(经典讲义)高一数学下必修四第一章三角函数

高一数学下必修四第一章三角函数第一讲：三角函数（1）

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

正角:按逆时针方向旋转形成的角

1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角

2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{}

36036090,

k k k

αα

⋅<<⋅+∈Z

第二象限角的集合为{}

36090360180,

k k k

αα

⋅+<<⋅+∈Z

第三象限角的集合为{}

360180360270,

k k k

αα

⋅+<<⋅+∈Z

第四象限角的集合为{}

360270360360,

k k k

αα

⋅+<<⋅+∈Z

终边在x轴上的角的集合为{}

180,

k k

αα=⋅∈Z

终边在y轴上的角的集合为{}

18090,

k k

αα=⋅+∈Z

终边在坐标轴上的角的集合为{}

90,

k k

αα=⋅∈Z

3、与角α终边相同的角的集合为{}

360,

k k

ββα

=⋅+∈Z

4、已知α是第几象限角，确定()*

n

n

α

∈N所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来

是第几象限对应的标号即为

n

α

终边所落在的区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

6、半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，则角α的弧度数的绝对值是

l

r

α=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360

π=，1

180

π

=，

180

157.3

π

⎛⎫

=≈

⎪

⎝⎭

．8、若扇形的圆心角为()

αα为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，

则l r α=，2C r l =+，211

22

S lr r α==．

9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点

的距离是()

0r r =>，则sin y r α=

，cos x r α=，()tan 0y

x x

α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．

12、同角三角函数的基本关系：()2

2

1sin cos 1αα+=

()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()

sin 2tan cos α

αα

= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛

⎫== ⎪⎝

⎭．

13、三角函数的诱导公式：

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

()5sin cos 2π

αα⎛⎫-=

⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

． ()6sin cos 2π

αα⎛⎫+=

⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫

+=- ⎪⎝⎭

． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数

()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数

()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．

函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），

得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移

ϕ

ω

个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数

()sin y x ωϕ=A +的图象．

函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：

①振幅：A ；②周期：2π

ω

T =

；③频率：12f ω

π

=

=

T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．

函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得

最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122

x x x x T

=-<． sin y x

=cos y x

=tan y x

=

图象

定

义域

R R ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬

⎩⎭值

域

[]1,1-[]1,1-R

最值

当22

x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-

()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周

2π2ππ函

数

性

质