chap5离散时间系统的最优控制

F (T ) I TA 即在eAT的展开式中，略去了T的高次项后所得到的结果。 当T相对于被控过程的时间常数来说是很小时，这样的近 似也是可以的。也就是说，这时也可以用差分方程近似地 代替微分方程，将一个连续系统离散化。
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§5.1 离散时间系统最优控制问题的提法
主要内容：
被控对象为离散系统的例子－多级加热过程 连续系统离散化方法 离散系统最优控制问题的一般提法
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5.1.1 多级加热过程
在化工生产过程中，需要经过N个换热器进行N级加热， 把原料的温度由aC提高到bC，如图5－1所示。
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§5.2 离散欧拉方程和横截条件
讨论离散时间的拉格朗日问题的最优控制 性能指标为： N 1 N 1 代入 J L X (i ), X (i 1), i Li
（5.2.1）
Li L X (i ), X (i 1), i
1 2 J 0 { u (i ) (i 1) x (i ) au(i ) x (i 1) } i 0 2
所以，
L X (i ), X (i 1), i L X (i 1), X (i ), i 1 X (i ) X ( i ) X ( i ) i 0
N 1 T
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L X (i 1), X (i ), i 1 X (i ) 0 X (i ) i 0
G (i )
ti 1
ti
F (ti 1 , ) B( )d
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连续时变系统（5.1.1）对 应的时变离散 状态方程
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第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 作业 返回目录 对于定常系统（5.1.2）：
F (t t0 ) e A( t t0 )
F (i ) F (ti 1 ti ) F (i 1)T iT F (T ) G (i )
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* * J ( ) L X ( i ) X ( i ), X (i 1) X (i 1), i i 1 N 1
由上式可以看出，X(i)＝X*(i)时性能指标J达到极小值，等 价于＝0时函数J()达到极小值，而与取怎样的变分X(i) 和X(i+1)无关，于是由关系
J u ( k ) u ( k ) 取极小值。
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k 0 N 1
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5.1.2 连续系统的离散化
连续系统的状态方程： X (t ) A(t ) X (t ) B(t )U (t )
tf t0
（5.1.1）
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第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 作业 返回目录 说明：
有时利用差分方程近似代替微分方程。例如，在式（5.1.2) 中，用[X(i+1)－X(i)]/T代替 X (t )
X (i 1) X (i ) AX (i ) BU (i ) T X (i 1) ( I TA) X (i ) TBU (i ) 其中I是单位矩阵，这相当于取
第五章 离散时间系统的最优控制
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连续时间系统的最优控制问题
古典变分法 最大值原理
时间最优控制问题 燃料最优控制问题 时间－燃料最优控制问题 线性二次型性能指标
动态规划
离散时间系统的最优控制问题
离散变分法 离散最大值原理 动态规划
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i 0
i 0
如果性能指标(5.2.1)存在极值解X*。与连续时间情况相类 似，X*(i)和X*(i+1)邻域内的X(i)和X(i+1)可表示为
X (i ) X * (i ) X (i ) * X ( i 1) X (i 1) X (i 1)
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N Li Li 1 T X (i 1) X (i ) X (i 1) i 1 X (i ) i 0 N 1 T
Li 1 Li 1 T X (i ) X (i ) X (i ) X (i ) i 0 i 0
N 1 T
iN
u(0)
u(1)
u(i 1)
u( N 1)
x(0) a C
0
1
x(1)
2
x(2)
x(i 1)
i
x (i )
x( N 1)
N
x( N ) b0C
图 5－1
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第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 作业 返回目录 换热器的热交换方程为 x(k 1) f [ x(k ), u(k ), k ]
J X ( N ), N L X (i ),U (i ), i
i 0 N 1
其中[X(N),N]体现了对终态X(N)要求。若对终态没有要求， 则性能指标简化为
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J L X (i ),U (i ), i
F (t t0 ) e A( t t0 )
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第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 作业 返回目录 当系统由计算机控制时，控制信号为： U ( ) U (ti ), ti ti 1 ti是第i个采样时刻。如图5－2所示。
u ( )
U(t)
ti ti+1 图
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第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 作业 返回目录 说明：
