柱体、椎体、台体的体积
柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积
柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 2．锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；3．台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为上、下底面面积，h 为高)；4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝43πR 3.类型一 柱体、锥体、台体的体积例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64答案 A解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( )A ．0.6 cmB ．0.15 cmC ．1.2 cmD ．0.3 cm 答案 A解析 设杯里的水下降h cm ，由题意知π(202)2h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6 cm.反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．解 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ， ∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝16abc ，∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝56abc ，∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′的中点分别为D ，D ′，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高． 所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又因为A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333(cm)，O ′D ′＝36×20＝1033(cm)，OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2 ＝(1333)2－(53－1033)2＝43(cm)． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h 3(S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝433×(34×202＋34×302＋34×20×30)＝1 900(cm 3)．类型二 球的表面积与体积命题角度1 与球有关的切、接问题例2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．解 如图等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O . 设球的半径OE ＝R ， OA ＝OE sin 30°＝2OE ＝2R ，∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ， BD ＝AD ·tan 30°＝3R ， ∴V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，则V 球∶V 圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2 答案 B解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ， 得球的半径为62a ，则球的表面积为4π(62a )2＝6πa 2. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练2 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9 答案 C解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×(12)3∶43π×(32)3＝1∶3 3.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为_______． 答案 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32，∴外接球表面积为4π×(32)2＝9π.命题角度2 球的截面例3 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的表面积． 解 方法一 (1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)， 由πr 2＝400π，得r ＝20(r ＝－20舍去)．在Rt △OB 1C 1中，OC 1＝R 2－r 21＝R 2－49，在Rt △OBC 中，OC ＝R 2－r 2＝R 2－400.由题意可知OC 1－OC ＝9，即R 2－49－R 2－400＝9， 解此方程，取正值得R ＝25.(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC 1＝R 2－49，OC ＝R 2－400.由题意可知OC 1＋OC ＝9， 即R 2－49＋R 2－400＝9.整理，得R 2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2 500π(cm2)．方法二(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OC21＝R2－49，OC2＝R2－400，两式相减，得OC21－OC2＝400－49⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25 cm.(以下略)反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练3把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是()A．1 B．2 C．1或7 D．2或6答案 C解析画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝52－32＝4，n＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.类型三组合体的体积例4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 答案 A解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×(12×1×2)×1＝π＋13.故选A.反思与感悟 此类问题的关键是把三视图还原为空间几何体，再就是代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别．解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体． 跟踪训练4 如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台，求这个奖杯的体积．解 三视图复原的几何体下部是底座是正四棱台，中部是圆柱，上部是球． 这个奖杯的体积V ＝13h (S 上＋S 上S 下＋S 下)＋22π·16＋4π3×33＝336＋100π(cm 3)．1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是( ) A ．2 cm B ．3 cm C ．4 cm D ．8 cm 答案 C解析 ∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ， ∴铜质的五棱柱的体积V ＝16×4＝64(cm 3)， 设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm ， 则a 3＝64，解得a ＝4 cm ，故选C.2.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π答案 B解析 体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，所以表面积为S ＝4π×12＝4π.4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 柱∶V锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案 3π解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ←―――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算． 5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．课时作业一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 答案 B解析 设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π.2．如图，在正方体中，四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的( )A.12B.13C.14 D ．不确定 答案 B解析 由于四棱锥S －ABCD 的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的13，故选B.3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π(32)3＋3×3×2＝92π＋18. 4．