时间相关的运输网络最小费用路径模型及算法
网络流：最小费用最大流(最简单的算法)
网络流：最小费用最大流（最简单的算法）最小费用流在OI 竞赛中应当算是比较偏门的内容，但是NOI2008 中employee 的突然出现确实让许多人包括zkw 自己措手不及。
可怜的zkw 当时想出了最小费用流模型，可是他从来没有实现过，所以不敢写，此题0 分。
zkw 现在对费用流的心得是：虽然理论上难，但是写一个能AC 题的费用流还算简单。
先贴一个我写的employee 程序：只有不到70 行，费用流比最大流还好写～程序代码:C++#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int maxint=~0U>>1;int n,m,pi[550]={0},cost=0;bool v[550]={0};struct etype{int t,c,u;etype *next,*pair;etype(){}etype(int t_,int c_,int u_,etype* next_):t(t_),c(c_),u(u_),next(next_){}void* operator new(unsigned,void* p){return p;}} *e[550],*eb[550];int aug(int no,int m){if(no==n)return cost+=pi[1]*m,m;v[no]=true;for(etype *&i=e[no];i;i=i->next)if(i->u && !v[i->t] && pi[i->t]+i->c==pi[no])if(int d=aug(i->t,m<i->u?m:i->u))return i->u-=d,i->pair->u+=d,d;return 0;}bool modlabel(){int d=maxint,c;for(int i=1;i<=n;++i)if(v[i])for(etype *j=eb[i];j;j=j->next)if(j->u && !v[j->t])if((c=j->c-pi[i]+pi[j->t])<d)d=c;if(d==maxint)return false;for(int i=1;i<=n;++i)if(v[i])pi[i]+=d,e[i]=eb[i];return true;}int main(){freopen("costflow.in","r",stdin);freopen("costflow.out","w",stdout);scanf("%d %d",&n,&m);etype *Pe=new etype[m+m];while(m--){int s,t,c,u;scanf("%d%d%d%d",&s,&t,&u,&c);e[s]=new(Pe++)etype(t, c,u,e[s]);e[t]=new(Pe++)etype(s,-c,0,e[t]);e[s]->pair=e[t];e[t]->pair=e[s];}memmove(eb,e,sizeof(e));do do memset(v,0,sizeof(v));while(aug(1,maxint));while(modlabel());printf("%d\n",cost);return 0;}程序代码:CB大牛翻译的PASCALvarn,m,i,l,s,t,c,cost,u:longint;v:array[0..600]of boolean;dis:array[0..600]of longint;e_n,e_t,e_c,e_u,e_p,e_x:array[0..250000]of longint;function min(a,b:longint):longint;beginif a>b then exit(b);exit(a);end;procedure addedge(s,t,c,u,k:longint);begininc(l);e_n[l]:=e_n[s];e_n[s]:=l;//下一条边e_t[l]:=t;//边的另一端e_c[l]:=c;//边的费用e_u[l]:=u;//边的容量e_p[l]:=l+k;//对应的边end;procedure build(s,t,c,u:longint);beginaddedge(s,t,c,u,1);addedge(t,s,-c,0,-1);end;function aug(no,m:longint):longint;vari,d:longint;beginif no=n then begininc(cost,m*dis[1]);exit(m);end;v[no]:=true;i:=e_x[no];while i<>0 do beginif (e_u[i]>0)and(not v[e_t[i]])and(dis[e_t[i]]+e_c[i]=dis[no]) then begind:=aug(e_t[i],min(m,e_u[i]));if d>0 then begindec(e_u[i],d);inc(e_u[e_p[i]],d);e_x[no]:=i;exit(d);end;end;i:=e_n[i];end;e_x[no]:=i;exit(0);end;function modlabel:boolean;vard,i,j:longint;begind:=maxlongint;for i:=1 to n do if v[i] then beginj:=e_n[i];while j<>0 do beginif (e_u[j]>0)and(not v[e_t[j]])and(e_c[j]-dis[i]+dis[e_t[j]]<d) then d:=e_c[j]-dis[i]+dis[e_t[j]];j:=e_n[j];end;end;if d=maxlongint then exit(true);for i:=1 to n do if v[i] then beginv[i]:=false;inc(dis[i],d);end;exit(false);end;beginassign(input,'coflow.in');reset(input);assign(output,'coflow.out');rewrite(output);readln(n,m);l:=n;for m:=m downto 1 do beginreadln(s,t,u,c);build(s,t,c,u);end;repeatfor i:=1 to n do e_x[i]:=e_n[i];while aug(1,maxlongint)>0 do fillchar(v,sizeof(v),0);until modlabel;writeln(cost);close(output);end.这里使用的是连续最短路算法。
