快速傅里叶变换(FFT)原理及源程序
快速傅里叶变换 FFT
因为
，所以：
上式中X1(k)和X2(k)分别为x2(r)和x2(r)的N/2点DFT， 即
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且 X(k)又可表示为：
，以
即将一个N点的DFT分解成为两个N/2点的DFT。 上述运算可用右下图来表示，称为蝶形运算符号。
从右图可知，要完成一 个蝶形运算需要进行一 次复数相乘和两次复数 相加运算。
对于象雷达、通信、声纳等需要实时处理的信号， 因为其运算量更大，所以无法满足信号处理的实时 性要求。迫切需要有新的算法。
二、DFT运算的特点
实际上，DFT运算中包含有大量的重复运算。在WN
矩阵中，虽然其中有N2个元素，但由于WN的周期
性，其中只有N个独立的值，即
，且
这N个值也有一些对称关系。总之，WN因子具有如 下所述周期性及对称性：
N 1
X (k) x(n)WNkn n0
x(n)
1 N
N 1
X (k)WNkn
k 0
k 0,1,2, , N 1 n 0,1,2, , N 1
计算X(k)的运算量：需要N2次复数乘法，N(N－1)
次复数加法。在N较大时计算量很大。
例如：N＝1024时, 需要1,048,576次复数乘法, 即 4,194,304次实数乘法
1.对称性
2.周期性 由上述特性还可得出：
利用上述对称特性，可使DFT运算中有些项可以合 并，这样，可使乘法次数减少大约一半；利用WN 矩阵的对称性及周期性，可以将长序列的DFT分解 为短序列的DFT，N越小，运算量能够减少。 例如，对于四点的DFT，直接计算需要16次复数乘 法，根据上述特性可以有以下形5年，J. W. Cooley和J. W. Tukey巧妙应用DFT中 W因子的周期性及对称性提出了最早的FFT，这是 基于时间抽取的FFT。具有里程碑式的贡献(运算量 缩短两个数量级)
快速傅里叶变换fft的c程序代码实现
快速傅里叶变换fft的c程序代码实现标题：一种高效实现快速傅里叶变换(FFT)的C语言程序代码导言：快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种在信号处理、图像处理、通信系统等领域广泛应用的重要算法。
它通过将输入信号从时域转换到频域，实现了对信号的频谱分析和频率成分提取。
在实际应用中，为了获得高效的FFT计算过程，我们需要使用合适的算法和优化技巧，并将其转化为高质量的C语言代码。
本文将介绍一种基于Cooley-Tukey算法的快速傅里叶变换的C语言程序代码实现。
我们将从原理开始详细讲解FFT算法，然后逐步引入代码实现的步骤，并进行相关优化。
我们将总结整个实现过程，并分享一些个人对FFT算法的理解和观点。
一、快速傅里叶变换（FFT）的原理（1）傅里叶级数与离散傅里叶变换傅里叶级数是将一个周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的和的方法。
然而，实际数字信号往往是离散的。
我们需要离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）来对离散信号进行频谱分析。
（2）DFT的定义及其计算复杂度离散傅里叶变换通过对离散信号的变换矩阵进行乘法运算，得到其频谱表示。
然而，直接使用定义式计算DFT的时间复杂度为O(N^2)，其中N为信号长度，这对于大规模信号计算是不可接受的。
（3）引入快速傅里叶变换 (FFT)Cooley-Tukey算法是一种最常用的FFT算法，通过将DFT分解为多个较小规模的DFT计算来降低计算复杂度。
FFT的时间复杂度为O(NlogN)，大大提高了计算效率。
二、快速傅里叶变换（FFT）的C语言实现（1）算法流程和数据结构设计以一维FFT为例，我们需要定义合适的数据结构来表示复数和存储输入输出信号，同时设计实现FFT的主要流程。
（2）递归实现方法递归实现是最直观的FFT实现方法，基于Cooley-Tukey算法的思想。
将输入信号分为偶数和奇数两部分，然后递归计算它们的FFT。
FFT的算法原理应用
FFT的算法原理应用FFT（快速傅里叶变换）是一种用于计算傅里叶变换的算法，它通过分治法和迭代的方式，将O(n^2)时间复杂度的离散傅里叶变换（DFT）算法优化到O(nlogn)的时间复杂度。
FFT算法在信号处理、图像处理、通信系统等领域应用广泛。
1.算法原理：FFT算法的核心思想是将一个长度为n的序列分解为两个长度为n/2的子序列，然后通过递归的方式对子序列进行FFT计算。
在将子序列的FFT结果合并时，利用了傅里叶变换的对称性质，即可以通过递归的方式高效地计算出整个序列的FFT结果。
具体来说，FFT算法可以分为升序计算和降序计算两个过程。
升序计算是将原始序列转换为频域序列的过程，而降序计算则是将频域序列转换回原始序列的过程。
在升序计算中，序列的奇数项和偶数项被分开计算，而在降序计算中，FFT结果被奇数项和偶数项的和和差重新组合成原始序列。
2.算法应用：2.1信号处理：FFT算法在数字信号处理中广泛应用，可以将信号从时域转换为频域，从而实现滤波、降噪、频谱分析等操作。
例如，在音频处理中，可以利用FFT算法对音频信号进行频谱分析，从而实现声音的等化处理或实时频谱显示。
2.2图像处理：FFT算法在图像处理中也有重要的应用。
图像的二维傅里叶变换可以将图像从空间域转换为频域，从而实现图像的频域滤波、频域增强等操作。
例如，可以通过对图像进行傅里叶变换，找到图像中的频域特征，进而实现图像的降噪、边缘检测等功能。
2.3通信系统：FFT算法在通信系统中也有广泛应用，特别是在OFDM （正交频分复用）系统中。
OFDM系统可以将高速数据流分成多个低速子流，然后利用FFT对每一个子流进行频域调制，再通过并行传输的方式将它们叠加在一起。
这样可以提高信号的传输效率和容量，降低频率的干扰。
2.4数据压缩：FFT算法在数据压缩领域也得到了广泛应用。
例如，在JPEG图像压缩算法中，就使用了离散余弦变换（DCT），它可看做是FFT的一种变种。
快速傅里叶变换FFT算法源码经典
快速傅里叶变换FFT算法源码经典以下是一个经典的快速傅里叶变换（FFT）算法的源码，包含详细的注释解释每个步骤的作用。