如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34答案 C解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.5．一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.4163π3cm 3答案 C解析 如图，根据题意， |OO 1|＝4 cm ，|O 1A |＝3 cm ，∴|OA |＝R ＝|OO 1|2＋|O 1A |2＝5(cm)， 故球的体积V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．故选C.6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm ，那么该棱柱的表面积为( ) A ．(2＋42) cm 2 B ．(4＋82) cm 2 C ．(8＋162) cm 2 D ．(16＋322) cm 2答案 C解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm ，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为22，∴正四棱柱的高为16－8＝22，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×22＝8＋162，故选C.7.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.23πB.43πC.53π D ．2π答案 C解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.8．一个表面积为36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为()A．45π B．27π C．36π D．54π答案 D解析因为球的表面积为36π，所以球的半径为3，因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3，高为6，所以圆柱的表面积S＝2π×32＋2π×3×6＝54π.二、填空题9．如图，三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A －FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________．答案124解析设三棱柱的高为h，∵F是AA1的中点，则三棱锥F－ADE的高为h2，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S△ADE＝14S△ABC，∵V1＝13S△ADE·h2，V2＝S△ABC·h，∴V1V2＝16S△ADE·hS△ABC·h＝124.10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 2 cm，则该圆锥的体积为___ cm3. 答案π3解析∵圆锥的侧面展开图的弧长为2π cm，半径为 2 cm，故圆锥的底面周长为2π cm，母线长为 2 cm ，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积V ＝13·π·12·1＝π3.11．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为________．答案2π6＋16解析 由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V ＝13×(12×1×1)×1＋[43π(22)3]×12＝16＋2π6. 12．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和2的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________． 答案 3π解析 满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V －ABC ，所以VA ＝AB ＝BC ＝1，VB ＝AC ＝2，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R ＝32， 所以该四面体外接球的表面积为4π×(32)2＝3π. 三、解答题13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分是以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC ＝30°)解 过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°， ∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，1圆锥侧AO S ＝π×32R ×3R ＝32πR 2， 1圆锥侧BO S ＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴11几何体表球圆锥侧圆锥侧＝＋＋AO BO S S S S＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.又∵V 球＝43πR 3，1圆锥AO V ＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1， 1圆锥BO V ＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－()11圆锥圆锥＋AO BO V V ＝56πR 3.四、探究与拓展14．圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm答案 C解析 设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得 3×43πr 3＋πr 2×6＝πr 2×6r ，解得r ＝3. 15．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解 (1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体． 由P A 1＝PD 1＝ 2 cm ，A 1D 1＝AD ＝2 cm ， 可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．。
人教版高中数学必修2第一章第3节《柱体、椎体、台体的体积》ppt参考课件
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/11
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谢谢欣赏！
2019/8/11
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棱锥体积
探究:棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．
三棱锥与同底等高的三棱柱的关系
锥体体积
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
的 1．即棱锥的体积： 3
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面 面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于
底面面积乘高的 1． 3
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
棱台（圆台）的体积公式
V 1 (S SS S)h 3
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
柱体椎体台体球体的体积公式
柱体椎体台体球体的体积公式要说起这些几何体的体积公式，嘿，那可是个大事儿！咱们日常生活中，柱体、椎体、台体、球体都挺常见的，可能你没注意，但它们就像你生活中的小伙伴，默默地影响着你的日常。
比如，柱体嘛，想想水杯或者罐头，都是个柱子，对吧？要是把它的高度和底面半径拿出来，嘿，想知道它的体积吗？只需要个简单的公式：底面面积乘以高度，数学小白也能看懂。
简单吧？就像喝水一样自然，别说了，喝起来就对了！再说椎体，别小看它，像个锥子一样的东西。
你吃过的冰淇淋就长这样，咕噜咕噜的，怎么吃都不觉得腻。
计算它的体积有点小复杂，但也没那么可怕，底面面积乘以高度，最后还得除以三。
听起来复杂，但其实就像拆解一个谜语，慢慢来，跟着感觉走。
想象一下，一大堆冰淇淋，心里那个爽啊，体积公式其实就是在告诉你，想吃多少就得算算它的“体积”了！再聊聊台体，很多人对它可不太熟悉，台体就是上窄下宽的形状，像个倒着的茶杯。
想喝水吗？只要知道上面的和下面的半径，以及高度，运用公式就能轻松搞定。
可别以为这公式简单，先把上面和下面的面积算出来，然后相加再乘以高度，最后别忘了要除以三，简单的数学就像调皮的孩子一样，总想让你费点脑筋。
不过，一旦搞懂了，轻松得像个松鼠，随便玩耍。
然后是球体，嘿，这个可有趣了。
你在沙滩上看到的排球，或者篮球，都是球体。
说到球体的体积，公式又来了，得用到半径，三分之四乘以圆周率，再乘以半径的立方。
听起来像天书，其实没那么复杂。
想象你在玩泡泡，那个大大的泡泡就是球体，几何学就是教你如何把这些泡泡的大小弄得清清楚楚。
把这些公式记在心里，等到你需要的时候，随时拿出来用。
所以说，了解这些几何体的体积公式，就像攒下小秘密，未来某天用得着，特别是遇到那些数学问题，轻松对付它们就像吃块蛋糕。
无论是做饭还是打篮球，生活中的点点滴滴，几何体都无处不在，像那影子一样，伴随你左右。
把公式变得有趣，跟它们聊聊，生活的每一个瞬间都能感受到数学的乐趣，简直妙不可言。
柱体、锥体、台体的体积PPT教学课件
分 层 作 业
难
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自 主 预
∴圆锥的体积 V＝13Sh＝13π×42×4＝634π，故选 A.
当 堂 达
习
标
• 探 新
(2)V＝13(S＋ SS′＋S′)h＝13×(2＋ 2×4＋4)×3＝6＋2 2.
• 固 双
知
基
故选 B.]
