y=cos2x+sinxcosx的解析式为cos（2x﹣），再根据y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律得出结论．解答：解：由于函数 y=cos2x+sinxcosx==cos（2x﹣），把它的图象向左平移个单位，可得y=cos=cos2x的图象，故选A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．8．已知直线l，m平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α∥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中真命题是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题．分析：在空间中：①由α∥β，且l⊥α，m⊂β，容易得出l⊥m；②由l⊥m，且l⊥α，m⊂β，不一定有α∥β；③由α∥β，且l⊥α，m⊂β，不能得出l∥m；④由l∥m，且l⊥α，m⊂β，可以得出β⊥α．解答：解：①是真命题，因为当α∥β，且l⊥α时，有l⊥β，又m⊂β，∴l⊥m；②是假命题，因为当l⊥m时，由m⊂β，不能得出l⊥β，故不能得α∥β；③是假命题，因为当α∥β时，由l⊥α，得l⊥β，且m⊂β，∴l⊥m，故l∥m错误；④是真命题，因为当l∥m时，由l⊥α，得m⊥α，又m⊂β，∴α⊥β．所以，正确的命题有①④；故选C．点评：本题通过几何符号语言考查了空间中线线，线面，面面之间的平行和垂直关系，是基础题，也是易错题．9．圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0与直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0（t∈R）的位置关系是（） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：观察动直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0（t∈R）可知直线恒过点（1，﹣2），然后判定点（1，﹣2）在圆内，从而可判定直线与圆的位置关系．解答：解：直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0恒过（1，﹣2）而12+（﹣2）2﹣2×1+4×（﹣2）﹣4=﹣9＜0∴点（1，﹣2）在圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0内则直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0与圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交故选C．点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定，解题的关键找出直线恒过的定点，属于基础题．10．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D． 2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题设条件，先设∠B2F1B1=60°，求出双曲线的离心率．再设∠F1B2F2=60°，求出双曲线的离心率．解答：解：设双曲线C的焦点坐标是F1和F2，虚轴两个端点是B1和B2，则四边形F1B1F2B2为菱形．若∠B2F1B1=60°，则∠B2F1F2=30°．由勾股定理可知c=b，∴a=b，故双曲线C的离心率为e==．若∠F1B2F2=60°，则∠F1B2B1=30°，由勾股定理可知b=c，不满足c＞b，所以不成立．综上所述，双曲线C的离心率为．故选：C．点评：解题时应该分∠B2F1B1=60°和∠F1B2F2=60°两种情况求出双曲线的离心率．解题时要注意a，b，c中c最大．二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．11．已知向量= ﹣3 ．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：由已知中三个向量坐标，利用向量线性运算可得的坐标，进而根据两个向量垂直的数量积为0，构造关于k的方程，解方程可得k值．解答：解：∵，∴=（，3）∵∴k+3=0解得k=﹣3故答案为：﹣3点评：本题考查的知识点是数量积判断两个向量的垂直关系，其中熟练掌握两个向量垂直向量积为0是关键．12．已知若9a=3，log3x=a，则x= ．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：利用已知条件求出a，然后利用对数的运算法则求解即可．解答：解：9a=3，∴，∴log3x=a=，解得x=．故答案为：．点评：本题考查指数函数以及对数函数的运算法则的应用，函数的零点的求法，基本知识的考查．13．若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值是11 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y得y=，平移直线y=，当直线y=经过点A时，对应的直线的截距最大，此时z也最大，由，解得，即A（2，3），此时z=2+3×3=11，故答案为：11点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．14．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆=1的右焦点重合，则P的值为 4 ．考点：椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据椭圆方程求出其右焦点的坐标，在于抛物线的性质可确定p的值．解答：解：椭圆=1的右焦点为（2，0），所以抛物线y2=2px的焦点为（2，0），则p=4，故答案为：4．点评：本题主要考查椭圆的简单性质和抛物线的简单性质，基本知识的考查．15．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6c m的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故答案为：点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．16．已知向量=（﹣cosA，sinA），=（cosB，sinB），且=，其中A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．（1）求角C的大小；（2）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（1）由两向量的坐标以及平面向量的数量积运算法则化简已知等式，求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用三角形面积公式列出关系式，把b，sinC以及已知面积代入求出a的值，再利用余弦定理即可求出c的值即可．解答：解：（1）∵向量=（﹣cosA，sinA），=（cosB，sinB），且=，∴﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣cos（A+B）=cosC=，∵C为三角形内角，∴C=；（2）∵b=4，sinC=，△ABC的面积为6，∴×4a×=6，即a=3，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=18+16﹣24=10，则c=．点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项；（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．解答：解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{a n}是递增的等差数列，故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，故a n=2+（n﹣2）×=n+1，（2）设数列{}的前n项和为S n，S n=，①S n=，②①﹣②得S n==，解得S n==2﹣．点评：本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，利用三角形中位线的性质，可知EF∥PA，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）先证明CD⊥平面PAD，可得CD⊥PA，再证明PA⊥PD，可得PA⊥平面PCD，从而可得平面PAB⊥平面PCD．解答：证明：（1）连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在△CPA中，EF∥PA，…（2分）∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD…（6分）（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，所以，CD⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA又，所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD又CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD，又PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD…（12分）点评：本题考查线面平行的判定，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求m的取值范围．考点：函数的单调性与导数的关系；导数的几何意义．专题：计算题．分析：（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知⊆（﹣∝，﹣2]∪∵函数f（x）在区间上单调递增∴⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝）∴m≥0或m+1≤﹣2∴m≥0或m≤﹣3点评：注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率；直线垂直的充要条件是斜率之积为﹣1．20．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：（1）依题意可设椭圆方程为，由题设解得a2=3，故所求椭圆的方程为．（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推导出m的取值范围．解答：解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设解得a2=3故所求椭圆的方程为；（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①∴从而∴又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，则即2m=3k2+1②把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得解得．故所求m的取范围是（）．点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．37064 90C8 郈35640 8B38 謸•S'6 ~B|22692 58A4 墤R€J。

