偏微分方程稳定性判断 实验报告
微分方程模型中的稳定性与解的存在性证明
微分方程模型中的稳定性与解的存在性证明微分方程是数学中的重要分支之一，它描述了自然界中众多现象的变化规律。
在微分方程的研究中，稳定性与解的存在性证明是两个基本问题。
本文将从这两个方面展开讨论微分方程模型的特性。
稳定性是指系统在一定条件下的长期行为是否趋于稳定。
在微分方程模型中，稳定性分为局部稳定性和全局稳定性。
局部稳定性指的是系统在某一点附近的行为是否稳定，而全局稳定性则是指系统在整个定义域内的行为是否稳定。
稳定性的判断可以通过线性化的方法来进行。
线性化是将非线性微分方程在某一点附近进行线性逼近，从而获得系统的线性化方程。
通过对线性化方程的特征值进行分析，可以判断原方程在该点附近的稳定性。
解的存在性证明是指是否存在满足微分方程的解。
在微分方程模型中，解的存在性通常需要借助一些数学工具和定理来证明。
其中最常用的方法是皮卡-林德洛夫定理和柯西-利普希茨定理。
皮卡-林德洛夫定理是解的存在性证明中的重要定理之一。
它指出，如果微分方程的右端函数在某个矩形区域内满足利普希茨条件，那么在该区域内存在唯一的解。
利普希茨条件是指右端函数的偏导数存在且有界。
柯西-利普希茨定理则是解的存在性证明中的另一个重要定理。
它指出，如果微分方程的右端函数在某个区域内满足利普希茨条件，那么在该区域内存在唯一的解，并且解的存在范围可以延伸到整个定义域。
除了皮卡-林德洛夫定理和柯西-利普希茨定理，还有一些其他的定理和方法可以用于解的存在性证明。
比如，格朗沃尔不等式、逐步逼近法和拟凸函数法等。
总之，微分方程模型中的稳定性与解的存在性证明是微分方程研究中的重要问题。
通过线性化和定理的运用，可以对微分方程的稳定性进行判断和证明。
而解的存在性证明则需要借助一些数学工具和定理来进行推导。
这些方法和定理为我们研究微分方程提供了有力的工具和理论支持。
微分方程的稳定性分析与相绘制
微分方程的稳定性分析与相绘制在微分方程的研究中，稳定性分析与相绘制是非常重要的工具和方法。
通过分析微分方程的稳定性，我们可以了解系统的行为，预测系统的发展趋势，并做出合适的控制和调整。
而相绘制则是一种直观地展示系统行为的图形化方法，可以帮助我们更好地理解微分方程的解。
一、稳定性分析稳定性是指系统是否能够在一定条件下达到平衡状态，或者能够在某个稳定的解周围进行振荡。
稳定性分析是通过分析微分方程解的性质来判断系统的稳定性。
1. 稳定性的分类在稳定性分析中，常见的分类有稳定、不稳定和半稳定。
稳定性可以细分为渐近稳定和有界稳定。
渐近稳定指系统能够以指数衰减的速度趋于某个平衡状态，而有界稳定指系统的解在一定范围内有界。
2. 稳定性分析方法稳定性分析的方法包括线性稳定性分析和非线性稳定性分析。
线性稳定性分析是通过线性化微分方程来判断系统的稳定性，可以使用特征值分析、拉普拉斯变换等方法。
非线性稳定性分析则需要更加复杂的方法，如李雅普诺夫稳定性定理、直接法等。
二、相绘制相绘制又称为相图绘制或者相平面分析，是一种直观地展示微分方程解的演化情况的方法。
通过画出系统状态的轨迹，可以帮助我们更好地理解微分方程的解以及系统的行为。
1. 相平面相平面是相绘制的基础，它是由系统状态的某些变量（通常是微分方程中的未知函数及其导数）所构成的平面。
相平面的坐标轴可以表示不同的变量，例如时间、物理空间或者其他微分方程中涉及到的变量。
2. 相绘制方法相绘制的方法包括定性分析方法和定量分析方法。
定性分析方法主要通过分析相平面轨迹的形状、稳定点和周期解等特征来判断系统的稳定性。
而定量分析方法则通过数值计算和计算机仿真等手段，得到相平面中的具体解的轨迹和系统的稳定性信息。
在进行相绘制时，我们可以利用不同的工具和软件进行绘图，例如MATLAB、Python的绘图函数库等。
这些工具可以方便我们绘制出系统的状态轨迹，并进一步分析系统的稳定性。
总结：稳定性分析与相绘制是微分方程研究中重要的工具和方法。
一类时滞抛物型偏微分方程的数值稳定性分析
一类时滞抛物型偏微分方程的数值
稳定性分析
一类时滞抛物型偏微分方程的数值稳定性分析是指对一类具有时滞项的抛物型偏微分方程进行数值解法，通过分析由数值方法产生的误差及其影响来实现数值解法的稳定性分析。
一般情况下，所有一类时滞抛物型偏微分方程都具有一些共同的特点，即该方程包含了一个时滞项，该时滞项有助于将动力学系统中的不确定性减少到最小，从而使数值解法更加稳定。
在对一类时滞抛物型偏微分方程的数值稳定性分析中，需要考虑多种因素，例如方程的结构、数值方法的选择以及步长的大小等，以便能够有效地计算出精确的结果。
微分方程稳定性
微分方程稳定性微分方程是描述自然界或社会现象数学模型的重要工具，在许多领域都得到了广泛应用。
稳定性是微分方程中一个重要的性质，它决定了系统的长期行为。
本文将从微分方程的稳定性入手，探讨其原理及应用。
稳定性概述在微分方程中，稳定性描述了系统在扰动下的表现。
一个系统若具有稳定性，即在初始条件稍微改变时系统也不会产生很大的变化，保持在某种稳定的状态。
相反，若系统不稳定，则初始条件的微小变化可能引起系统行为的剧烈变化。
线性系统的稳定性对于线性微分方程，我们可以通过线性稳定性定理来判断系统的稳定性。
简言之，线性系统的稳定性与其特征根的实部有关。
