分段函数在分段点处的连续性与可导性的探讨
分段函数在分段点处几个问题讨论
分段函数在分段点处几个问题讨论作者：邹小云来源：《时代经贸》2011年第22期【摘要】分段函数是函数问题中的难点，本文对分段函数在分段点处的连续性、可导性、不定积分及定积分等问题作了一些方法的探讨。
【关键词】分段函数；导数；不定积分；定积分分段函数在经济应用数学中是一种常见的函数，往往有很多实际问题可以用分段函数来表达，而在问题的分析过程中常常用到分段函数在分段点的连续性与可导性，这些正是学生感到头疼的问题，本文对分段函数在分段点的一些问题做了些讨论，给出一些新的方法并加以论证。
一、分段函数在分段点的连续性根据函数在一点连续的定义，即函数在点的领域内有定义，如果，则称在点连续。
因此对于分段函数判断在分段点的连续性必须三步完成：①判断分段点处是否有定义：②判断在分段点处的极限是否存在：③判断极限是否等于该点函数值。
例1：讨论分段函数：在处的连续性。
解：，而：因此，所以函数在处的连续性。
例2：设函数：试研究在处的连续性。
解：所以在处不连续。
而当时分段函数在某一区间内一点时，则在处的连续性问题成为初等函数的连续性问题，即由初等函数在其定义区间内都是连续的知在处连续。
二、分段函数在分段点的可导性任何一本高等数学教材在给出了定义之后，都给出了可导的必要条件，即“可导必连续，但连续不一定可导。
”这一条件的另一说法是：在一点不连续一定在该点不可导。
因此，对于分段函数，讨论它在分段点处的可导性一般分为两步：1.若在点不连续，则它在点一定不可导；例如：讨论是否存在。
因为；而，，所以函数在在不连续。
故可知不存在。
2.若在点连续，且在点的左、右导数都存在且相等，则在点可导。
对于这种情形左、右导数用定义一般可计算。
设，求。
解：由于=1，所以=1。
其实对于第二步中，若函数满足一定的条件，可不必用定义去计算，对此介绍如下事实。
定理：设函数在连续，且在区间可导，若存在，则存在，且。
证明：任取一点，由于在连续，在区间内可导，所以在上连续，在内可导，由微分中值定理，存在，使得：从而有：由题设知存在，所以右导数存在，且。
分段函数连续性及可导笥的判定方法
分段函数连续性及可导笥的判定方法首先，我们来介绍分段函数的连续性的判定方法。
对于一个分段函数，要判断其是否连续，需要检查它在每个分段上的连续性。
具体方法如下：1.检查每个分段函数的定义域是否有间断点。
如果定义域中存在间断点，那么在该点处就无法进行连续性的判定。
2.检查每个分段函数的定义域上是否有左极限和右极限，并且它们是否等于分段函数在该点的函数值。
如果等于，说明分段函数在该点连续。
3.如果分段函数在每个分段上都满足以上两个条件，那么该分段函数就是连续的。
下面我们来介绍分段函数的可导性的判定方法。
要判断一个分段函数是否可导，需要满足以下条件：1.分段函数的每个分段都需要是可导的。
这意味着在每个分段上，分段函数的导数都存在。
2.分段函数的每个分段上的导数需要连续。
也就是说，在每个分段的内部，函数的导数存在且连续。
如果一个分段函数满足以上两个条件，那么它就是可导的。
注意，一个函数在一些点可导，意味着在该点的左极限和右极限都存在，且相等。
因此，一个分段函数在一些点可导，也需要满足这个条件。
在判定分段函数可导性时，我们还可以使用以下方法：1.如果分段函数在一些点处定义域的两边的导数不相等，或者其中一个导数不存在，那么该点不可导。
2.如果分段函数在一些点的左极限和右极限的导数不相等，或者其中一个极限的导数不存在，那么该点不可导。
总结起来，判断分段函数的连续性和可导性时，都需要分别对每个分段进行判定，然后再考察各个分段之间的连接处。
除了上述的方法，还有一些常见的特殊类型的分段函数的连续性和可导性判定方法，如绝对值函数、符号函数、阶梯函数等。
这些特殊函数的判定方法可以根据其定义和性质进行判定。
综上所述，分段函数的连续性和可导性的判定方法需要分别对每个分段进行判断，并且考虑各个分段之间的连接处。
不同类型的分段函数可能需要采用不同的方法进行判定。
通过掌握这些方法，我们能够更好地理解和应用分段函数的连续性和可导性的概念。
关于分段函数在分界点的连续性和可导性的探讨
关于分段函数在分界点的连续性和可导性的探讨分段函数是函数的一种特殊形式，其定义域可以分为多个不相交的区间，每个区间内有不同的表达式来描述函数的值。
在分界点处，存在着连续性和可导性的问题，我们将以数学的角度进行探讨。
在本文中，我们将主要关注一维实数情况下的分段函数。
首先，让我们来定义一个一般的分段函数，假设有一个定义在实数集上的函数f(x)，它在定义域内划分为n个区间I1, I2, ..., In，每个区间内有一个表达式来描述函数的值，即f(x) = f1(x) 在 I1，f(x) =f2(x) 在 I2，...，f(x) = fn(x) 在In。
对于一个分段函数来说，最基本的性质是函数在分界点处的连续性。
若函数在分界点处连续，则称该函数是一个连续的分段函数。
为了研究函数在分界点处的连续性，我们需要探讨两个重要的概念：左极限和右极限。
对于一个分界点c，左极限记作lim┬(x→c⁻) f(x)，表示当 x 从左侧接近 c 时，f(x) 的极限值；右极限记作lim┬(x→c⁺)f(x)，表示当 x 从右侧接近 c 时，f(x) 的极限值。
对于一个分段函数来说，若函数在分界点c处连续，即左极限等于右极限，并且函数值等于极限值，即lim┬(x→c⁻) f(x) = lim┬(x→c⁺)f(x) = f(c)，则我们可以通过函数的定义来求得连续部分的函数值。
然而，对于一个分段函数来说，存在着函数在分界点处不连续的情况。
第一种情况是函数在分界点c处是跳跃不连续的，即左极限和右极限存在，但不相等，此时函数在c处不连续。
例如，考虑函数f(x) = ，x，在x=0处分界，f(0) = 0，lim┬(x→0⁻) ，x， = -x = 0，lim┬(x→0⁺) ，x， = x = 0，左极限和右极限相等，所以f(x)在x=0处连续。
第二种情况是函数在分界点c处是间断不连续的，即左极限和右极限至少有一个不存在，此时函数在c处不连续。
关于分段函数若干问题的讨论
数存 在 ， 并且 厂一（ 。 ｚ ）一 Ａ （ ｆ＋（ 。 或 ｚ ）一 Ａ） 。
１，
推论 设 函数 厂 ． （ ）在 ｚ ｚ 。的 某 邻 域 内连 续 ，
在 ｚ 。的某 去 心 邻 域 内可 导 且 ｌ ｉ （ ｍｆ ）存 在 ， 则