合 作 探
(3)V 三棱锥 A1-ABD＝13S△ABD·A1A＝13×12a2·a＝16a3.
•
攻
重 难
答：这堆螺帽大约有252个。
课 时 分 层 作 业
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自
当
主
堂
预
达
习
标
•
1．正方体的表面积为 96，则正方体的体积为( )
•
探
固
新 知
A．48 6
B．64
C．16
D．96
双 基
合
B [设正方体的棱长为 a，则 6a2＝96，∴a＝4.
作
探
∴其体积 V＝a3＝43＝64.故选 B.]
究
•
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
2．圆锥的母线长为 5，底面半径为 3，则其体积为( )
标
•
•
探 新
A．15π
B．30
C．12π
D．36π
固 双
知
基
合
C [设圆锥的高为 h，如图，则 h＝ 52－32＝4.
作
探 究 •
所以其体积 V＝13Sh＝13×π×32×4＝12π.故选 C.]
柱体的体积公式 V＝Sh(S 为底面面积，h 为高)；
高中数学 《 柱体、锥体、台体的体积》
台体
柱、锥、台的体积公式
体积
说明
V 柱体＝Sh
S 为柱体的底面积， h 为柱体的高
1
V 锥体＝3Sh
S 为锥体的底面积， h 为锥体的高
V 台体＝1
3
(S 上＋S 下
S 上，S 下分别为台体
的上、下底面面积，
＋ S上·S下)h
h 为台体的高
2．柱体和锥体可以看作是由台体变化得到 的．柱体可以看作是上、下底面全等的台体，锥体 可以看作是上底面退化成一点的台体，因此很容易 得出它们之间的体积关系：
1.一个几何体的三视图如图所示， 则这个几何体的体积为______．
2.如图，长方体的长、宽、高分别 为3、2、4，将长方体沿相邻三个 面的对角线截出一个棱锥， 求剩下的几何体的体积．
的体积是
()
A．28π
B．6＋2 2
C．20π
D．6π
1．对于多面体的体积问题往往将已知条件归结到 一个直角三角形中求解，因此在解此类问题时，要注意 直角三角形的应用．
2．有关旋转体的体积计算要充分利用其轴截面， 将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的 数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体 积公式进行运算、解答．
解析：设圆锥的高为h，底面半径为r，其轴截面如图： ∵△ ABC为等边三角形 ∴ h＝ 3r 又12×2r×h＝ 3
又12×2r×h＝ 3
∴ r· 3r＝ 3
∴ r＝1
h＝ 3
∴ V＝13πr2h
＝13×π×1× 3＝ 33π
答案：
3 3π
例3： 圆台的上、下底面半径分别是2,4，高为 3，则该圆台
上底扩大
上底缩小
柱体、锥体、台体的体积 课件
题型四
易错辨析
易错点:考虑问题不全面而致错
【例4】 把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面(连接处忽
略不计),求这个圆柱的体积.
错解:设卷成的圆柱的底面半径为r,母线长为l,
则根据题意有2πr=4,l=2,
2
8
所以 r= π . 所以V 圆柱=πr2l= π.
圆台的体积是(
)
A.18+6 2B. 6 + 2 2C. 24D. 18
1
解析:体积 V= (2 + 2 × 4 + 4) × 3 = 6 + 2 2.
答案:B
3
【做一做 3-2】 若圆台 OO'的上、下底面半径分别为 1 和 2,
高为 6,则其体积等于
.
1
3
解析:体积 V= π × (12 + 1 × 2 + 22) × 6 = 14π.
8
π
故这个圆柱的体积为 .
错因分析:错误的原因是考虑问题不全面,出现漏解.事实上,把矩
形卷成圆柱时,也可以以4为圆柱的高,即母线长,以2为圆柱的底面周
长.
正解:设圆柱的底面半径为r,母线长为l.
2
如图①,当 2πr=4,l=2 时,r= π , ℎ = = 2,
8
所以 V 圆柱=πr2h= π.
柱体、锥体、台体的体积
1.柱体的体积
(1)棱柱(圆柱)的高是指两个底面之间的距离,即从一底面上任意
一点向另一个底面作垂线,这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的
距离.
