数据集中程度与离散程度

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集中趋势和离散的关系

集中趋势和离散的关系
集中趋势和离散是描述数据分布特征的两个重要概念。

集中趋势是指数据的中心位置，可以通过平均值、中位数、众数等方式进行描述。

离散是指数据的分散程度，可以通过方差、标准差、四分位差等方式进行度量。

集中趋势与离散之间存在一定的关系。

一般来说，集中趋势较高的数据分布，其离散程度一般较小，即数据点更加集中在中心位置附近。

相反，集中趋势较低的数据分布，其离散程度一般较大，即数据点更加分散。

然而，集中趋势与离散之间的关系也可能因数据分布的形态而有所不同。

例如，对于正态分布的数据，集中趋势用均值来描述，离散程度用标准差来度量。

在正态分布中，集中趋势和离散程度之间存在着一种特殊的关系，即均值决定了正态分布的中心位置，标准差决定了分布的宽度和尖峰程度。

总之，集中趋势和离散是描述数据特征的两个方面，它们在一定程度上反映了数据的集中程度和变异程度。

在实际应用中，可以综合考虑集中趋势和离散两个方面的指标，以全面描述和分析数据的分布特征。

数据的集中趋势和离散程度(名师总结)

数据的集中趋势和离散程度【知识点1】正确理解平均数、众数和中位数的概念一、平均数：平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．例1：有四个数每次取三个数,算出它们的平均数再加上另一个数,用这种方法计算了四次,分别得到以下四个数:86, 92, 100, 106, 那么原4个数的平均数是________ .例2：有几位同学参加语文考试,赵峰的得分如果再提高13分,他们的平均分就到达90分,如果赵峰的得分降低5分,他们的平均分就只得87分,那么这些同学共有________人.例3：有5个数,其平均数为138,按从小到大排列,从小端开始前3个数的平均数为127,从大端开始顺次取出3个数,其平均数为148,那么第三个数是_______ .例4：某5个数的平均值为60,假设把其中一个数改为80,平均值为70,这个数是________ .例10：某人沿一条长为12千米的路上山，又从原路返回，上山的速度是2千米/小时，下山的速度是6千米/小时。

那么，他在上山和下山的全过程当中的平均速度是多少千米每小时？例11：假设不选择教材中的引入问题，也可以替换成更贴近学生学习生活中的实例，下举一例可供借鉴参考。

求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩？二、众数：在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个〔或几个〕数据就可以了．当一组数据中有数据屡次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势．注：众数是数据中出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．众数有可能不唯一，注意不要遗漏．例12：在一次数学测验中，甲、乙、丙、丁四位同学的分数分别是90、x 、90、70，假设这四个同学得分的众数与平均数恰好相等，那么他们得分的中位数是【】A 、100 B 、90 C 、80 D 、70 例13：当5个整数从小到大排列，其中位数是4，如果这组数据的唯一众数是6，那么5个整数可能的最大的和是【】A 、21 B 、22 C 、23 D 、24例14：10名工人，某天生产同一零件，生产到达件数是：15，17，14，10，15，19，17，16，14，12，那么这一组数据的众数是【】A 、15 B 、17 15 C 、14 D 、17 15 14 例15：〔1〕计算这9双鞋尺码的平均数、中位数和众数.〔2〕哪一个指标是鞋厂最感兴趣的指标？哪一个指标是鞋厂最不感兴趣的？三、中位数：是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数〔或处在最中间的两个数的平均数〕．一组数据中的中位数是唯一的．注：求中位数要先把数据按大小顺序排列，可以从小到大，也可以从大到小．如果数据个数n 为奇数时，第21+n 个数据为中位数；如果数据个数n 为偶数时，第2n 、12+n 个数据的平均数为中位数．例16：李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期．收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元．用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为【】A ．200千克，3000元B ．1900千克，28500元C ． 2000千克，30000元D ．1850千克，27750元〔1〕该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时？〔2〕这组数据的中位数、众数分别是多少?〔3〕请你根据〔1〕、〔2〕的结果，用一句话谈谈自己的感受．【知识点2】极差、方差和标准差极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量.一、极差一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围，实际生活中我们经常用到极差.如一支足球队队员中的最大年龄与最小年龄的差，一个公司成员中最高收入与最低收入的差等都是极差的例子.极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.二、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大方差越小数据的波动越小. 求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x 1、x 2、x 3、…、x n 的平均数为x ，那么该组数据方差的计算公式为：])()()[(1222212x x x x x x nS n -++-+-= . 例18：数据0、1、2、3、x 的平均数是2，那么这组数据的极差和标准差分别是【】A 4，2B 4，2C 2，10D 4，10三、标准差在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差.即标准差=方差. 例19：数据90，91，92，93的标准差是【】〔A 〕 2 〔B 〕54 〔C 〕54 〔D 〕52✪注意：极差、方差、标准差的关系方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比拟两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象.例20：从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：〔单位：cm 〕甲： 21 42 39 14 19 22 37 41 40 25乙： 27 16 40 41 16 44 40 40 27 44(1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的极差、方差和标准差.(2)哪种玉米的苗长得高些;(3)哪种玉米的苗长得齐.例21：市体校准备挑选一名跳高运发动参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运发动进行了8次选拔比赛.他们的成绩〔单位：m 〕如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75(1)甲、乙两名运发动的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运发动的成绩更为稳定？(3)假设预测，跳过1.65m 就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位运发动参赛？假设预测跳过1.70m 才能得冠军呢？。

第三章数据的离散程度

第三章数据的集中程度与离散程度 01 均数中位数众数极差1、平均数2、中位数例题1、某地区连续5天的最高气温（单位：℃）分别是30,33,24,29,24.这组数据的中位数是（） A.29 B.28 C.24 D.9概念：求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；过程：解：数据排序为：24、24、29、30、33，∴中位数为29；答案A ．3、众数4、极差极差越小，这组数据也越小。

例题2、某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32．对这组数据，下列说法正确的是（） A.平均数为30 B.众数为29 C.中位数为31 D.极差为5 过程：平均数：=x =29.8众数 ∵数据29出现两次最多，∴众数为29，中位数为29极差为：最大的数字减去最小的数字32﹣28=4．故B ．5、加权平均数例题3、用两种方法计算下列数据的平均数：35，35，35，47，47，84，84，84，84，125 方法一：这10个数的平均数是：方法二：所求的平均数即等于35, 47, 84, 125分别以0.3，0.2，0.4，0.1为权的加权平均数：思考：0.3，0.2，0.4，0.1是怎么得来的，提示：共多少个数据，各出现几次，出现的百分比是多少？例题4、求21，32，43，54的加权平均数：（1）以为权．（2）以0.4，0.3，0.2，0.1为权．练习：商店中有3种糖果，各种糖果的单价如下表所示：商店用水果糖20千克、花生糖30千克、软糖50千克配成什锦糖100千克，问这100千克什锦糖的单价应如何确定？品种水果糖花生糖软糖单价（元/千克） 11.6 14.4 16 ()6610125848484844747353535=÷+++++++++661.01254.0842.0473.035=⨯+⨯+⨯+⨯41,41,41,41参考答案：水果的权为0.2，花生糖权为0.3，软糖为0.5，什锦糖的单位定价为：11.6×0.2+14.4×0.3+16×0.5＝14.64练习2、有一组数椐：3，4，5，6，6，则下列四个结论中正确的是（） A 、这组数据的平均数、众数、中位数分别是4.8，6，6 B 、这組数据的平均数、众数、中位数分别是5，5，5 C 、这组数据的平均数、众数、中位数分别是4.8，6，5 D 、这组数据的平均数、众数、中位数分别是5，6，602 方差与标准差1、方差2、标准差3、标准差通常这组数据的离散程度越小。