2021年高三上学期12月联考试题数学含答案

2021年高三上学期12月联考试题数学含答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{1,3},{0,1,},{0,1,3},A B a A B a ==⋃==则 ▲ ．2．如果复数为纯虚数，则= ▲ ． 3．如右图程序运行的结果是 ▲ ．4．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞（如右图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是 ▲ ．5．甲､乙两个样本数据的茎叶图（如右图），则甲､乙两样本方差中较小的一个方差是 ▲ ． 6．已知三个球的半径、、满足，记它们的表面积分别为、、，若，则 ▲ ．7．经过函数上一点引切线与轴、轴分别交于点和点，为坐标原点,记的面积为,则= ▲ ． 8．函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的图象如右图所示，若，则= ▲ ．9．在△ABC 中，所对边的长分别为a ，b ，c ．已知a ＋2c ＝2b ，sinB ＝2sinC ，则＝ ▲ ．10．如右图，线段的长度为，点分别在轴的正半轴和轴的正半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作等边三角形，为坐标原点，则的取值范围是 ▲ ．11．已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是 ▲ ． 12．已知函数，则不等式的解集为 ▲ ．(第10题图 )BO CAy x(第4题图 )(第8题图 )（第3题WhileEnd WhilePrint b(第5题图)13．集合{}1007*(,)(1)(2)()6,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈，则集合中的元素个数为 ▲ ． 14．实数，满足如果它们的平方组成公差的等差数列，当取最小值时，= ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点的坐标为，点的坐标为，其中，设（为坐标原点）. （Ⅰ）若，为的内角，当时，求的大小；（Ⅱ）记函数的值域为集合，不等式的解集为集合.当时，求实数的最大值.16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形．求证：（Ⅰ）DE ∥平面ABC 1；（Ⅱ）B 1C ⊥DE ．17．（本小题满分14分）某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求总量（万吨）与的函数关系为，若区域外前4个月的需求总量为20万吨．（Ⅰ）试求出当第个月的石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；（Ⅱ）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆：的离心率为，且右焦点F 到左准线l 的距ABCDA 1B 1C 1E离为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）（1）设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为，当为定值时求的值；（2）在（1）的条件下，当两条切线分别交椭圆于时，试探究是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由． 19．（本小题满分16分）设函数．（Ⅰ）若，函数在的值域为，求函数的零点；（Ⅱ）若，，．（1）对任意的,恒成立, 求实数的最小值； (2)令,若存在使得,求实数的取值范围.20．（本小题满分16分）已知数列为等差数列，，的前和为，数列为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的恒成立.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）是否存在非零整数，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数k ，使成等比数列，若数列的公差为d ，求d 的所有可能取值之和．高三数学附加题 xx.12.1821．（选修4－2 矩阵与变换）（本小题满分10分）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．22．（选修4－4 坐标系与参数方程）（本小题满分10分）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点P 的直角坐标.23．（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x ，y ．记表示的整数部分，如：，设为随机变量，．（Ⅰ）求概率；（Ⅱ）求的分布列，并求其数学期望．24．（本小题满分10分）数学运算中，常用符号来表示算式，如=，其中，. （Ⅰ）若，，，…，成等差数列，且，公差，求证：；（Ⅱ）若，，记，且不等式对于恒成立，求实数的取值范围.高三数学质量检测参考答案 xx.12.18一、填空题：1． 3 2． 3． 96 4． 5．23 6． 7． 8． 9．2410． 11． 12． 13． xx 14．二、解答题：15．解：(Ⅰ)由题意()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+=⋅=32sin 22cos 32sin cos 3sin πωωx x x x x ON OM x f 3分当时，，75130,2,2333366A A A πππππππ<<∴<+<∴+=或， . ……7分（Ⅱ）由()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=3sin 2cos 3sin πωωωx x x x f 得，的值域， ……10分又的解为，故要使恒成立，只需，所以的最大值为2. ……14分16．解：（Ⅰ）如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ．又因为D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，所以DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因为DF 平面ABC 1，AC 1平面ABC 1，故DF ∥平面ABC 1． ……3分同理，EF ∥平面ABC 1．因为DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线，所以平面DEF ∥平面ABC 1． ……5分因为DE 平面DEF ，所以DE ∥平面ABC 1． ……7分（Ⅱ）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形，故B 1C ⊥BC 1． ……9分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线，所以B 1C ⊥平面ABC 1． ……12分而平面DEF ∥平面ABC 1，所以B 1C ⊥平面DEF ，因为DE 平面DEF ，所以B 1C ⊥DE ． ……14分 17．解：（Ⅰ）由条件得，所以 2分，（）． ……4分（Ⅱ）因为，所以()*100116,1030mx x x x mx x ⎧+--≥⎪≤≤∈⎨+--≤⎪⎩N 恒成立， ……6分()*101116,201m x x x m x ⎧≥-++⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤++⎪⎩N 恒成立， ……8分设，则：，恒成立， ……10分由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得（时取等号），恒成立得（时取等号）． ……13分答：的取值范围是． ……14分 18．解：（Ⅰ）依题意，，解得则，所以椭圆的方程为． ……4分（Ⅱ）（1）依题意，两条切线方程分别为，11由,化简得，同理．所以是方程的两个不相等的实数根， . ……7分因为，所以，所以.据,为定值得：. ……10分（2）由（1）得，，设,则,所以，因为，所以， ……13分所以，所以，，所以． ……16分 19．解：（Ⅰ）当时，① 若，则恒成立，函数单调递减，又函数在的值域为，，此方程无解．……2分② 若，则．（i ）若，即时，，此方程组无解；（ii ），即时，，所以c=3；（iii ），即时，，此方程无解．由①、②可得，c=3．的零点为：． ……6分 (Ⅱ) 由，得：，， ……7分又，对任意的,恒成立．当时，， ……8分又时，对任意的,))2221)12121x x x ⎡⎤-+=-⎣⎦，即时，，实数的最小值是1，即． ……10分 (Ⅲ) 法1：由题意可知，在上恒成立，在上恒成立； ……12分由(Ⅱ)得：在上恒成立， ……13分．又因为当时,，)111)(1)1x x -+≤≤-+．()()()()11)13(1)13(1136136+--++-≤≤+-++x x x x x ϕ，即，，，……15分 .. ……16分法2：]21)1(21[21)1(212)(2222+-++=+-++=x x x x x ϕ，……12分设，则，由下图得：， ∴，，． ……16分20．解：（Ⅰ）法1：设数列的公差为，数列的公比为.因为2112233(1)24()n n n a b a b a b a b n n +*+++⋅⋅⋅+=-⋅+∈N令分别得，，，又所以即，得或，经检验符合题意，不合题意，舍去.所以. ……4分法2：因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ①对任意的恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（） ②①②得，又，也符合上式，所以由于为等差数列，令，则，因为为等比数列，则（为常数），即2(2)(22)0qk k n bq kq b k n qb -+--+-=对于恒成立，，所以．又，所以，故． ……4分（Ⅱ）由，得，设，则不等式等价于．∵，且，∴，数列单调递增. ……6分假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则 ①当为奇数时，得； ② 当为偶数时，得，即．综上，，由是非零整数，可知存在满足条件． ……9分（Ⅲ）易知d =0，成立． ……10分当d>0时，3911382014201438c c d c d =+=⇒=-，，[][]22391(201438)2014(39)2014,38(53)2014(39)20142014,k c c c d k d d k d =⇒-+-=⇒-+-=⨯()()53201439532014d k d ⇒-+-=⨯⎡⎤⎣⎦，()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k ⇒--+-=⇒-=-，395353107(53)395377kd d k d k d ⇒-=-⨯⇒-=-⨯， ……12分*39537739(53)5339537753385338393953535353d d k N d d d d-⨯-+⨯-⨯⨯⨯===-=+∈----，又120143838(53)0530c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩，，，，所以公差d 的所有可能取值之和为．……16分高三数学附加题试卷参考答案 xx.12.1821．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6； ……3分由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2． ……6分解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12 ． ……10分 22．解：因为直线的极坐标方程为，所以直线的普通方程为， 3分又因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的直角坐标方程为， ……6分联立解方程组得或．根据的范围应舍去,故点的直角坐标为． ……10分23．解：（Ⅰ）依题意，实数对（x ，y ）共有16种，使的实数对（x ，y ）有以下6种：，所以； ……3分（Ⅱ）随机变量的所有取值为0，1，2，3，4. 有以下6种：，所以；有以下2种：，所以；有以下1种：，所以；有以下1种：，所以； ……7分所以的分布列为：0 1 2 34()331111701234888161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ……9分答：的数学期望为． ……10分24．解：（Ⅰ）由已知得，等差数列的通项公式为，则01120()(2)n nnn n n n n a C C C C C nC =+++++++因为，所以，所以=. ……4分（Ⅱ）令，则223202(14)22222421n nnn i i a =-=++++==⋅--∑，令，则，所以， ……6分根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n nn nn n n n d C C C C C =--+---++--01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+精品文档，所以，……8分将、代入不等式得，，当为偶数时，，所以；当为奇数时，，所以；综上所述，所以实数的取值范围是. ……10分I29428 72F4 狴gs22730 58CA 壊$22368 5760 坠H.39082 98AA 颪20582 5066 偦a40059 9C7B 鱻U实用文档。

2021届高三新高考数学12月模拟评估卷一(解析word版)

