量纲分析与相似理论
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流体力学第五章 量纲分析和相似理论
第五章 量纲分析与相似原理
5.2 量纲分析与П定理
2. П定理
提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是美国物理
学家布金汉（E.Buckingham,1914):
Π定理
若某一物理过程包含 n 个物理量，即：
f(q1 ， q 2，q 3, ……, q n )＝0
其中有 m 个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量），则该物理过程可由 n个物理量构成的 n-m 个无 量纲的关系表达式来描述。即：
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
1. 物理量的量纲（因次）：物理量的本质属性。
2. 物理量的单位：物理量的度量标准。
基本量纲和导出量纲：根据物理量之间的关系把无 任何联系且相互独立的量纲作为基本量纲，可由基本量 导出的量纲为导出量纲。
SI制中的基本量纲：
dim m = M , dim l = L , dim t = T ，dim θ=Θ
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量致性原则，也叫量纲齐次性原理（量纲和谐原理）
物理方程可以是单项式或多项式，甚至是微分方程等，同 一方程中各项的量纲必须相同。
用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，
这就是物理方程的量纲一致性原则，也叫量纲齐次原则或量纲
1. 客观性 2. 不受运动规模的影响 3. 可以进行超越函数运算
整理课件
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
2. 量纲一的量(无量纲量)
基本量独立性判别条件：
设A、B、C为三个基本量，他们成立的条件是：指数行列式 不等于零。
diB m M 2L 2T 2 diA m M 1L 1T1 diC m M 3L 3T 3
5 量纲分析和相似原理
5.2.2 π定理（布金汉定理，Bucking ham）
由美国物理学家Bucking ham提出。若某一物 理过程包含n个物理量，即 f (q1q2q3 qn ) 0 其中有m个基本量（量纲独立，不能互相导出）， 则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲 项所表达的关系式来描述，即 F (1 nm ) 0 由于无量纲项用π表示，因此叫作π定理。
5.1.2 无量纲量
当量纲公式中α=0、β=0、γ=0时, 物理量q 为无量纲量。 vd Re 如 雷诺准数
LT 1L dim Re dim( ) 2 1 1 LT vd
无量纲量的特点： 客观性 不受运动规模的影响 可进行超越函数运算
5.1.3 量纲和谐原理
量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理 方程，其各项的量纲一定是一致的。 如粘性流体总流的柏努利方程
4)量纲分析法是沟通流体力学理论与实验之 间的桥梁。
5.3 相似理论基础
5.3.1 相似概念
几何相似：两个流动流场（原型和模型）的 几何形状相似，即相应的线段长度成比例、 夹角相等。 以p表示原型 (prototype) ， m表示模型 (model) ，有
l p1 lm1 l p2 lm2 lp lm l
I m mlm2vm 2 lmvm Tm mlmvm m
即
l pvp
p
lmvm
m
(Re) p (Re)m
lv
无量纲数 Re 称为雷诺准数(Reynolds number)，表示惯性力与粘滞力之比。两流动 的雷诺准数相等，粘滞力相似。
此式为管道压强损失计算公式，称为达西-魏 斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式。
《水力学》课件——第六章 量纲分析与相似理论
• 物理过程的有量纲表达形式为 f (x1, x2,", xn ) = 0 ，其中 m 个物
理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这m
个物理量组合成无量纲量 1, 2,", ， 定理的结论是：物理
过程的无量纲表达形式为 F(
1,
nm
2,", n m =
)0
例 初速为零的自由落体运动位移s
形）得到流动的相似准数：
斯特劳哈尔数
S UT
t
L
弗劳德数
Fr U gL
欧拉数
P
En
U2
雷诺数
Re UL
它们分别是时变惯性力、重力、压差力、粘性力相似的准数。
斯特劳哈尔数
UT St L
表征
位变惯性力 时变惯性力
雷诺数
R UL e
表征
位变惯性力
弗劳德数
Fr U gL
表征 位变惯性力
欧拉数
P
En
U2
粘性力 表征
• 应用 定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物