数据的集中趋势与离散程度

数据的集中趋势与离散程度统计学中，描述和衡量数据分布特征的两个重要方面是集中趋势和离散程度。

集中趋势指的是数据集中在哪个数值附近，而离散程度描述了数据的分散程度。

在本文中，我将详细介绍集中趋势和离散程度的定义、常用的衡量指标和如何应用。

一、集中趋势集中趋势是指数据集中在哪个数值处的趋势或位置，常用的衡量指标包括均值、中位数和众数。

1. 均值均值是数据集所有观测值的算术平均数。

它是最常用的衡量集中趋势的指标。

计算均值的方法是将所有观测值相加，再除以观测值的个数。

均值受极端值的影响较大。

2. 中位数中位数是将数据集按照大小排序后，位于中间位置的观测值。

如果数据集的个数是奇数，则中位数就是排序后位于中间的观测值；如果数据集的个数是偶数，则中位数是中间两个观测值的平均数。

中位数对极端值不敏感，更能反映数据的典型情况。

3. 众数众数是数据集中出现频率最高的观测值。

一个数据集可能存在一个众数，也可能存在多个众数，或者没有众数。

众数主要用于描述离散型数据。

二、离散程度离散程度是描述数据分散程度的指标，常用的衡量指标包括极差、方差和标准差。

1. 极差极差是数据集中最大观测值和最小观测值之间的差值。

极差越大，表示数据的离散程度越大；极差越小，表示数据的离散程度越小。

极差对极端值非常敏感。

2. 方差方差是数据集观测值与均值之差的平方的平均值。

方差衡量了数据与其均值之间的离散程度，数值越大表示数据的离散程度越大，反之亦然。

方差对极端值非常敏感。

3. 标准差标准差是方差的平方根，用于衡量数据集的离散程度。

标准差具有与原始数据相同的度量单位，比方差更容易解释和理解。

标准差越大，表示数据的离散程度越大，反之亦然。

三、应用集中趋势和离散程度的概念和指标在各个领域具有广泛的应用。

在金融领域，通过分析股票价格的均值和离散程度，可以评估股票的风险和收益。

在市场调研中，通过分析产品价格的中位数和标准差，可以了解市场需求和产品价值的稳定性。

专题：数据的集中趋势与离散程度

专题：数据的集中趋势与离散程度※知识梳理一．数据的集中趋势1、平均数(1)定义：有n个数x1，x2，…x n，则x=叫这n个数的平均数．(2)意义：平均数是反映一组数据的．(3)结论：若x1，x2，…，x n的平均数是x，则ax1，ax2，…，ax n的平均数是；x1+b，x2+b，…，x n+b的平均数是；ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的平均数是．2、众数(1）定义：一组数据中的数据叫这组数据众数．(2)意义：众数反映的是一组样本数据的.(3)一组数据中的众数有时不唯一.3、中位数(1)定义：将一组数据按大小依次排列，把处在或叫这组数据的中位数．(2)意义：反映一组数据的，一组数据中的中位数是唯一的．二．数据的离散程度1、极差(1)定义：一组数据中叫做这组数据的极差，即极差= .(1)意义：极差能够反映数据的变化范围。

极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值影响较大. 2、方差与标准差(1)定义：在一组数据x1，x2，…，x n中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，•叫做这组数据的方差．通常用“S2”表示，即S2= ．方差的叫做这组数据的标准差，用“S”表示，即S= ．(2)意义：方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小。

(3)解困：若x1，x2，…，x n的方差是s2，标准差是s，则ax1，ax2，…，ax n的方差是，标准差是；x1+b，x2+b，…，x n+b的方差是，标准差是；ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的方差是，标准差是．※题型讲练【例1】为了解某地高一年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本(单位：cm)，分组情况如下：(1)将上表中的数据补充完整．(2)画出频数分布直方图．(3)估计该地区高一年级男生身高的众数，中位数和平均数.【例2】某鞋店销售了9双鞋，各种尺码的销售量如下：鞋的尺码20 21 22 23销售量（双） 1 2 4 2（1）计算这9双鞋尺码的平均数、中位数和众数.（2）哪一个指标是鞋厂最感兴趣的指标？哪一个指标是鞋厂最不感兴趣的？变式训练1：1.为了了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班50名学生进行了调查，有关数据如下表：根据上表中的数据，回答下列问题：（1）该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时？（2）这组数据的中位数、众数分别是多少?每周做家务的时间（小时）0 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4人数（人） 2 2 6 8 12 13 4 3 分组151.5～158.5 158.5～165.5 165.5～172.5 172.5～179.5频数 6 2l频率0.1【例3】数据0、1、2、3、x 的平均数是2，求这组数据的极差和标准差.变式训练2：1.若1，2，3，a的平均数是3，且4，5，a，b的平均数是5，则样本0，1，2，3，4，a，b的标准差是多少？【例4】从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：（单位：cm）甲：21 42 39 14 19 22 37 41 40 25乙：27 16 40 41 16 44 40 40 27 44(1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的极差、方差和标准差.(2)哪种玉米的苗长得高些;(3)哪种玉米的苗长得齐. 【例5】某区为了了解七年级学生的身高情况（单位：cm），随机抽查了部分学生的身高，将所得数据处理后分成七组（每组只含最低值，不含最高值），并制成下列两个图表（部分）：请根据以上信息，回答下列问题：(1)该区抽查了多少名学生的身高情况？答：(2)被抽查学生身高的中位数落在第组；(3)扇形图中第六组所在扇形的圆心角是度；(4)如果该区七年级学生共有5000名，则身高不低于160cm的学生约有名；(5)能否以此估计该区高一年级学生的身高情况？为什么？答：．。

数据的集中趋势与离散程度

数据的集中趋势与离散程度在我们的日常生活和各种工作领域中，数据无处不在。

无论是研究经济趋势、评估学生的考试成绩，还是分析市场销售数据，了解数据的特征都是至关重要的。

而数据的集中趋势和离散程度就是两个关键的特征，它们能帮助我们更好地理解数据所蕴含的信息。

先来说说数据的集中趋势。

简单来讲，集中趋势就是数据呈现出的一种“聚集”的特点，反映了数据的中心位置或者一般水平。

最常见的用于描述集中趋势的指标有平均数、中位数和众数。

平均数，大家应该都很熟悉。

就是把一组数据的所有数值加起来，然后除以数据的个数。

比如说，一个班级里五位同学的数学考试成绩分别是 80 分、90 分、85 分、75 分和 95 分，那么他们的平均成绩就是（80 ＋ 90 ＋ 85 ＋ 75 ＋ 95）÷ 5 ＝ 85 分。

平均数很容易计算，也能直观地反映出这组数据的大致水平。

中位数呢，是将一组数据按照从小到大或者从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的那个数就是中位数；如果数据的个数是偶数，那么中间两个数的平均值就是中位数。