最小费用流
(4,6,2)
v2
(2,3,0) (2,2,2)
再求v0到vn的最短增流路v0v2v3v1v4vn，路长为 14，可增加1单位的流值。（v3v1反向弧，同 最大流处理）
v1
(4,3,2)
v4 (2,5,3) vn (9,3,0) v5 (3,4,2)
(3,3,3)
v0
(2,2,1) v3
(1,1,1)
b
17,3 (c )
c
（4）在 sbct 路中，每边的容量减 5， wsb ，如图 d。求最小费 用通路 sabct， 单位流费用和为 4 (2) 3 2 7, f0 3 ， 边 ( c, t ) 饱 和。
s
0,
12, 4
a
13,6
0,
t
3, 2
11, 2
b
v1
(4,3,0)
v4 (2,5,0) vn
(3,3,0)
v0
(2,2,0) v3
(1,1,0)
(4,6,0)
v2
(2,3,0) (2,2,0)
(9,3,0) v5
(3,4,0)
(单位运费，边容量，流值）
v1
(4,3,0)
v4 (2,5,0) vn (9,3,0) v5 (3,4,0)
(3,3,0)
s
0,
b
9, 4
8, 2
a
0,
t
0,
13, 6
9, 3
(e)
c
s
16
6
8
a
0
14
t
8
b
8
c
(f)
实际问题实例：一个工厂要将产品送 到火车站，可以有许多道路供其选择，在 不同路线上每吨货物的运费并不相同，而 且每条路线只能有限重量的货物运输，那 么要将w吨的产品从工厂送到火车站，用 什么方法可以使运费最少？
最小费用最大流问题
近似算法和启发式算法
要点一
近似算法
近似算法是一种用于求解NP-hard问题的有效方法，它可 以在多项式时间内找到一个近似最优解。最小费用最大流 问题的近似算法包括Ford-Fulkerson算法、EdmondsKarp算法等。
要点二
启发式算法
启发式算法是一种基于经验或直观的算法，它可以在合理 的时间内找到一个近似最优解。最小费用最大流问题的启 发式算法包括基于增广路径的算法、基于贪婪的算法等。
研究如何将最小费用最大流问题 应用于计算机科学领域，例如计 算机网络、云计算等。
物理学
研究如何借鉴物理学中的理论和 思想，解决最小费用最大流问题， 例如利用流体动力学中的思想来 研究网络中的流。
谢谢观看
Hale Waihona Puke 06未来研究方向和展望算法优化和改进
动态规划算法
研究如何优化动态规划算法，减少时间复杂度 和空间复杂度，提高求解效率。
近似算法
研究近似算法，在保证求解质量的前提下，提 高求解速度。
并行计算和分布式计算
研究如何利用并行计算和分布式计算技术，加速最小费用最大流问题的求解。
新的问题定义和模型
考虑更复杂的情况
和技术。
有界容量和无界容量
总结词
有界容量和无界容量是指在网络中节点之间 的容量是否有限制。
详细描述
在最小费用最大流问题中，如果节点之间的 容量有限制，即为有界容量问题；如果节点 之间的容量没有限制，即为无界容量问题。 有界容量问题可以通过增广路径算法、预流 推进算法等求解，而无界容量问题则需要采
用其他算法和技术进行求解。
算法概述
最小费用最大流问题是一种网络流问 题，旨在在给定有向图中寻找一条路 径，使得从源节点到汇点之间的总流 量最大，同时满足每个节点的流入量 等于流出量，以及每条边的容量限制。
数学建模--运输问题
运输问题摘要本文主要研究的是货物运输的最短路径问题，利用图论中的Floyd算法、Kruskal算法，以及整数规划的方法建立相关问题的模型，通过matlab，lingo 编程求解出最终结果。
关于问题一，是一个两客户间最短路程的问题，因此本文利用Floyd算法对其进行分析。
考虑到计算的方便性，首先，我们将两客户之间的距离输入到网络权矩阵中；然后，逐步分析出两客户间的最短距离；最后，利用Matlab软件对其进行编程求解，运行得到结果：2-3-8-9-10总路程为85公里。
关于问题二，运输公司分别要对10个客户供货，必须访问每个客户，实际上是一个旅行商问题。
首先，不考虑送货员返回提货点的情形，本文利用最小生成树问题中的Kruskal算法，结合题中所给的邻接矩阵，很快可以得到回路的最短路线：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2；然后利用问题一的Floyd算法编程，能求得从客户2到客户1（提货点）的最短路线是：2-1，路程为50公里。
即最短路线为：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2-1。
但考虑到最小生成树法局限于顶点数较少的情形，不宜进一步推广，因此本文建立以路程最短为目标函数的整数规划模型；最后，利用LINGO软件对其进行编程求解，求解出的回路与Kruskal算法求出的回路一致。
关于问题三，是在每个客户所需固定货物量的情况下，使得行程之和最短。
这样只要找出两条尽可能短的回路，并保证每条线路客户总需求量在50个单位以内即可。
因此我们在问题二模型的基础上进行改进，以货车容量为限定条件，建立相应的规划模型并设计一个简单的寻路算法，对于模型求解出来的结果，本文利用Kruskal算法结合题中所给的邻接矩阵进行优化。
得到优化结果为：第一辆车：1-5-2-3-4-8-9-1，第二辆车：1-7-6-9-10-1，总路程为280公里。
