高等数学考研模拟试卷及答案

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考研数学一(高等数学)模拟试卷140(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷140(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．求(x＋1)ln2(x＋1)dx．正确答案：涉及知识点：高等数学2．求定积分：(I)J＝min｛2，x2｝dx；(II)J＝(1一｜t｜)dt，x≥一1．正确答案：(Ⅰ)min｛2，x2｝＝于是涉及知识点：高等数学3．设n为正整数，利用已知公式，其中，求下列积分：(I)Jn＝sinxndx；(II)Jn ＝(x2－1)ndx．正确答案：涉及知识点：高等数学4．设函数f(x)在(一∞，＋∞)内满足f(x)＝f(x一π)＋sinx且f(x)＝x，x∈[0，π)，求f(x)dx．正确答案：解析：由于题目只给出了f(x)在区间[0，π)上的具体表达式，为计算在[π，3一π]上的积，就应该通过换元法使其积分区间落到[0，π)上．另外，也可以通过f(x)＝f(x—π)＋sinx及f(x)在[0，π)上的表达式，求出f(x)在[π，3π)上的表达式，然后再求积．这里所采用的是第一种方法，读者可采用第二种方法计算．知识模块：高等数学5．求无穷积分．正确答案：J＝[ln(1＋x)—lnx—]dx，而∫[ln(1＋x)—lnx＝]dx＝∫[ln(1＋x)—lnx]dx—＝x[ln(1＋x)—lnx]—dx—＝xln＋C，因此涉及知识点：高等数学6．设f(x)＝求f(x)的不定积分．正确答案：当x＜0时，f(x)＝∫sin2xdx＝cos2x＋C1当x＞0时，f(x)＝∫ln(2x ＋1)dx＝xln(2x＋1)—＝xln(2x＋1)—∫dx＋＝xln(2x＋1)—x＋ln(2x＋1)＋C2，为了保证F(x)在x＝0点连续，必须C2＝＋C1 (*)特别，若取C1＝0，C2＝就是f(x)的一个原函数．因此∫f(x)dx＝F(x)＋C＝解析：本题的被积函数是分段定义的连续函数，则f(x)存在原函数，相应的原函数也应该分段定义．然而按照原函数的定义，F’(x)＝f(x)，即F(x)必须是可导的，而且导数是f(x)．这样，F(x)首先就应该连续，下面就是按照这一要求，利用连续拼接法把分段定义的原函数黏合在一起，构成一个整体的原函数．知识模块：高等数学7．设f’(x)＝arcsin(x一1)2，f(0)＝0，求．正确答案：∫01f(x)dx＝∫01f(x)d(x—1)＝(x—1)f(x)｜01-∫01(x—1)f’(x)dx ＝f(0)—∫01(x—1)f’(x)dx＝-∫01(x—1)arcsin(x—1)2dx＝arcsin(x—1)2d(x—12) 涉及知识点：高等数学8．设a＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上有连续导数，求极限[f(t＋a)－f(t－a)]．正确答案：【解法一】记I(a)＝[f(t＋a)—f(t—a)]dt，由积分中值定理可得I(a)＝[f(ξ＋a)—f(ξ—a)]·2a＝[f(ξ＋a)—f(ξ—a)]，—a＜ξ＜a．因为f(x)有连续导数，应用拉格朗日中值定理可得I(a)＝f’(η)·2a＝f’(η)，ξ—a＜η＜ξ＋a．于是＝f’(0)．【解法二】涉及知识点：高等数学9．求[φ(x)－1]f(t)dt，其中f(t)为已知的连续函数，φ(x)为已知的可微函数．正确答案：＝φ’(x)f(t)dt＋φ(x)f[φ(x)]φ’(x)—φ(x)f[φ(x)]φ’(x)＝φ’(x)f(t)dt 涉及知识点：高等数学10．设f(x)在(一∞，＋∞)连续，在点x＝0处可导，且f(0)＝0，令(I)试求A的值，使F(x)在(一∞，＋∞)上连续；(II)求F’(x)并讨论其连续性．正确答案：(I)由变上限积分性质知F(x)在x≠0时连续．为使其在x＝0处连续，只要F(x)＝A．而故令A＝0即可．(Ⅱ)当x≠0时F’(x)＝在x＝0处，由导数定义和洛必达法则可得故F’(x)在(一∞，＋∞)上连续．涉及知识点：高等数学11．设x∈[0，a]时f(x)连续且f(x)＞0(x∈(0，a])，又满足f(x)＝，求f(x)．正确答案：因f(x)＝f2(x)＝dt，(*)由f(x)连续及x2可导知f2(x)可导，又f(x)＞0，从而f(x)可导，且[f2(x)]’＝2f(x)f’(x)，故将上式两边对x求导，得2f(x)f’(x)＝f(x)·2xf’(x)＝x．在(*)式中令x＝0可得f(0)＝0．于是(*)式两边积分得涉及知识点：高等数学12．求函数f(x)＝在区间[e，e2]上的最大值．正确答案：若f(x)在[a，b]上连续，其最大(小)值的求法是：求出f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出f(a)与f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若f(x)单调，则最大(小)值必在端点处取得．由可知f(x)在[e，e2]上单调增加，故涉及知识点：高等数学13．求星形线(a＞0)所围区域的面积A．正确答案：图形关于x，y轴均对称，第一象限部分：0≤x≤x，0≤y≤，涉及知识点：高等数学14．求下列旋转体的体积V：(I)由曲线y＝x2，x＝y2所围图形绕x轴旋转所成旋转体：(II)由曲线x＝a(t—sint)，y＝a(1一cost)(O≤t≤2π)，y＝0所围图形绕y轴旋转的旋转体．正确答案：(I)如图3．2，交点(0，0)，(1，1)，则所求体积为(Ⅱ)如图3．3，所求体积为V＝2π∫02πayxdx＝2π∫02πaa(1＝cost)a(t—sint)a(1—cost)dt＝2πa3∫02π(1—cost)2(t—sint)dt＝2πa3∫02π(1—cost)2tdt—2πa3∫-ππ(1—cost)2sintdt＝2πa3∫02π(1—cost)2tdt[1—cos(u＋π)]2(u＋π)du＝2πa3∫-ππ(1＋cosu)2udu＋2π2a3∫-ππ(1＋cosu)2du＝4π2a3∫0π(1＋cosu)2du＝4π2a3∫0π(1＋2cosu＋cos2u)du＝4π2a3(π＋)＝6π3a3．涉及知识点：高等数学15．设两点A(1，0，0)与B(0，1，1)的连线绕z轴旋转一周而成的旋转面为S，求曲面S与z＝0，z＝1围成的立体的体积．正确答案：直线方程：上任意点(x，y，z)与z轴的距离的平方为：x2＋y2＝(1一t)2＋t2＝z2＋(1一z)2，则S(z)＝π[z2＋(1—z)2]，从而V＝S(z)dz＝π[z2＋(1—z)2]dz＝π．解析：这是截面积已知的立体．与z轴垂直的平面截此旋转体所得截面即此平面与的交点绕z轴旋转所得的圆，其面积记为S(x)，则V＝S(z)dz．关键求方程，再求上点与z轴的距离．知识模块：高等数学16．求双纽线，r2＝a2cos2θ(a＞0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积．正确答案：双纽线如图3．4所示．由对称性，只需考察θ∈[0，]．面积由r2＝a2cos2θ涉及知识点：高等数学17．求功：(I)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功?(II)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?正确答案：(I)方法1 (微元法)．以球心为原点，x轴垂直向上，建立坐标系．取下半球中的微元薄片，即取小区间[x，x＋dx][一1，0]，相应的球体小薄片，其重量(即体积)为π(1一x2)dx，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1＋x)，故需做功dw1＝(1＋x)π(1一x2)dx．因此，对下半球做的功w1＝∫-10π(1＋x)(1—x2)dx取上半球中的微元薄片，即取小区间[x，x＋dx][0，1]，相应的小薄片，其重量为π(1一x2)dx，当球从水中移出时，此薄片移动距离为1．所受力为重力，故需做功dw2＝π(1一x2)dx．因此，对上半球做的功w2＝∫01π(1—x2)dx．于是，对整个球做的功为w＝w1＋w2＝∫-10π(1＋x)(1—x2)dx＋∫01π(1—x2)dx＝∫-1-1π(1—x2)dx＋∫-10πx(1—x2)dx方法2 把球的质量集中于球心．球从水中取出作的功可以看成质量为的质点向上移动距离为1时变力的做功．问题归结为求变力F．(重力与浮力的合力)球受的重力＝球的体积，球受的浮力＝沉在水中的球的体积，它们的合力＝球露出水面部分的体积．当球心向上移距离h(0≤h≤1)时，球露出水面部分的体积：因此，取出球时需做功(Ⅱ)建立坐标系如图3．6．取x为积分变量，x∈[0，R]．[x，x ＋dx]相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为π(R2—x2)dx，又比重ρ＝1，于是把这层水抽出需做功dw＝πx(R2一x2)dx．因此，所求的功涉及知识点：高等数学18．求引力：(I)在x轴上有一线密度为常数μ，长度为l的细杆，在杆的延长线上离杆右端为口处有一质量为m的质点P，求证：质点与杆间的引力为F ＝(M为杆的质量)．(II)设有以O为心，r为半径，质量为M的均匀圆环，垂直圆面，＝b，质点P的质量为m，试导出圆环对P点的引力公式．正确答案：(I)如图3．7建立坐标系，取杆的右端为原点，x轴正向指向质点P．任取杆的一段[x，x＋dx]，它对质点P的引力为因此，杆与质点P间的引力大小为其中M是杆的质量．(Ⅱ)如图3．8，由对称性，引力沿方向．取环上某点为计算弧长的起点，任取弧长为s到s＋d5的一段微元，它的质量为，到P点的距离为与的夹角为θ，cosθ＝，则微元对P点的引力沿方向的分力为dF ＝k，于是整个圆环对P点的引力为涉及知识点：高等数学19．过曲线y＝x2(x≥0)上某点A作一切线，使之与曲线及x轴围成图形面积为，求：(I)切点A的坐标；(II)过切点A的切线方程；(III)由上述图形绕x 轴旋转的旋转体的体积．正确答案：如图3．9．(I)设点A(x0，x02)，点A处的切线方程y＝x02＋2x0(x —x0)，即y＝2x0x—x02．令y＝0截距x＝．按题意解得x0＝1A(1，1)．(Ⅱ)过A点的切线y＝2x一1．(Ⅲ)旋转体体积涉及知识点：高等数学20．设常数a≤α＜β≤b，曲线P：y＝(x∈[α，β])的弧长为1．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求定积分．正确答案：(Ⅰ)г：y2＝(x—a)(b—x)＝—x2＋(a＋b)x—ab，两边对x求导得2yy’＝—2x＋a＋b，y2(1＋y’2)＝＋y2＝x2＋y2—(a＋b)x＋(Ⅱ)曲线г：是以为圆心，半径为的半圆周．由题(Ⅰ)：α＝a，β＝，则对应的г长涉及知识点：高等数学21．设f(x)为非负连续函数，且满足f(x)f(x－t)dt＝sin4x，求f(x)在[0，]上的平均值．正确答案：令x—t＝u，则，于是两边积分，故f(x)在[0，]上的平均值为．涉及知识点：高等数学22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点P(1，2)，且在该点与圆相切，有相同的曲率半径和凹凸性，求常数a．b．c．正确答案：圆的半径为，所以在圆上任何一点的曲率为．由于点P(1，2)是下半圆上的一点，可知曲线在点P(1，2)处为凹的，所以由确定的连续函数y＝y(x)在P(1，2)处的y’’＞0．又经过计算，可知在点P(1，2)处的y’＝1．由题设条件知，抛物线经过点P(1，2)，于是有a＋b＋c＝2．抛物线与圆在点P(1，2)相切，所以在点P(1，2)处y’＝1，即有2a＋b＝1．又抛物线与圆在点P(1，2)有相同的曲率半径及凹凸性，因此有解得a＝2，从而b＝一3，c＝2一a一b＝3．涉及知识点：高等数学23．设a＞0，f(x)在(0，＋∞) 连续，求证：正确答案：(I)按要证的等式，将等式左端改写可得(II)按题设，对左端作变换涉及知识点：高等数学24．设f(x)在[a，b]上连续，f(x)≥0且f(x)dx＝0，求证：在[a，b]上f(x)＝0．正确答案：由定积分的性质涉及知识点：高等数学25．证明，其中n为自然数．正确答案：利用被积函数的结合性，原式改写成In＝cosn—1xcosxsinnxdx，两式相加得2In＝cosnn—1(cosxsinnx一sinxcosnx)dxcosnn—1xsin(n—1)xdx＝现得递推公式令Jn＝2nIn，得．由此进一步得涉及知识点：高等数学。

