高考数学复习：极限知识点归纳总结
高考数学函数的极限1
4 求当 x
2x 1 2x 1 lim lim 2. x | x | x x 2x 1 2x 1 lim lim x | x | x | x | 2x 1 lim 不存在. x | x |
5.
lim
x
x 3 x
2
的值是
x
也可记作: 当 x 时，f ( x ) a 当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数 f ( x ) 无限趋近于一个常数a ， 就说当x 趋向于负无穷大时， 函数 f ( x ) 的极限是a ，记作 lim f ( x ) a
x
也可记作: 当 x 时，f ( x ) a
1 考察函数 y x 当x 无限增大时的变化趋势． y 当自变量x 取正值并无限增 1 y 大时，函数 的值无限趋近 x x 于0，即|y-0|可以变得任意小． O
当x 趋向于正无穷大时，函数 1 1 y 的极限是0，记作 lim 0 x x x x y 1 1 10 0.1 100 0.01 1000 0.001 10000 0.0001 100000 0.00001 · · · · · ·
f ( x ) 的值保持为1．即 lim f ( x ) 1; 解：当 x 时， x
f ( x ) 1; 当 x 时，f ( x ) 的值保持为-1，即 xlim
1 1 lim 例2、观察函数 y 1 的图象，写出极限 x 1 x x
lim f ( x ) a lim f ( x ) a
x
f ( x ) 无限趋 近于常数a
lim f ( x ) a
x
2.3 函数的极限
例1、分别就自变量x 趋向于 和 的情况，讨论下列 函数的变化趋势： x 1 （1） y 2
上海高考数学知识点极限
上海高考数学知识点极限数学是高考考试中一门重要的科目，尤其是在上海地区，数学考试的难度系数往往较高。
在高考数学中，极限是一个重要的概念和知识点。
下面我将从数列极限、函数极限、极限运算法则等几个方面来探讨上海高考数学知识点极限。
一、数列极限数列极限是指当数列中的数值随着项数的增加趋于一个确定的数时，这个确定的数就是该数列的极限。
数列极限的概念在高考数学中是非常重要的。
在考试中，常常会涉及到数列的极限计算和性质运用。
例如，求数列${{a}_{n}}$的极限，可以利用数列极限的定义来进行求解。
假设数列${{a}_{n}}$的极限为$a$，那么对于充分大的$n$，数列中的元素${{a}_{n}}$都会无限接近$a$。
通过运用数列极限的定义，可以利用数学方法进行具体的极限计算，并得到数列极限的结果。
二、函数极限函数极限是指当自变量趋向于某个数或无穷大时，函数的值也趋于一个确定的数，称为函数极限。
函数极限在高考数学中也是一个重要的知识点。
在函数极限的计算中，常用的方法有极限的性质、夹逼定理、洛必达法则等。
这些方法可以用来求解各种不同类型的函数极限，从而解决高考数学中的相关问题。
例如，计算函数${{f(x)}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}$在$x\to+\infty$时的极限。
可以利用洛必达法则来解决这个问题。
按照洛必达法则的步骤，可以将函数的导数和极限进行运算，然后再进行计算，得到最后的结果。
三、极限运算法则极限运算法则是指当已知多个函数的极限时，可以利用这些极限的性质来计算复合函数的极限。
极限运算法则在高考数学中也是一个非常重要的知识点。
常用的极限运算法则有四则运算法则、复合函数运算法则、乘方函数极限法则等。
这些法则可以帮助我们快速计算复杂的极限，并得到准确的结果。
例如，计算复合函数极限${{f(g(x))}}$在$x\to a$时的极限。
可以先求得函数$g(x)$在$x\to a$时的极限，再将这个极限代入到函数$f(x)$中，从而得到复合函数的极限。
高考数学极限的四则运算
n
我们可以根据已知的几个简单
函数的极限，求出较复杂的函
数的极限.
( x 3x). 例1、求 lim x 2
2
解: lim ( x 3 x ) lim x 2 lim 3 x
2 x2
x2
x2
(lim x ) 3 lim x
2 x2 x2
2 3 2 10
0
2）当x从点x0左侧（即x﹤x0）无限趋近于x0时，函数 f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的 左极限，记作 lim f ( x) a.
x x 0
3）如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0时， 函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处 f ( x) a . 的右极限，记作 xlim x
x
0.9
0.99 0.999 1
1.4995 1.5
1.001
1.50050
1.01
1.1
2x2 1 1.45556 1.49505 2x
1.50505 1.55455
观察该极限与上题极限之间存在关系吗?