比如，还是上面那五个同学的成绩，从小到大排列为 75 分、80 分、85 分、90 分、95 分，因为数据个数是奇数，所以中位数就是 85 分。

中位数的优点在于，它不受极端值的影响。

比如，如果有一个同学考了20 分，那么这组数据的平均数就会被拉低很多，但中位数却不会受到太大影响。

众数则是一组数据中出现次数最多的那个数值。

比如说，一组数据是 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，那么众数就是 4。

众数可以反映出数据中最常见的情况。

了解了数据的集中趋势，我们再来看数据的离散程度。

离散程度反映的是数据的分散情况，也就是数据相对于中心位置的偏离程度。

常见的描述离散程度的指标有极差、方差和标准差。

极差是一组数据中的最大值减去最小值。

比如，一组数据是 10，20，30，40，50，那么极差就是 50 10 ＝ 40。

理解数据的集中趋势与离散程度

理解数据的集中趋势与离散程度数据是我们生活中不可或缺的一部分，无论是在科学研究、商业决策还是个人生活中，我们都需要处理和分析大量的数据。

在数据分析过程中，了解数据的集中趋势和离散程度是非常重要的，它们能够帮助我们更好地理解数据的分布和特征。

一、集中趋势集中趋势是指数据分布中心的位置，常用的集中趋势度量指标有均值、中位数和众数。

均值是一组数据的平均值，通过将所有数据相加再除以数据个数得到。

均值能够反映数据的总体水平，但受到极端值的影响较大。

例如，考虑一个班级的学生成绩，大部分学生的成绩在70-90分之间，但有一个学生得了100分，这个极端值会使得均值偏高。

中位数是将一组数据按照大小顺序排列后，位于中间位置的数值。

中位数不受极端值的影响，更能反映数据的典型值。

在上述例子中，中位数仍然能够准确地反映学生的典型成绩水平。

众数是一组数据中出现次数最多的数值，它代表了数据分布的最高峰。

众数适用于描述离散型数据，如人口统计中的年龄分布。

二、离散程度离散程度是指数据分布的分散程度，常用的离散程度度量指标有范围、方差和标准差。

范围是一组数据的最大值与最小值之间的差距，它能够直观地反映数据的离散程度。

然而，范围只考虑了极端值，没有考虑其他数据的分布情况。

方差是一组数据与其均值之差的平方的平均值，它能够反映数据与均值之间的差异。

方差越大，数据的离散程度越高。

标准差是方差的平方根，它具有与原始数据相同的单位。

标准差能够衡量数据的离散程度，并且与均值具有相同的量纲，因此更容易进行比较和解释。

三、应用举例理解数据的集中趋势和离散程度在各个领域都有广泛的应用。

在金融领域，我们可以通过分析股票的收益率来了解市场的集中趋势和离散程度。

均值和中位数能够帮助我们了解市场的平均收益水平，而标准差则能够反映市场的波动性。

这些指标对于投资者制定投资策略和管理风险非常重要。

在医学研究中，我们可以通过分析患者的生命体征数据来了解疾病的发展趋势和离散程度。

中考复习第20课时：数据的集中和离散程度

第一轮复习第20课时：数据的集中和离散程度【课前预习】一、知识梳理：1、数据的集中程度：①平均数（加权平均数）；②中位数；③众数．2、数据的离散程度：①极差；②方差；③标准差．二、课前预习：1、已知一组数据为：8，9，7，7，8，7，则这组数据的平均数、中位数、众数分别为__ 、、_.2、小明数学平时成绩为80分，期末成绩为90分.按“平时成绩占40%，期末成绩占60%”的比例计算，则小明的数学成绩为 .3、一家鞋店对上周某一品牌女鞋的销售量统计如下：该鞋店决定本周进该品牌女鞋时多进一些尺码为23.5厘米的鞋，影响鞋店决策的统计量是( )A．平均数 B．众数C．中位数D．方差4、若一组数据10，10， x，8的若平均数和众数相等，则这组数据的中位数是_______．5、某校高一新生参加军训，一学生进行五次实弹射击的成绩（单位：环）如下：8，6，10，7，9，则这五次射击的平均成绩是环，中位数环，极差是环,方差是环2．6、甲、乙两人各射靶5次，已知甲所中环数是8、7、9、7、9，乙所中的环数的平均数x乙＝8，方差S2乙＝0.4，那么，对甲、乙的射击成绩的正确判断是（）（A）甲的射击成绩较稳定（B）乙的射击成绩较稳定（C）甲、乙的射击成绩同样稳定（D）甲、乙的射击成绩无法比较7、已知一组数据x1、x2、x3、…x n的平均数是m、方差是n，则另一组新数据ax1+b、ax2+b、ax3+b、…ax n+b的平均数为、方差是、标准差是．8、已知数据x1、x2、x3的平均数是a，据y1、y2、y3的平均数是b，则3x1+4y1，3x2 +4y2，3x3 +4y3的平均数是．【解题指导】例1 我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量（单位：t ），并将调查结果绘成了如下的条形统计图．（Ⅰ）求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅱ）根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7 t 的约有多少户．例 2 某校九年级(1)班积极响应校团委的号召, 每位同学都向“希望工程”捐献图书,全班40名同学共捐图书320册．特别值得一提的是李扬、王州两位同学在父母的支持下各捐献了50册图书. 班长统计了全班捐书情况如下表(被粗心的马小虎用墨水污染了一部分)：⑴ 分别求出该班级捐献7册图书和8册图书的人数；⑵ 请算出捐书册数的平均数、中位数和众数, 并判断其中哪些统计量不能反映该班同学捐书册数的一般状况，说明理由．例 3 在暑假开展的社会实践活动中，•小丽同学帮助李大爷统计了一周内卖出A 、B 两种品牌雪糕的数量，记录数据如下表：户数月均用水量/t（1）请你用统计表提供的数据完成右表；（2）若A 种雪糕每支利润0.20元，B 种雪糕每支利润0.15元，•请你根据题中提供的信息，对李大爷购进雪糕提出建议，并简述你的理由．【巩固练习】1、刘翔为了备战2008年奥运会，刻苦进行110米跨栏训练，为判断他的成绩是否稳定，教练对他10次训练的成绩进行统计分析，则教练需了解刘翔这10次成绩的（） A ．众数 B ．方差 C ．平均数 D ．频数2、某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的．3、数据1、5、6、5、6、5、6、6的众数是，中位数是，方差是．4、在一次体检中，测得某小组5名同学的身高分别是170、162、155、160、168（单位：厘米），则这组数据的极差是厘米．5、甲、乙两个学习小组各4名学生的数学测验成绩如下（•单位：分）甲组：86 82 87 85 乙组：85 81 85 89 （1）分别计算这两组数据的平均数；（2）分别计算这两组数据的方差；（3）哪个学习小组学生的成绩比较整齐？【课后作业】班级姓名一、必做题：1、老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进行统计，得出两人五次测验成绩的平均分均为90分，方差分别是2甲S ＝51、2乙S ＝12．则成绩比较稳定的是_______ （填“甲”、“乙”中的一个）．2、有一组数据如下: 3, a , 4, 6, 7. 它们的平均数是5，那么这组数据的方差为_________．3、2010年4月14日青海省玉树县发生7.1级大地震后，湘江中学九年级（1）班的60名同学踊跃捐款．有15人每人捐30元、14人每人捐100元、10人每人捐70元、21人每人捐50元．在这次每人捐款的数值中，中位数是 .4、一组数据3,x,0,－1,－3的平均数是1，则这组数据的极差为．5、据x 1,x 2,x 3,…x n 的的平均数是x ，则(x 1 - x)+(x 2 - x)+…+(x n -x)= ．6、已知数据x 1、x 2、x 3的平均数是5，方差是2，则另一组新数据2x 1+3、2x 2+3、2x 3+3平均数为、方差是、标准差是．7、为了估计某市空气质量情况，某同学在30天里做了如下记录：其中w <50时空气质量为优， 50≤w ≤100时空气质量为良，100<w ≤150时空气质量为轻度污染，若1年按365天计算，请你估计该城市在一年中空气质量达到良以上（含良）的天数为天．8、如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩(环数)的折线统计图，观察图形，甲、乙这10次射击成绩的方差甲2S ，乙2S 之间的大小关系是．9、某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图. 则这组数据的众数和中位数分别是（） A ．7、7 B ． 8、7.5 C ．7、7.5D ． 8、610、说法中：①一组数据不可能有两个众数；②将一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，方差恒不变；③随意翻到一本书的某页，这页的数码是奇数，这个事件是必然发生的；④要反映西昌市某一天内气温的变化情况，宜采用折线统计图。

数据的集中趋势离散程度

数据的集中趋势离散程度数据的集中趋势是指数据分布的中心位置，可以通过测量数据的均值、中位数和众数来描述。

数据的离散程度是指数据集中趋势的分散程度，可以通过测量数据的范围、方差和标准差来描述。

首先，数据的集中趋势可以通过均值来衡量。

均值是将所有数据加总后除以数据的个数得到的平均值。

它将数据集中在一个中心位置，可以反映数据的整体水平。

然而，均值容易受到极值的影响，因此需要结合其他指标综合考虑。

中位数是将数据按照大小排序后位于中间位置的值，可以将数据集合分为两部分。

中位数不受极值的影响，适用于有极值存在的情况。

中位数能反映数据的中间位置，相对稳定。

众数是在数据集中出现频率最高的值。

众数可以反映数据的最常见取值，适用于描述离散数据。

其次，数据的离散程度可以通过范围来衡量。

范围是最大值减去最小值，它反映了数据集的变化幅度。

范围简单直观，但不稳定，容易受到极值的影响。

方差是每个数据与均值差的平方的平均数，可以描述数据集与均值的偏离程度。

方差越大，数据越分散；方差越小，数据越集中。

方差让我们能够了解数据集内部的差异。

标准差是方差的平方根，它与均值具有相同的量纲，能更直观地反映数据的离散程度。

标准差比方差更常用，因为它的单位与原始数据相同，易于理解。

数据的集中趋势和离散程度是相互关联的，它们一起能够提供一个完整的数据描述。

例如，在比较两组数据的差异时，可以通过比较均值和标准差来判断其集中趋势和离散程度。

总体而言，数据的集中趋势和离散程度是统计分析中常用的指标，能够提供重要的数据特征，帮助我们理解数据的分布情况，从而进行决策和预测。

在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的指标，并结合其他分析方法来综合评价数据的集中趋势和离散程度。

数据的集中趋势与离散程度

（一）知识要点知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。

知识点2：表示数据离散程度的代表极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。

极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。

知识点3：生活中与极差有关的例子在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。

一家公司成员中最高收入与最低收入的差。

知识点4：平均差的定义在一组数据x1，x2，…，x n中各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数即T=叫做这组数据的“平均差”。

“平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。

知识点5：方差的定义在一组数据x1，x2，…，x n中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。

知识点6：标准差方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。

知识点7：方差与平均数的性质若x1，x2，…x n的方差是S2，平均数是，则有①x1+b，x2+b…x n+b的方差为S2，平均数是+b②ax1，ax2，…ax n的方差为a2s2，平均数是a③ax1+b，ax2+b，…ax n+b的方差为a2s2，平均数是a+b同步练习：1为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他的电脑知识进行了10次测试，成绩如下：（单位：分）甲的成绩76849086818786828583乙的成绩82848589798091897479回答下列问题：（1）甲学生成绩的众数是分，乙学生成绩的中位数是分。

（2）若甲学生成绩的平均数为，乙学生成绩的平均数为，则与的大小关系是。

（3）经计算知=13.2，=26.36，这说明。

第20章数据的集中趋势和离散程度复习总结

在增长，粮
习题：
(1)计算八·二班学生有多少件作品获奖？ (2)求出八·二班获奖作品的平均成绩。 (3)求出获奖作品成绩的众数和中位数。
极差：
1、极差的意义 2、极差的计算方法：
方差：
1、方差的意义 2、方差的计算方法
标准差：
1、标准差的意义 2、标准差的计算方法
方差的运算性质：
预习检测：
数据的离散程度是数据分布的另一个重要特征，它所反映的是各个数据远离其中心值的程度，可利用极差、方差、标准差等刻画一组数据的离散程度。
平均数：
1、平均数的意义 2、平均数的计算方法：
中位数：
1、中位数的意义 2、中位数的计算方法
众数：
1、众数的意义 2、众数的计算方法
平均数、中位数、众数的异同点：
相同点有哪些？不同点有哪些？
梳理：
1.若数据 x1,x2,,xn,则平均数=
。
2.若n个数据中x1出现f1次,x2出现f2次,…xn出现
x1fn次,则平均数=。3.一般地,个数据按大小顺序排列,处于的
一个数据(或
)叫做这组数据的中位数.
4.一般地,一组数据中出现次数
数据的集中趋势和离散程度
单元整理和复习
复习回顾：
集中趋势
平均数中位数众数
离散程度
极差方差标准差
用
样本平均数
样
估计
本
总体平均数
估
计
样本方差
总
估计
体
总体方差
复习提纲：
1、数据的集中趋势的三个特征数 2、数据的离散程度的三个特征数 3、用样本估计总体
预习检测：
数据的代表是指利用平均数、中位数、众数等刻画一组数据的集中趋势。所谓集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测量集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。

