伯努利方程教案定

山西医科大学晋祠学院

教案

（理论教学用）

单位：山西医科大学晋祠学院

教研室：基础医学部

任课教师姓名：王莉

课程名称：医用物理

授课时间：

（理论教学用）

现象的解释，伯努利方程是相当重要的．本节主要讲述了理想流体，理想流体的定常流动，然后结合功和能的关系推导出伯努利方程，最后运用伯努利方程来解释有关现象．

学习目标完成过程：

导入新课：

听到看到这个题目，那伯努利又是谁呢？（可多媒体展示）伯努利个人简介：（Daniel Bernouli,1700～1782）瑞士物理学家、数学家、医学家。他是伯努利这个数学家族（4代10人）中最杰出的代表，16岁时就在巴塞尔大学攻读哲学与逻辑，后获得哲学硕士学位，17～20岁又学习医学，并于1721年获医学硕士学位，成为外科名医并担任过解剖学教授。但在父兄熏陶下最后仍转到数理科学。伯努利成功的领域很广，除流体动力学这一主要领域外，还有天文测量、引力、行星的不规则轨道、磁学、海洋、潮汐等等。

伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体作稳定流动时的基本方程，对于确定流体内部各处的压力和流速有很大的实际意义、在水利、造船、航空，人体生理过程中等等都有着广泛的应用。

这就是我们为什么要学习伯努利方程？

展示生活中常见的实例（可以用多媒体展示）

1.在海洋中平行逆向航行的两艘大轮船，相互不能靠得太近，否则就会有相撞的危险，为什么？

2.逆流航行的船只行到水流很急的岸边时，会自动地向岸靠拢；

3.汽车驶过时，路旁的纸屑常被吸向汽车；

4.打开的门窗，有风吹过，门窗会自动的闭合，然后又张开；

5.简单的实验：用两张窄长的纸条，相互靠近，用嘴从两纸条中间吹气，会发现二纸条不是被吹开而是相互靠拢，就是“速大压小”的道理。

导入：为什么会出现与我们想象不同的现象，这种现象又如何解释呢?本节课我们就来学习这个问题．

在上本节课之前要对之前的知识进行回顾

一、1、定常流动

(1)用多媒体展示一段河床比较平缓的河水的流动．

(2)学生观察，教师讲解．

通过画面，我们可以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有什么变化，河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变，河水的这种流动就是定常流动．

(3)学生叙述什么是定常流动

流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变,这样的流动就叫定常流动．

(4)举例：自来水管中的水流，石油管道中石油的流动，都可以看作定常流动．

(5)学生阅读课文，并回答下列思考题：

①流线是为了表示什么而引入的?

②在定常流动中，流线用来表示什么?

③通过流线图如何判断流速的大小?

(6)学生答：

①为了形象地描绘流体的流动，引入了流线；

②在定常流动中，流线表示流体质点的运动轨迹；

③流线疏的地方，流速小；流线密的地方，流速大．

二、1连续性方程：

原理：质量守恒定律

条件：定常流动（不可压缩流体）

描述：流速v与横截面积S之间的关系

结论：Q=Sv=常量

2伯努利方程

原理：能量守恒原理

条件：理想流体定常流动

描述：流速v，高度h和压强P之间的关系。

结论：？

三、接下来我们进行一个推导?

前提：稳定流动的理想流体中，忽略流体的粘滞性，任意细流管中的液体满足能量守恒和功能原理！

设：流体密度ρ，细流管中分析一段流体a1 a2 :

a1处：S1，υ1，h1, p1

a2处：S2，υ2，h2, p2

经过微小时间∆t后，流体a1 a2 移到了b1 b2, 从整体效果看，相当于将流体a1 b1 移到了a2 b2, 设a1 b1段流体的质量为∆m，则：

伯努利方程

(1)设在右图的细管中有理想流体在

做定常流动，且流动方向从左向右，我们

在管的a１处和a2处用横截面截出一段流

体，即a1处和a2处之间的流体，作为研究

对象．设a1处的横截面积为S1，流速为V1，

高度为h1；a2处的横截面积为S２，流速为v２，高度为h２；

(2)思考下列问题：

①a1处左边的流体对研究对象的压强p1的方向如何?

②a2处右边的液体对研究对象的压强p2的方向如何?

③设经过一段时间Δｔ后(Δｔ很小)，这段流体的左端S１由a1流线：为了形象地描述定常流动的流体而引入的假想的直线或曲线。

移到b 1，右端S 2由a 2移到b 2，两端移动的距离分别为Δｌ1和Δｌ2，则左端流入的流体体积和右端流出的液体体积各为多大?它们之间有什么关系?为什么?

④求左右两端的力对所选研究对象所做的功? ⑤研究对象机械能是否发生变化?为什么?

⑥液体在流动过程中，外力要对它做功，把功能关系，外力所做的功与流体的机械能变化间有什么关系?

(3)学生阅读课文，回答上述问题： (4)用多媒体展示伯努利方程的推导过程：

解：如图所示，经过很短的时间Δｔ，这段流体的左端S １由a 1移到b 1，右端Ｓ2由a 2移到b 2，两端移动的距离为Δｌ1和Δl 2，左端流入的流体体积为ΔV 1＝Ｓ1Δｌ1，右端流出的体积为ΔＶ2＝Ｓ2Δl 2．

∴ΔV 1＝ΔV 2＝ΔV (因为理想流体是不可压缩的) 左端的力对流体做的功为

Ｗ1＝F 1Δl 1 ⇒ W 1=p 1S 1Δl 1=p 1ΔV F 1＝p 1·S 1＝p

作用于右端的力F 2＝p 2S ，它对流体做负功(因为右边对这段流体的作用力向左，而这段流体的位移向右)，所做的功为：

Ｗ2＝－Ｆ2Δl 2＝－p 2Ｓ2Δl 2＝－p 2ΔＶ ∴两侧外力对研究液体所做的功为： W ＝Ｗ1＋Ｗ2＝（p 1－p 2）ΔV ．

又因为我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度ρ和各点的流速v 没有改变，所以研究对象(a 1到a 2之间的流体)的动能和重力势能都没有改变．这样，机械能的改变就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能．

∴Ｅ2－Ｅ1＝

2

1

ρ(22V -21V )ΔV ＋ρg （ｈ2－h 1）ΔV 又理想流体没有粘滞性，流体在流动中机械能不会转化为内能 ∴Ｗ＝Ｅ2－Ｅ1

∴（p 1－p 2）ΔV ＝

21

ρ(22V -21V )）ΔＶ+ρｇ（ｈ2－h 1）ΔV 整理后得：222212112

1

21gh V p gh V p ρρρρ++=++

又a 1和a 2是在流体中任取的，所以上式可表述为：

p +

gh V ρρ+221

＝恒量，这就是理想流体伯努利方程．作定常流动的动力学方程。

(4)要提到的的量纲

当流体水平流动时，或者高度的影响不显著时，伯努利方程可表

不可压缩的，没有粘滞性的流体，称为理想流体。又称“干水”。

对于理想流体，没有机械能向内能的转化．