狄克函。）ｆ 三 。用个 厂 ｚｏ ｌｍ厂 （ ）。 利雷数（＝ ： 喜 等 几 （ ）一 ｉ ｚ 。
例 ２ 函数 厂 ）一 （
ｃ Ｏ
＇ ｚ≠ ０ 试 求
１， ０
ｆ （ ） ０ 。
ｚ一０ ．
ｚｃ ≥ 时ｆ ｄ—ｘ 一 ＋ ； ＋１ ０ ， ｘ ｊｚ 等 ｃ ； ． ） － ｄ ２
因 为 （ ） （ 。 ， ｃ ） 连 续 ， 由原 函 ｚ 在 一 。＋ × 上 。 则
ｔ一
因为 ｆ ｏ ）一 ｆ Ｏ ）一 ＿ ０ ， （一 （ 厂 ） 由定 理 １知 （
厂ｚ （ ）在 （ ｏ ＋ ｏ ）上 连 续 。 一 ｏ， ｏ
（ ）可 导 性 ２
当 ｚ＜ ０时 ， ｚ ｆ （ ）一 （ｉ ） ｓ ｎ 一 Ｃ Ｓ ｚ＞ Ｏ ｚ；
０时 ， （ ）一 （ ） ｚ ｚ 一 １ ｚ一 ０时 ， ；
的 不 同 变 化 范 围 中 ， 应 法 则 用 不 同 式 子 来 表 示 对
ｒ １， ｚ＞ ０
件是 函数 厂 ）在点 ｚ 处左 导 数 、 导 数都 存 在 （ 。 右
且相 等 。
定 理 ３ 设 函数 厂 ）在 区间 （ ， 。 （ ［ 。 ［ （ ｎｚ ］ 或 ，
由 Ｆ（一 Ｏ ）一 Ｆ（ 得 ： １ Ｃ Ｏ） 一 ＋ ｌ— ｃ ， ｃ — ｃ ２令 ｌ ，
ｆ Ｃ Ｓｚ ＋ Ｃ — Ｏ ， ｚ＜ ０
分段函数分段点处可导性的讨论
分段函数分段点处可导性的讨论作者：时文俊来源：《科技创新导报》2013年第15期摘要：分段函数是高等数学中一种重要的函数，该文讨论了分段函数分段点处的可导性，并给出了求分段函数分段点处导数的几种方法。
关键词：分段函数分段点可导中图分类号：O172. 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2013）05（C）-0168-02函数是高等数学的研究对象，分段函数也不例外。
分段函数一般而言不是初等函数，但在教学过程中经常涉及到。
而导数是研究函数性态的重要工具，因此分段函数分段点处的连续性与可导性问题是高等数学教学中一重点，同时也是难点，讨论分段函数分段点处的连续性与可导性的题目也是各级各类考试中的常见题型。
1 分段函数分段点处的可导性根据函数在一点处的导数的定义——函数增量与自变量增量的比值当自变量增量趋于零时的极限，知一点处的导数指的是函数在该点处的变化率问题，不是孤立的，与附近的函数关系有关。
分段函数是在自变量的不同取值范围内函数的表达式不同，因此在分段函数分段点的两侧函数表达式不同，这时要考虑分段点处的导数是就需求导数定义式的左、右极限，即左、右导数。
由于左、右导数存在且相等是导数存在的充分必要条件，因此若左、右导数存在且相等则函数在分段点处可导，若左、右导数至少一个不存在，则函数在分段点处不可导。
下面我们结合一些例子来讨论分段函数分段点处的导数的计算方法。
2 分段函数分段点处的导数计算2.1 用定义求分段函数分段点处的导数例1[1]设函数，求错解1：当时，，故错解2：当时，，故分析：出现上述两种错解的原因是学生没有理解导数概念的本质含义。
导数是运动的、变化的、相互联系的量，不是孤立的，不只与一点处的函数值有关，因此解法一错。
函数在一点处的导数，反映了函数相对于自变量的变化率，这个变化率是由函数与自变量的依赖关系（对应法则）决定的。
对于初等函数，这种依赖关系是一个数学式子给出的，所以求导数可按照初等函数的求导公式和求导法则来求，而分段函数的分段点处附近表示函数与自变量依赖关系得数学式子不是一个，不能应用导数公式、法则来求分段点处的导数，应考虑该点左右两侧的情况，因此要用导数的定义及左、右导数来确定分段函数在分段点处的导数是否存在。
分段函数分界点处的可导性问题
分段函数分界点处的可导性问题分段函数分界点处的可导性问题分段函数是一种在定义域上有一定的段落的函数，每个段落上的函数都是连续的，这个函数也可以称之为“分段连续函数”。
在分段函数中，分界点（也称之为终点）是一个重要的概念，它标识着每个段落的开始和结束。
分界点处的可导性问题是一个研究分段函数的重要方面，也是本文要讨论的话题。
一、分段函数的定义在数学中，分段函数是一种有限个连续函数组成的函数，它可以用一个参数来描述。
它的表达式可以写成f(x)=f1(x) if x∈[a,b]，f2(x) if x∈[b,c]...fn(x) if x∈[n-1, n]，其中f1(x),f2(x)...fn(x)分别是定义域上的连续函数。
分段函数的参数a，b，c...n-1，n称之为分界点，分界点是分段函数的终点，也是分段函数的“节点”；这些终点之间的函数表达式是相互连续的。
二、分段函数的性质1、分段函数的定义域是有限的，它的参数可以在有限的范围内取值，这也是分段函数的一个特点。
2、在分段函数中，每个段落上的函数都是连续的，但是分界点处的函数可能不连续，而且可能不存在导数。
3、分段函数的最大特点在于它可以将一个复杂的函数拆分成多个简单的函数，从而更容易研究和理解。
三、分段函数分界点处的可导性分段函数分界点处的可导性是指在分界点处，函数是否可以求导。
一般来说，分段函数在分界点处是不可导的。
这是因为在分界点处，函数的值发生了改变，函数变得不连续，从而不能求导。
因此，分段函数分界点处的可导性问题是一个值得深入研究的重要方面，它对于研究分段函数的性质有着重要的意义。
1、分段函数分界点处的函数值要研究分段函数分界点处的可导性，首先要考虑分界点处的函数值。
一般来说，分段函数在分界点处的值是不连续的，也就是说，函数的值在分界点处发生了改变，这也是分段函数分界点处不可导的一个原因。
2、分段函数分界点处的可导性分段函数分界点处的可导性是指在分界点处，函数是否可以求导。
浅析数学分析中分段函数分界点的连续性与可导性