初中数学知识归纳统计数据的集中趋势和离散程度

初中数学知识归纳统计数据的集中趋势和离散程度统计学是一门研究数据收集、处理、分析和解释的学科，它在生活中的应用非常广泛。

在统计学中，我们常常需要描述数据的集中趋势和离散程度。

本文将介绍几种常见的数据集中趋势和离散程度的统计量以及它们的含义和计算方法。

一、数据的集中趋势数据的集中趋势是指一组数据向某个中心值靠拢的趋势。

常用的统计量有均值、中位数和众数。

1. 均值（Mean）均值是指一组数据的总和除以数据的个数。

它是最常用的集中趋势统计量，用于表示数据的平均水平。

计算均值的方法是将所有数据相加，然后除以数据的个数。

2. 中位数（Median）中位数是指一组数据中处于中间位置的值。

当数据集的个数为奇数时，中位数就是数据排序后的中间值；当数据集的个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均值。

计算中位数的方法是将数据从小到大排序，然后找到中间位置的值。

3. 众数（Mode）众数是指一组数据中出现次数最多的数值。

一个数据集可能有一个或多个众数，也可能没有众数。

计算众数的方法是统计每个数值出现的频数，然后找到频数最大的数值。

二、数据的离散程度数据的离散程度是指一组数据的分散程度或波动程度。

常用的统计量有极差和标准差。

1. 极差（Range）极差是指一组数据的最大值与最小值之间的差值。

它是最简单的离散程度统计量，可以直观地反映数据的变化范围。

计算极差的方法是将最大值减去最小值。

2. 标准差（Standard Deviation）标准差是指一组数据偏离平均值的程度。

它通过计算每个数据与均值的差的平方，并求平均值来衡量数据的离散程度。

标准差越大，数据的离散程度越大。

计算标准差的方法包括计算均值、计算每个数据与均值的差的平方，并求平均值再开方。

三、应用举例现在我们来举两个实际问题的例子，通过计算集中趋势和离散程度的统计量来分析数据。

例1：小明的五次数学考试成绩分别是85、92、88、79和90，求这五次考试成绩的均值、中位数、众数、极差和标准差。

理解数据的集中趋势与离散程度

理解数据的集中趋势与离散程度数据在现代社会中扮演着重要的角色，无论是科学研究、商业决策还是社会分析，都离不开数据的支持。

然而，仅仅拥有大量的数据还不足以使我们做出准确的判断和决策，我们还需要理解数据的集中趋势与离散程度。

本文将探讨如何理解数据的集中趋势与离散程度，并介绍一些常用的统计指标和方法。

一、集中趋势集中趋势是用来描述数据的中心位置的统计指标。

常用的集中趋势指标有平均数、中位数和众数。

平均数是最常见的集中趋势指标，它是一组数据的总和除以数据的个数。

平均数可以反映数据的总体水平，但在存在离群值的情况下，平均数可能会被拉偏。

中位数是将一组数据按照大小顺序排列后，位于中间位置的数值。

中位数不受离群值的影响，更能反映数据的典型特征。

众数是一组数据中出现频率最高的数值。

众数常用于描述离散型数据的集中趋势，如衣服尺码、颜色等。

二、离散程度离散程度是用来描述数据的分散程度的统计指标。

常用的离散程度指标有极差、方差和标准差。

极差是一组数据的最大值与最小值之间的差异。

极差越大，数据的离散程度越大。

方差是一组数据与其平均数之差的平方和的平均数。

方差可以衡量数据的离散程度，值越大表示数据越分散。

标准差是方差的平方根，它和方差具有相同的度量单位。

标准差是最常用的衡量数据离散程度的指标，它能够直观地反映数据的离散程度。

三、常用的统计方法除了上述的指标外，还有一些常用的统计方法可以帮助我们更好地理解数据的集中趋势与离散程度。

箱线图是一种常用的可视化方法，它能够直观地展示数据的集中趋势和离散程度。

箱线图由一个箱体和两条线组成，箱体表示数据的四分位数，上下两条线表示数据的最大值和最小值，异常值可以通过箱线图来观察和判断。

正态分布是一种常见的概率分布，它的均值和标准差可以完全描述数据的集中趋势和离散程度。

通过正态分布的偏度和峰度指标，我们可以判断数据是否符合正态分布。

回归分析是一种常用的统计方法，它可以帮助我们建立数据的数学模型，进而预测和解释数据的集中趋势和离散程度。

【个人精编】数据集中趋势和离散程度笔记

数据的集中趋势和离散程度笔记一、知识点梳理知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。

（1）平均数算术平均数（简称为平均数）：121()n xx x x n（公式一）①一般地，如果在一组数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，……，x k 出现f k 次，（f 1，f 2，…f k 为正整数），则这组数据的平均数：当n 个数据中某些数据反复出现时，用该公式较简洁； f 1+f 2+…+f k =n （数据的总个数）。

②一般地，如果一组数据都在某个数a 上下波动时，就可以采用把原来每个数据都减去a ，得一组新数据，再算得这组新数据的平均数'x ，这样原来数据的平均数是：x ＝a ＋'x （公式三）平均数定义公式和两个简化计算公式都很重要，应根据具体情况，恰当选用。

特别的：一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，①若每个数据都扩大a 倍，即ax 1，ax 2，…，ax n ，则平均数也扩大a 倍，即a x ； ②若每个数据都增加b ，即x 1＋b ，x 2＋b ，…，x n ＋b ，则平均数增加b ，即x ＋b ； ③若每个数据都扩大a 倍后又都增加b ，则平均数也扩大a 倍后增加b ，即a x ＋b ．当数据组中数据较大又在某个数值左右波动或数据之间存在某种倍数关系时，利用这些规律求平均数比较直接、简便。

加权平均数在计算数据的平均数时，往往根据其重要程度，分别给每个数据一个“权”，由此求出平均数叫做加权平均数。

恒量各个数据“重要程度”的数值叫做权。

相同数据的个数叫做权，这个“权”含有所占分量轻重的意思。

ω1越大，表示x 1的个数越多，于是x 1的“权”就越重。

若n 个数x 1，x 2，…，x n 的权是分别是ω1，ω2，…，ωn ，则x ＝nnn x x x ωωωωωω++++++ 212211① 当ω1＝ω2＝…＝ωn ，即各项的权相等时，加权平均数就是算术平均数。

第3章《数据的集中趋势和离散程度》知识讲练(学生版)