如果所有特征根的实部都小于零，则系统是稳定的；如果存在实部大于零的特征根，则系统是不稳定的。
非线性系统的稳定性相比线性系统，非线性系统的稳定性分析更加复杂。
通常我们需要通过 Lyapunov 函数、相平面分析等方法来研究非线性系统的稳定性。
Lyapunov 函数是一种标量函数，通过分析 Lyapunov 函数的正负号可以确定系统的渐近稳定性、不稳定性或者随机稳定性。
应用案例分析举一个简单的应用案例，考虑如下的非线性微分方程：$$\frac{dx}{dt} = -x^3$$可以通过 Lyapunov 函数的方法来判断系统的稳定性。
定义Lyapunov 函数为 $V(x) = \frac{1}{2}x^2$，对 $V(x)$ 求导得：$$\dot{V}(x) = x \dot{x} = -x^4$$当 $x \neq 0$ 时，有 $\dot{V}(x) < 0$，因此系统是渐近稳定的。
这个简单的例子展示了Lyapunov 函数在非线性系统稳定性分析中的应用。
结论微分方程的稳定性是微分方程理论中的一个核心问题，它关乎系统的长期行为和稳定性。
通过线性稳定性定理和 Lyapunov 函数等方法，我们可以判断系统的稳定性，并进一步研究系统的动力学特性。
在实际应用中，对微分方程稳定性的研究有助于我们更好地理解系统的演化规律，为问题的求解提供重要参考。
三类偏微分方程唯一性与稳定性问题
三类偏微分方程唯一性与稳定性问题张政 1110050024摘要：本文主要利用能量积分法、极值原理等方法讨论波动方程、热传导方程和调和方程初边值问题的唯一性及稳定性问题。
旨在证明三类偏微分方程在不同初边值条件下具有的唯一性和稳定性。
关键词：能量积分、极值原理、强极值原理、热传导方程、调和方程一、波动方程初边值问题的唯一性和稳定性能量积分：对于膜振动问题，总能量由动能与位能两部分组成，其和称为能量积分。
在没有外力作用的情况下，薄膜振动的能量是守恒的。
薄膜的动能U 和位能V 的表示式，分别写为212t U u dxdy ρΩ=⎰⎰ 221()2x y V T u u dxdy Ω=+⎰⎰.其中ρ是密度，T 是张力。
（不计一个常数因子）薄膜的总能量可写为()222221()()2t x y T E t u a u u dxdy a ρΩ⎡⎤=++=⎣⎦⎰⎰. 定理1设(,,)u x y t 是混合问题2()(,,)(,,0)(,),(,,0)(,)(,,)tt xx yy t u a u u f x y t u x y x y u x y x y u x y t ϕψμ∂Ω⎧=++⎪==⎨⎪=⎩ （1）的解，那么能量积分()E t 保持不变，即()(0)E t E =，其中22221(0)()2x y E a dxdy ψϕϕΩ⎡⎤=++⎣⎦⎰⎰. 定理2 波动方程混合问题2()(,,)(,,0)(,),(,,0)(,)(,,)tt xx yy t u a u u f x y t u x y x y u x y x y u x y t ϕψμ∂Ω⎧=++⎪==⎨⎪=⎩ (2)的解是唯一的。
证：设1(,,)u x y t ，2(,,)u x y t 为问题（1）的任意两个解，则12u u u =-是如下波动方程2()(,,0)0,(,,0)00tt xx yy t u a u u u x y u x y u ∂Ω⎧=+⎪==⎨⎪=⎩ 的解。
微分方程稳定性
目录摘要 (3)ABSTRACT (4)前言 (5)微分方程稳定性分析原理 (6)捕鱼业的持续收获模型 (10)种群的相互竞争模型 (14)参考文献 (18)摘要微分方程稳定性理论是微分方程的一个重要的理论。
微分方程理论就是通过一些定量的计算来研究系统的稳定性，也就是系统在受到干扰项偏离平衡状态后能否恢复到平衡状态或者是平衡状态附近的位置。
用微分方程描述的物质运动的特点依赖于初值，而初值的计算或者测定不可避免的又会出现误差和干扰。
如果描述这个系统运动的微分方程的特解是不稳定的，则初值的微小误差和干扰都会导致严重的后果。
因此，不稳定的特解不适合作为我们研究问题的依据，只有稳定的特解才是我们需要的。
本文就一阶微分方程和二阶微分方程的平衡点及稳定性进行了分析，并且建立了捕鱼业持续收获模型和两种群相互竞争模型。
【关键词】微分方程；平衡点；稳定性；数学建模ABSTRACTDifferential equation stability theory is an important theory of differential equations. Differential equation theory is to study the stability of the system by some quantitative calculation, also is the system in the disturbance of deviating from the equilibrium state after the item will return to equilibrium or is near the equilibrium position. Using differential equation to describe the characteristics of the material movement depends on the initial