浅析数学分析中分段函数分界点的连续性与可导性摘要：本文运用实例探究了数学分析中分段函数分界点的连续性与可导性，从而丰富了数学分析中有关分段函数分界点的连续性与可导性的内容.关键字：分段函数;分界点;连续性;可导性1引言1.1本文背景由于分段函数的特殊性,它的研究不仅牵扯的知识面广、方法多变, 且综合性强，利用以前学过的函数的连续性和可导性的知识来进一步探讨分段函数分界点的连续性和可导性,相关内容参见文献[1-9].1.2本文主要内容及意义本文从7个方面探讨了分段函数分界点的连续性和可导性.2分段函数分界点的连续性问题2.1用函数连续性定义判别分段函数分界点的连续性定义1[1]设函数在某有定义，若，则称函数在点处连续.文献[1]给出函数在点处连续的三个条件：a. 函数在点处要有定义；b．极限存在；c. .例1讨论函数在处的连续性.分析此分段函数在分段点左右两边的函数表达式相同，因此其在左右两边的极限相等，所以其在的极限一定存在，然后再根据文献[1]给出的三个条件判断其的连续性.解 (1)函数的定义域为，故函数在有定义;(2) ;(3)，即 .因此在处同时满足定义中的三条，所以在处连续.2.2用函数单侧连续性判别分段函数分界点的连续性定义2[1]设函数在某内有定义，若，称函数点处左连续.定义3[1]设函数在某内有定义，若，称函数在点处右连续.定理1[1]在点处的连续的充要条件是在点处既要左连续又要右连续.即例 2 设函数试分别讨论在点与处的连续性.分析此分段函数在分界点和左右两边的函数表达式都不同，因此不能用定义1去求,此题可以用定理1求，只有证明分段函数分界点的左右连续且相等就可以证明此分段函数在分界点连续.解在处：由已知当时，为初等函数.又为函数定义区间上的点,则 .所以在处为左连续又因为，所以在处也右连续.由于在处既左连续又有连续，故在处连续.在处：同理可知，在处，为初等函数，又为函数定义区间上的点，且 .所以左连续,因，所以在处不右连续,由于在左连续但不右连续，故在不连续.3分段函数分界点的可导性问题3.1用导数定义判别分段函数分界点的可导性定义4[1]设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处可导，记作 .例3 设函数判断在的可导性.分析分界点两侧的函数表达式相同，因此用可导的定义去求.解在处连续，在处可导.3.2用函数单侧可导性判别分段函数分界点的可导性定义5[1]设函数在点的右邻域上有定义，若右极限存在，则称函数在处右可导，该极限值为在点的右导数，记作 .定义6[1]设函数在点的左邻域上有定义，若左极限存在，则称函数在处左可导，该极限值为在点的右导数，记作 .定理2[1]若函数在点的某邻域内有定义，则存在的充要条件是与都存在，且 .例4 设函数求在处的可导性.分析此分段函数在分界点左右两侧的函数表达式不同，因此不能用导数的定义求，只能用左右导数相等的性质求.解，，即，在点处连续.，，，在点处可导例5 设函数 ,判别在与处的可导性分析函数看似不是分段函数，但去掉绝对值后函数其实是一个分段函数，要求分段函数在分界点的可导性首先要求其在分界点是否连续，若不连续则必不可导，若连续，再按可导的定义求导、判断.此分段函数在分段点的两侧的函数表达式不同，所以要用定义分别求出分段点的左右导数，再判断.解即,即左连续也右连续，在处连续，同理可证在处连续，根据可导的定义求得，，，在处可导同理可得，，在处不可导注这说明若分段函数在其分界点连续，并不一定在分界点可导.但如果分段函数在分段点可导则必连续.即连续是可导的必要条件，而非充要条件.3.3用可导与连续的关系判断分段函数分界点的可导性例6 设函数判断在处的可导性.分析分段函数分界点连续是可导的必要条件，要证明可导则首先要证明其在分界点上连续.解，因为在处不连续，所以一定不可导.但有些学生可能会犯这样的错当时，从而在处可导，且分析上述解法错在事先没有判断在的连续性.定理2 [5]若函数在点的某邻域有定义，且都存在，则在处一定连续.例7 设分段函数判断在处的可导性.分析要判断分段函数分界点的可导性，首先要判断其在分界点的连续性，因为此函数在分界点两侧的函数表达式不同，所以再用单侧可导性来判别函数的可导性.解在上连续，，在处不可导.注在定理中，仅要求左、右导数存在，并不要求一定相等，如例7中在分界点的左右导数存在，即使，也可以证明其连续.3.4用分段函数分界点的可导性确定待定参数例8 设函数若要为可导函数，应如何选择，？分析若在定义域为可导函数，说明在每点都可导，即在处也可导，由可导性与连续性关系得在处也连续，则可由在可导，且连续两个条件求出 , .解若为可导函数，则在定义域内处处可导，即其在处也可导，由可导与连续的关系，知在连续.则有故有即，又在可导，则因此当 , 时，存在，从而为可导函数.注上例很好的运用了可导一定连续的这一性质，但是其实只要左右导数都存在，就可以推出连续的性质.4小结本文主要阐述了如何判断分段函数在分界点的连续性和可导性.如可以用函数连续性的定义和函数单侧连续性来判别其分段函数的连续性.而要判断分段函数分界点的可导性则有多种方法，如可用函数导数定义、函数单侧可导性、函数可导与连续的关系和导数极限定理来判别分段函数分界点的可导性，并且一般用导数极限定理比用导数定义判别更加简单.参考文献[1]高尚华.数学分析上册(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1987:12-91.[2]高尚华.数学分析下册(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1987:12-110.[3]林远华.分段函数的连续性与可微性[J].河池师范高等专科学校学报,2000, 20(2):26-29.[4]王琦.分段函数分界点处的可导性问题[J].齐齐哈尔师范学院学报. 1996,16(4):18-20.[5]辛兴云.判断“分段点”可导性的一个简便方法[N].河北广播电视大学学报,2000,5(2):55-57.[6]胡晶.王可宪.1994.分段函数在分段点可导的一个充要条件[J].承德民族师专学报,1994,10(2):26-27.[7]李艳娟.高等代数中分段函数问题研究[J].辽宁教育学院学报,1997,14(5):59-62.[8]张红卫.浅析分段函数[J].山西广播电视大学学报,2000,1(3):60-61.[9] Patrick M.Fitzpatrick．Advanced Calculus：A course in Mathematical Analysis[M]．Beijing：China MachinePress，2003:113－140．9。
分段函数的图像和性质
分段函数的图像和性质分段函数就像它的名字所描述的那样：它是由几个不同的函数段拼接在一起而成的。
这种类型的函数在数学和实际生活中都扮演着重要角色。
在这篇文章中，我们将讨论分段函数的图像和性质。
一、分段函数的图像分段函数的图像可能由几个不同的部分组成，每个部分都可以是一个简单的函数。
这些部分可以通过设定分界点来分隔开来，每一个分界点都表示着一个从一个函数变成另一个函数的转折点。