理量时，既不能遗漏，也不要多列。
ห้องสมุดไป่ตู้6—2 相似理论
一. 流动相似概念
• 本节在量纲分析基础上，讨论两个规模不同的不可压流体流
动的相似问题。这是进行有关流体力学模型试验时必须面对的 问题。
• 几何相似：流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角度
• 在两个相似
流动中，对应 的无量纲量是 相同的。
• 不可压流体的流动都受N-S方程的控制，那么
我们怎样来保证两个不同规模的流动是相似的 呢？两个相似的不可压流体流动的无量纲解应 是相等的，这意味着控制流动的无量纲方程和 无量纲边界条件和初始条件应是完全一样的。
量纲分析和相似理论
模型试验的理论基础——结构相似理论
整理ppt
一、结构相似定理
相似第一定理——牛顿（1786）
彼此相似的现象，单值条件相同，其相似准数相同。
单值条件： ➢几何相似 ➢物理参数相似 ➢边界条件相似 ➢初始条件相似
整理ppt
以牛顿第二定律为例来说明第一相似定理性质
牛顿第二定律，即作用力F等于质量m与加 速度a的乘积，其方向与加速度方向相同，即：
应该指出我们在叙述上面三个相似定理时，为了简便起 见，没有采用微积分运算方程式，但此三个定理对微积分
方程同样适用，例如：对于微分符号 dx，我们可以看成 x2-x1，因此 dx 与 x 具有同样的物理意义，在确定相似系
数与相似判据时可不考虑微积分符号。
V F p M q R r
整理ppt
这几个物理量的量纲是
VLT 1 RL MM FM L 2T
故有
L 1T M 2p L M q L r T M p q L p r T 2 p
根据量纲齐次原则，必须使
p q 0 ,p r 1 , 2 p 1
解得 所以 从而
Cp、 C l、 C 、 C W 、 CA 为相似系数
整理ppt
将式（c）代入(b)式得到
1C CpC Cw l PWlCC C pAPA
将上式与(a)相比较可知，若要两现象相似，必须使
CpCl 1 CCW
Cp 1 CCA
或者
Pl Pl 常数
W W
P P 常数
A
整理ppt
写成一般形式得：
K1PWl，K2 PA
在两个相似现象中，除了具有相同的基本方程外，还要 求模型与原型在与外界接触的区域内的各种条件（支承条 件、约束条件和边界上的受力情况等）保持相似。例如四 周固支的板与四周简支的板，其处理方法是不同的。
整理ppt
一、结构相似定理
相似第一定理——牛顿（1786）
彼此相似的现象，单值条件相同，其相似准数相同。
单值条件： ➢几何相似 ➢物理参数相似 ➢边界条件相似 ➢初始条件相似
整理ppt
以牛顿第二定律为例来说明第一相似定理性质
牛顿第二定律，即作用力F等于质量m与加 速度a的乘积，其方向与加速度方向相同，即：
应该指出我们在叙述上面三个相似定理时，为了简便起 见，没有采用微积分运算方程式，但此三个定理对微积分
方程同样适用，例如：对于微分符号 dx，我们可以看成 x2-x1，因此 dx 与 x 具有同样的物理意义，在确定相似系
数与相似判据时可不考虑微积分符号。
V F p M q R r
整理ppt
这几个物理量的量纲是
VLT 1 RL MM FM L 2T
故有
L 1T M 2p L M q L r T M p q L p r T 2 p
根据量纲齐次原则，必须使
p q 0 ,p r 1 , 2 p 1
解得 所以 从而
Cp、 C l、 C 、 C W 、 CA 为相似系数
整理ppt
将式（c）代入(b)式得到
1C CpC Cw l PWlCC C pAPA
将上式与(a)相比较可知，若要两现象相似，必须使
CpCl 1 CCW
Cp 1 CCA
或者
Pl Pl 常数
W W
P P 常数
A
整理ppt
写成一般形式得：
K1PWl，K2 PA
在两个相似现象中，除了具有相同的基本方程外，还要 求模型与原型在与外界接触的区域内的各种条件（支承条 件、约束条件和边界上的受力情况等）保持相似。例如四 周固支的板与四周简支的板，其处理方法是不同的。
工程流体力学 第六版 第5章 相似理论与量纲分析
当F为阻力FD时,
牛顿数表示阻力系数：
CD
1
FD
2l 2
2
当F为升力FL时, 牛顿数表示升力系数：
CL
FL
1 2l 2
2
牛顿数的拓展 描述力矩M时,
可用牛顿数表示力矩系数：
CM
1
M
2l 3
2
描述功率P时, 可用牛顿数表示动力系数：
CP
P
3l 2
第5章 作业1：
工程流体力学（第6版）
第5章 习题：1、2、6、7
比值：
(
l 2 l
2
)m
l 2 2 l
(பைடு நூலகம்
l
)
m
l
(l
v
)m
l
v
定义雷诺数：
Re
l
l
v
（l为定型尺寸）
则比值为： Rem Re ——粘性力相似准则
Re的物理意义： 表征惯性力和黏性力的量级之比。
应用： 管道内有压流动； 绕流问题。
§5.2.2 压力相似准则
ma l 2 2
惯性力和压力之比：
§5.3 量纲分析法
5.3.1 量纲知识 5.3.2 瑞利法 5.3.3 π定理
5.3.1 量纲知识
单位：计量事物标准量的名称。 量纲：物理量单位的种类。
物理量
单位
量纲
质量 g、kg、t….