关于问题四，在问题一的基础上我们首先用Matlab软件编程确定提货点到每个客户点间的最短路线，然后结合一些限定条件建立一个目标模型，设计一个较好的解决方案进行求解可得到一种很理想的运输方案。
带时间限制的最小费用运输问题的网络流解法
ｒｌｔ ｎ ｈｐｂ ｔ ｅ ｍｅａ ｄｖ ｌｍｅｏ ｒｎｐｏ ，ｔｃｎ ｅ ｓｔｅｍｉｉ ｍ ｏｔｔａ ｓｏ ｒｂｅ ｗｉ ｍｅｃ ｎｔａｎ ｎｏａｍｉｉ ｍ ｏｔ ｅａｉ ｓ ｉ ｅｗｅ ｎｔ ｏｕ ｆ ａ ｓ ｒ ｉ ｏ ｖ ｒ ｈ ｎｍｕ ｃ ｓ ｒｎ ｐ ｒ ｐ ｏ ｌｍ ｔ ｔ ｏ ｓ ｉｔ ｔ ｎｍｕ ｃ ｓ ｏ ｉ ｎ ｔ ｔ ｔ ｔ ｈｉ ｒ ｉ ｍａ ｉ ｍ ｏ ｐｏ ｌｍ ｎ ｒｓ ｎｓｈ ｐ ｒａ ｈｆｒｔ ｌｔ ｎｗｈｃ ｅ ｆｅ ｎｅ ｉ ｃ ｌｔ ｄ ． ｘｍｕ ｆ ｗ ｒｂｅ ａ ｄｐ ｅｅ ｔｔｅａ ｐｏ ｃ ｓｓ ｕｉ ｉｈｉ ｖ ｒ ｄｉ ａ ｍｐｒ ａ ｕ ｙ ｌ ｏｉ ｏ ｏ ｓ ｉ ｉ ｎ ｉ ｓ
Ａｂｓｒ ｃ ： ｅｐ ｅ ｔ ｄ ｅ ｅｍｉ ｉ ｍ ｏ ｔ ｒ ｎ ｐ ｒ ｒ ｂ ｅ ｗｉ ｉ ｏ ｓ ａ ｎ ， ｄ ａｔ ｒａ ａｙ ｉ ｇｔ ｅ ａ ｉｎ ｈ ｐ ｂ ｔ ｅ ｎ ｖ ｌ ｔ ａ ｔ Ｔｈ 印 ｒ ｕ ｉ ｓｔ ｎ ｍｕ ｃ ｓ ａ ｓ ｏ ｔ ｏ ｌ ｍ ｔ ｔｍｅ ｃ ｎ ｔ ｉ ｔ ａ ， ｆｅ ｎ ｌ ｚｎ ｒ ｌｔｏ ｓ ｉ ｅ ｗ ｅ ｏ — ｓ ｈ ｔ ｐ ｈ ｒ ｎ ｈｅ ｕ ｄｔｍｅｏ ａ ｓ ｏ ｔ ｄ ｃ ｏｏ ｚ ｓｔａ ｓ ｏ ｍｅｉ ｔ ｏｕ －ｒ ｌｔｄ ａ ｄｖ ｌ ｍｅ ｎ ｅ ａｅ ｒｓ Ｔｈ ｎ ｉ ｃ ｏ ｄ ｗ ｔ ｎ ｗｎ ｅ ｕ ｔｏ ａ ｍｅ ａ ｉ ｆ ｒ ｐ ｒ， ｉｈ ｔ ｍｉｅ ｎ ｐ ｒ ｔ ｏｖ ｌ ｍｅ ｅ ａｅ ｏｕ －ｕ ｒ ｌｔ ｄｐａ ｔ． ｅ ａ ｃ ｒ ｉｈ ｋ ｏ ｑ ａ ｉｎ ｎ ｔ ｎ ｒ ｔ ｉ ｎ ｎ ｎ ｌ
Ｎｅ ｗｏ ｋ Ｆ ｏ Ａｐ ｒ ａ ｈ ｔ ｉ ｉ ｕ Ｃｏ ｔ ａ ｓ ｏ ｔ ｏ ｌ ｍ ｔ ｉ ｅＣｏ ｓ ｒ ｉ ｔ ｔ ｒ ｌ ｗ ｐ ｏ ｃ Ｍ ｎ ｍ ｍ ｓ ｎ ｐ ｒ ｂ ｅ ｗｉ Ｔ ｍ ｎ ｔ ａ ｎ ｏ Ｔｒ Ｐｒ ｈ
最小费用流算法
最小费用流算法
最小费用流算法是一种简单的费用流算法，它旨在解决费用流问题，其中边权最小化。
它可以用于解决实际应用中的资源分配问题，表示流程网络（Flow Network）中使用费用
流算法利用边权来最小化流量路线。
最小费用流算法是一种基于增广路径的状态搜索算法。
它主要由两步组成：一是从源结点到汇结点的增广搜索；二是根据找到的增广路径调
整边权。
只要满足三个要求：1. 所有结点都有非负出度；2. 所有边都具有非负权；3.
所有结点都有相同的进入现金流，则最小费用流算法就可以得到最优解。
在最小费用流问题中，要求最小化所有边上的流入和流出时消耗的权重和，考虑到这
些约束，最小费用流算法具有一定的优越性。
首先，最小费用流算法可以在常数时间内完
成寻路，寻路的次数不会太多，其逻辑清晰，容易理解，对于每个结点，只需要搜索到可
达目的地的路径，而不需要考虑搜索路径的可行性。
由于最小费用流算法在查找算法中总
是具有优先权，因此它也可以改善整体优化算法，提供快速和可靠的结果。
最小费用流算法在实际应用中比较广泛，它可以用于解决很多实际问题，包括报价，
补给，物流等。
最小费用流算法可以帮助用户充分利用现有资源、实现最低开销，同时还
保持最大的流动性，从而降低建设成本和管理成本，使企业经营更加高效。
一种时间最短的交通网络路径求解方法
交通网络路径求解是计算机科学和算法研究领域中一个重要的问题。
在实际应用中，例如GPS 导航、公交换乘系统等，求解时间最短的交通网络路径是必不可少的。
本文将介绍一种时间最短的交通网络路径求解方法。
1. 问题描述交通网络路径求解是指从起点到终点在交通网络中寻找一条时间最短的路径。
在实际情况中，交通网络中的节点和边都带有一定的权值，例如节点可以表示地点的位置，边可以表示道路的长度或者公交车的行驶时间。
因此，交通网络路径求解可以转化为寻找一条权值和最小的路径。
2. 常见的解决方法在求解交通网络路径问题时，我们可以使用许多常见的算法来得到答案。
2.1 Dijkstra 算法Dijkstra 算法是解决单源最短路径问题的经典算法，它适用于所有边权非负的有向图。
该算法通过维护一个集合S 来存储已经处理过的顶点，以及一个集合V-S 来存储未处理的顶点。
在每次迭代中，Dijkstra 算法从V-S 中选择一个距离源点最近的顶点，并将它加入到S 中。
然后，算法更新剩余顶点的距离值。
实际上，Dijkstra 算法是从一个点向外扩展图的过程，每次选择距离源点最短的点进行扩展。
2.2 Bellman-Ford 算法Bellman-Ford 算法是解决含负边权的单源最短路径问题的一种经典算法。
该算法基于动态规划的思路，具有全局最优性。
Bellman-Ford 算法的基本思想是进行n-1 轮松弛操作，其中n 是图中点的数量。
在每轮操作中，算法遍历所有的边，对每条边进行松弛操作。
如果在第n-1 轮操作后，仍然存在从源点到某个顶点v 的距离可以缩短，则说明图中存在负环，即一个环中所有边权之和为负数。
2.3 Floyd-Warshall 算法Floyd-Warshall 算法是解决所有点对最短路径问题的一种经典算法。
该算法基于动态规划的思路，具有全局最优性。
Floyd-Warshall 算法的基本思想是动态维护任意两点之间的最短距离。
Dijkstra算法(狄克斯特拉算法)
Dijkstra 算法Dijkstra 算法（狄克斯特拉算法） 算法（狄克斯特拉算法）目录[隐藏]• • • • • o •1 2 3 4 5Dijkstra 算法概述 算法描述 虚拟码 时间复杂度 Dijkstra 算法案例分析 5.1 案例一:基于 Dijkstra 算法在物流配送中的应用[1] 6 参考文献[编辑]Dijkstra 算法概述Dijkstra 算法 算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉（Dijkstra）于 1959 年提出的，因此 又叫狄克斯特拉算法。