在这个转折点处，函数可以连续，也可以不连续，这取决于函数本身和特定的数值。
例如，考虑这样一个分段函数：f(x) ={ x^2 , x<0{ 2x , x>=0这个函数在 x=0 处存在一个分界点，f(0)=0。
在此之前，函数的形式为x^2，而在此之后，则是2x。
这个函数在x=0 处不连续，因为两个方程的斜率不同。
具体来说，左侧函数在 x=0 处的斜率是0，而右侧函数在这个点的斜率是2。
二、分段函数的性质1. 连续性像上面那样不连续的函数，叫做不连续函数。
尽管它们在某些点上不连续，但它们仍然有意义和应用。
这就意味着它们仍然有定义域和值域。
一些函数是连续的，这意味着它们在定义域内的每个点都是连续的。
这意味着它们没有锐利的变化，没有跳跃。
相反，它们变化平稳，可以用通常的方法来处理。
例如，线性函数就是一个连续函数。
在线性函数中，斜率是常数，同一个函数在定义域内的每一个值都是连续的。
2. 奇偶性分段函数可能是奇函数、偶函数，或既不是奇函数也不是偶函数。
奇函数是这样的函数，满足 f(-x)=-f(x)。
换句话说，如果把函数关于原点翻转，那么它的值保持不变。
例如，函数 f(x) = x^3 是一个奇函数。
因为当 x=-a 时，f(-a)=-a^3，而 f(a)=a^3。
因此，f(-a)=-f(a)。
偶函数是这样的函数，满足 f(-x)=f(x)。
这意味着把函数关于 y 轴镜像，函数的形状保持不变。
例如，函数 f(x) = x^2 是一个偶函数。
实例分析分段函数的微积分典型问题
实例分析分段函数的微积分典型问题在高等数学的学习过程中，分段函数作为函数中特殊的一类，对其理解和接受都存在一定难度，同时也是高等数学教学中的重点和难点。
为了突破这一难点，就要掌握分段函数在分界点处的各种性质，进而利用微积分计算等方法进行求解。
1 分段函数和微积分分段函数是指在不同的定义域区间具备不同解析式的函数，即不能用同一解析式进行表达的函数。
归根结底，分段函数也是一个函数，其图像也是唯一的。
而分段函数在分界点的性质变化正是其难点所在，也是其本身特殊性所在，因此为了研究分段函数，首要的研究目标就是分段函数的分界点，而微积分在高等数学中也占据着重要的地位，是研究函数有关概念和性质的数学分支，能够使得分段函数中分界点的相关计算有据可依。
两者的互相补充为高等数学的解题带来了便捷。
2 分段函数微积分问题归类与分析2.1 一元分段函数微积分2.1.1 对一元分段函数在分界点处的极限判断对于一元函数分界点处极限的判断，主要是依据分段函数的表达形式。
若函数表达形式在分界点的左右不同，就可以依据分段函数在分界点处左右极限来判断，当极限存在且相等时，该点存在极限；若不存在或者两者不相等时，则该点不存在极限。
若分界点左右的函数表达方式相同，就可直接运用计算极限的常用方法将极限计算出来。
举例说明：例1：已知函数=，求（1）；（2）。
解析：由分段函数表达式可知，x=1为该分段函数的分界点，当x<1和x>1时，所对应的解析式也不同。
所以针对（1）问，应该讨论当x趋近于1时的左右极限。
因此x时，x<1，此时；而当x时，x>1，此时，因此则有函数的左极限与右极限相等，即=1，因此=1，进而得到。
2.1.2 对一元函数在分界点处的连续性判断函数在某一点具有连续性的充要条件是函数在该点同时满足左连续和右连续。
高等数学中也正是依据这个条件来判断分段函数中分界点处的函数连续性。
其具体解决步骤为：第一步，利用左右连续的定义进行分界点左右连续情况的判断；第二步，根据结果进行判断，当左右都连续则证明该分界点连续，若其中有一个不连续或者左右极限不存在或者函数在该分界点不存在定义，即可判断该点不连续。
关于分段函数在分界点的连续性和可导性的探讨
关于分段函数在分界点的连续性和可导性的探讨分段函数在数学领域占据着重要的地位，有着广泛的应用。
分段函数表示在特定范围内决定不同函数的运行行为。
其中，分段函数的分界点非常重要，它们有着对每一段连续性和可导性的重要影响。
在本文中，我们将探讨分段函数中的分界点的连续性和可导性，以及它们在数学学科中的意义和应用。
首先，让我们先来看看什么是分段函数。
分段函数是把一个函数分割成若干子函数，每个子函数都是连续的。
也就是说，对每个连续的函数段，定义域上的值是由某一关系决定的。
和分段函数一起，分段函数定义域上总存在一个点，我们称之为分界点。
它是分段函数分割的两个连续函数段的分界点。
在每个独立的分段函数中，分界点的连续性和可导性是很重要的。
从概念上讲，连续性是指函数在分界点区域没有任何间断，即函数的值在此处以某种方式顺序连接起来。
另一方面，可导性意味着函数可以在连续点处取得极限，从而引出该函数的导数，确保函数满足连续性。
因此，连续性和可导性是分段函数中分界点的重要性质。
分段函数分界点的连续性和可导性在数学学科中有着非常重要的意义。
在微积分学中，它们被用来求解和分析复杂类型的函数，例如各种微分等。
除此之外，它们还可以用来解决经典的微积分问题，如定积分求积分等。
此外，分段函数的连续性和可导性还可以用来求解函数本身及其分段函数的极限问题等。
另外，连续性和可导性也可以用来解决分段函数及其分段函数的重要属性，例如无穷多性，等价性等。
从另一方面讲，连续性和可导性也可以用来研究函数定义域和值域上的特性，这对于解决函数极值问题非常有用。
总的来说，分段函数在分界点的连续性和可导性非常重要。
它们不仅可以帮助我们求解复杂的函数，更重要的是，它们还能帮助我们研究函数定义域和值域上的特性，从而解决函数极值问题。
因此，分段函数中的分界点的连续性和可导性是数学领域不可缺少的重要特性，并且在实际应用中也有着重要作用。
分段函数在连续的分界点处可导性的另一种判定
这也就说明了讨论分段函数在连续的分界点是否可导 1 可以采取下述方法 / 具体步骤为 = 说明 ! 在% $ ’ $ ’ & 的邻域内连续 H % 除去分界点后分段求导 $ ’ I
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浅谈对分段函数的认识
浅谈对分段函数的认识分段函数，顾名思义，就是将一个函数分成若干不同的段，每一段的函数表达式可能不同。
这种函数通常在数学和物理学中应用广泛。
分段函数在不同的区间内具有不同的形式和特点，具有一定的复杂性和灵活性，处理潜在问题具有非常大的便捷性。
因此，现在我们就开始浅谈对分段函数的认识。