value, and the calculation of initial value or determination of the inevitable will appear the error and interference. If the special solution of the differential equation describing the system movement is unstable, the initial value of small errors and interference will lead to serious consequences.Therefore, special solution is not suitable for the unstable as the basis of our research question, only stable solution is we need. In this paper, the first order differential equation of second order differential equation and the balance and the stability are analyzed, and the fishing sustained yield model is established and two species and two species competing models.【key words】Differential equations; Balance; Stability; Mathematical modeling前言在现实世界里，无论是在自然科学或者是社会科学的各领域中，存在着许许多多的变化规律可以用某些特定的数学模型来进行描述。
稳定性实验实验报告
一、实验目的1. 了解稳定性实验的基本原理和方法；2. 掌握实验仪器和设备的使用方法；3. 通过实验验证系统稳定性的基本理论；4. 分析系统稳定性的影响因素，提高系统稳定性。
二、实验原理稳定性是指系统在受到扰动后，能够恢复到原来平衡状态的能力。
在工程实践中，系统稳定性对于系统的可靠性和安全性至关重要。
本实验通过模拟电路来研究系统稳定性，主要涉及以下原理：1. 稳定条件：系统的特征方程的判别式小于0时，系统稳定；2. 稳定域：系统稳定时，输入信号的幅度和频率在稳定域内；3. 稳定裕度：系统稳定时，增益裕度和相位裕度越大，系统稳定性越好。
三、实验仪器与设备1. 实验箱：用于搭建模拟电路；2. 信号发生器：用于产生不同频率和幅度的信号；3. 示波器：用于观察和分析信号的波形；4. 计算器：用于计算和记录实验数据。
四、实验步骤1. 搭建实验电路：根据实验要求，搭建模拟电路，包括电阻、电容、运算放大器等元件；2. 设置实验参数：调整信号发生器的频率和幅度，设置示波器的参数，如时间基准、电压基准等；3. 测试系统稳定性：向系统输入不同频率和幅度的信号，观察系统的输出波形，分析系统的稳定性；4. 记录实验数据：记录实验过程中观察到的现象和数据，包括波形、幅度、频率等；5. 分析实验结果：根据实验数据和理论分析，判断系统的稳定性，并分析系统稳定性的影响因素。
五、实验结果与分析1. 实验结果通过实验，观察到了以下现象：（1）当输入信号频率较低时，系统输出波形稳定；（2）当输入信号频率较高时，系统输出波形出现振荡，稳定性下降；（3）当输入信号幅度较大时，系统输出波形失真，稳定性下降。
2. 实验分析（1）根据稳定条件，当系统特征方程的判别式小于0时，系统稳定。
在本实验中，通过调整电路参数，实现了系统稳定；（2）根据稳定域理论，系统稳定时，输入信号的幅度和频率在稳定域内。
在本实验中，通过调整信号发生器的参数，验证了稳定域的存在；（3）根据稳定裕度理论，系统稳定时，增益裕度和相位裕度越大，系统稳定性越好。
微分方程的稳定性分析
微分方程的稳定性分析稳定性分析是微分方程研究中的重要内容，它关注的是系统解的长期行为。
通过稳定性分析，我们可以了解系统解的极限情况，以便更好地理解和预测系统的行为。
一、什么是微分方程的稳定性分析微分方程的稳定性分析是通过研究方程解的渐进行为来确定方程的稳定性质。
在稳定性分析中，我们需要关注解的局部和整体行为，包括解的收敛性、周期性和渐近性等。
二、稳定性分析的方法稳定性分析有多种方法，常见的包括线性稳定性分析、李雅普诺夫稳定性分析和拉普拉斯变换等。
下面我们将介绍其中的两种方法。
1. 线性稳定性分析线性稳定性分析是一种常用的稳定性分析方法，适用于线性微分方程或非线性微分方程的线性化问题。
该方法通过分析线性近似方程的特征值来判断系统的稳定性。
线性稳定性分析的基本步骤如下：1）求出线性近似方程；2）求解线性近似方程的特征值；3）根据特征值的实部和虚部判断系统的稳定性。
2. 李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析是一种适用于非线性微分方程的稳定性分析方法，主要用于判断解的渐进稳定性。
李雅普诺夫稳定性分析的基本思想是引入李雅普诺夫函数或李雅普诺夫方程，通过研究该函数或方程的性质来判断系统的稳定性。
常见的李雅普诺夫稳定性定理有李雅普诺夫第一定理和李雅普诺夫第二定理。
