自动控制原理 状态空间法
自动控制原理课件8状态空间分析法
1 2 3
解析法
通过解状态方程和输出方程，得到系统的状态和 输出响应。
数值法
采用数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等， 对状态方程和输出方程进行离散化求解，得到系 统的离散时间响应。
线性时不变系统的性质
分析线性时不变系统的稳定性、可控性和可观测 性等性质，为系统设计和控制提供依据。
状态空间模型的求解方法
在处理高阶系统时，计算量较大，需要借助计算机进行数值计算。 在实际应用中，可能需要对系统进行适当的简化或近似处理，以降低
计算复杂度和提高计算效率。
状态空间分析法的优势与局限性
01 02 03 04
局限性
对于非线性系统和时变系统，建立状态空间模型可能较为复杂。
在处理高阶系统时，计算量较大，需要借助计算机进行数值计算。 在实际应用中，可能需要对系统进行适当的简化或近似处理，以降低
描述输入对状态变量的影响。
状态方程的建立
状态变量的选择
选择系统的状态变量，通常基于系统 的物理性质和动态特性进行选择。
建立状态方程
根据状态变量和系统的动态特性，建 立状态方程，描述系统内部状态的变
化规律。
确定系统矩阵
根据状态方程，确定系统矩阵A和B， 其中A描述状态变量的时间导数，B
描述输入对状态变量的影响。
计算复杂度和提高计算效率。
02 状态空间模型的建立
02 状态空间模型的建立
状态方程的建立
状态变量的选择
选择系统的状态变量，通常基于系统 的物理性质和动态特性进行选择。
建立状态方程
根据状态变量和系统的动态特性，建 立状态方程，描述系统内部状态的变
化规律。
确定系统矩阵
根据状态方程，确定系统矩阵A和B， 其中A描述状态变量的时间导数，B
自动控制原理状态空间法
目录
• 引言 • 状态空间法基础 • 线性系统的状态空间表示 • 状态反馈与极点配置 • 最优控制理论 • 离散系Biblioteka 的状态空间表示01引言
状态空间法的定义
状态空间法是一种基于状态变量描述线性时不变系统的方法，通过建立系 统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为。
状态变量是能够完全描述系统内部状态的变量，可以是系统的物理量或抽 象的数学变量。
最优控制问题
在满足一定约束条件下，寻找一个控制输入， 使得被控系统的某个性能指标达到最优。
性能指标
通常为系统状态或输出函数的积分，如时间加 权或能量加权等。
约束条件
包括系统动态方程、初始状态、控制输入和终端状态等。
线性二次调节器问题
线性二次调节器问题是最优控制问题的一个特例， 其性能指标为系统状态向量的二次范数。
THANKS
状态方程描述了系统内部状态变量之间的动态关系，而输出方程则描述了 系统输出与状态变量之间的关系。
状态空间法的重要性
1
状态空间法提供了系统分析和设计的统一框架， 可以用于线性时不变系统的各种分析和设计问题。
2
通过状态空间法，可以方便地实现系统的状态反 馈控制、最优控制、鲁棒控制等控制策略。
3
状态空间法具有直观性和易于实现的特点，能够 直接反映系统的动态行为，便于理解和分析。
02
状态空间法基础
状态与状态变量
状态
系统在某一时刻的状态是由系统 的所有内部变量共同决定的。
状态变量
描述系统状态的变量，通常选择 系统的输入、输出和内部变量作 为状态变量。
状态方程的建立
根据系统的物理或数学模型，通过适 当的方法建立状态方程。
自动控制原理状态空间法共78页
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
自动控制原理ห้องสมุดไป่ตู้态空间法
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
状态空间模型及标准形——自动控制原理
•
状态方程： x(t) Ax t Bu t , x t0 x0
输出方程（观测方程）：
yt Cxt Bt
x1 t
x
t
x2
t
M
xn
t
状态矢量
u1 t
u
t
u2
t
M
ur
t
输入或控制矢量
y1 t
y
t
y2 t
M
ym
t
输出矢量
a11 L a1n
y
a n 1