M
时间 长度
s、 min、 h、
T
mm、 cm、 m、km… L
温度 速度
oC、 K、oF m/s、 km/h……
Θ [υ] 或dim υ
单位因数：103 →千, k； 106 →兆, M； 109 →吉, G； 103→毫, m； 106 →微, μ； 109 →纳, n；
相似理论和量纲分析
b
两机翼几何相似
3
只要模型与原型的全部对应线性长度的比例相 等，则它们的夹角必相等。
由于几何相似，模型与原型的对应面积、对应 体积也分别互成一定比例，即
• 面积比尺
kA
A A
l2 l2
kl2
• 体积比尺
kV
V V
l3 l3
kl3
4
正态模型：长、宽、高比尺均一致的模型。在 流体力学模型实验中，一般采用正态模型。 变态模型：分别采用不同的长度比尺、高度比 尺和宽度比尺，如天然河道的模型。
14
模型与原型的流场动力相似，它们的牛顿
数必定相等即 Ne Ne;反之亦然。这便是由
牛顿第二定律引出的牛顿相似准则。 不论是何种性质的力，要保证两种流场的
动力相似，它们都要服从牛顿相似准则，于是， 可得：
一、重力相似准则
二、粘性力相似准则 三、压力相似准则 四、非定常性相似准则 五、弹性力相似准则 六、表面张力相似准则
kv 1/ kl
要求相矛盾，即使采用不同的流体介质也很难实现。 31
相似准则数越多，模型实验的设计越困难，甚至根 本无法进行。
近似的模型实验方法，即在设计模型和组织模型实 验时，在与流动有关的相似准则中考虑那些对流动过程
起主导作用的相似准则（决定性准则），而忽略那些对 流动过程影响较小的相似准则（非决定性准则），达到
力的比值。二流动的表面张力作用相似，它们的韦伯
数必定相等，即 We We ；反之亦然。这便是表 面张力相似准则，又称韦伯相似准则。
26
上述的牛顿数、弗劳德数、雷诺数、欧拉 数、斯特劳哈尔数、柯西数、马赫数、韦伯 数等统称为相似准数。
牛顿第二定律所表述的是形式最简单、最 基本的运动微分方程。根据该方程可导出在 各种性质单项力作用下的相似准则。在实际 流动中，作用在流体微团上的力往往不是单 项力，而是多项力，这时牛顿第二定律中的 力代表的便是多项力的合力。
量纲分析与相似理论
4
p
D V a4 b4 c4
其中，ai、bi、ci 为待定指数。
34
解题步骤
4. 根据量纲和谐性原理，各π项中的指数分别确定 如下（以π1为例）
L La1 (LT ) 1 b1 (L3M )c1
L :1 a1 b1 3c1 T : 0 b1 M : 0 c1
2. 将q写成H，ρ，g的指数乘积形式，即
q kH a b g c
12
解题步骤
3. 写出量纲表达式
dim q dim(H a b gc )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 纲为
[L2T 1] [L]a[ML3 ]b[LT 2 ]c
5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数
根据题意可知，压强差△p与通过的流量Q，流 体的密度ρ，液体的粘度η 以及大小直径D1,D2有关，
用函数关系式表示为：
f (D1,Q, ,, D2 ,p) 0
可以看出函数中的变量个数 n＝6
25
解题步骤
2. 选取基本物理量
选取三个基本物理量，它们分别是几何学量D1， 运动学量Q以及动力学量ρ 。
由量纲公式：
量纲指数行列式
dim D1 L1T 0M 0 dim Q L3T 1M 0
dim L3T 0M 1
10 0 3 1 0 1 0 3 0 1
故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。
26
解题步骤
3. 列出无量纲π值
列出 n 3 6 3 3 个无量纲的π值。
32
解题步骤
其量纲指数行列式为
1 00 1 1 0 1 0 3 0 1 故说明基本物理量的量纲是相互独立的。 可写出n－3＝7－3＝4个无量纲π项。
工程流体力学-第4章 量纲分析与相似理论
动力相似
原型和模型对应点所受的同名力方向相同，大小 成比例。
FGp FPp F p FI p FGm FPm F m FI m
几何相似是运动相似和动力相似的前提 动力相似是决定流动相似的主要因素 运动相似是几何相似和动力相似的表现
§4-4 相似准则
流动相似的本质 ：原型和模型被 同一物理方程所 描述。这个物理 方程即相似准则 。
因为声音在流体中传播速度(音速)， a
入柯西数得
Ca v Ma a
Ev
代
§4-4 相似准则
其他相似准则
Ma 称为马赫数，在气流速度接近或超过音速时，要保证
流动相似，还需保证马赫数相等，即
vp vm ap am
或
(Ma) p (Ma) p
§4-5 相似原理应用
模型律的选择
模型律的选择
•从理论上讲， 流动相似应保 证所有作用力 都相似，但难 以实现。
FI
粘性力比尺：
FI
( A ( A
du dy
)
p
du dy
)
m
lv
lv
§4-4 相似准则
惯性力比尺： FI
(Va) p (Va)m
l3a
l 2v2
a v2 l
雷诺准则方程
vl 1
or
(vl
)
p
(vl
)
m
即要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则要求两
者对应的雷诺数 Re 必vl须相等。
相似准则
准则推导依据
动力相似是
决定流动相 似的主要因 素
§4-4 相似准则
弗劳德准则——重力相似
要保证原型和模型任意对应点的流体重力相似， 则据动力相似要求有
原型和模型对应点所受的同名力方向相同，大小 成比例。