三、稳定性分析的应用稳定性分析在很多领域中有广泛的应用，以下举两个例子说明。
1. 电路分析在电路分析中，稳定性分析可以用来判断电路的稳定性和输出响应的稳定性。
通过对微分方程进行稳定性分析，可以预测电路的稳态工作点和响应特性，为电路设计和优化提供指导。
2. 生态学研究在生态学研究中，稳定性分析可以用来分析种群的演化和稳定性。
通过建立动态方程，研究种群数量随时间的变化规律，可以评估种群的稳定性和系统的可持续性。
四、总结稳定性分析是微分方程研究中的重要内容，它通过分析方程解的渐进行为来确定系统的稳定性质。
常用的稳定性分析方法有线性稳定性分析和李雅普诺夫稳定性分析。
微分方程的稳定性与解存在性分析
微分方程的稳定性与解存在性分析在数学领域中，微分方程是研究物理、工程、经济和生物等领域中数学建模的一种重要工具。
微分方程的稳定性和解的存在性是微分方程理论中的核心概念。
本文将对微分方程的稳定性和解的存在性进行分析。
一、微分方程的稳定性分析微分方程的稳定性描述了解的行为在不同条件下的稳定情况。
稳定性的分析通常包括平衡点的稳定性和解的稳定性两个方面。
1. 平衡点的稳定性平衡点是微分方程中解保持不变的点。
考虑一个一阶常微分方程dy/dt=f(y)，当f(y)=0时，y的值处于平衡点。
为了判断平衡点的稳定性，有以下三种情况：a) 当f'(y)<0时，该平衡点是稳定的。
意味着当y离开平衡点时，解会回到平衡点附近。
b) 当f'(y)>0时，该平衡点是不稳定的。
当y离开平衡点时，解将远离平衡点。
c) 当f'(y)=0时，无法确定平衡点的稳定性，需要进行进一步的分析。
2. 解的稳定性除了平衡点的稳定性，我们还可以研究解本身的稳定性。
一般来说，稳定解具有以下特征：a) 收敛性：解在特定的条件下趋于一个有限的值。
b) 渐进稳定：解在无穷远处趋于零。
通过稳定性分析，我们可以判断系统是否具有趋于稳定状态的性质，这对于系统控制、优化问题等具有重要意义。
二、微分方程的解存在性分析解的存在性是对微分方程是否能找到满足特定条件的解进行研究。
下面介绍两个常见的解存在性定理。
1. 皮卡-林德勒夫定理对于连续函数f(x,t)和初始条件x(t0)=x0，如果f(x,t)满足利普希茨条件，则方程dx/dt=f(x,t)在区间[t0,t1]上存在唯一的解。
利普希茨条件是指存在一个常数L，使得对于t∈[t0,t1]和x1、x2∈Rn，满足|f(x1,t)-f(x2,t)|≤L|x1-x2|。
2. 广义皮卡-林德勒夫定理对于非线性连续函数f(x)和初始条件x(t0)=x0，如果f(x)满足利普希茨条件，且满足一定的增长条件，则方程dx/dt=f(x)在区间[t0,t1]上存在解。
关于稳定性分析的附注 - 报告
2015 年秋季学期研究生课程考核（读书报告、研究报告）考核科目:偏微分方程数值解法学生所在院（系）:理学院数学系学生所在学科:数学学生姓名:H i t e r学号:1X S012000学生类别:考核结果阅卷人关于稳定性分析的附注摘要本篇论文从运用Fourier 方法研究有限差分格式稳定性的出发，具体介绍了如何运用Fourier 方法得到差分格式的稳定性情况，并给出了一些判别有限差分格式稳定性的准则，如von Neumann 条件，并列举了一个具体的应用Fourier 方法判断有限差分格式稳定性的例子。
然后，又介绍了两个研究有限差分格式稳定性的方法，Saul ’ev 算法和分组显式方法。
关键字：Fourier 方法，稳定性分析，差分格式AbstractThis paper from the use of Fourier method to study the stability of finite difference scheme, specifically describes how to use the Fourier method to get the stability of the difference scheme, and gives some criteria for the stability of the finite difference scheme, such as Neumann von conditions, and cited a specific application of Fourier method to determine the stability of finite difference scheme example. Then, it introduces two methods to study the stability of the finite difference scheme, ev 'Saul algorithm and grouping explicit method.Keywords: Fourier method, stability analysis, difference scheme1 前言在《偏微分方程数值解法》的课程中，我们已经跟着老师学习过如何分析差分格式的稳定性问题。
微分方程3——稳定性分析
使得离散自治系统
x1 f1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0
x
2
f 2 ( x1 , x2 ,...,
xn ) 0
......