(2)柱体的底面面积为S,高为h,其体积V=Sh.特别地,圆柱的底面半
1.3.1 柱体、椎体、台体的体积
上底扩大
上底缩小
V = Sh
S′ = S
S为底面面积， 为底面面积， 为底面面积 h为锥体高 为锥体高
S′ = 0 1 1 V = Sh V = (S′ + S′S + S)h 3 3 S为底面面积， 为底面面积， 为底面面积 S分别为上、下底面 分别为上、 分别为上 h为柱体高 为柱体高 面积， 面积，h 为台体高
4 3 5 3 4 5 4 3 5 3 5 4
V = 12π
V = 16π
48 V= π 5
典型例题
有一堆规格相同的铁制（ 例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8 g / cm 3 ）六角螺帽共重 六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 ， 边长为12mm，内孔直径为 形，边长为 ，内孔直径为10mm，高为 ，高为10mm， ， 问这堆螺帽大约有多少个（ 问这堆螺帽大约有多少个（ π 取3.14）？ ）？ 解：六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差， 的体积与圆柱体积之差，即: 3 10 2 2 V= ×12 × 6 ×10 − 3.14 × ( ) ×10 4 2 ≈ 2956(mm3 )
1.3.1 柱体、椎体、台体的体积 柱体、椎体、
长方体的体积
V = Sh
圆柱的体积
V = Sh
一般柱体的体积 V柱体 = Sh
圆柱的体积
圆锥的体积
1 V = Sh 3
V = Sh
棱柱的体积
棱锥的体积
1 V = Sh 3 1 = Sh 3
V = Sh
所以锥体的体积为 V锥体
台体的体积 以四棱台为例
x
h
S'ห้องสมุดไป่ตู้
h
柱体锥体台体的公式大全
柱体锥体台体的公式大全
柱体、锥体和台体都是几何体的一种，它们都具有不同的特性和公式。
1.柱体公式：
柱体是一个具有平行且相等的圆面底部和顶部的几何体。
下面是柱体
的一些重要公式：
-表面积公式：S=2πr(h+r)，其中r是底部圆的半径，h是柱体的高度。
-体积公式：V=πr²h，其中r是底部圆的半径，h是柱体的高度。
2.锥体公式：
锥体是一个具有一个圆形底部和一个顶点的几何体。
下面是锥体的一
些重要公式：
-表面积公式：S=πr(r+√(r²+h²))，其中r是底部圆的半径，h是
锥体的高度。
-体积公式：V=(1/3)πr²h，其中r是底部圆的半径，h是锥体的高度。
3.台体公式：
台体是一个具有两个平行且相等的圆面底部和顶部的几何体。
下面是
台体的一些重要公式：
-表面积公式：S=2π(R+r+l)，其中R是底部圆的半径，r是顶部圆
的半径，l是台体的斜高。
-体积公式：V=(1/3)π(R²+r²+Rr)h，其中R是底部圆的半径，r是顶部圆的半径，h是台体的高度。
这些公式是计算柱体、锥体和台体的表面积和体积时的基本公式。
在实际问题中，还可以根据具体情况进行一些衍生的计算。
例如，通过给定柱体、锥体或台体的表面积或体积，可以计算其他相关参数，如半径或高度。
柱体、锥体、台体的表面积和体积
柱体的体积公式
柱体的体积可以通过以下公式计算：
体积 = 底面积 × 高度 底面积 = πr² 其中，r 是底面半径，h 是高度。
锥体的定义和特征
• 锥体由一个圆锥面和一个尖顶组成。 • 锥体的高度是尖顶到底面的垂直距离。
锥体的表面积公式
柱体、锥体、台体的表面 积和体积
通过学习柱体、锥体和台体的表面积和体积公式，你将能够理解它们的定义、 特征以及在日常生活和建筑中的应用。
柱体的定义和特征
• 柱体由两个平行的圆面以及它们之间的侧面组成。 • 柱体的高度是两个平行圆面之间的垂直距离。
柱体的表面积公式
柱体的表面积可以通过以下公式计算：
锥体的表面积可以通过以下公式计算： 总表面积 = πr² + πrl 其中，r 是底面半径，l 是斜高。
锥体的体积公式
锥体的体积可以通过以下公式计算：
体积 = 1/3 × 底面积 × 高度 底面积 = πr² 其中，r 是底面半径，h由两个平行的圆面和它们之间的侧面组成。 • 底面和顶面是平行的，而侧面是梯形形状。
1[2].3.2_柱体、锥体、台体的体积
![1[2].3.2_柱体、锥体、台体的体积](https://img.taocdn.com/s3/m/761eb12b4b73f242336c5f63.png)
S′
C′
B′
h
S
D
V = VP − ABCD − VP − A′B′C ′D′
A
1 = ( S ′ + S ′S + S )h B 3 其中S ′, S 分别为上、下底面面积, h为圆台(棱台)高.