FGp FPp F p FI p FGm FPm F m FI m
几何相似是运动相似和动力相似的前提 动力相似是决定流动相似的主要因素 运动相似是几何相似和动力相似的表现
§4-4 相似准则
流动相似的本质 ：原型和模型被 同一物理方程所 描述。这个物理 方程即相似准则 。
因为声音在流体中传播速度(音速)， a
入柯西数得
Ca v Ma a
Ev
代
§4-4 相似准则
其他相似准则
Ma 称为马赫数，在气流速度接近或超过音速时，要保证
流动相似，还需保证马赫数相等，即
vp vm ap am
或
(Ma) p (Ma) p
§4-5 相似原理应用
模型律的选择
模型律的选择
•从理论上讲， 流动相似应保 证所有作用力 都相似，但难 以实现。
FI
粘性力比尺：
FI
( A ( A
du dy
)
p
du dy
)
m
lv
lv
§4-4 相似准则
惯性力比尺： FI
(Va) p (Va)m
l3a
l 2v2
a v2 l
雷诺准则方程
vl 1
or
(vl
)
p
(vl
)
m
即要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则要求两
者对应的雷诺数 Re 必vl须相等。
相似准则
准则推导依据
动力相似是
决定流动相 似的主要因 素
§4-4 相似准则
弗劳德准则——重力相似
要保证原型和模型任意对应点的流体重力相似， 则据动力相似要求有
第四章量纲分析和相似理论
pl 2
l2u2
p
u2
Eu
Eu称为欧拉准数。它体现了流体在运动过程中压力与惯性力
之间的比值关系。
当流体在流动过程中，重力起主导作用时，如液体在明渠
内的流动，将流体的惯性力与重力相比，得
惯性力 重力
l 2u2 gl3
u2 gl
Fr
第一节 有因次量和无因次量
Fr称为付鲁德准数。它体现了运动流体的惯性力与重力之间 的比值关系。
导出量纲是指由基本量纲组合来表示的量纲。 除长度、时间、质量和温度，其它物理量的量纲均为 导出量纲。
任意一个物理量x的量纲都可以用L、T、M这三 个基本量纲的指数乘积来表示，即
x LαTβMγ
（3）无量纲量 各量纲的指数为零，即α=β=γ=0时，物理
量 x L0T0M0 1，则称x为无量纲量。
p
g
f1
Re， d
l d
v2 2g
令
f1
Re，，则
d
hf
p
g
l
d
v2 2g
上式即为有压管流压强损失的计算公式，又称达西公式。
§4.2 相似理论
4.2.1 流动相似 为了保证模型流动（用下标m表示）与原型流动
（用下标p表示）具有相同的流动规律，并能通过模 型实验结果预测原型流动情况，模型与原型必须满足 流动相似，即两个流动在对应时刻对应点上同名物理 量具有各自的比例关系，具体地说，流动相似就是要 求模型与原型之间满足几何相似、运动相似和动力相 似。
x x x x a n-3 bn-3 cn-3
n-3
1
2
3
n
（4）根据量纲和谐原理，确定各π项基本量的指数ai、 bi、ci，求出π1、π2、…πn－3。
第七章 量纲分析与相似理论
2. 定理法 (布金汉法)
若物理方程为
f ( x1 , x2 ,, xn ) 0
而这些变量中含有m个基本物理量，则可组合这些变量成 为(n – m)个无量纲 ) 0
x5 x4 1 a1 b1 c1 2 a2 b2 c2 x1 x2 x3 x1 x2 x3
Cu up um
Cu Cl Ct
速度比尺 加速度比尺
Cv
vp vm
时间比尺
Ct tp tm
C Ca l2 am Ct
ap
重力加速度比尺
Cg
gp gm
1
三、动力相似
两个流动各对应点上受到的各种同名力方向相同、大小 成比例 ，即
力的比尺
CF Tp Tm Gp Gm Pp Pm Ep Em Sp Sm Ip Im
F Km a v b R c
根据量纲和谐性，有
dim F MLT K M LT L
2 a 1 b c
M :1 a
L :1 b c
a 1
T : 2 b
b2 c 1
F Km v2 / R
例7-2 由实验得知：恒定有压管流的临界流速 vc 与管径 d 、流体密度 和粘度 有关，试用瑞利 法求出它们之间的关系式。
Fp Fm CI
Ne
C Cl3Ca C Cl2 Cv2
力的比尺 CF
Fp Fm
F l 2v2
2 2 pl p vp 2 2 mlm vm
牛顿相似准则是两 个流动动力相似的 充分与必要条件
(Ne ) p (Ne )m
Fp
2 2 pl p vp
4 量纲分析和相似理论
导出量纲（derived dimension）:是指由基本量纲导出的量纲。 3、量纲公式: dimq= Lα Tβ Mγ 几何学量纲：α≠0,β=0,γ=0， 运动学量纲：α≠0，β≠0，γ=0 动力学量纲：α≠0，β≠0，γ≠0
4、无量纲数（纯数，如相似准数）：量纲一的量 α=0,β=0,γ=0，即[x]=[1]。 特点：1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关； 2）具有客观性； 3）在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲数。
n个物理量
充要条件
Π定理 方 法 选m个独立 基本量 量纲分析方法等 m个独立 基本量
组成n-m个 独立Π数
n-m个导出量
π定理的解题步骤：
