八年级初二数学数学平行四边形的专项培优练习题(附解析
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为边BC上一点，将 沿直线AP翻折至 的位置 点B落在点E处
如图1，当点E落在CD边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形 不写作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑 并直接写出此时 ______；
如图2，若点P为BC边的中点，连接CE，则CE与AP有何位置关系？请说明理由；
点Q为射线DC上的一个动点，将 沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点 处，则 ______；
【分析】
（1）根据 得到 ，根据三角形的三边关系得到 ，与已知矛盾；
（2）①根据 、 和BF=CD，利用AAS证得 ，根据全等三角形的性质即可证明；
②设 ，则可表示出AE和AB，然后根据等角对等边证得CE=CB，然后在 中应用勾股定理即可求解．
【详解】
（1） 由折叠知 ，
所以 ．
若点 在 上，则 ， ，
2．（1）①6；②结论： （2）为4和16．
【分析】
如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作 的平分线交BC于点P，点P即为所求 理由勾股定理可得DE．
如图2中，结论： 只要证明 ， 即可解决问题．
分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
解： 如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作 的平分线交BC于点P，点P即为所求．
在 中， ， ， ，
，
故答案为6．
如图2中，结论： ．
理由：由翻折不变性可知： ， ，
垂直平分线段BE，
即 ，
，
，
，
．
如图 中，当点Q在线段CD上时，设 ．
在 中， ， ， ，
，
在 中， ，
，
，
．
如图 中，当点Q在线段DC的延长线上时，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
综上所述，满足条件的DQ的值为4或16．
与 矛盾，
所以点 不会落在 上．
（2）①因为 ，则 ，
因为点 落在 上，
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
②若 ，则 ．
设 ，则 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
在 中， ，
所以 ，
所以 ．
故答案为（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；② ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质和判定，和等边对等角，此题属于矩形的折叠问题类综合题，熟练掌握三角形全等的性质，和做出示意图是本题的关键．
八年级初二数学数学平行四边形的专项培优练习题(附解析
一、解答题
1．如图，在矩形 中，点 是 上的一点（不与点 ， 重合）， 沿 折叠，得 ，点 的对称点为点 ．
（1）当 时，点 会落在 上吗？请说明理由．
（2）设 ，且点 恰好落在 上．
①求证： ．
②若 ，用等式表示 的关系．
2．在四边形ABCD中， ， ， ．
10．如图，在矩形 中， ， ，点 在 的延长线上，点 在 上，且有 ．
（1）如图1，当 时，若 ，求证： ；
（2）如图2，当 时，
①请直接写出 与 的数量关系：_________；
②当点 是 中点时，求证： ；
③在②的条件下，请直接写出 的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②
7．如图1，已知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE，CE．
（1）求证：AE＝CE；
（2）如图2，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO．若∠PBC＝30°，求∠POE的度数；
（3）在（2）的条件下，若OE＝ ，求CE的长．
8．如图1，在 中， ， , ，以OB为边，在 外作等边 ，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
6．如图，在正方形 中， 是边 上的一动点（不与点 、 重合），连接 ，点 关于直线 的对称点为 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）连接AC，BE交于点P，求AP的长及AP边上的高BH；
（3）在（2）的条件下，将四边形OABC置于如图所示的平面直角坐标系中，以E为坐标原点，其余条件不变，以AP为边向右上方作正方形APMN：
①M点的坐标为．
②直接写出正方形APMN与四边形OABC重叠部分的面积（图中阴影部分）．
（1）研究发现:如果 ,
①如图2,当点 在线段 上时（与点 不重合）,线段 、 之间的数量关系为______,位置关系为_______．
②如图3,当点 在线段 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由．
（2）拓展发现:如果 ,点 在线段 上,点 在 的外部,则当 _______时, ．
5．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF．
9．如图，四边形 为正方形.在边 上取一点 ，连接 ，使 .
（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点 、 为圆心， 长为半径作弧交正方形内部于点 ，连接 并延长交边 于点 ，则 ；
（2）在前面的条件下，取 中点 ，过点 的直线分别交边 、 于点 、 .
①当 时，求Leabharlann Baidu： ；
②当 时，延长 ， 交于 点，猜想 与 的数量关系，并说明理由.
3．如图，在 中，对角线 、 相交于点 ，点 、 分别为 、 的中点，延长 至 ，使 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）四边形 是平行四边形吗？请说明理由；
（3）若四边形 是矩形，则线段 、 的数量关系是______．
4．综合与探究
如图1,在 中, 为锐角,点 为射线 上一点,连接 ,以 为一边且在 的右侧作正方形 ,解答下列问题:
（2）利用 得到∠EAO=∠FCO，AE=CF，由此推出AE∥CF，EG=CF即可证得四边形 是平行四边形；
（3）AC=2AB，根据平行四边形的性质推出AB=AO，利用点E是OB的中点，得到AG⊥OB，即可得到四边形 是矩形.