xn f n ( x1 , x2 ,..., xn ) 0
成立的点x0=(x10, x20, ... ,xn0)称为其平衡点。
如果 lim x(n) x0，则称其为稳定平衡点，否则称为 n
,
N2 (1 2 1 1 2
)
,
P4(0,0)
仅当1, 2 < 1或1, 2 > 1时，P3才有意义
x1 (t)
r1x11
x1 N1
1
x2 N2
x2 (t)
r2 x2 1 2
x1 N1
x2 N2
模型分析
平衡点及其稳定性
由
A
f x1 g x1
fx2 gx2
r1
1
2 x1 N1
更一般的，对线性离散自治系统
x ( n 1) Ax ( n ) b A x ( n ) A 1b
若A的所有特征值λ都有|λ|<1,那么A-1b是它稳定的平衡点。
对线性自治系统
x Ax b
若A的所有特征值λ都有λ<0, 那么A-1b是它稳定的平衡点。 反之，不是稳定平衡点。
2
微分方程的稳定性
1x2
N2
r2 2 x2
N1
r11x1
N2
r2
1
2 x1
N1
2x2 N2
和
p ( f x1 g x2 )
,pi
q det A
,
pi
i 1,2,3,4
得
平衡点 Pi 稳定条件： p > 0 且 q > 0
高中数学备课教案解偏微分方程组的稳定性与相分析
高中数学备课教案解偏微分方程组的稳定性与相分析在高中数学备课中，解偏微分方程组的稳定性与相分析是一个重要的主题，它关系到数学学科的发展和实际应用问题的解决。
本文将从偏微分方程组和它的稳定性开始论述，并介绍相分析的概念和定理，并结合具体的例子进行分析，最后总结该主题的教学方法。
一、偏微分方程组偏微分方程组是用来描述物理过程的方程组。
它由一个或多个未知函数及其偏导数、独立变量和参数组成。
解偏微分方程组是数学中一个重要的分支，涉及到分析、计算和数值模拟等方面。
1.稳定性偏微分方程组的稳定性是指当初始状态稍有扰动时，系统能否在某种意义下趋向于一种稳定的状态。
通常来说，我们需要探究的是解的长时间行为，即当时间趋于正无穷时该解是否能趋于稳定。
2.相分析相图是利用解的定性行为、在平面上绘制出相轨迹的方法。
在相图中，轨迹表示不同状态下的解，如何求解方程组的稳定性就可以借助相图进行。
相图的绘制时，通过微分方程组局部解的性质，可大致了解方程组的行为规律。
二、相分析的基本概念和定理1.相平面相平面是用来描述方程组状态的图形，其中横轴代表x，纵轴代表y，相轨表示物理状态的不同变化。
2.相量相轨即描述物理状态随时间变化的路径，而相量就是相轨上的切向量，这种相量也叫做特征向量，它们可以表明方程组状态的变化方向。
3.稳定性对于一个线性时不变系统，在某个方向上的解在经过扰动之后，如果初始状态与其扰动状态始终是可以趋于零步长的，则该解在该方向上是稳定的。
同理，如果沿着某方向的解在经过扰动之后随着时间趋近于无穷，那么这个解在该方向上就是不稳定的。
三、具体案例分析假设我们有一个二阶线性微分方程，其方程如下所示：$$y''+p(t)y'+q(t)y=0$$其中$p(t)$和$q(t)$是已知函数。
将该方程转化为一个二阶微分方程组，其形式为：$$\begin{cases}y'=z\\z'=-p(t)z-q(t)y\end{cases}$$经过对该方程的变形，可以得到一个矩阵形式的方程，如下所示：$$\begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix}'=\begin{pmatrix}0 & 1\\-q(t) & -p(t)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix}$$然后，我们可以通过求解特征值与特征向量，在平面上绘制出相轨迹和相量。
偏微分方程实验报告
Columns 9 through 11
0.4663 0.2451 0.0000
u =
Columns 1 through 8
0 0.2800 0.5325 0.7330 0.8617 0.9060 0.8617 0.7330
end
un=[0 un 0]
e=abs(u-Un)
Un=un;
end
5、实验数据记录与分析
e =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
u =
Columns 1 through 8
0 0.2941 0.5595 0.7701 0.9053 0.9518 0.9053 0.7701
Columns 9 through 11
n=length(t)
Un=sin(pi*x0)
fori=1:n
un=[];
u=[];
forr=1:11
u1=exp(-pi^2*t(i))*sin(pi*x0(r));
u=[u u1];
end
u
forj=2:10
Un1=Un(j)+0.5*(Un(j+1)-2*Un(j)+Un(j-1));
un=[un Un1];
偏微分方程实验报告偏微分方程偏微分方程数值解matlab解偏微分方程偏微分方程pdf椭圆型偏微分方程matlab偏微分方程matlab解偏微分方程组二阶偏微分方程二阶线性偏微分方程
实验名称
抛物型方程的差分格式
实验时间
2014年5月15日
2014年5月29日
2014年6月12日
稳定性计算r=511和r=59_偏微分方程
扬州大学数学科学学院《偏微分方程数值解法》实验报告
班级
姓名
学号
实验
名称
验证最简查分格式的稳定性
实验目的：就r=5/11,5/9用显格式，作树值试验，观察误差的增长规律，并说明r=5/11时稳定，r=5/9时不稳定。
publicstaticvoidmain(String[] args)
throwsArrayIndexOutOfBoundsException{
double[][] a =newdouble[7][11];
for(inti = 0;i<7;i++){
for(intj = 0;j<11;j++){
a[0][5] = 1.0;
0.0427 0.0342 0.1810 0.1038 0.2767 0.1038 0.1810 0.0342 0.0427
0.0194 0.1048 0.0792 0.2175 0.1195 0.2175 0.0792 0.1048 0.0194