1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个 物理量及其关系式f(x1,x2, ……xn)=0 2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为基本量 纲的代表，一般取m=3。在管流中，一般选d，v，ρ三个作基本变量， 而在明渠流中，则常选用H，v，ρ。 3）确定π数的个数N（π）=（n-m），并写出其余物理量与基本物理量 组成的π表达式 4）确定无量纲π参数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各π项的 指数x，y，z，从而定出各无量纲π参数。π参数分子分母可以相互交 换，也可以开方或乘方，而不改变其无因次的性质。 5）写出描述现象的关系式 或显解一个π参数，如： 或求得一个因变量的表达式。
工程单位制
大小 单位制 国际单位制
物理量 基本量纲 类别 量纲 导出量纲
英
制
量纲幂次式
常用量
速度，加速度 体积流量，质量流量 密度，重度 力，力矩
dim v LT
1
dim g LT 2
量纲分析和相似理论
1 + a = 0,−1 − 3a + b + c = 0,−1 − b = 0 a = −1, b = −1, c = −1, π 2 =
µ ρVd
这两个独立的无量纲数的关系是
FD ρVd ) = f( 2 2 ρV d µ
流动相似原理
原型：天然水流和实际建筑物等。 原型：天然水流和实际建筑物等。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。
相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相 似流动中应该是相等的。 似流动中应该是相等的。
流动相似原理
雷诺准则——粘性力是主要的力 粘性力是主要的力 雷诺准则
[解]
本问题的物理量共有5个 本问题的物理量共有 个：FD、d 、V 、ρ 、µ ，即n=5，基本量 ， 个独立无量量纲。 纲M、L、T，即m=3，故应该有 个独立无量量纲。则有： [V ] = [ LT −1 ] 、 、 ， ，故应该有2个独立无量量纲 则有：
为循环量， 组合成无量纲数π 选ρ、V、d为循环量，与余下的 D、µ组合成无量纲数 1、π2。 、 、 为循环量 与余下的F 组合成无量纲数
Fp Fm = λ F ——力的比尺 力的比尺
流动相似原理
流动相似的含义： 流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
µ ρVd
这两个独立的无量纲数的关系是
FD ρVd ) = f( 2 2 ρV d µ
流动相似原理
原型：天然水流和实际建筑物等。 原型：天然水流和实际建筑物等。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。
相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相 似流动中应该是相等的。 似流动中应该是相等的。
流动相似原理
雷诺准则——粘性力是主要的力 粘性力是主要的力 雷诺准则
[解]
本问题的物理量共有5个 本问题的物理量共有 个：FD、d 、V 、ρ 、µ ，即n=5，基本量 ， 个独立无量量纲。 纲M、L、T，即m=3，故应该有 个独立无量量纲。则有： [V ] = [ LT −1 ] 、 、 ， ，故应该有2个独立无量量纲 则有：
为循环量， 组合成无量纲数π 选ρ、V、d为循环量，与余下的 D、µ组合成无量纲数 1、π2。 、 、 为循环量 与余下的F 组合成无量纲数
Fp Fm = λ F ——力的比尺 力的比尺
流动相似原理
流动相似的含义： 流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
量纲分析与相似理论
11
例：已知过坝的单宽流量q和堰上水头H、水的密度 及重力 加速度g有关，求q的表达式。
(1)将有关影响因素列如下式：
q f ( H、g、 )
（2）写成指数乘积形式，为
q CH a1 g a 2 a3
（3）写成量纲关系式，根据量纲 和谐原理求解指数项：
12
LT
2
1
L ( LT ) (ML )
项。
e.写出描述现象的关系式
F（1， 2，…， n-m）=0
19
3．
定理举例与小结
求文德利管的流量关系（参照图）。影响喉道处流速v2
的因素有：文丘里管进口断面直径D1，喉道断面直径D2， 水的密度，粘度及两个断面间的压强差 p （假设文丘里管 为水平放置），现用 定理来求流量表达式。
26
由上述实例可知，量纲分析法的作用具体体现在： 在仅知与物理过程有关的物理量的情况下，利用量纲和谐原 理即可求出表述该物理过程关系式的基本结构形式，并找出 进一步研究该问题的途径； 而且可使一些纯经验公式具有理论上（量纲和谐性）的形式，
找出继续改进的方向；
同时依靠定理定出的无量纲项，用来作为模型试验的相似准 数及正确处理数据的主要参量。 因此，量纲分析定理在水力学研究和模型试验领域被广泛应用， 成为一个有效的研究手段。
2
x4 x1 1 x21 x31
x5 x1 2 x22 x32
a b c
a
b c
.....，
n 3
xn x1 n 3 x2n 3 x3n 3
18
a
b
c
d.每个 项即是无量纲数，即dim=L0T0M0，因此可根据量纲 和谐原理，求出各 纲
例：已知过坝的单宽流量q和堰上水头H、水的密度 及重力 加速度g有关，求q的表达式。
(1)将有关影响因素列如下式：
q f ( H、g、 )
（2）写成指数乘积形式，为
q CH a1 g a 2 a3
（3）写成量纲关系式，根据量纲 和谐原理求解指数项：
12
LT
2
1
L ( LT ) (ML )
项。
e.写出描述现象的关系式
F（1， 2，…， n-m）=0
19
3．
定理举例与小结
