因式分解培优专题(一)

初三数学因式分解培优专题（一）

一、用提公因式法把多项式进行因式分解

【知识精读】

如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：

（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】

1. 把下列各式因式分解

（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222

分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：

（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：

2. 利用提公因式法简化计算过程

例：计算1368

9875211368

9874561368

9872681368

987123⨯+⨯+⨯+⨯

分析：算式中每一项都含有9871368

，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：

3. 在多项式恒等变形中的应用

例：不解方程组23

532

x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。 解：

4. 在代数证明题中的应用

例：证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。

分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 解：

5、中考点拨：

例1。因式分解322x x x ()()---

解：

说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。

例2．分解因式：412132q p p ()()-+-

解：

说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。

举一反三：

1、分解因式：

（1）-+-41222332m n m n mn

（2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）

（3）a a b a b a ab b a ()()()-+---322222

2. 计算：()()-+-221110的结果是（） A. 2100 B. -210

C. -2

D. -1

3. 已知x 、y 都是正整数，且x x y y y x ()()---=12，求x 、y 。

4. 证明：812797913--能被45整除。

二、运用公式法进行因式分解

【知识精读】

把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：

平方差公式

a b a b a b 22-=+-()()

完全平方公式

a a

b b a b 2222±+=±()

立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±⋅+()() 补充：欧拉公式：

a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()()

=++-+-+-12

222()[()()()]

a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】

1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（）

A. ()()()a b a b -++22

B. ()()a b a b -++2

C. ()()a b a b -++2

D. ()()a b b a 2222--

分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。 再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。

2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式23

2

x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。

解：

3. 在几何题中的应用。

例：已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足a b c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。

分析：因为题中有a b ab 22、、-，考虑到要用完全平方公式，首先要把-ab 转成

-2ab 。所以两边同乘以

2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。

解：

4. 在代数证明题中应用

例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。

解：

5、中考点拨：

例1：因式分解：x xy 324-=______________________。

说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。

例2：分解因式：2883223x y x y xy ++=______________________。 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。 题型展示：

例1. 已知：a m b m c m =+=+=+121122123，，，

求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。

解：

说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。