```pythonimport cmath#递归实现快速傅里叶变换def fft(x):N = len(x)#基本情况：如果输入向量只有一个元素，则直接返回该向量if N <= 1:return x#递归步骤：#将输入向量分成两半even = fft(x[0::2]) # 偶数索引的元素odd = fft(x[1::2]) # 奇数索引的元素T = [cmath.exp(-2j * cmath.pi * k / N) * odd[k] for k in range(N // 2)]#组合结果return [even[k] + T[k] for k in range(N // 2)] + \[even[k] - T[k] for k in range(N // 2)]#逆傅里叶变换def ifft(X):N = len(X)#将输入向量取共轭X_conj = [x.conjugate( for x in X]#应用快速傅里叶变换x_conj = fft(X_conj)#将结果取共轭并归一化return [(x.conjugate( / N).real for x in x_conj]#示例测试if __name__ == "__main__":x=[1,2,3,4]X = fft(x)print("快速傅里叶变换结果：", X)print("逆傅里叶变换恢复原始向量：", ifft(X))```这个源码实现了一个经典的快速傅里叶变换（FFT）算法。
首先，`fft`函数实现了递归的快速傅里叶变换，接收一个输入向量`x`作为参数，返回傅里叶变换后的结果`X`。
如果输入向量只有一个元素，则直接返回。
否则，将输入向量分成两半，分别对偶数索引和奇数索引的元素递归应用FFT。
快速傅里叶变换多项式乘法
快速傅里叶变换多项式乘法快速傅里叶变换（FFT）是一种快速计算多项式乘法的算法。
在计算机科学中，多项式乘法是一个十分广泛的问题，因为它有很多应用，例如信号处理、密码学、图像处理、数据压缩等等。
FFT算法的出现解决了这个问题的时间复杂度，使得计算大型多项式乘法成为了可行的任务。
1. FFT算法的原理和步骤 FFT算法是一种基于分治思想的算法，它把多项式乘法分解成两个较小的多项式乘法，然后以递归的方式继续分解直到小到可以直接计算的程度。
FFT算法的主要步骤如下：Step 1：将两个多项式的系数表达式分别展开，组成两个系数向量，由于向量在FFT算法中的操作更加方便，因此将分别展开出的系数给予两个向量。
Step 2：给向量补齐空缺值，由于$n$（两多项式次数之和）为$2$的幂，于是补齐至$2^n$个。
Step 3：对向量进行傅里叶变换，得到两个傅里叶变换向量。
这一步可以利用DFT（离散傅里叶变换）或IDFT （离散傅里叶逆变换）实现。
具体实现方式后续详细介绍。
Step 4：将两个傅里叶变换向量逐位相乘（注意：乘法运算是复数乘法，不是单纯的数乘），得到一个新的傅里叶变换向量。
Step 5：对新的傅里叶变换向量进行傅里叶逆变换（IDFT），得到的结果就是最后的多项式系数向量。
2. DFT的计算及优化思路DFT（离散傅里叶变换）是FFT算法中的重要计算基础，因此，如何快速准确地计算离散傅里叶变换的值是至关重要的。
对于长度为$n$的一个序列$a$，它的DFT计算公式如下：$$A(k)=\sum _{j=0}^{n-1}a(j)\cdot e^{-i2\pikj/n}$$其中$i$表示虚数单位，$e$表示自然常数，$k$表示频率，$j$表示时间，$n$表示序列长度。
根据公式，可以采用暴力枚举的方式计算出$A(k)$的值，但是时间复杂度达到$O(n^2)$，很不适合计算大量数据。
于是，FFT算法采用了一种基于蝴蝶运算的DFT优化方式，能够将时间复杂度降到$O(nlog(n))$：如果序列的长度为偶数，可以将序列分成两个序列，再分别进行DFT；如果序列长度是奇数，则可以将序列复制一份，增加一个零元素，然后将序列分成两部分，分别进行DFT的计算。
FFT算法设计(含程序设计)
FFT算法设计（含程序设计）简介快速傅里叶变换（FFT）是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）的算法，它的运算复杂度是O(nlogn)。
FFT在信号处理、图像处理、通信以及其他领域中广泛应用。
本文将介绍FFT算法的原理，并给出一个简单的FFT算法的程序设计示例。
FFT算法原理FFT算法基于DFT的性质，通过利用对称性和周期性，将一个长度为n的序列划分为多个规模较小的子序列，并对其进行逐步变换，最终得到整个序列的傅里叶变换结果。
FFT算法的核心思想是分治法，即将一个长度为n的序列划分为两个长度为n/2的子序列，然后对子序列分别进行FFT变换，再进行组合得到原序列的DFT。
具体的步骤如下：1. 如果n=1，DFT即为序列本身；2. 将长度为n的序列划分为两个长度为n/2的子序列，分别为序列A和序列B；3. 对序列A进行FFT变换得到A的傅里叶变换结果；4. 对序列B进行FFT变换得到B的傅里叶变换结果；5. 将A和B的傅里叶变换结果按照以下公式组合得到原序列的傅里叶变换结果：![FFT公式]()FFT算法程序设计示例下面是一个使用语言实现的简单FFT算法的程序设计示例：import cmathdef fft(x):N = len(x)if N <= 1:return xeven = fft(x[0::2])odd = fft(x[1::2])T = [cmath.exp(-2j cmath.pi k / N) odd[k] for k in range(N // 2)]return [even[k] + T[k] for k in range(N // 2)] + [even[k] T[k] for k in range(N // 2)]测试代码x = [1, 2, 3, 4]X = fft(x)print(X)以上代码实现了一个递归版本的FFT算法。
输入序列x为长度为2的幂次的复数序列，输出序列X为其傅里叶变换结果。
fft的计算原理
fft的计算原理FFT（Fast Fourier Transform）是一种高效地计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）的算法。
FFT能够将一个时域上的离散信号转换到频域上，并可以用于信号分析、滤波、图像处理以及编码等领域。
FFT的计算原理可以从两个角度来讲解：一是从离散傅里叶变换（DFT）的定义出发，二是从FFT的具体计算过程中各个步骤的推导和实现。
首先，从DFT的定义出发，对一个离散信号x(n)进行DFT计算，可以得到其频域表示X(k)，表示为：X(k) = Σ(x(n) * exp(-j2πkn/N))其中，N为信号的长度，k为频域采样点的索引，n为时域采样点的索引。
直接按照DFT的定义计算的复杂度是O(N^2)，当信号长度很大时，计算量非常大。
FFT算法通过对DFT的变换矩阵进行分解，将复杂度降低到O(NlogN)。
然后，从FFT的具体计算过程中各个步骤的推导和实现来看。
以下是常见的快速傅里叶变换算法，即Cooley-Tukey算法的计算过程：1. 将信号x(n)分为两个部分：偶数索引部分x_e(n)和奇数索引部分x_o(n)，分别由原信号的偶数索引和奇数索引采样得到。
2. 对x_e(n)和x_o(n)分别进行FFT计算，得到频域表示X_e(k)和X_o(k)。
3. 将得到的频域表示X_e(k)和X_o(k)按照以下公式合并得到最终的频域表示X(k)：X(k) = X_e(k) + W_N^k * X_o(k)其中，W_N^k = exp(-j2πk/N)为旋转因子，可由欧拉公式得到。