➢对角标准型和约当标准型 以上两种标准形的传递函数G(s)有相同阶数的分 子和分母。G(s)可以看成由一个比例环节和一个分 母阶数n总是大于分子阶数m的有理传递函数G′(S)。
N(s)为特征多项式或极点多项式；Z(s)为零 点多项式。N(s)=0的根不同，则有不同的对 角标准型和约当标准型。
•
x t Ax t , x t0 x0
它表达了系统的固有特性称为自制系统。系统矩阵A反映系统固有特性的全 部信息，控制矩阵B反映系统受外部激励。
状态方程和输出方程构成了系统的空间状态 表达式，它是一个n节线性时不变的动态系统。 是一个具有r个输入和m个输出的多变量系统。
状态空间表达的系统方框图
A
M
M
an1 L ann
b11 L b1r
B
M
M
bn1 L bnr
为n× n系统矩阵
为n× r输入或控制矩阵
c11 L c1n
C
M
M
cm1 L cmn
为m× n输出或观测矩阵
d11 L
D
M
dm1 L
自动控制原理面试知识
自动控制原理面试知识自动控制原理是现代控制工程的基础和核心，掌握自动控制原理的知识对于从事控制工程的人员来说至关重要。
在面试中，对自动控制原理的了解和掌握程度往往是面试官考察的重点之一。
本文将为大家总结一些常见的自动控制原理面试知识，希望能够帮助大家在面试中更好地展现自己的能力。
1. 什么是自动控制原理？自动控制原理是一门研究如何设计和分析控制系统的学科。
它主要研究控制系统的建模、系统响应、稳定性和性能等问题。
自动控制原理的目标是设计出稳定、快速、精确的控制系统，使系统能够按照预定的要求进行自动调节和控制。
2. 自动控制系统的基本组成自动控制系统一般由四个基本组成部分构成：输入、输出、反馈和控制器。
输入是指控制系统接收到的外部输入信号，可以是传感器测得的物理量；输出是指控制系统根据输入信号经过处理后产生的输出信号，用于控制被控对象；反馈是指将输出信号与期望输出信号进行比较，并将比较结果反馈给控制器；控制器是指根据反馈信号和期望输出信号计算出控制信号，对被控对象进行控制。
3. 自动控制系统的分类自动控制系统可以根据系统的性质和结构进行分类。
按照系统的性质分类，可以分为连续系统和离散系统；按照系统的结构分类，可以分为单输入单输出系统和多输入多输出系统；按照系统的控制方式分类，可以分为开环控制系统和闭环控制系统。
4. 控制系统的建模控制系统的建模是自动控制原理的重要内容之一。
建模的目的是将控制系统抽象成数学模型，便于进行分析和设计。
常用的建模方法包括传递函数法、状态空间法和频域法等。
传递函数法是一种将系统的输入输出关系表示为有理函数的建模方法。
传递函数是指系统输出与系统输入之间的比值关系，通常用符号G(s)表示。
传递函数法适用于线性定常系统的建模。
状态空间法是一种将系统的动态行为表示为状态变量和状态方程的建模方法。
状态是指系统在某一时刻的状态，状态方程是指描述状态随时间变化的方程。
状态空间法适用于线性时变系统和非线性系统的建模。
状态空间模型及标准形——自动控制原理理论篇第262
A
M
M
an1 L ann
为n× n系统矩阵
b11 L b1r
B
M
M
bn1 L bnr
为n× r输入或控制矩阵
c11 L c1n
C
M
M
cm1 L cmn
d11 L
D
M
dm1 L
d1r M dmr
s
p
Yk sU s k 1
该系统的状态方程
x&i s1xi xi1
i 1, 2,L , r1 1
x&r1 s1xr1 u
x&ir2 s2 xir1 xir11 i 1,2,L ,r2 -1
x&r2 s x2 r2 r1 u
M
状态空间分析：稳定性、能控性、能观性。
状态反馈：以状态变量为反馈变量。 状态观测：以状态变量为观测变量。 状态估计：以状态变量为估计变量。
二、连续系统的状态空间模型
状态方程： x(t) Ax t Bu t , x t0 x0
输出方程（观测方程）：
yt Cxt Bt
1 a1
,
B
0 1
,
C
b0
b1
系统矩阵A在总体上形成角形分块结构，这时矩 阵A的对角线上的元素已不全是系统的极点了。
一个6阶系统的约当标准形状态变量结构图
1
x1
s s1
c1
x2 x3
b0 b1s
Y
U
a0 a1s s2
c2,1
自动控制原理课件8状态空间分析法
目录
• 状态空间分析法概述 • 线性系统的状态空间分析 • 非线性系统的状态空间分析 • 状态空间分析法的应用
