(经典讲义)高一数学下必修四第一章三角函数

高一数学下必修四第一章三角函数第一讲：三角函数（1）⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k kαα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k kαα⋅+<<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k kαα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k kαα⋅+<<⋅+∈Z终边在x轴上的角的集合为{}180,k kαα=⋅∈Z终边在y轴上的角的集合为{}18090,k kαα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k kαα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k kββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*nnα∈N所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，则角α的弧度数的绝对值是lrα=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭．8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<． sin y x=cos y x=tan y x=图象定义域R R ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周2π2ππ函数性质问题1问题：已知α角是第三象限角，则2α，2各是第几象限角问题21．有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

有向线段：带有方向的线段。

2．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T .当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====，tan y MP ATAT x OM OA α====我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

（注）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值。

问题： .1cos sin 20>+<<ααπα，证明若1.[02]si )2(.22n x x 在，上满足的的取值范问围是题：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππππππ，，，65.D 326.C 656.B 6,0.A问题： 利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围．;21sin )1(-<x .21cos )2(>x问题3问题：求下列三角函数的值：（1）9cos4π，（2）11tan()6π-，问题：已知角α的终边过点(,2)(0)a a a≠，求α的四个三角函数值。

问题4问题：（1）已知12sin13α=，并且α是第二象限角，求cos,tan,cotααα．（2）已知4cos5α=-，求sin,tanαα．．问题：已知tan α为非零实数，用tan α表示sin ,cos αα．问题：已知α=αcos 2sin ，求ααααcos 2sin 5cos 4sin +-问题5问题：化简：.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(αππααπαπαπαπαπαπ+-----++-tan()3,2cos()53sin()4cos()sin(22).已知求：问题：的值。

问题6问题： 217sin ,cos 03.22x x ax 已知是关于的方程的两根，且 tan(6)sin(2)cos(6).cos(180)sin(900)求的值问题：问题7在三角形ABC 中有：cos()cos()cos A B C C tan()tan()tan AB C C问题：在三角形ABC 中， 判断三角形ABC 的形状。

sin()sin()sin A B C C（一）1．利用单位圆寻找适合下列条件的0︒到360︒的角1︒ sin α≥21 2︒ tan α>332． 若42ππθ<<，则比较sin θ、cos θ、tan θ的大小；3．求函数xx x x y tan tan cos cos +=的值域4.已知α角是第一象限角，则-α，2α，3各是第几象限角5． 1cos 1cos 3 ()cos 1cos 26．．7．已知1sincos (0)5，求的值。

及θ-θθ33cos sin tan8．已知是第四象限角，α+-=α+-=α,53cos ,524sin m m m m 求的值。

αtan（二）1．已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．集合M ＝{x |x ＝kπ2 ±π4 ，k ∈Z }与N ＝{x |x ＝kπ4，k ∈Z }之间的关系是 （ ） ＝N ∩N ＝3．若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是 （ ）° B.－60° ° D.－30°4．已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－289°，(4)1711°，其中在第一象限的角是( )A.（1）（2）B.（2）（3）C.（1）（3）D.（2）（4）5．设a ＜0，角α的终边经过点P （－3a ，4a ），那么sin α＋2cos α的值等于 （ ）A. 25B.－25C. 15D.－156．若cos(π＋α)＝－12 ，32π＜α＜2π，则sin(2π－α)等于 （ ） A.－32 B. 32 C. 12 D.±327．若α是第四象限角，则π－α是 （ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）B. 2sin19．如果sin x ＋cos x ＝15 ，且0＜x ＜π，那么cot x 的值是 （ ） A.－43 B.－43 或－34 C.－34 D. 43 或－3410．若实数x 满足log 2x ＝2＋sin θ，则|x ＋1|＋|x －10|的值等于 （ ）－9 －2x11．tan300°＋cot765°的值是_____________.12．若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin αcos α的值是_____________. 13．不等式（lg20)2cos x ＞1，(x ∈(0，π))的解集为_____________.14．若θ满足cos θ＞－12，则角θ的取值集合是_____________. 15．若cos130°＝a ，则tan50°＝_____________. －16．已知f (x )＝1－x 1＋x，若α∈(π2 ，π)，则f (cos α)＋f (－cos α)可化简为___________.17．设一扇形的周长为C (C ＞0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面积最大面积是多少18．设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P （x ， 5 )，且cos α＝ 24x ，求sin α与tan α的值.19．已知π2 ≤θ≤π，sin θ＝m －3m ＋5 ，cos θ＝4－2m m ＋5，求m 的值.20．已知0°＜α＜45°，且lg(tan α)－lg(sin α)＝lg(cos α)－lg(cot α)＋2lg3－32lg2，求cos 3α－sin 3α的值.21．已知sin(5π－α)＝ 2 cos(72π＋β)和 3 cos(－α)＝－ 2 cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值.1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A∩CB ．B∪C=C C ．A CD ．A=B=C 2.已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为 （ ）A ．－2B ．2C ．2316D ．－2316 3 若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是 （ ）A 34 B 34- C 34± D 3 4．若21cos sin =⋅θθ，则下列结论中一定成立的是 （ ） A.22sin =θ B ．22sin -=θ C ．1cos sin =+θθ D ．0cos sin =-θθ5.函数2cos 1y x =+的定义域是 （ ）A ．2,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,2()66k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．22,2()33k k k Z ππππ++∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．222,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 6. 已知,24,81cos sin παπαα<<=⋅且则=-ααsin cos . 7 若集合|,3A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤， 则B A =_______________________________________8．已知51cos sin =+x x ，且π<<x 0． a) 求sinx 、cosx 、tanx 的值．b) 求sin 3x – cos 3x 的值．9 已知2tan =x ，（1）求x x 22cos 41sin 32+的值 （2）求x x x x 22cos cos sin sin 2+-的值10. 已知α是第三角限的角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+11 已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是 （ ） A 231+- B 231+- C 231- D 231+12．函数y =的定义域是 13 已知1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且παπ273<<，求ααsin cos +的值。