分段函数在分段点处的连续性与可导性的探讨
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x ∀ 0+
f ( 0+ ) = li m sinx = 0 , 由于 f ( 0- ) ( f ( 0+ ), 则函数 f ( x )在点
x∀ 0 +
x = 0 处不连续 , 故必不可导 .
数学学习与研究
2010 19
x∀ 0
二、 如果函数在给定点 连续 , 则在 该点处的 可导性 需要 进一步讨论 讨论函数 f (x )在点 ex , x% 0, x= 0 处的连续性及可导性 . 分析 该题的解答需要深入了 解函数的连 续与可 导的 定义 , 函数 f ( x )在点 x = 0 处连续 , 要求函数在 点 x = 0 处的 极限存在且等于它在该点的函数值 , 即 函数在 点 x = 0 处有 定义 , 该点的左、 右极 限存 在又相 等 , 且极 限等 于函 数在 该 点的函数值 ( f ( 0 - ) = f ( 0+ ) = f ( 0 ) ); 函数 f ( x ) 在点 x = 0 处可导 , 要 求函 数 在 点 x = 0 处 的 左、 右 导数 存 在 且 相 等 ( f# - ( 0) = f# + ( 0 ) ), 其前提是函数在该点连续 . 解 先讨论函数的连续性 . & f ( 0 - ) = li m f ( x ) = li m ex = 1,
x ∀ 0x ∀ 0+
wenku.baidu.com
例 2
设 f( x ) =
sinx + 1, x > 0,
y = f #( x )存 在 , 由 x
f ( 0 + ) = li m f ( x ) = li m sinx + 1= 1, f ( 0 ) = 1,
x ∀ 0+ x ∀ 0+
这说明函数 y = f ( x )在点 x 处是连续的 . 结论 后半部分 可通过一个反例说明 , 如绝对值函 数 y = | x |虽然在 点 x = 0 处连续 , 但在该点却不可导 . 对于分段函数 在分段 点处 的可 导性 , 我 们首 先得 判断 函数在该点处的连续性 , 进而讨论其 可导性 . 连续性 可根据 该点处左、 右极限相 等判定 , 而 可导 性则 根据 左、 右导 数相 等判定 . 在实际的应用过程中 , 左、 右极 限和左、 右导 数的定 义往往容易混淆 , 为了引起大家的重 视 , 加 深对连续 性与可 导性关系的理解 , 下面举例进行说明 . 一、 函数在给定点是 否可 导首 先得 看函 数在 该点 是否 连续 , 如果不连续则必不可导 例 1 设 f (x ) = 处的可导性 . 错解 & f #( x ) =
x x ∀ 0-
∋ f ( 0 - ) = f ( 0 + ) = f ( 0 ), 即函数 f ( x )在 点 x = 0处连 续 . 接下来讨论函数 f ( x ) 在点 x = 0 处的可导 性 . 由 导数的 定义 , 得 f ( 0+ x ) - f ( 0 ) ex - 1 f# ( 0) = lm i = lm i = lm i ex = 1 , x x x ∀ 0x∀ 0 x ∀0f ( 0+ x ) - f ( 0 ) ( sin x + 1 ) - 1 f# ( 0 ) = lm i = lm i = + x x x ∀ 0+ x ∀ 0+ sin x lm i =1 . x x ∀ 0+ & f# - ( 0) = f# + ( 0) , ∋ 函数 f ( x )在点 x = 0 处可导 . 三、 小 结 分段函数在分段点处的可导性是建立在函数在该点是连 续的基础之上的, 倘若忽略了函数在分段点处的连续性而直接 求其导数 , 看似简单且能够得出 ) 结果 ∗, 却不知已犯下严重的 错误 . 因此 , 教师在教学过程当中 , 有意识地增加相关方面的例 题, 结合具体分段函数研究其在分段点处的连续与可导性, 使 学生加深对相关概念的理解起到事半功倍的作用. 参考文献 ! [ 1] 同济大 学应 用数 学系 . 高等 数 学 ( 上 册 ) [ M ]. 北 京 : 高等教育出版社 , 2006 . [ 2] 赵邦杰 , 郭瑞海 . 对 分段 函数 在分 段点 的极 限 、 连 续、 可导性的 研究 [ J]. 西南 民族 大学 学 报 ( 自然 科学 版 ) , 2003( 29) 4: 402- 405. [ 3] 冯其明 . 分 段 函 数 在 分 段 点 处 导 数 的 一 种 求 法 [ J]. 无 锡商业职业技术学院学报 , 2004( 4) 2: 55- 56. [ 4] 丁玉敏 . 分段函 数中 的几 类问 题分 析 [ J]. 胜利 油 田职工大学学报 , 2003( 17) 4: 53- 54.