C
知识小结
柱体、锥体、 柱体、锥体、台体的体积
柱体 V = Sh
S = S'
1 台体 V = (S′ + S′S + S)h 3
C
). B.2 : 3
A1
C1
C.3 : 4
D.4 : 5
B1
1 F 解 : 设S∆ABC = S , 则S∆A1B1C1 = S , A C 4 E 1 1 1 7 VA1B1C1 − ABC = ( S + S ⋅ S + S )h = Sh, B 3 4 4 12 1 1 VA1B1C1 −CEF = Sh,∴VAB1 − ABEF = VA1B1C1 − ABC − VA1B1C1 −CEF = Sh. 4 3 ∴VA1B1C1 −CEF : VAB1 − ABEF = 3 : 4.
一般棱柱体积也是： 一般棱柱体积也是：
V = Sh
其中S为底面面积， 为棱柱的高 为棱柱的高. 其中 为底面面积，h为棱柱的高. 为底面面积
祖暅原理 祖暅原理：夹在两平行平面之间的两个几何 原理：
体 ， 被平行于这连个平面的任一平面所截 ， 被平行于这连个平面的任一平面所截， 如果截面的面积都相等， 如果截面的面积都相等 ， 则两个几何体的体 积相等。 积相等。
解 : (1)如果方案一.仓库的底面直径变成16m.则仓库的体积 1 1 16 2 256 V1 = Sh = × π × ( ) × 4 = π (m3 ). 3 3 2 3 如果按方案二.仓库的高变成8m.则仓库的体积 1 1 12 2 288 V2 = Sh = × π × ( ) × 8 = π (m3 ). 3 3 2 3
柱体台体锥体的面积与体积公式
柱体台体锥体的面积与体积公式柱体、台体和锥体是几何学中的常见立体图形，它们具有不同的形状和特点。
在几何学中，我们经常需要计算柱体、台体和锥体的面积和体积，以便解决各种实际问题。
下面将分别介绍柱体、台体和锥体的面积和体积公式。
一、柱体的面积和体积公式柱体是一种由两个平行且相等的圆面和一个侧面组成的立体图形。
柱体的底面是一个圆，侧面是一个矩形，顶面也是一个圆。
柱体的面积包括底面积、侧面积和全面积，而体积则是底面积乘以柱体的高。
1. 柱体的底面积公式柱体的底面积公式很简单，即底面的面积公式，也就是圆的面积公式。
设柱体的底面半径为r，则柱体的底面积为πr²，其中π是一个常数，约等于3.14。
2. 柱体的侧面积公式柱体的侧面积是一个矩形的面积，可以通过计算矩形的周长乘以柱体的高得到。
设柱体的底面半径为r，柱体的高为h，则柱体的侧面积为2πrh。
柱体的全面积包括底面积和侧面积，可以通过将底面积和侧面积相加得到。
柱体的全面积公式为2πr² + 2πrh。
4. 柱体的体积公式柱体的体积是底面积乘以柱体的高，可以通过将底面积乘以柱体的高得到。
柱体的体积公式为πr²h。
二、台体的面积和体积公式台体是一种由两个平行且相等的椭圆面、一个矩形面和两个梯形面组成的立体图形。
台体的底面和顶面都是椭圆，侧面是一个矩形，而底面和顶面之间的面是两个梯形。
台体的面积包括底面积、顶面积、侧面积和全面积，而体积则是底面积乘以台体的高。
1. 台体的底面积公式台体的底面积是一个椭圆的面积，可以通过计算椭圆的面积公式得到。
设台体的底面长轴为a，短轴为b，则台体的底面积为πab。
2. 台体的顶面积公式台体的顶面积也是一个椭圆的面积，可以通过计算椭圆的面积公式得到。
设台体的顶面长轴为A，短轴为B，则台体的顶面积为πAB。
台体的侧面积是一个矩形和两个梯形的面积之和，可以通过计算矩形和梯形的面积公式得到。
设台体的底面长轴为a，顶面长轴为A，底面短轴为b，顶面短轴为B，台体的高为h，则台体的侧面积为2(a+b)h。
柱、锥、台的体积详解
4、已知圆锥的底面面积为16π，它的母线 长为5,则这个圆锥的体积为_________。 5、正棱台的两个底面面积分别是121cm2 和81cm2的正方形，正棱台的侧棱长 为2cm，这个棱台的体积为________。
如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的 正 方 形 ， 且 ADE 、BCF 均 为 正 三 角 形 ， EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（ A ）
a 3
3
割补法
台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则 1 V台体= h(s + ss' + s') 3
x s/
s/ s
h
s
台体
x xh
x
s' s
S
'
x
h
h s' s s'
S
1 1 1 ' 1 1 ' V台 S（h x) S x Sh Sx S x 3 3 3 3 3
已知A、B是三棱柱上底面两边的中点， 如图截面ABCD将三棱柱分为两部分，求 这两部分的体积比。
E A V1
B
V2 C
设△ABE的面积为S
1 V1 h( S S 4S 4S ) 3
7 Sh 3
7 5 V2 4Sh Sh Sh 3 3
D
V1 : V2 7 : 5
1 1 = S x h S x 3 3
棱台(圆台)的体积公式:
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台 （棱台）的高．
1 V ( S S S S )h 3
例.圆台的上下底半径分别是10cm和20cm,它的 侧面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台 的体积是多少？ (结果中保留π)