4. 重复以上步骤，直到计算得到所有频域采样点的值。
以上就是FFT算法的基本原理和计算过程。
通过对信号进行分解和合并的方式，FFT算法能够大大减少计算量，快速地计算得到离散信号的频域表示。
后续还有一些对FFT算法进行改进和优化的方法，如快速傅里叶变换的再加工算法（Radix-2 FFT Algorithm）以及快速余弦和正弦变换（Fast Cosine and Sine Transform）等。
试说明快速傅里叶变换的基本思路和原理
快速傅里叶变换的基本思路和原理一、引言快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换。
它通过将DFT计算中的复杂度从O(N^2)降低到O(N log N)，极大地提高了计算效率，成为信号处理、图像处理、通信等领域中的重要工具。
本文将介绍快速傅里叶变换的基本思路和原理，主要包括分治策略、递归实施、周期性和对称性、蝶形运算、高效算法等方面。
二、分治策略快速傅里叶变换的基本思路是将原问题分解为若干个子问题，通过对子问题的求解，逐步递归地得到原问题的解。
这种分治策略的思想来源于算法设计中的“分而治之”原则，即将一个复杂的问题分解为若干个较小的、简单的问题来处理。
在FFT中，分治策略将DFT的计算过程分为多个步骤，逐步简化问题规模，最终实现高效的计算。
三、递归实施递归是实现分治策略的一种常用方法。
在快速傅里叶变换中，递归地实施分治策略，将问题规模不断缩小，直到达到基本情况（通常是N=1或2），然后逐步推导到原问题。
递归实施使得FFT算法的代码简洁明了，易于实现和理解。
同时，递归也使得算法能够利用计算机的存储器层次结构，将计算过程中的中间结果存储起来，避免重复计算，进一步提高计算效率。
四、周期性和对称性在快速傅里叶变换中，利用了离散傅里叶变换的周期性和对称性。
周期性是指DFT的结果具有周期性，即对于输入序列x[n]，其DFT的结果X[k]具有N的周期性。
对称性是指DFT的结果具有对称性，即对于输入序列x[n]，其DFT的结果X[k]具有对称性。
这些性质在FFT算法中得到了广泛应用，它们有助于简化计算过程，提高计算效率。
例如，在蝶形运算中，利用周期性和对称性可以避免某些不必要的计算，从而减少运算量。
五、蝶形运算蝶形运算是快速傅里叶变换中的基本运算单元。
它利用离散傅里叶变换的周期性和对称性，将多个复数相加和相乘组合在一起，形成一个类似蝴蝶形状的运算流程。
蝶形运算的复杂度为O(log N)，是实现快速傅里叶变换的关键步骤之一。
fft的用法 -回复
fft的用法-回复FFT，即快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform），是一种高效的信号处理算法，用于快速计算傅里叶变换。
它广泛应用于数字信号处理、图像处理、通信和音频处理等领域。
在本文中，我将详细介绍FFT的原理、算法步骤以及应用。
一、傅里叶变换简介傅里叶变换是一种将信号从时域转换为频域的数学工具，它可以将一个信号分解为不同频率成分的叠加。
傅里叶变换公式为：F(w) = ∫f(t)e^(-jwt)dt其中，F(w)表示频域的复数函数，f(t)表示时域的函数，w为频率。
二、快速傅里叶变换原理FFT算法是在1965年由J.W. Cooley和J.W. Tukey发现的，它利用了傅里叶变换的对称性质，将O(n^2)复杂度的计算降低为O(nlogn)的复杂度。
FFT算法通过将信号采样点划分为不同的子集进行计算，并利用了旋转因子运算的特性，实现了快速的计算。
三、FFT算法步骤1. 输入信号首先，我们需要准备一个输入信号，该信号是以时间为自变量的实数函数。
通常，我们会对信号进行采样，得到一组离散的采样点。
2. 信号的长度针对采样点的数量，我们需要确定信号的长度为N。
在实际应用中，为了确保FFT的正确性，通常会选择2的整数次幂，即N=2^k。
3. 填充零如果信号的长度小于N，我们需要对其进行零填充，使其长度等于N。
这样做是为了保证FFT算法的正确性以及计算的高效性。
4. 快速傅里叶变换采用分治法的思想，FFT算法将信号分为两个子集，并分别计算它们的频谱。
然后，通过合并这些子集的结果以及旋转因子的运算，得到整个信号的频谱。
5. 频谱结果最后，我们可以得到信号的频谱结果，它表示了信号中不同频率成分的振幅和相位。
四、FFT的应用1. 音频处理在音频处理中，FFT被广泛应用于音频信号的频谱分析、波形绘制和滤波处理等方面。
通过FFT算法，我们可以将音频信号转化为频域表示，实现音频特征提取、音频识别以及音频效果的处理。
快速傅里叶变换 (FFT) 实现
§2.4 快速傅里叶变换 (FFT) 实现一、实验目的 1. 掌握FFT 算法的基本原理；2. 掌握用C 语言编写DSP 程序的方法。
二、实验设备 1. 一台装有CCS3.3软件的计算机； 2. DSP 实验箱的TMS320F2812主控板；3. DSP 硬件仿真器。
三、实验原理傅里叶变换是一种将信号从时域变换到频域的变换形式，是信号处理的重要分析工具。
离散傅里叶变换（DFT ）是傅里叶变换在离散系统中的表示形式。
但是DFT 的计算量非常大， FFT 就是DFT 的一种快速算法, FFT 将DFT 的N 2 步运算减少至 ( N/2 )log 2N 步。
离散信号x(n)的傅里叶变换可以表示为∑=-=10][)(N N nk N W n x k X ， Nj N e W /2π-=式中的W N 称为蝶形因子，利用它的对称性和周期性可以减少运算量。
一般而言，FFT 算法分为时间抽取（DIT ）和频率抽取（DIF ）两大类。
两者的区别是蝶形因子出现的位置不同，前者中蝶形因子出现在输入端，后者中出现在输出端。
本实验以时间抽取方法为例。
时间抽取FFT 是将N 点输入序列x(n) 按照偶数项和奇数项分解为偶序列和奇序列。
偶序列为：x(0), x(2), x(4),…, x(N-2)；奇序列为：x(1), x(3), x(5),…, x(N-1)。
这样x(n) 的N 点DFT 可写成：()()∑++∑=-=+-=12/0)12(12/02122)(N n kn NN n nkNW n x Wn x k X考虑到W N 的性质，即2/)2//(22/)2(2][N N j N j N W e e W ===--ππ因此有：()()∑++∑=-=-=12/02/12/02/122)(N n nkN kNN n nkN W n x W Wn x k X或者写成：()()k Z W k Y k X kN +=)(由于Y(k) 与Z(k) 的周期为N/2，并且利用W N 的对称性和周期性，即：k NN k N W W -=+2/可得：()()k Z W k Y N k X kN -=+)2/(对Y(k) 与Z(k) 继续以同样的方式分解下去，就可以使一个N 点的DFT 最终用一组2点的DFT 来计算。
快速傅里叶变换(FFT)原理及源程序