r=5/9时
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.4545 0.0909 0.4545 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.2066 0.0826 0.4215 0.0826 0.2066 0.0000 0.0000
0.0000 0.0939 0.0563 0.2930 0.1134 0.2930 0.0563 0.0939 0.0000
微分方程的稳定性分析
军备竞赛
两个国家或两个国家集团之间由于相互不 信任而不断增加自己的军事实力，防御对方可 能发动的战争。当然由于错综复杂的国际、国 内政治形势，我们不可能做到把这个复杂的军 备竞赛问题用数学公式完全给描述出来。我们 只能做到：这样一个复杂的实际过程可以合理 地简化到什么程度，得到的结果又怎样解释实 际现象。 1939年Richardson做了这样一个数学模型：
这时，讨论微分方程（3）的稳定性等价与讨论 dX dt = aX + bY （4） dY = cX + dY dt 在（0，0）点的稳定性了。 a b A= 为了讨论微分方程（4）的稳定性，考虑矩阵 c d 并且要求det(A)不等于零，从而（0，0）是齐次方程（4） 的唯一平衡点。 由特征方程
有模型： & x
= α x + ky + g & y = lx β y + h
（1）
其中 k , l , α , β , g , h 均为大于（或等于）零的常数。 我们先用这个模型来解释几个简单而重要的现象： 1。对于两个相互不存在敌视的国家：g=h=0，那么 x(t ) ≡ y (t ) ≡ 0 是（1）的平衡解 。即如果x(t)和 y(t)在某个时候为零，就永远保持为零。这种情况可以 解释为由于双方的信任和裁军而达到持久和平，它可 以出现在两个友好的邻国之间。 2。如果 g , h ≠ 0 ，即使在某个时候x(t)，y(t)为零，
ε > 0 ，使得 平衡点为稳定的定义： 平衡点为稳定的定义： 对任意一个偏离平衡点 P0 ( x0 , y0 ) 足够小 的初始 状态 ( x′, y′) ，由解的存在唯一性，方程（2）存 在唯一的解 x = x ( t )
{x(t),y(t)}满足
微分方程的稳定性分析与解的局部性质
微分方程的稳定性分析与解的局部性质微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理学、生物学、经济学等领域。
在解微分方程时，我们不仅关注方程的解析解，还需要研究解的稳定性和局部性质。
本文将探讨微分方程的稳定性分析与解的局部性质。
一、稳定性分析稳定性分析是研究微分方程解的长期行为的重要方法。
在微分方程中，我们经常遇到稳定解和不稳定解的情况。
稳定解是指当初始条件发生微小变化时，解仍然趋向于原解；不稳定解则相反，微小变化会使解发生剧烈变化。
稳定性分析可以通过线性化方法来进行。
线性化方法的基本思想是将非线性方程在稳定点附近进行线性近似，从而研究其稳定性。
具体来说，我们将非线性方程在稳定点附近进行泰勒展开，保留一阶项，得到一个线性方程，然后研究线性方程的特征值来判断原方程的稳定性。
稳定性分析还可以通过构造Lyapunov函数来进行。
Lyapunov函数是一种能够量化系统稳定性的函数，通过构造合适的Lyapunov函数，我们可以判断系统的稳定性。
具体来说，我们需要找到一个函数，满足在稳定点附近的导数小于等于零，且只有在稳定点处导数等于零。
这样的函数就是Lyapunov函数，系统在稳定点附近的稳定性可以由该函数的性质来判断。
二、解的局部性质解的局部性质是研究微分方程解在某一点附近的行为的重要内容。
在微分方程中，我们经常遇到解的连续性、可微性和唯一性的问题。
解的连续性是指解函数在某一点附近连续的性质。
对于一阶微分方程，如果方程的右端函数在某一点连续，那么解函数在该点附近也是连续的。
对于高阶微分方程，类似的结论也成立。
解的可微性是指解函数在某一点附近可导的性质。
对于一阶微分方程，如果方程的右端函数在某一点可导，那么解函数在该点附近也是可导的。
对于高阶微分方程，类似的结论也成立。
解的唯一性是指微分方程解的存在性和唯一性。
对于一阶线性微分方程，如果方程的右端函数在某一区间内连续，那么方程存在唯一的解。
对于一般的非线性微分方程，解的存在性和唯一性是一个复杂的问题，需要借助一些特殊的定理和方法来研究。
常微分方程平衡点及稳定性研究报告
摘要本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。
这些例子都是通过求出方程解读解的方法来讨论零解是否稳定。
在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解读解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。
所以我们讨论了通过Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。
在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型()()()() ().11N tN t r t N tcN t ττ--=--的平衡点1x=的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。
关键词：自治系统平衡点稳定性全局吸引性AbstractIn this paper,we gived the conceptions of differential equationstability.Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium 1x= of the following delay single population model()()()() ().11N tN t r t N tcN t ττ--=--is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature.Key Words:autonomous system。