首先，分段函数的定义是非常明确的，就是在一个区域内显示不同特征的函数。
这种定义首先证明，它是具有非常强的实用性的，在许多实际应用领域都有应用，如经济学、物理学、自然科学等。
通过对函数的划分，我们可以更好地描述函数的行为特征，帮助我们更好地理解函数的性质。
因此，分段函数是实现函数实用性的极好方式。
其次，分段函数的图像表现出分母为零和定义域的奇点，具有不连续性和方向性，同时具有不同的凸起和凹陷区域。
这种非线性的可见性让我们可以更加便捷地处理各种函数表达。
但是，它的非线性特质也意味着在分段函数的处理上将需要更精致的技术和方法。
我们应该熟悉不同分段函数的特征，让我们可以更好地优化函数表达式，更为适合不同的应用场景。
通过以上两点，我们可以看出分段函数之于数学上的总体价值，它为我们带来了实用性和便捷性，在函数绘制和数学处理方面具有重要价值。
但是，分段函数的复杂性和不断变化的特征也让我们认识到，在处理过程中，我们需要务必保持对函数的敏感性和细致性，这样我们才能更好地利用分段函数来解决问题和实现应用。
在完善以上认识的基础上，我们还需要学习如何掌握分段函数的处理技巧。
在实际处理过程中，我们需要了解一些重要的步骤，如定性分析、分类讨论等，以便更好地划分函数段和描述函数性质。
同时，我们还需要建立系统的函数处理体系，掌握常用的函数处理方程和求解方法，以便更好地在实际数学应用中实现分段函数。
综上所述，分段函数是数学中一种非常重要的函数形式，其具有实用性和便捷性，具有多种表现形式，具有不同的凸起和凹陷区域。
通过对其认识的深化，我们可以更好地掌握它的特征和复杂性，在实际应用和数学处理中实现其全面价值。
《高等数学》教学中分段函数有关问题的探究
，
式 出现 的 ． 并未深 入讲解 。 因此 学 生 往 往 对 此 认 识 比较
肤浅 ． 学 习高等数 学时 ． 按惯性把 分段函数误认 为是初 等 函数 ． 讨 论分段 函数 在分段 点上 的极 限 、 导数、 积分 时会 出现 一些问题 ． 所 以专 门去探究 此问题 ． 便 于学生
１ ， ｘ ＝ Ｏ
Байду номын сангаас
在点 ｘ ＝ Ｏ 处 的 连 续性 。
例 ４ 确 ６ 使 函 数 － ｛ １
在 ＝ １ 处有连续的导数。
解｜ 厂 （ ） 在 ＝ Ｏ 的两侧虽有 相同的表达式 ， 但
ｌ ｉ ａ ｒ ｅ ＝ ＋∞ ． １ ｉ ｍ ｅ ＝ ０ ： 一：
方 法 。便 于 学 生 更 好地 解 决 学 习 中遇 到 的 概 念 混 淆 、 思路 不 清 、 解 题 困难 等 问题 ， 将对提 高
他 们 综 合 利 用知 识 的 能 力起 到很 好 的 作 用 。 关 键 词 ：分段 函 数 ；分段 点 ；极 限 ；导数 ；积 分
０ 引 言
ｌ ｉ ｍ ｆ （ ｘ ） ＝ ｌ ｉ ｍ． Ｘ ２ ， － ￣ － １
ｌ ｉ ｍ ｆ （ ｘ ） ＝ ｌ ｉ ｍ
一 一
＝ １
又， （ １ ） ＝ １ ， 所 以当 ａ ＋ ｂ ＝ ｌ 时 Ｙ － ｆ ＋ ） ＝ ＝
＝ ２
） 在ｘ ＝ ｌ 处连续 。 ＝ 。
《 高等数 学》 教学 中 ， 分段 函数 的讨论是 重要 的一
个 内 容 在 中学 教 学 中关 于 分 段 函 数 基 本 上 以 例 题 形
—
ｓ ｉ ｎ
． ＞ ０
例 １ 设－ 厂 （ ） ＝
求分段函数在分段点处导数的方法探析
分段函数在分段点处的导数求解是高等数学中的一个重要且复杂的问题。通常，我们使用导数的定义来求解这类问题。即在分段点处，如果函数连续且左右导数存在且相等，则该点可导。然而，这种方法在某些情况下可能显得繁琐。因此，本文介绍了三个定理，用于简化在特定条件下的分段函数求导过程。这些定理提供了一种新的视角和方法，使得在满足一定条件时，我们可以更直接地求解分段函数在分段点处的导数，而无需完全依赖于导数的定义。这不仅提高了求解效率，也深化了我们对分段函数和导数概念的理解。总的来说，本文为分段函数在分段点处的导数求解提供了一种新的思路和方法，具有重要的理论和实践意义。
有关分段函数分析性质讨论
目录摘要………………………………………………………………………………………1 关键词 ……………………………………………………………………………………….……1 Abstract …………………………………………………………………………………………… 1 Key words ………………………………………………………………………………………… 1 引言……………………………………………………………………………………………… 1 1 分段函数的连续性…………………………………………………………………………… 2 1.1 用定义法判断函数在分界点处的连续性………………………………………………… 2 1.2 用定义的εδ-语言判断分段函数的连续性………………………………………… 3 2 分段函数在分界点处的可微性……………………………………………………………… 4 2.1 利用导数定义判断分段函数在分界点处的可导性……………………………………4 2.2 利用命题“函数()f x 在0x 可导00()()f x f x +-''⇔=”判断分段函数()f x 在分界点0x 处的可导性................................................................................................ 4 2.3 利用导数极限定理讨论分段函数在分界点处的可导性....................................... 5 3 分段函数的可积性....................................................................................... 7 3.1 分段函数的不定积分与定积分..................................................................... 7 3.1.1 分段函数的不定积分................................................................................. 7 3.1.2 分段函数的定积分.................................................................................... 