是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法， 解决的是有向图中最短 路径问题。
其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。
其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。
当所有边 权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点， 权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点，所以这个点的距离永远不会再 被改变，因而保证了算法的正确性。
不过根据这个原理， 被改变，因而保证了算法的正确性。
不过根据这个原理，用 Dijkstra 求最短路的图不能有 负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离 负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离 不会改变的性质。
不会改变的性质。
举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。
Dijkstra 算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。
Dijkstra 算法的输入包含了一个有权重的有向图 G，以及 G 中的一个来源顶点 S。
我 们以 V 表示 G 中所有顶点的集合。
每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。
(u,v)表示从顶点 u 到 v 有路径相连。
我们以 E 所有边的集合，而边的权重则由权重函数 w: E → [0, ∞]定义。
最小费用路径
最小费用路径引言最小费用路径是指在一个有向带权图中寻找一条路径，使得该路径的起点和终点已知，并且路径上的边的费用之和最小。
这是一个非常重要且实用的问题，它在许多领域中都有应用，如物流配送、电路设计、网络传输等。
Dijkstra算法Dijkstra算法是一种经典的求解最短路径问题的算法，它可以用于寻找最小费用路径。
首先介绍Dijkstra算法的原理和流程，然后详细解释如何利用Dijkstra算法求解最小费用路径问题。
原理Dijkstra算法通过维护一个距离数组，记录从起点到每个顶点的当前最短距离。
算法开始时，将起点到起点的距离设为0，其它顶点的距离设为无穷大。
然后从起点开始，选择一个距离最小的顶点，更新该顶点的邻接顶点的距离。
重复这个过程，直到找到终点或者所有顶点都被访问过。
流程1.初始化距离数组，将起点到起点的距离设为0，其它顶点的距离设为无穷大。
2.选择未访问的顶点中距离最小的顶点，记为当前顶点。
3.更新当前顶点的邻接顶点的距离，如果通过当前顶点到达邻接顶点的距离小于该邻接顶点当前的距离，则更新距离。
4.标记当前顶点为已访问。
5.重复步骤2~4，直到找到终点或者所有顶点都被访问过。
6.如果找到终点，则输出最小费用路径；否则，表示不存在路径。
Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种求解最小费用路径问题的经典算法，它可以处理图中存在负权边的情况。
接下来介绍Bellman-Ford算法的原理和流程。
Bellman-Ford算法通过进行多次松弛操作，逐步求解最小费用路径。
算法开始时，将起点到所有顶点的距离设为无穷大，起点到起点的距离设为0。
然后进行V-1次的松弛操作，每次操作都尝试找到更短的路径，并更新路径上的顶点的距离。
最后进行第V次松弛操作，如果仍然存在更短的路径，则说明存在负权环路。
流程1.初始化距离数组，将起点到起点的距离设为0，其它顶点的距离设为无穷大。
2.进行V-1次的松弛操作，每次操作都遍历所有边，如果通过当前边到达某个顶点的距离小于该顶点当前的距离，则更新距离。
最短路径最少费用数学建模论文
摘要现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个工厂为了自身的发展需要以最快的速度及时将产品送达所需单位，即高质量高速度的完成送货任务，针对本案例，我们采用了大量的科学分析方法，并进行了反复验证，得出如下结果：问题1：根据所给问题与数据，我们将题目中给出的城市，及其之间的线路可看成一个赋权连通简单无向图，采用了求这个图最小生成树的方法，求出最优线路.在此基础上，我们通过观察分析计算对上述结果进行修正，然后我们再采用穷举法对问题结果进行验证，结果相吻合。
最终得到如下路线：北京→香港→湖南→海南→广西→重庆→河南→云南→西藏→新疆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→黑龙江→内蒙古→黑龙江→吉林→北京。
〔最短时间为61小时〕问题2：由于题中有货物重量与体积限制，货机一次最多只能载50件产品，考虑19个城市的总需求为114，这就估算出至少需要返回2次，采用逆向求解的方法，相当于3架货机同时送货，要设计线路使总共花费的时间最短，尽量使送货任务均衡，最大限度不超过50件货物，最后得出结果为：北京→吉林→黑龙江→内蒙古→新疆→西藏→云南→河南→北京→重庆→广西→海南→湖南→香港→北京→重庆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→北京。
〔总的时间为71.77777〕〔其中红色表示只路过不送货〕问题3：要求问题1，2的花费最少，只需对前两个模型做进一步优化即可，经过优化计算我们得到如下结果：问题1的最少花费为584250〔元〕，路线如下：北京→香港→湖南→海南→广西→重庆→河南→云南→西藏→新疆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→黑龙江→内蒙古→黑龙江→吉林→北京问题2的最少花费为711750〔元〕，线路如下：北京→吉林→黑龙江→内蒙古→新疆→西藏→云南→河南→北京→重庆→广西→海南→湖南→香港→北京→重庆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→北京。