柱体、锥体、台体的体积
O
O (2 )
A
(2)三个圆锥的体积之比为VSO1 :VSO2 :VSO = (πr ⋅ SO ) : (πr ⋅ SO2 ) : (πr2 ⋅ SO) = SO3 1 1
2 1 2 2 3 : SO2 : SO3 =1: 8: 27,所以由上至下三部
分的体积比为 : 7 :19. 1
◆ 探究三 台体的体积
O
1
A
1
O
A
1
1
O
2
A
2
O
2
A
2
B (1 )
O
A
O (2 )
A
解：过圆锥的高SO作其轴截面，如图（2），设 过圆锥的高SO作其轴截面 如图（ ），设 作其轴截面， 原圆锥的底面半径为r,由上至下两个截面圆的半 原圆锥的底面半径为r,由上至下两个截面圆的半 径分别为r . 径分别为r1 ,r2 ,相应的母线长分为 l 1 , l 2
A A’ B’ C’ B
C
A B
C
总结提升： 总结提升：
1 (1)棱 ：V = Sh(S为 面 ， 为 锥 高 ； 锥 底 积 h 棱 的 ） 3 1 1 2 (2)圆 ： = Sh = πr h(S为 面 ， 为 锥 锥 V 底 积 h 圆 3 3 的 ，为 面 径. 高 r 底 半 ）
例1 如图，过圆锥SO的两个三等分点分别作平行于底 如图，过圆锥SO的两个三等分点分别作平行于底 面的截面，两截面将圆锥的侧面分成三部分： 面的截面，两截面将圆锥的侧面分成三部分： （1）求三部分侧面面积的比； 求三部分侧面面积的比； （2）求圆锥被分成的三部分的体积比（由上到下）. 求圆锥被分成的三部分的体积比（由上到下）
B
柱体、锥体、台体的体积
柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的 体积公式,它们的体积公式可以统一为： （S为底面面积，h为高）． VSh
一般棱柱体积也是：
VSh
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
圆锥体积
圆锥的体积公式：
1 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 ． 3
1 V Sh 3
1 所 以 S ( 4 4 4 8 ) 1 32 41 3 2
知识小结
圆柱 S 2 r ( r l )
rr
柱体、锥体、台体的表面积
2 2 圆台S ( r r r l rl )
r 0
展开图
圆锥 S r ( r l )
各面面积之和
答：这堆螺帽大约有252个．
练习：已知有一正四棱台的上底边长为 4cm，下底边长为8cm,高为3cm，求其 体积和侧面积。
1 解 ： V (S上 S上S下 S下)h 3 1 2 2 3 (4 488 )3=112(cm ) 3
2 2 又 因 为 斜 高 h 2 31 3 ,
V
D
A
O B
C
解: 由已知可得该几何体是一个底面边长分别为 6,8的矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中 1 6 4 8 46 心的四棱锥V-ABCD.(1) V 3 (2)该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰 2 三角形,且BC边上的高为 8 2 (3)另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角 形,AB边上的高为 2 6 2 因此
（其中S为底面面积，h为高）
棱锥体积
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．
三棱锥与同底等高的三棱柱的关系
高三数学教案 柱体、椎体、台体的表面积与体积公式推导过程
柱体、椎体、台体的表面积与体积
•侧面积和全面积的定义：
(1)侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的
展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．
(2)全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积，
柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）
柱体、锥体、台体的体积公式：
•多面体的侧面积与体积：
直棱柱的侧面展开图是矩形
棱
柱
棱锥正棱柱的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，
棱台正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，
•旋转体的侧面积和体积：
圆
柱
圆柱的侧面展开图的矩形：
圆
锥
圆锥的侧面展开图是扇形：
圆台的侧面展开图是扇环：圆
台
球
•。
柱,锥,台的体积及球的表面积和体积
[例2] 如图，圆柱的底面直径与高
都等于球的直径.
求证：(1) 球的
体积等于圆柱体积
的 2;
O
3
(2) 球] 如图，圆柱的底面直径与高
都等于球的直径.
***补例*** 1. 若圆台的高是3，一个底面半径
是另一个底面半径的2倍，母线与下底 面所成的角是45°，求这个圆台的侧 面积.
***补例***
2. 如图，一块正方形薄铁片的边长
为22cm，以它的一 个顶点为圆心，一
22cm
边长为半径画弧.沿
弧剪下一扇形，围
成一锥筒.求它的侧面积和体积.