s inx, x > 0 , ex , x % 0, cosx, x > 0 , ex , x% 0,
讨 论函数 f ( x ) 在点 x = 0
f# m e = 1, f # m cosx = 1, - ( 0 ) = li + ( 0 ) = li
x ∀ 0+
∋ f# . - ( 0) = f# + ( 0) = 1 ∋ 函数 f ( x )在点 x = 0 处可导 . 分析 错解产生的根本原因 是对导函 数的定义 理解不 透彻 , 将函数左、 右导 数 同函 数 左、 右 极 限混 为 一谈 . 事实 上 , 函数 f ( x )在点 x = 0 处是不可导的 . 根据 函 数 左、 右 极 限 的 定 义 : & f ( 0- ) = li m ex = 1,
ZHUANT I YANJIU
专题研究
79
分段函数在分段点处的连续性与可导性的探讨
欧阳伟华 (韩山师范学院数学与 信息技术系 521041 ) 摘要 !通过对分 段函数 在分段 点性态 的讨 论 , 给 出了 判定函数 在 分 段点 导 数 是 否 存 在的 方 法 , 并 得 出 一般 性 结论 . 关键词 !分段函数 ; 连 续 ; 可导 函数的可导性 与连续 性之 间的 关系 , 是 高等 数学 中必 须掌握的知识点 , 深入理解二者之间 的关系 , 对学习 高等数 学是十分重要的 . 对一元函数来说 , 高等数学中明确 给出结 论 : 如 果函数 y = f ( x ) 在点 x 处可导 , 则函 数在该 点必连 续 ; 反之 , 一个函 数在某点连续却不一定在该点处可导 . 该结论的前半部分可根据导 数定义和 极限运算 法则得 证 : 设函数 y = f ( x )在点 x 处可 导 , 即 li m 极限运算法则 , 可得 y li m y = li m ∃ x∀ 0 x∀ 0 x y x = li m ∃ li m x = f#( x ) ∃ 0= 0. x∀ 0 x x∀ 0
f ( 0+ ) = li m sinx = 0 , 由于 f ( 0- ) ( f ( 0+ ), 则函数 f ( x )在点
x∀ 0 +
x = 0 处不连续 , 故必不可导 .
数学学习与研究
2010 19
x∀ 0
二、 如果函数在给定点 连续 , 则在 该点处的 可导性 需要 进一步讨论 讨论函数 f (x )在点 ex , x% 0, x= 0 处的连续性及可导性 . 分析 该题的解答需要深入了 解函数的连 续与可 导的 定义 , 函数 f ( x )在点 x = 0 处连续 , 要求函数在 点 x = 0 处的 极限存在且等于它在该点的函数值 , 即 函数在 点 x = 0 处有 定义 , 该点的左、 右极 限存 在又相 等 , 且极 限等 于函 数在 该 点的函数值 ( f ( 0 - ) = f ( 0+ ) = f ( 0 ) ); 函数 f ( x ) 在点 x = 0 处可导 , 要 求函 数 在 点 x = 0 处 的 左、 右 导数 存 在 且 相 等 ( f# - ( 0) = f# + ( 0 ) ), 其前提是函数在该点连续 . 解 先讨论函数的连续性 . & f ( 0 - ) = li m f ( x ) = li m ex = 1,
x ∀ 0x ∀ 0+
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例 2
设 f( x ) =
sinx + 1, x > 0,
y = f #( x )存 在 , 由 x
f ( 0 + ) = li m f ( x ) = li m sinx + 1= 1, f ( 0 ) = 1,
x ∀ 0+ x ∀ 0+
这说明函数 y = f ( x )在点 x 处是连续的 . 结论 后半部分 可通过一个反例说明 , 如绝对值函 数 y = | x |虽然在 点 x = 0 处连续 , 但在该点却不可导 . 对于分段函数 在分段 点处 的可 导性 , 我 们首 先得 判断 函数在该点处的连续性 , 进而讨论其 可导性 . 连续性 可根据 该点处左、 右极限相 等判定 , 而 可导 性则 根据 左、 右导 数相 等判定 . 在实际的应用过程中 , 左、 右极 限和左、 右导 数的定 义往往容易混淆 , 为了引起大家的重 视 , 加 深对连续 性与可 导性关系的理解 , 下面举例进行说明 . 一、 函数在给定点是 否可 导首 先得 看函 数在 该点 是否 连续 , 如果不连续则必不可导 例 1 设 f (x ) = 处的可导性 . 错解 & f #( x ) =