01
状态空间分析法概述
Chapter
状态空间的概念
状态变量
描述系统动态行为的内部变量， 通常选取系统的输入、输出及内 部变量作为状态变量。
状态方程
描述系统内部状态变量之间关系 的数学模型，通常采用微分方程 或差分方程形式表示。
故障隔离和定位
结合状态空间方法和故障诊断算法，可以隔离和 定位故障源，提高故障处理的效率和准确性。
3
故障预测和预防
利用状态空间方法和数据挖掘技术，可以对控制 系统的故障进行预测和预防，降低故障发生的概 率。
THANKS
感谢观看
在控制系统仿真制系统的动态行为，验证 控制策略的有效性。
系统分析和调试
通过仿真实验，分析系统的性能指标，对系统进行调 试和优化。
多目标优化
利用状态空间方法，可以对多个性能指标进行优化， 实现多目标控制。
在控制系统故障诊断中的应用
1 2
故障检测和诊断
通过状态空间方法，可以检测和诊断控制系统的 故障，及时采取措施进行修复和维护。
状态方程定义
描述系统内部状态变量随时间变化的数学模型，通常表示为dx/dt = Ax + Bu，其中x是状态向量，u是输入向量，A 和B是系统矩阵。
建立状态方程
根据系统的物理特性和输入输出关系，通过适当的方法建立状态方程。
状态方程解法
通过求解状态方程，可以得到系统的状态响应。
线性系统的稳定性
稳定性的定义
极点配置的方法
通过求解线性矩阵不等式或优化问题，找到合适的 控制输入u(t)，使得系统的极点配置在期望的位置 上。
自动控制原理知识点
自动控制原理知识点自动控制原理是探讨如何利用各种力量和手段来控制和调节物体或者系统的运行状态的学科。
它是现代科学技术以及工程实践的重要基础，广泛应用于机械、电气、化工、航空航天等领域。
下面将详细介绍自动控制原理的几个重要知识点。
1.控制系统的组成和基本原理控制系统由输入、处理器、输出和反馈四个基本部分组成。
输入是所要控制的物理量或信号，处理器是处理输入信号的部分，输出是系统输出的目标物理量或信号，反馈将输出信号与输入信号进行比较并反馈给处理器进行调节。
控制系统的基本原理是通过调节输入信号，通过反馈来使系统的输出达到期望值。
2.传递函数和状态空间法传递函数是描述线性系统输入输出关系的函数，它是一个复变量的函数。
通过传递函数可以对系统的动态特性进行分析和设计。
状态空间法是一种描述系统行为的方法，用状态向量和状态方程来描述系统的动态特性和稳定性。
3.PID控制器PID控制器是最常见的一种控制器，它由比例（P）、积分（I）和微分（D）三个部分组成。
比例部分使控制器的输出与误差成正比，积分部分用于处理系统的静差，微分部分用于预测系统未来的状态。
通过调节PID控制器的参数，可以实现系统的稳定性和响应速度的优化。
4.反馈控制反馈控制是将系统的输出信号反馈给系统的输入端进行调节的一种控制方式。
反馈控制可以使系统对扰动具有一定的鲁棒性，能够提高系统的稳定性和减小误差。
5.系统稳定性和瞬态响应系统稳定性是指当系统输入和参数在一定范围内变化时，系统输出是否会有无穷大的增长。
常用的判断系统稳定性的方法有稳定判据和根轨迹法。
瞬态响应是系统在调节过程中输出的变化过程，包括超调量、调节时间、稳态误差等指标。
6.系统优化和自适应控制系统优化是指通过调节系统参数使系统达到最佳性能的过程。
自适应控制是指系统能够根据外部环境和内部参数的变化自主调整控制策略的过程。
优化和自适应控制可以使系统具有更好的鲁棒性和适应能力。
7.数字控制系统数字控制系统是利用数字计算和逻辑运算进行控制的一种控制方式。
自动控制原理状态空间设计知识点总结
自动控制原理状态空间设计知识点总结自动控制原理是探讨和研究如何实现系统的自动控制以达到预期目标的学科。
状态空间法是自动控制领域中一种重要的设计方法。
本文将对自动控制原理中的状态空间设计的知识点进行总结。
一、什么是状态空间法状态空间法是自动控制原理中一种用于描述和分析线性时不变系统的方法。
它通过引入状态变量和状态方程的概念，将系统的输入、输出和状态统一起来，从而使得系统的设计和分析更加方便和灵活。
在状态空间法中，系统被描述为一组由状态变量、输入和输出组成的方程，其中状态变量描述了系统的内部状态，输入是系统的外部指令或信号，输出是系统的响应结果。
二、状态空间模型的表示方式1. 状态方程表示状态方程是状态空间模型的一种常用表示方式。