故答案为4和16．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
3．（1）见解析；（2）四边形 为平行四边形，理由见解析；（3）AC=2AB．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到OE=OF即可证得结论；
如图1，当点E落在CD边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形 不写作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑 并直接写出此时 ______；
如图2，若点P为BC边的中点，连接CE，则CE与AP有何位置关系？请说明理由；
点Q为射线DC上的一个动点，将 沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点 处，则 ______；
【分析】
（1）根据 得到 ，根据三角形的三边关系得到 ，与已知矛盾；
（2）①根据 、 和BF=CD，利用AAS证得 ，根据全等三角形的性质即可证明；
②设 ，则可表示出AE和AB，然后根据等角对等边证得CE=CB，然后在 中应用勾股定理即可求解．
【详解】
（1） 由折叠知 ，
所以 ．
若点 在 上，则 ， ，
2．（1）①6；②结论： （2）为4和16．
【分析】
如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作 的平分线交BC于点P，点P即为所求 理由勾股定理可得DE．
如图2中，结论： 只要证明 ， 即可解决问题．
分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
解： 如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作 的平分线交BC于点P，点P即为所求．
在 中， ， ， ，
，
故答案为6．
如图2中，结论： ．
理由：由翻折不变性可知： ， ，
垂直平分线段BE，
即 ，
，
，
，
．
如图 中，当点Q在线段CD上时，设 ．
在 中， ， ， ，
，
在 中， ，
，
，
．
如图 中，当点Q在线段DC的延长线上时，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
综上所述，满足条件的DQ的值为4或16．
与 矛盾，
所以点 不会落在 上．
（2）①因为 ，则 ，
因为点 落在 上，
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
②若 ，则 ．
设 ，则 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
在 中， ，
所以 ，
所以 ．
故答案为（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；② ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质和判定，和等边对等角，此题属于矩形的折叠问题类综合题，熟练掌握三角形全等的性质，和做出示意图是本题的关键．
八年级初二数学数学平行四边形的专项培优练习题(附解析
一、解答题
1．如图，在矩形 中，点 是 上的一点（不与点 ， 重合）， 沿 折叠，得 ，点 的对称点为点 ．
（1）当 时，点 会落在 上吗？请说明理由．
（2）设 ，且点 恰好落在 上．
①求证： ．
②若 ，用等式表示 的关系．
2．在四边形ABCD中， ， ， ．
10．如图，在矩形 中， ， ，点 在 的延长线上，点 在 上，且有 ．
（1）如图1，当 时，若 ，求证： ；
（2）如图2，当 时，
①请直接写出 与 的数量关系：_________；
②当点 是 中点时，求证： ；
③在②的条件下，请直接写出 的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②
7．如图1，已知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE，CE．
（1）求证：AE＝CE；
（2）如图2，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO．若∠PBC＝30°，求∠POE的度数；
（3）在（2）的条件下，若OE＝ ，求CE的长．
8．如图1，在 中， ， , ，以OB为边，在 外作等边 ，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
6．如图，在正方形 中， 是边 上的一动点（不与点 、 重合），连接 ，点 关于直线 的对称点为 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）连接AC，BE交于点P，求AP的长及AP边上的高BH；
（3）在（2）的条件下，将四边形OABC置于如图所示的平面直角坐标系中，以E为坐标原点，其余条件不变，以AP为边向右上方作正方形APMN：
①M点的坐标为．
②直接写出正方形APMN与四边形OABC重叠部分的面积（图中阴影部分）．
（1）研究发现:如果 ,
①如图2,当点 在线段 上时（与点 不重合）,线段 、 之间的数量关系为______,位置关系为_______．
②如图3,当点 在线段 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由．
（2）拓展发现:如果 ,点 在线段 上,点 在 的外部,则当 _______时, ．
5．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF．
9．如图，四边形 为正方形.在边 上取一点 ，连接 ，使 .
（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点 、 为圆心， 长为半径作弧交正方形内部于点 ，连接 并延长交边 于点 ，则 ；
（2）在前面的条件下，取 中点 ，过点 的直线分别交边 、 于点 、 .
①当 时，求Leabharlann Baidu： ；
②当 时，延长 ， 交于 点，猜想 与 的数量关系，并说明理由.
3．如图，在 中，对角线 、 相交于点 ，点 、 分别为 、 的中点，延长 至 ，使 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）四边形 是平行四边形吗？请说明理由；
（3）若四边形 是矩形，则线段 、 的数量关系是______．
4．综合与探究
如图1,在 中, 为锐角,点 为射线 上一点,连接 ,以 为一边且在 的右侧作正方形 ,解答下列问题:
（2）利用 得到∠EAO=∠FCO，AE=CF，由此推出AE∥CF，EG=CF即可证得四边形 是平行四边形；
（3）AC=2AB，根据平行四边形的性质推出AB=AO，利用点E是OB的中点，得到AG⊥OB，即可得到四边形 是矩形.
故答案为4和16．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
3．（1）见解析；（2）四边形 为平行四边形，理由见解析；（3）AC=2AB．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到OE=OF即可证得结论；