1
V锥 3 sh V台 3 h(s s' ss')
1 V锥 3 sh
s'=0
1 V台体 3 h(s s' ss')
V柱 sh
s'=s
V圆锥
1 3
R2h
r=0
V圆台
1 3
h(r 2
R
R2
)
V圆柱 R2h
r=R
三、 球的表面积、体积公式
S球表 4R2
V球
4 R3
3
典型例题 [例1] 有一堆规格相同的铁制六角
1、多面体的表面积公式是什么？
S多面体表 底面面积 侧面面积
2、圆柱体的表面积公式是什么？
S圆柱表 2 r(r l)
3、圆锥体的表面积公式是什么？
S圆锥表 r(r l)
4、圆台的表面积公式是什么？
S圆台表(r'2 r2 r'l rl)
柱体、锥体、台体体积计算
柱体、锥体、台体体积计算1. 引言在几何学中，我们经常遇到需要计算不同几何体的体积的情况。
柱体、锥体和台体都是常见的几何体，其体积的计算可以通过简单的公式得出。
本文将介绍柱体、锥体和台体的定义以及如何计算它们的体积。
2. 柱体的体积计算柱体是由两个平行的并且具有相同形状的底面所包围的几何体。
其体积可以通过以下公式计算：V = 底面积 × 高度其中，V表示柱体的体积，底面积指的是底面的面积，高度指的是柱体的高度。
通过测量底面的长度和宽度，我们可以得到底面积，并通过测量柱体的高度，我们也可以得到柱体的体积。
3. 锥体的体积计算锥体是由一个面为底面的三角形和以该面上的所有点为顶点的直线所围成的几何体。
其体积可以通过以下公式计算：V = (底面积 × 高度) / 3其中，V表示锥体的体积，底面积指的是底面的面积，高度指的是锥体的高度。
与柱体类似，我们可以通过测量底面的长度和宽度得到底面积，并通过测量锥体的高度得到锥体的体积。
4. 台体的体积计算台体是由两个平行并且具有相同形状的底面以及连接两个底面的面组成的几何体。
其体积可以通过以下公式计算：V = (上底面积 + 下底面积 + 根号(上底面积 × 下底面积)) × 高度 / 3其中，V表示台体的体积，上底面积指的是上底面的面积，下底面积指的是下底面的面积，高度指的是台体的高度。
与柱体和锥体类似，我们可以通过测量底面的长度和宽度得到底面积，并通过测量台体的高度得到台体的体积。
5. 示例假设我们有一个柱体，其底面的长度为4cm，宽度为2cm，高度为6cm。
根据柱体的体积计算公式，我们可以计算出柱体的体积：V = 4cm × 2cm × 6cm = 48cm^3同样地，如果我们有一个锥体，其底面的长度为4cm，宽度为2cm，高度为6cm，根据锥体的体积计算公式，我们可以计算出锥体的体积：V = (4cm × 2cm × 6cm) / 3 = 16cm^3最后，如果我们有一个台体，其上底面的长度为4cm，宽度为2cm，下底面的长度为6cm，宽度为3cm，高度为8cm，根据台体的体积计算公式，我们可以计算出台体的体积：V = (4cm × 2cm + 6cm × 3cm + √(4cm × 2cm × 6cm × 3cm)) × 8cm / 3 = 64cm^36. 结论通过本文我们了解了柱体、锥体和台体的定义，并掌握了计算它们体积的公式。
(教案)柱体、锥体、台体的体积
柱体、锥体、台体的体积南昌一中数学组 文涛一、教学目标1、知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的体积关系。
3、情感与价值通过学习，使学生体会几何体体积的求解过程，拓展空间思维能力，从而增强学习的积极性。
二、教学重点、难点重难点：柱体、锥体、台体的体积公式三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：多媒体幻灯片四、教学过程1.柱体体积的计算回顾正方体，长方体，圆柱V S h = （S 为底面面积，h 为高）引出棱柱体积V Sh = （S 为棱柱底面面积，h 为高）2.锥体体积的计算若圆柱和圆锥等底等高时，有：1133V V Sh ==圆锥圆柱 推广到一般情况：13V Sh =锥体 （S 为锥体底面面积，h 为高）3.台体体积的计算 1(3V h S S =下圆台上） （h ：上下两底面圆之间的距离； S 上：上底面圆面积； S 下：下底面圆面积）推广到一般情况：1(3V h S S =+下台体上）练：一块正方形薄铁片的边长是22cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用这块扇形铁板围成一个圆锥筒，求它的容积。
解：分析：扇形的弧长用来围成圆锥的底面圆，即扇形的弧长为圆锥底面圆的周长 弧长'22112l r πθπ==⨯=，设圆锥底面圆半径为r ，则211r ππ=，∴11 5.52r ==，故高21.3h =≈ 211( 5.5)21.3674.733V Sh π=≈⨯⨯⨯ 圆锥 例2.已知一正四棱台的上底边长为4cm ，下底边长为8cm ，高为3cm,求其体积。
解：2416S ==上， 2864S ==下，3h =1(3V h S S =+下台体上）=13(1664)3⨯⨯+ 112=3cm练： 圆台上、下底面面积分别是π、4π ，侧面积是6π，则这个圆台的体积是多少？解：依题意知上底半径r=1.下底半径R=2，因为S 侧= 6π，设母线长为ｌ,则π·（1+2）·ｌ= 6π，所以ｌ=2故高h ==所以4)3V ππ=+=例1：埃及金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥，金字塔高约为146.6m,底面边长约230.4m 。