考研数学一(高等数学)模拟试卷33(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷33(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．若a·b=a·c，则A．b=c．B．a⊥b且a⊥c．C．a=0或b一c=0．D．a⊥(b一c)．正确答案：D 涉及知识点：高等数学2．设c=(b×a)-b，则A．a垂直于b+c．B．a平行于b+c．C．b垂直于c．D．b平行于c．正确答案：A 涉及知识点：高等数学3．若直线相交，则必有A．B．C．D．正确答案：D 涉及知识点：高等数学4．通过直线x=2t一1，y=3t+2，z=2t一3和直线x=2t+3，y=3t一1，z=2t+1的平面方程为A．x—z—2=0．B．x+z=0．C．x一2y+z=0．D．x+y+z=1．正确答案：A 涉及知识点：高等数学5．原点(0，0，0)关于平面6x+2y一9z+121=0对称的点为A．(12，8，3)．B．(一4，1，3)．C．(2，4，8)．D．(一12，一4，18)．正确答案：D 涉及知识点：高等数学6．设，则f(0，0)点处A．不连续．B．偏导数不存在．C．偏导数存在但不可微．D．偏导数存在且可微．正确答案：C 涉及知识点：高等数学7．若二元函数f(x，y)在(x0，y0)处可微，则在(x0，y0)点下列结论中不一定成立的是A．连续．B．偏导数存在．C．偏导数连续．D．切平面存在．正确答案：C 涉及知识点：高等数学8．函数在(0，0)点处A．不连续．B．偏导数存在．C．任一方向的方向导数存在．D．可微．正确答案：C 涉及知识点：高等数学9．设fx’(0，0)=1，fy’(0，0)=2，则A．f(x，y)在(0，0)点连续．B．C．=cosα+2cosβ，其中cosα，cosβ为l的方向余弦．D．f(x，y)在(0，0)点沿x轴负方向的方向导数为一1．正确答案：D 涉及知识点：高等数学10．函数f(x，y)=x2y3在点(2，1)沿方向l=i+j的方向导数为A．16．B．C．28．D．正确答案：B 涉及知识点：高等数学填空题11．已知a，b，c是单位向量，且满足a+b+c=0，则a·b+b·c+c·a=____________．正确答案：涉及知识点：高等数学12．已知｜a｜=2，｜b｜=，且a·b=2，则｜a×b｜=______________．正确答案：2 涉及知识点：高等数学13．过点(一1，2，3)，垂直于直线且平行于平面7x+8y+9z+10=0的直线方程是_____________正确答案：涉及知识点：高等数学14．若向量x与向量a=2i—j+2k共线，且满足方程a·x=一8，则向量x=___________．正确答案：一4i+2j-4k 涉及知识点：高等数学15．平行于平面5x一14y+2z+36=0且与此平面距离为3的平面方程为____________．正确答案：5x一14y+2z+81=0或5x一14y+2z一9=0 涉及知识点：高等数学16．设，f(u)可导，则=__________正确答案：z涉及知识点：高等数学17．设f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由z+y+z+xyz=0确定的隐函数，则fx’(0，1，一1)=__________正确答案：1涉及知识点：高等数学18．设f(x，y)=xy，则=___________正确答案：xy-1+yxy-1lnx涉及知识点：高等数学19．设=___________正确答案：dx-dy涉及知识点：高等数学20．设z=z(x，y)由方程x—mz=φ(y—nz)所确定(其中m，n为常数，φ为可微函数)，则=__________正确答案：1涉及知识点：高等数学21．函数u=xy+yz+xz在点P(1，2，3)处沿P点向径方向的方向导数为__________．正确答案：涉及知识点：高等数学22．函数z=2x2+y2在点(1，1)处的梯度为___________．正确答案：4i+2j 涉及知识点：高等数学23．曲面3x2+y2一z2=27在点(3，1，1)处的切平面方程为__________．正确答案：9x+y-z-27=0 涉及知识点：高等数学24．曲线的平行于平面x+3y+2z=0的切线方程为__________．正确答案：涉及知识点：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(高等数学)模拟试卷120(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．=A．0．B．－∞．C．+∞．D．不存在但也不是∞．正确答案：D解析：因为et=+∞，et=0，故要分别考察左、右极限．由于因此应选(D)．知识模块：高等数学2．设f(x)=x－sinxcosxcos2x，g(x)=则当x→0时f(x)是g(x)的A．高阶无穷小．B．低价无穷小．C．同阶非等价无穷小．D．等价无穷小．正确答案：C解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选(C)．知识模块：高等数学填空题3．设有定义在(－∞，+∞)上的函数：(A)f(x)= (B)g(x)=(C)h(x)= (D)m(x)=则(I)其中在定义域上连续的函数是____________；(II)以x=0为第二类间断点的函数是____________．正确答案：(I)B(Ⅱ)D解析：(I)当x＞0与x＜0时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续．从而只需再考察哪个函数在点x=0处连续．注意到若f(x)=，其中g(x)在(－∞，0]连续h(x)在[0，+∞)连续．因f(x)=g(x)(x∈(－∞，0])f(x)在x=0左连续．若又有g(0)=h(0)f(x)=h(x)(x∈[0，+∞))f(x)在x=0右连续．因此f(x)在x=0连续．(B)中的函数g(x)满足：sinx｜x=0=(cosx－1)｜x=0，又sinx，cosx－1均连续g(x)在x=0连续．因此，(B)中的g(x)在(－∞，+∞)连续．应选(B)．(Ⅱ)关于(A)：由x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．关于(C)：由e≠h(0)=0是h(x)的第一类间断点(可去间断点)．已证(B)中g(x)在x=0连续．因此选(D)．或直接考察(D)．由=+∞x=0是m(x)的第二类间断点．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(高等数学)模拟试卷105(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷105(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．下列命题中正确的是( )A．有界函数乘无界函数仍是无界函数．B．无界函数乘无穷大量仍是无穷大量．C．无穷小量乘任一个实数仍是无穷小量．D．两个无穷大量之和仍是无穷大量．正确答案：C解析：(反例排除法) 取f(x)=，g(x)=x，则当x→∞时f(x)是有界函数，g(x)是无界函数，但，排除A．取f(x)=xsinx，g(x)=x，则当x→∞时f(x)是无界函数，g(x)是无穷大量，但不是无穷大量，排除B．取f(x)=x，g(x)=-x，则当x→∞时f(x)，g(x)都是无穷大量，但[f(x)+g(x)]=(x-x)=0，排除D．知识模块：高等数学2．函数f(x)=的可去间断点的个数为( )A．1．B．2．C．3．D．无穷多个．正确答案：C解析：由f(x)的表达式知，x=0，±1，±2，…是间断点，由于当x0=±2，±3，…时，，所以只需考虑x=0，-1，1三点即可，因为所以x=0，-1，1都是f(x)的可去间断点．故应选C．知识模块：高等数学3．已知函数y=y(x)由方程ey+6xy+x2-1=0确定，则f’’(0)等于( )A．-2．B．2．C．-3．D．3．正确答案：A解析：这是一个二元方程所确定的一元隐函数的二阶导数问题．将x=0代入已知方程，得y=0．已知方程两边对x求导，得eyy’+6y+6xy’+2x=0，所以于是y’(0)=0．进一步，故y’’(0)=-2．知识模块：高等数学4．设f(x)在[0，1]二阶可导，且f’’(x)＜0，则下列命题正确的是( )-A．f’(1)＜f’(0)＜f(1)-f(0)．B．f’(1)＜f(1)-f(0)＜f’(0)．C．f(1)-f(0)＜f’(1)＜f’(0)．D．f’(1)＜f(0)-f(1)＜f’(0)．正确答案：B解析：f(x)在[0，1]上用拉格朗日中值定理，得f(1)-f(0)=f’(ξ)(1-0)，即f(1)-f(0)=f’(ξ)，其中0＜ξ＜1．因为f’’(x)＜0，所以f’(x)单调减少．由0＜ξ＜1得f’(1)＜f’(ξ)＜f’(0)，即f’(1)＜f(1)-f(0)＜f’(0)．知识模块：高等数学5．设f(lnx)=x+ln2x，则∫f’(x)dx等于( )A．ex+x3+C．B．ex+22+C．C．lnx+x3+C．D．lnx+x2+C．正确答案：B解析：令lnx=t，则x=et，从而f(t)=et+t2，故∫f’(x)dx=f(x)+C=ex+x2+C．知识模块：高等数学6．等于( )A．B．C．D．正确答案：A解析：本题既是无界函数的反常积分，又是无穷限的反常积分．知识模块：高等数学7．设a，b，c均为单位向量，且a+b+c=0，则a.b+b.c+c.a等于( )A．1．B．C．D．-1．正确答案：B解析：由a+b+c=0，有(a+b+c).(a+b+c)=0，即 a.a+b.b+c.c+2(a.b+ b.c+c.a)=0，由于a，b，c均为单位向量，所以a.a=b.b=c.c=1，故a.b+b.c+c.a= 知识模块：高等数学8．设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F’z≠0，则=( ) A．x．B．z．C．-x．D．-z．正确答案：B解析：这是一个三元方程所确定的二元隐函数的变形问题，本题采用公式法．知识模块：高等数学9．设f(x，y)是连续函数，则二次积分可写成( )A．B．C．D．正确答案：C解析：这是一个直角坐标下交换积分次序问题，其方法是根据所给定的积分次序，画出积分区域图，根据积分区域图，写出另一种积分次序．由已知二次积分知，积分区域D由直线x=-1，x=0，y=x+1及曲线y=围成，如图24所示，其Y型区域由两部分构成{(x，y)｜0≤y≤1，-1≤x≤y-1}，知识模块：高等数学10．设L为曲线y=1-｜1-x｜(0≤x≤2)，则沿x增长方向，曲线积分∫L(x2+y2)dx+(x2-y2)dy=( )A．B．C．D．正确答案：D解析：本题主要考查第二类曲线积分的计算方法．(利用直接计算法) 曲线L可写成：如图29所示，根据曲线积分对积分曲线的可加性，有∫L(x2+y2)dx+(x2-y2)dy=∫L1(x2+y2)dx+(x2-y2)dy +∫L2(x2+y2)dx+(x2-y2)dy=(x2+x2)dx+([x2+(2-x)2]-[x2-(2-x)2]}dx 知识模块：高等数学11．设an＞0，n=1，2，…，且( )A．必发散．B．必收敛，且其和为0．C．必收敛，且其和为D．所给条件尚不足以确定敛散性．正确答案：C解析：级数的部分和知识模块：高等数学12．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个特解，如果常数a，b使ay1+by2是该方程的解，ay1-by2是该方程对应的齐次方程的解，则( )A．B．C．D．正确答案：A解析：因为y1，y2是微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个特解，所以y’i+P(x)yi=Q(x) (i=1，2)，因为ay1+by2是该方程的解，所以(ay’1+by’2)+P(x)(ay1+by2)=Q(x)，即a[y’1+P(x)y1]+b[y’2+P(x)y2]=Q(x)，aQ(x)+bQ(a)=Q(x)，于是a+b=1．又因为ay1-by2是该方程对应的齐次方程的解，所以(ay’1-by’2)+P(x)(ay1-by2)=0，即a[y’1+P(x)y1]-b[y’2+P(x)y2]=0，aQ(x)-bQ(x)=0，于是a-b=0．解关于a，b的方程组，得知识模块：高等数学13．某商品的需求量Q对价格P的弹性的绝对值为Pln3，已知该商品的最大需求量为1000，则需求量Q关于价格P的函数关系是( )A．Q=1000e-P．B．Q=1000×3-P．C．Q=1000e-2P．D．Q=1000×3-3P．正确答案：B解析：由已知条件知，即等式两边积分，得lnQ=-Pln3+ln｜C｜，即Q=C.3-P．由于已知商品的最大需求量为1000，即Q(0)=1000，由此得C=1000，于是Q=1000×3-P．知识模块：高等数学填空题14．设f(x)在点x=0处连续，如果=______.正确答案：2解析：这是已知一个极限，求另一个极限问题．由知识模块：高等数学15．设曲线f(x)=x2n在点(1，1)处的切线与x轴的交点为(xn，0)，则=______．正确答案：e-1解析：f’(x)=2nx2n-1，由导数的几何意义知，曲线f(x)=x2n在点(1，1)处的切线斜率k=f’(1)=2n．于是切线方程为y-1=2n(x-1)．令y=0，得xn=从而知识模块：高等数学16．d(arctan e2x)=_________dex．正确答案：解析：直接求d(arctan e2x)=______dex空中的表达式非常困难，但如果将问题转化为=_______，即转化为求两个函数的微分的商，问题迎刃而解．知识模块：高等数学17．=_______.正确答案：解析：这是一个型未定式的极限，可先考虑用等价无穷小替换化简，然后再进行计算．因为当x→0，arctanx～x，e-ecosx=ecosx(e1-cosx-1)～ecosx(1-cosx)～ecosx.x2．所以知识模块：高等数学18．设可导函数x=x(t)由方程确定，其中可导函数φ(u)＞0，且φ(0)-φ’(0)=1，则x’’(0)=________．正确答案：-3解析：这是一个隐函数求导问题，只要注意到方程表达式中积分上限函数的导数与方程中各个变量的含义，不要弄混淆就行了．方程两边对t求导，得cost-φ[x(t)]x’(t)+φ(t)=0，所以进一步当t=0时，由已知方程得，因为φ(u)＞0，所以x(0)=0．从而x’(0)=2，x’’(0)=-3．知识模块：高等数学19．由曲线y=e2x与该曲线过原点的切线及x轴所围成的平面图形的面积为_________．正确答案：解析：如图36所示，要求平面图形的面积，应先求切线方程．设切点为A(x0，e2x0)，由导数的几何意义有于是x0=，从而切线方程为y-e=即y=2ex．所以所求平面图形的面积为知识模块：高等数学20．空间曲线т：的参数方程为______．正确答案：解析：将y=z代入到方程x2+y2+z2=9中，得x2+2y2=9，即令x=3cosθ，y=，则空间曲线г的参数方程为知识模块：高等数学21．函数z=x2+y3-3xy的极小值为_______．正确答案：-1解析：本题考查二元函数z=f(x，y)的极值问题．首先求出二元函数的驻点，在每一个驻点处，用极值的充分条件判断驻点是否是极(大、小)值点．令解得驻点为(0，0)，(1，1)．在驻点(0，0)处，，B2-AC-9＞0，故驻点(0，0)不是极值点．在驻点(1，1)处，，B2-AC=-27＜0，而A=6＞0，故驻点(1，1)是极小值点，极小值为z(1，1)=-1．知识模块：高等数学22．设f(x，y)=其中D={(x，y)｜x2+y2≥2x}，则f(x，y)dxdy=________．正确答案：解析：积分区域D是圆x2+y2=2x之外的无界区域，但是在区域D1={(x，y)｜1≤x≤2，0≤y≤x}之外，被积函数f(x，y)=0，所以二重积分的有效积分区域应是D与D1相交部分，设其为D2，如图51所示，则D2={(x，y}｜1≤x≤，≤y≤x}这是一个X型区域，于是知识模块：高等数学23．均匀曲面的质心的竖坐标为________．正确答案：解析：本题考查曲面的质心坐标公式与第一类曲面积分的计算．由曲面的质心坐标公式知，所求曲面质心的竖坐标为知识模块：高等数学24．已知fn(x)满足微分方程f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)，且fn(1)=，则级数fn(x)的和为________．正确答案：-exln(1-x)，x∈[-1，1)解析：本题主要考查一阶微分方程的解与幂级数的和函数．首先求一阶微分方程的解．由已知条件知fn(x)满足的微分方程可写成这是一阶线性微分方程的初值问题，可以用一阶线性微分方程的通解公式求其通解，也可以用下面简便方法：将方程两边乘以e-x，得f’n(x)e-x-e-xfn(x)=xn-1，于是[fn(x)e-x]’=xn-1，等式两边积分，得fn(x)e-x=∫xn-1dx，即fn(x)ex=xn+C，fn(x)=ex由fn(1)=，得C=0．故fn(x)=xnex．其次求级数fn(x)的和．令s(x)=，则等式两边从0到x积分，得即s(x)=-ln(1-x)，x∈(-1，1)．因为当x=-1时，s(x)=-ln(1-x)连续，而收敛，所以知识模块：高等数学25．已知连续函数f(x)满足条件，则f(x)=________．正确答案：3e3x-2e2x解析：因为f(x)是连续函数，所以积分上限函数+e2x知f(x)可导．将已知方程两边对x求导数，得f’(x)=3f(x)+2e2x，即f’(x)-3f(x)=2e2x，这是一个一阶线性微分方程，可以利用一阶线性微分方程通解公式求解，也可以用下面的简便方法求解．将方程f’(x)-3f(x)=2e2x两边乘以e-3x，得[f(x)e-3x]’=2e-x，等式两边积分，得f(x)e-3x=-2e-x+C，所以f(x)=Ce3x-2e2x，在已知等式中，取x=0，得f(0)=1，代入上式得C=3，于是f(x)=3e3x-2e2x．知识模块：高等数学。