求文德利管的流量关系（参照图）。影响喉道处流速v2
的因素有：文丘里管进口断面直径D1，喉道断面直径D2， 水的密度，粘度及两个断面间的压强差 p （假设文丘里管 为水平放置），现用 定理来求流量表达式。
26
由上述实例可知，量纲分析法的作用具体体现在： 在仅知与物理过程有关的物理量的情况下，利用量纲和谐原 理即可求出表述该物理过程关系式的基本结构形式，并找出 进一步研究该问题的途径； 而且可使一些纯经验公式具有理论上（量纲和谐性）的形式，
找出继续改进的方向；
同时依靠定理定出的无量纲项，用来作为模型试验的相似准 数及正确处理数据的主要参量。 因此，量纲分析定理在水力学研究和模型试验领域被广泛应用， 成为一个有效的研究手段。
2
x4 x1 1 x21 x31
x5 x1 2 x22 x32
a b c
a
b c
.....，
n 3
xn x1 n 3 x2n 3 x3n 3
18
a
b
c
d.每个 项即是无量纲数，即dim=L0T0M0，因此可根据量纲 和谐原理，求出各 纲
工程流体力学 第7章 量纲分析与相似理论
相似的矩形上去。即为：
l h
l h
l*
类似地，对流场也可引入相似准则。在流场几何相似中，
以弦翼长c或c’为特征尺度，即为：
r c
r c
r*, s c
s c
s*
在流场运动相似中，若取来流速度U为特征速度，可得：
v U
v U
v
§7-4 常用的相似准则数
一、Re数（雷诺数）
Re数为纪念英国工程师雷诺而命名，定义为：
二、F而命名，定义为：
三、Eu数（欧拉数）
Fr V gl
Eu数为纪念瑞士数学家欧拉而命名，定义为：
Eu
四、Sr数（斯特劳哈尔数）
p
V
2
Sr数为纪念捷克物理学家斯特劳哈尔（V.Strouhal）而命名
，定义为：
Sr l V
§7-4 常用的相似准则数
工程流体力学 第七章 量纲分析与相似理论
§7-1 量纲分析简介
一、概念
量纲分析是确定相似准则的一种主要方法。它通过揭示物 理量量纲之间存在的内在联系，对物理现象作定性或半定量分 析。量纲分析法不仅用于指导模型实验，而且为理论分析提供 重要信息，是研究新现象、开发新领域中行之有效的分析手段 ，广泛应用于包括流体力学在内的许多学科领域中。
1、几何相似，即所有对应尺度成比例 2、时间相似，即所有对应的时间间隔成比例 3、运动相似，即所有对应点上的速度（加速度）方向一 致，大小成比例 4、动力相似，即所有对应点上的对应力方向一致，大小 成比例。
§7-3 流动相似与相似准则
二、相似准则
相似的矩形具有共同的性质，例如对角线与边的夹角均为
α=arctanhl，只要分析其中一个矩形的性质，就可推广到其他
相似理论与量纲分析
• 在无粘性圆柱绕流中
前后驻点
上下侧点
其他点
• 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。
柱面上：
柱面外：
流场中 还与无量纲半径 有关
·
C
·
D
A
B
a
量纲分析法
对于复杂的流动,常用量纲分析法和实验相结合进行研究。
01
量纲分析法是根据量纲齐次性原理寻求物理量之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准则。
02
01
03
04
水力学中任何物理量C的量纲可写成
当α、β、γ不全为0时，C称为有量纲量。
=[ M ][ L ][ T ]
当α、β、γ全部为0时，C称为无量纲量或无量纲数。
9.4.2 有量纲量和无量纲量
有量纲量
水力学中的有量纲量可分为三类： 几何学的量，α＝γ＝0，β≠0； 运动学的量， α＝0， γ ≠0； 动力学的量， α ≠0。
粘性力比尺
02
要满足惯性力相似，必须满足CT=CI，即
01
即
02
雷诺数Re反映了惯性力与粘性力之比：
01
要满足重力相似，必须满足CG=CI，即
02
即
佛汝德数Fr反映了惯性力与重力之比：
01
要满足动水总压力相似，必须满足CP=CI，即
02
即
欧拉数的物理意义
欧拉数Eu反映了动水总压力与惯性力之比：
例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度 、管内流体密度、流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。 解： 所求解问题的原隐函数关系式为 f(p, d, l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M 、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式 F(1, 2, 3, 4)=0 从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示
前后驻点
上下侧点
其他点
• 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。
柱面上：
柱面外：
流场中 还与无量纲半径 有关
·
C
·
D
A
B
a
量纲分析法
对于复杂的流动,常用量纲分析法和实验相结合进行研究。
01
量纲分析法是根据量纲齐次性原理寻求物理量之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准则。
02
01
03
04
水力学中任何物理量C的量纲可写成
当α、β、γ不全为0时，C称为有量纲量。
=[ M ][ L ][ T ]
当α、β、γ全部为0时，C称为无量纲量或无量纲数。
9.4.2 有量纲量和无量纲量
有量纲量
水力学中的有量纲量可分为三类： 几何学的量，α＝γ＝0，β≠0； 运动学的量， α＝0， γ ≠0； 动力学的量， α ≠0。