紧急运输最小费用流问题算法
紧急运输最小费用流问题算法
紧急运输最小费用流问题是求解一个给定的网络，使用最少的费
用流动到所有终点的一种最优化问题。
在此问题中，不限制路线选择，有多个出口点，构成一个复杂的网络，在此网络中，有一系列点之间
存在权重限制。
紧急运输最小费用流问题最常用的解决方法是用动态规划求解，
其基本思想是根据当前状态递推出从起点到终点的最短路径，并计算
出最小的费用。
首先，求解出费用最小的路径，并根据遍历结果得出
最有效的路径，再将费用计算付诸实现。
紧急运输最小费用流的一般步骤如下：
（1）对网络建立源点到汇点的有向图，并定义各连接点间的正
残量。
（2）计算每条边上的权重，并在有向图中标出。
（3）尝试局部调整网络，以得到符合实际条件的最优结果。
（4）采用动态规划算法求解，实现最佳路径遍历，计算出最小
费用。
紧急运输最小费用流能解决紧急事务的运输问题，解的最小费用
减少成本，实现更快推进，使紧急运输更加便利和有效。
最小费用路径
最小费用路径最小费用路径是指在一个加权有向图中，从起点到终点的一条路径，使得路径上经过的边的权值之和最小。
这个问题可以通过最短路径算法来解决，但因为考虑到边的权值不仅包括长度还包括费用，所以需要使用一些特殊的算法来解决。
在处理最小费用路径时，Dijkstra算法和贪心算法都不合适。
我们需要使用Bellman-Ford算法或Dijkstra算法的变种，即SPFA算法来求解。
SPFA算法是一种基于贪心的最短路径算法，它采用了对Dijkstra算法的优化，对于负权边和负权环，它能够正确地求解最小费用路径。
该算法以节点为基础进行更新，维护一个更新队列，每次从队首取出节点并更新，直到队列为空。
具体运作过程如下：1. 把起点放入队列中，并把起点到起点的最短距离设为0。
2. 对队列进行循环，每次取出队首节点。
3. 遍历这个节点的每个邻居，如果邻居到起点的距离可以通过该节点得到更小的值，则更新邻居的距离，并将邻居加入队列中。
4. 如果队列为空，则表示所有的节点都已更新距离，结束算法。
SPFA算法的时间复杂度为O(km)，其中k为常数，m为边数。
在实际应用中，通常k=2。
在使用SPFA算法时，要考虑到以下几点：1. 处理负权环问题，若存在负权环，则无法求得最短路径。
2. 处理图中存在重边的情况，此时需要使用优先队列进行优化。
3. 处理超时退出问题，若算法执行时间过长，则可以通过设置最大循环次数或加入计时器进行限制。
最小费用路径问题通常应用于路网规划、航线规划、电力传输、电信网络等领域。
在实际应用中，针对不同的场景和数据特点，可以采用不同的算法和优化策略来求解最小费用路径，以提高计算效率和精度。
最短路径、指派、运输问题
第二步：进行试指派以寻求最优解。
（1）进行行检验：从只有一个0元素的行开始，给这 个0元素加（），记作（0）；再划去（0）所在列的其它 0元素，记作φ。若遇到有两个0元素以上的行，先放下。 （2）进行列检验：给只有一个0元素的列0元素加（） ，记作（0）；然后划去（0）所在行的0元素，记作φ。 （3）再对两个以上0元素的行和列标记，任意取一个 加（）。
B1 A1 A2 A3 4 7 6
B2 8 9 9
B3 7 17 12
B4 15 14 8
B5 12 10 7
A4
A5
6
6
7
9
14
12
6
10
10
6
三、其它指派问题
（1）目标函数求最大值的指派问 题 对于此问题可做一个新的 矩阵B=(bij)。找出原矩阵的最 大元素m，令B=(bij)=m-cij
∑
产 量 与 销 量 平 衡
解： 设产地Ai到销地Bi的运量为xij，由问题构造运量平衡表
可以知道：
（1）产销平衡 （2）Ai运出量等于产量 （3）Bj运入量等于销量
a b
i 1 i j1
m
n
j
x
j 1
n
ij
ai
x
i 1
m
ij
bj
运量平衡表
销地Bi 运价 产地Ai A1 A2 C11 C21 C12 C22 B1 B2
4 2 (cij ) 4 3 3 3 3 2 4 6 5 6 1 - 1 3 5 - 2 0 1 4 - 3 5 -2 1 2 1 0 0 3 0 - 1 3 4 3 - 2 0 1 2 1-3 4 3 -2 1 -2 2 1 0 0 1 2 0 2 0 3 (b ) ij 1 3
交通运输网络中两个结点间有流量约束的最小费用最大流算法
交通运输网络最小费用最大流问题是图论中的 核心问题之一 , 常用的 算法有网络 单纯形算 法 ( gr aph sim plex alg orit hm) 、 连 续最短路算法 ( suc cessiv e short est pat h algorit hm) 、 松弛算法 ( relaxa t ion alg orit hm ) 、 消 圈 算法 ( cy cle canceling alg o r it hm) 、 原始 对偶算法 ( prim al dual algo rithm ) 、 瑕 [ 1 15] 疵算法( o ut of kilt er alg orit hm) 等 , 这些算法可 以解决流量无约束的最小费用最大流分配问题 , 即 对于两个关联结点的流量分配没有任何约束限制条 件. 最小费用最大流分配问题有大量的实际应用背 景, 同时在实际应用中, 通常对交通运输网络中两个 关联结点之间的流量有具体的 要求和约束限 制条 件, 单纯的使用传统算法就不能够很好的解决有约 束条件的最小费用最大流分配问题 , 所以有必要在 传统算法基础上 , 需要对网络中两个关联结点之间 有流量约束限制条件的最小费用最大流问题做进一 步研究, 从而构造可行的有约束条件的最小费用最 大流分配算法. 本文对交通运输网络中最小费用最大流的分配 要求两个结点之间的流量不能超过限制值、 不能低 于限制值以及在一定范围之内这 3 种约束条件进行