考研数学一(高等数学)模拟试卷159(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷159(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)=，其中g(x)为有界函数，则f(x)在x=0处( )．A．极限不存在B．极限存在，但不连续C．连续，但不可导D．可导正确答案：D解析：因为f(0＋0)=，所以f(x)在x=0处连续；=0，即f＋’(0)=0，=0，即f －’=0，因为f＋’=f－’=0，所以f(x)在x=0处可导，应选(D)．知识模块：高等数学2．设在区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f’’(x)＞0，令S1=∫abf(x)dx，S2=f(b)(b 一a)，S3=[f(a)+f(b)]，则( )．A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S3＜S1＜S2D．S2＜S3＜S1正确答案：B解析：因为函数辅导f(x)在[a，b]上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S2＜S1＜S3，选(B)．知识模块：高等数学3．f(x)在x0处可导，则｜f(x)｜在x0处( )．A．可导B．不可导C．连续但不一定可导D．不连续正确答案：C解析：由f(x)在x0处可导得｜f(x)｜在x0处连续，但｜f(x)｜在x0处不一定可导，如f(x)=x在x=0处可导，但｜f(x)｜=｜x｜在x=0处不可导，选(C)．知识模块：高等数学4．设f(x，y)=，则f(x，y)在(0，0)处( )．A．连续但不可偏导B．可偏导但不连续C．可微D．一阶连续可偏导正确答案：C解析：知识模块：高等数学5．设f(x)=ancosnπx(n=0，1，2…；一∞＜x＜+∞)，其中an=2∫01f(x)cosn πxdx，则S()为( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：对函数f(x)进行偶延拓，使f(x)在(一1，1)上为偶函数，再进行周期为2的周期延拓，然后把区间延拓和周期延拓后的函数展开成傅里叶级数，傅里叶级数的和函数为S(x)，则，选(C)．知识模块：高等数学填空题6．设a≠，则=________．正确答案：解析：知识模块：高等数学7．曲面z—ex+2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程为_________．正确答案：切平面为π：4(x一1)+2(y一2)=0，即π：2x+y一4=0解析：曲面z—ez+2xy=3在点(1，2，0)处的法向量为n={2y，2x，1一ez}(1，2．0)=｛4，2，0｝，则切平面为π：4(x一1)+2(y一2)=0，即π：2x+y一4=0．知识模块：高等数学8．f(x)为以2π周期的函数，当一π≤x＜π时，f(x)=，设其傅里叶级数的和函数为S(x)，则S(11π)=_________．正确答案：解析：因为f(x)的间断点为x=(2k+1)π(k∈Z)，所以知识模块：高等数学9．设f(x)可导，且∫01[f(x)+xf(xt)]dt=1，则f(x)=________．正确答案：e－x解析：由∫01[f(x)+xf(xt)]dt=1得∫01f(x)dt+∫01f(xt)d(xt)=1，整理得f(x)+∫0xf(μ)dμ=1，两边对x求导得f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce－x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e－x．知识模块：高等数学10．设函数y=y(x)满足△y=△x+o(△x)，且y(1)=1，则∫01y(x)dx=________．正确答案：解析：知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(高等数学)模拟试卷199(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷199(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．f(x)在x0处可导，则|f(x)|在x0处( )。

A．可导B．不可导C．连续但不一定可导D．不连续正确答案：C解析：由f(x)在x0处可导得|f(x)|在x0处连续，但|f(x)|在x0处不一定可导，如f(x)=x在x=0处可导，但|f(x)|=|x|在x=0处不可导，选(C)．知识模块：高等数学2．设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＜0，f’(a)=0，且f”(x)≥k(k＞0)，则f(x)在(a，+∞)内的零点个数为( )．A．0个B．1个C．2个D．3个正确答案：B解析：因为f’(a)=0，且f”(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x－a)+f”(ξ)／2!(x－a)2≥f(a)+(x－a)2，其中ξ介于a与x之间．而(x－a)2=+∞，故f(x)=+∞，再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．又因为f’(a)=0，且f”(x)≥k(k ＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)．知识模块：高等数学3．设F(x)=∫xx+2πesintsintdt，则F(x)( )．A．为正常数B．为负常数C．为零D．取值与x有关正确答案：A解析：由周期函数的平移性质，F(x)=∫xx+2πesintsintdt=∫－ππesintsintdt，再由对称区间积分性质得F(x)=∫0π(esintsint－e－sintsint)dt=∫0π(esint－e－sint)sintdt，又(esint－e－sint)sint连续、非负、不恒为零，所以F(x)＞0，选(A)．知识模块：高等数学填空题4．设f’(x)连续，f(0)=0，f’(0)=1，则正确答案：0解析：－1～1／2f2(x)，∫0xlncos(x－t)dt=－∫0xlncosc(x－t)d(x－t)=∫x0lncosudu=∫0xlncosudu，知识模块：高等数学5．正确答案：解析：知识模块：高等数学6．正确答案：解析：知识模块：高等数学7．两异面直线L1：之间的距离为_______．正确答案：7解析：s1={4，－3，1}，s2={－2，9，2}，n={4，－3，1}×{－2，9，2}={－15，－10，30}，过直线L2且与L1平行的平面方程为π：－15x－10(y+7)+30(z －2)=0，即π：3x+2y－6z+26=0，知识模块：高等数学8．设f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t3f(x，y)，且f’1(1，2)=1，f’2(1，2)=4，则f(1，2)=_______．正确答案：3解析：f(tx，ty)=t3f(x，y)两边对t求导数得xf’1(tx，ty)+yf’2(tx，ty)=3t2f(x，y)，取t=1，x=1，y=2得f’1(1，2)+2f’2(1，2)=3f(1，2)，故f(1，2)=3．知识模块：高等数学9．正确答案：2(1－ln2)解析：令S(x)=xn+1(－1＜x＜1)，知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(高等数学)模拟试卷151(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷151(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)=，则x=0是f(x)的( )．A．连续点B．第一类间断点C．第二类间断点D．不能判断连续性的点正确答案：B解析：知识模块：高等数学2．设(x+y≠0)为某函数的全微分，则a为( )．A．一1B．0C．1D．2正确答案：D解析：知识模块：高等数学填空题3．设a＞0，且=1，则a=________，b=________．正确答案：a=4，b=1解析：知识模块：高等数学4．设f(x)二阶连续可导，且=1，f’’(0)=e，则=_________．正确答案：解析：知识模块：高等数学5．∫1＋∞=________．正确答案：解析：∫1＋∞知识模块：高等数学6．设L1：，L2：，则过L1平行于L2的平面方程为_________．正确答案：所求平面为π：(x一1)一3(y一2)+(z一3)=0或π：x一3y+z+2=0 解析：因为所求平面π经过L1，所以点M(1，2，3)在平面π上，因为π与L1，L2都平行，所以所求平面的法向量为n=｛1，0，一1｝×｛2，1，1｝=｛1，一3，1｝，所求平面为π：(x一1)一3(y一2)+(z一3)=0或π：x一3y+z+2=0．知识模块：高等数学7．设f(x，y)可微，且f1’(一1，3)=一2，f2’(一1，3)=1，令z=f(2x—y，)，则dz｜(1，3)=_________．正确答案：-7dx＋3dy解析：知识模块：高等数学8．设f(x，y)在点(0，0)的邻域内连续，F(t)==_________．正确答案：2πf(0，0)解析：知识模块：高等数学9．级数的收敛域为________，和函数为________．正确答案：[-2，2)，S(x)=解析：知识模块：高等数学10．微分方程(2x+3)y’’=4y’的通解为_________．正确答案：y=C1x3+6C1x2+9C1x+C2解析：令y’=p，则dx，两边积分得lnp=ln(2x+3)2+lnC1，或y’=C1(2x+3)2，于是y=C1x3+6C1x2+9C1x+C2．知识模块：高等数学11．设f(x，y)可微，f(1，2)=2，fx’(1，2)=3，fy’(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，则φ’(1)=________．正确答案：47解析：因为φ’(x)=fx’[x，f(x，2x)]+fy’[x，f(x，2x)]×[fx’(x，2x)+2fy’(x，2x)]，所以φ’(1)=fx’[1，f(1，2)]+fy’[1，f(1，2)]×[fx’(1，2)+2fy’(1，2)]=3+4×(3+8)=47．知识模块：高等数学12．=__________．正确答案：解析：知识模块：高等数学13．以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为________．正确答案：y’’’一3y’+4y’一2y=0解析：特征值为λ1=1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ一1)(λ一1+i)(λ－1一i)=0，即λ3一3λ2+4λ一2=0，所求方程为y’’’一3y’+4y’一2y=0．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(高等数学)模拟试卷90(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷90(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)在R上连续，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是( ) ①φ[f(x)]必有间断点。