2x 1 1 lim lim x lim x 1 x 1 x 1 2 x 2x
2
x x0
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x)
x x0 x x0
x x0
lim x x0
n
n
x x0
lim [Cf ( x)] C lim f ( x)
x x0
2 x2 x 1 例2、求 lim 3 . 2 x 1 x 2 x 1
高考数学中的极限与连续性知识点
高考数学中的极限与连续性知识点高考数学作为考试中的一门重要科目，其中的极限与连续性是必考知识点之一。
本文将对这两个知识点进行详细介绍。
一、极限1. 定义极限是数列或函数自变量趋近于某一值时，因变量相应的取值趋近于一个确定的值或趋于无穷大或无穷小的现象。
数列或函数在自变量趋近于某一值时，与所趋近的值的相差越来越小，但却始终无法达到这一值。
2. 常见极限（1）$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$（2）$\lim _{x \rightarrow \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right) ^x=e$（3）$\lim _{x \rightarrow a} (x-a)^n f(x)=0 (n>0)$3. 求极限的方法（1）代入法：将趋近的值代入函数后直接计算。
（2）夹逼法：利用函数大小的矛盾（左右夹逼）进行推断。
（3）变形法：将式子化简后，使其成为已知极限的形式。
4. 连续性函数的连续性是指函数在定义域内任何一个点的函数值与极限值相等的状态。
也就是说，如果函数f(x)在x=a处极限存在且等于f(a)，则称函数f(x)在x=a处连续。
如果函数在其定义域的任一点都连续，则称函数在其定义域内连续。
连续性是一个函数的基本属性。
5. 连续函数（1）定义：若一个函数在其定义域内的每个点都连续，则称这个函数为连续函数。
（2）充分必要条件：若函数f(x)在其定义域内各点均可导，则该函数连续，反之不一定成立。
（3）连续函数的性质：连续函数在其定义域内有以下几个性质：①有界性：有界函数的定义是指其在任意一个区间中都有界。
连续函数在有限区间内一定有界。
②最值性：有界函数在其定义域内一定存在最大值和最小值。
③介值性：连续函数在其定义域内根据介值定理，一个值介于函数值的最大值和最小值之间。
总之，在高考数学中，极限与连续性是非常重要的知识点。
理解和掌握好这两个知识点，有助于我们更深入地理解和掌握相关知识，为高考数学的考试打下较好的基础。
高考数学极限知识点总结及解题思路方法
特别地，如果 C 是常数，那么
. lim (C
n
a
n
)
lim
n
C
lim a
n
n
Ca
⑷数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当 q 1时，无穷等比数列的各项和为 S a1 ( q 1) .
1 q
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限.
3. 函数极限； ⑴当自变量 x 无限趋近于常数 x0（但不等于 x0 ）时，如果函数 f (x) 无限
整数）
6. 几个常用极限：
① lim q n 0, q 1 n
② lim a n 0(a 0)
n n!
③ lim nk 0(a 1, k 为常数）
n a n
④ lim ln n 0
n n
⑤ lim (ln n)k 0( 0, k 为常数）
n n
高考数学极限知识点总结及解题思路方法
考试内容：
教学归纳法．数学归纳法应用．
数列的极限．
函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．
考试要求：
（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学
命题．
（2）了解数列极限和函数极限的概念．
（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小
xx0
xx0
注：①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限
个情况.
⑶几个常用极限：
① lim 1 0
n x
② lim a x 0 （0＜ a ＜1）； lim a x 0 （ a ＞1）
高考高等数学备考指南数列极限计算
高考高等数学备考指南数列极限计算在高考高等数学中，数列极限计算是一个重要且具有一定难度的考点。
掌握好数列极限的计算方法，对于在高考中取得优异的数学成绩至关重要。
本文将为大家详细介绍数列极限计算的相关知识和备考策略。
一、数列极限的基本概念首先，我们需要明确数列极限的定义。
对于数列{aₙ}，如果当 n 无限增大时，aₙ 无限趋近于一个常数 A，那么我们就说数列{aₙ}的极限是 A，记作lim(n→∞） aₙ ＝ A。
理解数列极限的概念是进行计算的基础。
要注意，数列极限反映的是数列的变化趋势，而不是数列的某一项的值。
二、常见数列极限的类型1、常数数列如果数列{aₙ}的每一项都等于常数 C，那么lim(n→∞） aₙ ＝ C。
2、等差数列对于等差数列{aₙ}，其通项公式为 aₙ ＝ a₁＋（n 1)d，当 d ＝ 0 时，数列是常数列，极限为 a₁；当d ≠ 0 时，数列的极限不存在。
3、等比数列对于等比数列{aₙ}，其通项公式为 aₙ ＝ a₁qⁿ⁻¹。
当|q| ＜ 1 时，lim(n→∞） aₙ ＝ 0；当 q ＝ 1 时，数列是常数列，极限为 a₁；当|q| ＞ 1 时，数列的极限不存在。
三、数列极限的计算方法1、利用定义计算直接根据数列极限的定义，通过分析数列的变化趋势来确定极限。
但这种方法往往比较复杂，在实际解题中不常用。
2、利用四则运算法则如果lim(n→∞） aₙ ＝ A，lim(n→∞） bₙ ＝ B，那么：（1）lim(n→∞）（aₙ ± bₙ) ＝ A ± B（2）lim(n→∞）（aₙ × bₙ) ＝ A × B（3）lim(n→∞）（aₙ ／ bₙ) ＝ A ／ B （B ≠ 0）在使用四则运算法则时，要注意先判断极限是否存在。
3、利用重要极限（1）lim(n→∞）（1 ＋1/n)ⁿ ＝ e（2）lim(n→∞）（1 ＋x/n)ⁿ ＝eˣ （x 为常数）这些重要极限在解题中经常会用到，需要牢记。
高考数学中的极限与连续性相关知识点
高考数学中的极限与连续性相关知识点高考数学中，极限与连续性是比较重要的知识点。
掌握好这些知识点，可以帮助学生在数学考试中获取更好的成绩。
接下来，本文将详细地探讨高考数学中的极限与连续性相关知识点。
一、极限的定义及基本性质极限是数学中一个非常重要的概念。
在高考数学中，极限的定义及其基本性质是必须掌握的知识点。
极限的定义是：当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于某个定值，这个定值称为函数的极限。