则进 行的 , 但在实际应用中 , 通常对交通运输网络中两个结点之间的流量有具体的 要求和约束 限制条件 . 针对交 通 运输网络中两个结点之间有流量约束的最小费用最大流问题进行了分析 , 总结了两个结点 之间的流 量不能超过 限 制值 、 不能低于限制值以及在一定范围内的 3 种约束条件 . 基于连续最短路算法中 构造伴随增 流网络的 思路 , 设 计 了这 3 种约束 限制条件下的最小费用最大流分配算法 . 利用 这个算 法 , 可 以解决 交通运 输网络中 两个结 点之间 有 流量约束的最小费用最大流分配问题 . 在交通运 输领域 , 两 个结点 之间有 流量约 束的最 小费用最 大流问 题普遍 存 在 , 这些算法也为解决实际的运输问题提供了应 用基础 . 关键词 : 最小费用最大流 ; 流量约束条件 ; 增流网络 ; 连续最短路算法 ; 交通运输网络 中图分类号 : U 113 文献标识码 : A
最小费用流问题
05
最小费用流问题的扩展问题
多源和多汇问题
多个源点
当网络中有多个源点时，每个源点都有自己的供应量，要求流经整个网络并从指定的汇点流出。最小 费用流问题需要找到一种分配方式，使得从各个源点出发的流量的总和等于各自的供应量，同时总费 用最小。
多个汇点
与多源点类似，当网络中有多个汇点时，每个汇点都有自己的需求量，要求流经整个网络并流入各个 汇点。最小费用流问题需要找到一种分配方式，使得从源点出发的流量能够满足各个汇点的需求，同 时总费用最小。
问题背景和重要性
• 最小费用流问题在实际生活中有着广泛的应用，如物流网 络中的最优路径选择、通信网络中的数据流优化、电力网 络中的电力分配等。解决最小费用流问题可以为企业和组 织节省大量的成本和资源，提高运营效率。
问题的限制和假设
限制
最小费用流问题通常需要考虑图中可能存在的瓶颈和约束条件，如边的容量限 制、流量方向限制等。
动态变化
实际网络中流量的变化可能导致 最小费用流问题需要不断更新求 解，需要设计能够适应动态变化 的算法。
多目标优化
在实际应用中，最小费用流问题 常常需要考虑多个目标，如费用、 时间、可靠性等，需要发展多目 标优化的方法。
感谢观看
THANKS
最小费用流问
• 最小费用流问题概述 • 最小费用流问题的数学模型 • 最小费用流问题的算法 • 最小费用流问题的应用场景 • 最小费用流问题的扩展问题 • 最小费用流问题的挑战和未来研
究方向
目录
01
最小费用流问题概述
问题定义
• 最小费用流问题是在给定一个有向图或无向图中，寻找一条或 多条路径，使得从源点到汇点的总流量最大，且每条边的流量 不超过该边的容量，同时要求总费用最小。
带时间限制的最小费用运输问题的求解方法
Ａｂ ｔａ ｔ Ｔｈ ｎｉ ｍ ｏ ｔｔａ ｐ ｒａ ｉｎ ｒ ｂｌｍ ｔ ｉ ｉ ｔｄ ｉ ｎ ｅ ｔｇ ｔ ｄ ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ Ｆｉｓｌ ｓ ｒ ｃ ： ｅ ｍｉ ｍｕ ｃ ｓ ｒ ｎｓ ｏ ｔ ｔ ｐ ｏ ｅ ｗｉ ｔｍｅ ｌｍｉｅ ｓ ｉ ｖ ｓｉａｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ． ｒｔｙ，ｔ ｅ ｏ ｈ ｈ
ｒ ｌｔｏ ｓ ｐ ｂ ｔ ｅ ｈｅ ｔａ ｓ ｏ ｔｔｏ ｉ ｎ ｈｅ ｔａ ｓ ｏ ｔｔｏ ｕ ｌｔｔ ｓ ａ ａｙ ｅ ｅ ａｉ ｎ ｈｉ ｅｗｅ ｎ ｔ ｒ ｎ ｐ ｒａｉ ｎ ｔｍｅ ａ ｄ ｔ ｒ ｎ ｐ ｒａｉｎ ｑ ａｉｉ ｉ ｎ ｌｚ ｄ， ｔ ｅ ｈ ｒ ｎ ｐ ｒａｉ ｎ ｙ ｈ ｎ ｔ ｅ ｔａ ｓ ｏ ｔ ｔ ｏ
ｕ ｅ ｏ ｉ ｌｔ ｎ ｈ ｅｕｔ ｓ ｏ ｈ ｔｔｅｍｅｈ ｄｏ ｉ ｐ ｐ ｒｉ ｅｆ ｉｎ ｒｓｌｉｇ ｔｉ ｋｎ ｆｐｏ ｌｍ． ｓｄ ｆｒｓｍｕａｉ ．Ｔ ｅｒｓ ｌ ｈ ｗ ｔａ ｌ ｔｏ ｆ ｈｓ ａ ｅ ｓ ｆ ｃｅ ｔ ｏｖｎ ｓ ｉｄ ｏ ｒｂｅ ｏ ｓ ｈ ｔ ｒ ｏ ｆ ｈ
中图分类号 ： ２ １ ０ ２
文章 标识码 ： Ａ
文章编号 ：０７３２ （０ １ ０ ．０ ９ ０ １０ ．２ １２ １ ）６ ００ ．６
Ａ ｔ ｏ ｏ ｏｖｎ ｈ ｎｍＵ Ｃｏ ｔ ｒ ｎ ｐ ｒ ｔ ｎ Ｐｒｂｅ ｗｉ ｉ Ｍｅｈ ｄ ｆ ｒＳ ｌｉｇ ｔｅ Ｍｉｉ ｍ ｓ ａ ｓ ｏ ｔ ｉ ｏ ｌｍ ｔ Ｔ ｍｅ Ｕｍｉ ｄ Ｔ ａｏ ｈ ｔ ｅ
ｔｍｅ ｉ ｉ ｉｅ ｎ ｏ ｔ ａ ｓ：ｏ ａ ａ ｏ ｒｌ ｔ ｎ ｈ ｐ ｗｉｈ ｔ ｅ ｔａ ｓ ｏ ｔｔｏ ｕ ｌｔ ｙ；ｔ ｅ ｏｈ ｒ ｐａ ｓ ａ ｉ ｓ ｄ ｖｄ ｄ ｉ ｔ ｗｏ ｐ ｒ ｔ ｎｅ ｐ ｒ ｈ ｓ ｎ ｅ ａｉ ｓ ｉ ｔ ｈ ｒ ｎ ｐ ｒａｉｎ ｑ ａｉｉ ｔ ｏ ｔ ｈ ｔ ｅ ｒ ｉ ｔ
考虑时间成本效率最短路径算法
考虑时间成本效率最短路径算法1.引言1.1 概述概述部分应该对文章的主题进行简要介绍，包括对时间成本效率最短路径算法的定义和背景进行说明。
下面是一种可能的写法：概述时间成本效率最短路径算法是一种重要的图论算法，用于在给定图中找到一条路径，以最小化经过该路径所需的时间成本。
在现实生活中，我们经常面临需要选择最短路径的情况，如GPS导航系统中的路线规划、交通网络中的货物配送、电子游戏中的角色移动等等。
传统的最短路径算法通常以最小化路径的权重（即边的距离或费用）为目标，但在某些场景下，经过路径所需的时间成本更为关键。
例如，在紧急救援等应用中，时间往往是至关重要的考虑因素。
本文旨在提出一种考虑时间成本效率的最短路径算法，该算法将重点关注路径的时间成本，并努力找到一条在时间限制下最为高效的路径。
我们将探讨该算法的要点、原理以及实现方法，并对其在实际应用中的潜在价值进行分析和展望。
通过引入时间成本效率的考量，我们旨在为解决实际问题提供一种更加符合实际需求的路径规划方案。
希望本文能够对相关领域的研究人员和实践者提供一些新的启示和思路，推动时间成本效率最短路径算法的进一步发展和应用。