②[φ(x)]2必有间断点。

③f[φ(X)]没有间断点。

A．0。

B．1。

C．2。

D．3。

正确答案：A解析：①错误。

举例：设φ(x)=f(x)=ex，则φ[f(x)]=1在R上处处连续。

②错误。

举例：设φ(x)=则[φ(x)]2=9在R上处处连续。

③错误。

举例：设φ(x)=在x=0处间断。

因此选A。

知识模块：高等数学2．设f(x)=｜x｜sin2x，则使导数存在的最高阶数n=( )A．0。

B．l。

C．2。

D．3。

正确答案：C解析：故f(3)(0)不存在。

因此n=2，选C。

知识模块：高等数学3．设f(x)=aretanx-(x≥1)，则( )A．fx(x)在[1，+∞)单调增加。

B．f(x)在[1，+∞)单调减少。

C．f(x)在[1，+∞)为常数D．f(x)在[1，+∞)为常数0。

正确答案：C解析：按选项要求，先求f’(x)。

又f(x)在[1，+∞)连续，则f(x)=常数=f(1)=。

故选C。

知识模块：高等数学4．若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数为( )A．1+sinx。

B．1-sinx。

C．1+cosx。

D．1-cosx。

正确答案：B解析：由f’(x)=sinx，得∫(x)=∫f’(x)dx=∫sinxdx=-cosx+C1，所以f(x)的原函数是F(x)=∫f(x)dx=∫(-cosx+C1)dx=-sinx+C1x+C2，令C1=0，C2=1得F(x)=1-sinx。

故选B。

知识模块：高等数学5．在曲线x=t，y=-t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线( ) A．只有一条。

考研数学一(高等数学)模拟试卷321(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷321(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设(x+y≠0)为某函数的全微分，则a为( )．A．一1B．0C．1D．2正确答案：D解析：P(x，y)=得a=2，选D. 知识模块：高等数学2．设L为由y2=x+3及x=2围成的区域的边界，取逆时针方向，则等于( )．A．一2πB．2πC．πD．0正确答案：B解析：取C，x2+y2=r2(其中r＞0，Cr在L内，取逆时针)，设由L及Cr-所围成的区域为Dr，由Cr围成的区域为D0，由格林公式得知识模块：高等数学3．设∑：x2+y2+z2=1(z≥0)，∑1为∑在第一象限的部分，则( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：因为曲面关于平面xOz、yOz对称，所以注意到．故选(C)．知识模块：高等数学4．设曲面∑是z=x2+y2界于z=0与z=4之间的部分，则等于( )A．2πe4B．π(e4一1)C．2π(e4一1)D．πe4正确答案：B解析：知识模块：高等数学填空题5．设f(x，y，z)=x2-y2+2z2，则div(gradf)=_______．正确答案：4解析：gradf={2x，一2y，4z}，则div(gradf)==2—2+4=4．知识模块：高等数学6．设L：从z轴正向看，L为逆时针，则∮Lydx一(2z+1)dy+2xdz=_______．正确答案：解析：取曲线L的截口圆为∑，方向向上，法向量为n={1，1，1}，法向量的方向余弦为cosα=cosβ=cosγ=由斯托克斯公式得原点到截口平面的距离为，则截口圆的半径为故∮L)ydx一(2z+1)dy+2xdz= 知识模块：高等数学7．设，其中L是椭圆4x2+y2=1，L为逆时针方向，则I=______．正确答案：解析：由二重积分的对称性得知识模块：高等数学8．设曲线L：(-1≤x≤1)，则∫L(x2+2xy)ds=_______．正确答案：解析：知识模块：高等数学9．设L：，且L的长度为l，则∮L(9x2+72xy+4y2)ds=______．正确答案：36l解析：由对称性得∮L(9x2+72xy+4y2)ds=∮L(9x2+4y2)ds，于是原式= 知识模块：高等数学10．设Γ：则∮Γx2ds=______．正确答案：解析：∮Γx2ds=(x2+y2+z2)ds=原点到平面x+y+z=1的距离为，则圆Γ的半径为则∮Γx2dx= 知识模块：高等数学11．∮Lx2ydx+xy2dy=_______，其中L：|x|+|y|=1，方向取逆时针方向．正确答案：0解析：令L1：y=1一x(起点x=1，终点x=0)，L2：y=1+x(起点x=0，终点x=一1)，L3：y=一1一x(起点x=一1，终点x=0)，L4：y=一1+x(起点x=0，终点x=1)，则∮Lx2ydx+xy2dy=[*2143] =∫10[x2(1一x)一x(1一x)2]dx+∫0-1[x2(1+x)+x(1+x)2]dx+∫-10[一x2(1+x)一x(1+x)2]dx+∫01[x2(x一1)+x(x一1)2]dx=0．知识模块：高等数学12．∫(1,1)(2,2)xy2dx+x2ydy=_______．正确答案：解析：因为xy2dx+x2ydy=所以∫(1,1)(2,2)xy2dx+x2ydy= 知识模块：高等数学13．设S为平面x一2y+z=1位于第四象限的部分，则正确答案：解析：S：z=1一x+2y，S在xOy平面上的投影区域为知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(高等数学)模拟试卷300(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷300(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设常数α＞2，则级数A．发散．B．条件收敛．C．绝对收敛．D．敛散性与α有关．正确答案：C解析：由于设常数p满足1＜p＜α一1，则有由正项级数比较判别法的极限形式知级数收敛，进而知当α＞2时绝对收敛，即(C)正确．知识模块：高等数学2．设a＞0为常数，则级数A．发散．B．条件收敛．C．绝对收敛．D．敛散性与口有关．正确答案：B解析：用分解法．分解级数的一般项知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3．判定下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)因发散，故原级数发散．(Ⅱ)因(Ⅲ)使用比值判别法．因，故原级数收敛．涉及知识点：高等数学4．判定下列级数的敛散性，当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛：正确答案：(Ⅰ)由于收敛，利用比较判别法即知收敛，所以此级数绝对收敛．(Ⅱ)由于当n充分大时，0＜＞0，所以此级数为交错级数，且满足莱布尼兹判别法的两个条件，这说明原级数(n→∞)，所以，级数条件收敛．是条件收敛的，故原级数条件收敛．涉及知识点：高等数学5．求下列函数项级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)注意=1，对级数的通项取绝对值，并应用根值判别法，则当＞1，即x＜0时，原级数发散(x=一1除外)，因为一般项不是无穷小量；当x=0时，原级数为收敛的交错级数．因此，级数的收敛域为[0，+∞)．(Ⅱ)使用比值判别法，则有这就说明：当｜x｜＞1时，级数收敛，而且绝对收敛；然而，当｜x｜≤1(x≠—1)时，比值判别法失效．但是，当｜x｜＜1时，=1；当x=1时，un(x)=(n=1，2，…)，都不满足级数收敛的必要条件．所以，级数的收敛域为｜x｜＞1．涉及知识点：高等数学6．求下列幂级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)=3，故收敛半径R=1／3．当x=1／3时，原幂级数为，是一个收敛的交错级数；当x=一1／3时，原幂级数为的收敛域为(一1／3，1／3]．(Ⅱ)使用根值法．由于，的收敛半径R=+∞，即收敛区间也是收敛域为(一∞，+∞)．涉及知识点：高等数学7．求幂级数的收敛域及其和函数．正确答案：容易求得其收敛域为[一1，1)．为求其和函数S(x)，在它的收敛区间(一1，1)内先进行逐项求导，即得S’(x)=，x∈(—1，1)．又因为S(0)=0，因此S(x)=∫0xS’(t)dt=∫0x=一ln(1—x)．注意原级数在x=一1处收敛，又ln(1一x)在x=一1处连续，所以S(x)=一ln(1一x)，x∈[一1，1)．涉及知识点：高等数学8．判定下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)本题可采用比值判别法．由于，所以，当p＜e时，级数收敛；当p＞e时，该级数发散；当p=e时，比值判别法失效．注意到数列{(1+)n}是单调递增趋于e的，所以当p=e时，＞1，即{un}单调递增不是无穷小量，所以该级数也是发散的．总之，级数当p＜e时收敛，p≥e时发散．(Ⅱ)本题适宜采用根值判别法．由于=0，所以原级数收敛．这里用到=0．涉及知识点：高等数学9．判别下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)利用比较判别法的极限形式．由于级数发散，而且当n→∞时所以原级数也发散．(Ⅱ)仍利用比较判别法的极限形式．先改写用泰勒公式确定的阶．由于(Ⅲ)注意到0≤收敛，所以原级数也收敛．(Ⅳ)因为函数f(x)=单调递减，所以再采用极限形式的比较判别法，即将=0，所以，级数收敛．再由上面导出的不等式0＜un≤，所以原级数也收敛．涉及知识点：高等数学10．判别级数的敛散性，其中{xn}是单调递增而且有界的正数数列．正确答案：首先因为{xn}是单调递增的有界正数数列，所以0≤1—．现考察原级数的部分和数列{Sn}，由于Sn=(xn+1一x1)，又{xn}有界，即｜xn｜≤M(M＞0为常数)，故所以{Sn}也是有界的．由正项级数收敛的充要条件知原级数收敛．涉及知识点：高等数学11．判别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛)：正确答案：(Ⅰ)由于发散，所以原级数不是绝对收敛的．原级数是交错级数，易知的单调性，令f(x)=＞0(当x充分大时) →当x充分大时g(x)．这说明级数满足莱布尼兹判别法的两个条件，所以该级数收敛，并且是条件收敛的．(Ⅱ)由于sin(nπ+，所以此级数是交错级数．又由于发散，这说明原级数不是绝对收敛的．由于sinx在第一象限是单调递增函数，而是单调减少的，所以，sin 随着n的增加而单调递减．又显然满足莱布尼兹判别法的两个条件，从而它是收敛的．结合前面的讨论，知其为条件收敛．涉及知识点：高等数学12．判别级数(p＞0)的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛)．正确答案：为判断其是否绝对收敛，采用极限形式的比较判别法，由于所以，当p＞1时，级数绝对收敛；而当p≤1时，该级数不绝对收敛．下面介绍几种方法讨论0＜p≤1时，是否条件收敛．考察部分和Sn=(n≥2)的极限是否存在．先考虑部分和数列的奇数项，即注意到等式右端的每一项都是正的，所以S2n+1＜0，而且单调递减．又由于亦即S2n+1＞，这就说明{S2n+1}是单调递减有下界的，所以其极限存在，设S2n+1=S．又由于(S2n+1—u2n+1)=S，即Sn=S，亦即级数的部分和数列收敛，所以该级数收敛．特别，这说明0＜p≤1时，该级数条件收敛．解析：对于交错级数先要讨论其是否绝对收敛．这里un≥un+1不总是成立的，也就是说莱布尼兹判别法的条件不满足．这样，当其不是绝对收敛时，莱布尼兹判别法也不能使用，可考虑直接用定义讨论其收敛性或利用收敛级数的性质．知识模块：高等数学13．判断如下命题是否正确：设无穷小un～vn(n→∞)，若级数vn也收敛．证明你的判断．正确答案：对于正项级数，比较判别法的极限形式就是：vn同时收敛或同时发散．本题未限定vn一定收敛．比如，取即un～vn(n→∞)．级数un是收敛的，然而级数vn是不收敛的．涉及知识点：高等数学14．确定下列函数项级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)使用比较判别法．当x≤1时，由于也发散．当x＞1时，取p∈(1，x)，由于=0，所以的收敛域为(1，+∞)．(Ⅱ)当x＞0时，由于满足莱布尼兹判别法的两个条件，因此是收敛的．而当x≤0时，因该级数通项不趋于零，所以是发散的．故级数的收敛域为(0，+∞)．涉及知识点：高等数学15．求下列幂级数的收敛域或收敛区间：(Ⅲ) anxn的收敛半径R=3；(只求收敛区间)(Ⅳ) ax(x一3)n，其中x=0时收敛，x=6时发散．正确答案：(Ⅰ)有相同的收敛半径，可以用求收敛半径公式计算收敛半径．首先计算所以R=1．再考察两个端点，即x=±1时的敛散性．显然x=1，级数是发散的．而x=一1时，[1*]单调递减，令f(x)=＜1，ln(1+x)＞1，这就说明f’(x)＜0，f(x)单调递减．所以满足莱布尼兹判别法的两个条件，该级数收敛．这样，即得结论：xn—1的收敛域为[一1，1)．(Ⅱ)这是缺项幂级数即幂级数的系数有无限多个为0(a2n—1=0，n=1，2，…)，所以不能直接用求收敛半径公式求收敛半径R．一般有两种方法：它是函数项级数，可直接用根值判别法．由于(Ⅲ)nan(x一1)n+1=(x一1)2[an(x一1)n]’，由幂级数逐项求导保持收敛半径不变的特点知，nan(x一1)n+1与an(x一1)n有相同的收敛半径R=3．因而其收敛区间为(一2，4)．(Ⅳ)令t=x一3，考察antn，由题设t=一3时它收敛→收敛半径R≥3，又t=3时其发散→R≤3．因此R=3，antn的收敛域是[一3，3)，原级数的收敛域是[0，6)．涉及知识点：高等数学16．求下列幂级数的和函数并指出收敛域：(Ⅰ)n(n+1)xn．正确答案：(Ⅰ)为求其和函数，先进行代数运算，使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数求和．设=一4ln(1一x)，(一1≤x＜1)，(利用ln(1+t)的展开式)所以S(x)=S1(x)—S2(x)+S3(x)=ln(1—x) =ln(1—x)，x∈(—1，1)，x≠0．当x=0时，上面的运算不能进行，然而从原级数看S(0)=a0=1，同时，也容易看出=1．这就说明S(x)在x=0处还是连续的，这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质．涉及知识点：高等数学17．将函数arctan展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间．正确答案：由于，利用公式，并以x2代替其中的x，就有(一1)nx2n，一1＜x2＜1即一1＜x＜1．上式两端再进行积分，注意到arctan，所以由f(x)一f(0)=∫0xf’(t)dt即得注意函数arctan在端点x=一1处连续，幂级数在点x=一1处也收敛，从而上式在端点x=一1处也成立，即涉及知识点：高等数学18．将下列函数在指定点处展开为泰勒级数：(Ⅰ)，在x=1处；(Ⅱ)ln(2x2+x 一3)，在x=3处．正确答案：在上述展式中就是以(—1)nxn=1—x+x2—x3+…+(—1)nxn+…，(一1＜x＜1) (11．16)式中的x．类似地，有(Ⅱ)由于ln(2x+x一3)=ln(2x+3)(x 一1)=ln(2x+3)+ln(x一1)，对于右端两项应用公式得解析：使用间接法在指定点x0处作泰勒展开，就要用x—x0或者x一x0的倍数与方幂等代替原来的x．知识模块：高等数学19．将下列函数f(x)展开成戈的幂级数并求f(n)(0)：正确答案：(Ⅱ)应用公式(11．12)，有(一∞＜x＜+∞)．逐项积分得(一∞＜x ＜+∞)．由此又得f(2n)(0)=0 (n=1，2，3，…)，f(2n+1)(0)= (n=0，1，2，…)．解析：在这两个小题中除了作幂级数展开之外还涉及分析运算：一个含有求导，一个含有积分．像这样的题目，到底是应该先展开后做分析运算，还是应该先做分析运算后展开呢?一般来说应该先展开，因为对展开式的分析运算就是逐项求导、逐项积分，比较简便．而且某些题目也必须先展开，第(Ⅱ)小题就是如此．知识模块：高等数学20．求下列级数的和：正确答案：(Ⅰ)S==S1+S2．S2为几何级数，其和为2／3．S1可看作幂级数(一1)(n)n(n一1)x(n)在x=1／2处的值．记直接利用ln(1+x)的展开式得涉及知识点：高等数学21．(Ⅰ)设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(一1，1]上定义为则f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于_________；(Ⅱ)设函数f(x)=x2，0≤x＜1，而S(x)=bnsin(nπx)，一∞＜x＜+∞，其中bn=2∫01f(x)sin(nπx)dx，n=1，2，3，…，则S(一)=____________．正确答案：(Ⅰ) 3／2；(Ⅱ)—1／4解析：(Ⅰ)根据收敛定理，f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于[f(1—0)+f(一1+0)]=3／2．(Ⅱ)由S(x)的形式可知：S(x)是奇函数．又f(x)在x=连续，所以知识模块：高等数学22．设周期为2π的函数f(x)=的傅里叶级数为(ancosnx+bnsinnx)，(Ⅰ)求系数a0，并证明an=0，(n≥1)；(Ⅱ)求傅里叶级数的和函数g(x)(一π≤x≤π)，及g(2π)的值．正确答案：(Ⅰ)根据定义注意：奇函数xcosnx在对称区间上的积为零．从另一个角度看，f(x)一(ancosnx+bnsinnx)实际上就是f(x)一a0／2的傅里叶级数，所以an=0．(Ⅱ)根据收敛定理，和函数g(x)=另外，g(2π)=g(0)=π．涉及知识点：高等数学23．设函数f(x)=x2，x∈[0，π]，将f(x)展开为以2π为周期的傅里叶级数，并证明。

