2012年考研数学三真题

考研数学三真题及答案

上等于常数 1，其余地方
的面积。
实际上就是单位圆
1 在第一象限
综上所述，本题正确答案是 D。
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—二维随机变
量分布
(8) 设
为来自总体
的简单随机样本，则
统计量 ((D)
6 / 21
【解析】 1， 2，
，故，故 ,
；，
3，
与
立，
相互独立。与
也相互独
所以综上所述，本题正确答案是 B。【考点】概率论与数理统计—数理统计的概念二、填空题（9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分。）
(9)
。
【答案】。
【解析】这是一个‘ ’型极限，由于
7 / 21
所以【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限
(10)设函数
算，概率的基本公式，事件的独立性
三、解答题：
小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤。
(15)求极限【解析】【方法 1】
【方法 2】
(等价无穷小代换) (洛必达法则)
【方法 3】
(等价无穷小代换) (泰勒公式)
11 / 21
(拉格朗日中值定理)
(洛必达法则)
(
)
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学—一元函数微分学—微分中值定理，洛必达(L'Hospital) 法则
(D)
【答案】B。
【解析】由于经列变换(把第 2 列加至第 1 列)为，有
那么
= 综上所述，本题正确答案是(B)。【考点】线性代数—矩阵—矩阵运算、初等变换

2012年考研数学三真题及标准答案

２0１2年考研数学三真题一、选择题(１~8小题，每小题４分,共３2分。

下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)曲线y=x 2+xx2−1渐近线的条数为(Ａ)0 (B）1 (C)2 （D)3 【答案】C。

【解析】由limx→+∞y=limx→+∞x2+xx2−1=1=limx→−∞y=limx→−∞x2+xx2−1，得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由limx→1y=limx→1x2+xx−1=∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线；由limx→−1y=limx→−1x2+xx−1=12得x=−1不是曲线的渐近线;综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2)设函数f(x)=(e x−1)(e2x−2)⋯(e nx−n)，其中n为正整数，则f′(0)=（A）(−1)n−1(n−1)! (B)(−1)n(n−1)!（C)(−1)n−1(n)! (D）(−1)n(n)!【答案】A【解析】【方法1】令g (x )=(e 2x −2)⋯(e nx −n)，则f (x )=(e x −1)g (x )f ′(x)=e xg (x )+(e x −1)g′(x )f ′(0)=g (0)=(−1)(−2)⋯(−(n −1))=(−1)n−1(n −1)!故应选Ａ．【方法2】由于f (0)=0,由导数定义知f ′(0)=lim x→0f(x)x =lim x→0(e x −1)(e 2x −2)⋯(e nx −n)x =lim x→0(e x −1)x ∙lim x→0(e 2x −2)⋯(e nx −n)=(−1)(−2)⋯(−(n −1))=(−1)n−1(n −1)!.【方法3】排除法，令n =2,则f (x )=(e x −1)(e 2x −2)f ′(x )=e x (e 2x −2)+2e 2x (e x −1)f ′(0)=1−2=−1则（B)(C)（D)均不正确综上所述，本题正确答案是(A ）【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(3)设函数f(t)连续，则二次积分∫dθπ20∫f(r 2)rdr 22cos θ= (A )∫dx 20∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dy √4−x 2√2x−x 2(Ｂ) ∫dx 20∫f(x 2+y 2)dy √4−x 2√2x−x 2。

2012年考研数学三真题

2012年考研数学三真题2012年考研数学三真题一、选择题1.已知当x→0时，函数A k=1,c=4B k=a, c=-4C k=3,c=4D k=3,c=-42.A B C D03.设是数列，则下列命题正确的是A若收敛，则收敛B若收敛，则收敛C若收敛，则收敛D若收敛，则收敛4.设A I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I5.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。

记则A=A B C D6.设A为矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意常数，则的通解为A BC D7.设为两个分布函数，其相应的概率密度是连续函数，则必为概率密度的是A B C D8.设总体X服从参数泊松分布为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量A BC D二、填空题9.设，则10.设函数，11.曲线在点（0，0）处的切线方程为_______________12.曲线，直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为______________13.设二次型的秩为1，A中行元素之和为3，则在正交变换下的标准为_____________求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）23.（X，Y）在G上服从均匀分布，G由x-y=0，x+y=2与y=0围成。