它由一组常微分方程组成，描述了系统状态随时间的变化规律。
一般形式的状态方程可以表示为：dx(t)/dt = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)为n维状态向量，描述系统的内部状态；u(t)为m维输入向量，描述系统的外部输入；y(t)为p维输出向量，描述系统的响应结果；A、B、C、D为系统的系数矩阵。
2. 传递函数表示传递函数是状态空间模型的另一种常用表示方式。
它通过 Laplace 变换将系统的输入、输出表示为复频域函数的比值。
传递函数的一般形式为：G(s) = C(sI - A)^(-1)B + D其中，G(s)为传递函数，s为复变量，I为单位矩阵。
三、状态空间设计的基本步骤1. 确定系统的状态变量状态变量的选择对系统的描述和分析有重要影响。
一般来说，状态变量需要能够全面反映系统的内部状态，并且能够适应系统的控制要求。
2. 建立系统的状态方程根据系统的特点和要求，建立描述系统状态变化规律的状态方程。
可以根据物理原理、经验模型或者系统的观测数据进行建模。
3. 确定系统的输出方程输出方程描述了系统的响应结果如何与状态变量、输入信号相联系。
《自动控制原理》系统数学描述的两种基本类型
线性定常系统 在线性系统的状态空间表达式中，若系数矩阵 A(t), B(t),C(t), D(t)或 G(k), H (k),C(k), D(k) 的各元素都是常数，则称该系 统为线性定常系统，否则为线性时变系统。线性定常系统状态空间 表达式的一般形式为
.
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
应注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。
状态空间分析法 在状态空间中以状态向量或状态变量描述系 统的方法称为状态空间分析法或状态变量法。
状态空间分析法的优点是便于采用向量、矩阵记号简化数学描 述，便于在数字机上求解，容易考虑初始条件，能了解系统内部状 态的变化特性，适用于描述时变、非线性、连续、离散、随机、多 变量等各类系统，便于应用现代设计方法实现最优控制、自适应控 制等。
这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可 能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。 本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图9-1所 示。图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输
T
入，系统对环境的作用为系统输出；二者分别用向量u = [u1,u2 ,...,u p ] 和y = [ y1, y2 ,..., yq ] T表示 ，它们均为系统的外部变量。描述系统内部 每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2 ,..., xn ] T 表示。系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一 种数学模型。
自动控制原理 第8章 状态空间分析法
正常情况下，n≥m。
自动控制原理
第八章 状态空间分析法
1.能控标准型实现 写成状态方程和输出方程
X AX Bu Y CX Du 1 x1 0 x 0 0 2 X x3 , A 0 0 xn a n a n 1
自动控制原理
第八章 状态空间分析法
第八章 状态空间分析法
8.1 概 述 在经典控制理论中，用传递函数来设计和 分析单输入−单输出系统。但传递函数只 能反映出系统输出变量与输入变量之间的 外部关系，而了解不到系统内部的变化情 况。此外，传递函数描述又是建立在零初 始条件的前提下，故它不能包含系统的全 部信息。在设计多变量和时变系统时，采 用经典控制理论会遇到很大的困难。
自动控制原理
第八章 状态空间分析法
若是线性系统,可写成
X AX Bu Y CX Du
式中,
A-系数矩阵
B-控制矩阵
nn
nr
C-输出矩阵
mn
D-直接传递矩阵 mr
自动控制原理