《高等数学》考研模拟试卷及答案

《高等数学》考研模拟试卷及答案一.填空题（每小题4分，共20分）分）1.=->-xx x 10)sin 1(lim __________________________ （e /1） 2.曲线x x x y +=在)6,2(处的切线方程为_______ （)2)(2ln 45(6-+=-x y 或2ln 84)2ln 45(--+=x y ）3.=-òdx e xe x x1_____________________ （ C e e e x x x x +-+---1arctan 41412 ）4.半径R ，圆心角q 2的均质扇形薄片的质心距圆心的距离为____________________ （q q 3sin 2R ） 5.ò-x dt t x dx d 03)arctan(=______________________ （ 3arctan x ）二.选择题（每小题4分，共分20分）分） 1.设ò+==xx x x g dt t x f sin 0432)(,)sin()(，则当0®x 时，)()(x g x f 是的（的（B ） A)等价无穷小等价无穷小 B)同阶但非等价无穷小同阶但非等价无穷小 C)高阶无穷小高阶无穷小 D)低阶无穷小低阶无穷小2.若曲线3212xy y b ax x y +-=++=和在点)1,1(-处相切，其中b a ,为常数，则（ D ）A)2,0-==b a B)3,1-==b a C)1,3=-=b a D)1,1-=-=b a 3.内有在则，且在)0,()(,0)('',0)(')0(),()(-¥>>¥+--=x f x f x f x f x f （ C ） A)0)('',0)('<<x f x f B)0)('',0)('><x f x fC)0)('',0)('<>x f x f D)0)('',0)('>>x f x f 4.二元函数ïîïíì=+¹++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f 当)0,0(),(®y x 时的极限（时的极限（ C ） A)为0 B)不为0 C)不存在不存在 D)无法判断无法判断 5.当x x y x 1sin 0=>时，曲线（ A ）A)有且仅有水平渐进线有且仅有水平渐进线 B)有且仅有铅垂渐进线有且仅有铅垂渐进线C)水平渐进线与铅垂渐进线都有水平渐进线与铅垂渐进线都有 D)不存在水平和铅垂渐进线不存在水平和铅垂渐进线三.若函数1)21(,0)1()0()10(]10[)(===f f f x f 上可微，且，上连续，在，在。

考研数学二(高等数学)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学二（高等数学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设，其中a，b为常数，则( )．A．a=1，b=1B．a=1，b=1C．a=-1，b=1D．a=-1，b=-1正确答案：B解析：因为，所以，即a=1，又，选(B) 知识模块：高等数学部分2．设f(x)二阶连续可导，且=2，则( )．A．x=0为f(x)的极大点B．x=0为f(x)的极小点C．(0，f(0))为y=f(x)的拐点D．x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由=2得f”(1)=0，由极限保号性，存在δ>0，当0>0，当x∈(1-δ，1)时，f”(x)>0；当x∈(1，1+δ)时，f”(x)，则f(x，y)在(0，0)处( )．A．取极大值B．取极小值C．不取极值D．无法确定是否取极值正确答案：A解析：因为，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜＜δ时，＜0．因为当0＜＜δ时，｜x｜+y2>0，所以当0＜＜δ时，有f(x，y)＜f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)处取极大值，选(A) 知识模块：高等数学部分填空题4．设f(x)=sinx，f[φ(x)]=1-x2，则φ(x)=_______，定义域为_______．正确答案：arcsin(1-x2)，解析：φ(x)=arcsin(1-x2)，知识模块：高等数学部分5．设函数f(x)在[0，1]上连续，且f(x)>0，则=_______正确答案：解析：知识模块：高等数学部分6．设f(x)在x=2处可导，且=2，则f(2)=_______，f’(2)=_______．正确答案：0，8解析：因为=2，所以=0，再由f(x)在x=2处的连续性得f(2)=0．由=2，得f’(2)=8．知识模块：高等数学部分7．=_______正确答案：解析：知识模块：高等数学部分8．=_______正确答案：π／2解析：知识模块：高等数学部分9．设z==_______正确答案：解析：知识模块：高等数学部分10．计算=_______正确答案：1-sin1解析：改变积分次序得知识模块：高等数学部分11．以y=C1e-2x+C2ex+cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为_______．正确答案：y”+y’-2y=-sinx-3cosx解析：特征值为λ1=-2，λ2=1，特征方程为λ2+λ-2=0，设所求的微分方程为y”+y’-2y=Q(x)，把y=cos代入原方程，得Q(x)=-sinx-3cosx，所求微分方程为y”+y’-2y=-sinx-3cosx．知识模块：高等数学部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(高等数学)模拟试卷95(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷95(题后含答案及解析)全部题型 2. 填空题3. 解答题填空题1．已知a，b，c是单位向量，且满足a+b+c=0，则a.b+b.c+c.a=_____．正确答案：涉及知识点：高等数学2．已知|a|=2，|b|=且a.b=2，则|a×b|=_____．正确答案：2 涉及知识点：高等数学3．过点(一1，2，3)，垂直于直线且平行于平面7x+8y+9z+10=0的直线方程是_______正确答案：涉及知识点：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4．计算正确答案：涉及知识点：高等数学5．计算正确答案：涉及知识点：高等数学6．计算正确答案：涉及知识点：高等数学7．计算正确答案：涉及知识点：高等数学8．设f(x)=求∫f(x)dx．正确答案：涉及知识点：高等数学9．设F(x)是f(x)的原函数，F(1)=若当x＞0时，有f(x)F(x)=，试求f(x)．正确答案：涉及知识点：高等数学10．计算正确答案：4—π涉及知识点：高等数学11．计算正确答案：涉及知识点：高等数学12．计算正确答案：涉及知识点：高等数学13．计算∫01x2f(x)dx，其中f(x)=正确答案：涉及知识点：高等数学14．计算正确答案：涉及知识点：高等数学15．正确答案：涉及知识点：高等数学16．正确答案：涉及知识点：高等数学17．求正常数a，b，使正确答案：a=2，b=1 涉及知识点：高等数学18．设函数f(x)可导，且f(0)=0，F(x)=∫0xtn-1f(xn一tn)dt，试求正确答案：涉及知识点：高等数学19．正确答案：涉及知识点：高等数学20．设星形线的方程为(a＞0)，试求：(1)它所围的面积；(2)它的周长；(3)它绕x轴旋转而成的旋转体的体积和表面积．正确答案：涉及知识点：高等数学21．设平面图形A由x2+y2≤2x与y≥x所确定，求图形A绕x=2旋转一周所得的旋转体体积．正确答案：涉及知识点：高等数学22．设f(x)=∫-1x(1-|t|)dt (x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围图形的面积．正确答案：涉及知识点：高等数学23．一容器由y=x2绕y轴旋转而成．其容积为72πm3，其中盛满水，水的比重为μ,现将水从容器中抽出64πm3，问需作功多少?正确答案：涉及知识点：高等数学24．某闸门的形状与大小如右图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的压力之比为5：4，闸门矩形部分的高h应为多少m(米)?正确答案：h=2 涉及知识点：高等数学25．设直线y=ax与抛物线y=x2所围成图形的面积为S1，它们与直线x=1所围成图形的面积为S2，并且a＜1．(1)试确定a的值，使S1+S2达到最小，并求出最小值；(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．正确答案：涉及知识点：高等数学26．已经抛物线y=px2+qx(其中p＜0，q＞0)在第一象限内与直线x+y=5相切，且抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S．(1)问p和q为何值时，S达到最大值?(2)求出此最大值．正确答案：(1)，q=3时，S达到最大；(2)S的最大值为涉及知识点：高等数学27．计算下列广义积分正确答案：(3)ln2；(4)2(1一ln2)．涉及知识点：高等数学28．设函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是正确答案：D 涉及知识点：高等数学29．已知曲线L的方程为，(t≥0)1)讨论L的凹凸性；2)过点(一1，0)引L 的切线，求切点(x0，y0)，并写出切线方程；3)求此切线L(对应于x≤x0的部分)及x轴所围成的平面图形面积．正确答案：1)上凸．2)切点为(2，3)；切线方程为y=x+1．3) 涉及知识点：高等数学30．求方程y(4)一y”=0的一个特解，使其在x→0时与x3为等价无穷小．正确答案：y=一6x+3ex一3e-x 涉及知识点：高等数学31．假设：(1)函数y=f(x)(0≤x＜+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1；(2)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别相交于点P1和P2；(3)曲线y=f(x)、直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度．求函数y=f(x)的表达式．正确答案：f(x)= 涉及知识点：高等数学32．设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为试求y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y|x=2=的解．正确答案：3f2(t)=ztf(t)+t2f’(t)，f(t)= 涉及知识点：高等数学。