20232024学年苏科版数学九年级上册章节知识讲练知识点01：平均数1.算术平均数一般地，如果有n 个数，那么=12+nx x x n++…叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数.“”读作“x 拔”.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”.细节剖析：平均数的大小与一组数据里的有关系，其中任一数据的变动都会引起的变动，所以平均数容易受到的影响. 2.加权平均数一组数据的平均数，不仅与这组数据中的值有关，而且与各个数据的有关.我们把衡量各个数据叫做权.按照这种方法求出的平均数，叫做 .加权平均数的计算公式为：若数据出现次，出现次，出现次……出现次，这12n x ,x ,x ,…x x 1x 1f 2x 2f 3x 3f k x k f组数据的平均数为，则（其中n=+++…+） “权”越大，对平均数的影响就 .加权平均数的分母恰好为细节剖析：（1）越大，表示的个数越多，“权”就越重，也就越 .（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的知识点02：众数和中位数1.众数叫做这组数据的众数.当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述细节剖析：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能（2）众数是一组数据中据而不是 2.中位数一般地，将一组数据按排列，如果数据的个数是奇数，那么处于叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于叫做这组数据的中位数.当一组数据中，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势.细节剖析：（1）一组数据的中位数是的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据知识点03：平均数、中位数与众数的联系与区别联系：平均数、中位数和众数都反映了区别：平均数容易受的影响；中位数与有关，个别数据的波动对没影响；众数主要研究各，当一组数据中出现时，可用众数来描述.在一组存在极端值的数据中，用作为表示这组数据特征的统计量有时会更贴近实际.x 1f 2f 3f k f k f k x一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•新吴区二模）已知一组数据：2019、2021、2023、2023、2024这组数据的中位数和众数分别是（）A．2022、2023 B．2022、2022 C．2023、2022 D．2023、20232．（2分）（2023•锡山区校级三模）为深入实施《全民科学素质行动规划纲要（2022﹣2035年）》，某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有10名，他们的决赛成绩如表所示：则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（）决赛成绩/分100 95 90 85人数/名 1 4 2 3A．92.5，95 B．95，95 C．92.5，93 D．92.5，1003．（2分）（2023•泗洪县二模）已知一组数据：6，3，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（）A．6 B．2 C．8 D．74．（2分）（2022秋•太仓市期末）在对某样本进行方差计算时，所用公式为：，则该样本容量为（）A．7 B．14 C．10 D．175．（2分）（2023•秦淮区二模）甲、乙两名同学5次数学成绩如图，他们成绩的方差和的大小关系是（）A．B．C．D．无法确定6．（2分）（2023•淮安区校级二模）超市里五种型号的书包价格分别为50，60，80，90，110（单位：元），降价促销后，每种型号书包价格都降了10元．降价前的五个数据与降价后的五个数据相比，不变的是（）A．众数B．中位数C．方差D．平均数7．（2分）（2023•邗江区二模）众志成城，抗击疫情，救助重灾区．某校某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：100，45，100，40，100，60，155．下面有四个推断：①这7名同学所捐的零花钱的平均数是150；②这7名同学所捐的零花钱的中位数是100；③这7名同学所捐的零花钱的众数是100；④由这7名同学所捐的零花钱的中位数是100，可以推断该校全体同学所捐的零花钱的中位数也一定是100．所有合理推断的序号是（）A．①③B．②③C．②④D．②③④8．（2分）（2023•兴化市一模）第1组数据为：0、0、0、1、1、1，第2组数据为：、，其中m、n是正整数下列结论：①当m＝n时，两组数据的平均数相等；②当m＞n时，第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数；③当m＜n时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；④当m＝n 时，第2组数据的方差小于第1组数据的方差．其中正确的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④9．（2分）（2023•东海县一模）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（）A．平均分不变，方差变大B．平均分不变，方差变小C．平均分和方差都不变D．平均分和方差都改变10．（2分）（2022秋•亭湖区期末）随着网络的发展，在节日期间长辈们往往用抢微信红包的形式发放红包，下表是某班同学们在春节期间所抢的红包金额进行统计的结果表：金额（元）20 30 50 100 200a人数（人） 5 16 10 6 5根据表中提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（）A．16元，50元B．30元，30元C．30元，40元D．30元，50元二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•工业园区校级模拟）某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247，253，247，255，263．这五次成绩的中位数是．12．（2分）（2023•宝应县校级三模）小王统计了一周家庭用水量，绘制了如图的统计图，那么这周用水量的众数是．13．（2分）（2023•宿城区校级模拟）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环 2）如下表所示．根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择．甲乙丙丁8 9 9 9s20.8 3 0.8 1.6 14．（2分）（2023•雨花台区校级模拟）上表是某少年足球俱乐部学员的年龄分布，其中一个数据被遮盖了．若这组数据的中位数为13.5岁，则这个俱乐部共有学员人．15．（2分）（2023•邗江区校级模拟）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为，则（填“＞”，“＝”或”＜”）16．（2分）（2023•海陵区校级模拟）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如右表：项目应聘者甲乙丙学历9 8 8能力7 6 8态度 5 8 5公司将学历、能力、态度按20%、m%、n%（n＞20）的比例确定每个人的最终得分，并以此为依据最终丙被录取，则m的取值范围是．17．（2分）（2023•清江浦区校级三模）小云统计了一周家庭用水量，绘制了如图的统计图，那么这周用水量的中位数是．18．（2分）（2023•广陵区校级四模）在对某样本进行方差计算时，计算的公式是：，该样本的样本容量是．19．（2分）（2022•扬州模拟）某次数学测试，某班一个学习小组的六位同学的成绩如下：84、75、75、92、86、99，则这六位同学成绩的中位数是．20．（2分）（2022秋•玄武区期中）超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩（分70 80 90数）将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是分．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•亭湖区校级期末）某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，八（1）、八（2）班各选取五名选手参赛．两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分）八（1）班：8，8，7，8，9八（2）班：5，9，7，10，9学校根据两班的成绩绘制了如下不完整的统计表：班级平均数众数中位数八（1）8 b c八（2）a9 9根据以上信息，请解答下面的问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝．（2）已知八（1）班比赛成绩的方差是0.4，请你计算八（2）班比赛成绩的方差，并从方差的角度分析哪个班级成绩更稳定．22．（6分）（2023•广陵区校级模拟）气象学上，将某一天及其前后各两天的“日平均气温”的平均数称为“5天滑动平均气温”，由这两种数值可以确定“入夏日”．例如：2021年泰州市从5月8日起，“5天滑动平均气温”首次连续5天大于或等于22℃，其中5月7日的日平均气温是这5天中第一个大于或等于22℃的，则5月7日便是2021年泰州市的“入夏日”．已知我市2022年“入夏日”为图中的某一天，请根据统计图回答问题：（1）求2022年5月27日及其前后各两天的“5天滑动平均气温”；（2）请判断2022年的“入夏日”；（3）某媒体报道：“夏天姗姗来迟，泰州2022年的春天比去年长．”你认为这样的说法正确吗？为什么？（泰州市2021年、2022年的入春时间分别是2月1日和2月27日）23．（8分）（2023•东海县二模）某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷和结果描述如表：调查问卷（部分）1．你每周参加家庭劳动时间大约是_____h．如果你每周参加家庭劳动时间不足2h，请回答第2个问题；2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是_____（单选）．A．没时间；B．家长不舍得；C．不喜欢；D．其它中小学生每周参加家庭劳动时间x（h）分为5组：第一组（0≤x＜0.5），第二组（0.5≤x＜1），第三组（1≤x＜1.5），第四组（1.5≤x＜2），第五组（x≥2）．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在第组；（直接写出答案）（2）在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数是；（直接写出答案）（3）该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h，请结合上述统计图．对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出一条合理化建议．24．（8分）（2023•南京三模）对小明家去年8月份至今年4月份的月用水量以及当地这9个月的月平均气温进行了统计，得到如所示的统计图表．小明家去年8月份至今年4月份的月用水量统计表月份用水量（吨）8 329 3010 1811 1012 81 52 83 114 13（1）求小明家去年8月份至今年4月份的月平均用水量；（2）据有关部门预计，今年5月份当地平均气温为16℃结合相关信息，估计今年5月份小明家的月用水量，并从两个不同角度说明理由．25．（8分）（2023•启东市二模）某校举行“疫情防控”知识问答竞赛，每班选20名同学参加比赛，根数据答对的题目数量，得分等级分为5分，4分，3分，2分，学校将八年级甲班和乙班的成绩整理并绘制成统计图．（1）请把甲班知识问答成绩统计图补充完整；（2）通过统计得到如表，请求出表中数据a，b的值：a＝，b＝；班级平均数（分）中位数（分）众数（分）甲班a 4 4乙班 3.6 3.5 b（3）根据（2）的结果，你认为甲，乙两班哪个班级成绩更好？写出你的理由．26．（8分）（2023•亭湖区校级三模）为深入学习贯彻党的二十大精神，某校开展了以“学习二十大，永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了八、九年级部分学生的分数，过程如下：收集数据：从该校八、九年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中九年级的分数如下：81 83 84 8586 87 87 88 89 90 92 92 93 95 95 95 99 99 100 100整理、分析数据如下表：分数x80⩽x＜85 85⩽x＜90 90⩽x＜95 95⩽x⩽100 八年级人数 4 6 2 8九年级人数 3 a 4 7年级平均数中位数众数方差八年级91 89 97 40.9九年级91 b c33.2根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）样本数据中，八年级甲同学和九年级乙同学的分数都为90分，哪位同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前？哪个年级分数较整齐？（说明理由）（3）如果八年级共有400人参赛，求该年级分数不低于95分的学生约有多少人．27．（8分）（2023•海门市二模）气象学上，将某一天及其前后各两天的“日平均气温”的平均数称为“5天滑动平均气温”，由这两种数值可以确定“入夏日”．例如：2021年某地区从5月27日起，“5天滑动平均气温”首次连续5天大于或等于22℃，其中5月26日的“日平均气温”是月27日及其前后各两天中第一个大于或等于22℃的，则5月26日便是2021年该地区的“入夏日”．已知该地区2022年“入夏日”为图中的某一天，请根据统计图回答问题：（1）求2022年5月27日的“5天滑动平均气温”；（2）直接写出2022年的“入夏日”；（3）某人说：“该地区2022年的春天比2021年长．”你认为这样的说法正确吗？为什么？（该地区2021年、2022年的入春日分别是3月23日和3月8日）28．（8分）（2022秋•广陵区校级期末）为了巩固我县创建“省级卫生城市”成果，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A、B、C、D四个等级，对应的分数依次为100分、90分、80分、70分．学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制如图的统计图：（1）把这一班竞赛成绩统计图补充完整；（2）根据下表填空：a＝；b＝；c＝；平均数（分）中位数（分）众数（分）一班a b90二班87.6 80 c（3）请从平均数和中位数或众数中任选两个对这次竞赛成绩的结果进行分析．。