2021年高三新高考数学12月模拟评估卷（一）注意事项：1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1.设集合A={x|1⩽x⩽3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=()A. {x|2<x⩽3}B. {x|2⩽x⩽3}C. {x|1⩽x<4}D. {x|1<x<4.}【答案】C【解析】【分析】本题考查并集运算，属于容易题．直接用并集定义可得结果．【解答】解：因为集合A={x|1⩽x⩽3}，B={x|2<x<4}．2. 在四边形ABCD 中，若DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则这个四边形是( ) A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 等腰梯形【答案】D 【解析】【分析】本题考查了向量的共线、等腰梯形的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用向量的共线、等腰梯形的定义即可判断出结论．【解答】解：∵DC ⃗⃗⃗⃗⃗=25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴DC//AB ，DC ≠AB ，AD =BC ．则这个四边形是等腰梯形．故选D ．3. (1+i)(2+i)=( )A. 1−iB. 1+3iC. 3+iD. 3+3i【答案】B 【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．直接计算即可．【解答】解：原式=2−1+3i =1+3i ．故选：B ．4. 下列命题中为假命题．．．的是 A. 垂直于同一直线的两个平面平行 B. 垂直于同一平面的两条直线平行 C. 平行于同一直线的两条直线平行D. 平行于同一平面的两条直线平行【解析】【分析】本题考查空间线面和线线、面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．由面面平行的判定定理可判断A；由线面垂直的性质定理；可判断B，由平行公理可判断C；由线面平行的性质可判断D．【解答】解：由面面平行的判定定理可得，垂直于同一直线的两个平面平行，故A正确；由线面垂直的性质定理可得，垂直于同一平面的两条直线平行，故B正确；由平行公理可得，平行于同一直线的两条直线平行，故C正确；由线面平行的性质可得，平行于同一平面的两条直线可能平行或相交或异面，故D错误．故选D．5.某校运动会上，高一(1)班共有28名同学参加比赛，其中有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有2人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田径比赛和球类比赛的人数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：设同时参加田径比赛和球类比赛的人数为x，只参加田径比赛的人数为y，只参加球类比赛的人数为z，作出维恩图，由维恩图，得：{3+x+y=82+x+z=1410+3+2+x+y+z=28，解得x=4，y=1，z=8．∴同时参加田径比赛和球类比赛的人数为4．故选：D．设同时参加田径比赛和球类比赛的人数为x，只参加田径比赛的人数为y，只参加球类比赛的人数为z，作出维恩图，由维恩图能求出同时参加田径比赛和球类比赛的人数．本题考查同时参加田径比赛和球类比赛的人数的求法，考查维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为()A. 12B. 13C. 14D. 16【答案】B【解析】解：所有的坐法共有6种，即甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，乙正好坐中间的坐法有2种，故乙正好坐中间的概率为26=13，故选B．所有的坐法共有6种，乙正好坐中间的坐法有2种，由此可得乙正好坐中间的概率．本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．7.已知函数f(x)=2a x+3log a x(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为3log a2+12,则a的值为()A. 12B. 13C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】本题主要考查对数函数的值域问题．解决对数函数的题目时，一定要讨论其底数和1的大小关系，属于中档题．先对a>1以及0<a<1分别求出其最大值和最小值，可知最大值与最小值之和都是f(1)+f(2)，再结合最大值与最小值之和为3log a2+12，即可求a的值．【解答】解：因为函数f(x)=2a x+3log a x(a>0且a≠1)，所以当a>1时，函数f(x)在[1,2]上递增，最大值为f(2)=2a2+3log a2；最小值为f(1)=2a1+3log a1，当0<a<1时，函数f(x)在[1,2]上递减，最大值为f(1)=2a1+3log a1，最小值为f(2)=2a2+3log a2；故最大值和最小值的和为：f(1)+f(2)=2a2+3log a2+2a1+3log a1=3log a2+12．∴2a2+2a−12=0⇒a=2或a=−3(舍)．故选C．8.函数y=x2+ln|x|的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题．先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断．【解答】解：∵f(−x)=x2+ln|x|=f(x)，∴y=f(x)为偶函数，∴y=f(x)的图象关于y轴对称，故排除B，C，当x→0时，y→−∞，故排除D，或者根据，当x>0时，y=x2+lnx为增函数，故排除D，故选A．每小题5分，共20分.在每小题给出的选二、多项选择题：（本题共4小题,项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9.下列说法中正确的是()A. 对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(x i,y i)(i=1,2,⋯,8)，其线性回归方程是ŷ=13x+â，且x1+x2+x3+...+x8=2(y1+y2+y3+...+y8)=6，则实数â的值是18B. 正态分布N(1,9)在区间(−1,0)和(2,3)上取值的概率相等C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D. 若一组数据1，a，2，3的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2【答案】ABD【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及正态分布，线性相关以及平均数、中位数和众数，回归直线方程，是基本知识的考查．属于较易题．根据正态分布，线性相关以及平均数、中位数和众数的基本知识判断选项的正误即可．【解答】解：由x1+x2+x3+...+x8=2(y1+y2+y3+...+y8)=6，则x = 68 = 34 , y = 38 ,这组数据的样本中心点是( 34 , 38 )，把样本中心点代入回归直线方程ŷ=13x+â得： 3 8 = 1 3 × 34 +â，解得â= 1 8，故A正确；正态总体N(1,9)在区间(−1,0)和(2,3)上取值的概率相等，满足正态分布的性质，故B正确；若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1，也可以是−1，所以C不正确；若一组数据1、a、2、3的平均数是2，则1+a+2+34=2，解得a=2，则易得到这组数据的众数和中位数都是2，故D正确；故选ABD．10. 以下四个命题表述正确的是( )A. x 2+y 2+Dx +Ey +F =0一定表示圆;B. 直线(3+m)x +4y −3+3m =0(m ∈R)恒过定点(−3,−3);C. 圆x 2+y 2=4上有且仅有3个点到直线l:x −y +√2=0的距离都等于1;D. 圆C 1:x 2+y 2+2x =0与圆C 2:x 2+y 2−4x −8y +4=0恰有三条公切线．【答案】CD 【解析】【试题解析】【分析】本题考查圆的一般方程、直线过定点、直线和圆的关系以及圆与圆的公切线条数，熟练掌握圆与直线、圆与圆相关定理是解题的关键．当D 2+E 2−4F >0时，x 2+y 2+Dx +Ey +F =0表示圆可判断A;确定直线过定点的坐标可判断B ，确定圆心(0,0)到直线l 的距离等于半径的一半可判断C ，判断圆C 1与圆C 2外切可判断D ．【解答】解：A.当D 2+E 2−4F >0时，x 2+y 2+Dx +Ey +F =0表示圆，故A 错误； B .(3+m)x +4y −3+3m =0化为(−x −3)m =3x +4y −3，由{−x −3=03x +4y −3=0得{x =−3y =3,∴直线(3+m)x +4y −3+3m =0(m ∈R)恒过定点(−3,3)，故B 错误 ; C .圆x 2+y 2=4的圆心为(0,0)，半径为2，圆心(0,0)到直线l:x −y +√2=0的距离为√2|√2=1，∴圆心(0,0)到直线l 的距离等于半径的一半，∴圆x 2+y 2=4上有且仅有3个点到直线l:x −y +√2=0的距离都等于1，故C 正确； D .x 2+y 2+2x =0化为(x +1)2+y 2=1，x 2+y 2−4x −8y +4=0化为(x −2)2+(y −4)2=16，圆C 1的圆心为：(−1,0)，半径r 1=1；圆C 2的圆心为：(2,4)，半径r 2=4，圆心距C 1C 2=√(2+1)2+(4−0)2=5=r 1+r 2，∴圆C 1与圆C 2外切，∴圆C 1:x 2+y 2+2x =0与圆C 2:x 2+y 2−4x −8y +4=0恰有三条公切线，故D 正确．故选CD ．11.对于函数f(x)=2sin(2x−π6)(x∈R)，下列命题正确的是()A. f(x)图像关于直线x=−π6对称B. 将f(x)图像的横坐标伸长2倍，纵坐标不变，得到y=2sin(2x−π6)的图像C. f(x)在(π6,π2)上单调递增D. f(x)的表达式可改写成y=2cos(2x+π3)【答案】AB【解析】【分析】本题考查了诱导公式，正余弦函数的图象与性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质．因为，故A正确；利用函数的伸缩变换得出B正确；求出函数的增区间得出C错误；利用诱导公式得出D错误．【解答】解：，故A正确；将f(x)图象的横坐标伸长2倍，纵坐标不变，得到y=2sin(x−π6)的图象，故B正确；由得f(x)在单调递增，所以f(x)不单调，故C错误；，故D错误．故选AB．12.已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A. +B. >C. a+b−2D. +【答案】ABD【解析】【分析】本题考查利用不等式比较大小，函数性质的应用，基本不等式的应用，属于中档题．结合各选项依次判断即可．【解答】解：因为a >0，b >0，且a +b =1，所以a 2+b 2=a 2+(1−a)2=2a 2−2a +1=2(a −12)2+12≥12，故A 正确；由已知得0<a <1，0<b <1，所以−1<a −b <1，所以2a−b >2−1=12，故B 正确；log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2(a+b)24=−2，当且仅当a =b 时，等号成立，故C 错误；(√a +√b)2=a +b +2√ab ≤1+2√(a+b)24=2，则√a +√b ≤√2，当且仅当a =b 时，等号成立，故D 正确，故选ABD ．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 如图，在三棱锥P −ABC 的平面展开图中，AC =1，AB =AD =√3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos∠FCB =__________．【答案】−14【解析】【分析】本题考查利用正余弦定理解三角形，属于中档题．现在△ACE中由余弦定理求得CE，则CE=CF=1，再在△ABC中由勾股定理求得BC，最后在△BCF中由余弦定理即可得解．【解答】解：由已知得BD=√2AB=√6，∵D、E、F重合于一点，∴AE=AD=√3，BF=BD=√6，∴△ACE中，由余弦定理得，∴CE=CF=1，BC²=AC²+AB²，BC=2，∴在△BCF中，由余弦定理得．故答案为．14. O 为坐标原点，F 为抛物线C:y 2=4√2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|=4√2，则△POF 的面积为．【答案】2√3 【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的概念与标准方程、有关三角形面积计算等问题，属于中档题．解题时先求得焦准距p ，再由抛物线定义求得点P 的横坐标、点P 坐标，最后根据三角形面积公式求解即可．【解答】解：∵抛物线C 的方程为y 2=4√2x ，∴2p =4√2，可得p2=√2，则焦点F(√2,0)．设P(m,n)，根据抛物线的定义，得|PF|=m +p2=4√2，即m +√2=4√2，解得m =3√2．由点P 在抛物线C 上，得n 2=4√2×3√2=24， ∴n =±2√6．∵|OF|=√2，∴△POF 的面积为S =12|OF|×|n|=2√3．15. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=3，S 4=10，则∑1S kn k=1=______．【答案】2nn+1 【解析】【分析】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力，属于中档题．利用已知条件求出等差数列的前n 项和，然后化简所求的表达式，求解即可．【解析】解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=3，S 4=10，由S 4=4(a 1+a 4)2=2(a 2+a 3)=10，可得a 2=2，等差数列{a n }的公差为1，首项为1，所以a n =n, S n =n(n+1)2，1S n=2n(n+1)=2(1n −1n+1)，则∑1S kn k=1=2[1−12+12−13+13−14+⋯+1n −1n+1]=2(1−1n+1)=2nn+1．故答案为2nn+1．16. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan∠ODC =35，BH//DG ，EF =12cm ，DE =2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________cm 2．【答案】52π+4 【解析】【分析】本题考查平面图形中的边角关系，结合题意确立对应的角和边的长度以及比例关系，最后算出大的扇形面积和三角形面积减去小半圆的面积即可求解，是中档题．【解答】解：设上面的大圆弧的半径为x ，由题意中的长度关系易知∠AGD =45∘ ，同理∠AHO =45∘，可得▵AOH 为等腰直角三角形，可得OJ =AJ =√22x ，OL =JK =5−√22x ，DL =DK −LK =DK −OJ =7−√22x ，其中tan∠ODC =OL DL =35 ，可得5−√22x 7−√22x=35，解得x =2√2 ，，故答案为52π+4．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a >b ，a =5，c =6，sinB =35． (Ⅰ)求b 和sin A 的值； (Ⅱ)求sin(2A +π4)的值．【解析】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，同角三角函数关系，考查倍角公式的应用，属于中档题．(Ⅰ)由已知结合同角三角函数基本关系式求得cos B ，再由余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin A ；(Ⅱ)由同角三角函数基本关系式求得cos A ，再由倍角公式求得sin2A ，cos2A ，展开两角和的正弦得答案．【答案】解：(Ⅰ)在△ABC 中，∵a >b ，故由sinB =35，可得cosB =45．由已知及余弦定理，有b2=a2+c2−2accosB=25+36−2×5×6×45=13，∴b=√13．由正弦定理asinA =bsinB，得sinA=asinBb=3√1313．∴b=√13，sinA=3√1313；(Ⅱ)由(Ⅰ)及a<c，得cosA=2√1313，∴sin2A=2sinAcosA=1213，cos2A=1−2sin2A=−513．故sin(2A+π4)=sin2Acosπ4+cos2Asinπ4=1213×√22−513×√22=7√226．18.等比数列{a n}的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足a4=4a32．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n+1(1−a n)(1−a n+1)，n∈N∗，求数列{b n}的前n项和S n．【解析】本题考查了“裂项求和”方法、等差数列的性质，等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设等比数列{a n}的公比为q>0，由2a5，a4，4a6成等差数列，可得2a4=2a5+4a6，化为：2q2+q−1=0，q>0，解得q.又满足a4=4a32，化为：1=4a1q，解得a1，可得a n；(2)b n=a n+1(1−a n)(1−a n+1)=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，n∈N∗，利用“裂项求和”方法即可得出．【答案】解：(1)设等比数列{a n}的公比为q>0，∵2a5，a4，4a6成等差数列，∴2a4=2a5+4a6，∴2a4=2a4(q+2q2)，化为：2q2+q−1=0，q>0，解得q=12，又满足a4=4a32，∴a1q3=4(a1q2)2，化为：1=4a1q，解得a1=12，∴a n=(12)n(n∈N∗)；(2)b n=a n+1(1−a n)(1−a n+1)=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，n∈N∗，∴数列{b n}的前n项和S n=(12−1−122−1)+(122−1−123−1)+⋯+(12n−1−12n+1−1)=1−12n+1−1，n∈N∗．19.绿色出行越来越受到社会的关注，越来越多的消费者对新能源汽车感兴趣.但是消费者比较关心的问题是汽车的续驶里程.某研究小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程)，被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50,100),[100,150),[150,200),[200,250),[250,300]，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中m的值；(2)求本次调查中续驶里程在[200,300]的车辆数；(3)若从续驶里程在[200,300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车续驶里程在[200,250]的概率．【解析】本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距．(1)利用小矩形的面积和为1，求得m值；(2)求得续驶里程在[200,300]的车辆的频率，再利用频数=频率×样本容量求车辆数；(3)利用排列组合，分别求得5辆中随机抽取2辆车的抽法种数与其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200,250)抽法种数，根据古典概型的概率公式计算．【答案】解：(1)由直方图可得：(0.002+0.005+0.008+m +0.002)×50=1，解得m =0.003；(2)由题意知续驶里程在[200,300]的车辆数为20×(0.003×50+0.002×50)=5； (3)由题意知，续驶里程在[200,250)的车辆数为3，设为a ，b ，c ，续驶里程在[250,300]的车辆数为2，设为d ，e ，共有10个基本事件：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，设“其中恰有一辆车续驶里程在[200,250]”为事件A ，则事件A 包含6个基本事件：ad ，ae ，bd ，be ，cd ，ce ，则P(A)=610=35．20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA =PD =√6，AB =4． (1)求证：M 为PB 的中点； (2)求二面角B −PD −A 的大小；(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．【解析】本题考查线面角与面面角的求法，考查利用空间向量求线面和面面的夹角，属中档题．(1)设AC ∩BD =O ，则O 为BD 的中点，连接OM ，利用线面平行的性质证明OM//PD ，再由平行线截线段成比例可得M 为PB 的中点；(2)取AD 中点G ，可得PG ⊥AD ，再由面面垂直的性质可得PG ⊥平面ABCD ，连接OG ，则PG ⊥OG ，再证明OG ⊥AD.以G 为坐标原点，分别以GD 、GO 、GP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBD 与平面PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B −PD −A 的大小；(3)求出CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面PBD 的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．【答案】(1)证明：如图，设AC ∩BD =O ， ∵ABCD 为正方形，∴O 为BD 的中点，连接OM ，∵PD//平面MAC ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面MAC =OM ， ∴PD//OM ，则BOBD =BM BP，即M 为PB 的中点； (2)解：取AD 中点G ， ∵PA =PD ，∴PG ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PG ⊂平面PAD ， ∴PG ⊥平面ABCD ，连接OG ，∵OG ⊂平面ABCD ，则PG ⊥OG ，由G 是AD 的中点，O 是AC 的中点，可得OG//DC ，又DC ⊥AD ，则OG ⊥AD ．以G 为坐标原点，分别以GD 、GO 、GP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系G −xyz ，由PA =PD =√6，AB =4，得D(2,0，0)，A(−2,0，0)，P(0,0，√2)，C(2,4，0)，B(−2,4，0)，M(−1,2，√22)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,√2)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,4,0)．设平面PBD 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则由{m ⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−2x +√2z =0−4x +4y =0，取z =√2，得m ⃗⃗⃗ =(1,1,√2)．取平面PAD 的一个法向量为n ⃗ =(0,1,0)． ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=12×1=12，由图知二面角B −PD −A 是锐二面角， ∴二面角B −PD −A 的大小为60°；(3)解：CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−2,√22)，平面BDP 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,1,√2)．∴直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为|cos <CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ || =√9+4+12×2=2√69．21. 设椭圆的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12,已知A 是抛物线的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．(Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程；(Ⅱ)设l 上两点P,Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B(B 异于点A)，直线BQ 与x 轴相交于点D ，若△APD 的面积为√62，求直线AP 的方程．【解析】本题考查椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于较难题． (Ⅰ)根据椭圆和抛物线的性质列方程组求出a ，b ，p 即可得出方程．(Ⅱ)设AP 方程为x =my +1(m ≠0)，联立方程组得出B ，P ，Q 三点坐标，从而得出直线BQ 的方程，解出D 点坐标，根据三角形的面积列方程解出m 即可得出答案．【答案】解：(Ⅰ)设F 的坐标为(−c,0)，依题意可得{ca =12a =p2a −c =12,解得a =1，c =12，p =2，于是b 2=a 2−c 2=34，所以椭圆的方程为x 2+4y 23=1，抛物线的方程为y 2=4x ．(Ⅱ)直线l 的方程为x =−1，设直线AP 的方程为x =my +1(m ≠0)，联立方程组{x =−1x =my +1, 解得点P(−1,−2m )，故Q(−1,2m )，联立方程组{x =my +1x 2+4y 23=1, 消去x ，整理得(3m 2+4)y 2+6my =0，解得y =0，或y =−6m3m 2+4， ∴B(−3m 2+43m 2+4,−6m3m 2+4)，∴直线BQ 的方程为 (−6m 3m +4−2m)(x +1)−(−3m 2+43m +4+1)(y −2m)=0，令y =0，解得x =2−3m 23m 2+2，故D (2−3m 23m 2+2,0)，∴|AD|=1−2−3m 23m 2+2=6m 23m 2+2，又∵△APD 的面积为√62，∴12×6m 23m 2+2×2|m|=√62，整理得3m 2−2√6|m|+2=0，解得|m|=√63，∴m =±√63，∴直线AP 的方程为3x +√6y −3=0，或3x −√6y −3=0．22. 设函数f(x)=[ax 2−(3a +1)x +3a +2]e x ．(Ⅰ)若曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a ； (Ⅱ)若f(x)在x =1处取得极小值，求a 的取值范围．【解析】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．(Ⅰ)求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得f′(2)=0，解方程可得a 的值； (Ⅱ)求得f(x)的导数，注意分解因式，讨论a =0，a =1，a >1，0<a <1，a <0，由极小值的定义，即可得到所求a 的范围．【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=[ax 2−(3a +1)x +3a +2]e x 的导数为 f′(x)=[ax 2−(a +1)x +1]e x ．曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，可得(4a −2a −2+1)e 2=0，解得a =12；(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=[ax 2−(a +1)x +1]e x =(x −1)(ax −1)e x ，若a =0，则x <1时，f′(x)>0，f(x)递增； x >1时，f′(x)<0，f(x)递减．所以x =1处f(x)取得极大值，不符题意；若a =1，则f′(x)=(x −1)2e x ≥0，f(x)递增，无极值；若a >1，则1a <1，f(x)在(1a ,1)递减；在(1,+∞)递增，可得f(x)在x=1处取得极小值；若0<a<1，则1a >1，f(x)在(−∞,1)递增；在(1,1a)递减，可得f(x)在x=1处取得极大值，不符题意；若a<0，则1a <1，f(x)在(1a,1)递增；在(1,+∞)递减，可得f(x)在x=1处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是(1,+∞)．。