（1）求边缘密度；（2）求。

答案：一选择题CBABBCDD二填空题9. 10. 11.2x+y=012. 13. 14.三解答题15.解：原式=16.解：由于是的极值，可知故18.证明：19.解：21.解：1)22.解：Y-101X01/301/3 01/301/31/3 11/31/31/3Z-101P1/31/31/3 23.解：如图。

2012年考研数学(三)真题

2
，
X3
X4 2
2 2
~
x2
1
，
X1
X2 2
X3
X4 2
2
2
1 X1 X 2 ~ t 1
X3 X4 2
。
二、填空题 9．
【答案】 e 2
【解析】
1
lim(tan x)cos xsin x
1
lim[1 (tan x 1)]cos xsin x
lim tan x1
ex cos xsin x 4
(y) 6y 1 y2 C
C(x, y) 20x x2 6 y 1 y2 C
6．【答案】B
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
Q
【解析】
P
1 0
1 0
0 1
Q
1
1 0
1 0
0 1
P
1
，可得
Q
1
AQ
1 0
1 0
0 1
P
1
AP
1 0
1 0
0 1
1 0 01 0 01 0 0 1 0 01 0 0 1 0 0
Q 1 AQ
1 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 2
1 0
1 0
f (x 2 y 2 )dy
（B） 0
2x x2
2
4x2
dx
x 2 y 2 f (x 2 y 2 )dy
（C） 0
1 2 x x2
2
4x2
dx
f (x 2 y 2 )dy
（D） 0
1 2 x x2
(1) n
4．已知级数 i1

2012年考研数学三真题与答案解析

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-渐近线的条数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =( )(A)1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C)1(1)!n n -- (D)(1)!n n -(3)设函数()f t 连续，则二次积分22202cos d ()d f r r r πθθ=⎰⎰( )(A)222d ()d x x y y +⎰(B)2220d ()d x f x y y +⎰(C)222d ()d y x y x +⎰(D)22201d ()d y f x y x +⎰(4)已知级数11(1)n n α∞=-∑绝对收敛，级数21(1)n a n n∞-=-∑条件收敛，则( )(A)102a <≤(B)112a <≤ (C)312a <≤ (D)322a << (5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B)124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -=( )(A)100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B)100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C)200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则{}221P X Y +≤=( )(A)14 (B)12 (C)8π (D)4π (8)设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)N σ（σ>0）的简单随机样本，则统计量1234|2|X X X X -+-的分布为( )(A)N （0,1） (B)t(1) (C)2(1)χ (D)F(1,1)二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)()1cos sin 4lim tan x xx x π-→=(10)设函数(),121,1x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩， ()()y f f x =，则x edy dx ==(11)设连续函数(,)z f x y =满足0x y →→=则()0,1d |z =(12)由曲线4y x=和直线y x =及4y x =在第一象限中围成的平面图形的面积为 (13)设A 为3阶矩阵，3A =，*A 为A 的伴随矩阵。

2012考研数学三真题及答案解析

,
1 0
a 0 0 1
0
（Ⅰ）计算行列式 A ；
（Ⅱ）当实数 a 为何值时，方程组 Ax 有无穷多解，并求其通解.
1 0 1
(21)已知
A
0 1
1 0
1 a
，二次型
f
x1,
x2 ,
x3
xT
AT A x 的秩为 2，
0
a 1
（Ⅰ）求实数 a 的值；
（Ⅱ）求正交变换 x Qy 将 f 化为标准形.
(13)设 A 为 3 阶矩阵， A 3 ， A* 为 A 的伴随矩阵。若交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B ,则 BA*
(14)设 A 、 B 、 C 是随机事件， A 与 C 互不相容， P( AB) 1 , P(C) 1 ,则 P( AB | C)
2
3
三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
0
2
0
0 0 1
(7)设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则
P X 2 Y 2 1 ( )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C) 8
(D) 4
(8)设 X1, X 2 , X 3 , X 4 为来自总体 N(1, 2 ) ( 0) 的简单随机样本，则统计量
4
2 2
2
（10）
dy dx
xe
(ln
x 1)
xe
1 e
【分析】本题主要考查复合函数求表达式及复合函数求导数。先利用分析法得到
y f ( f (x)) 的表达式，再求导数，或直接根据分段函数的定义用复合函数求导法求导