在接下来的章节中，我们将详细介绍该算法的要点和原理，以及对实际应用的展望。
文章结构部分的内容可以按以下方式撰写：1.2 文章结构本篇文章主要包含三个部分：引言、正文和结论。
引言部分首先对时间成本效率最短路径算法进行概述，提出此算法的背景和重要性。
随后，简要介绍了文章的整体结构和各个章节的内容安排。
最后，明确了文章的目的，即探讨时间成本效率最短路径算法的关键要点。
正文部分是本文的核心部分，将详细介绍时间成本效率最短路径算法的要点。
其中，第2.1节将重点介绍要点1，包括要点的定义、原理、实现方法以及应用场景等。
第2.2节将进一步讨论要点2，同样包括相关内容的详细解释和分析。
通过对这些要点的深入探讨，读者能够更好地理解和应用时间成本效率最短路径算法。
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经济研究
时间相关的运输网络最小费用 路径模型及算法
Time-dependent Minimum Cost Path Modal and Algorithm of Transport Network
运输网络中，出行者如何按照一定的规则符合实 际地选择最优路径到达目的地，一直是研究者
关注的重要课题。 最优路径一般表示出行时间最短 或距离最短或费用最少的路径。 然而在实际出行中， 绝对的单目标最短路径往往不是用户愿意选择的出 行路径，现实提出了多目标最优路径问题。 基于这一 问题，Ｄｉａｌ［１］提出了时间和费用双准则多目标最优路径 模型，即时间约束下的最小费用路径模型；Ｓ ｐ ｉ ｅ ｓ ｓ ， Ｆｌｏｒｉａｎ［２］给出了改进型最优路径模型，模型以出行时 间和费用固定不变为假设前提。 此类模型为定常需 求模型或为静态路径模型，其对于中长期运输网络的 规划是有效的。 但考虑到交通流的时变性（Ｏ Ｄ 对之 间的最优路径应该是时变的），Ｎｅｗｅｌｌ［３］指出，在使用 静态最优路径模型时，容易导致决策错误。随着工程 需要和研究深入，动态网络最优路径问题逐步成为研 究的重点。Ｚｉｌｉａｓｋｏｐｏｕｌｏｓ，Ｗａｒｄｅｌｌ［４］，Ｊｏｕｒｑｕｉｎｅ ａｎｄ Ｂｅｕｔｈｅ［５］给出了出行时间和路径选择的组合动态用户 最优模型，利用出行费用和延迟成本求解模型，但没 有考虑动态出行时间和换乘延迟对最优路径选择的 影响。 基于此，在充分考虑了动态出行时间和出行过 程延迟对出行者的影响的前提下，提出基于时间相关 的运输网络最小费用路径模型，并给出了算法。
用最小路径）。
现，用运输过程时间乘以出行者对此的感受系数表示。
２ 模型建立
交通出行中，最优路径选择往往是由多种因素决 定的［７］。但时间和费用通常是决定最优路径选择的主 要影响因素，并且影响效果一般通过实际出行费用来 计量［８］。 由于运输需求的异质性［９］，同一种运输服务
运输过程费用可用函数式⑴表示。
Abstract: Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ａ ｔｉｍｅ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｍｉｎｉｍｕｍ ｃｏｓｔ ｐａｔｈ ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｔｒａｎｓｐｏｒｔ ｎｅｔｗｏｒｋ． Ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｃａｌｃｕｌａｔｅｓ ｄｙｎａｍｉｃ ｍｉｎｉｍｕｍ ｃｏｓｔ ｐａｔｈｓ ｗｈｉｌｅ ｍａｉｎｔａｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｉｍｅ ａｌｏｎｇ ｔｈｏｓｅ ｐａｔｈｓ． Ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｏｔｈｅｒ ｃｏｓｔ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｐａｔｈ ｍｏｄｅｌｓ， ｗｈａｔ ｉｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｈｅｒｅ ｉｓ ｔｈａｔ ｗｈｏｌｅ ｔｒａｖｅｌ ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｓ ｄｉ－ ｖｉｄｅｄ ｉｎｔｏ ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ａｎｄ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｎ ｔｈｅ ｔｉｍｅ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｐａｔｈ ｍｏｄｅｌ， ｔｒａｖｅｌ ａｎｄ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｄｅｌａｙｓ ａｒｅ ｂｏｔｈ ｔａｋｅｎ ｉｎｔｏ ａｃｃｏｕｎｔ ａｓ ｗｅｌｌ． Ｏｎｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｏｆ ｔｈｉｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｄｏｎｅ ｂｙ ｃｏ－ ｍｐｕｔｅｒ ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ， ｗｉｔｈｏｕｔ ｂｅｉｎｇ ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｐｏｒｔ ｎｅｔｗｏｒｋ ｓｉｚｅ ａｎｄ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｔｒａｎｓｐｏｒｔ ｎｏｄｅｓ， ａｎｄ ｅｎｓｕｒｅｓ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ． Key words: Ｔｒａｎｓｐｏｒｔ Ｎｅｔｗｏｒｋ； Ｔｉｍｅ Ｖａｌｕｅ； Ｏｐ－ ｔｉｍｕｍ Ｐａｔｈ
