自动控制原理 状态空间法

y(t ) g (t )u( )d g (t )u( )d g (t )u( )d (3)
t t0 t t0
显然在 t 0 以前施加于系统的输入能通过电容和
电感的能量存储对 t0 之后的输出产生影响.
现在我们考虑由未知输入u(-∞, t0 ]对
1.状态方程
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t )
• • • • x(t)是n×1维向量,x(t ) R n1 A(t)是n×n维向量,A(t ) R nn B(t)是n×r维向量,B(t ) R nr u(t)是r×1维向量,u(t ) R r1
(1)
若设 x i u c T ,则上式可简化为: x Ax Bu
R L A 1 C 1 L 0
1 B L 0
x1 i
, x2 uc
• 当输出选定后,则可以量测的输出,总是可以通 过状态变量和输入的线性组合得到. y=Cx+Du (2) 此例中 D=0, y x2 ,
y[ t0 ,∞)的影响,即:
y[t0, ) g (t )u ( )d 代入式(1)
t0
（4）
2 (et e2t 2 )u( )d 2et c1 2e2t c2

t0
其中:
c1
t0

e u ( )d , c2
x(t ) Ax(t ) Bu (t )
A Rnn
B R n1
• 状态方程描述了 t0 时刻和状态 x(t0 ) 和输入 u (t0 , )所决定的系统在 t t0 的行为.
2.输出方程
• 输出方程是在指定输出变量情况下,(输出变量 往往是选取可以量测的物理量)其输出变量与 状态变量以及输入变量之间的关系. 用
自动控制原理Ⅱ
第一章 状态空间法
控制系统的状态空间描述
一.问题的引出 1 --古典控制理论的局限性
1、仅适用于SISO的线性定常系统(外部描述
，时不变系统) 2、古典控制理论本质上是复频域的方法.(理 论) 3、设计是建立在试探的基础上的.(应用) 4、系统在初始条件为零,或初始松驰条件下, 才能采用传递函数.
而实际上大多数系统表现为: 1、多输入，多输出.（抽象定义，系统具有 合格性）
2、时变.（总是可找到一些参数是随时间变
化的）
3、非线性.（泛指运动本身的非线性特征）
4、复杂性，复杂任务和高精度.
因此古典控制理论解决问题受到限制,需要寻找 新的解决方法.这种方法或理论应要求: 1、描述多输入/输出复杂系统的方法和理论基 础. 2、具有可计算的形式. 3、解析式设计 4、能描述系统内部状态和终端行为(内部描述 ). 5、系统t=0松驰状态,非松驰状态,或非线性时 变等情况下的适用性.
2)通过∫积分环节得到状态.
3)通过状态反馈的组合得到状态的微分
4)通过状态的组合得到输出.
5.输入/输出描述和状态变量描述的比较
(1)系统的输入/输出描述仅揭示系统在初始 松驰的假定下输入—输出间的关系.因此对非松 驰系统不能采用这种描述.尤为重要的问题,此 描述不能揭示非初始松驰时系统将发生的行为, 也不能揭示系统的内部行为.
结论 --对研究内容的界定和限制
所以对于一个多输入/输出系统来说:
1、采用在时域内进行建模，且由于是对实际
物理系统进行模型描述，因而模型中的所有变量
n 和函数均假定为实数 x R 。
2、数学描述的主要手段是微分方程，并应充 分利用系统的内部描述法来建立微分方程，以充分 表述系统的内部特性. 3、适用于非初始松驰或非零初始条件的系统 状态. 4、主要研究线性连续时不变系统.
若状态向量x(t),可唯一地由 Rn 空间中一组规范 正交基底(单位坐标向量)线性组合表示,则状态向 量x(t)是n维状态空间( Rn ,n)中的一个向量,所有 状态向量x(t)集合组成n维的状态空间( Rn ,n) 或定义为: 通常状态变量均为有实际意义的实 数值,因此状态向量的取值空间是有限维实向量空 间,称为状态空间。
(1)如果是线性定常系统,则 A(t ) A, B(t ) B 是常系数矩阵,则状态方程可写为:
x(t ) Ax(t ) Bu (t )
x(t ) R n1 A Rnn B Rnr u (t ) R r1 u (t ) R11 R (2)如果是单输入系统,则
y (t0 ) 和 y (t0 ) ，u[ t0 ,∞)共同唯一地确定.
因此 y(t0 ) 和
y (t0 ) 可以作为网络的状态,同样也可用 c
1
和 c2 作为网络的状态,而这两组数的原函数是微分
方程的变量.
从例子中也可以看出来,在无限区间(-∞, t0 ]上
的输入,其作用效果已综合在{
y (t0 ) , y (t0 )
y (t ) [2 y(t0 ) y(t0 )]e
( t t0 )
[ y(t0 ) y(t0 )]e
2( t t0 )
g (t )u ( )d
t0
t
(t t0 )
结论:若 y(t0 ) 和 y(t0 )已知( t0 时刻系统的一种状态 ),即使网络在 t0 时刻非松驰,它在t≥ t0 u[ t0 ,∞) 之后的输出也能唯一的被确定.显然是由
y(t ) C (t ) x(t ) D(t )u (t )
• • • • 其中: y y (t ) 是m×1维向量,(t ) R m1 , C (t ) 是m×n维向量, (t ) R mn , C D(t ) 是m×r维向量, (t ) R mr , D
3.状态空间表达式
4.状态空间描述的结构图(或称状态变量图)
• 例:根据上例画出结构图. • 解:先将例子写成下述形式
R 1 1 x1 L x1 L x2 L u x 1 x 2 C 1 y x2
• 则结构图为:
画法:
1)根据状态方程从方程右边开始画起.
(2)对于甚为复杂的线性系统,求其动态方程 描述是很繁的,在此情况下,借助于直接测量求 取输入/输出描述可能稍容易一些.
(1)
g (t ) 2e
t
2e
2 t
(1)
现将输入电压u[ t0 ,∞)施加于网络,且网络设定 为时不变的. (1)若在 t0 时刻系统是松驰的,则其输出为:
y (t ) g (t )u ( )d
t0
t
(t t0 )
(2)
(2)若在 t0 时刻非松驰（ t0 前有输入，系统有能量储 存），则系统输出为:
是一组状态变量.
定义3.状态向量（有限个数的状态变量的集合）
如果将状态变量 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 作为向量
x(t)的各个分量,则称x(t)为状态向量,一旦给定 t0
时刻的状态向量, 则它与输入u[ t0 ,∞)唯一地确
定系统在 t t0 时的状态x(t)。
定义4.状态空间
(5)有限个数的状态变量的集合,称为状态向量。 (6)状态向量的取值空间称为状态空间。
例2,设下图的RLC网络,如果电流 i (t0 ) ,电容电压 uc (t0 )的初始值和 t t0 时的输入电压均已知,则 t t0时网络的状态完全由 i (t ) , uc (t ) 确定.因此 可将 i (t ) 和 uc (t ) 作为这个系统的一组状态变量.
(注意:这个系统,也可将 uc (t)和R*i(t)选为
一组状态变量)
设i(t)和 uc (t)作为一组状态向量,则描述
系统的动力学方程:
di L dt Ri uc u duc C i dt
用向量矩阵形式表示,则上述方程可表示为:
R d i L u 1 dt c C 1 1 i L L u uc 0 0
t 2 t t
连同g(0)=0,就意味着有
y (t ) 2e c1 4e
联立式(5)和式(6),得到