第八章 状态空间分析法
8.状态空间表达式的系统方框图
状态空间表达式的系统方框图如图所示
自动控制原理
5.状态方程 描述系统状态变量与系统输入之间关系的 一阶方程组,称为状态方程。 例1 某机械动力系统如图所示
x K F(t) f
M
自动控制原理
第八章 状态空间分析法
质量-弹簧-阻尼系统的微分方程式为
d2 x dx M 2 f Kx F ( t ) dt dt d x f dx K 1 x F (t ) 2 dt M dt M M
自动控制原理
第八章 状态空间分析法
自动控制原理状态空间法PPT文档78页
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
自动控制原理状态空间法
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
自动控制系统的传递函数与状态空间表示
自动控制系统的传递函数与状态空间表示自动控制系统是一类广泛应用于工业和科学领域的系统，用于监测和控制各种物理过程。
传递函数和状态空间表示是描述自动控制系统行为的两种重要方法。
本文将对这两种表示方法进行详细介绍。
一、传递函数表示方法传递函数是用频域方法描述系统行为的一种数学模型，通常用于线性时不变系统。
一个自动控制系统的传递函数可以通过系统的输入和输出之间的关系来定义。
一般形式的传递函数表示如下：G(s) = N(s) / D(s)其中，G(s)为传递函数，s为复变量，N(s)和D(s)为分子和分母多项式。
传递函数描述了输入信号的变化对输出信号的影响。
传递函数表示方法可以将一个复杂的自动控制系统简化为一个输入输出的关系，便于系统的分析和设计。
通过对传递函数的分析，可以得到系统的稳定性、阶跃响应、频率响应等性能指标。
此外，传递函数表示方法也适用于系统的频域设计和控制器的合成。
二、状态空间表示方法状态空间表示方法是描述自动控制系统行为的另一种数学模型，通常用于线性时不变和时变系统。
状态空间模型通过若干个一阶微分方程来描述系统的行为。
一个n阶线性时不变系统的状态空间模型可以表示为以下形式：x' = Ax + Buy = Cx + Du其中，x为状态向量，A、B、C、D为系统的矩阵参数，u为输入向量，y为输出向量。
状态空间模型将系统的状态、输入和输出统一表示在一个方程组中，可以全面地描述系统的动态特性。
通过对状态空间方程的求解，可以得到系统的时间特性、稳定性、响应等。
此外，状态空间表示方法也适用于系统的时域设计和多变量系统分析。
三、传递函数与状态空间之间的转换传递函数和状态空间之间存在一一对应的关系，可以通过转换方法在两者之间进行转换。
对于线性时不变系统，可以通过矩阵计算和拉普拉斯变换实现转换。
将传递函数转换为状态空间表示时，可以通过分数展开、多项式除法等方法获得状态空间模型的矩阵参数。
将状态空间转换为传递函数表示时，可以使用矩阵运算和拉普拉斯逆变换求解。
自动控制原理课件：状态空间分析
C CA =n rankP = rank n −1 CA
必要性: 设rankP<n,则存在x(0), 使得Px(0)=0, 即
我们有
10 X 1 (s) = X 2 (s) s+5
状态空间方程的可控性和可观测性
定义 2.1 如果在一个有限的时间内施加一个无约束的控制向量, 使 系统由初始状态x(t0)转移到任一状态, 则称该系统在时间t0时 为状态可控的。 定义 2.2 如果系统的状态x(t0)在有限时间内可由输出的观测值确定, 那么称系统在时刻t0是状态可观测的。 控制系统的状态完全可控性 设状态方程为:
y1 (t ) = g1 ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
y2 (t ) = g 2 ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
ym (t ) = g m ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
定义:
x(t ) = [ x1 (t ), , xn (t )]
A(t)称为状态矩阵, B(t)称为输入矩阵 C(t)称为输出矩阵, D(t)称为直接传输矩阵
D(t )
u (t )
B(t )
