时间相关的运输网络最小费用路径模型及算法

摘 要：介绍运输网络中时间相关的最小费用 路径模型及算法，算法计算了随时间变化的动态 最小费用路径。与其他类似成本路径模型相比， 该模型把整个出行过程分为运输过程和换乘过 程，并且考虑了运输过程和换乘过程的时间延 迟。模型算法的特点是可以用计算机自动完成， 不受运输网络大小和节点的限制，并保证算法的 正确性。 关键词：运输网络；时间价值；最优路径
φｉｍ（ｊ ｔ）＝µｉｍ（ｊ ｔ）＋τｉｍ（ｊ ｔ）α（ｍ ｔ）
⑴
式中：φｉ（ ｍｊ ｔ）为ｉ和ｊ之间路段上出发时间为ｔ、出行方式
为ｍ的运输过程费用；µｉｍ（ｊ ｔ）为ｉ和ｊ之间路段上出发时
间为ｔ、运输方式为ｍ的运输固定费用；τｉｍ（ｊ ｔ）为ｉ和ｊ之
间路段上出发时间为 ｔ 、运输方式为 ｍ 的运输过程时
用最小路径）。
现，用运输过程时间乘以出行者对此的感受系数表示。
２ 模型建立
交通出行中，最优路径选择往往是由多种因素决 定的［７］。但时间和费用通常是决定最优路径选择的主 要影响因素，并且影响效果一般通过实际出行费用来 计量［８］。 由于运输需求的异质性［９］，同一种运输服务
运输过程费用可用函数式⑴表示。
而使时间相关的最优路径转化为单目标最优路径问
运输过程费用由运输客观费用和运输主观费用组
题。出行者出行过程由运输过程和换乘过程两部分组 成。 运输客观费用也称为运输过程的固定费用（燃
成，在此采用两阶段分析法，把最优路径问题分为两 料、票价等），是由运输技术经济特性决定的； 运输主
个部分，各自建立模型，最后联合分析求解总目标（费 观费用是出行者对时间（延迟等）主观感受的价值表
运输方式ｍ １
ｉ φｍｉｊ（ １ ｔ）＝µｍｉｊ（ １ ｔ）＋αｍ（ １ ｔ）τ ｍｉｊ（ １ ｔ）
感受系数β ｍ１，ｍ（ ２ ｔ ）得分就比地铁高）。 ２．３ 最小费用路径模型函数
图 ２ 出行者出行费用分解示意图
在运输网络中要想找出最小费用路径，出行费用 模型函数必须计算经由每一个节点的运输相关费用 和换乘相关费用。 根据这一原则，出行费用模型函数
……
∀ｉ∈｛τ－（ １ ｊ），ｊ′｝，∀ｍ１，ｍ２∈Ｍ，∀ｊ，ｋ∈Ｎ ＼Ｄ′′，∀ｔ∈Ｔ
θｉｍ（ Ｄ ｔ）＝
ｋ
ｉ
ＤｍＤ，′ｍ′ （ ｆ ｔ）∀ｉ
∈｛
τ
－（ １ Ｄ
），Ｄ
′′｝
，∀
ｍ
∈Ｍ
（３） 重复步骤（２），直到找出最优路径的所有的 节点。
（４ ）结束算法。 此算法从终节点向回推进，算法过程就是检查一
φｍｊｋ（ ２ ｔ）＋
θ
ｍ（ ２ ｔ）｝，令
ｊｋ
θｉｊｍ（ １ ｔ
）＝｛
ｋ ｍ１，ｍ（ ２ ｔ）＋ ｉｊｋ
φ
ｍ（ ２ ｔ）＋
ｊｋ
θ
ｍ（２ ｔ
ｊｋ
）｝，则节点
ｋ
为最优路径上的一个节点。
（２） 重复步骤（１），找出ｋ节点的上一个最优路径
如式⑶所示。
节点τ－（ １ ｋ）。
θ ｍｉｊ（１ ｔ）＝ ｋ∈ τ （ ｊ）ｍ，ｉｍ２ｎ∈ Ｍ ｉｊ｛ｋ ｋｍ１，ｍ（２ ｔ）＋φ ｊｍ（ｋ２ ｔ＋ξｉｊｋｍ１，ｍ（２ ｔ））＋ ｊｋ θ ｍ（２ ｔ＋ｉｊｋ ξ ｍ１，ｍ（２ ｔ）＋ｊｋτｍ（２ ｔ＋ξｉｊｋｍ１，ｍ（２ ｔ）））｝ θ ｍｉｊ（２ ｔ）＝ ｋ∈ τ （ ｋ）ｍ，ｉｍｎ３∈ Ｍ ｊｋ｛ｌ ｋ ｍ２，ｍ（３ ｔ）＋φｋｍ（ｌ３ ｔ＋ξｊｋｌｍ２，ｍ（３ ｔ））＋ ｋｌ θ ｍ（３ ｔ＋ｊｋｌ ξ ｍ２，ｍ（３ ｔ）＋ｋｌτｍ（３ ｔ＋ξｊｋｍｌ２，ｍ（３ ｔ）））｝ ⑶
运输网络中，出行者如何按照一定的规则符合实 际地选择最优路径到达目的地，一直是研究者