个节点ｋ 的前一个节点τ－（ １ ｋ）是否存在一条路径使节 点 ｋ 到τ－（ １ ｋ）的费用最小，如果条件满足，τ－（ １ ｋ）是条 件节点之一。 依此类推，直到找出所有符合条件的节 点，这些节点组成的路径就是基于时间相关的运输网 络最小费用路径。
式中：θｉ（ ｍｊ ｔ）表示在出发时间为ｔ，由起点ｉ采用出行方 式ｍ经由节点 ｊ，并由节点ｊ到终点Ｄ′′的最小费用；τ（ｊ） 表示节点ｊ 的下一个节点；τ－（１ ｊ）表示节点ｊ 的相邻的
陈文强，吴群琪
Ｃ Ｈ Ｅ Ｎ Ｗ ｅ ｎ - ｑ ｉ ａ ｎ ｇ ，Ｗ Ｕ Ｑ ｕ ｎ -ｑ ｉ
（长安大学 经济与管理学院， 陕西 西安 ７１００６４）
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ ａｎｄ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ， Ｃｈａｎｇ’ａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｘｉ’ａｎ， Ｓｈａｎｎｘｉ ７１００６４， Ｃｈｉｎａ）
摘 要：介绍运输网络中时间相关的最小费用 路径模型及算法，算法计算了随时间变化的动态 最小费用路径。与其他类似成本路径模型相比， 该模型把整个出行过程分为运输过程和换乘过 程，并且考虑了运输过程和换乘过程的时间延 迟。模型算法的特点是可以用计算机自动完成， 不受运输网络大小和节点的限制，并保证算法的 正确性。 关键词：运输网络；时间价值；最优路径
而使时间相关的最优路径转化为单目标最优路径问
运输过程费用由运输客观费用和运输主观费用组
题。出行者出行过程由运输过程和换乘过程两部分组 成。 运输客观费用也称为运输过程的固定费用（燃
成，在此采用两阶段分析法，把最优路径问题分为两 料、票价等），是由运输技术经济特性决定的； 运输主
个部分，各自建立模型，最后联合分析求解总目标（费 观费用是出行者对时间（延迟等）主观感受的价值表
露天换乘公交车舒适，同一个出行者对换乘公交车的
φ ｊｍ（２ｋ ｔ）＝µｊｍ（２ｋ ｔ）＋
运输方式 ｍ
运输方式ｍｆ
Ｄ
αｍ（２ ｔ）τｊ（ ｍｋ２ ｔ） ｋ
Ｄ ′′
运输方式ｍ ２ ｊ
ｋｉｍｊｋ１，ｍ（ ２ ｔ）＝υｉｍｊｋ１，ｍ（ ２ ｔ）＋β ｍ１，ｍ（ ２ ｔ）ξ ｍｉｊ１ｋ，ｍ（ ２ ｔ）
１ 问题分析
１．１ 问题表述 所论述的运输网络是指不同运输方式组成的综
合运输网络，由运输方式、运输路径、换乘枢纽组成。 基于运输需求出行特点，将运输网络抽象为矢量图，
11
第 ３１ 卷 第 ５ 期
经济研究
铁道运输与经济
时间相关的运输网络最小费用路径模型及算法 陈文强 等
换乘枢纽是图中的节点，运输路径
运输方式ｍ １
ｉ φｍｉｊ（ １ ｔ）＝µｍｉｊ（ １ ｔ）＋αｍ（ １ ｔ）τ ｍｉｊ（ １ ｔ）
感受系数β ｍ１，ｍ（ ２ ｔ ）得分就比地铁高）。 ２．３ 最小费用路径模型函数
图 ２ 出行者出行费用分解示意图
在运输网络中要想找出最小费用路径，出行费用 模型函数必须计算经由每一个节点的运输相关费用 和换乘相关费用。 根据这一原则，出行费用模型函数
数的乘积（前提假设，时间价值是出行时间和出行者 比出租汽车高）。
对此感受系数的线性函数）来表示，即出行时间与出 ２．２ 换乘过程费用模型函数
行者对此（出行时间和运输延迟）的感受系数的乘积。
与运输过程费用相同，换乘过程费用也分为换乘
其中，出行者的感受系数是由出行者对该服务品质的 过程固定费用（客观费用）和换乘过程服务相关费用
时间相关的运输网络最小费用路径模型及算法 陈文强 等
铁道运输与经济
经济研究
点ｊ 到节点ｋ 过程中，由出行方式ｍ１ 换乘ｍ２ 的过程费 用；ｖ ｍｉｊ１ｋ，ｍ（２ ｔ）表示出发时间为 ｔ，由节点 ｉ 出发，经节点 ｊ 到节点ｋ 过程中，由运输方式 ｍ１ 换乘ｍ２ 的换乘固定 费用；ξｍｉｊ１ｋ，ｍ（２ ｔ）表示出发时间为 ｔ，由节点ｉ 出发，经节 点ｊ 到节点ｋ，由运输方式ｍ１ 换乘ｍ２过程的换乘时间； β ｍ１，ｍ（ ２ ｔ）表示出行者对出发时间为ｔ，由运输方式ｍ１ 换乘ｍ２ 的感受系数（比如在地铁站内换乘地铁就比在
间价值表现，用换乘过程时间乘以出行者对此的感受
系数表示。 换乘过程相关费用函数如式⑵所示。 ｋｉｍｊｋ１，ｍ（ ２ ｔ）＝ ｖｉｍｊｋ１，ｍ（ ２ ｔ）＋ξｉｍｊｋ１，ｍ（ ２ ｔ）β ｍ１，ｍ（ ２ ｔ） ⑵
式中：ｋ ｍ１，ｍ（２ ｔ）表示出发时间为 ｔ，由节点ｉ 出发，经节 ｉｊｋ
12
第 ３１ 卷 第 ５ 期
相关的最优运输路径 Ｏ — Ｄ（从 Ｏ
点到达 Ｄ 点）是计算的基本问题。 １．２ 问题的解决思路
时间相关的运输网络最优路
旅客出行方向 图 １ 典型运输网络几何抽象图
径问题其实是一个多目标最优路径问题，此类问题的 程费用。
一般处理方式是把多目标转化为单目标去求解［６］，从 ２．１ 运输过程费用模型函数
满意程度决定的。 利用层次分析法，由出行者对服务 （主观费用）。换乘过程固定费用由泊车、停车费等相
品质构成内容进行打分，采用几何平均法进行处理， 关固定费用组成；换乘过程主观费用是出行者换乘时
取其均值作为出行者对此服务的满意度Φ ，则出行者 对此服务的感受系数为１ －Φ。
出行者出行全程由运输过程和换乘过程两部分组 成，实际出行费用也可以分为运输过程费用和换乘过
为保证算法的合理性，必须对参数进行合理设 置，否则会出现违背常理的行为。 比如，如果步行时 间价值参数小于换乘等待时间价值，那么此算法就认
上一个节点；ｍｉ 表示相邻两节点之间的运输方式，其 为出行者在车辆到来之前他宁愿来回走动而不在换乘
φｉｍ（ｊ ｔ）＝µｉｍ（ｊ ｔ）＋τｉｍ（ｊ ｔ）α（ｍ ｔ）
⑴
式中：φｉ（ ｍｊ ｔ）为ｉ和ｊ之间路段上出发时间为ｔ、出行方式
为ｍ的运输过程费用；µｉｍ（ｊ ｔ）为ｉ和ｊ之间路段上出发时
间为ｔ、运输方式为ｍ的运输固定费用；τｉｍ（ｊ ｔ）为ｉ和ｊ之
间路段上出发时间为 ｔ 、运输方式为 ｍ 的运输过程时