可以用符号“lim”表示，比如：lim f(x) = Ax→a其中，x→a 表示当 x 趋近于 a 时，f(x) 的极限存在。
极限的基本性质包括：1.唯一性：一个函数的极限只有一个。
2.有界性：如果一个函数的极限存在，则函数在某个区间内必定是有界的。
3.保号性：如果函数从左侧和右侧都趋近于同一个数，那么这个数必定在函数曲线的左侧或右侧。
4.夹逼性：如果函数在一个区间内的值被另外两个函数所夹逼，那么这个区间内的函数值的极限必定存在。
二、连续性的定义及基本性质除了极限之外，在高考数学中，连续性也是非常重要的知识点。
连续性是函数的一种性质，当函数在某个点处连续时，它的数值可以被无限地逼近这个点。
连续性的定义是：如果一个函数在某个点处的左右极限都存在且相等，并且这个极限等于函数在这个点处的函数值，那么这个函数在这个点处是连续的。
连续性的基本性质包括：1.局部有界性：如果一个函数在某个点处连续，那么它在这个点的一个小邻域内是有界的。
2.局部保号性：如果一个函数在某个点处连续，并且它在这个点的函数值不为零，那么它在这个点的一个小邻域内都是具有相同的符号的。
3.介值定理：如果一个函数在一个区间内连续，并且在这个区间的两个端点处函数值异号（或函数值相反），那么在这个区间内至少存在一个点，使得函数在这个点处的函数值为零。
4.连续函数的性质：如果一个函数在一个区间内连续，那么它在这个区间内必定是有界的，并且它可以在这个区间中任意小的子区间上取到最大值和最小值。
掌握高考数学中的函数单调性与极限关系技巧有哪些要点
掌握高考数学中的函数单调性与极限关系技巧有哪些要点在高考数学中，函数单调性与极限关系是一个非常重要且常考的知识点。
掌握了函数的单调性以及极限关系的技巧，能够帮助我们更好地解决相关题目，提高解题效率。
下面，我将为大家总结一些在掌握高考数学中函数单调性与极限关系技巧方面的要点。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势，主要分为递增和递减两种情况。
掌握函数的单调性可以帮助我们判断函数在某个区间上的变化趋势，从而更好地解决相关题目。
1. 使用导数判断函数的单调性导数是刻画函数变化趋势的有效工具，通过导数的正负性可以快速判断函数的单调性。
当函数在某个区间上导数恒大于零时，函数在该区间上单调递增；当函数在某个区间上导数恒小于零时，函数在该区间上单调递减。
2. 使用零点判断函数的单调性函数的零点是指函数在定义域上取得零值的点，也就是函数与x轴的交点。
通过求解函数的零点，我们可以判断函数在相邻两个零点之间的单调性。
当函数的零点按照从小到大的顺序排列时，可以判断函数在相邻两个零点之间的单调性。
3. 使用一阶导数与二阶导数判断函数的单调性除了使用导数判断函数的单调性外，我们还可以使用一阶导数与二阶导数之间的关系来判断函数的单调性。
当函数的一阶导数恒大于零且二阶导数恒大于零时，函数在该区间上单调递增；当函数的一阶导数恒小于零且二阶导数恒小于零时，函数在该区间上单调递减。
二、函数的极限关系函数的极限关系是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于某个特定值的性质。
掌握函数的极限关系可以帮助我们判断函数的趋势，解决与极限相关的题目。
1. 使用极限的四则运算法则当我们在计算函数的极限时，可以利用极限的四则运算法则简化问题。
根据极限的四则运算法则，我们可以将复杂的函数拆分成简单的基本函数，再对每个基本函数计算极限。
2. 使用夹逼准则判断函数的极限夹逼准则是一种重要的判断函数极限的方法。
当我们求解函数的极限时，如果可以找到两个函数作为夹逼函数，且夹逼函数的极限都为某个特定值，那么函数的极限也将趋近于这个特定值。
高考数学中的函数的极限应用总结
高考数学中的函数的极限应用总结高考数学中函数的极限应用是一道难点，需要学生在掌握基本概念的同时还需具备灵活的应用能力。
本文将总结常见的函数的极限应用，为学生备战高考提供参考。
一、极限的定义在深入学习函数的极限应用之前，我们需要先掌握极限的定义。
极限是指当自变量无限接近某一值时，函数值趋向于一个确定的值。
其定义如下：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，$A$ 为常数，如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数$\delta$ 使得对于一切满足 $0<|x-x_0|<\delta$ 的 $x$，都有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 成立，则称 $f(x)$ 当 $x$ 趋于 $x_0$ 时有极限 $A$，记作 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = A$。
二、极限的性质在应用函数的极限时，我们还需掌握极限的一些基本性质，包括：1. 唯一性：如果 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在，那么它唯一。
2. 保号性：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，且存在极限 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = A$，若 $A>0$（或$A<0$），则存在某一去心邻域，使得在这个邻域内，函数值$f(x)$ 不为 $0$ 且同号于 $A$。
3. 局部有界性：若 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = A$，则 $f(x)$ 在接近 $x_0$ 的位置上有界。
三、常见的函数的极限应用1. 利用极限求导在求导过程中，有时候我们需要利用函数的极限来求导。
例如，对于函数 $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$，我们可以通过求$\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 的极限值，然后取其导数，从而求出 $f(x)$ 的导数$\dfrac{d}{dx}(\dfrac{\sin x}{x})$。
2022年高考数学一轮复习必备 极限-数列的极限、数学归纳法