考研数学一(高等数学)模拟试卷114(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷114(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小量，则( ) A．a=1，b=B．a=1，b=C．a=-1，b=D．a=-1，b=正确答案：A解析：因为当x→0时，f(x)与g(x)是等价无穷小量，所以于是(1-acosax)=1-a=0，故a=1．从而知识模块：高等数学2．曲线f(x)=x2+6x+1上点(0，1)处的切线与x轴交点的坐标为( )A．B．(-1，0)．C．D．(1，0)．正确答案：A解析：由f’(x)=x2+x+6，得f’(0)=6，所以曲线在(0，1)处的切线方程为y-1=6x．令y=0，得x=，故切线与x轴交点的坐标为知识模块：高等数学3．设y=f(x)在点x0处可导，且f’(x0)≠0，△x是自变量x在x0处的增量，△y与dy是对应函数的增量与微分，则( )A．等于0．B．等于1.C．不存在．D．不一定存在．正确答案：A解析：因为f(x)在点x0处可导f(x)在点x0处可微，而由可微的定义，△y=dy+o(△x)，所以dy-△y=-o(△x)，于是故应选A．知识模块：高等数学4．设ξ为函数f(x)=arcsin x在区间[0，b]上使用拉格朗日中值定理中的“中值”，则极限等于( )A．B．C．D．正确答案：C解析：f’(x)=，f(x)在[0，b]上用拉格朗日中值定理得知识模块：高等数学5．设f(x)是(-∞，+∞)内连续的奇函数，则下述4个结论：其中正确的个数为( )A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：B解析：①如果，错误．②因为f(x)+是[-l，l]上连续的奇函数，所以正确．对于③、④，因为当发散时，③中的等式与④中不等式都没有意义，错误．知识模块：高等数学6．曲线x=y(y-1)(2-y)与y轴所围成的图形的面积等于( )A．B．C．D．正确答案：C解析：曲线x=y(y-1)(2-y)的图形如图11所示，取y为积分变量，则所求平面图形的面积为故应选C．知识模块：高等数学7．如果函数f(x，y)=在点(0，0)处连续，则应定义f(0，0)等于( )A．B．C．4．D．-4．正确答案：B解析：因为所以补充定义f(0，0)=，则f(x，y)在点(0，0)处连续．知识模块：高等数学8．曲面z=F(x，y，z)的一个法向量为( )A．(F’x，F’y，F’z-1)．B．(F’x-1，F’y-1，F’z-1)．C．(F’x，F’y，F’z)．D．(-F’x，-F’y，-1)．正确答案：A解析：曲面方程z=F(x，y，z)可以写成F(x，y，z)-z=0，由曲面的法向量计算公式，其一个法向量为(F’x，F’y，F’z-1)．知识模块：高等数学9．设D={(x，y)｜x2+y2≥1，x2+y2≤2x，y≥0}，则=( )A．B．C．D．正确答案：A解析：由及y≥0得两条曲线的交点为．由于积分区域的特点，如图26所示，选用极坐标计算二重积分．在极坐标下，D={(r，θ)｜0≤θ≤，1≤r≤2cosθ}，所以知识模块：高等数学10．设曲线г：从z轴正向往负向看为逆时针方向，则ydx+zdy+xdz=( ) A．B．C．D．正确答案：C解析：这是一个空间封闭曲线上的第二类曲线积分的计算问题．由于空间曲线г是以一般式方程给出，且不易建立其参数方程，故考虑用斯托克斯公式．取∑为平面X+y+z=0包含在球面x2+y2+z2=R2内的部分，其法向量按右手定则，由斯托克斯公式，有其中cosα，cosβ，cosγ是平面x+y+z=0上任意一点法向量的方向余弦，cosα=cosα=cosγ=于是∮гydx+zdy+xdz= 知识模块：高等数学11．若幂级数an(x+1)n在x=1点处发散，则此幂级数在=点处( )A．条件收敛．B．绝对收敛．C．发散．D．敛散性不能确定．正确答案：D解析：本题主要考查阿贝尔定理的条件与结论．因为幂级数an(x+1)n在x=1点处发散，由阿贝尔定理，该幂级数在适合｜x+1｜＞｜1+1｜=2的范围内，即x∈(-∞，-3)∪(1，+∞)时发散，但x=(-∞，-3)∪(1，+∞)，所以该幂级数在x=点处的敛散性不能确定．故应选D．知识模块：高等数学12．函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是( )A．y’’-y’-2y=3xex．B．y’’-y’-2y=3ex．C．y’’+y’-2y=3xex．D．y’’+y’-2y=3ex．正确答案：D解析：本题主要考查二阶线性常系数齐次与非齐次微分方程解的性质与结构．由y=C1ex+C2e-2x+xex是某二阶线性常系数非齐次微分方程的通解知，r1=1，r2=-2是相应的齐次微分方程的特征方程的根，从而特征方程为r2+r-2=0，于是齐次微分方程为y’’+y’-2y=0．排除A、B．在C与D选项中，因为1是特征单根，所以方程y’’+y’-2y=3ex y’’+y’-2y=3ex具有y*=Axex形式的特解，故应选D．事实上，y*=xex是二阶线性非齐次微分方程y’’+y’-2y=f(x)的特解．由于y*’=(x+1)ex，y*’’=(x+2)ex，从而f(x)=(x+2)ex+(x+1)ex-2xex=3ex，故所求微分方程为y’’+y’-2y=3ex．知识模块：高等数学填空题13．设f(x)=则f[f(x)]=______．正确答案：x解析：因为而f(x)≥0 x≥0，f(x)＜0 x＜0，所以故f[f(x)]=x．知识模块：高等数学14．=_____.正确答案：解析：知识模块：高等数学15．设函数y=y(x)由方程2cos(xy)=x+y所确定，则dy｜x=0=_______．正确答案：-dx解析：这是一个隐函数的求导(微分)运算问题．当x=0时，由已知方程得y=2．方程两边对x求导得取x=0，y=2得，所以知识模块：高等数学16．函数的极大值是_____，极小值是_______．正确答案：解析：令y’=0，得驻点x1=，当x=0时，y’不存在．列表9：由极值的第一充分条件知，x=0是极大值点，x=是极小值点；知识模块：高等数学17．设f’(x)的一个原函数为ln(x+)，则∫xf’’(x)dx=________.正确答案：解析：因为f’(x)的一个原函数为，所以知识模块：高等数学18．=_______.正确答案：解析：由于被积函数4cos4θ在积分区间上是偶函数，则知识模块：高等数学19．用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1cm，如果铁锤每次锤击铁钉所作的功相等，则锤击第三次时，铁钉又击入________cm．正确答案：解析：这是一个变力沿直线做功问题，主要考查定积分在物理上的应用．由题设，木板对铁钉的阻力f(x)=kx，其中k是比例系数，x是铁钉击入木板的深度，则击第一次时，铁锤所做的功为设击第二次时，铁钉的深度为x2cm，由于每次锤击铁钉所做的功相等，所以解得x2=cm，故第二次击入的深度为cm．设击第三次时，铁钉的深度为x3cm，同理解得x3=cm，故第三次又击入的深度为知识模块：高等数学20．已知，其中φ(u)可微，则x2+y2=_____．正确答案：0解析：这是一个二元函数的偏导数计算问题，对x(或y)求偏导数时把y(或x)看成常数即可．因为知识模块：高等数学21．设，且D={(x，y)｜x+y≤1，x≥0，y≥0}，则=______.正确答案：0解析：由于二重积分的被积函数仅是x的函数，所以将二重积分化为先对y 后对x的二次积分，再代入已知条件进行计算．知识模块：高等数学22．设L为椭圆，其周长为l，则曲线积分∮L(b2x2+a2y2+2xy)ds=______．正确答案：la2b2解析：本题考查第一类曲线积分的计算．因为曲线L关于x(y)轴对称，而函数2xy关于y(x)为奇函数，所以∮L2xy ds=0，而曲线L可写成b2x2+a2y2=a2b2，故∮L(b2x2+a2y2+2xy)ds=∮L(b2x2+a2y2)ds+∮L2xyds=∮La2b2ds=a2b2∮Lds=la2b2．知识模块：高等数学23．已知=_______.正确答案：解析：因为知识模块：高等数学24．设2+｜x｜=ancosnx(-π≤x≤π)，则a2=______．正确答案：0解析：因为2+｜x｜是偶函数，且是余弦级数，所以知识模块：高等数学25．微分方程y’’-2y’+2y=ex+2x的通解为_________．正确答案：y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex+x+1解析：这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程求通解问题．首先求y’’-2y’+2y=0的通解．y’’-2y’+2y=0的特征方程为r2-2r+2=0，特征根为r1,2=1±i，所以其通解为Y=ex(C1cosx+C2sinx)．其次求y’’-2y’+2y=ex+2x的一个特解．设y1*=Aex是y’’-2y’+2y=ex的一个特解，则y1*’=y2*’’=Aex，将其代入到y’’-2y’+2y=ex并化简，得A=1，所以y1=ex．设y2*=ax+b是y’’-2y’+2y=2x 的一个特解，则y2*’=a，y2*’’=0，将其代入到y’’-2y’+2y=2x并化简，比较等式两边x同次幂的系数，得a=1，b=1，所以y2=x+1．故y*=y1*+y2*=ex+x+1是y’’-2y’+2y=ex+2x的一个特解．最后写出y’’-2y’+2y=ex+2x的通解，为y=Y+y*=ex(C1cosx+C2sinx)+ex+x+1．知识模块：高等数学。

考研数学一(高等数学)模拟试卷150(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷150(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．级数A．绝对收敛．B．条件收敛．C．发散．D．敛散性与a有关．正确答案：B解析：由莱布尼兹法则知，原级数收敛．因此是条件收敛．选(B)．知识模块：高等数学2．设有级数an，Sn＝ak，则Sn有界是级数an收敛的A．充分条件．B．必要条件．C．充分必要条件．D．既非充分条件也非必要条件．正确答案：B解析：由级数收敛性概念知收敛，即部分和数列{Sn}收敛．由数列收敛性与有界性的关系知，{Sn}收敛｛Sn｝有界，因此选(B)．知识模块：高等数学3．已知an＞0(n＝1，2，…)，且(一1)n—1an条件收敛，记bn＝2a2n—1一a2n，则级数A．绝对收敛．B．条件收敛．C．发散．D．收敛或发散取决于an的具体形式．正确答案：C解析：由已知条件知识模块：高等数学4．下列命题中正确的是A．若幂级数收敛半径R≠0，则B．若，则不存在收敛半径．C．若的收敛域为[一R，R]，则的收敛域为[一R，R]．D．若的收敛区间(—R，R)即它的收敛域，则的收敛域可能是[—R，R]．正确答案：D解析：收敛半径，或R＝＋∞，或0＜R＜＋∞，或R＝0，三种情形必有一种成立．因而(B)不正确，但幂级数，不一定有(如缺项幂级数收敛半径，这里a2n ＝2n，a2n＋1＝0，于是，)，因而(A)也不正确．(C)也是不正确的．如，收敛域为[—1，1]，但的收敛域为[一1，1)．因此只有(D)正确．事实上，若取的收敛区间即收敛域为(一1，1)，而的收敛域为[—1，1]．知识模块：高等数学5．对于任意x的值，A．0．B．1．C．D．∞．正确答案：A解析：考虑级数的敛散性．由可知幂级数的收敛半径R＝＋∞，因此此级数对任意的x值均收敛．由级数收敛的必要条件得知，故选(A)．知识模块：高等数学填空题6．设级数的部分和，则＝______．正确答案：解析：因为，所以级数收敛，那么由级数的基本性质有知识模块：高等数学7．级数的和S＝______．正确答案：解析：考察部分和知识模块：高等数学8．幂级数的收敛区间是______．正确答案：(一2，2)解析：先求收敛半径R：有相同的收敛半径R，R＝2，收敛区间为(一2，2)．知识模块：高等数学9．(n—1)x的和函数及定义域是______·正确答案：解析：知识模块：高等数学10．幂级数的和函数及定义域是______·正确答案：解析：知识模块：高等数学11．设级数收敛，则p的取值范围是______。