+
x(t )
•
+
∫ dt
A(t )
x(t )
C (t )
+
+
y (t )
如果向量函数f和g不显含时间t, 则称该系统定常系统：
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
自动控制原理课件 第九章 状态空间分析法
选取状态变量
x1 y, x2 y, , xn yn1
13
x1 x2 x2 x3 xn1 xn xn a0 x1 a1x2 an1xn u （9-17）
14
或写成
x Ax Bx
0 1 0 0
0
x1
x2
0
0
1
0
0 0
x
,A
,B
xn
0 0 0 1 a0 a1 a2 an1
0
（9-19）
15
系统结构图如图所示
图9-3
16
例9-3
考虑用下列常微分方程描述的系统
y 2 y 2 y 2u
输入为 u ，输出为y 。 试求系统的状态方程和输出方程。
17
解：
取状态变量 x1 y, x2 y
现代控制理论
(20世纪50年代前) (20世纪50年代后)
研究对象
单输入单输出的线 可以比较复杂 性定常系统
数学模型 数学基础
传递函数 (输入、输出描述)
运算微积、复变函 数
状态方程 (可描述内部行为)
线性代数、矩阵理论
设计方法的 特点
非唯一性、试凑成 分多, 经验起很大 作用。主要在复数 域进行。 3
2!
k!
其中
0 A 0
1 0
, A2 A3
An
0 0
0 0
(t)
1 0
0 1
0 0
t 0
1 0
t 1
可以写出方程解为
x1 x2
(t) (t)
1 0
t 1
x1 x2
(0) (0)
35
例9-6
设系统状态方程为
东南大学自动控制原理控制系统的状态空间模型
对偶实现
g(s)
n1sn1
sn an1sn1
1s 0
a1s a0
d
则状态空间表达式可为
d=0时为严格真系统
0 0 0 a0
1
0
a1
A 0 0 ,
1
0
an2
0 0 1 an1
实现过程：
第一步：分解传递函数
g(s)
bn
(bn1
bnan1)sn1 (b1 sn an1sn1
bna1)s a1s a0
(b0
bna0
)
第二步：定义虚拟输出
~y (s)
sn
an1s n1
1
a1s a0
u(s)
则 y(s) ((bn1 bnan1)sn1 (b1 bna1)s (b0 bna0 )) ~y (s) bnu(s)
bnu(t)
第三步：取n个状态变量 x1 ~y, x2 ~y (1) , , xn ~y (n1)
x1 ~y (1) x2 ,
xn1
~y (n1)
xn ,
xn ~y (n) an1xn a0 x1 u
y(t) (b0 bna0 )x1(t) (b1 bna1)x2 (t) (bn1 bnan1)xn (t) bnu(t)
假设零初始条件（即x(0)=0)，进行拉普拉斯变换后得到系统的 传递函数矩阵为
G(s) C(sI A)1 B D
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y(t ) C (t ) x(t ) D(t )u (t )
• • • • 其中: y y (t ) 是m×1维向量,(t ) R m1 , C (t ) 是m×n维向量, (t ) R mn , C D(t ) 是m×r维向量, (t ) R mr , D
3.状态空间表达式
定义2.状态变量
状态变量是确定系统状态的最小一组变量,如果以 最少的n个变量 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 可以完全描述系统的行为 (即当t≥ t0 时输入和 在t= t0 初始状态给定后,系统的状态完全可以确定), 那么
x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )
结论 --对研究内容的界定和限制
所以对于一个多输入/输出系统来说:
1、采用在时域内进行建模，且由于是对实际
物理系统进行模型描述，因而模型中的所有变量
n 和函数均假定为实数 x R 。
2、数学描述的主要手段是微分方程，并应充 分利用系统的内部描述法来建立微分方程，以充分 表述系统的内部特性. 3、适用于非初始松驰或非零初始条件的系统 状态. 4、主要研究线性连续时不变系统.