2021年高三上学期12月月考试题数学含答案

F E 2021年高三上学期12月月考试题数学含答案第I 卷(必做题共160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上．1．已知复数，则z 的实部为＿＿▲＿＿．2．如图是一次青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则的大小关系是______▲_______(填，，)3．命题是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）．4．若长方体相邻三个侧面的面积分别是，，，则该长方体的体积是 ▲ ．5．已知圆：，若直线与圆相切，且切点在第四象限，则＿▲＿＿＿．6．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线斜率为 ▲ ．7．函数的图像可由函数的图像至少向右平移___▲______个单位长度得到．8．已知直线平面且，，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是_____▲_____________．9．已知点满足则点构成的图形的面积为＿＿▲＿＿．10．以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是 ___▲___．11．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为 ▲ ．12．对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则＿▲＿＿＿＿．13．若实数，满足，则当取得最大值时，的值为 ▲ ．14．已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则___▲___.二、解答题：(本大题6小题，共90分)15．(本题满分14分)在锐角中,角、、所对的边长分别为、、向量,且.(1)求角的大小;(2)若面积为,,求的值.16．(本题满分14分)在四棱锥中，底面是正方形，为的中点． (1)求证：∥平面；(2)若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．17．(本题满分14分)如图所示，把一些长度均为4米（PA＋PB＝4米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为，AB边上的高PH为y，则，若k越大，则“舒适感”越好。

(山东卷)2021届高三数学上学期12月一轮复习联考试题(四)

（山东卷）2021届高三数学上学期12月一轮复习联考试题（四）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{x|>0}，则A∩B＝A.{0，1，2}B.{－2，－1，2}C.{－2，－1，1}D.{0，1}2.已知复数z满足z＝，其中i是虚数单位，则z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若sinα＋cos(π－α)＝，α∈(0，π)，则sin(α＋)的值为A. B.－ C.－ D.4.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若2S3＝a4＋1，2S2＝a3＋1，则公比q＝A.－2B.－1C.3D.25.若a，b是两个不共线的向量，已知＝a－2b，＝2a＋kb，＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k＝A.－1B.1C.D.26.研究药物、毒物、及其代谢物在机体内的吸收、分布、代谢和排泄的动态过程及这些过程与药理反应间的定量规律的学科分支称为药物动力学。

为了揭示药物在机体内的动力学规律，通常从给药后的一系列时间采取血样，测定血药浓度，然后对所得到的数据作理论分析。

已知在恒速静脉滴注停止后的血药浓度c(t)随着时间t(单位：h)的变化可以用指数模型c(t)＝C0e －kt描述，假定某药物的消除速率常数k＝0.15(单位：h－1)，初始血药浓度C0＝67.5 mg/L，则该药物在机体内的血药浓度变为22.5 mg/L需要的时间约为(ln3≈1.1)A.2.7hB.4.6hC.7.3hD.10.1h7.高斯(1777－1855)是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一，并享有“数学王子”之称高斯一生的数学成就很多，其中：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[2.3]＝2，[－2.1]＝－3，已知函数f(x)＝2x2－x－2，x∈(0，2)。

山东省新高考质量测评联盟2021届高三数学上学期12月联合调研检测试题含解析

因为方程，即，
即，所以，
正切函数在为单调递增函数，
又由函数，可得，
当和时，，当时，，
且当时，，作出两函数的大致图象，如下列图，
由图象可得，当，函数与的图象有两个交点，
所以D正确.
应当选：ABD.
点拨：利用导数研究函数的单调性〔区间〕的方法：
〔1〕当导函数不等式可解时，解不等式或，求出函数的单调区间；
————
分析：
根据三角函数的定义，求出sinα，利用二倍角公式可得cos2α的值．
解答：由三角函数的定义，r ，
可得：sinα ，
可得：cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×〔〕2 ．
故答案为．
点拨：此题考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于根底题．
14. 假如的展开式中第5项为常数项，如此该常数项为______〔用数字表示〕．
故，
应当选：B.
点拨：思路点睛：对于数列中与取整函数有关的计算问题，可以根据取整函数的性质确定出满足条件的项的个数，从而便于数列和的计算.
二、选择题
9. 新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力．2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如下列图：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．以下关于我国上半年经济数据的说法正确的答案是〔〕
，，如此，又，如此，故D正确.
应当选：BD
12. 函数，如此如下结论正确的答案是〔〕
A. 函数在上单调递减
B. 函数在上有极小值
C. 方程在上只有一个实根
D. 方程在上有两个实根

山东省2021届高三创新联盟数学试题(含答案简析)

2021届山东省创新联盟 2021年数学本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷非选择题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.已知{}{}6453＜＜：，：x x B x x A ≤≤,则()()=⋂⋂⋃B A B A A.(4,5] B.[3,6) C.[4,5) D.(3,6]2.已知i 43i +=z ，则=zA.4B.5C.6D.73.已知在直角坐标系中,等边∆ABC 中A 与原点重合,若AB 的斜率为23,则BC 的斜率为 A.33 B.43 C.53 D. 23 4.农历辛丑牛年将至，全国上下都在为春节的到来做准备.很多同学发现今年的春节在2月中旬，比以往要晚，这便是农历和公历周期不同而导致的.当农历和公历之间的时间差接近一整月时，便会出现“闰月”现象.闰月是一种历法置闰方式，闰月特指农历每2至3年增加的一个月,以协调农历年和回归年的矛盾，防止农历年与四季脱节。

农历以月球绕地球定历法，农历以朔望月的长度29.5306日为一个月的平均值，全年12月，比回归年的365.2422日少10.88天，积以置闰。

所以每三年要闰一个月，每五年闰两个月，每十九年闰七个月，闰月加在某月之后，称为闰某月.已知2012年闰4月、2014年闰9月、2017年闰6月、2020年闰4月，则下一次出现闰月的年份为A.2021年B.2024年C.2022年D.2023年5.已知数列｛n a ｝是等差数列，n S 为数列的前n 项和，且0020212020＜，＞S S ，则 A.010111010＞a a + B.[]1011ax n S S M = C.020212020=+S S D.010111011＞S a6.在平行四边形ABCD 内∆ADF,∆BCE,∆CDG 均为等腰直角三角形.下列说法正确的是 A.=+ B.0=• C.=+ D.0•7.已知)(x f 为奇函数，0＞x 时()1ln +=x x f ，则方程x x ef =)(的零点个数为 A.3 B.4 C.5 D.78.新春将至，在某市的广场上正展出一件棱长为20m 的正方体展品以庆祝新春，并在以展品底面中心为圆心且半径为20m 的圆上设置观光步道，游客只能在观光步道上参观展品.则游客随意走到观光步道的某一位置，能同时看到展品的两个侧面的概率为A.61B.51C.41D.31二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年山东省中学联盟高三(上)大联考数学试卷(12月份)(附答案详解)