数据的集中趋势与离散程度

数据的集中趋势与离散程度数据在现代社会中扮演着重要的角色，它们不仅可以揭示事物的本质和规律，还可以为决策提供支持。

在数据分析中，我们经常会关注数据的集中趋势和离散程度，这些指标能够帮助我们更好地理解数据的特征和分布。

本文将探讨数据的集中趋势和离散程度，并介绍一些常用的统计量和方法。

一、集中趋势集中趋势是描述数据分布中心位置的指标，它能够反映数据的平均水平。

常见的集中趋势统计量有均值、中位数和众数。

均值是数据的算术平均值，它是将所有数据相加后再除以数据个数得到的结果。

均值能够反映数据的总体水平，但受极端值的影响较大。

例如，一个班级的学生年龄平均值是15岁，但如果班级中有一个20岁的学生，那么平均值就会被拉高。

因此，在计算均值时需要注意数据的分布情况。

中位数是将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。

中位数能够较好地反映数据的中心位置，不受极端值的影响。

例如，一个班级的学生年龄中位数是14岁，即有一半学生的年龄小于等于14岁，另一半学生的年龄大于等于14岁。

众数是数据中出现次数最多的数值。

众数能够反映数据中的典型值，但可能存在多个众数或无众数的情况。

例如，一个班级的学生身高众数是160cm，即身高为160cm的学生最多。

二、离散程度离散程度是描述数据分布的分散程度的指标，它能够反映数据的波动情况。

常见的离散程度统计量有范围、方差和标准差。

范围是数据的最大值与最小值之间的差异。

范围能够简单地反映数据的离散程度，但容易受极端值的影响。

例如，一个班级的学生成绩范围是60分到100分，范围为40分，但如果有一个学生得了0分或者满分150分，范围就会变得不够准确。

方差是数据与均值之间差异的平方的平均值。

方差能够较好地反映数据的离散程度，但计算过程较为繁琐。

方差越大，数据的离散程度越高。

例如，一个班级的学生成绩方差为100，说明学生成绩波动较大。

标准差是方差的平方根，它与方差具有相同的度量单位。

标准差能够在方差的基础上更好地理解数据的离散程度。

数据的集中趋势和离散程度知识点

数据的集中趋势和离散程度知识点文章一：《啥是数据的集中趋势？》朋友们，咱今天来聊聊数据的集中趋势。

比如说，咱班这次考试的成绩。

要是大部分同学都考了 80 分左右，那 80 分就可能是这个成绩数据的集中趋势。

再比如，咱去菜市场买菜。

一堆苹果，大多数都在半斤左右，那半斤就是这堆苹果重量数据的集中趋势。

像平均数、中位数和众数，都是能帮咱找到数据集中趋势的好帮手。

就拿平均数来说，一家人一个月的水电费，把所有费用加起来除以天数，得到的那个数就是平均数，能大概反映出这家人每天用水电的平均情况。

数据的集中趋势能让咱一下子就明白一堆数据的中心在哪儿，是不是挺有用？文章二：《走进数据的集中趋势》亲爱的小伙伴们，今天咱们来探索一下数据的集中趋势。

想象一下，学校运动会上，大家跑步的时间。

如果很多同学都在2 分钟左右跑完，那 2 分钟差不多就是跑步时间这个数据的集中趋势啦。

还有，大家一起收集树叶，看看树叶的大小。

要是多数树叶的面积都差不多，那这个差不多的大小就是树叶面积数据的集中趋势。

咱举个例子哈，一个班级同学的身高，把所有人的身高加起来除以人数，得到的那个数就是平均身高。

这个平均身高就能让咱知道这个班同学大概的身高水平。

再比如说，一组数字 3、5、5、7、8，这里面 5 出现的次数最多，那 5 就是众数，也是这组数据的集中趋势之一。

所以说，了解数据的集中趋势能帮咱快速抓住重点，是不是很有意思？文章三：《数据的集中趋势，你懂了吗？》朋友们好呀！今天咱们要说的数据的集中趋势，其实不难理解。

比如说，咱们去超市买零食，看各种零食的价格。

要是大部分零食都在 5 块钱左右，那 5 块钱就是这些价格数据的集中趋势。

再比如，咱们统计一个月里每天的气温。

如果有好多天的气温都在 25 度上下，那 25 度就可能是这个气温数据的集中趋势。

就拿咱班同学的零花钱来说吧，把大家的零花钱都加起来，再除以人数，算出来的那个数就是平均零花钱。

通过这个平均零花钱，咱能大概知道同学们零花钱的一般情况。

数据的集中趋势和离散程度

数据的集中趋势和离散程度作者：***来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2020年第06期客觀事物带有各种信息，这些信息的表现形式和载体叫作数据.例如，测量温度、湿度、气压、风力、风向等所产生的各种记录，都是研究气象问题离不开的数据，统计过程主要分为三步：第一步是收集数据;第二步是整理数据，即对收集的原始数据进行整理、加工，从中提取出数据的代表;第三步是分析数据，即通过数据的代表研究数据中蕴涵的规律，从而研究已发生的事或预测将发生的事.一、数据的集中趋势分析数据时，通常关注“一组数据围绕哪个中心数值分布”.这个问题关系到一组数据的平均水平或一般情况，对发现事物的内在规律有重要参考价值，在统计学中，把一组数据向某一中心数值靠拢的情形，称为这组数据的集中趋势，为描述数据的集中趋势，可以选择不同的数据代表.如果从数据取值大小的角度描述，可用平均数作为数据代表：如果从数据排列位置的角度描述，可用中位数作为数据代表;如果从不同数据出现次数的角度描述，可用众数作为数据代表.这三个数据代表从不同角度反映数据的集中趋势，它们各有各的作用，分别适合于不同情况的数据分析.例1 为比较A，B两个玉米品种，将它们分别种植在面积相等的多块试验田中，每块试验田只种一种玉米，下表记录了两种玉米收获后的产量分布情况.表中第一行为单块试验田产量，下面两行分别为A，B两个品种中与第一行产量对应的试验田的块数.根据表中的数据解答下列问题：（1）分别求A，B两种玉米单块试验田产量的平均数，并说明其意义;（2）分别求A.B两种玉米单块试验田产量的中位数，并说明其意义：（3）分别求A，B两种玉米单块试验田产量的众数，并说明其意义.解：（1）从表中可知.A种玉米单块试验田产量（单位：kg）为700，750，800，850，900，950的试验田块数分别为4，20，26，20，18 ，12.通过计算加权平均数，得A种玉米单块试验田产量的平均数为XA=832 kg.同理，B种玉米单块试验田产量的平均数为xB≈ 827 kg.从计算结果可知，在单块试验田平均产量上A比B高5 kg.加权平均数与通常的算术平均数本质相同，即n个数之和除以n的结果，只是加权平均数计算起来更简捷.（2）将A的全部单块试验田产量（共100个）从小到大依次排列，相同的数据重复写，这100个数据中处于正中间位置的是第50个数据800和第51个数据850，这两数的平均数（800+850）÷2=825为A种玉米单块试验田产量的中位数，将B的全部单块试验田产量（共99个）从小到大依次排列，相同的数据重复写，这99个数据中处于正中间位置的是第50个数据850，它为B种玉米单块试验田产量的中位数.从计算结果可知，A的数据中小于825的和大于825的各占50个;B的数据中第50个数据850之前和之后的数据各占49个.这说明825 kg和850 kg可以分别作为A，B两种玉米单块试验田产量的中等水平的代表.中位数可以不是原始数据.排序时既可以从小到大，也可以从大到小，两种排法找出的中位数相同.（3）A的全部数据（共100个）中，出现次数最多的是800 kg（26次），800 kg即这组数据的众数.B的全部数据（共99个）中，出现次数最多的是800 kg（25次）和850 kg （25次），800 kg和850 kg都是这组数据的众数.从计算结果可知，虽然各块试验田中产量不尽相同，但也可能有规律存在，即在一般情形下，A的单块试验田产量是800 kg的可能性较大，B的单块试验田产量是800 kg或850 kg的可能性较大.可以看出，一组数据的众数可能是一个，也可能不止一个.众数是原始数据中的数据.平均数是最常用的一个数据代表，它通常能反映一组数据的平均水平.平均数的计算，要用到原始数据中的每一个数据.因此，一组数据中如有极端值（与多数数据相比过大或过小的个别数据）时，极端值可能对平均数影响较大.这种情形下如仍用平均数作为数据代表，往往与多数数据的大小产生较大偏差，不能恰如其分地反映一组数据的中心数值，这时，选择中位数或众数作为数据代表，或更能客观地反映一组数据的中心数值，例2 下表为某地9月份每天空气中细颗粒物（即PM 2.5）的测定值及相应的天数.（1）分别求表中数据的平均数、中位数和众数.（2）所得的平均数能客观反映该地9月份空气中细颗粒物的含量吗？解：（l）平均数约为34.9 yg/m3，中位数为24μg/m3，众数为24 μg/m3.（2）观察表中数据不难发现，30天中有29天的测定值都不超过25 μg/m3，它们与平均数差距较大;30天中只有1天的测定值360μLg/m3远高过平均数，这可能是由于一次突发事故造成了空气严重污染.显然，因为有360这个极端值，才使得平均数的值很大.如果以平均数34.9 μg/m3作为数据代表，则不能客观反映该地9月份空气中细颗粒物含量的一般状况.而以中位数或众数24μg/m3作为数据代表，则能较好地反映客观实际.二、数据的离散程度“一组数据中各个数据与这组数据的中心数值的偏离程度有多大？”这是数据分析所关注的另一个主要问题，由它能从整体上描述这组数据的聚散状态.在统计学中，把一组数据中各个数据与这组数据的中心数值的偏离程度，称为这组数据的离散程度或离中程度.它反映一组数据大小的波动状态，从而描述了这组数据的稳定性.方差是表示离散程度的常用数据代表，它的计算方法是，先计算一组数据的平均数，再计算各数据与所得平均数之差的平方和，最后用所得平方和除以这组数据的个数，这个结果被用于反映一组数据与平均数的偏离程度，对数据的变化幅度给予了定量的刻画.例3 分别计算例1中A.B两组数据的方差，由所得方差你能看出哪种可能性？解：s2=4 876，s2≈5 061.从两个方差看，B的略大于A的，即B的数据比A的数据的离散程度略高，也即B的数据起伏略大，而A的数据相对来说略为稳定.同学们可能会想：为什么计算方差要用各数据与平均数之差的平方和？如果直接把各数据与平均数之差相加岂不更简单？一般情况下，一组数据中可能有些数据比平均数大，有些数据比平均数小.如果直接用它们减平均数，则这些差会有正有负，如果再把这些差相加，就会出现正负相抵，例如，一组数据为2，2，3，3，4，4，其平均数为3，各数据与平均数之差分别为一1，-1，0，0，1，1.这些差之和为0.但这并不意味着这组数据都是紧靠平均数的.使用各数据与平均数之差的平方和，则利用了平方的非负性，防止做加法时出现正负相抵而隐藏了相关数据对平均数的偏离.方差名称中的“方”正是“平方”的简称.你也许会问：为什么不用差的绝对值，而要用差的平方来分析离散程度呢？直接用绝对值不是也可以避免出现负数吗？不使用绝对值，是因为取绝对值在运算上要考虑差的正负，取差的平方则不需要考虑差的符号，而且只要四则运算即可获得避免正负相抵的效果.所以人们选择用差的平方来计算方差.观察下图，图1中数据的方差应大于图2中数据的方差，这一结论可通过测量距离或运用方差公式计算来证明.。