考研数学一(高等数学)模拟试卷144(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷144(题后含答案及解析)全部题型 2. 填空题3. 解答题填空题1．已知方程的两个特解y1＝ex，y2＝x，则该方程满足初值y(0)＝1，y’(0)＝2的解y＝______．正确答案：ex＋x解析：因y1，y2线性无关，该方程的通解y＝C1ex＋C2x．由初始条件得C1＝1，C1＋C2＝2C1＝1，C2＝1y＝ex＋x 知识模块：高等数学2．微分方程y’’＋6y’＋9y＝0的通解y＝______．正确答案：(C1＋C2x)e—3x解析：特征方程λ2＋6λ＋9＝0，即(λ＋3)2＝0．通解为y＝(C1＋C2x)e —3x，其中C1，C2为任意常数．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3．求下列微分方程的通解：(I)(x一2)dy＝[y＋2(x一2)3]dx；(Ⅱ)y2dx＝(x＋y2)dy；(Ⅲ)(3y一7x)dx＋(7y一3x)dy＝0；(Ⅳ)一3xy＝xy2．正确答案：(I)原方程改写成＝2(x—2)2．(一阶线性方程)，两边乘μ＝＝2(x 一2)．积分得y＝(x一2)2＋C通解y＝(x一2)3＋C(x一2)，其中C为任意常数.(II)原方程改写成．(以y为自变量，是一阶线性的)两边乘通解，其中C为任意常数．(Ⅲ)原方程改写成通解为(x一y)2(x＋y)5＝C，其中C为任意常数．(Ⅳ)这是伯努利方程．将原方程改写成故通解为，其中C为任意常数．涉及知识点：高等数学4．求下列微分方程的通解或特解：(I)一4y＝4x2，y(0)＝，y’(0)＝2；(Ⅱ)＋2y＝e—xcosx．正确答案：(I)相应齐次方程的特征方程λ2一4＝0，特征根λ＝±2．零不是特征根，方程有特解y*＝ax2＋bx＋c，代入方程得2a一4(ax2＋bx＋c)＝4x2．—4a＝4，b＝0，2a—4c＝0a＝—1，c＝由初值y(0)＝C1＋C2，y’(0)＝2C1—2C2＝2因此得特解为(II)相应齐次方程的特征方程λ2＋3λ＋2＝0，特征根λ1＝一1，λ2＝一2．由于非齐次项是e—xcosx；，一1±i不是特征根，所以设非齐次方程有特解y*＝e—x(acosx＋bsinx)．代入原方程比较等式两端e—xcosx与e—xsinx的系数，可确定出，所以非齐次方程的通解为y＝C2e—x＋C2e—2x＋e—x(sinx一cosx)，其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：高等数学5．求方程y’’＋2my’＋n2y＝0的通解；又设y＝y(x)是满足y(0)＝a，y’(0)＝b的特解，求y(x)dx，其中m＞n＞0，a，b为常数．正确答案：特征方程λ2＋2mλ＋n2＝0，特征根λ＝一m±，通解为注意：指数均为负的将方程两边积分涉及知识点：高等数学6．设y＝y(x)在[0，＋∞)内可导，且在x＞0处的增量△y＝y(x＋△x)一y(x)满足△y(1＋△y)＝，其中当△x→0时α是△x的等价无穷小，又y(0)＝2，求y(x)．正确答案：由题设等式可得(1＋△y)，令△x→0即得从而y＝y(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解：方程两边乘，两边积分得＝C＋ln(4＋x)y＝C(4＋x)＋(4＋x)ln(4＋x)令x＝0，y—2可确定常数y＝(—2ln2)(4＋x)＋(4＋x)ln(4＋x)＝(4＋x)[—2ln2＋ln(4＋x)] 涉及知识点：高等数学7．设函数f(x)连续，且f(t)dt＝sin2x＋tf(x一t)dt．求f(x)．正确答案：代入原方程即得①由f(x)连续可见以上方程中各项均可导．将方程①两端对x求导即得f(x)=2sinxcosx＋∫0xf(u)du＝sin2x+∫0xf(u)du ②(在①中令x＝0，得0＝0，不必另加条件①与②同解．)在②式中令x＝0可得f(0)＝0，由②式还可知f(x)可导，于是将它两端对x求导，又得f’(x)＝2cos2x＋f(x)．故求y＝f(x)等价于求解初值问题的特解．解之可得涉及知识点：高等数学8．设有微分方程y’一2y＝φ(x)，其中φ(x)＝试求：在(一∞，＋∞)内的连续函数y＝y(x)，使之在(一∞，1)和(1，＋∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)＝0．正确答案：这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起．当x＜1时，方程y’一2y＝2的两边同乘e—2x得(ye—2x)’＝2e—2x，积分得通解y＝C1e2x一1；而当x＞1时，方程y’一2y＝0的通解为y＝C2e2x．为保持其在x＝1处的连续性，应使C1e2—1＝C2e2，即C2＝C1一e—2，这说明方程的通解为再根据初始条件，即得C1＝1，即所求特解为涉及知识点：高等数学9．设函数f(x)在[0，＋∞)上连续，且满足方程f(t)＝，试求f(t)．正确答案：先用极坐标变换将二重积分转化为定积分代入原方程得两边对t求导得在前一个方程中令t＝0得f(0)＝1．②求f(t)转化为求解初值问题①＋②．这是一阶线性方程，两边乘由f(0)＝1得C＝1．因此f(t)＝(4πt2＋1)e4πt2．涉及知识点：高等数学10．已知y1*＝xex＋e2x，y2*＝xex＋e—x，y3*＝xex＋e2x—e—x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．正确答案：易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解y1*—y3*＝e—x，y2*—y3*＝2e—x—e2x．进一步又可得该齐次方程的两个特解是y1＝e—x，y2＝2(y1*—y3*)一(y2*—y3*)＝e2x，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解y4*＝y1*—y2＝xex因此该非齐次方程的通解是y＝C1e—x＋C2e2x＋xex，其中C1，C2为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程y’’＋py’＋qy＝f(x)．它的相应特征根是λ1＝一1，λ2＝2，于是特征方程是(λ＋1)(λ一2)＝0，即λ2一λ一2＝0．因此方程为y’’一y’一2y＝f(x)．再将特解y4*＝xex代入得(x＋2)ex—(x＋1)ex—2xex＝f(x)，即f(x)＝(1—2x)ex因此方程为y’’—y’—2y＝(1—2x)ex 涉及知识点：高等数学11．求解初值问题正确答案：这是可降阶类型的(方程不显含x)．令p＝，并以y为自变量变换原方程代入原方程得由初值得积分得最后得(0≤x≤2)．涉及知识点：高等数学12．设p(x)在(a，b)连续，∫p(x)dx表示p(x)的某个原函数，C为任意常数，证明：是方程y’＋p(x)y＝0的所有解．正确答案：因为对任意常数C，y＝是原方程的解，又设y是原方程的任意一个解，则即存在常数C，使得涉及知识点：高等数学13．设连接两点A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸弧AB上的任意点(图6．4)．已知凸弧与弦AP之间的面积为x3，求此凸弧的方程．正确答案：设凸弧的方程为y＝f(x)，因梯形OAPC的面积为[1＋f(x)]，故两边对x求导，则得y＝f(x)所满足的微分方程为xy’一y＝一6x2一1．(原方程中令x＝0得0＝0，不必另加条件，它与原方程等价)其通解为对任意常数C，总有y(0)＝1，即此曲线族均通过点A(0，1)．又根据题设，此曲线过点(1，0)，即y(1)＝0，由此即得C＝5，即所求曲线为y＝5x—6x2＋1．涉及知识点：高等数学14．在[0，＋∞)上给定曲线y＝y(x)＞0，y(0)＝2，y(x)有连续导数．已知x＞0，[0，x]上一段绕x轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积，求曲线y＝y(x)的方程．正确答案：(Ⅰ)．列方程，定初值．在[0，x]上侧面积与体积分别为．按题意①y(0)＝2．②(II)转化．将①式两边求导得2y(x)(在①中令x＝0，得0＝0，不必另附加条件)．化简得(Ⅲ)解初值问题③式分离变量得积分得为解出y，两边乘将④．⑤相加得涉及知识点：高等数学15．设f(x)为连续正值函数，x∈[0，＋∞)，若平面区域Rt＝｜(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤f(x)｜(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y＝f(x)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(x)．正确答案：(I)列方程．按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为而相应的曲边梯形的面积为∫0tf(x)dx．见图6．2．按题意(II)转化．将方程①两边求导，则方程①f2(t)＝4f(t)∫0tf(x)dx＋f(t)f(t)＝4∫0tf(x)dx＋1(①中令x＝0，等式自然成立，不必另加条件)·f(x)实质上是可导的，再将方程②两边求导，并在②中令t ＝0得方程①③(Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③．这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边乘μ(t)＝得[f(t)e—4t]’＝0，并由初始条件得f(t)＝e4t，即f(x)＝e4x．涉及知识点：高等数学16．设曲线y＝y(x)上点(x，y)处的切线垂直于此点与原点的连线，求曲线y＝y(x)的方程．正确答案：(I)列方程．曲线y＝y(x)在点(x，y)处的切线斜率为，与原点连线的斜率为(II)解方程．将方程改写为ydy＋xdx＝0，即d(x2＋y2)＝0．于是通解为x2＋y2＝C(C＞0为常数)．涉及知识点：高等数学17．求证：曲率半径为常数a的曲线是圆．正确答案：由曲率半径公式知，曲线y＝y(x)满足解方程：①积分得②又由③由②和③式得(x＋C1)2＋(y＋C2)2＝a2，即曲线是圆周．若，则同样可证．涉及知识点：高等数学18．设有一弹性轻绳(即绳本身的重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为3克的物体，已知此绳受1克重量的外力作用时伸长厘米，如果物体在绳子拉直但并未伸长时放下，问此物体向下运动到什么地方又开始上升?正确答案：取物体刚放下时所处位置为坐标原点，建立坐标系，位移s，向下为正．s＝?时，v(速度)＝0．(I)受力分析．弹性恢复力f＝ks由条件知g＝k·k ＝24g f＝24gs，g为重力加速度．重力mg＝3g．(Ⅱ)加速度表示．由题目的需要，加速度．(Ⅲ)列方程与初始条件．由牛顿第二定律得＝3g一24gs．初始条件：t＝0时s(0)＝0，(Ⅳ)求解初值问题分离变量得vdv＝(g一8gs)ds＝gs一4gs2＋C．由v(0)＝0 C＝0 ＝gs一4gs2．(V)当物体开始向下运动到它再开始向上运动时，此时v＝0．解gs一4gs2＝0得s＝0，s＝．因此，s＝为所求．涉及知识点：高等数学19．5kg肥皂溶于300L水中后，以每分钟10L的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀之肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有1 kg肥皂．正确答案：设t时刻水中含的肥皂量为Q(t)kg，任取[t，t＋dt]，这段时间内肥皂含量的减少量＝抽出水的肥皂含量，即解此初值问题得Q(t)＝因此，当t＝T＝30ln5时肥皂水中只有1 kg肥皂．涉及知识点：高等数学20．设物体A从点(0，1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正方向运动，物体B从点(一1，0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，任意时刻B点的坐标(x，y)，试建立物体B的运动轨迹(y作为x的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件．正确答案：规定A出发的时刻t＝0．1 列方程.t时刻A位于(0，1＋vt).t时刻B位于点(x(t)，y(t))，B点的速度＝(一x，1＋vt—y)同向(见图6．3)①又B点的速度大小为讲一步消去t，可得y作为x的函数满足的微分方程．将①式两边对x求导得③由②式将它代入③得y＝y(x)满足的微分方程为涉及知识点：高等数学21．已知α，β都是单位向量，夹角是，求向量2α＋β与一3α＋2β的夹角．正确答案：｜α｜＝1，｜β｜＝1，α·β＝｜α｜｜β｜cos＜α，β＞＝(2α＋β)·(2α＋β)＝4＋2β·α＋2α·β＋1＝5＋4(一3α＋2β)·(一3α＋2β)＝9一6β·α—6α·β＋4—＝13—12＝7，(2α＋β)·(一3α＋2β)＝—6—3β·α＋4α·β＋2＝一4 涉及知识点：高等数学22．若α∥β，α＝｛6，3，一2｝，而｜β｜＝14，求β．正确答案：设β＝｛x，y，z｝，由β＝λα｜β｜＝｜λ｜｜α｜14＝｜λ｜7｜λ｜＝2β＝±2｛6，3，—2｝涉及知识点：高等数学23．若α，β，γ是单位向量且满足α＋β＋γ＝0，求以α，β为边的平行四边形的面积．正确答案：记＜α，β＞＝θ，则面积S＝｜α×β｜＝｜α｜｜β｜sin θ＝下求α·β：由α＋β＋γ＝0因此涉及知识点：高等数学24．已知α，β，γ不共线，证明α＋β＋γ＝0的充要条件是α×β＝β×γ＝γ×α．正确答案：设α＋β＋γ＝0 α×β＋γ×β＝0 α×β一β×γ＝0 α×β＝β×γ．同理，由α＋β＋γ＝0 α×γ＋β×γ＝0 β×γ＝γ×α．设α×β＝β×γ＝γ×α，则(α＋β＋γ)×α＝β×α＋γ×α，(α＋β＋γ)×β＝α×β＋γ×β＝0，(α＋β＋γ)×γ＝α×γ＋β×γ＝0α，β，γ均与α＋β＋γ共线α＋β＋γ＝0 涉及知识点：高等数学25．把直线L的方程化为对称方程．正确答案：先求L的方向向量再求一交点．令x＝0得因此直线L的方程为涉及知识点：高等数学。