t0
2 t0
c2
(6)
c1 0.5e [2 y(t0 ) y(t0 )]
t0
c2 0.5e [ y(t0 ) y(t0 )]
2t0
从而若网络在 t0 时刻非松驰则输出由下式给出:
t d t t0 g (t )u( )d g (t )u( ) t t0 t g (t )u( )d dt
得到:
y (t ) 2e c1 4e c2 g (0)u (t ) g (t )u ( )d t0 t
}和
{
c1 ,c2 }两个数中,因此状态概念非常有意义和有
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从上述例子可得到如下结论:
1、系统状态不是唯一的. 2、状态的选择与物理量有关,一般应该是相互 独立的储能元件的物理量. 3、每一瞬时的状态可以是仅由有限个数的集合 组成.
定义1.状态
系统在时刻 t0 的状态乃是时刻 t0 的一种信息量, 它与输入u[ t0 ,∞)唯一地确定系统t≥ t0 时的行为。 注：系统行为指包括状态在内的系统的所有响应。 状态即指某一时刻的,可以表征系统特征或行为的 数。而该数的原函数则可称为状态变量,而这种函数 不但可以描述某一时刻的行为，并可在[ t0 ,∞)内描 述行为,为此定义状态变量是:
二.问题的引出 2 --状态空间分析方法
通过一个实例引出状态空间分析方法的基本概
念.
例:设有如图所示网络
显然,若流经电感的初始电流及电容两端的初始 电压已知,则在任何电压驱动下,网络的行为能唯一 地确定。 从u到y的网络传递函数求得为:
2 ˆ g ( s) ( s 1)( s 2) 故该网络的脉冲响应为:
定义2.状态变量
状态变量是确定系统状态的最小一组变量,如果以 最少的n个变量 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 可以完全描述系统的行为 (即当t≥ t0 时输入和 在t= t0 初始状态给定后,系统的状态完全可以确定), 那么
x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )
即
x1 y 0 1 x2
• 由此，我们可以得出，现代控制理论或状态空 间分析方法是建立在系统采用有限个一阶微分 方程描述的基础上，而有限个一阶微分方程组 成了向量—矩阵方程，因而从本质上来说，现 代控制理论的分析方法是时域分析方法.
控制系统的状态空间描述---线性系统的状态空间表达 式 • 状态空间表达式是描述系统行为的数学模型,它包括 状态方程和输出方程,状态方程由有限个一阶微分方 程组成,而输出方程则是状态向量和输入的函数.
1)线性时变系统: x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t )
y(t ) C (t ) x(t ) D(t )u (t )
2)线性时不变系统: x Ax Bu
y Cx Du
在通常情况下，大多数还是研究线性时不变 系统，即线性定常系统，因此本课程的主要研究 对象是线性定常系统。

t0

e 2 u ( )d
注意到 c1 和 c2 与t无关,因此如果 c1 和 c2 已
知,则由未知的输入u(-∞, ]引起的在t≥ t0 之
后的输出就完全可以确定。
由式（3）得到 y (t ) 并利用式（4）的结果，得
y(t0 ) 2e c1 2e
t0
2t0
c2
（5）
对式(3)取关于t的导数,并利用
总结:
(1)根据状态变量的定义,状态变量应选取系统中
相互独立储能元件的物理量,独立储能元件的个数即
为状态变量个数.
(2)状态变量选取不唯一,有时选取状态变量仅 为数学描述所需,而非明确的物理意义。
(3)状态变量是系统的内部变量,一般情况下输出 是状态的函数,但输出总是希望可量测的。
(4)仅讨论有限个状态变量的系统。