几类偏微分方程系统的能稳性与能控性的开题报告
几类偏微分方程系统的能稳性与能控性的开题报告一、研究背景偏微分方程系统是研究自然现象的一种有效工具，因为许多物理现象都可以用偏微分方程描述。
在实际应用中，偏微分方程系统的能稳性与能控性是非常重要的性质。
研究偏微分方程系统的能稳性与能控性问题不仅具有理论意义，而且对应用有着重要的意义。
因此，本文将对几类偏微分方程系统的能稳性与能控性进行研究。
二、研究内容1. 研究Navier-Stokes方程的能稳性与能控性问题。
Navier-Stokes方程可以描述流体的运动规律，是偏微分方程系统中的一个重要方程系统。
本文将研究Navier-Stokes方程的能稳性与能控性问题，包括定理证明与数值模拟。
2. 研究Korteweg-de Vries方程的能稳性与能控性问题。
Korteweg-de Vries方程是偏微分方程系统中的一个非线性波动方程，可以描述水波的运动规律。
本文将研究Korteweg-de Vries方程的能稳性与能控性问题，包括定理证明与数值模拟。
3. 研究布局方程的能稳性与能控性问题。
布局方程是一种常见的偏微分方程系统，可以用于描述生态系统的演变过程。
本文将研究布局方程的能稳性与能控性问题，包括定理证明与数值模拟。
4. 研究Schrödinger方程的能稳性与能控性问题。
Schrödinger方程是量子力学中的一个重要方程，描述了微观粒子的运动规律。
本文将研究Schrödinger方程的能稳性与能控性问题，包括定理证明与数值模拟。
三、研究意义本文将从数学理论和实际应用两个方面研究偏微分方程系统的能稳性与能控性问题，对于提高偏微分方程系统的理论研究水平、发展科学技术以及探索未知领域具有重要的意义。
四、研究方法与进度安排本文将运用数值模拟和数学分析相结合的方法，研究偏微分方程系统的能稳性与能控性问题。
具体进度安排如下：第一阶段：对Navier-Stokes方程的能稳性与能控性问题进行研究，包括理论证明和数值模拟。
偏微分方程平衡解的稳定性分析
偏微分方程平衡解的稳定性分析
吴秀才;赵艳伟
【期刊名称】《科技通报》
【年(卷),期】2016(32)10
【摘要】偏微分方程的平衡解稳定性分析在线性系统控制性能方面具有较好的应用性。
通过研究偏微分方程的初值和稳定性问题,基于非线性动力系统在Cauchy 核中的时滞性,进行偏微分方程的自适应李雅普诺夫指数泛函,对方程进行初值的二阶泰勒级数展开,采用共轭梯度法对偏微分方程求解平衡解,对平衡解进行边界条件分析,通过求解平衡解边界值,进行偏微分方程的平衡解稳定性证明。
数学理论推导得出,该类偏微分方程的平衡解渐进稳定的,结论为稳定性控制提供理论基础。
【总页数】4页(P5-8)
【关键词】偏微分方程;平衡解;稳定性
【作者】吴秀才;赵艳伟
【作者单位】河南理工大学万方科技学院公共基础课教学部
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类改进的Leslie-Gower模型平衡态解的稳定性分析 [J], 殷珍杰;容跃堂
2.含双时滞主动控制系统平凡平衡解稳定性的数值分析 [J], 孙清;张斌;伍晓红;薛晓敏
3.一类带扩散项的HIV模型的平衡解的稳定性分析 [J], 许丹丹;李艳玲;吴迪
4.二维非线性Schr(o)dinger方程平衡解的稳定性分析 [J], 赵才地;阮立志
5.一类捕食者具有阶段结构的捕食模型平衡解的稳定性分析（英文） [J], 刘美玲;李艳玲;魏美华
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2
方法
前向差分法 注:用有限差分方法来求偏微分方程的近似解 ,想法是对自变量建立网格并把偏微分方程离散化 ,把连续问题 变成有限多个方程的离散化问题.若这个偏微分方程是线性的,那么它的离散方程也是线性的.
实验 2
云南财经大学实验报告
系 （院）：统数学院 专 业：信息与计算科学 班 级：信计 07-1 学 号：200705001507 姓 名：邹凌波 课程名称：偏微分方程数值解法 实验时间：2010 年 5 月 24 日 指导教师：陈龙伟
云南财经大学教务处制
填表说明
1．实验名称 要用最简练的语言反映实验的内容。 2．实验目的 目的要明确，要抓住重点，可以从理论和实践两个方面考虑。在
τ
2h
程序:
附录 1
实验 内容 （算 法、
程 序、 步骤 和方 法）
function u=bjdlfc(xa,xb,ya,yb,M,N) %xa、xb 为 x 方向的起始与终止值;ya、yb 为 t 方向的起始与终止值; %M、N 分别为空间步数与时间步数. c=1;%c 为差分方程中的参数 h=(xb-xa)/M;m=M-1;n=N;%h、k 分别为空间与时间步长;k=(yb-ya)/N; k=(yb-ya)/N; sigma=c*k/(2*h);%网格比 a=diag(ones(m,1))+diag(-sigma*ones(m-1,1),1); a=a+diag(sigma*ones(m-1,1),-1);%定义矩阵 A lside=l(ya+(0:n)*k);rside=r(ya+(0:n)*k); u(:,1)=f(xa+(1:m)*h)';%初始条件 for j=1:n
6 最后在 matlab 命令窗口中输入 kcdlfc(0,1,0,1,10,250)
6
实验 1
当 h = 0.1,τ = 0.001时, 此时 λ = τ = 0.01 其图形为: h
方法
前向差分法 注:用有限差分方法来求偏微分方程的近似解 ,想法是对自变量建立网格并把偏微分方程离散化 ,把连续问题 变成有限多个方程的离散化问题.若这个偏微分方程是线性的,那么它的离散方程也是线性的.
实验 3
讨论逼近扩散方程的
Richardson
差分格式
u
n+1 j
+
2aλ
(u
n j +1
−
2u
n j
算的一种方法.
2 将公式(1)用于所有以后的信息时间步. 定义
5
3 考虑当 c = 2 、初始条件 f (x) = sin(πx)，g(x) = x , l(t) = r(t) = 0 时差分格式(1)在 (xi ,t j ) 处的
值.