2012年考研数学三真题及答案

2012年考研数学三真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)曲线y=x 2+xx2−1渐近线的条数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C。

【解析】由limx→+∞y=limx→+∞x2+xx2−1=1=limx→−∞y=limx→−∞x2+xx2−1,得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由limx→1y=limx→1x2+xx2−1=∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线；由limx→−1y=limx→−1x2+xx2−1=12得x=−1不是曲线的渐近线；综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2)设函数f(x)=(e x−1)(e2x−2)⋯(e nx−n),其中n为正整数，则f′(0)=(A)(−1)n−1(n−1)! (B)(−1)n(n−1)!(C)(−1)n−1(n)! (D)(−1)n(n)!【答案】A【解析】【方法1】令g (x )=(e 2x −2)⋯(e nx −n),则f (x )=(e x −1)g (x ) f ′(x)=e x g (x )+(e x −1)g′(x )f ′(0)=g (0)=(−1)(−2)⋯(−(n −1)) =(−1)n−1(n −1)! 故应选A. 【方法2】由于f (0)=0,由导数定义知 f ′(0)=limx→0f(x)x =limx→0(e x −1)(e 2x −2)⋯(e nx −n)x=limx→0(e x −1)x∙lim x→0(e 2x −2)⋯(e nx −n)=(−1)(−2)⋯(−(n −1))=(−1)n−1(n −1)!. 【方法3】排除法，令n =2,则 f (x )=(e x −1)(e 2x −2)f ′(x )=e x (e 2x −2)+2e 2x (e x −1)f ′(0)=1−2=−1则(B)(C)(D)均不正确综上所述，本题正确答案是(A )【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(3)设函数f(t)连续，则二次积分∫dθπ20∫f(r 2)rdr 22cos θ= (A )∫dx 2∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dy √4−x 2√2x−x 2 (B ) ∫dx 20∫f(x 2+y 2)dy √4−x 2√2x−x 2(C ) ∫dy 20∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dx √4−y 21+√1−y2 (D ) ∫dy 20∫f(x 2+y 2)dx √4−y 21+√1−y 2【答案】B 。