关注的重要课题。 最优路径一般表示出行时间最短 或距离最短或费用最少的路径。 然而在实际出行中， 绝对的单目标最短路径往往不是用户愿意选择的出 行路径，现实提出了多目标最优路径问题。 基于这一 问题，Ｄｉａｌ［１］提出了时间和费用双准则多目标最优路径 模型，即时间约束下的最小费用路径模型；Ｓ ｐ ｉ ｅ ｓ ｓ ， Ｆｌｏｒｉａｎ［２］给出了改进型最优路径模型，模型以出行时 间和费用固定不变为假设前提。 此类模型为定常需 求模型或为静态路径模型，其对于中长期运输网络的 规划是有效的。 但考虑到交通流的时变性（Ｏ Ｄ 对之 间的最优路径应该是时变的），Ｎｅｗｅｌｌ［３］指出，在使用 静态最优路径模型时，容易导致决策错误。随着工程 需要和研究深入，动态网络最优路径问题逐步成为研 究的重点。Ｚｉｌｉａｓｋｏｐｏｕｌｏｓ，Ｗａｒｄｅｌｌ［４］，Ｊｏｕｒｑｕｉｎｅ ａｎｄ Ｂｅｕｔｈｅ［５］给出了出行时间和路径选择的组合动态用户 最优模型，利用出行费用和延迟成本求解模型，但没 有考虑动态出行时间和换乘延迟对最优路径选择的 影响。 基于此，在充分考虑了动态出行时间和出行过 程延迟对出行者的影响的前提下，提出基于时间相关 的运输网络最小费用路径模型，并给出了算法。
相关的最优运输路径 Ｏ — Ｄ（从 Ｏ
点到达 Ｄ 点）是计算的基本问题。 １．２ 问题的解决思路
时间相关的运输网络最优路
旅客出行方向 图 １ 典型运输网络几何抽象图
径问题其实是一个多目标最优路径问题，此类问题的 程费用。
一般处理方式是把多目标转化为单目标去求解［６］，从 ２．１ 运输过程费用模型函数
露天换乘公交车舒适，同一个出行者对换乘公交车的
φ ｊｍ（２ｋ ｔ）＝µｊｍ（２ｋ ｔ）＋
运输方式 ｍ
运输方式ｍｆ
Ｄ
αｍ（２ ｔ）τｊ（ ｍｋ２ ｔ） ｋ
Ｄ ′′
运输方式ｍ ２ ｊ
ｋｉｍｊｋ１，ｍ（ ２ ｔ）＝υｉｍｊｋ１，ｍ（ ２ ｔ）＋β ｍ１，ｍ（ ２ ｔ）ξ ｍｉｊ１ｋ，ｍ（ ２ ｔ）
１ 问题分析
１．１ 问题表述 所论述的运输网络是指不同运输方式组成的综
合运输网络，由运输方式、运输路径、换乘枢纽组成。 基于运输需求出行特点，将运输网络抽象为矢量图，
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第 ３１ 卷 第 ５ 期
经济研究
铁道运输与经济
时间相关的运输网络最小费用路径模型及算法 陈文强 等
换乘枢纽是图中的节点，运输路径
为保证算法的合理性，必须对参数进行合理设 置，否则会出现违背常理的行为。 比如，如果步行时 间价值参数小于换乘等待时间价值，那么此算法就认
上一个节点；ｍｉ 表示相邻两节点之间的运输方式，其 为出行者在车辆到来之前他宁愿来回走动而不在换乘
满意程度决定的。 利用层次分析法，由出行者对服务 （主观费用）。换乘过程固定费用由泊车、停车费等相
品质构成内容进行打分，采用几何平均法进行处理， 关固定费用组成；换乘过程主观费用是出行者换乘时
取其均值作为出行者对此服务的满意度Φ ，则出行者 对此服务的感受系数为１ －Φ。
出行者出行全程由运输过程和换乘过程两部分组 成，实际出行费用也可以分为运输过程费用和换Hale Waihona Puke Baidu过
个节点ｋ 的前一个节点τ－（ １ ｋ）是否存在一条路径使节 点 ｋ 到τ－（ １ ｋ）的费用最小，如果条件满足，τ－（ １ ｋ）是条 件节点之一。 依此类推，直到找出所有符合条件的节 点，这些节点组成的路径就是基于时间相关的运输网 络最小费用路径。