第06讲数据的集中趋势和离散程度(6大考点)(原卷版)

第06讲数据的集中趋势和离散程度（6大考点）考点考向一．算术平均数（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，x n ，则＝（x1+x2+…+x n）就叫做这n个数的算术平均数．（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．二．加权平均数（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，x n的权分别是w1，w2，w3，…，w n，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．三．计算器平均数（1）如果是普通计算器，那么只能把所有的数字相加，然后除以数字的个数．（2）如果是科学记算器，那么可以用如下方法：①调整计算器的模式为STAT模式．②依次输入数据，每次输入数据后按DATA键确认数据的输入．③输入完毕后，按x¯键，即可获得平均数了．（3）由于计算器的型号不同，可以按照说明书中的方法进行操作．四．中位数（1）中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．五．众数（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．六．方差（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n ﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．考点精讲一．算术平均数（共3小题）1．（2022•泗阳县一模）若a、b、c的平均数为7，则a+1、b+2、c+3的平均数为（）A．7B．8C．9D．102．（2022•淮安）一组数据3、﹣2、4、1、4的平均数是．3．（2022•张家港市一模）对于三个数a，b，c用M{a，b，c}表示a ，b，c这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示a，b，c这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}＝＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1．（1）若M{x﹣1，﹣5，2x+3}＝（1+3x），求x的值；（2）是否存在一个x的值，使得M{2x，2﹣x，3}＝×min{﹣1，0，4x+1），若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．二．加权平均数（共2小题）4．（2022•如皋市二模）小林参加学校举办的“五四最美少年”主题演讲比赛，他的演讲资料、语言表达、形象风度、综合印象得分分别为85分，70分，80分，80分．若学校将上面的四项依次按照40%，40%，10%，10%的占比计算总成绩（百分制），则小林的总成绩是（）A．80分B．79分C．78分D．77分5．（2022•邳州市一模）3月14日是国际数学节，为迎接数学节，某学校3月份举办“数学嘉年华之手抄报评比活动”，对甲、乙、丙、丁四组候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如下表，如果按照创新性占60%，丰富性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（）项目作品甲乙丙丁创新性90959090丰富性90909585A．甲B．乙C．丙D．丁三．计算器平均数（共1小题）6．（2020•海门市校级模拟）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据75输入为15，那么所求出的平均数与实际平均数的差是（）A．2.5B．2C．1D．﹣2四．中位数（共4小题）7．（2022•宿豫区二模）已知一组数据：1、4、2、3、4，这组数据的中位数是（）A．1B．2C．3D．48．（2022•泗洪县三模）某市三月份连续7天的最高气温依次是：18，15，16，15，16，18.19（单位：℃），则这组数据的中位数是（）A．19B．18C．17D．169．（2022秋•兴化市月考）随机抽取某小吃店一周的营业额（单位：元）如下表：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日54068064064078011101070（1）分析数据，填空：这组数据的平均数是元，中位数是元．（2）估计一个月的营业额（按30天计算）；①星期一到星期五营业额相差不大，用这5天的平均数估算合适么：.（填“合适”或“不合适”）②选择一个你认为最合适的数据估算这个小吃店一个月的营业额．10．（2022•丰县二模）某校将学生体质健康测试成绩分为A、B、C、D四个等级，对应分数分别为4分、3分、2分、1分．为了解学生整体体质健康状况，拟抽样120人进行统计分析．（1）以下是三种抽样方案：甲方案：随机抽取七年级男、女生各60人的体质健康测试成绩．乙方案：随机抽取七、八、九年级男生各40人的体质健康测试成绩．丙方案：随机抽取七、八、九年级男生、女生各20人的体质健康测试成绩．你认为较为合理的是方案（选填甲、乙、丙）；（2）按照合理的抽样方案，将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图统计图．①这组数据的中位数是分；②请求出这组数据的平均数；③小明的体质健康测试成绩是C等级，请你结合以上数据，对小明的体质健康状况做出评价，并给出一条合理的建议．五．众数（共4小题）11．（2022春•宿豫区期中）已知一组数据：14、16、15、16、17，这组数据的众数是（）A．14B．15C．16D．1712．（2022•南通）为了了解八年级学生本学期参加社会实践活动的天数情况，A，B两个县区分别随机抽查了200名八年级学生，根据调查结果绘制了统计图表，部分图表如下：A，B两个县区的统计表平均数众数中位数A县区 3.8533B县区 3.854 2.5（1）若A县区八年级共有约5000名学生，估计该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天的学生约为名；（2）请对A，B两个县区八年级学生参加社会实践活动的天数情况进行比较，作出判断，并说明理由．13．（2022•徐州）如图，下列装在相同的透明密封盒内的古钱币，其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及质量，例如：钱币“文星高照”密封盒上所标“45.4*2.8mm，24.4g”是指该枚古钱币的直径为45.4mm，厚度为2.8mm，质量为24.4g．已知这些古钱币的材质相同．根据图中信息，解决下列问题．（1）这5枚古钱币，所标直径的平均数是mm，所标厚度的众数是mm，所标质量的中位数是g；（2）由于古钱币无法从密封盒内取出，为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错，桐桐用电子秤测得每枚古钱币与其密封盒的总质量如下：名称文星高照状元及第鹿鹤同春顺风大吉连中三元总质量/g58.758.155.254.355.8盒标质量24.424.013.020.021.7盒子质量34.334.142.234.334.1请你应用所学的统计知识，判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，并计算该枚古钱币的实际质量约为多少克．14．（2022•钟楼区校级模拟）2022年3月，新冠疫情突袭常州，社会各界众志成城，共同抗疫．严酷战疫中，我们又一次感受到祖国的强大，口罩也成为人们防护防疫的必备武器．钟楼区某药店有2500枚口罩准备出售，从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（1）图①中m的值为；（2）统计的这组数据的平均数为，众数为，中位数为；（3）根据样本数据，估计这2500枚口罩中，价格为2.0元的约有为多少枚？六．方差（共5小题）15．（2022秋•盐都区月考）某班学期末对考核成绩进行统计，结果显示甲、乙两组的平均成绩相同，但S甲2＜S乙2，则考核成绩比较稳定的是（）A．甲组B．乙组C．甲、乙两组一样稳定D．无法确定16．（2022秋•兴化市月考）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为9.0环，方差分别为s甲2＝0.63，s乙2＝0.51，s丙2＝0.42，s丁2＝0.48，则四人中成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁17．（2022•江都区二模）某信息咨询机构从A和B两家外卖快送公司分别抽取了20名骑手的月收入进行了一项抽样调查，骑手的月收入（单位：千元）如图所示：根据以上信息，整理分析数据如下：（1）完成表格填空；平均月收入/千元中位数/千元众数/千元方差/千元2A公司①6③ 1.2B公司 5.5②5④（2）根据以上数据，若小张想从这两家外卖快送公司中选择一家应聘骑手，你会推荐哪家公司，请说明理由．18．（2022•崇川区一模）为让全校学生牢固树立爱国爱党的崇高信念，某校近期开展了形式多样的党史学习教育活动．