2012考研数学三真题及答案

2012考研数学三真题及答案2012年考研数学三真题及答案一、选择题1、答案：D解析：根据题目给出的条件可以得到A,C,E,G表示的判断依据。

通过线性规划的图形可以得到B,D,F,H表示的判断依据。

因此选D。

2、答案：B解析：根据题目给出的条件可以得到A,C,G表示的判断依据。

通过线性规划的图形可以得到B,D,E,F,H表示的判断依据。

因此选B。

3、答案：C解析：根据题目给出的条件可以得到A,B,C,H表示的判断依据。

通过线性规划的图形可以得到D,E,F,G表示的判断依据。

因此选C。

4、答案：A解析：根据题目给出的条件可以得到A,B,C,D表示的判断依据。

通过线性规划的图形可以得到E,F,G,H表示的判断依据。

因此选A。

5、答案：D解析：根据题目给出的条件可以得到A,C,E,G表示的判断依据。

通过线性规划的图形可以得到B,D,F,H表示的判断依据。

因此选D。

二、解答题1、答案：根据题目给出的微分方程，dy/dx = (x² - y²) / 2xy我们可以对其进行简化，2xy dy = (x² - y²) dx进行变量分离并求积分得，∫2xy dy = ∫(x² - y²) dxy² = x³ / 3 - xy + C代入边界条件(x=1, y=1)得，1 = 1/3 - 1 + CC = 5/3因此，所求的积分曲线方程为，y² = x³ / 3 - xy + 5/32、答案：根据题目给出的条件，我们可以得到相关的方程式：sin(x + y) - 2cos(x - y) = 0 ------ (1)cos(x + y) + sin(x - y) = 4 ------ (2)我们可以通过对(1)式进行变形，消去sin(x + y)的项：sin(x + y) = 2cos(x - y) ------ (3)将(3)式代入(2)式，得到：2cos(x - y) + sin(x - y) = 4 ------ (4)令 A = x - y, B = x + y，此时我们可以得到：2cosA + sinA = 4 ------ (5)对(5)式进行平方，得到：4cos²A + 4cosA*sinA + sin²A = 16通过三角恒等式sin²A + cos²A = 1，将其代入上式可得：4cosA + 4cosA*sinA + 1 - cos²A = 16化简得：5cosA + 4cosA*sinA = 15将 A = x - y 代入，得：5cos(x - y) + 4cos(x - y)*sin(x - y) = 15解得 cos(x - y) ≈ 1.242由于-1 ≤ cos(x - y) ≤ 1，因此 cos(x - y) ≈ 1代入(1)式：sin(x + y) - 2cos(x - y) ≈ sin(x + y) - 2 ≈ 0解得sin(x + y) ≈ 2由于-1 ≤ sin(x + y) ≤ 1，因此sin(x + y) ≈ 2综上所述，近似解为sin(x + y) ≈ 2，cos(x - y) ≈ 1。

2012年考研数学三真题及解析

z
(0,1)
y
1 ，故 dz (0,1) 2dx dy
（ 12）由曲线 y 【答案】： 4 ln 2
4 和直线 y
x
x及 y
4 x 在第一象限中所围图形的面积为？
【解析】：被积函数为 1 的二重积分来求，所以
4
S
2
y
dy y dx
0 4
4
dy
2
y y
dx
4
3 4ln 2 3
2
2
4ln 2
（ 13）设 A 为 3 阶矩阵， A 3 , A* 为 A 的伴随矩阵，若交换 A 的第一行与第二行得到矩阵 B ,则
1 ，故 P AB C
3
.
2
4
三、解答题： 15— 23 小题，共 94 分 .请将解答写在答题．纸．．指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤 .
（ 15）（本题满分 10 分）
x2
e 计算 lim
x0
2 2cos x
e x4
ex2 【解析】： lim
x0
e2 2cos x x4
lim e2
3）求总产量为 50 件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。
【解析】： 1）设成本函数为 C (x, y) ，由题意有： Cx ( x, y)
20
x
，
2
对 x 积分得， C ( x, y) 20x x2 D ( y) ， 4
再对 y 求导有， C y (x, y) D ( y) 6 y ，
4
4
tan x
1 tan x tan
= lim
4
4
x 4

2012数学三试题及答案

x→0
x4
( ) 【解析】 lim ex2
e − 2−2cos x
e2−2cos x = lim
e −1 x2 +2cos x−2
x2 + 2 cos x − 2
= lim
=
1
x→0
x4
x→0
x4
x→0
x4
12
(16)(本题满分 10 分)
∫∫ 计算二重积分 ex xydxdy ，其中 D 为由曲线 y = x 与 y = 1 及 y 轴为边界的无界区域
(2) 设函数 y(x) = (ex −1)(e2x − 2)⋯(enx − n), 其中 n 为正整数，则 y '(0) =
()
(A) (−1)n−1(n −1)! (B) (−1)n (n −1)! (C) (−1)n−1n!
(D) (−1)n n!
答案：(A)
【解析】因为 y '(0) = lim y(x) − y(0) = lim (ex −1)(e2x − 2)⋯(enx − n) = (−1)n−1(n −1)!
=
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
，
若
⎜⎝ 0 0 2⎟⎠
P = (α1,α2 ,α3 ),Q = (α1 + α2 ,α2 ,α3 ), 则 Q−1AQ =
()
⎛1 0 0⎞
(A)
⎜ ⎜
0
2
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎛1 0 0⎞
(B)
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 2⎟⎠
⎛2 0 0⎞
(C)
⎜ ⎜
0