• 程序步骤
1 在 matlab 编辑窗口中建立一个 kcdlfc.m 的 M 文件 2 在 matlab 编辑窗口中建立一个 f.m 的 M 文件 3 在 matlab 编辑窗口中建立一个 g.m 的 M 文件 4 接着在 matlab 编辑窗口中建立一个 l.m 的 M 文件 5 然后在 matlab 编辑窗口中建立一个 r.m 的 M 文件
注:对于差分格式
u
n j
+1
=
−2σu
n j
+
σu
n j −1
+
σu
n j +1
+
u
n j
−1
(1), 显 然 每 计 算 一 次 方 程 左 端 项 都 需 要 前 两 步
( j −1和j )时间上的值,所以在第一时间步长不能求直接使用上述差分格式,这一点类似于起始多步常微分
方程方法有关的问题.
为了解这个问题,可以引入三点中心差分公式去近似解的一阶时间导数. ut
u(:,j+2)=a*u(:,j+1)+u(:,j)+sigma*[lside(j);zeros(m-2,1);rside(j)]; end u=[lside;u;rside]; x=(0:m+1)*h;t=(0:n)*k; mesh(x,t,u') view(60,30);axis([xa xb ya yb -1 2])
(xi ,t
j
)
=
ui, j +1 − ui, j −1 2k
,代
入时间步
(xi , t0 )
的初始数据,得到
g(xi )
= ut (xi , t0 )
≈
ui,1 − ui,−1 2k
,或者 ui,−1
=
ui,1
− 2kg(xi )
(2).把
σ
σ
公式(2)代入公式(1),给出: ui,1 = −σui,0 + 2 ui−1,0 + 2 ui+1,0 + kg ( x) (3).这是使初始信息 g (xi ) 加入计
⎪u(a,t) = l(t)t ≥ 0
⎪⎩u(b,t) = r(t)t ≥ 0
注:类似于常微分方程的情形,偏微分方程有无穷多个解,因此需要额外的条件来定出特解.为了适当的提出一
个偏微分方程,可能会用到初始条件和边界条件的各种结合 .对于本例,我们已经把初始条件 f (t) 和边界条
件 l(t)、r(t) 结合起来,从而确定偏微分方程的唯一解.
2 确定前差分法来求偏微分方程的解 注:分析逼近对流方程的差分格式可知试图用第 j 层的值来计算第 j+1 层,用网格形式可以表示为
为了在时间 [0,1] 上离散逼近对流方程 ,我们考虑上图的点的网格 ,其中实心圆表示由初始条件和边界条件而 已知的 u(x,t)的解,空心圆是网格点并将通过这种方法填成实心.其离散形式可以按时间方向向前逐步求解.
1 讨论逼近对流方程
∂u
+ a ∂u
=
0
的显示格式
u
n+1 j
−
u
n j
+
a
u
n j +1
−
u
n j −1
=
0 的稳定性.
∂t ∂x
τ
2h
实验 名称
2
考虑对流方程的差分格式
u
n+1 j
−
u
n j
+
a
u
n j
−
u
n j −1
= 0, a > 0 的稳定性
τ
h
3
讨论逼近扩散方程的
Richardson
差分格式
理论上，验证定理、公式、算法，并使实验者获得深刻和系统的理解，在实 践上，掌握使用实验设备的技能技巧和程序调试的方法。一般需要说明是验 证型实验还是设计型实验，是创新型实验还是综合型实验。 3．实验环境 实验用的软硬件环境（配置）。 4．实验内容（算法、程序、步骤和方法）这是实验报告极其重要的内容。这部 分要写明依据何种原理、定律算法、或操作方法进行实验，要写明经过哪几 个步骤。还应该画出流程图（实验装置的结构示意图），再配以相应的文字说 明，这样既可以节省许多文字说明，又能使实验报告简明扼要，清楚明白。 5．结论（结果） 即根据实验过程中所见到现象和测得的数据，作出结论。 6．小结 对本次实验的思考和建议。 7．备注或说明 可填写实验成功或失败的原因，实验后的心得体会等。 8．指导教师评分 指导教师根据本次实验的预习、表现、操作的实验报告的撰 写客观进行评分、签名，并记入成绩。
+
u
n j −1
)
的稳定性
程序:
附录 1
function u=kcdlfc(xa,xb,ya,yb,M,N) c=2; m=M-1;n=N;h=(xb-xa)/M;%k=(yb-ya)/N; k=0.0001; sigma=2*c*k/(h*h); a=diag(-2*sigma*ones(m,1))+diag(sigma*ones(m-1,1),1); a=a+diag(sigma*ones(m-1,1),-1); lside=l(ya+(0:n)*k);rside=r(ya+(0:n)*k); u(:,1)=f(xa+(1:m)*h)'; u(:,2)=0.5*a*f(xa+(1:m)*h)'+0.5*sigma*[l(0);zeros(m-2,1);r(0)];%+k*g(xa+(1:m)*h)' for j=1:249
附录 2
function u=f(x) u=sin(2*pi*x).^2;
附录 3
function u=l(t)
u=0*t;
附录 4
function u=r(t)
u=0*t;
步骤:
• 偏微分方程的分析步骤
⎧u
n j
+1
=
(1− σ
)u
n j
+
σu
a n
j −1
≤
x
≤
b
⎪
⎪u( x,0) = f (x)a ≤ x ≤ b
u(:,j+1)=a*u(:,j)+sigma*[lside(j);zeros(m-2,1);rside(j)]; end
u=[lside;u;rside];
x=(0:m+1)*h;t=(0:n)*k;
mesh(x,t,u')
view(60,30);axis([0 1 0 1 -1 2])
附录 2
function u=f(x)
u=sin(2*pi*x).^2;
附录 3
function u=l(t)