8 3.2 分段函数可积性的有关结论..................................................................... 9 3.3 典型分段函数的讨论................................................................................. 10 参考文献...................................................................................................... 12 致谢 (12)有关分段函数的分析性质的讨论摘要通过对分段函数连续性、可微性与可积性的讨论，不仅给出了判断分段函数是否连续、可微及可积的方法，而且讨论了几个典型且重要的分段函数（如：狄利克雷函数与黎曼函数）.通过讨论可得出分段函数在微积分中所具有的十分重要的作用:利用分段函数来判断有关命题的真假（举正、反例）.关键词分段函数分界点连续性间断点可微性可积性About the Discussion of the Analysis Features Of theSegments-divided FunctionAbstract In this paper,based on the segments-divided function continuity,differentiability and integrability discussion.Segments-divided function not only gives the boundary points are continuous,differentiable and integrable method,but discussed several typical and important segments-divided function(for example,Dirichlet function and Riemannfunction).Segments-divided function can be obtained through discussions in the calculus,which has the very important role. We can use the segments-divided function to determine whether the proposition is true or not(give positive and negative cases).Key words Segments-divided function Demarcation point continuity Discontinuities Differentiability Integrability.引言在《微积分》及《数学分析》中，讨论分段函数在分界点处的连续性、可微性及可积性是相当重要的知识点.分段函数，是指当自变量在不同的范围内取值时，对应法则不能用一个公式，而是用不同的式子来表示的函数，例如1sin,0()0,0.x xf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，类似的分段函数在微积分理论中随处可见，并具有十分重要的作用，比如举正反例常用到分段函数，本文将对分段函数的连续性、可微性、可积性进行讨论.我们知道在讨论分段函数连续性时须利用连续的定义判断，这就告诉我们必须掌握好函数在分界点处的左、右极限，以及其与函数在分界点处的函数值、函数在分界点处连续之间的关系,即左、右极限相等并且等于函数在分界点处的函数值时才连续.在各种版本的教材中，虽然例题各不相同，但在讨论分段函数在分界点可微性时都可利用左、右导数的原始定义及有关可导的充要条件来判断.但必须注意函数在不连续的分界点处一定不可导，而对于连续的分界点，函数可能可导也可能不可导.对于求分段函数的不定积分和定积分时须掌握原函数定义()()()F x f x '=及其具有的连续性的性质；要掌握关于可积的有关重要结论，而且要特别注意分段函数在积分论中所体现的十分重要的作用.1 分段函数的连续性分段函数是以某些点（分界点）为界用不同的表达式来表示的函数，而在各分段区间上一般是初等函数，在其定义区间上连续，所以讨论分段函数的连续性实质上是讨论它在分界点处是否连续. 1.1 用定义法判断函数在分界点处的连续性先求()f x 在分界点0x 处的左右极限0lim ()x x f x -→与0lim ()x x f x +→，再与()f x 在此点的函数值0()f x 比较，若0lim ()x x f x -→与0lim ()x x f x +→相等并且等于0()f x ，则()f x 在点0x 连续，否则在点0x 间断.下面对间断点进行简单讨论.间断点分为第一类间断点及第二类间断点，其中第一类间断点又可分为可 去间断点和跳跃间断点.（1）可去间断点 若0lim x x → ()f x =A ，而()f x 在点0x 无定义，或有定义但0()f x A ≠,则称0x 为()f x 的可去间断点.例如，对于函数1,0,()sgn 0,0,x f x x x ≠⎧==⎨=⎩因为0lim ()10(0)x f x f →=≠=，所以0x =为()f x 的可去间断点.（2）跳跃间断点 若函数()f x 在点0x 的左右极限都存在，但lim ()x x f x -→≠0lim ()x x f x +→，则称点0x 为函数()f x 的跳跃间断点.例如，符号函数1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩因为0lim sgn 1x x +→=，0lim sgn 1x x -→=-，即0limsgn x x +→≠0lim sgn x x -→，所以0x =为sgn x 的跳跃间断点.（3） 第二类间断点 函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点称为第二类间断点.例如，狄利克雷函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数,为无理数,其定义域R 上每一点x 都是第二类间断点. 