2012年考研数学三真题及答案

2012年考研數學三真題一、選擇題（18小題，每小題4分，共32分。

下列每題給出の四個選項中，只有一個選項是符合題目要求の。

）(1)曲線漸近線の條數為(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C。

【解析】由,得是曲線の一條水準漸近線且曲線沒有斜漸近線；由∞得是曲線の一條垂直漸近線；由得不是曲線の漸近線；綜上所述，本題正確答案是C【考點】高等數學—一元函數微分學—函數圖形の凹凸、拐點及漸近線(2)設函數,其中為正整數，則(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】【方法1】令,則故應選A.【方法2】由於,由導數定義知.【方法3】排除法，令,則則(B)(C)(D)均不正確綜上所述，本題正確答案是(A)【考點】高等數學—一元函數微分學—導數和微分の概念(3)設函數連續，則二次積分(A)(B)(C)(D)【答案】B。

【解析】令,則所對應の直角坐標方程為,所對應の直角坐標方程為。

由の積分區域得在直角坐標下の表示為所以綜上所述，本題正確答案是(B)。

【考點】高等數學—多元函數微積分學—二重積分の概念、基本性質和計算(4)已知級數絕對收斂，級數條件收斂，則(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】由級數絕對收斂，且當∞時，故,即由級數條件收斂，知綜上所述，本題正確答案是(D)【考點】高等數學—無窮級數—數項級數斂散性の判定(5)設,其中為任意常數，則下列向量組線性相關の為(A) (B)(C) (D)【答案】C。

【解析】個維向量相關顯然所以必線性相關綜上所述，本題正確答案是(C)。

【考點】線性代數—向量—向量組の線性相關和線性無關(6)設為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且.若,則(A) (B)(C) (D)【答案】B。

【解析】由於經列變換(把第2列加至第1列)為，有那麼=綜上所述，本題正確答案是(B)。

【考點】線性代數—矩陣—矩陣運算、初等變換(7)設隨機變數相互獨立，且都服從區間上の均勻分佈，則(A) (B)(C) (D)【答案】D。

2012年考研数学三真题及答案

2012年考研数学三真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)曲线y=x 2+xx2−1渐近线的条数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C。

【解析】由limx→+∞y=limx→+∞x2+xx2−1=1=limx→−∞y=limx→−∞x2+xx2−1,得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由limx→1y=limx→1x2+xx2−1=∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线；由limx→−1y=limx→−1x2+xx2−1=12得x=−1不是曲线的渐近线；综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2)设函数f(x)=(e x−1)(e2x−2)⋯(e nx−n),其中n为正整数，则f′(0)=(A)(−1)n−1(n−1)! (B)(−1)n(n−1)!(C)(−1)n−1(n)! (D)(−1)n(n)!【答案】A【解析】【方法1】令g (x )=(e 2x −2)⋯(e nx −n),则f (x )=(e x −1)g (x ) f ′(x)=e x g (x )+(e x −1)g′(x )f ′(0)=g (0)=(−1)(−2)⋯(−(n −1)) =(−1)n−1(n −1)! 故应选A. 【方法2】由于f (0)=0,由导数定义知 f ′(0)=limx→0f(x)x =limx→0(e x −1)(e 2x −2)⋯(e nx −n)x=limx→0(e x −1)x∙lim x→0(e 2x −2)⋯(e nx −n)=(−1)(−2)⋯(−(n −1))=(−1)n−1(n −1)!. 【方法3】排除法，令n =2,则 f (x )=(e x −1)(e 2x −2)f ′(x )=e x (e 2x −2)+2e 2x (e x −1)f ′(0)=1−2=−1则(B)(C)(D)均不正确综上所述，本题正确答案是(A )【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(3)设函数f(t)连续，则二次积分∫dθπ20∫f(r 2)rdr 22cos θ= (A )∫dx 2∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dy √4−x 2√2x−x 2 (B ) ∫dx 20∫f(x 2+y 2)dy √4−x 2√2x−x 2(C ) ∫dy 20∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dx √4−y 21+√1−y2 (D ) ∫dy 20∫f(x 2+y 2)dx √4−y 21+√1−y 2【答案】B 。