《测试信号分析及处理》课程作业快速傅里叶变换一、程序设计思路快速傅里叶变换的目的是减少运算量，其用到的方法是分级进行运算.全部计算分解为M 级，其中N M 2log =；在输入序列()i x 中是按码位倒序排列的，输出序列()k X 是按顺序排列；每级包含2N 个蝶形单元，第i 级有i N 2个群,每个群有12-i 个蝶形单元； 每个蝶形单元都包含乘r N W 和r N W -系数的运算，每个蝶形单元数据的间隔为12-i ，i 为第i 级； 同一级中各个群的系数W 分布规律完全相同。
将输入序列()i x 按码位倒序排列时,用到的是倒序算法—-雷德算法。
自然序排列的二进制数，其下面一个数总比上面的数大1，而倒序二进制数的下面一个数是上面一个数在最高位加1并由高位向低位仅为而得到的。
若已知某数的倒序数是J ，求下一个倒序数，应先判断J 的最高位是否为0,与2N k =进行比较即可得到结果。
如果J k >，说明最高位为0，应把其变成1，即2N J +，这样就得到倒序数了。
如果J k ≤，即J 的最高位为1，将最高位化为0,即2N J -,再判断次高位；与4N k =进行比较，若为0,将其变位1,即4N J +，即得到倒序数，如果次高位为1，将其化为0，再判断下一位……即从高位到低位依次判断其是否为1，为1将其变位0,若这一位为0,将其变位1，即可得到倒序数。
若倒序数小于顺序数，进行换位，否则不变，防治重复交换,变回原数。
注:因为0的倒序数为0,所以可从1开始进行求解。
二、程序设计框图（1）倒序算法——雷德算法流程图（2)FFT算法流程三、FFT源程序void fft(x，n）int n；double x[]；{int i，j，k，l,m，n1，n2;double c,c1，e，s,s1，t,tr；for（j=1,i=1;i<n/2；i++）{ m=i；j=2＊j;if（j==n)break；｝ //得到流程图的共几级n1=n-1;for(j=0,i=0;i〈n1;i++）{if（i<j) //如果i<j,即进行变址{tr=x[j］;x[j]=x［i］；x［i]=tr;}k=n/2; //求j的下一个倒位序while(k〈（j+1)）//如果k<（j+1)，表示j 的最高位为1{j=j-k; //把最高位变成0k=k/2；//k/2，比较次高位，依次类推，逐个比较,直到某个位为0 }j=j+k; //把0改为1 }for(i=0；i〈n；i+=2）｛tr=x［i];x［i］=tr+x[i+1];x［i+1］=tr—x［i+1］;}n2=1；for(l=1；l〈=m；l++） // 控制蝶形结级数{n4=n2;n2=2＊n4;n1=2＊n2；e=6。
快速傅里叶变换FFT原理及源程序
快速傅里叶变换FFT原理及源程序快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是一种高效的计算傅里叶变换的算法。
在信号处理、图像处理、通信等领域中广泛应用。
它的原理基于傅里叶变换的线性性质和周期性质，通过分治的思想将傅里叶变换的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算的效率。
下面是FFT算法的一种实现：1.假设需要计算N点离散傅里叶变换（DFT），将N分解为N=N1*N2，其中N1和N2都是正整数。
这里采用的分解方法是使得N1为2的幂次，N2为能被2整除的数。
2.将原始序列x[n]的下标按照奇偶分为两组，分别得到x1[n]和x2[n]。
3.对x1[n]和x2[n]分别进行N1点的DFT计算，得到X1[k]和X2[k]。
4. 根据蝴蝶（Butterfly）算法，将得到的X1[k]和X2[k]重新组合成X[k]，具体操作如下：- 对于每一个k，X[k] = X1[k] + W_Nk * X2[k]，其中W_Nk是旋转因子，满足W_Nk = exp(-i * 2 * π * k / N)，i是虚数单位，π是圆周率。
-对于每一个k，X[k+N/2]=X1[k]-W_Nk*X2[k]。
5.重复步骤2至4，直到计算完成。
最终得到的X[k]就是原始序列x[n]的N点DFT。
下面是一个简单的FFT的源程序（使用Python实现）：```pythonimport cmathdef fft(x):N = len(x)if N == 1:return xeven = fft(x[0::2])odd = fft(x[1::2])X=[0]*Nfor k in range(N // 2):W_Nk = cmath.exp(-2j * cmath.pi * k / N) X[k] = even[k] + W_Nk * odd[k]X[k + N // 2] = even[k] - W_Nk * odd[k] return X#测试示例x=[0,1,2,3,4,5,6,7]X = fft(x)print(X)```。
快速傅里叶变换的原理
快速傅里叶变换的原理一、前言快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算傅里叶变换的方法，它的应用广泛，如信号处理、图像处理、数值分析等领域。
本文将详细介绍快速傅里叶变换的原理。
二、傅里叶变换在介绍快速傅里叶变换之前，我们需要先了解傅里叶变换。
傅里叶变换是将一个信号在时域上的函数转化为在频域上的函数，它可以将信号分解成不同频率的正弦波和余弦波组成的谱。
具体来说，对于一个连续时间函数f(t)，它的傅里叶变换F(ω)定义为：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，j为虚数单位，ω为角频率。
对于一个离散时间函数f(n)，它的傅里叶变换F(k)定义为：F(k) = Σf(n)e^(-j2πkn/N)其中，N为采样点数。
三、暴力计算傅里叶变换直接使用定义式计算离散时间信号的傅里叶变换需要进行N^2次复杂度的计算，这种方法被称为暴力计算。
当N很大时，计算量会非常大，因此需要寻找更高效的算法。
四、快速傅里叶变换快速傅里叶变换是一种高效的计算离散时间信号的傅里叶变换的方法。
它的基本思想是将一个长度为N的离散时间信号分解成两个长度为N/2的子信号，然后递归地对子信号进行FFT计算，最终将两个子信号合并成一个长度为N的信号。
具体来说，假设我们要计算一个长度为N的离散时间信号f(n)的FFT变换F(k)，其中k=0,1,2,...,N-1。
我们可以将f(n)分解成两个长度为N/2的子信号：f_even(n) = f(2n)f_odd(n) = f(2n+1)然后对f_even(n)和f_odd(n)分别进行FFT计算：F_even(k) = FFT(f_even(n))F_odd(k) = FFT(f_odd(n))最后将F_even(k)和F_odd(k)合并成F(k)，其中：F(k) = F_even(k) + e^(-j2πk/N)*F_odd(k)F((k+N/2)%N) = F_even(k) - e^(-j2πk/N)*F_odd(k)其中，e^(-j2πk/N)*F_odd(k)被称为旋转因子。
