高考数学总复习教案：三角函数的综合应用

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时三角函数的综合应用(对应学生用书(文)、(理)57～59页

)

考情分析考点新知

理解和掌握同角三角函数的基本关系

式、三角函数的图象和性质、两角和与差的

正弦余弦与正切公式、二倍角公式及正弦定

理和余弦定理，并能运用它们解决有关三角

函数的综合问题．

2. B级考点：① 同角三角函数的基本关系式

②二倍角公式

③三角函数的图象和性质

④正弦定理和余弦定理

1. (必修5P9例题4题改编)设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且

a

cosA＝

c

sinC，则A＝________．

答案：

π

4

解析：由

a

cosA＝

c

sinC，

a

sinA＝

c

sinC，得

a

sinA＝

a

cosA，即sinA＝cosA，所以A＝

π

4.

2. (必修4P45习题1.3第8题改编)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin⎝

⎛

⎭

⎫

x－

π

6的图象，则φ＝________．

答案：

11

6π

解析：将函数y＝sinx向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y＝sin(x＋φ)．只有φ＝

11

6π时有y ＝sin⎝

⎛

⎭

⎫

x＋

11

6π＝sin⎝

⎛

⎭

⎫

x－

π

6.

3. (必修4P109习题3.3第6(2)题改编)tan

π

12－

1

tan

π

12

＝________．

答案：－2 3

解析：原式＝

sin

π

12

cos

π

12

－

cos

π

12

sin

π

12

＝

－⎝

⎛

⎭

⎫

cos2

π

12－sin2

π

12

sin

π

12cos

π

12

＝

－cos

π

6

1

2sin

π

6

＝－2 3.

4. (必修4P115复习题第13题改编)已知函数f(x)＝3sinxcosx －cos2x ＋1

2(x ∈R)，则f(x)在区间

⎣

⎡⎦⎤0，π4上的值域是________．

答案：⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－1

2，32

解析：f(x)＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，故值域为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－1

2，32. 5. 在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则边BC 上的高为________． 答案：332

解析：由余弦定理，得7＝c2＋4－2c ，即c2－2c －3＝0，解得c ＝3，所以边BC 上的高h ＝3sin60°＝332.

1. 同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝sin α

cos α

.

2. 两角和与差的正弦余弦和正切公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos (α±β)＝cos αcos β

sin αsin β，tan (α±β)＝

tan α±tan β

1tan αtan β

.

3. 二倍角公式：sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝2tan α1－tan2α

.

4. 三角函数的图象和性质

5. 正弦定理和余弦定理：

(1) 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c

sinC ＝2R(R 为三角形外接圆的半径)． (2)

余

弦

定

理

：

a2

＝

b2

＋

c2

－

2bccosA

，

cosA

＝

b2＋c2－a2

2bc

.

题型1 三角恒等变换

例1 已知sin ⎝

⎛⎭

⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝

⎛⎭

⎫π4，π2.

(1) 求cosA 的值；

(2) 求函数f(x)＝cos2x ＋5

2sinAsinx 的值域．

解：(1) 因为π4

⎫A ＋π4＝－210.

所以cosA ＝cos ⎣⎡⎦

⎤⎝

⎛⎭

⎫A ＋π4－π4

＝cos ⎝

⎛⎭

⎫A ＋π4cos π4＋sin ⎝

⎛⎭

⎫A ＋π4sin π

4

＝－210·22＋7210·22＝35. (2) 由(1)可得sinA ＝4

5. 所以f(x)＝cos2x ＋5

2sinAsinx

＝1－2sin2x ＋2sinx ＝－2⎝⎛⎭⎫sinx －122

＋32，x ∈R.因为sinx ∈[－1，1]，所以，当sinx ＝12时，f(x)取最大值3

2；当sinx ＝－1时，f(x)取最小值－3. 所以函数f(x)的值域为⎣⎡⎦

⎤－3，32.

备选变式（教师专享）

(2013·上海卷)若cosxcosy ＋sinxsiny ＝12，sin2x ＋sin2y ＝2

3，则sin(x ＋y)＝________． 答案：23

解析：由题意得cos(x －y)＝1

2，sin2x ＋sin2y ＝sin[(x ＋y)＋(x －y)]＋sin[(x ＋y)－(x －y)]＝2sin(x ＋y)cos(x －y)＝2

3

sin(x ＋y)＝2

3.

题型2 三角函数的图象与性质

例2 已知函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A>0，0<φ<π2，y ＝f(x)的部分图象如图所示，P 、

Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A)．

(1) 求f(x)的最小正周期及φ的值；

(2) 若点R 的坐标为(1，0)，∠PRQ ＝2π

3，求A 的值．

解：(1) 由题意得T ＝2π

π3

＝6.

因为P(1，A)在y ＝Asin ⎝⎛⎭

⎫π3x ＋φ的图象上，