x x ∀ 0-
∋ f ( 0 - ) = f ( 0 + ) = f ( 0 ), 即函数 f ( x )在 点 x = 0处连 续 . 接下来讨论函数 f ( x ) 在点 x = 0 处的可导 性 . 由 导数的 定义 , 得 f ( 0+ x ) - f ( 0 ) ex - 1 f# ( 0) = lm i = lm i = lm i ex = 1 , x x x ∀ 0x∀ 0 x ∀0f ( 0+ x ) - f ( 0 ) ( sin x + 1 ) - 1 f# ( 0 ) = lm i = lm i = + x x x ∀ 0+ x ∀ 0+ sin x lm i =1 . x x ∀ 0+ & f# - ( 0) = f# + ( 0) , ∋ 函数 f ( x )在点 x = 0 处可导 . 三、 小 结 分段函数在分段点处的可导性是建立在函数在该点是连 续的基础之上的, 倘若忽略了函数在分段点处的连续性而直接 求其导数 , 看似简单且能够得出 ) 结果 ∗, 却不知已犯下严重的 错误 . 因此 , 教师在教学过程当中 , 有意识地增加相关方面的例 题, 结合具体分段函数研究其在分段点处的连续与可导性, 使 学生加深对相关概念的理解起到事半功倍的作用. 参考文献 ! [ 1] 同济大 学应 用数 学系 . 高等 数 学 ( 上 册 ) [ M ]. 北 京 : 高等教育出版社 , 2006 . [ 2] 赵邦杰 , 郭瑞海 . 对 分段 函数 在分 段点 的极 限 、 连 续、 可导性的 研究 [ J]. 西南 民族 大学 学 报 ( 自然 科学 版 ) , 2003( 29) 4: 402- 405. [ 3] 冯其明 . 分 段 函 数 在 分 段 点 处 导 数 的 一 种 求 法 [ J]. 无 锡商业职业技术学院学报 , 2004( 4) 2: 55- 56. [ 4] 丁玉敏 . 分段函 数中 的几 类问 题分 析 [ J]. 胜利 油 田职工大学学报 , 2003( 17) 4: 53- 54.
s inx, x > 0 , ex , x % 0, cosx, x > 0 , ex , x% 0,
讨 论函数 f ( x ) 在点 x = 0
f# m e = 1, f # m cosx = 1, - ( 0 ) = li + ( 0 ) = li
x ∀ 0+
∋ f# . - ( 0) = f# + ( 0) = 1 ∋ 函数 f ( x )在点 x = 0 处可导 . 分析 错解产生的根本原因 是对导函 数的定义 理解不 透彻 , 将函数左、 右导 数 同函 数 左、 右 极 限混 为 一谈 . 事实 上 , 函数 f ( x )在点 x = 0 处是不可导的 . 根据 函 数 左、 右 极 限 的 定 义 : & f ( 0- ) = li m ex = 1,
ZHUANT I YANJIU
专题研究
79
分段函数在分段点处的连续性与可导性的探讨
欧阳伟华 (韩山师范学院数学与 信息技术系 521041 ) 摘要 !通过对分 段函数 在分段 点性态 的讨 论 , 给 出了 判定函数 在 分 段点 导 数 是 否 存 在的 方 法 , 并 得 出 一般 性 结论 . 关键词 !分段函数 ; 连 续 ; 可导 函数的可导性 与连续 性之 间的 关系 , 是 高等 数学 中必 须掌握的知识点 , 深入理解二者之间 的关系 , 对学习 高等数 学是十分重要的 . 对一元函数来说 , 高等数学中明确 给出结 论 : 如 果函数 y = f ( x ) 在点 x 处可导 , 则函 数在该 点必连 续 ; 反之 , 一个函 数在某点连续却不一定在该点处可导 . 该结论的前半部分可根据导 数定义和 极限运算 法则得 证 : 设函数 y = f ( x )在点 x 处可 导 , 即 li m 极限运算法则 , 可得 y li m y = li m ∃ x∀ 0 x∀ 0 x y x = li m ∃ li m x = f#( x ) ∃ 0= 0. x∀ 0 x x∀ 0