C++基础（快速傅里叶变换（FFT）源代码）
为了看明⽩那堆积分变换，不得不把复变函数扫了⼀遍，可看完了，才发现原来这堆变换说⽩了只是⼀些数字游戏，Examda提⽰: 也没⽤到啥复变函数的知识。
最后，⽤C++程序实现了下FFT，也算告⼀段落，代码如下： #include #include #include using namespace std; const double PI = 3.14159265358979323846; int n; // 数据个数 = 2的logn次⽅ int logn; /// 复数结构体 struct stCompNum { double re; double im; }; stCompNum* pData1 = NULL; stCompNum* pData2 = NULL; /// Examda提⽰: 正整数位逆序后输出 int reverseBits(int value, int bitCnt) { int i; int ret = 0; for(i=0; i { ret |= (value & 0x1) << (bitCnt - 1 - i); value >>= 1; } return ret; } void main() { ifstream fin("data.txt"); int i,j,k; // input logn fin>>logn; // calculate n for(i=0, n=1; i // malloc memory space pData1 = new stCompNum[n]; pData2 = new stCompNum[n]; // input raw data for(i=0; i>pData1[i].re; for(i=0; i>pData1[i].im; // FFT transform int cnt = 1; for(k=0; k { for(j=0; j { int len = n / cnt; double c = - 2 * PI / len; for(i=0; i { int idx = len * j + i; pData2[idx].re = pData1[idx].re + pData1[idx + len/2].re; pData2[idx].im = pData1[idx].im + pData1[idx + len/2].im; } for(i=len/2; i { double wcos = cos(c * (i - len/2)); double wsin = sin(c * (i - len/2)); int idx = len * j + i; stCompNum tmp; tmp.re = pData1[idx - len/2].re - pData1[idx].re; tmp.im = pData1[idx - len/2].im - pData1[idx].im; pData2[idx].re = tmp.re * wcos - tmp.im * wsin; pData2[idx].im = tmp.re * wsin + tmp.im * wcos; } } cnt <<= 1; stCompNum* pTmp = NULL; pTmp = pData1; pData1 = pData2; pData2 = pTmp; } // resort for(i=0; i { int rev = reverseBits(i, logn); stCompNum tmp; if(rev > i) { tmp = pData1[i]; pData1[i] = pData1[rev]; pData1[rev] = tmp; } } // output result data for(i=0; i cout< for(i=0; i cout< // free memory space delete []pData1; delete []pData2; fin.close(); system("pause"); } 输⼊⽂件data.txt的内容如下： 4 2.2 4.5 6.7 8.5 10.2 12.3 14.5 16.2 19.3 21.2 25.2 29.4 36.4 39.2 45.2 50.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0。
快速傅立叶变换(fft)
快速傅立叶变换(fft)快速傅里叶变换(FFT)是一种广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理、科学数据处理等领域的数学算法。
它可以将时域信号（即时序信号）转换成频域信号，便于对信号进行分析和处理，以便更好地理解和应用信号的特征。
FFT算法的提出的历史非常悠久。
早在1809年，法国数学家Poisson和Laplace就提出了一些有关傅里叶级数的理论。
1965年，J.W. Cooley和J.W. Tukey等人发布了经典的Cooley-Tukey FFT算法，从而大幅提升了FFT的效率，使其利于实际应用。
FFT的原理是将一个离散的、周期性的时域信号，通过离散傅里叶变换（DFT，或称为“离散频谱分析”）、快速卷积公式等方法，转换成一个频域的信息序列，包含了原信号在复平面上的所有幅度、相位信息。
通过FFT转换后的频域信息，可以较容易地对信号进行频谱分析、滤波、变换和还原等处理过程。
FFT算法具有众多的优势。
首先，FFT算法可以将时间复杂度从O(N*N)大幅降低为O(N log N)，大大提高了数据处理的速度。
其次，FFT算法在数字信号处理领域中拥有广泛的应用，如用于信号重构、信号滤波、降噪、音频处理等等。
此外，由于FFT所得到的频域信号表达了各个频率波形的信息，因此可以在多个领域中运用，例如图像的快速变换、高质量视频文件传输等等。
不过，FFT算法也存在不少的局限性，其中最常见的就是其对时间步骤的依赖，并且对于非周期信号的处理效果可能不够理想。
此外，FFT算法对于像素点的数量是有要求的，不能过少或过多，过少的话会导致数据量太少，过多的话会导致计算机内存爆炸，计算时间也会变得非常长。
综上所述，虽然FFT算法存在着一定的局限性，但是其作为一种广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理、科学数据处理等领域的数学算法，其高速、准确、可靠等优点，还是使其得到了广泛的应用。
如果在使用FFT算法时能充分了解其原理和应用场景，遵循其设计规范，就可以更好地发挥出其优势，提高数据处理的效率，为人们生产生活带来更多便利。
FFT-C快速傅里叶变换超级详细的原代码
快速傅立叶变换（FFT）的C++实现收藏标准的离散傅立叶DFT 变换形式如：y k=Σj=0n-1a jωn-kj = A (ωn-k).（ωn k为复数1 的第k 个n 次方根，且定义多项式A (x)=Σj=0n-1a j x j）而离散傅立叶逆变换IDFT (Inverse DFT)形式如：a j=(Σk=0n-1y kωn kj)/n .yk=Σj=0n-1 ajωn-kj = A (ωn-k).（ωnk 为复数1 的第k 个n 次方根，且定义多项式 A (x) = Σj=0n-1 ajxj ）而离散傅立叶逆变换IDFT (Inverse DFT)形式如：aj=(Σk=0n-1 ykωnkj)/n .以下不同颜色内容为引用并加以修正：快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是离散傅立叶变换（Discrete Fourier transform，DFT）的快速算法，它是根据离散傅立叶变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。
它对傅立叶变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。
设Xn 为N 项的复数序列，由DFT 变换，任一Xi 的计算都需要N 次复数乘法和N -1 次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N 项复数序列的Xi ，即N 点DFT 变换大约就需要N2 次运算。
当N =1024 点甚至更多的时候，需要N2 = 1048576 次运算，在FFT 中，利用ωn 的周期性和对称性，把一个N 项序列（设N 为偶数），分为两个N / 2 项的子序列，每个N / 2点DFT 变换需要(N / 2)2 次运算，再用N 次运算把两个N / 2点的DFT 变换组合成一个N 点的DFT 变换。
快速傅里叶变换的原理及公式
快速傅里叶变换的原理及公式快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种基于分治策略的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的高效算法。
FFT算法的基本原理是利用对称性和周期性来减少计算量，将O(n^2)的复杂度降低到O(nlogn)。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，能够将信号拆分成不同频率的正弦和余弦波的叠加。
傅里叶变换的计算公式为：X(k) = Σ(x(n) * e^(-2πikn/N))其中，X(k)表示频域上第k个频率的幅度和相位，x(n)表示时域上第n个采样点的值，N表示采样点的总数。
该公式根据欧拉公式展开，可以得到正弦和余弦函数的和的形式。
FFT算法的核心思想是将DFT的计算分解成多个较小规模的DFT计算，并通过递归进行计算。
它利用了信号的对称性和周期性，将2个互为共轭的频率分量合并成一个复数，从而减少计算量。
FFT算法的具体过程如下：1.如果采样点数N不是2的幂次，则通过添加零补足为2的幂次，得到一个新的序列x'(n)。
2.如果序列的长度为1，即N=1，则返回序列x'(n)。
3.将x'(n)分为两个长度为N/2的子序列x1(n)和x2(n)。
4.使用递归调用FFT算法计算x1(n)的DFT结果X1(k)和x2(n)的DFT结果X2(k)。
5.根据DFT的定义，计算输出DFT序列X(k)。
-对于k=0，X(0)=X1(0)+X2(0)-对于k=1至N/2-1，X(k)=X1(k)+W_N^k*X2(k)-对于k=N/2至N-1其中W_N^k = e^(-2πik/N)，是旋转因子。
6.返回DFT结果X(k)。
通过将FFT算法应用于信号处理、图像处理、语音识别等领域，可以大大加速傅里叶变换的计算过程，提高算法的效率和性能。
总结起来，快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，可以将信号从时域转换到频域，通过利用信号的对称性和周期性，将DFT的计算复杂度从O(n^2)降低到了O(nlogn)。
实验八-快速傅立叶变换(FFT)实验
实验七 快速傅立叶变换（FFT ）实验一 实验目的1． 熟悉CCS 集成开发环境；2． 了解FFT 的算法原理和基本性质；3． 熟悉DSP 中cmd 文件的作用及对它的修改；4． 学习用FFT 对连续信号和时域信号进行频谱分析的方法；5． 利用DSPLIB 中现有的库函数；6． 了解DSP 处理FFT 算法的特殊寻址方式；7． 熟悉对FFT 的调试方法。
二 实验内容本实验要求使用FFT 变换对一个时域信号进行频谱分析，同时进行IFFT 。
这里用到时域信号可以是来源于信号发生器输入到CODEC 输入端，也可以是通过其他工具计算获取的数据表。
本实验使用Matlab 语言实现对FFT 算法的仿真，然后将结果和DSP 分析的结果进行比较，其中原始数据也直接来自Matlab 。
三 实验原理一个N 点序列][k x 的DFT ][m X ,以及IDFT 分别定义为：1,,1,0,][][10-==∑-=N m W k x m X km NN k 1,,1,0,][1][10-==--=∑N k W m X N k x km N N m如果利用上式直接计算DFT,对于每一个固定的m,需要计算N 次复数乘法，N-1次加法,对于N 个不同的m,共需计算N 的2次方复数乘法,N*(N-1)次复数加法.显然,随着N 的增加,运算量将急剧增加, 快速傅里叶算法有效提高计算速度（本例使用基2 FFT 快速算法）,利用FFT 算法只需(N/2)logN 次运算。
四 知识要点 .1、 CMD 文件的功能及编写2、 一种特殊的寻址方式：间接寻址间接寻址是按照存放在某个辅助寄存器的16位地址寻址的。
C54x 的8个辅助寄存器（AR0—AR7）都可以用来寻址64K 字数据存储空间中的任何一个存储单元。
3、 TMS320C54x DSPLIB 中关于FFT 变换的一些函数的调用（SPRA480B.pdf ）利用DSPLIB 库时，在主程序中要包含头文件：54xdsp.lib4、 FFT 在CCS 集成开发环境下的相关头文件#include <type.h> //定义数据类型的头文件#include <math.h> //数学函数的头文件，如sqrt.#include <tms320.h> //定义数据类型的头文件#include <dsplib.h> // DSPLIB库文件五实验程序说明1、实验主要函数/***************************正变换*************************************/cbrev(x,x,NX/2); //倒序rfft(x,64,0); //实数FFT变换//求频谱由于FFT程序计算得到的数据只是频谱的实部和虚部，不包含计算幅度谱的//成分（所以描述DSP的参数中给出计算N点FFT的时间，是指不含计算幅度谱的时间），//因此要得到幅度频谱，必须另外增加程序语句来实现。
快速傅里叶变换fft算法程序原理
快速傅里叶变换fft算法程序原理快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法是一种高效的离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）计算方法。
它的发展历程可以追溯到1805年，由法国数学家傅里叶提出的傅里叶级数理论奠定了基础。
然而，直到20世纪60年代，Cooley 和Tukey才发现了FFT算法中的重要技巧，将其计算复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)，从而使FFT算法在实际应用中成为可能。
FFT算法的原理基于傅里叶变换的思想，将时域上的信号转换为频域上的表示。
在信号处理领域，傅里叶变换可以将一个信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加，得到该信号在不同频率上的幅度和相位信息。
而DFT是傅里叶变换的离散形式，将连续信号转换为离散信号，常用于数字信号处理。
FFT算法的核心思想是将DFT问题分解为多个规模较小的DFT问题，并利用递归的方式进行计算。
具体来说，对于长度为N的序列，FFT算法将其分为两部分，分别计算奇数下标和偶数下标的序列的DFT，然后再将这两部分序列的DFT合并，得到最终结果。
将长度为N的序列划分为两个长度为N/2的子序列，称为偶数部分和奇数部分。
然后对这两部分序列分别进行FFT计算，得到它们的频域表示。
接下来，将得到的频域表示合并，得到长度为N的序列的频域表示。
合并的过程是通过乘以旋转因子来实现的。
旋转因子由欧拉公式给出，可以表示为e^(-2πik/N)，其中k为频域上的下标，N为序列长度。
通过乘以旋转因子，可以将奇数部分的频域表示与偶数部分的频域表示合并成整体的频域表示。
在合并过程中，需要注意到旋转因子具有周期性，即e^(-2πik/N) = e^(-2πi(k+N)/N)。
因此可以利用这个性质，将合并过程中的计算量减半。
具体来说，将序列的长度N分为两部分，分别计算相邻下标的频域表示，然后再将这两部分的频域表示依次合并，直到得到最终结果。
快速傅里叶变换法(FFT)
FFT 程序设计报告快速傅里叶变换法（FFT ）是离散傅立叶变换的一种快速计算方法，它能使N 点DFT 的乘法计算量由N 2次降为N N2log 2次。
下图是采样点数为8点FFT 时间抽取算法信号流图，本程序也是以这种形式设计的。
程序设计的基本思路是在程序开始时刻要求输入采样点数，如果采样点数是2的整数次方（不包括0次方），则要求输入采样点的数值，并根据采样点数分配响应的数组大小，计算迭代次数。
然后对采样点进行逆二进制排序，再按上图所示的算法进行计算，程序流程图如下图所示：本程序运用VC 语言对程序进行设计，下面分别对程序设计中复数类的应用，判断和求迭代次数，逆二进制排序，蝶形运算进行具体说明。
1． 复数类的应用C 语言本身并不包含复数数据类型，但C 语言可以根据需要定义自己的数据类型，本程序定义了一个复数结构体complex ，包括实部real 和虚部img 两部分，代码如下： typedef struct { double real; double img; }complex;在FFT 程序设计中，复数类主要被用来计算两复数的加法和乘法以及旋转因子Wk N，其中Nj NW/2π-=，式中N=2的m+1次方，m 代表计算流图的第m 级，而k 代表第k 次蝶形运算，由于C 中的math.h 函数库中没有带参数的复数运算函数，所以本程序编写了带参数的复数运算cw(double x,double y)，用于计算Nj NW/2π-=，设计的基本思路，首先把e 的次幂用欧拉公式化成三角函数，然后化复数乘法和除法运算为几个复数基本单元的加法运算和除法运算，其中运算的次数由函数输入参量double x 决定。
函数mul(complex x1, complex x2)用于计算复数的乘运算。
2． 判断和求迭代次数本程序编写iternumb(int numb)函数对采样点数进行判断，如果采样点数不符合2的整数次方或采样点数为1或0，则跳出程序，程序设计基本思路是对输入采样点数的十进制形式进行模2运算和除法运算，在除法运算结果大于1之前，一旦模2运算的结果等于1，则说明输入采样点数不符合要求，而如果符合要求，则把出发结果存入数组当中，函数代码如下：int iternumb(int numb) {int iternumb1=0;if((numb==0)||(numb==1)) {printf("numb error!\n"); exit(0); }while ((numb!=0)&&(numb!=1)) {if (numb%2) {printf("numb error!\n"); exit(0); }numb=numb/2;iternumb1=iternumb1+1; }return iternumb1; }3． 码位倒置在逆二进制排序程序中，设置for 循环分别将输入数据数组input[i]的索引号i 进行模2运算，所得的结果按逆序存入inverse[ ]数组（存入inverse[ ]数组的顺序是从数组尾部开始）。
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《测试信号分析及处理》课程作业快速傅里叶变换一、程序设计思路快速傅里叶变换的目的是减少运算量，其用到的方法是分级进行运算。
全部计算分解为M 级，其中N M 2log =；在输入序列()i x 中是按码位倒序排列的，输出序列()k X 是按顺序排列；每级包含2N 个蝶形单元，第i 级有i N 2个群，每个群有12-i 个蝶形单元； 每个蝶形单元都包含乘r N W 和r N W -系数的运算，每个蝶形单元数据的间隔为12-i ，i 为第i 级； 同一级中各个群的系数W 分布规律完全相同。
将输入序列()i x 按码位倒序排列时，用到的是倒序算法——雷德算法。
自然序排列的二进制数，其下面一个数总比上面的数大1，而倒序二进制数的下面一个数是上面一个数在最高位加1并由高位向低位仅为而得到的。
若已知某数的倒序数是J ，求下一个倒序数，应先判断J 的最高位是否为0，与2N k =进行比较即可得到结果。
如果J k >，说明最高位为0，应把其变成1，即2N J +，这样就得到倒序数了。
如果J k ≤，即J 的最高位为1，将最高位化为0，即2N J -，再判断次高位；与4N k =进行比较，若为0，将其变位1，即4N J +，即得到倒序数，如果次高位为1，将其化为0，再判断下一位……即从高位到低位依次判断其是否为1，为1将其变位0，若这一位为0，将其变位1，即可得到倒序数。
若倒序数小于顺序数，进行换位，否则不变，防治重复交换，变回原数。
注：因为0的倒序数为0，所以可从1开始进行求解。