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柱体、椎体、台体 的体积
柱体、椎体、台体的体积
【计算公式】
1、柱体：根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推 测柱体的体积计算公式，
(S给为出底柱面体面体积积，计h为算柱公体式的：高V柱)→V S圆 h柱Shr2h；
2积(、S计为锥算底体公面：式面根，积据给，圆出h锥为锥的高体体)的；积体公积式计公算式公，式推：测V 锥锥体13的S h体
△EFB≌△EFD1，由于三棱锥A1－EFB与三棱锥
S A1－EFD1等底1 同高，所以 V
2 V F E B A1 ＝2·3
·
·a＝
E B A1
A1
1
6Leabharlann EBFDa31
.
＝2
V
A1
＝
EFB
柱体、椎体、台体的体积
【典型例题】
3、圆台上、下底面面积分别是π、4π，
侧面积是6π，这个圆台的体积是( ).
柱体、椎体、台体的体积
【变形训练】
解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，
体积为V，则V=V1+V2＝Sh.
∵E、F分别为AB、AC的中点，
∴S△AEF=
1 4
1
S，
1
V1= 3
h(S+ 4 S+ 5
S 1 S 4
7 )= 1 2
Sh
V2=Sh-V1= 1 2 Sh，∴V1∶V2=7∶5.
柱体、椎体、台体的体积
柱体、椎体、台体的体积
【典型例题】 1、四边形ABCD中，A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)， D(0，3)，绕y轴旋转一周，则所得旋转体的体积为 ________．
柱体、椎体、台体的体积
【典型例题】
1
1
8
解：V圆锥＝ 3 πr2h＝ 3 π×22×2＝ 3 π，
V圆台＝ 1 πh(r2＋R2＋Rr). ＝ 1 π×3 1×(22＋12＋2×1)＝
A. 2 3 3
B.2 3
C. 7 3
6
D. 7 3
3
解：选D.S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，
S＝6π＝π(r＋R)l，∴l＝2，∴h＝ 3
1
∴V＝ 3 π(1＋4＋2)×
3
＝7 3
3
.
柱体、椎体、台体的体积
【变形训练】 1、如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别 为AB、AC 的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成 体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2= ____.
【变形训练】
2、如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长
为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多
面体的体积是( ).
A. 3 C. 1 6
2
B. 2
6
D. 2
3
柱体、椎体、台体的体积
【变形训练】
解析：选B.
由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，
侧棱长为1，斜高为 3 ，连结顶点和底面中心
即为高，可得高为
2 2
，所以体积为V＝1
2
·1·1· 2
＝
2 6
.
2
3
柱体、椎体、台体的体积
【变形训练】
3、已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形 的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥 的体积为( ).
解析：因为扇形弧长为2π，所
以圆锥母线长为3，高为2 2 ，所
求体积V＝
1 3
×π×12×2 2
柱体、椎体、台体的体积
【计算公式】
3、台体：台体的上底面积S′，下底面积S，高h，由 此如何计算切割前的锥体的高， (S给，出S′台分体别的上体、积下公底式面：积V，台h 为1 3高()S' S'SS)h
(r→、RV 分圆 台 别 为1 3 圆(S 台' 上底S '、S 下 S 底)h 半 径1 3 ). (r 2 r R R 2 )h
＝2 2 .
答案：2
2
3
.
3
7
π，
3
3
∴V＝V圆锥＋V圆台＝5π.
答案：5π
柱体、椎体、台体的体积
【典型例题】
2、已知正方体的棱长为a，E、F分别为棱AA1与 CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．
解：因为EB＝BF＝FD1＝D1E＝
a2
a 2
2
5a 2
所以四棱锥A1－EBFD1的底面是菱形，连结EF，则