北京交通大学运筹学第一次案例分析报告

线性规划专题分析报告
目录
1.案例介绍....................................................................................................................................- 3 -
2.问题分析....................................................................................................................................- 3 -
2.1建立模型.........................................................................................................................- 3 -
2.2模型求解.........................................................................................................................- 3 -
3.灵敏度分析................................................................................................................................- 5 -
3.1单位利润的改变.............................................................................................................- 5 -
3.1.1图解法..................................................................................................................- 5 -
3.1.2单纯形法..............................................................................................................- 7 -
3.2生产时间改变：.............................................................................................................- 7 -
3.2.1图解法..................................................................................................................- 7 -
3.2.2单纯形法..............................................................................................................- 9 -
4.lingo软件求解...........................................................................................................................- 9 -
4.1模型求解.........................................................................................................................- 9 -
4.2灵敏度分析.................................................................................................................. - 10 -
5. 建议 ...................................................................................................................................... - 11 -
1.案例介绍
韦德玻璃制品公司生产高质量的玻璃制品，包括工艺精湛的窗和玻璃门。

尽管这些产品昂贵，但它们是为客户提供的行业中最高质量的产品。

公司有三个工厂：工厂1：生产铝矿和五金件
工厂2：生产木框
工厂3：生产玻璃和组装窗与门
生产新类型门需要工厂1的生产设备每周大约4小时（其他时间工厂1要继续生产当前的产品），生产新类型窗需要工厂2 的生产设备每周大约有12个小时。

生产两种产品所需工厂3的生产设备每周大约有18个小时。

每一产品实际使用的每家工厂生产能力的数量取决于产品的生产率。

据估计，每扇门需要工厂1生产时间1个小时和工厂3生产时间3个小时。

每扇窗需要工厂2和工厂3生产时间各为2个小时。

会计部门估计了生产两种产品的利润。

预测门的单位利润为300元，窗的单位利润为500元。

2.问题分析
2.1建立模型
通过对案例的阅读，我们将案例中的实际问题转化为线性规划问题。

建立如下模型：
门窗生产时间
工厂20212
工厂33218
利润300500
设生产新类型门的数量为X1,生产新类型窗的数量为X2
Max Z=300X1+500X2
{
X1≤4 2X2≤12
3X1+2X2≤18
X1,X2为整数
2.2模型求解
应为考虑到求解整数规划的分支定界法计算量大，在模型求解初始，我们并未采用分支定界法。

应用单纯形法求解模型，步骤如下：
x1x2x3x4x5常数项
x3101004
x40201012 x53200118−z30000−2500−3000 x3101004
x20101
2
06
x5300−116−z000−150−100−3600
x30011
3−
1
3
2
x20101
2
06
x1100−1
3
1
3
2
由计算结果可知最优基为(2,6,2,0,0)T。

图解法（图1）可以验证，此结果计算无误，即韦德玻璃制品公司的最优新产品生产方案为每周生产2扇门，6扇窗，此时可获利3600元。

图1
3.灵敏度分析
由于单位利润的两个估计值值得商榷，如果估计的单位利润改变，则可能对产品的组合产生一些影响影响，我们试图测试出估计单位利润在怎样的范围之内变动不会影响最后的最优解；同时，工厂每周可用于生产新产品的生产时间还没有最终确定，如果生产新产品的时间增加，利润也会发生相应的变化：这两个问题可以采用灵敏度分析的方法予以解决。

3.1单位利润的改变
3.1.1图解法
（1）c1变化
图2
C1减小时，最优解不变
0≤C1≤750时，有唯一最优解(2,6)，W=3600
若C1增加使得虚线的斜率绝对值大于线性规划问题的边界斜率绝对值，也就是说虚线的倾斜角更大时，最优值改变，否则最优值不变。

（2）c2变化
图3
C2 增加时，最优解不变
750≫C2>200时，有唯一最优解(2,6)，W=3600
C2>750时，有唯一最优解(4,3)W=2700
C2 减小时，分两种情况：若C2减小使得虚线的斜率绝对值大于线性规划问题的边界斜率绝对值，也就是说虚线的倾斜角更大时，最优值改变，否则最优值不变。

0<C2<200时，有唯一最优解(4,3)，W=2700
3.1.2单纯形法
单位利润的改变，即为C B 和C N 的改变，假设门的利润增加ΔC 1，窗的利润增加 ΔC 2，因x 1和x 2均为基变量，因此导致了C B 的改变，原单纯形表中的检验数和最优值都会发生改变。

检验数 λ4=C4-C B B -1 P4=（0,0）-（0,500+ΔC 1，300+ΔC 2( 1 13⁄ −13⁄
0 12⁄ 00 −13⁄ 1
3⁄) (0
10)
=-150-12⁄ΔC 2+13⁄ΔC 1
λ5=C5-C B B -1 P5=（0,0）-（0,500+ΔC 1，300+ΔC 2）( 1 13⁄ −13⁄
0 12⁄ 00 −13⁄ 1
3⁄) (0
01)
=-100-13⁄ΔC 1
C’B -1b= (0.500+ΔC 1,300+ΔC 2) =3600+6ΔC 1+2ΔC 2 要保证检验数,小于0，即
{−150−12∆C 2+1
3∆C 3≤0
−100−1
3∆C 1≤0
当∆C 1=0时：∆C 2≥−300∴C 2≥200
当∆C 2=0时：0≤∆C 2≤750∴−300≤C 2≤450
因此，可以得出结论：当门窗的利润变化在上式要求变化之内，最优解不变。