二、程序设计框图（1）倒序算法——雷德算法流程图(2)FFT算法流程三、FFT源程序void fft(x,n)int n;double x[];{int i,j,k,l,m,n1,n2;double c,c1,e,s,s1,t,tr;for(j=1,i=1;i<n/2;i++){ m=i;j=2*j;if(j==n)break;} //得到流程图的共几级n1=n-1;for(j=0,i=0;i<n1;i++){if(i<j) //如果i<j,即进行变址{tr=x[j];x[j]=x[i];x[i]=tr;k=n/2; //求j的下一个倒位序while(k<(j+1)) //如果k<(j+1),表示j的最高位为1{j=j-k; //把最高位变成0k=k/2; //k/2，比较次高位，依次类推，逐个比较，直到某个位为0}j=j+k; //把0改为1 }for(i=0;i<n;i+=2){tr=x[i];x[i]=tr+x[i+1];x[i+1]=tr-x[i+1];}n2=1;for(l=1;l<=m;l++) // 控制蝶形结级数{n4=n2;n2=2*n4;n1=2*n2;e=6./n1;for(i=0;i<n;i+=n1) //控制同一蝶形结运算，即计算系数相同蝶形结{tr=x[i];x[i]=tr+x[i+n2];x[i+n2]=tr-x[i+n2];x[i+n2+n4]=-x[i+n2+n4];a=e;for(j=2;j<=(n4-1);j++) //控制计算不同种蝶形结，即计算系数不同的蝶形结{i1=i+j;i2=i-j+n2;i3=i+j+n2;i4=i-j+n1;cc=cos(a);ss=sin(a);a=a+e;t1=cc*x[i3]+ss*x[i4];t2=ss*x[i3]-cc*x[i4];x[i4]=x[i2]-t2;x[i3]=-x[i2]-t2;x[i2]=x[i1]-t1;x[i1]=x[i1]+t1;}}}四、计算实例及运行结果设输入序列)(i x 为)1,...,2,1,0(,200sin )(-=∆=n i t i i x π其离散傅里叶变换为)1,...,2,1,0(,)()(10-==∑-=n k W i x k X N i ik N 这里n j e W π2-=。
选n=512,计算离散傅里叶变换)(k X 。
所用软件为T urbo c 2.0，操作界面如图1所示图1 T urbo c 2.0操作界面程序运行结束后的界面如图2所示图2 程序运行后的界面例子的具体程序如下：#include<math.h>#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#define pi 3.void fft(x,n)int n;double x[];{int i,j,k,l,i1,i2,i3,i4,n4,m,n1,n2;double a,e,cc,ss,tr,t1,t2;for(j=1,i=1;i<n/2;i++){ m=i;j=2*j;if(j==n)break;}n1=n-1;for(j=0,i=0;i<n1;i++){if(i<j){tr=x[j];x[j]=x[i];x[i]=tr;}k=n/2;while(k<(j+1)){j=j-k;k=k/2;}j=j+k;}for(i=0;i<n;i+=2){tr=x[i];x[i]=tr+x[i+1];x[i+1]=tr-x[i+1];}n2=1;for(l=1;l<=m;l++){n4=n2;n2=2*n4;n1=2*n2;e=6./n1;for(i=0;i<n;i+=n1){tr=x[i];x[i]=tr+x[i+n2];x[i+n2]=tr-x[i+n2];x[i+n2+n4]=-x[i+n2+n4];a=e;for(j=2;j<=(n4-1);j++){i1=i+j;i2=i-j+n2;i3=i+j+n2;i4=i-j+n1;cc=cos(a);ss=sin(a);a=a+e;t1=cc*x[i3]+ss*x[i4];t2=ss*x[i3]-cc*x[i4];x[i4]=x[i2]-t2;x[i3]=-x[i2]-t2;x[i2]=x[i1]-t1;x[i1]=x[i1]+t1;}}}}main(){FILE *p;int i,j,n;double dt=0.001;double x[512];p=fopen("d:\123.c","w");n=512;for(i=0;i<n;i++){x[i]=sin(200*pi*i*dt);}for(i=0;i<n;i++){ fprintf(p,"%10.7f",x[i]);fprintf(p,"\n");printf("%10.7f",x[i]);printf("\n");}fft(x,n);fprintf(p,"\n DISCRETE FOURIER TRANSFORM\n");printf("\n DISCRETE FOURIER TRANSFORM\n");fprintf(p,"%10.7f",x[0]);printf("%10.7f",x[0]);fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f\n",x[1],x[n-1]);printf("%10.7f+J%10.7f\n",x[1],x[n-1]);for(i=2;i<n/2;i+=2){fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f",x[i],x[n-i]);fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f",x[i+1],x[n-i-1]);fprintf(p,"\n");printf("%10.7f+J%10.7f",x[i],x[n-i]);printf("%10.7f+J%10.7f",x[i+1],x[n-i-1]);printf("\n");}fprintf(p,"%10.7f",x[n/2]);printf("%10.7f",x[n/2]);fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f\n",x[n/2-1],-x[n/2+1]);for(i=2;i<n/2;i+=2){fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f",x[n/2-i],-x[n/2+i]);fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f",x[n/2-i-1],-x[n/2+i+1]);fprintf(p,"\n");printf("%10.7f+J%10.7f",x[n/2-i],-x[n/2+i]);printf("%10.7f+J%10.7f",x[n/2-i-1],-x[n/2+i+1]);printf("\n");}}将程序运行后所得数据绘制成曲线图（其中FFT变换的数据要先取绝对值后再画图）如下由上图可知，变换后的图开在频率100Hz处出现一个峰值，这与理论上的结果一致。