2012年考研数学三真题及解析

4
4
tan x
1 tan x tan
= lim
4
4
x 4
- 2 sin x
4
x
= lim
x 4
1 tan x tan
4
4
-2x 4
2
=
-2
=- 2
1
所以 lim tan x cosx sin x
x 4
1
lim tan x 1
x
e4
cosx sin x
= e- 2
（ 10）设函数 f ( x) 【答案】： 4
ln x, x 1, y
dy f f ( x) ，求
________ 。
2x 1, x 1
dx x 0
dy
【解析】：
f ' f ( x) f '(x)
f ' f (0) f '(0) f ' 1 f '(0)
dx x 0
x0
由 f (x) 的表达式可知 f ' 0
f '( 1) 2 ，可知 dy
4
dx x 0
D
1，故根据二重积
分的几何意义，知 P X 2 Y 2 1 = ，故选（ D） . 4
（ 8 ）设 X1, X 2 , X 3 , X 4 为来自总体 N 1, 2
0 的简单随机样本，则统计量
X1 X 2 的分布 X3 X4 2
（）
（ A ） N 0,1
（B） t 1 （C） 2 1
（ D ） F 1,1
（ 4）已知级数
( 1) n
i1
n sin 1 绝对收敛， n
( 1)n
条件收敛，则

2012考研数学三真题

-2-
奋斗不止
全国硕士研究生入学统一考试
机样本，则统计量 X1 X 2 的分布（
）
|X3 +X 4 -2|
（A） N（0，1）（B）t(1) （C） 2 (1)
（D） F(1,1)
二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题
纸指定位置上.
1
（9） lim(tan x)cos xsin x x 4
x
(9) 设 f (x) lim x(1 3t) t ，则 f ' (x) ______. t 0
(10)
设函数 z (1
x y
)
x y
，则
dz
|(1,1)

______.
(11) 曲线 tan(x y ) ey 在点 (0, 0) 处的切线方程为______. 4
1 x
2
（ 19 ）（本题满分 10 分）已知函数 f (x) 满足方程
f ( x) f ( x) 2 f (x及) f (0x) f (x) 2ex
1）求表达式 f (x)
2）求曲线的拐点 y f (x2 ) x f (t2 )dt 0
生命不息
（10）设函数
f
(x)
ln
x, x 1, y
2x 1, x 1

f
(f
(x)),求 dy dx
x0
___________.
（ 11 ）函数 z f( ,x 满)y 足 lim f (x, y) 2x y 2 0, 则
x0 y1
x2 ( y 1)2
2
3

2012年考研之数学(三)真题与答案解析

2012年考研之数学（三）真题与答案解析一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)曲线渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C。

【解析】由,得是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由∞得是曲线的一条垂直渐近线；由得不是曲线的渐近线；综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2)设函数,其中为正整数，则(A) (B)(C)(D)【答案】A【解析】【方法1】令,则故应选A.【方法2】由于,由导数定义知.【方法3】排除法，令,则则(B)(C)(D)均不正确综上所述，本题正确答案是(A)【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(3)设函数连续，则二次积分(A)(B)(C)(D)【答案】B。

【解析】令,则所对应的直角坐标方程为,所对应的直角坐标方程为。

由的积分区域得在直角坐标下的表示为所以综上所述，本题正确答案是(B)。

【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算(4)已知级数绝对收敛，级数条件收敛，则(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】由级数绝对收敛，且当∞时，故,即由级数条件收敛，知综上所述，本题正确答案是(D)【考点】高等数学—无穷级数—数项级数敛散性的判定(5)设,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为(A) (B)(C) (D)【答案】C。

【解析】个维向量相关显然所以必线性相关综上所述，本题正确答案是(C)。

【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关和线性无关(6)设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若,则(A) (B)(C) (D)【答案】B。

【解析】由于经列变换(把第2列加至第1列)为，有那么=综上所述，本题正确答案是(B)。

【考点】线性代数—矩阵—矩阵运算、初等变换(7)设随机变量相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则(A)(B)(C) (D)【答案】D。