自动控制原理Ⅱ
第一章 状态空间法
控制系统的状态空间描述
一.问题的引出 1 --古典控制理论的局限性
1、仅适用于SISO的线性定常系统(外部描述
，时不变系统) 2、古典控制理论本质上是复频域的方法.(理 论) 3、设计是建立在试探的基础上的.(应用) 4、系统在初始条件为零,或初始松驰条件下, 才能采用传递函数.
1.状态方程
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t )
• • • • x(t)是n×1维向量,x(t ) R n1 A(t)是n×n维向量,A(t ) R nn B(t)是n×r维向量,B(t ) R nr u(t)是r×1维向量,u(t ) R r1
(注意:这个系统,也可将 uc (t)和R*i(t)选为
一组状态变量)
设i(t)和 uc (t)作为一组状态向量,则描述
系统的动力学方程:
di L dt Ri uc u duc C i dt
用向量矩阵形式表示,则上述方程可表示为:
R d i L u 1 dt c C 1 1 i L L u uc 0 0
即
x1 y 0 1 x2
• 由此，我们可以得出，现代控制理论或状态空 间分析方法是建立在系统采用有限个一阶微分 方程描述的基础上，而有限个一阶微分方程组 成了向量—矩阵方程，因而从本质上来说，现 代控制理论的分析方法是时域分析方法.
控制系统的状态空间描述---线性系统的状态空间表达 式 • 状态空间表达式是描述系统行为的数学模型,它包括 状态方程和输出方程,状态方程由有限个一阶微分方 程组成,而输出方程则是状态向量和输入的函数.
t d t t0 g (t )u( )d g (t )u( ) t t0 t g (t )u( )d dt
得到:
y (t ) 2e c1 4e c2 g (0)u (t ) g (t )u ( )d t0 t
(1)
g (t ) 2e
t
2e
2 t
(1)
现将输入电压u[ t0 ,∞)施加于网络,且网络设定 为时不变的. (1)若在 t0 时刻系统是松驰的,则其输出为:
y (t ) g (t )u ( )d
t0
t
(t t0 )
(2)
(2)若在 t0 时刻非松驰（ t0 前有输入，系统有能量储 存），则系统输出为:
4.状态空间描述的结构图(或称状态变量图)
• 例:根据上例画出结构图. • 解:先将例子写成下述形式
R 1 1 x1 L x1 L x2 L u x 1 x 2 C 1 y x2
• 则结构图为:
画法:
1)根据状态方程从方程右边开始画起.
而实际上大多数系统表现为: 1、多输入，多输出.（抽象定义，系统具有 合格性）
2、时变.（总是可找到一些参数是随时间变
化的）
3、非线性.（泛指运动本身的非线性特征）
4、复杂性，复杂任务和高精度.
因此古典控制理论解决问题受到限制,需要寻找 新的解决方法.这种方法或理论应要求: 1、描述多输入/输出复杂系统的方法和理论基 础. 2、具有可计算的形式. 3、解析式设计 4、能描述系统内部状态和终端行为(内部描述 ). 5、系统t=0松驰状态,非松驰状态,或非线性时 变等情况下的适用性.
y (t ) [2 y(t0 ) y(t0 )]e
( t t0 )
[ y(t0 ) y(t0 )]e
2( t t0 )
g (t )u ( )d
t0
t
(t t0 )
结论:若 y(t0 ) 和 y(t0 )已知( t0 时刻系统的一种状态 ),即使网络在 t0 时刻非松驰,它在t≥ t0 u[ t0 ,∞) 之后的输出也能唯一的被确定.显然是由
总结:
(1)根据状态变量的定义,状态变量应选取系统中
相互独立储能元件的物理量,独立储能元件的个数即
为状态变量个数.