第92-93课时：第十二章 极限——数列的极限、数学归纳法课题：数列的极限、数学归纳法一知识要点（一） 数列的极限1定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|A a n n =∞→lim lim nn a →∞lim nn b →∞lim()lim lim n n n nn n n a b a b →∞→∞→∞±=±lim()lim lim n n n nn n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅)0lim (lim lim lim ≠=∞→∞→∞→∞→n n n n nn n n n b b a b aS=⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→)11()1(1)1(0lim a a a a a n n 或不存在数分别是0n =112322+++n n n nnn b ∞→lim122limnn na a a nb →∞+++na +222221lim()111n n n n n →∞-++++++)2(lim 2n n n n -+∞→nnn a a a a a a 24221lim ++++++∞→ 1)11(lim 2=--++∞→b an n n n lim()n n n A S n →∞-1(1,2,)n n S n S +=nn T ∞→lim n )31(1A 2A||||lim11n n n n n A A A A -+∞→)1,(,12131211>∈<-++++n N n n n 12)1(+n n n 131211++++ n 2131211++++ 22+n na a a a ,,,,321 nb b b b ,,,,321 nn n n b b b b B a a a a A ++++== 321321,2)(1n a a n +b b b b 112101145=+++=，…a b n a n =+⎛⎝ ⎫⎭⎪log 11131log a n b +nn S ∞→lim )]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n nn n a 1S lim =∞→122321222)2221(lim -∞→+++++++n nn n n n C C C nn n S S 1lim+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋯++++∞→32323221lim n n n n n n n n nn n S nalim ∞→nn n1i 1i i nS lim 则,a a 1∞→=+∑=nn a ∞→lim 9423lim=+-∞→nn n a a nn a ∞→lim 11)2(3)2(3lim+-∞→-+-+n n n n n )1n 2n1n 31n 21n 1(lim 2222n ++++++++∞→ n876n 321n a a a a a a a a lim ++++++++∞→ n n nnn a a a a --∞→+-lim ••8100.0••810000.0nn n21)1(21211212121122⋅-+-+-++++nb)(11+：1212=1,与M 交于点A 、B ，L 与φ交于点C 、D ，求22||||lim CD AB n ∞→1)n(n 3221n +++⋅+⋅= n ＝1,2,3……,b 1)n(n a nn+= n ＝1,2,3……,用极限定义证明21lim =∞→n n b 85年练习（数学归纳法）1．由归纳原理分别探求：1凸n 边形的内角和fn= ; 2凸n 边形的对角线条数fn= ;3平面内n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n 个圆分平面区域数fn=2．平面上有n 条直线，且任何两条不平行，任何三条不过同一点，该n 条直线把平面分成fn 个区域，则fn1=fn3．当n 为正奇数时，求证nn被整除，当第二步假设n=2─1时命题为真，进而需验证n= ，命题为真。
XX届高考数学考点知识专题总复习数列的极限
XX届高考数学考点知识专题总复习数列的极限本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址数列的极限.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限.注：a不一定是｛an｝中的项.2.几个常用的极限：①c=c（c为常数）;②=0;③qn=0（|q|＜1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝，当an=a,bn=b时，（an±bn）=a±b;（an•bn）=a•b;=（b≠0）.●点击双基.下列极限正确的个数是①=0（α＞0）②qn=0③=－1④c=c（c为常数）A.2B.3c.4D.都不正确解析:①③④正确.答案:B2.［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］等于A.0B.1c.2D.3解析:［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］=［n××××…×］==2.答案:c●典例剖析【例1】求下列极限：（1）;（2）（－n）;（3）（++…+）.剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解:（1）==.（2）（－n）===.（3）原式===（1+）=1.评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式===1,②∵（2n2+n+7）,（5n2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误：①（－n）=－n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在.对于（3）要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误.【例2】已知数列｛an｝是由正数构成的数列，a1＝3，且满足lgan＝lgan－1＋lgc，其中n是大于1的整数，c是正数．（1）求数列｛an｝的通项公式及前n和Sn；（2）求的值．解:（1）由已知得an＝ｃ•an－1,∴｛an｝是以a1＝3，公比为c的等比数列，则an＝3•ｃn－1.∴Sn＝（2）＝.①当c=2时，原式＝－;②当ｃ＞2时，原式＝＝－;③当0＜ｃ＜2时，原式=＝.评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.【例3】已知直线l:x－ny=0（n∈N*）,圆m:（x+1）2+（y+1）2=1,抛物线:y=（x－1）2,又l与m交于点A、B，l 与交于点c、D，求.剖析:要求的值，必须先求它与n的关系.解:设圆心m（－1,－1）到直线l的距离为d,则d2=.又r=1,∴|AB|2=4（1－d2）=.设点c（x1,y1）,D（x2,y2），由nx2－（2n+1）x+n=0,∴x1+x2=,x1•x2=1.∵（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2=,（y1－y2）2=（－）2=,∴|cD|2=（x1－x2）2+（y1－y2）2=（4n+1）（n2+1）.∴===2.评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求,这就要求掌握求弦长的方法.【例4】若数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an 与an+1恰为方程x2－bnx+cn=0的两根,其中0＜|c|＜1,当（b1+b2+…+bn）≤3,求c的取值范围.解:首先,由题意对任意n∈N*,an•an+1=cn恒成立.∴===c.又a1•a2=a2=c.∴a1,a3,a5,…,a2n－1,…是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立.∴==c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,∴b1,b3,b5,…,b2n－1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首项为2c,公比为c的等比数列,∴（b1+b2+b3+…+bn）=（b1+b3+b5+…）+（b2+b4+…）=+≤3.解得c≤或c＞1.∵0＜|c|＜1,∴0＜c≤或－1＜c＜0.故c的取值范围是（－1,0）∪（0,］.评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将{bn}的各项和表示为关于c的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.●闯关训练夯实基础.已知a、b、c是实常数，且=2,=3,则的值是A.2B.3c.D.6解析:由=2,得a=2b.由=3,得b=3c,∴c=b.∴=6.∴===6.答案:D2.（XX年北京）若数列{an}的通项公式是an=,n=1,2,…,则（a1+a2+…+an）等于A.B.c.D.解析:an=即an=∴a1+a2+…+an=（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）.∴（a1+a2+…+an）=+=答案:c3.（XX年春季上海）在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n,点（,）在直线x－y－=0上，则=__________________.解析:由题意得－=（n≥2）.∴{}是公差为的等差数列，=.∴=+（n－1）•=n.∴an=3n2.∴===3.答案:34.（XX年上海,4）设等比数列{an}（n∈N）的公比q=－,且（a1+a3+a5+…+a2n－1）=,则a1=_________________.解析:∵q=－,∴（a1+a3+a5+…+a2n－1）==.∴a1=2.答案:25.（XX年湖南,理8）数列{an}中,a1=,an+an+1=,n∈N*,则（a1+a2+…+an）等于A.B.c.D.解析:2（a1+a2+…+an）=a1+［（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+…+（an－1+an）］+an=+[++…+]+an.∴原式=［++an］=（++an）.∵an+an+1=,∴an+an+1=0.∴an=0.答案:c6.已知数列｛an｝满足（n－1）an+1=（n+1）（an－1）且a2=6,设bn=an+n（n∈N*）.（1）求{bn}的通项公式；（2）求（+++…+）的值.解:（1）n=1时，由（n－1）an+1=（n+1）（an－1）,得a1=1.n=2时，a2=6代入得a3=15.同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2.要证bn=2n2,只需证an=2n2－n.①当n=1时，a1=2×12－1=1成立.②假设当n=k时，ak=2k2－k成立.那么当n=k+1时，由（k－1）ak+1=（k+1）（ak－1）,得ak+1=（ak－1）=（2k2－k－1）=（2k+1）（k－1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2－（k+1）.∴当n=k+1时，an=2n2－n正确，从而bn=2n2.（2）（++…+）=（++…+）=［++…+］=［1－+－+…+－］=［1+－－］=.培养能力7.已知数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且=,求极限（++…+）的值.解:{an}、{bn}的公差分别为d1、d2.∵2b2=a2+a3,即2（2+d2）=（3+d1）+（3+2d1）,∴2d2－3d1=2.又===,即d2=2d1,∴d1=2,d2=4.∴an=a1+（n－1）d1=2n+1,bn=b1+（n－1）d2=4n－2.∴==（－）.∴原式=（1－）=.8.已知数列｛an｝、{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中p＞q且p≠1,q≠1,设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和，求.解:Sn=+,当p＞1时，p＞q＞0,得0＜＜1,上式分子、分母同除以pn－1，得∴=p.当p＜1时，0＜q＜p＜1,==1.探究创新9.已知数列{an}满足a1=0,a2=1,an=,求an.解:由an=,得2an+an－1=2an－1+an－2,∴{2an+an－1}是常数列.∵2a2+a1=2,∴2an+an－1=2.∴an－=－（an－1－）.∴{an－}是公比为－,首项为－的等比数列.∴an－=－×（－）n－1.∴an=－×（－）n－1.∴an=.●思悟小结.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：（1）各数列的极限必须存在；（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算.2.熟练掌握如下几个常用极限：（1）c=c（c为常数）;（2）（）p=0（p＞0）;（3）=（k∈N*,a、b、c、d∈R且c≠0）;（4）qn=0（|q|＜1）.●教师下载中心教学点睛.数列极限的几种类型：∞－∞,,0－0,等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，不要太难了.2.重视在日常学习过程中化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用.拓展题例【例题】已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且有（－qn）=,求首项a1的取值范围.解:（－qn）=,∴qn一定存在.∴0＜|q|＜1或q=1.当q=1时，－1=,∴a1=3.当0＜|q|＜1时，由（－qn）=得=,∴2a1－1=q. ∴0＜|2a1－1|＜1.∴0＜a1＜1且a1≠.综上,得0＜a1＜1且a1≠或a1=3.。
高中数学知识要点重温(26)数学归纳法、极限知识点分析
高中数学知识要点重温（26）数学归纳法、极限1．数学归纳法用于证明一个“关于正自然数n 的命题对于从正自然数n0开始的所有正自然数n 都成立”的问题。
2．能根据f(k)正确写出f(k+1),并能指出f(k)与f(k+1)之间的关系，这往往是运用数学归纳法的最关键的一步。
[举例1]已知n n n n n f 21312111)(+++++++=，则)1(+n f =A ．)(n f +)1(21+n ，B ．)(n f +121+n +)1(21+n ， C ．)(n f -)1(21+n D ．)(n f +121+n -)1(21+n解析：)(n f 是从n+1开始的n 个连续自然数的倒数和，故)1(+n f 是从n+2开始的n+1个连续自然数的倒数和，即)1(+n f =111111113121+++++++-+++++++n n n n n n n n =)1(21121213121+++++++++n n n n n =)(n f +121+n +)1(21+n -11+n =)(n f +121+n -)1(21+n 故选D 。
[举例2]用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5k+1－2k+1变形为 [解析]假设n=k 时命题成立.即:5k －2k 被3整除.当n=k+1时，5k+1－2 k+1 =5×5k －2×2 k =5(5k －2k) ＋5×2k －2×2k=5(5k －2k) ＋3×2k[巩固1] 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋121n-<n (n>1)时，由n ＝k (k>1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。
A. 2k -1B. 2k －1C. 2kD. 2k＋1[巩固2]用数学归纳法证明命题：(n ＋1) ×(n ＋2) ×…×(n ＋n)=2n ×1×3×…×(2n －1)3．数学归纳法公理：如果关于自然数n 的一个命题p(n)满足下列条件 (1) p(n0)成立,即当n=n0时,命题成立，(2) 假设p(k)成立,则p (k+1)也成立；根据(1)(2)知命题p(n)对n ≥n0的所有自然数n 都成立。
高考数学一轮总复习数列与数列极限的数学归纳法证明步骤
高考数学一轮总复习数列与数列极限的数学归纳法证明步骤高考数学一轮总复习：数列与数列极限的数学归纳法证明步骤数列与数列极限是高中数学中的重要概念，在高考数学考试中也是常见的考点。
本文将介绍数学归纳法证明数列与数列极限的步骤及其应用。
在解题过程中，我们将以具体的例子进行说明，以帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学方法。
一、数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种基于数学归纳思想的证明方法，常用于证明一般性陈述在自然数集上成立。
使用数学归纳法证明一个命题通常分为三个步骤：1. 证明基本情况：首先证明当 n 取一个特定的值时，命题成立。
这一步又称为“递归起点”。
2. 归纳假设：假设当 n=k 时，命题成立，即假设命题对于某个特定的自然数 k 成立。
3. 归纳步骤：通过归纳假设证明当 n=k+1 时，命题也成立。
这一步又称为“递归关系”。
二、数列定义与数列极限的概念在进行数学归纳法证明数列与数列极限之前，我们先来回顾一下数列的定义及数列极限的概念。
数列是将自然数与实数联系起来的一种函数关系。
通常用 {an} 或者 (an) 表示一个数列，其中 an 表示数列的第 n 个元素。
数列极限是指数列随着 n 趋向无穷大时的极限值。
当数列随着 n 的增大无限逼近某个实数 L 时，就称数列 {an} 的极限为 L，记作 lim an = L。
三、数学归纳法证明数列与数列极限的步骤下面我们将以一个具体的例子来说明如何使用数学归纳法证明数列与数列极限。
【例】证明数列 {an} = 2^n + 1 是递增数列。
解：首先，我们先验证 n=1 时数列成立。
当 n=1 时，a1 = 2^1 + 1 = 3。
根据数列的定义，可以得出 a1 = 3，所以当 n=1 时，数列成立。
这就是我们要证明的基本情况。
接下来，我们假设当 n=k 时数列成立，即 ak < ak+1。
这个假设就是我们的归纳假设。
现在我们来证明当 n=k+1 时数列也成立，即证明 ak+1 < ak+2。
高考数学数列极限知识点汇总
高考数学数列极限知识点汇总在高考数学中，数列极限是一个重要的知识点，也是许多同学感到头疼的部分。
为了帮助大家更好地掌握这一知识点，下面就为大家详细汇总一下数列极限的相关内容。
一、数列极限的定义如果当项数n 无限增大时，数列的通项an 无限接近于某个常数A，那么就称 A 是数列{an}的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A 。
这里要注意“无限接近”的含义，并不是说数列的项最终等于这个常数，而是它们之间的距离可以任意小。
二、数列极限的性质1、唯一性：如果数列{an}有极限，那么这个极限是唯一的。
2、有界性：如果数列{an}有极限，那么数列{an}一定是有界的。
3、保号性：如果lim(n→∞） an ＝ A，且 A ＞ 0（或 A ＜ 0），那么存在正整数 N，当 n ＞ N 时，an ＞ 0（或 an ＜ 0）。
三、常见数列的极限1、常数列：若{an}为常数列，即 an ＝ C（C 为常数），则lim(n→∞） an ＝ C 。
2、等差数列：若{an}为等差数列，首项为 a1，公差为 d 。
当 d ＝0 时，lim(n→∞） an ＝ a1 ；当d ≠ 0 时，数列{an}没有极限。
3、等比数列：若{an}为等比数列，首项为 a1，公比为 q 。
当｜q| ＜ 1 时，lim(n→∞） an ＝ 0 ；当 q ＝ 1 时，lim(n→∞） an ＝ a1 ；当｜q| ＞ 1 时，数列{an}没有极限。
四、数列极限的运算1、四则运算：如果lim(n→∞） an ＝ A，lim(n→∞） bn ＝ B ，那么（1）lim(n→∞）（an ± bn) ＝ A ± B ；（2）lim(n→∞）（an · bn) ＝ A · B ；（3）当B ≠ 0 时，lim(n→∞）（an ／ bn) ＝ A ／ B 。
2、指数运算：若lim(n→∞） an ＝ A ，则lim(n→∞） an^k ＝ A^k （k 为正整数）。
高考数学中的重要极限问题
高考数学中的重要极限问题在高考数学中，极限问题占据了相当大的比重。
极限可以被认为是微积分的基本概念之一，是数学中的重要内容之一。
在高考中，学生需要掌握一些重要的极限问题，以便能够解决高难度的数学题。
首先，最基本的一种极限问题是：$\lim\limits_{x\to c} f(x)=A$。
这里，$c$是一个实数，$f(x)$是一个函数，$A$是一个确定的实数。
这个公式的意思是：当$x$无限接近于$c$时，$f(x)$也无限接近于$A$。
在计算这种类型的极限时，我们可以直接代入$x=c$的值，然后计算$f(x)$的值。
如果$f(x)$在$x=c$处连续，那么这个极限就是$f(c)$的值。
其次，另一种重要的极限问题是：$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A$。
这里，就像之前一样，$f(x)$是一个函数，$A$是一个确定的实数。
这个公式的意思是：当$x$趋向于正无穷大时，$f(x)$趋向于$A$。
在计算这种类型的极限时，我们先要取$f(x)$的一些近似值，然后让$x$增大到足够大的程度，以求得$f(x)$的极限。
需要注意的是，这种极限值的计算可能会涉及到某些函数的特性，例如函数的单调性、奇偶性等等。
还有一种经典的极限问题是洛必达法则(L'Hospital's rule)。
这个方法是用来解决不定式的极限问题的。
具体来说，当函数的极限值为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$这样的形式时，我们可以用洛必达法则来解决它。
这个方法基本上是求导的思路，它的核心是将原式的分子和分母分别求导，然后再计算得出极限值。
需要注意的是，洛必达法则并不适用于所有的不定式情况，只有在特定的条件下才能使用。
最后，我们还需要提到柯西极限法则(Cauchy's limit theorem)。
这个定理是用来判定函数是否满足柯西收敛的。
柯西收敛是指，如果我们对于任意给定的$\epsilon>0$，都可以找到一个正整数$N$，使得当$n>N$时，$|a_n-L|<\epsilon$，那么序列$a_n$就收敛于$L$。
高考数学中的数学归纳法和数列极限
高考数学中的数学归纳法和数列极限高考数学是考生们最关注的一门考试科目，其中数学归纳法和数列极限是高考数学中不可忽视的重点内容。
本文将从数学归纳法的基本原理及应用，数列极限的概念、性质和计算方法等多个方面进行分析和探讨，以期对广大高中生的数学学习有所帮助。
一、数学归纳法数学归纳法是高中数学中重要的证明方法。
归纳法的基本思想是证明当$x$满足某种条件时，命题$P(x)$成立，再证明当$x$不满足该条件时，命题$P(x)$依然成立。
下面介绍具体的数学归纳法思想及其应用。
1.1 数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种用自然数的递增法证明表达式的方法。
它的基本思想是先证明当$n=1$时，命题成立，再证明当$n=k$时命题成立，则可以证明当$n=k+1$时也成立。
用公式表示为：如果$P(1)$成立且对于任意正整数$k$，只要$P(k)$成立，就有$P(k+1)$成立，那么对于所有正整数，$P(n)$都成立。
1.2 数学归纳法的应用数学归纳法广泛应用于高中数学中的数列、函数、不等式等问题的证明中，也是高考数学中的常见命题证明方法。
常见的应用如下：(1)证明数列性质：证明数列$a_{n+1}=f(a_n)$，$a_1$满足某些条件，则$a_n$满足某些性质。
(2)证明不等式：证明某个不等式在正整数范围内成立。
(3)证明等式：证明某个等式在正整数范围内成立。
二、数列极限数列极限是高中数学中的重要概念之一。
它是计算机科学、物理学、工程学等学科中的基础知识。
下面将从基本概念、性质和计算方法三个方面对数列极限进行分析和探讨。
2.1 基本概念数列极限是数学分析中用来描述数列等无限序列的一种重要概念。
常用的数列有等差数列、等比数列、Fibonacci数列等。
一个数列的极限是指随着$n$无限增大，数列的值逐渐接近某个值，称为这个数列的极限。
用数学符号表示为：$\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=a$，表示当$n$趋近于无穷大时，数列$a_n$的极限为$a$。
高考复习指导讲义第四章数列极限数学归纳法
⾼考复习指导讲义第四章数列极限数学归纳法⾼考复习指导讲义第四章数列、极限、数学归纳法⼀、考纲要求 1.掌握：①掌握等差数列、等⽐数列的概念、通项公式、前n 项和公式；②能够运⽤这些知识解决⼀些实际问题；③掌握极限的四则运算法则. 2.理解：①数列的有关概念；②能根据递推公式算出数列的前⼏项；③会求公⽐的绝对值⼩1的⽆穷等⽐数列前n 项的极限. 3.了解：①了解递推公式是给出数列的⼀种⽅法；②了解数列极限的意义；③了解数学归纳法的原理，并能⽤数学归纳法证明⼀些简单问题. ⼆、知识结构(⼀)数列的⼀般概念数列可以看作以⾃然数集(或它的⼦集)为其定义域的函数，因此可⽤函数的观点认识数列，⽤研究函数的⽅法来研究数列。
数列表⽰法有：列表法、图像法、解析法、递推法等。
列表法：就是把数列写成a 1,a 2,a ……a n ……或简写成｛a n ｝，其中a n 表⽰数列第n 项的数值，n 就是它的项数，即a n 是n 的函数。
解析法：如果数列的第n 项能⽤项数n 的函数式表⽰为a n =f(n)这种表⽰法就是解析法，这个解析式叫做数列的通项公式。
图像法：在直⾓坐标系中，数列可以⽤⼀群分散的孤⽴的点来表⽰，其中每⼀个点(n,a n )的横坐标n 表⽰项数，纵坐标a n 表⽰该项的值。
⽤图像法可以直观的把数列a n 与n 的函数关系表⽰出来。
递推法：数列可以⽤两个条件结合起来的⽅法来表⽰：①给出数列的⼀项或⼏项。
②给出数列中后⾯的项⽤前⾯的项表⽰的公式，这是数列的⼜⼀种解析法表⽰称为递推法。
例如：数列2，4，5，529，145941…递推法表⽰为 a 1=2 其中a n+1=a n +na 4⼜称该数列 a n+1=an+na 4(n ∈N) 的递推公式。
由数列项数的有限和⽆限来分数列是有穷数列和⽆穷数列。
由数列项与项之间的⼤⼩关系来分数列是递增数列、递减数列、摆动数列以及常数列。
由数列各项绝对值的取值范围来分数列是有界数列和⽆界数列、通项公式是研究数列的⼀个关键，归纳通项公式是求数列通项公式的最基本⽅法，给出数列的前n 项，求这个数列的通项公式并不是唯⼀的，也并⾮所有的数列都能写出通项公式。
高考数学极限知识点大全
高考数学极限知识点大全高考数学是每位考生需要面对的重要科目之一，而数学中的极限是其中一个重要的知识点。
掌握极限知识对于高考数学的高分起着至关重要的作用。
本文将系统地介绍高考数学中与极限相关的重要知识点，帮助考生更好地理解和应用。
一、数列与极限数列是由一列数按照一定的顺序排列而成的，而极限则是数列中数值趋于无穷大或无穷小的特性。
数列的极限计算对于高考数学非常重要。
常用的方法有夹逼定理、单调有界数列的收敛性、数列的单调性以及等差数列和等比数列的极限计算。
掌握这些方法可以帮助考生在实际问题中灵活运用，并解决高考题。
同时，数列的极限还可以进一步拓展到函数的极限计算，从而应用到函数的连续性和导数计算中。
二、函数与极限函数是数学中的重要概念，而函数的极限则是了解函数性质和变化趋势的重要手段。
在高考中，函数的极限知识点主要包括函数的左右极限、无穷极限和反函数的极限计算。
通过掌握这些知识点，考生可以更好地理解函数的变化情况，并在解决实际问题时进行准确的分析和计算。
三、极限的运算与性质极限运算对于高考数学的解题非常重要。
熟练掌握极限的加法、减法、乘法和除法运算法则以及常用的极限性质，对于解决相关题目起着关键的作用。
同时，对于复杂函数的极限计算，可以通过运用极限的四则运算性质进行简化和求解。
四、极限的一些典型应用极限在解决实际问题中有着广泛的应用。
在高考中，极限的一些典型应用包括计算无穷小量的近似值、求解函数的渐近线、求曲线的弧长、判断函数的连续性以及利用极限计算定积分等。
这些应用题目旨在考察考生对极限的理解和应用能力，需要考生具备一定的数学思维和推理能力。
五、极限知识的拓展与应用在高考数学中，极限知识不仅仅局限于基本概念和计算，还可以应用到其他领域。
例如在物理学中，极限可以用于速度的计算和质点运动的描述；在经济学中，极限可以用于成本和收益的分析；在计算机科学中，极限可以用于算法的时间复杂度分析。
这些拓展和应用让极限知识更加综合和实用，考生在备考过程中可以结合实际问题进行拓展思考和实际运用。
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2019高考数学复习：极限知识点归纳总结2019高考各科复习资料
2019年高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大家系列准备了2019年高考复习，2019年高考一轮复习，2019年高考二轮复习，2019年高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。
考试内容：教学归纳法，数学归纳法应用，数列的极限.
函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性.
考试要求：
(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
(2)了解数列极限和函数极限的概念.
(3)掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限.
(4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.
§13. 极限知识要点
1. ⑴第一数学归纳法：①证明当取第一个时结论正确；②假设当( )时，结论正确，证明当时，结论成立.
⑵第二数学归纳法：设是一个与正整数有关的命题，如果
①当( )时，成立；
②假设当( )时，成立，推得时，也成立.
那么，根据①②对一切自然数时，都成立.
2. 函数极限；
⑴当自变量无限趋近于常数(但不等于)时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为.记作或当时，.
注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求.(当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关. 函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.)
如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零.
⑵函数极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么
注：①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.
⑶几个常用极限：
② (0 ( 1)
4. 函数的连续性：
⑴如果函数f(x)，g(x)在某一点连续，那么函数在点处都连续.
⑵函数f(x)在点处连续必须满足三个条件：
①函数f(x)在点处有定义；②存在；③函数f(x)在点处的
极限值等于该点的函数值，即.
⑶函数f(x)在点处不连续(间断)的判定：
如果函数f(x)在点处有下列三种情况之一时，则称为函数f(x)的不连续点.
①f(x)在点处没有定义，即不存在；②不存在；③存在，但.
5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：
⑴零点定理：设函数在闭区间上连续，且.那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点( )使.
⑵介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得( ).
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题，方法很简单，每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换，可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解，也可让学生个人搜集，每天往笔记本上抄写，教师定期检查等等。
这样，一年就可记300多条成语、300多则名言警句，日积月累，终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中，自然会出口成章，写作时便会随心所欲地“提取”出来，使文章增
色添辉。
⑶夹逼定理：设当时，有≤ ≤ ，且，则必有
这个工作可让学生分组负责收集整理，登在小黑板上，每周一换。
要求学生抽空抄录并且阅读成诵。
其目的在于扩大学生的知识面，引导学生关注社会，热爱生活，所以内容要尽量广泛一些，可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。
如此下去，除假期外，一年便可以积累40多则材料。
如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料，写起文章来还用乱翻参考书吗?
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。
有的孩子说“乌云跑得飞快。
”我加以肯定说“这是乌云滚滚。
”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。
”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这
就是雷声隆隆。
”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。
雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。
”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。
我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。
如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。
通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。
注：：表示以为的极限，则就无限趋近于零.( 为最小整数)。