考研数学一(高等数学)模拟试卷336(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷336(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设曲线y=x2+ax+b与曲线2y=xy3－1在点(1，－1)处切线相同，则( )．A．a=1，b=1B．a=－1，b=－1C．a=2，b=1D．a=－2，b=－1正确答案：B解析：由y=x2+ax+b得y′=2x+a，2y=xy3－1两边对x求导得2y′=y3+3xy2y′，解得y′=，因为两曲线在点(1，－1)处切线相同，所以应选B．知识模块：高等数学2．二阶常系数非齐次线性微分方程y″－2y′－3y=(2x+1)e－x的特解形式为( )．A．(ax+b)e－xB．x2e－xC．x2(ax+b)e－xD．x(ax+b)e－x正确答案：D解析：方程y″－2y′－3y=(2x+1)e－x的特征方程为λ2－2λ－3=0，特征值为λ1=－1，λ2=3，故方程y″－2y′－3y=(2x+1)e－x的特解形式为x(ax+b)e －x，选D．知识模块：高等数学填空题3．当x→0时，～axb，则a=______，b=______。

正确答案：a=，b=3．解析：知识模块：高等数学4．若f(x)=在x=0处连续，则a=_______。

正确答案：a=2解析：，f(0)=a，因为f(x)在x=0处连续，所以1+=a，故a=2 知识模块：高等数学5．设y=，则y(n)=_______。

正确答案：解析：知识模块：高等数学6．曲线L：对应点处的曲率为_______。

正确答案：解析：则所求的曲率为K= 知识模块：高等数学7．=_______。

正确答案：解析：知识模块：高等数学8．=_______。

正确答案：解析：知识模块：高等数学9．设∫0yetdt+∫0xcostdt=xy确定函数y=y(x)，则=_______。

正确答案：解析：∫0yetdt+∫0xcostdt=xy两边对x求导得知识模块：高等数学10．=_______。

考研数学一(高等数学)模拟试卷345(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷345(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．当x→0+时，下列无穷小中，阶数最高的是( )．A．ln(1+x2)－x2B．+cosx－2C．∫0x2ln(1+t2)dtD．ex2－1－x2正确答案：C解析：当x→0+时，ln(1+x2)－x3～，+cosx－2=1++ο(x4)+1－+ο(x4)－2～，由，得x→0时，∫0x2ln(1+t2)dt～，ex2－1－x2=1+x2++ο(x4)－1－x2～，则∫0x2ln(1+t2)dt为最高阶无穷小，选C．知识模块：高等数学2．设当x→0时，有ax3+bx2+cx～∫0ln(1+2x)sintdt，则( )．A．a=，b=1，c=0B．a=，b=1，c=0C．a=，b=－1，c=0D．a=0，b=2，c=0正确答案：D解析：因为x→0时，ax3+bx2+cx～∫0ln(1+2x)sintdt，所以1=，显然c=0，再由1=，得a可取任意常数，b=2，选D．知识模块：高等数学3．设f(x)在x=a处二阶可导，则等于( )．A．－f″(a)B．f″(a)C．2f″(a)D．正确答案：D解析：知识模块：高等数学填空题4．设f(x)=可导，则a=_______，b=_______。

正确答案：a=3，b=－2解析：f(1－0)=f(1)=a+b，f(1+0)=1，因为f(x)在x=1处连续，所以a+b=1；f′－(1)==a，f′+(1)==3，因为f(x)在x=1处可导，所以a=3，故a=3，b=－2．知识模块：高等数学5．=_______。

正确答案：解析：知识模块：高等数学6．=_______。

正确答案：解析：知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

7．设f(x)=，求f(x)及其间断点，并判断其类型。

正确答案：当x＜1时，f(x)=1；当x=1时，f(1)=；当x＞1时，f(x)=，即f(x)=因为f(1－0)=1≠f(1+0)=，所以x=1为f(x)的跳跃间断点．涉及知识点：高等数学8．正确答案：涉及知识点：高等数学9．确定常数a，b的值，使得ln(1+2x)+=x+x2+ο(x2)．正确答案：由ln(1+2x)=2x－+ο(x2)=2x－2x2+ο(x2)，=ax.[1－bx+ο(x)]=ax －abx2+ο(x2)，得ln(1+2x)+=(a+2)x－(ab+2)x2+ο(x2)，于是解得a=－1，b=3．涉及知识点：高等数学10．设f(x)连续，且对任意的x，y∈(－∞，+∞)有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f′(0)=1，求f(x)。

考研数学一(高等数学)模拟试卷352(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷352(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设y=f(x)由cos(xy)+lny－x=1确定，则=( )．A．2B．1C．－1D．－2正确答案：A解析：将x=0代入题中等式得y=1，cos(xy)+lny－x=1两边对x求导得－sin(xy)－1=0，将x=0，y=1代入上式得，即f′(0)=1，于是=2f′(0)=2，应选A．知识模块：高等数学2．设f(x)连续，且F(x)=，则F′(x)=( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：F′(x)=f(lnx).(lnx)′－，应选A．知识模块：高等数学3．设f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y″+py′+qy=sin2x+2ex的满足初始条件f(0)=f′(0)=0的特解，则当x→0时，( )．A．不存在B．等于0C．等于1D．其他正确答案：C解析：，因为f(0)=f′(0)=0，所以f″(0)=2，于是=1，选C 知识模块：高等数学4．设f(x)在x=a的邻域内有定义，且f′+(a)与f′－(a)都存在，则( )．A．f(x)在x=a处不连续B．f(x)在x=a处连续C．f(x)在x=a处可导D．f(x)在x=a处连续可导正确答案：B解析：因为f′+(a)存在，所以存在，于是=f(a)，即f(x)在x=a处右连续，同理由f′－(a)存在可得f(x)在x=a处左连续，故f(x)在x=a处连续，选B．知识模块：高等数学5．设α=，则当x→0时，两个无穷小的关系是( )．A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶非等价无穷小D．等价无穷小正确答案：C解析：因为≠1，所以两无穷小同阶但非等价，选C．知识模块：高等数学填空题6．=_______。

正确答案：解析：知识模块：高等数学7．设x＞0，且=_______。

正确答案：解析：知识模块：高等数学8．∫arcsinxdx=_______。

考研数学一(高等数学)模拟试卷232(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷232(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)=则在x=1处f(x)( )．A．不连续B．连续但不可导C．可导但不是连续可导D．连续可导正确答案：D解析：因为(x2+x+1)=3=f(1)，所以f(x)在x=1处连续．因为=3，所以f(x)在x=1处可导．当x≠1时，f’(x)=2x+1，因为=3=f’(1)，所以f(x)在x=1处连续可导，选(D)．知识模块：高等数学2．设f’’(x)连续，f’(0)=0，=1，则( )．A．f(0)是f(x)的极大值B．f(0)是f(x)的极小值C．(0，f(0))是y=f(x)的拐点D．f(0)非极值，(0，f(0))也非y=f(x)的拐点正确答案：B解析：由=1及f’’(x)的连续性，得f’’(0)=0，由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＞0，从而f’’(x)＞0，于是f’(x)在(一δ，δ)内单调增加，再由f’(0)=0，得当x∈(一δ，0)时，f’(x)＜0，当x∈(0，δ)时，f’(x)＞0，x=0为f(x)的极小值点，选(B)．知识模块：高等数学3．设f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且g(x)＜f(x)＜m，则由曲线y=g(x)，y=f(x)及直线x=a，x=b所围成的平面区域绕直线y=m旋转一周所得旋转体体积为( )．A．π∫ab[2m—f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dxB．π∫ab[2m—f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dxC．π∫ab[m—f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dxD．π∫ab[m—f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx正确答案：B解析：由元素法的思想，对[x，x+dx][a，b]，dν=｛π[m－g(x)]2一π[m 一f(x)]2｝dx=π[2m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx，则V=∫abdν=π∫ab[2m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx，选(B)．知识模块：高等数学4．设fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)都存在，则( )．A．f(x，y)在(x0，y0)处连续B．存在C．f(x，y)在(x0，y0)处可微D．f(x，y0)存在正确答案：D解析：多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，(A)不对；函数f(x，y)=在(0，0)处可偏导，但不存在，(B)不对；f(x，y)在(x0，y0)处可偏导是可微的必要而非充分条件，(C)不对，应选(D)，事实上由fx’(x0，y0)==f(x0，y0)．知识模块：高等数学5．微分方程y’’一4y=e2x+x的特解形式为( )．A．ae2x+bx+cB．ax2e2x+bx+cC．axe2x+bx2+cxD．axe2x+bx+c正确答案：D解析：y‘’一4y=0的特征方程为λ2一4=0，特征值为λ1=一2，λ2=2，y’’一4y=e2x的特解形式为y1=axe2x，y’’一4y=x的特解形式为y2=bx+c，故原方程特解形式为axe2x+bx+c，应选(D)．知识模块：高等数学填空题6．=_________．正确答案：解析：由ln(1+x)=x一+ο(x2)得x→0时，x2一xln(1+x)=，则知识模块：高等数学7．=_________．正确答案：解析：知识模块：高等数学8．=_________．正确答案：解析：知识模块：高等数学9．过点(2，0，－3)且与直线垂直的平面方程为________．正确答案：一16x+14y+11z+65=0解析：s1=｛1，一2，4｝，s2=｛3，5，一2｝，所求平面的法向量n=s1×s2=｛一16，14，11｝，则所求平面方程为一16x+14y+11z+65=0．知识模块：高等数学10．改变积分次序∫01dxf(x，y)dy=________．正确答案：∫01dy∫0yf(x，y)dx＋f(x，y)dx．解析：∫01dxf(x，y)dy=∫01dy∫0yf(x，y)dx＋f(x，y)dx．知识模块：高等数学11．设=________．正确答案：解析：(x2＋y2+z2)ds=，原点到平面x+y+z=1的距离为d=的半径为r=，则．知识模块：高等数学12．幂级数的收敛域为_________．正确答案：(0，4)解析：令x一2=t，对级数，所以收敛半径为R=2，当t≠±2时，的收敛域为(一2，2)，于是原级数的收敛域为(0，4)．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。