2020-2021学年山东省中学联盟高三（上）大联考数学试卷（12月份）一、单选题（本大题共8小题，共24.0分）1. 若集合A ={−3,−1,1，3}，B ={x|x 2−x −6≤0}，则A ∩B =( )A. {−3,−1,1}B. {−1,1，3}C. {−3}D. {3}2. 已知i 是虚数单位，则(1+√3i2i)2在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知向量a ⃗ =(2,3，−4)，b ⃗ =(−3,x ，y)分别是平面α，β的法向量，若α//β，则( ) A. x =92，y =6 B. x =−92，y =6 C. x =−92，y =−6D. x =92，y =−64. 已知圆C ：x 2+y 2+4x −2y −4=0关于直线l ：x −2ay +4=0对称，则原点O到直线l 的距离为( )A. 4√3737B. 1C. 4√55D. √555. “∀x ∈[−2,1]，x 2−2a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. a ≥0B. a ≥1C. a ≥2D. a ≥36. 设p =ln2，q =lg3，则( )A. p −q >pq >p +qB. p −q >p +q >pqC. p +q >pq >p −qD. p +q >p −q >pq7. 已知实数x ，y 满足x +1x +9y +1y =17，其中x >0，y >0，则1x +1y 的最小值为( )A. 116B. 1C. 2D. 168. 正三角形ABC 的内切圆圆心为Q ，点P 为圆Q 上任意一点.若QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m QC ⃗⃗⃗⃗⃗ +n QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n 的取值范围( )A. [−1,1]B. [−12,12]C. [−√22,√22] D. [−√2,√2]二、多选题（本大题共4小题，共12.0分）9. 函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx +1的图象的一个最值点为( )A. (π3,32)B. (5π6,12)C. (5π6,52)D. (4π3,52)10. 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线上任意一点，若双曲线的渐近线方程为√3x ±y =0，焦距为4√2，则下列说法正确的是( )A. 实轴长√2B. 双曲线的离心率为2C. 双曲线的焦点到渐近线的距离为√6D. 存在点P ，使得|F 2P|=111. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，满足f(x −1)=f(x +1)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x.设函数g(x)=f(x)−kx −k ，下列结论成立的是( )A. 函数f(x)的一个周期为2B. f(43)=−23C. 当实数k >−1时，函数g(x)在区间[1,2]上为单调递减函数D. 在区间[−1,3]内，若函数g(x)有4个零点，则实数k 的取值范围是(0,14]12. 棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 是正方形ADD 1A 1(含边界)上的动点，若PB 1与A 1C 垂直，下列结论成立的是( )A. PB 1//平面BC 1DB. 动点P 一定在线段AD 1上C. |PB 1|∈[1,√2]D. PB 1与平面BC 1所成角的正弦值可以是√32三、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 与棱长为√2的正方体所有棱都相切的球的体积为______ ． 14. 近两年，中国移动推动5G 和4G 技术共享、资源共享、覆盖协同、业务协同，充分利用原4G 线路传输资源，并高效建设5G 基站.如图，南北方向的公路l ，城市A 地(看作一点)在公路正东√3km 处，城市B 地(看作一点)在A 北偏东60°方向2km 处，原有移动4G 线路PQ 曲线上任意一点满足到公路l 和到城市A 地距离相等.现要在线路PQ 上一处M 建一座5G 基站，则这座5G 基站到城市A ，B 两地的总距离最短时为______ km ．15. 已知数列{1(2n−1)(2n+3)}的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N ∗，不等式6T n <a 2−a 恒成立，则实数a 的取值范围是______ ．16. 已知函数f(x)=sin(ωx −π6)(ω>0)在[0,π]有且仅有3个零点，则函数f(x)在[0,π]上存在______ 个极小值点，实数ω的取值范围是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b =5，cosB =35．(1)求△ABC 的面积的最大值； (2)若√2csin B+C 2=asinC ，求△ABC 的周长．18. 已知数列{a n }的前n 项和是A n ，数列{b n }的前n 项和是B n ，若A 3=14，a n+1=2a n ，n ∈N ∗.再从三个条件：①B n =−n 2+21n ；②B n+1+2=B n +b n ，b 1=20；③b n =22−2log 2a n ，中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答． (1)求数列{b n }的通项公式；(2)定义：a ∗b ={a,a ≤bb,a >b .记c n =a n ∗b n ，求数列{c n }的前100项的和T 100．19. 某工厂有一批材料被预定制作“阳马”(中国古代算数中的一种几何体，是底面为长方形，两个三角侧面与底面垂直的四棱锥体)，材料是由底面为ABCD 的正四棱柱被截面AEFG 所截而得到的几何体，每一块材料制作一个“阳马”.材料的尺寸如图所示，BE =1，DG =4，AB =2．(1)求通过此材料制作成的“阳马”中，最长的棱的长度；(2)求平面AEFG与底面ABCD所夹锐角的余弦值．20.某地方舱医院的建设中，为了使得内部环境更加温馨，在儿童病区采用了如图所示的一个窗户(该图为轴对称图形)，其中上半部分曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种：曲线E1是一段余弦曲线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为y=cosx−1，此时记窗户的最高点O到BC边的距离为ℎ1(t)；曲线E2是一段抛物线，其焦点到准线的距离为98，此时记窗户的最高点O到BC边的距离为ℎ2(t)；窗户的下半部分中，AB，BC，CD是矩形ABCD的三条边，由总长度为6米的材料弯折而成，记BC边的长度为2t米(1≤t≤32).(1)分别求函数ℎ1(t)、ℎ2(t)的表达式；(2)为了使得点O到BC边的距离最大，窗户的上半部分应选择曲线E1还是曲线E2？请说明理由，并求出此时矩形部分的BC边长度应设计成多少米．21.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(−1,√32)，短轴的一个端点到焦点的距离为2．(1)求椭圆E的方程；(2)定义k PQ为P，Q两点所在直线的斜率，若四边形ABCD为椭圆的内接四边形，且AC，BD相交于原点O，且k AC=14kBD，试判断k AB与k BC的和是否为定值.若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由．22.函数m(x)=alnx+x2．(1)当a≠0时，若函数m(x)恰有一个零点，求实数a的取值范围；(2)设函数f(x)=−x2m′(x)+lnx+2x3，a∈R．(ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+n，求实数a，m的值；(ⅰ)对于曲线y=f(x)上的两个不同的点M=(x1,f(x1))，N=(x2,f(x2))，记直线)<k．MN的斜率为k，若；的导函数为f′(x)，证明：f′(x1+x22答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合B={x|x2−x−6≤0}={x|−2≤x≤3}，又集合A={−3,−1,1，3}，所以A∩B={−1,1，2}．故选：B．先利用一元二次不等式的解法求出集合B，然后由集合交集的定义求解即可．本题考查了集合交集定义的理解和应用，一元二次不等式的解法，考查了运算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：因为(1+√3i2i )2=(1+√3i)2(2i)2=−2+2√3i−2=1−√3i，所以(1+√3i2i)2在复平面内对应的点的坐标为(1,−√3)，位于第四象限．故选：D．先利用复数乘法的运算法则将复数化为代数形式，然后利用复数的几何意义进行分析求解即可．本题考查了复数乘法运算法则的运用，复数几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：向量a⃗=(2,3，−4)，b⃗ =(−3,x，y)分别是平面α，β的法向量，∵α//β，∴a⃗//b⃗ ，∴−32=x3=y−4，解得x=−92，y=6．故选：B．由α//β，得a⃗//b⃗ ，利用向量平行的性质能求出x，y．本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：圆C 的标准方程为(x +2)2+(y −1)2=9，则圆心C(−2,1)，因为圆C 关于直线l ：x −2ay +4=0对称，则圆心C(−2,1)在直线l 上，则有−2−2a +4=0，解得a =1，故直线l 的方程为x −2y +4=0，所以原点O 到直线l 的距离为d =√12+(−2)2=4√55．故选：C ．先求出圆C 的标准方程，从而得到点C 的坐标，利用圆的对称性，可知点C 在直线l 上，从而求出a 的值，得到直线l 的方程，由点到直线的距离公式求解即可．本题考查了圆的一般方程与标准方程的互化，圆关于直线对称性问题，点到直线距离公式的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由题意可知2a ≥x 2在[−2,1]上恒成立．由函数y =x 2图象可知在[−2,1]上y 的最大值是4，∴2a ≥4， ∴a ≥2．故选：D ．解出a 的取值集合，从选项中找其真子集可解决此题．本题考查充分不必要条件的意义、函数思想，考查数学运算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为1<2<e ，所以ln1<ln2<lne ，即0<p <1，而1<3<10，所以lg1<lg3<lg10，即0<q <1，所以p +q >p −q ，故A ，B 错误，因为0<lg3<lg1012=12，0<lne 12=12<ln2，所以p >12,0<q <12，因为p−q pq =1q −1p >0，所以p −q >pq ，故选项C 错误，综上可得，p +q >p −q >pq ，故选项D 正确．故选：D ．利用对数函数的单调性求出0<p <1，0<q <1，从而判断选项A ，B ；再将p ，q 与特殊值0，12比较，即可判断选项C ，D ．本题考查了函数值大小的比较，主要考查了利用对数的单调性将函数值与特殊值进行比较，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：设a =1x +1y ，b =x +9y ，则a +b =17， ∵ab =(1x+1y )(x +9y)=9y x+x y+10≥2√9+10=16，当且仅当9y x=xy时取等号，∴ab ≥16，又∵a +b =17，∴a(17−a)≥16，即a 2−17a +16≤0，解得1≤a ≤16， ∴1≤1x +1y ≤16，∴1x +1y 的最小值为1．故选：B ．设a =1x +1y ，b =x +9y ，得到a +b =17，再利用基本不等式求出ab ≥16，转化为a 的一元二次不等式即可求解．