(2)状态变量选取不唯一,有时选取状态变量仅 为数学描述所需,而非明确的物理意义。
(3)状态变量是系统的内部变量,一般情况下输出 是状态的函数,但输出总是希望可量测的。
(4)仅讨论有限个状态变量的系统。
(1)
若设 x i u c T ,则上式可简化为: x Ax Bu
R L A 1 C 1 L 0
1 B L 0
x1 i
, x2 uc
• 当输出选定后,则可以量测的输出,总是可以通 过状态变量和输入的线性组合得到. y=Cx+Du (2) 此例中 D=0, y x2 ,
(1)如果是线性定常系统,则 A(t ) A, B(t ) B 是常系数矩阵,则状态方程可写为:
x(t ) Ax(t ) Bu (t )
x(t ) R n1 A Rnn B Rnr u (t ) R r1 u (t ) R11 R (2)如果是单输入系统,则
y(t ) g (t )u( )d g (t )u( )d g (t )u( )d (3)
t t0 t t0
显然在 t 0 以前施加于系统的输入能通过电容和
电感的能量存储对 t0 之后的输出产生影响.
现在我们考虑由未知输入u(-∞, t0 ]对
x(t ) Ax(t ) Bu (t )
A Rnn
B R n1
• 状态方程描述了 t0 时刻和状态 x(t0 ) 和输入 u (t0 , )所决定的系统在 t t0 的行为.
2.输出方程
• 输出方程是在指定输出变量情况下,(输出变量 往往是选取可以量测的物理量)其输出变量与 状态变量以及输入变量之间的关系. 用
2)通过∫积分环节得到状态.
3)通过状态反馈的组合得到状态的微分
4)通过状态的组合得到输出.
5.输入/输出描述和状态变量描述的比较
(1)系统的输入/输出描述仅揭示系统在初始 松驰的假定下输入—输出间的关系.因此对非松 驰系统不能采用这种描述.尤为重要的问题,此 描述不能揭示非初始松驰时系统将发生的行为, 也不能揭示系统的内部行为.
是一组状态变量.
定义3.状态向量（有限个数的状态变量的集合）
如果将状态变量 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 作为向量
x(t)的各个分量,则称x(t)为状态向量,一旦给定 t0
时刻的状态向量, 则它与输入u[ t0 ,∞)唯一地确
定系统在 t t0 时的状态x(t)。
定义4.状态空间
(2)对于甚为复杂的线性系统,求其动态方程 描述是很繁的,在此情况下,借助于直接测量求 取输入/输出描述可能稍容易一些.
t0
e 2 u ( )d
注意到 c1 和 c2 与t无关,因此如果 c1 和 c2 已
知,则由未知的输入u(-∞, ]引起的在t≥ t0 之
后的输出就完全可以确定。
由式（3）得到 y (t ) 并利用式（4）的结果，得
y(t0 ) 2e c1 2e
t0
2t0
c2
（5）
对式(3)取关于t的导数,并利用
二.问题的引出 2 --状态空间分析方法
通过一个实例引出状态空间分析方法的基本概
念.
例:设有如图所示网络
显然,若流经电感的初始电流及电容两端的初始 电压已知,则在任何电压驱动下,网络的行为能唯一 地确定。 从u到y的网络传递函数求得为:
2 ˆ g ( s) ( s 1)( s 2) 故该网络的脉冲响应为:
t 2 t t
连同g(0)=0,就意味着有
y (t ) 2e c1 4e
联立式(5)和式(6),得到
t0
2 t0
c2
(6)
c1 0.5e [2 y(t0 ) y(t0 )]
t0
c2 0.5e [ y(t0 ) y(t0 )]
2t0
从而若网络在 t0 时刻非松驰则输出由下式给出:
若状态向量x(t),可唯一地由 Rn 空间中一组规范 正交基底(单位坐标向量)线性组合表示,则状态向 量x(t)是n维状态空间( Rn ,n)中的一个向量,所有 状态向量x(t)集合组成n维的状态空间( Rn ,n) 或定义为: 通常状态变量均为有实际意义的实 数值,因此状态向量的取值空间是有限维实向量空 间,称为状态空间。
y[ t0 ,∞)的影响,即: