双曲线与抛物线的参数方程 PPT课件

yt M
O
x
x
y
t
p 2 2 pt
p2
（t为参数）
例1 设点M为双曲线
x2
y2
1(a0,b0)上任意一点，
a2 b2
O为原点，过点M作双曲线两渐近线的平
行线，分别与两渐近线交于A，B两点，
试探求平行四边形MAOB的面积，由此可
以发现什么结论？
y
S ab 2
A M
OB
x
例2 设点A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)
(a＞0，b＞0)为半径分别作两个同心圆
C1，C2，设点A为圆C1上任意一点，点B为 圆C2与x轴的交点，设以Ox为始边，OA为 终边的角为φ，则asecφ和btanφ的几
何意义分别是什么？ y B′
A
asecφ是点A′
的横坐标，
φ
btanφ是点B′ O B
A′ x
的纵坐标.
思考3：设点M(asecφ，btanφ)，则点M 在双曲线上，如何根据点A′，B′的位 置确定点M的位置？
bx22
1(a0,b0)的参数方程是什么？
x b tan
y
Fra Baidu bibliotek
a
sec
（φ为参数）
探究（二）：抛物线的参数方程
思考1：对于抛物线y2＝2px(p＞0)，设 点M(x，y)为抛物线上除顶点外的任意一 点，以Ox为始边，OM为终边的角为α， 则x，y，α三者关系是什么？
yM
y tan
x
α
O
x
大家有疑问的，可以询问和交流
上异于顶点的两动点，O为原点，OA⊥OB，
OM⊥AB，并与AB相交于点M.
(1)求点M的轨迹方程；
（2）求△AOB面积的最小值.
x2＋y2－2px＝0 y A
4p2
(x≠0)
M
O
x
B
小结作业
1.对同一条曲线选取不同的参数，就 得到不同形式的参数方程，对圆锥曲线 的参数方程，只要求掌握上述几种形式.
那么参数方程
y
2
pt
（t为参数）是
抛物线y2＝2px的参数方程吗？参数t的
几何意义是什么？
参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率的倒数.
思考5：设点M为抛物线y2＝2px(p＞0)上
任意一点，若以点M到抛物线准线的距离 t为参数，则该抛物线的参数方程是什么？
x
t
p 2
或
y
2 pt p2
双曲线与抛物线的 参数方程
复习提问：椭圆的参数方程
1、对于椭圆方程 x2 y2 1(ab0)
a2 b2
由此得到椭圆的参数方程是什么？
x a cos
y
b sin
（φ为参数）
2、类似地，椭圆
y2 a2
x2 b2
1(ab0)
的参数方程是什么？
x y
b a
cos sin
（φ为参数）
3、参数φ几何意义是什么？范围？
过点A′作x轴的
y B′ A
M
垂线，过点B′作
x轴的平行线，其
φ
交点为M.
OB
A′ x
思考4：双曲线参数方程中参数φ叫做点
M的离心角，以Ox为始边，OM为终边的角
θ叫做点M的旋转角，怎样理解这两个角
的大小关系？
y B′
A
M
当φ和θ都为锐
角时，φ＞θ.
φ OB
A′ x
思考5：类似地，双曲线
y2 a2
2.在研究圆锥曲线上的动点或未知点 的有关问题时，可利用其参数方程设出 点的坐标，从而拓广了解决问题的途径， 优化了解题思路.
3.利用圆锥曲线的参数方程解题时， 一般不考虑参数的几何意义，只利用参 数方程的外在形式.
探究（一）：双曲线的参数方程
思考1：由 1 sin 2
cos2
1
，得
1
cos2
tan2
1
记 1 sec ，则 sec2tan21
cos
类比建立椭圆参数方程的方法，双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a0,b0)的参数方程是什么？
x a sec
y
b
tan
（φ为参数）
思考2：如图，以原点O为圆心，a，b
可以互相讨论下，但要小声点
思考2：联立y2＝2px和y＝xtanα，可得 x，y分别等于什么？
xta2n2p,yta2np
思考3：参数方程
x
y
2p
t a n 2 （α为参数）
2p
ta n
是抛物线y2＝2px的参数方程吗？
思考4：用t替换
1 tan
，得
x 2 pt2
y
2
pt
x 2 pt2