粘性力比尺
02
要满足惯性力相似，必须满足CT=CI，即
01
即
02
雷诺数Re反映了惯性力与粘性力之比：
01
要满足重力相似，必须满足CG=CI，即
02
即
佛汝德数Fr反映了惯性力与重力之比：
01
要满足动水总压力相似，必须满足CP=CI，即
02
即
欧拉数的物理意义
欧拉数Eu反映了动水总压力与惯性力之比：
例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度 、管内流体密度、流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。 解： 所求解问题的原隐函数关系式为 f(p, d, l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M 、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式 F(1, 2, 3, 4)=0 从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示
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题
目
量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？
答：1.提出根据
（1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用
完整的物理方法来表示。
（2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。 2.作用 可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；
检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学
地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。
1
3 b
2 c
5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数
L：2=a-3b+c T：-1=-2c M：0=b
a=3/2 b=0 c=1/2
解题步骤
6. 代入指数乘积式，得
q kH g
3/ 2 0
1/ 2
k gH
3/ 2
即
q k1 gH 3/ 2 m 2gH 3/ 2
其中，k1为无量纲系数，即流量系数m，由实验 来确定。
2. 将N写成γ ，Q，H的指数乘积形式，即
N k Q H
a b
c
解题步骤
3. 写出量纲表达式
dim N dim( aQb H c )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 纲为
[ L T M ] [ L T M ] [ L T ] [ L]
2 a 3
3
2
2
1 b
L1T 2 M La3 (L3T 1 )b3 (L3M )c3
a2 1 b2 0 c2 0
D2 2 D1
a3 4 b3 2 c3 1
p 3 4 2 D1 Q
解题步骤
5. 写出无量纲量方程
D2 p f ( 1 , 2 , 3 ) f ( 1 , , 4 2 )0 D1 Q D1 D1 Q
1
1
1 b1
3
c1Leabharlann L : 1 a1 3b1 3c1 T : 1 b1 M :1 c1
a1 1 b1 1 c1 1
所以：
1
D Q
1 1
解题步骤
对于π2，其量纲式为：
L La2 ( L3T 1 )b2 ( L3M )c2
对于π3 ，其量纲式为：
瑞利法
MF2Hf0612001
题
目
求水泵输出功率的表达式。已知水泵的输出
g 功率N 与单位体积水的重量
程H有关。
、流量Q、扬
解题步骤
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程 根据题意可知，水泵的输出功率N 与单位体积水 的重量 g 、流量Q、扬程H 有关,用函数关系 式表示为 f ( N , , Q, H ) 0
c
5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数
L：2=-2a+3b+c T：-3=-2a-b M：1=a
a=1 b=1 c=1
解题步骤
6. 代入指数乘积式，得
N k QH
其中，k为无量纲系数，通过实验来确定。
π定理
MF2Hf0613000
题
目
简述布金汉π定理的运用步骤？ 答：1.确定关系式。根据对所研究现象的认识，确 定影响这个现象的各个物理量及其关系式。
q f (H , , g )
2. 将q写成H，ρ，g的指数乘积形式，即
q kH a b g c
解题步骤
3. 写出量纲表达式
dim q dim( H a b g c )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 纲为
[ L T ] [ L] [ML ] [ LT ]
2 a
a=2-e，b=2-e，c=1-e
解题步骤
6. 带入指数乘积式，得 FD kD2eV 2e 1e e
kD V (
2 2
DV
) kD V (
e 2 2
DV
)e
即 得阻力公式
FD k D2V 2 Ree
如果令绕流阻力系数C D
FD CDlD
2k D ，l为圆柱长，则 Re e l
解题步骤
4. 选L、T、M作基本量纲，表示各物理量的量纲