本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：根据题意，设圆Q 的半径为r ，则|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|QA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2r ，|QP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，又由QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m QC ⃗⃗⃗⃗⃗ +n QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则QP⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(m QC ⃗⃗⃗⃗⃗ +n QA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=m 2QC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+n 2QA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2mn QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，变形可得：(m +n)2−3mn =14，又由mn ≤(m+n)24，则有(m +n)2≤1，解可得：−1≤m +n ≤1，即m +n 的取值范围为[−1,1]；故选：A ．根据题意，设圆Q 的半径为r ，则|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|QA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2r ，|QP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，由向量数量积的运算性质可得QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(m QC ⃗⃗⃗⃗⃗ +n QA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=m 2QC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+n 2QA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2mn QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，变形可得：(m +n)2−3mn =14，结合基本不等式的性质，变形分析可得(m +n)2≤1，解可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及正三角形的性质和基本不等式的性质和应用，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：f(x)=sin 2x +√3sinxcosx +1=1−cos2x 2+√32sin2x =√32sin2x −12cos2x +12=sin(2x −π6)+32，当sin(2x −π6)=1，即2x −π6=π2+2kπ,k ∈Z ，即x =π3+kπ,k ∈Z 时，f(x)取得最大值52，当sin(2x −π6)=−1，即2x −π6=−π2+2kπ,k ∈Z ，即x =−π6+kπ,k ∈Z 时，f(x)取得最大值12，故选项A ，C 错误，选项B ，D 正确．故选：BD ．先利用二倍角公式以及辅助角公式化简f(x)的解析式，然后利用正弦函数的最值以及整体代换，求出f(x)的最值情况，对照选项判断即可．本题考查了三角函数最值问题的求解，涉及了二倍角公式以及辅助角公式的运用，正弦函数性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线上任意一点，双曲线的渐近线方程为√3x ±y =0，焦距为4√2，可得2c =4√2，即c =2√2，ba =√3，8=a 2+b 2，解得a =√2，b =√6，所以实轴长为2√2，A 不正确；双曲线的离心率为：2√2√2=2，所以B 正确；双曲线的焦点到渐近线的距离为b =√6，所以C 正确； c −a =2√2−√2=√2>1，所以D 不正确．故选：BC ．利用双曲线的渐近线方程以及焦距，求解a ，b ，c ，然后判断选项的正误即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．11.【答案】ACD【解析】解：对于A ，因为函数f(x)是定义在R 上的偶函数，满足f(x −1)=f(x +1)，令x −1=t ，则x =t +1，所以f(t)=f(t +1+1)=f(t +2)，所以对于任意的x ∈R ，f(x +2)=f(x)，则函数f(x)的周期为2，故选项A 正确；对于B ，当x ∈[0,1]时，f(x)=x ，所以f(43)=f(−23+2)=f(−23)=f(23)=23，故选项B 错误；对于C ，设x ∈[1,2]，则2−x ∈[0,1]，所以f(2−x)=2−x ，因为f(2−x)=f(−x +2)=f(−x)=f(x)，所以f(x)=2−x ，x ∈[1,2]，因为函数g(x)=f(x)−kx −k ，所以当x ∈[1,2]时，g(x)=2−x −kx −k =−(k +1)x −k +2，当k >−1时，k +1>0，所以−(k +1)<0，所以g(x)在[1,2]上为单调递减函数，故选项C 正确；对于D ，因为g(x)=f(x)−kx −k ，所以函数g(x)在[−1,3]内的零点个数等价于函数f(x)的图象与直线y =kx +k =k(x +1)在[−1,3]内交点的个数，作出两条函数图象如图所示，在区间[−1,3]内，因为函数g(x)由4个零点，则实数k 的取值范围为0<k ≤1−03−(−1)=14，即k ∈(0,14]，故选项D 正确．故选：ACD ．利用偶函数的性质以及周期函数的定义判断选项A ；利用周期性，将f(43)转化为f(23)，再利用已知的解析式求解，即可判断选项B ；求出f(x)在x ∈[1,2]上的解析式，从而得到g(x)在x ∈[1,2]上的解析式，由解析式即可确定函数g(x)的单调性，从而判断选项C ；将函数的零点问题转化为两个图象的交点问题，利用数形结合法进行分析求解，即可判断选项D ．本题考查了函数性质的综合应用，涉及了函数的周期性、奇偶性、单调性的应用，函数解析式的求解，函数零点的应用，综合性强，对学生的能力要求较高，属于中档题．12.【答案】AB【解析】解：作出图形如图所示，对于B ，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，CD ⊥平面ADD 1A 1，AD 1⊂平面ADD 1A 1，所以AD 1⊥CD ，因为AD 1⊥A 1D ，且CD ∩A 1D =D ，A 1D ，CD ⊂平面A 1CD ，所以AD 1⊥平面A 1CD ，因为A 1C ⊂平面A 1CD ，所以A 1C ⊥AD 1，同理可证A 1C ⊥AB 1，因为AB 1∩AD 1=A ，AB 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，所以A 1C ⊥平面AB 1D 1，因为P 是正方形ADD 1A 1(含边界)上的动点，若PB 1与A 1C 垂直，则PB 1⊂平面AB 1D 1，因为平面AB 1D 1∩平面ADD 1A 1=AD 1，所以P ∈线段AD 1，故选项B 正确；对于A ，因为在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB//CD//C 1D 1，且AB =CD =C 1D 1，所以四边形ABC 1D 1是平行四边形，故AD 1//BC 1，又AD 1⊄平面BC 1D ，BC 1⊂平面BC 1D ，所以AD 1//平面BC 1D ，同理可证AB 1//平面BC 1D ，又AB 1∩AD 1=A ，AB 1⊂平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，所以平面AB 1D 1//平面BC 1D ，又B 1P ⊂平面AB 1D 1，故B 1P//平面BC 1D 1，故选项A 正确；对于C，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，所以AB1=B1D1=AD1=√2，故△AB1D1是边长为√2的正三角形，所以|PB1|∈[(√2)，故|PB1|∈[√62,√2]，故选项C错误；对于D，在在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ADD1A1//平面BCC1B1，所以PB1与平面BCC1B1(即平面BC1)所成的角等于PB1与平面ADD1A1所成的角，连结A1P，因为A1B1⊥平面ADD1A1，所以∠B1PA1就是PB1与平面ADD1A1所成的角，因为√22≤A1P≤1，所以在Rt△B1A1中，B1P=√A1B12+A1P2=√1+A1P2∈[√62,√2]，所以sin∠B1PA=|A1B1||B1P|=1|B1P|∈[√22,√63]，因为√32>√63，所以PB1与平面BC1所成角的正弦值不可能是√32，故选项D错误．故选：AB．利用线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理和性质定理即可判断选项A；利用平面的基本定理判断选项B；利用△AB1D1是边长为√2的正三角形，求解|PB1|的范围，即可判断选项C；利用线面角的定义找到对应的角，然后由边角关系求解，即可判断选项D．本题以命题的真假判断为载体考查了立体几何知识的综合应用，涉及了线面位置关系，点与直线位置关系，线面角等知识的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．13.【答案】4π3【解析】解：正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长为：2，故R=1，所以该球的体积为43πR3=4π3．故答案为：4π3．正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长，即可求出该球的体积．本题是基础题，考查球的体积，确定与正方体的棱相切球的半径，是解决本题的关键．14.【答案】2√3【解析】解：建立如图所示的坐标系：直线l 方程为：x =−√32，A(√32,0)，B(3√32,0)，弧线PQ 的方程为，y 2=2√3x ，由抛物线的定义可知点M 到点A 的距离与到直线l 的距离相等，故当直线BN 垂直直线l 且与曲线PQ 相交于点M 时MB +MA 的值最小，此时最小值为2√3，故答案为：2√3．利用题中的条件，建立直角坐标系，转化成抛物线的问题，进而可以解决．本题考查了抛物线的定义，学生的逻辑推理能力，学生的数学运算能力，属于基础题．15.【答案】(−∞,−1]∪[2,+∞)【解析】解：由1(2n−1)(2n+3)=14(12n−1−12n+3)，可得T n =14(1−15+13−17+15−19+...+12n−3−12n+1+12n−1−12n+3) =14(1+13−12n+1−12n+3)=13−14(12n+1+12n+3)<13，任意的n ∈N ∗，不等式6T n <a 2−a 恒成立，可得a 2−a ≥6×13，解得a ≥2或a ≤−1，则a 的取值范围是(−∞,−1]∪[2,+∞)．故答案为：(−∞,−1]∪[2,+∞)．由1(2n−1)(2n+3)=14(12n−1−12n+3)，运用数列的裂项相消求和可得T n ，由不等式的性质可得T n <13，由不等式恒成立思想，结合二次不等式的解法，可得所求范围．本题考查数列的裂项相消求和和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】1 [13π6,19π6)【解析】解：当x ∈[0,π]时，ωx −π6∈[−π6,ωπ−π6]，由于函数f(x)在[0,π]上有且仅有3个零点，则2π≤ωπ−π6<3π， ∴136≤ω<196，∴ω的取值范围为[13π6,19π6).