而从max Z=3600+6ΔC 1+2ΔC 2可以看出，当ΔC 1、ΔC 2为正数，即门、窗的利润中有一者或全部增加时，可获得的最大利润会相应增加。

且当门的利润增加1单位，总利润可以增加6单位，窗的利润增加1单位，总利润可增加2个单位。

3.2生产时间改变：
3.2.1图解法 （1）b 1变化
图4
当b1增加，最优解不变
图5
当b1减小时
若b1≥2，不影响最优解，W=3600
若b1≤2，最优解为（b1，6），W=3000+300b1（2）b2变化
当b2≥18时，最优解为（0,9），W=4500
当6≤b2<18时，最优解为（6−1
3b2, 1
2
b2），W=1800+150b2
当0≤b2<6时，最优解为（0, 1
2
b3），W=250b3
（3）b3变化
当b3≥24时，最优解为（4,6），W=4200
当12≤b3<24时，最优解为（1
3
b3−4, 6），W=1800+100b3
当0≤b3<12时，最优解为（4, 1
2
b2），W=1200+250b2 3.2.2单纯形法
B−1=
(1
1
3
1
3 0
1
2
0 0−
1
3
1
3)
当b变化时，b′=b+∆b=(4+∆b1
12+∆b2 18+∆b3
)
B−1b′=
(2+∆b1+1
3
∆b2−1
3
∆b3
6+1
2
∆b2
2−1
3
∆b2+1
3
∆b3
)
，应满足
{
2+∆b1+1
3
∆b2−1
3
∆b3≥0
6+1
2
∆b2≥0
2−1
3
∆b2+1
3
∆b3≥0
若仅工厂一的产能发生变化：∆b2=∆b3=0→∆b1≥−2，即b2≥2
若仅工厂二的产能发生变化：∆b1=∆b3=0→−6≤∆b2≤−6，即6≤b2≤18若仅工厂三的产能发生变化：∆b2=∆b1=0→−6≤∆b3≤−6，即12≤b3≤24 4.lingo软件求解
4.1模型求解
Global optimal solution found.
Objective value: 3600.000
Total solver iterations: 1
Variable Value Reduced Cost
X1 2.000000 0.000000
X2 6.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 3600.000 1.000000
2 2.000000 0.000000
3 0.000000 300.0000
4 0.000000 100.0000
说明：
Total solver iterations=1表示1次迭代后得到全局最优解；
Objective value=3600.000表示最优目标值为3600；
Value给出最优解中各自变量的值；
Slack or Surplus给出松弛变量的值。

“Reduced Cost”列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时, 目标函数的变化率。

其中基变量的reduced cost值应为0，对于非基变量Xj, 相应的Reduced cost值表示当某个变量Xj增加一个单位时目标函数减少的量。

“DUAL PRICE”（对偶价格）表示当对应约束有微小变动时,目标函数的变化率。

输出结果中对应于每一个约束有一个对偶价格。

若其数值为p，表示对应约束中不等式b j若增加1个单位，目标函数将增加p个单位。

4.2灵敏度分析
Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Ranges
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease
X1 300.0000 450.0000 300.0000
X2 500.0000 INFINITY 300.0000
Righthand Side Ranges
Row Current Allowable Allowable
RHS Increase Decrease
2 4.000000 INFINITY 2.000000
3 6.000000 3.000000 3.000000
4 18.00000 6.000000 6.000000
分析：
目标函数中X1变量原来的费用系数为300，允许增加（Allowable Increase）=450，允许减少（Allowable Decrease）=,300，说明当它在[-150,0]范围变化时，最优基保持不变。

由于此时约束没有变化（只是目标函数中某个费用系数发生变化），所以最优基保持不变的意思也就是最优解不变（当然，由于目标函数中费用系数发生了变化，所以最优值会变化）。

第1行约束中右端项（Right Hand Side，简写为RHS）原来为4，当它在[4-2，4+∞] = [2，∞]范围变化时，最优基保持不变。

第2、3行可以类似解释。

不过由于此时约束发生变化，最优基即使不变，最优解、最优值也会发生变化。

5. 建议
韦德玻璃制品公司在现有条件下的最优新产品生产方案为每周生产2扇门，6扇窗。

若改变相关条件，通过线性规划求解，可得出一下三点结论：
①门、窗的利润中有一者或全部增加时，可获得的最大利润会相应增加。

且当门的利润增加1单位，总利润可以增加6单位，窗的利润增加1单位，总利润可增加2个单位。

因此，管理层应密切关注产品单位利润的改变，以适时调整门、窗的产量。

②生产效率的提高不会影响最优解，但是毫无疑问会使最优值发生改变。

简单地说，就是生产效率提高了，门、窗的产量比不会受到影响，但是，由于生产效率提高，在一定的时间内能够生产出的门、窗数量就会增加，获利当然就会增加了。

所以，提供生产效率是企
业任何时候都应该认真思考的问题之一。

③在工时允许的情况下，应适当调整使得门的产量提高，因为门的单位利润增加对总利润影响较大，也应注意门窗产量的平衡。