LMT 2 La b3ce M c eT be
5. 由量纲和谐性原理，求各量纲的指数 L：1= a+b-3c-e M：1= c+e T：-2=-b-e 因为上面的三个方程式中有四个未知数，所以 不能全部解出。我们保留其中的e，待实验中去确定， 并用它表示其余的指数
p 4 a4 b4 c4 D V
其中， ai、bi、ci 为待定指数。
解题步骤
4. 根据量纲和谐性原理，各π项中的指数分别确定 如下（以π1为例）
L La1 (LT 1 )b1 ( L3M )c1
L :1 a1 b1 3c1 T : 0 b1 M : 0 c1
解题步骤
其量纲指数行列式为
1 0 0 1 1 0 1 0 3 0 1
故说明基本物理量的量纲是相互独立的。
可写出n－3＝7－3＝4个无量纲π项。
解题步骤
3. 列出无量纲π值
l 1 a1 b1 c1 D V
2
D V
a2 b2 c2
3
D a3V b3 c3
答：（1）基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选 （M，L，T）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基 本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。 （2）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说， 不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量 在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。 （3）为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列 式应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、 动力学量中各选一个，即可满足要求。
解题步骤
解：量纲和谐性原理是以被无数事实证明的客观真 理。因为只有两个同类型的物理量才能相加减，否 则没有物理意义的。而一些经验公式是在没有理论 分析的情况下，根据部分实验资料或实测数据统计 而得，这类公式经常是量纲是不和谐的。这说明人 们对客观事物的认识还不够全面和充分，只能用不 完全的经验关系式来表示局部的规律性。这些公式 随着人们对流体本质的深刻认识，将逐步被修正或 被正确完整的公式所替代。
由量纲公式：
dim D1 L1T 0 M 0 dim Q L3T 1M 0 dim L3T 0 M 1
量纲指数行列式
1 0 3 1 3 0 0 0 1 0 1
故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。
解题步骤
3. 列出无量纲π值
列出 n 3 6 3 3 个无量纲的π值。
π定理
MF2Hf0613002
题
目
1 Q 1 2 D2 2
文丘里流量计是用来测 量有压管路的流量，如右 图所示，已知1-1断面和2-2 断面之间的压强差△p随流 量Q，流体密度ρ，液体粘 度η 以及大小直径D1，D2变 化。试用π定律求出的压强 降落△p表示的流量公式。
D1
p h=ρ g
文丘里流量计
V 2
2
CD A
V 2
2
其中，绕流阻力系数CD与物体的形状和雷诺数 有关，最后由实验确定。
解题步骤
二、π定理求解
1. 根据题意，本题共有5个物理量，即n = 5，这些 物理量之间存在下述关系式
f ( FD , D,V , , ) 0
2. 选取3个基本物理量，依次为几何学量D、运动 学量V和动力学量ρ，三个基本物理量的量纲是
a1 1 b1 0 c1 0
所以：
l 1 D
解题步骤
同理可得
2
DV
3
D
p 4 2 V
5. 写出无量纲量方程，其中π2项根据需要取其倒数， 但不会改变其无量纲性质，所以
l DV p f( , , , 2 )0 D D V
解题步骤
求压差Δp 时，以 / g , Re DV / v DV / v， 代入，可得 p l V2 hf f1 (Re, ) D D 2g 令
瑞利法
MF2Hf0612000
题
目
试用瑞利法分析溢
流堰过流时单宽流量q
的表达式。已知q 与堰
H q
顶水头H、水的密度ρ和
重力加速度g 有关。
解题步骤
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程 根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量q 与堰顶 水头H、水的密度ρ和重力加速度g 有关，用函数关 系式表示为
解题步骤
解：
1. 列出上述影响因素的函数关系式
f ( D,V , , l , , , p) 0
2. 在函数式中n＝7；选取3个基本物理量，依次为 几何学量D、运动学量V和动力学量ρ，三个基本物 理量的量纲是
dim D LT M
1 0
0
dim V L T M
1
1
0
dim L3T 0 M 1
1
D Q
a1 1 b1 c1
D2 2 a2 b2 c2 D1 Q
p 3 a3 b3 c3 D1 Q
其中ai、bi、ci 为待定指数。
解题步骤
4. 根据量纲和谐性原理，确定各π 项的指数 对于π1，其量纲式为：
L T M L (L T ) (L M )
a1 3
V
d
解题步骤
解：一、瑞利法求解 1. 已知与阻力FD有关的物理量为d，V，ρ，μ，即
FD f ( D,V , , )
2. 将阻力写成d，V， ρ， μ的指数乘积形式，即
FD kD V