在党史知识竞赛中，八、九年级各有300名学生参加，现随机抽取两个年级各20名学生的成绩进行整理分析，得到如表信息：a．表1九年级20名学生的成绩（百分制）统计表8280979194727191857094789275979291928398b．表2九年级抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差统计表年级平均数中位数方差九年级86a86.3 c．随机抽取八年级20名学生的成绩的中位数为88，方差为83.2，且八、九两个年级抽取的这40名学生成绩的平均数是84.5．请根据以上信息，回答下列问题：（1）在表2中，a的值等于；（2）求八年级这20名学生成绩的平均数；（3）你认为哪个年级的成绩较好？试从两个不同的角度说明推断的合理性．19．（2022•海门市二模）峰峰老师为了解所教1班、2班同学们（各有40名学生）的经典文化知识掌握情况，从两个班级中各随机抽取10名学生进行了检测，成绩（百分制）如下：1班：79，85，73，80，75，59，87，70，75，97．2班：92，45，80，82，72，81，94，83，70，81．峰峰老师的简要分析：平均分众数中位数方差1班7875779642班7881811704请你解决以下问题：（1）若对这两个班级的所有学生都进行检测，估计这两个班级内成绩为优秀（不少于80分）的学生一共有多少人？（2）比较这两个班级的经典文化知识掌握情况，哪个班级更好些？并说明理由（至少从两个不同的角度比较）．巩固提升一、单选题1．（2021·沭阳县怀文中学）已知一组数据85，80，x，90的平均数是85，那么x等于（）A．80B．85C．90D．952．（2021·江苏苏州·）为增强学生的环保意识，共建绿色文明校园．某学校组织“废纸宝宝旅行记”活动．经统计，七年级5个班级一周回收废纸情况如下表；班级一班二班三班四班五班废纸重量（kg） 4.5 4.4 5.1 3.3 5.7则每个班级回收废纸的平均重量为（）A．5kg B．4.8kg C．4.6kg D．4.5kg3．（2021·江苏盐城市·景山中学九年级月考）截止2021年3月，“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄分别为：29，27，31，31，31，29，29，31，则由年龄组成的这组数据的众数是（）A．27 B．29 C．30 D．314．（2021·连云港市新海实验中学九年级）小明对居住在某小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图，这组数据的众数和中位数分别是（）A．6，4 B．6，6 C．4，4 D．4，65．（2021·连云港市新海实验中学）某校九（1）班语文课代表统计了去年1～8月“我爱读书”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，在这组课外阅读数量的数据中，中位数和众数分别是（）A．53，56 B．53，63 C．56，56 D．56，636．（2021·连云港市新海实验中学）我校开展了“好书伴我成长”读书活动，为了解5月份九年级学生的读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示，下列说法正确的是（）册数0 1 2 3 4人数 4 12 16 17 1A ．众数是17B ．中位数是2C ．平均数是2D ．方差是2二、填空题 7．（2021·江苏九年级）已知一组数据：1，3，a ，8，10的平均数是5，则a ＝___．8．（2020·江苏九年级期末）在本赛季CBA 比赛中，某运动员最后六场的得分情况如下：17,15,21,28,12,19,则这组数据的极差为_______．9．下列数据1，3，5，5，6，2的极差是______．10．（2021·江苏镇江·）一组数据2，3，1，6，3的平均数为_____．11．（2021·江苏）一组数据1x 、2x 、…、n x 的方差是0.8，则另一组数据11x +、21x +、…、1n x +的方差是________．三、解答题12．（2021·苏州市吴江区青云中学九年级月考）保障房建设是民心工程．某市从2008年开始加快保障房建设进程．现统计了该市2008年到2012年这5年新建保障房情况，绘制成如图所示的折线统计图和不完整的条形统计图．（1）小丽看了统计图后说：“该市2011年新建保障房的套数比2010年少了．”你认为小丽的说法正确吗？请说明理由；（2）请补全条形统计图；（3）求这5年平均每年新建保障房的套数．13．（2021·江苏镇江·九年级）学校组织学生参加科普知识问答竞赛，每班抽25名同学参加比赛，成绩分别为A ，B ，C ，D 四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘成统计图，如图所示：（1）将一班竞赛成绩统计图补充完整；（2）求出二班竞赛成绩的平均数；（3）若八一班共有40人，请根据本次调查结果，估计八一班得分在80分以上（含80分）的人数．14．（2021·江苏）下表是某地某个月中午12时的气温（单位：℃）的统计数据．某地某个月中午12时的气温频数分布表组别气温分组频数方法指导数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数，例如：第1小组1216x ≤<的组中值为1216142+=．根据频数分布表求加权平均数时，统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权．根据统计的数据，回答下列问题：（1）该地该月中午12时的气温的中位数落在第_________组内；（2）求该地该月中午12时的平均气温．15．（2021·仪征市实验初中九年级月考）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”，为了解学生参加体育活动的情况，调查了某校八年级甲、乙两班学生每天参加体育锻炼的时间，并将调查结果制成如下的频数分布表和频数分布直方图（数据包括左端点不包括右端点）．甲班学生每天参加体育活动时间频数分布表分组（单位： h）频数t≤< 200.5t≤<100.51t≤<141 1.5t≤<121.52t≤< 22 2.5请你根据图表所提供的信息解答下列问题：（1）如果每天在校体育活动时间不低于1小时为“达标”，求甲班学生每天在校体育活动时间的达标率；（2）乙班学生每天参加体育活动时间的中位数落在哪一组？（3）请选择一个适当的统计量，对甲、乙两班学生每天参加体育活动的时间进行评价．16．（2021·江苏玄武区·九年级期中）某校举办了一次题为“致敬最美逆行者”的演讲比赛．甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图如图（学生成绩均为整数）：（1）根据以上信息，填空：组别平均数/分中位数/分方差/分2甲7 2.8乙7（2）如果学校准备选派其中一组参加区级比赛，你认为选派哪一组参赛更好？为什么？17．（2021·江苏）2020年12月4日是第七个国家宪法日，也是第三个“宪法宣传周”．甲、乙两班各选派5名学生参加学校宪法知识竞赛（满分100分），成绩如下：甲班：96，92，94，97，96；乙班：90，98，97，98，92．通过数据分析，列表如下：（1）a=________，b=________，c=________；（2）如果要从这两个班中选择一个班的学生代表学校参加市宪法知识竞赛，你认为选哪个班的学生更合适？为什么？18．（2021·江苏泰州中学附属初中九年级）某校组建了射击兴趣小组，甲、乙两人连续8次射击成绩如下列图、表所示（统计图中乙的第8次射击成绩缺失）．甲、乙两人连续8次射击成绩统计表平均成绩（环）中位数（环）方差（2环）甲_______ 7.5 _______乙 6 _______ 3.5（1）补全统计图和统计表；（2）如果你是教练，要从甲、乙两人中选一位参加比赛，你会选谁？写出你这样选择的2条理由．19．（2021·江苏徐州市·中考真题）某市近年参加初中学业水平考试的人数（以下简称“中考人数”）的情况如图所示．根据图中信息，解决下列问题：（1）这11年间，该市中考人数的中位数是______________万人；（2）与上年相比，该市中考人数增加最多的年份是____________年；（3）下列选项中，与该市2022年中考人数最有可能接近的是（）A. 12.8万人；B. 14.0万人；C. 15.3万人（4）2019年上半年，该市七、八、九三个年级的学生总数约为（）A. 23.1万人；B. 28.1万人；C. 34.4万人（5）该市2019年上半年七、八、九三个年级的数学教师共有4000人，若保持数学教师与学生的人数之比不变，根据（3）（4）的结论，该市2020年上半年七、八、九三个年级的数学教师较上年同期增加多少人（结果取整数）？20．（2021·江苏南通·中考真题）某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．甲、乙两种西瓜得分表序号 1 2 3 4 5 6 7甲种西瓜（分）75 85 86 88 90 96 96乙种西瓜（分）80 83 87 90 90 92 94甲、乙两种西瓜得分统计表平均数中位数众数甲种西瓜88 a 96乙种西瓜88 90 b（1）a=___________，b=___________；（2）从方差的角度看，___________种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．。