令t =ωx −π6，则2π≤t <3π，作出函数y =sint 在区间[−π6,ωπ−π6]上的图象如图所示，∴函数f(x)在[0,π]上有且仅有1个极小值点．故答案为：1，[13π6,19π6).由x ∈[0,π]可得，ωx −π6∈[−π6,ωπ−π6]，根据题意可得2π≤ωπ−π6<3π，令t =ωx −π6，作出函数y =sint 的图象，利用数形结合即可．本题考查了正弦型函数求解零点的个数问题，涉及到换元法，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为cosB =35，所以sinB =45，由余弦定理知，b 2=a 2+c 2−2accosB ，即25=a 2+c 2−65ac ≥2ac −65ac ，当且仅当a =c 时取等号，故ac ≤1254，所以S =12acsinB ≤12×1254×45=252，所以△ABC的面积的最大值为252；(2)因为√2csin B+C2=asinC，由正弦定理得√2sinC⋅sinπ−A2=sinA⋅sinC，因为sinC≠0，所以√2sinπ−A2=sinA，即√2cos A2=sin A2⋅cos A2，又cos A2≠0，故sin A2=√22，则A=90°，又因为sinB=45=ba，所以a=254，则c=a⋅cosB=254⋅35=154，故周长为a+b+c=254+5+154=15．【解析】(1)由同角三角函数关系求出sin B，由余弦定理以及基本不等式求出ac的最大值，利用三角形的面积公式求解即可得到答案；(2)利用正弦定理将已知的等式边化角，再利用三角恒等变换进行化简，求出角A，利用边角关系求出a，c，即可得到△ABC的周长．本题考查了解三角形问题，主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式求最值的应用，三角恒等变换以及三角形面积公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由已知得，{a n}为等比数列，公比为q=2，则a1+2a1+22a1=14∴a1=2∴a n=2n选择①当n=1时，b1=B1=20，当n≥2时，b n=B n−B n−1=22−2n，∴b n=22−2n．选择②B n+1−B n=b n−2，即b n+1=b n−2，所以{b n}是首项为20，公差−2的等差数列，∴b n=22−2n．选择③b n=22−2log22n=22−2n．(2)由(1)知：c n=a n∗b n={2n,1≤n≤322−2n,n≥4(n∈N∗)所以，T 100=a 1+a 2+a 3+b 4+b 5+b 6+⋅⋅⋅+b 100=a 1(1−q 3)1−q+97(b 4+b 100)2=2(1−23)1−2+97(14−178)2=24−2−7954=−7940．【解析】(1)由已知得，{a n }为等比数列，公比为q =2，求出通项公式，选择①，利用b n =B n −B n−1求解通项公式即可．选择②B n+1−B n =b n −2，推出{b n }是首项为20，公差−2的等差数列，求解通项公式．选择③，利用已知条件化简求解即可．(2)利用新定义，化简通项公式，求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)以C 为原点，CD ，CB ，CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．设点F(0,0，ℎ)，且有A(2,2，0)，G(2,0，4)，E(0,2，1)，因为几何体是由底面为ABCD 的正四棱柱被截面AEFG 所截而得到的，所以平面ADG//平面BCFE ，又平面ADG ∩平面AEFG =AG ，平面BCFE ∩平面AEFG =EF ，所以AG//EF ，同理AE//GF ，所以四边形AEFG 是平行四边形．所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(0,−2,4)=(0,−2,ℎ−1)，得ℎ=5 易知制作成的阳马F −ABCD 中，最长的棱长为FA ，所以|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+4+25=√33，所以FA 的长为√33．(2)根据题意可取平面ABCD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,0,1)．由(1)知，AG⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,4)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1) 设平面AEFG 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)，则由{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−2y +4z =0−2x +z =0，即{y =2z x =z 2 令z =2，所以n⃗ =(1,4,2)，所以cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1×√1+16+4=√21=2√2121，所以平面AEFG 与底面ABCD 所夹锐角的余弦值为2√2121．【解析】(1)以C 为原点，CD ，CB ，CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz.判断四边形AEFG 是平行四边形．说明制作成的阳马F −ABCD 中，最长的棱长为FA ，利用空间向量的距离公式求解即可．(2)求出平面ABCD 的一个法向量，平面AEFG 的法向量，利用空间向量的数量积求解平面AEFG 与底面ABCD 所夹锐角的余弦值即可．本题考空间点、线、面距离的求法，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)曲线E 1解析式为y =cosx −1，所以点D 的坐标为(t,cost −1)，点O 到AD 的距离为1−cost ，而AB =DC =3−t ，则ℎ1(t)=(3−t)+(1−cost)=−t −cost +4，(1≤t ≤32)，关于曲线E 2，可知抛物线的方程为x 2=−94y ．所以点D 的坐标为(t,−49t 2)，点O 到AD 的距离为49t 2，又AB =DC =3−t ，可得ℎ2(t)=49t 2−t +3(1≤t ≤32)． (2)因为ℎ′(t)=−1+sint <0，所以ℎ1(t)在[1,32]上单调递减，所以当t =1时，ℎ1(t)取得最大值为3−cos1．又ℎ2(t)=49t 2−t +2(1≤t ≤32)二次函数开口向上，在[1,98]上单调递减，在[98,32]上单调递增，当t =32时，ℎ2(t)取得最大值为52经比较，cos1>cos π3=12，所以3−cos1<3−12=52 所以，选用曲线E 2，满足点O 到BC 边的距离最大，此时2t =3，即矩形部分的BC 边长度设计成3米．【解析】(1)利用题中的条件易解出ℎ1(t)，ℎ2(t)，即可解出； (2)由(1)知分别对两个函数进行求导，解出最值，即可解决．本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．21.【答案】解：(1)因为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(−1,√32)，所以1a 2+34b 2=1，又由题意知，短轴的一个端点到焦点的距离为2，即a =2，联立方程{1a 2+34b 2=1a =2．解得a 2=4，b 2=1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)k AB +k BC =0.理由如下：设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =kx +m x 2+4y 2=4，得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， ∴△=(8km)2−4(4k 2+1)×4(m 2−1)=16(4k 2−m 2+1)≥0，{x 1+x 2=−8km1+4k 2x 1x 2=4(m 2−1)1+4k 2，因为k AC =14k BD，所以k OA k OB =14，所以4y 1y 2=x 1x 2，又y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2， ∴(4k 2−1)x 1x 2+4km(x 1+x 2)+4m 2=0． ∴(4k 2−1)4(m 2−1)1+4k 2+4km −8km1+4k 2+4m 2=0．整理得4k 2=1，∴k =±12， ∵A ，B ，C ，D 可以轮换，∴AB ，BC 的斜率一个是12，另一个就是−12， ∴k AB +k BC =0．【解析】(1)利用椭圆过点P(−1,√32)，结合短轴的一个端点到焦点的距离为2，求解a ，b ，即可得到椭圆方程．(2)设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，转化求解直线的斜率，推出结果即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．22.【答案】解：(1)函数m(x)=alnx +x 2(a ≠0)的定义域为(0,+∞)，∴m′(x)=ax +2x =2x 2+a x，①当a >0时，m′(x)>0，所以m(x)在(0,+∞)上单调递增，取x 0=e −1a ，则(e −1a )=−1+(e −1a )2<0，因为m(1)=1，所以m(x 0)m(1)<0，此时函数m(x)有一个零点， ②当a <0时，令m′(x)=0，解得x =√−a2，当0<x <√−a2时，m′(x)<0，所以m(x)在(0,√−a2)m′(x)<0上单调递减，当x >√−a2时，m′(x)>0，所以m(x)在(√−a2,+∞)上单调递增，要使函数m(x)有一个零点，则m(√−a 2)=aln √−a 2−a2=0，即ln(−a2)=1，解得：a =−2e ，综上，若函数m(x)恰有一个零点，则a =−2e 或a >0． (2)(ⅰ)∵f(x)=lnx −2a ，∴f′(x)=1x −a ，∵曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =2x +m ， ∴{f′(1)=1−a =2f(1)=−a =2×1+m ，解得：{a =−1m =−1； (ⅰ)证明：f(x 1)−f(x 2)=lnx 1−lnx 2+a(x 2−x 1)， k =f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2=lnx 1−lnx 2+a(x 2−x 1)x 1−x 2=lnx 1−lnx 2x 1−x 2−a ，又f′(x)=1x −a =1−ax x，f′(x 1+x 22)=2x 1+x 2−a ，f′(x 1+x 22)−k =2x1+x 2−lnx 1−lnx 2x 1−x 2=1x1−x 2[2(x 1−x 2)x 1+x 2−ln x 1x 2]=1x1−x 2[2(x 1x 2−1)x 1x 2+1−ln x1x 2]，不妨设0<x 2<x 1，t =x 1x 2，则t >1，即2(x 1x 2−1)x 1x 2+1−ln x 1x 2=2(t−1)t+1−lnt ．令ℎ(t)=2(t−1)t+1−lnt(t >1)，则ℎ′(t)=−(t−1)2(1+t)2t <0，因此ℎ(t)在(1,+∞)上单调递减，所以ℎ(t)<ℎ(1)=0，又0<x 2<x 1，所以x 1−x 2>0，所以f′(x 1+x 22)−k <0，即f′(x 1+x 22)<k ．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性确定a 的范围即可；(2)(i)结合切线方程得到关于a ，m 的方程组，解出即可； (ii)表示出k ，不妨设0<x 2<x 1，t =x 1x 2，则t >1，得到2(x 1x 2−1)x 1x 2+1−ln x 1x 2=2(t−1)t+1−lnt.令ℎ(t)=2(t−1)−lnt(t>1)，求出函数ℎ(t)的导数，结合函数的单调性证明即可．t+1本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．。