比较连续系统和离散系统的最优控制问题的提法可以看出: 对连续系统来说，是在区间[t0,tf]上寻找最优控制U*(t) 和相应的最优轨线X*(t)，使性能指标J达到极小值。 对离散系统来说，是在离散时刻0，1，…，N－1上寻 找N个最优控制向量U*(0)，U*(1)，…，U*(N － 1)和 相应的N个最优状态向量X*(1)，X*(2)，…，X*(N)，使 性能指标J达到极小值。
k 0,1,2,
, N 1
其中：k为加热级数； x(k)表示第k级换热器的入口原料温度； x(k+1)表示第k+1级换热器的出口原料温度； u(k)表示第k级换热器的热交换面积。 问应如何配置各级换热器的热交换面积: u(k ) u(0), u(1), , u( N 1) 才能使各级热交换器的总热交换面积
（5.2.2）
离散欧拉方程
L X (i 1), X (i ), i 1 X (i ) 0 X (i ) i 0
iN T
（5.2.3）
离散横截条件
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第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 作业 返回目录 特例：
当初态给定，即 X (0) X 0
终端状态X(N)自由，即X (N)是任意值时，则有
X (0) X 0
L X ( N 1), X ( N ), N 1 0 X ( N )
说明： 如果离散的拉格朗日问题（5.2.1）的极值解X(i) 存在， 则必满足欧拉方程（5.2.2）和横截条件（5.2.3）。
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Leabharlann Baidu
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 作业 返回目录 通过拉格朗日乘子法，将等式约束下的离散系统的极值问 题化为无约束的极值问题 例5.2.1 已知离散系统的状态方程及边界条件：
5.1.3 离散系统最优控制问题的提法
给定离散系统的状态方程 （5.1.3） X (i 1) f X (i ),U (i ), i , i 0,1, , N 1 和初始状态 X (0) X 0 其中X(i)是n维状态变量，U(i)是m维控制变量，f是n维函数 变量。根据实现问题的要求，提出一个性能指标
i 0 N 1
＊离散系统的最优控制问题就是确定最优控制序列U*(0)， U*(1)，…，U*(N－1)，使性能指标J达到极小（或极大） 值。这样的控制序列U*(0)，U*(1)，…，U*(N－1)称为最 优控制序列，简称最优控制。将最优控制序列U*(0)， U*(1)，…，U*(N－1)依次代入状态方程(5.1.3)中，并利用 初始状态X(0)可以解出相应的状态序列X*(1)，X*(2)，…， X*(N)，称为最优状态序列，简称最优轨线。
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第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 作业 返回目录 若A(t)和B(t)是不依赖于时间的常阵，则式(5.1.1)可改写为
X (t ) AX (t ) BU (t )
tf t0
（5.1.2）
X (t ) F (t t0 ) X (t0 ) F (t ) BU ( )d
ti ti
设T为采样周期，并定义 F (i ) F (ti 1 , ti ) F (i 1)T , iT 并简记 X (i 1) X (ti 1 ), X (i ) X (ti ),U (i ) U (ti ) X (i 1) F (i ) X (i ) G(i )U (i )
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t
5－ 2
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第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 作业 返回目录 对于时变系统(5.1.1)： t X (t ) F (t , ti ) X (ti ) F (t , ) B( )dU (ti ), t [ti , ti 1 ] 当t=ti+1时， ti 1 X (ti 1 ) F (ti 1 , ti ) X (ti ) F (ti 1 , ) B( )dU (ti )
X (t ) F (t , t0 ) X (t0 ) F (t , ) B( )U ( )d
其中：X(t)是n维状态变量， U(t) 是m维控制变量，
A(t)是nn时变的系数矩阵,
B(t)是nm时变的系数矩阵， F(t,t0)表示式(5.1.1)所给定的线性时变系统的转移矩阵。
J
N 1
J ( ) 0 0
T Li Li T X (i ) X (i 1) 0 X (i ) X (i 1) i 0
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第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 作业 返回目录 对上式左边第二项进行“离散分部积分”。
ti 1 ti T
F (ti 1 ) Bd
T 0
( i 1) T
iT
F (i 1)T Bd
F (T ) Bd F ( ) Bd G (T )
0
X (i 1) F (T ) X (i ) G(T )U (i )
定常系统（5.1.2）对应 的定常离散 状态方程
iN T
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第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 作业 返回目录 上式中X(i)是任意的，即X(i)0，于是可得极值的必要条 件为
L X (i ), X (i 1), i L X (i 1), X (i ), i 1 0 X (i ) X (i )
x(i 1) x(i ) au(i ) x(0) 1, x(10) 0
性能指标为
1 9 2 J u (i ) 2 i 0
求使性能指标J达到极小值的最优控制和最优轨线。
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第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 作业 返回目录 解：应用拉格朗日乘子法将具有差分方程约束的极值问题 化为无约束的极值问题。首先构造辅助泛函