式中：θｉ（ ｍｊ ｔ）表示在出发时间为ｔ，由起点ｉ采用出行方 式ｍ经由节点 ｊ，并由节点ｊ到终点Ｄ′′的最小费用；τ（ｊ） 表示节点ｊ 的下一个节点；τ－（１ ｊ）表示节点ｊ 的相邻的
间价值表现，用换乘过程时间乘以出行者对此的感受
系数表示。 换乘过程相关费用函数如式⑵所示。 ｋｉｍｊｋ１，ｍ（ ２ ｔ）＝ ｖｉｍｊｋ１，ｍ（ ２ ｔ）＋ξｉｍｊｋ１，ｍ（ ２ ｔ）β ｍ１，ｍ（ ２ ｔ） ⑵
式中：ｋ ｍ１，ｍ（２ ｔ）表示出发时间为 ｔ，由节点ｉ 出发，经节 ｉｊｋ
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第 ３１ 卷 第 ５ 期
出行者感受的效用会有所不同。为清晰反映实际出行 间；α（ｍ ｔ）为出行者对出发时间为ｔ、运输方式为ｍ的感
费用构成，把实际出行费用分为客观出行费用和主观 受系数（例如，出租汽车就所提供的服务品质，包括安
出行费用（受时间因素影响）。 主观出行费用是出行 全性、便捷性、时效性、舒适性等，比公交车服务品质 者的时间价值体现，即出行者的时间价值，用两个参 好，同一个出行者对公交车的感受系数α （ ｍ ｔ）得分就
数的乘积（前提假设，时间价值是出行时间和出行者 比出租汽车高）。
对此感受系数的线性函数）来表示，即出行时间与出 ２．２ 换乘过程费用模型函数
行者对此（出行时间和运输延迟）的感受系数的乘积。
与运输过程费用相同，换乘过程费用也分为换乘
其中，出行者的感受系数是由出行者对该服务品质的 过程固定费用（客观费用）和换乘过程服务相关费用
铁道运输与经济 RAILWAY TRANSPORT AND ECONOMY 文章编号：１００３－１４２１（２００９）０５－００１１－０４ 中图分类号：Ｕ４９１ 文献标识码：Ａ
经济研究
时间相关的运输网络最小费用 路径模型及算法
Time-dependent Minimum Cost Path Modal and Algorithm of Transport Network
陈文强，吴群琪
Ｃ Ｈ Ｅ Ｎ Ｗ ｅ ｎ - ｑ ｉ ａ ｎ ｇ ，Ｗ Ｕ Ｑ ｕ ｎ -ｑ ｉ
（长安大学 经济与管理学院， 陕西 西安 ７１００６４）
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ ａｎｄ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ， Ｃｈａｎｇ’ａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｘｉ’ａｎ， Ｓｈａｎｎｘｉ ７１００６４， Ｃｈｉｎａ）
Abstract: Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ａ ｔｉｍｅ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｍｉｎｉｍｕｍ ｃｏｓｔ ｐａｔｈ ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｔｒａｎｓｐｏｒｔ ｎｅｔｗｏｒｋ． Ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｃａｌｃｕｌａｔｅｓ ｄｙｎａｍｉｃ ｍｉｎｉｍｕｍ ｃｏｓｔ ｐａｔｈｓ ｗｈｉｌｅ ｍａｉｎｔａｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｉｍｅ ａｌｏｎｇ ｔｈｏｓｅ ｐａｔｈｓ． Ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｏｔｈｅｒ ｃｏｓｔ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｐａｔｈ ｍｏｄｅｌｓ， ｗｈａｔ ｉｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｈｅｒｅ ｉｓ ｔｈａｔ ｗｈｏｌｅ ｔｒａｖｅｌ ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｓ ｄｉ－ ｖｉｄｅｄ ｉｎｔｏ ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ａｎｄ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｎ ｔｈｅ ｔｉｍｅ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｐａｔｈ ｍｏｄｅｌ， ｔｒａｖｅｌ ａｎｄ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｄｅｌａｙｓ ａｒｅ ｂｏｔｈ ｔａｋｅｎ ｉｎｔｏ ａｃｃｏｕｎｔ ａｓ ｗｅｌｌ． Ｏｎｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｏｆ ｔｈｉｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｄｏｎｅ ｂｙ ｃｏ－ ｍｐｕｔｅｒ ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ， ｗｉｔｈｏｕｔ ｂｅｉｎｇ ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｐｏｒｔ ｎｅｔｗｏｒｋ ｓｉｚｅ ａｎｄ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｔｒａｎｓｐｏｒｔ ｎｏｄｅｓ， ａｎｄ ｅｎｓｕｒｅｓ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ． Key words: Ｔｒａｎｓｐｏｒｔ Ｎｅｔｗｏｒｋ； Ｔｉｍｅ Ｖａｌｕｅ； Ｏｐ－ ｔｉｍｕｍ Ｐａｔｈ
是图中的线，运输方式行驶方向与
货物出行方向一致。图 １ 是典型的
运输网络几何抽象图，其由运输网
Ａ
Ｍ Ｔ
络节点Ｎ（Ｎ∈ｉ，ｊ，…，Ｎ ′′）、运输方
式Ｍｉ（ｉ∈１，２，…，ｆ ）、运输路径Ａ和 Ｏ
Ｎ
Ｄ
时间 Ｔ 构成，此图也可以用函数
Ｇ ＝（Ｎ ，Ａ ，Ｔ ，Ｍ ）表示。 如何在运
输网络Ｇ 中，符合实际地选取时间
时间相关的运输网络最小费用路径模型及算法 陈文强 等
铁道运输与经济
经济研究
点ｊ 到节点ｋ 过程中，由出行方式ｍ１ 换乘ｍ２ 的过程费 用；ｖ ｍｉｊ１ｋ，ｍ（２ ｔ）表示出发时间为 ｔ，由节点 ｉ 出发，经节点 ｊ 到节点ｋ 过程中，由运输方式 ｍ１ 换乘ｍ２ 的换乘固定 费用；ξｍｉｊ１ｋ，ｍ（２ ｔ）表示出发时间为 ｔ，由节点ｉ 出发，经节 点ｊ 到节点ｋ，由运输方式ｍ１ 换乘ｍ２过程的换乘时间； β ｍ１，ｍ（ ２ ｔ）表示出行者对出发时间为ｔ，由运输方式ｍ１ 换乘ｍ２ 的感受系数（比如在地铁站内换乘地铁就比在