例[]11 讨论函数1,7,7(),71,1sin(1),11x x f x x x x x x ⎧-∞<<-⎪+⎪-≤≤⎨⎪⎪-<<+∞-⎩=的连续点、间断点及其类型.解 因为111lim ()lim sin(1)11x x f x x x ++→→=-=-，11lim ()lim 1x x f x x --→→==且(1)1f =，所以11lim ()lim ()(1)1x x f x f x f +-→→===，所以1x =是()f x 的连续点. 因为771lim ()lim 7x x f x x --→-→-=+不存在，77lim ()lim 7x x f x x ++→-→-==-，所以7x =-为()f x 的间断点，为第二类间断点. 故()f x 在7x ≠-时处处连续. 1.2 用定义的εδ-语言判断函数的连续性εδ-语[]2言：若对任给的0ε>，0δ∃>，使得当0x x δ-<时有0()()f x f x ε-<，则称函数()f x 在点0x 连续. 例[]32 证明黎曼函数1,(,,)()0,0,1(0,1)p px p q qq q R x x +⎧=∈N ⎪=⎨⎪=⎩为既约真分数，和内的无理数在()0,1内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续. 证明 设ξ∈()0,1为无理数，0ε∀>（不妨设12ε<）满足1q ε≥的正整数q只有有限个（但至少有一个，比如2q =）使得()R x ε≥的有理数x ()0,1∈只有有限个（至少有一个，如12），并设为1x ，2x ，……，n x 取12min(,,...,,,1)n x x x δξξξξξ=----，则对x ∀∈()();0,1U ξδ⊂，当x 为有理数时有()R x ε<，当x 为无理数时()0R x =.于是，对x ∀∈();U ξδ，总有()()()0()()R x R R x R x R x ξε-=-==<，由ξ的任意性知()R x 在任一无理点ξ处都连续.设p q 为()0,1内任一有理数，取012q ε=，对0δ∀>（无论多么小），在(;)p U qδ内总可取到无理数()0,1x ∈，使得011()()0p R x R q q q ε-=-=>,所以()R x 在任何有理点处都不连续.2 分段函数在分界点处的可微性分段函数在分界点处的可微性只需判断分段函数在分界点处是否可导即可.2.1 利用导数定义判断分段函数在分界点处的可导性利用导数定义判断分段函数()f x 在分界点0x 处可导性是一种基本方法，直接考虑极限000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆的存在性即可.例[]43 讨论函数21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处的可导性. 解 因为0lim ()0(0)x f x f →==，所以()f x 在0x =连续.因为0limx ∆→2001()sin(0)(0)1lim lim sin 0x x x f x f x x xx x∆→∆→∆-+∆-∆==∆=∆∆∆，所以()f x 在0x =可导且(0)0f '=.2.2 利用命题“函数()f x 在0x 可导00()()f x f x -+''⇔=”判断分段函数()f x 在分界点0x 处的可导性利用此方法判断分段函数()f x 在分界点0x 处的可微性要分别讨论()f x 在0x 处的左、右导数，根据导数与单侧导数的关系研究其可导性.例[]14 讨论函数1cos ,0,(),0x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩在0x =处的可导性.解 因为0lim ()0,lim ()0,(0)0x x f x f x f +-→→===， 所以0lim ()0x f x →==(0)f ，即()f x 在0x =连续.因为(0)(0)f x f x +∆-∆=1cos ,0,1,0,xx x x -∆⎧∆>⎪∆⎨⎪∆<⎩所以001cos sin (0)lim ()lim 01x x x xf x +++∆→∆→-∆∆'===∆满足洛必达法则条件，(0)lim 11x f --∆→'==，所以(0)f f +-''≠（0）， 从而()f x '在0x =处不可导.2.3 利用导数极限定理讨论分段函数在分界点处的可导性定理[]51 设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内连续，在00()U x 内可导，且极限0lim ()x x f x →'存在，则()f x 在点0x 可导且0()f x '0lim ()x x f x →'=.例[]65 研究函数()f x =123,1,,01,,0x e x x x x x -⎧<<+∞⎪≤≤⎨⎪-∞<<⎩在分界点0x =与1x =处的可导性.解 因为30lim ()lim 0x x f x x --→→==，2lim ()lim 0x x f x x ++→→==且(0)0f =， 所以0lim ()x f x →=0=(0)f ，即()f x 在0x =处连续.同理可得 ()f x 在1x =处连续.在各区间内分别对()f x 求导，得()f x '=12,1,2,01,3,0,x e x x x x x -⎧<<+∞⎪<<⎨⎪-∞<<⎩因为 0lim ()lim 20x x f x x ++→→'==，20lim ()lim 30x x f x x --→→'==，所以 0lim ()lim ()0x x f x f x -+→→''==，所以(0)0f '=即()f x 在0x =处可导. 因为 111lim ()lim 1x x x f x e ++-→→'==，11lim ()lim 22x x f x x --→→'==， 所以 1lim ()x f x +→'≠1lim ()x f x -→'，所以()f x 在1x =处不可导. 注 1。
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f ( 0+ ) = li m sinx = 0 , 由于 f ( 0- ) ( f ( 0+ ), 则函数 f ( x )在点
x∀ 0 +
x = 0 处不连续 , 故必不可导 .
数学学习与研究
2010 19
s inx, x > 0 , ex , x % 0, cosx, x > 0 , ex , x% 0,
讨 论函数 f ( x ) 在点 x = 0
f# m e = 1, f # m cosx = 1, - ( 0 ) = li + ( 0 ) = li
x ∀ 0+
∋ f# . - ( 0) = f# + ( 0) = 1 ∋ 函数 f ( x )在点 x = 0 处可导 . 分析 错解产生的根本原因 是对导函 数的定义 理解不 透彻 , 将函数左、 右导 数 同函 数 左、 右 极 限混 为 一谈 . 事实 上 , 函数 f ( x )在点 x = 0 处是不可导的 . 根据 函 数 左、 右 极 限 的 定 义 : & f ( 0- ) = li m ex = 1,
x∀ 0
二、 如果函数在给定点 连续 , 则在 该点处的 可导性 需要 进一步讨论 讨论函数 f (x )在点 ex , x% 0, x= 0 处的连续性及可导性 . 分析 该题的解答需要深入了 解函数的连 续与可 导的 定义 , 函数 f ( x )在点 x = 0 处连续 , 要求函数在 点 x = 0 处的 极限存在且等于它在该点的函数值 , 即 函数在 点 x = 0 处有 定义 , 该点的左、 右极 限存 在又相 等 , 且极 限等 于函 数在 该 点的函数值 ( f ( 0 - ) = f ( 0+ ) = f ( 0 ) ); 函数 f ( x ) 在点 x = 0 处可导 , 要 求函 数 在 点 x = 0 处 的 左、 右 导数 存 在 且 相 等 ( f# - ( 0) = f# + ( 0 ) ), 其前提是函数在该点连续 . 解 先讨论函数的连续性 . & f ( 0 - ) = li m f ( x ) = li m ex = 1,
x x ∀ 0-
∋ f ( 0 - ) = f ( 0 + ) = f ( 0 ), 即函数 f ( x )在 点 x = 0处连 续 . 接下来讨论函数 f ( x ) 在点 x = 0 处的可导 性 . 由 导数的 定义 , 得 f ( 0+ x ) - f ( 0 ) ex - 1 f# ( 0) = lm i = lm i = lm i ex = 1 , x x x ∀ 0x∀ 0 x ∀0f ( 0+ x ) - f ( 0 ) ( sin x + 1 ) - 1 f# ( 0 ) = lm i = lm i = + x x x ∀ 0+ x ∀ 0+ sin x lm i =1 . x x ∀ 0+ & f# - ( 0) = f# + ( 0) , ∋ 函数 f ( x )在点 x = 0 处可导 . 三、 小 结 分段函数在分段点处的可导性是建立在函数在该点是连 续的基础之上的, 倘若忽略了函数在分段点处的连续性而直接 求其导数 , 看似简单且能够得出 ) 结果 ∗, 却不知已犯下严重的 错误 . 因此 , 教师在教学过程当中 , 有意识地增加相关方面的例 题, 结合具体分段函数研究其在分段点处的连续与可导性, 使 学生加深对相关概念的理解起到事半功倍的作用. 参考文献 ! [ 1] 同济大 学应 用数 学系 . 高等 数 学 ( 上 册 ) [ M ]. 北 京 : 高等教育出版社 , 2006 . [ 2] 赵邦杰 , 郭瑞海 . 对 分段 函数 在分 段点 的极 限 、 连 续、 可导性的 研究 [ J]. 西南 民族 大学 学 报 ( 自然 科学 版 ) , 2003( 29) 4: 402- 405. [ 3] 冯其明 . 分 段 函 数 在 分 段 点 处 导 数 的 一 种 求 法 [ J]. 无 锡商业职业技术学院学报 , 2004( 4) 2: 55- 56. [ 4] 丁玉敏 . 分段函 数中 的几 类问 题分 析 [ J]. 胜利 油 田职工大学学报 , 2003( 17) 4: 53- 54.
ZHUANT I YANJIU
专题研究
79
ห้องสมุดไป่ตู้
分段函数在分段点处的连续性与可导性的探讨
欧阳伟华 (韩山师范学院数学与 信息技术系 521041 ) 摘要 !通过对分 段函数 在分段 点性态 的讨 论 , 给 出了 判定函数 在 分 段点 导 数 是 否 存 在的 方 法 , 并 得 出 一般 性 结论 . 关键词 !分段函数 ; 连 续 ; 可导 函数的可导性 与连续 性之 间的 关系 , 是 高等 数学 中必 须掌握的知识点 , 深入理解二者之间 的关系 , 对学习 高等数 学是十分重要的 . 对一元函数来说 , 高等数学中明确 给出结 论 : 如 果函数 y = f ( x ) 在点 x 处可导 , 则函 数在该 点必连 续 ; 反之 , 一个函 数在某点连续却不一定在该点处可导 . 该结论的前半部分可根据导 数定义和 极限运算 法则得 证 : 设函数 y = f ( x )在点 x 处可 导 , 即 li m 极限运算法则 , 可得 y li m y = li m ∃ x∀ 0 x∀ 0 x y x = li m ∃ li m x = f#( x ) ∃ 0= 0. x∀ 0 x x∀ 0
x ∀ 0x ∀ 0+
例 2
设 f( x ) =
sinx + 1, x > 0,
y = f #( x )存 在 , 由 x
f ( 0 + ) = li m f ( x ) = li m sinx + 1= 1, f ( 0 ) = 1,
x ∀ 0+ x ∀ 0+
这说明函数 y = f ( x )在点 x 处是连续的 . 结论 后半部分 可通过一个反例说明 , 如绝对值函 数 y = | x |虽然在 点 x = 0 处连续 , 但在该点却不可导 . 对于分段函数 在分段 点处 的可 导性 , 我 们首 先得 判断 函数在该点处的连续性 , 进而讨论其 可导性 . 连续性 可根据 该点处左、 右极限相 等判定 , 而 可导 性则 根据 左、 右导 数相 等判定 . 在实际的应用过程中 , 左、 右极 限和左、 右导 数的定 义往往容易混淆 , 为了引起大家的重 视 , 加 深对连续 性与可 导性关系的理解 , 下面举例进行说明 . 一、 函数在给定点是 否可 导首 先得 看函 数在 该点 是否 连续 , 如果不连续则必不可导 例 1 设 f (x ) = 处的可导性 . 错解 & f #( x ) =