11理论力学
理论力学 第11章 质点运动微分方程
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
《理论力学》课件 第十一章
第十一章动量定理动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理.§11--1 动量与冲量1、动量的概念：产生的相互作用力⑴定义：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，-----记为mv。
质点的动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。
kgms/单位)i p v 质点系的动量()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑质心公式：⑵、质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
)idr p v dt ()i i dm r dt∑注意：质量m i是不变的如何进一步简化？参考重心、形心公式。
李禄昌()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑) p r r cm v =质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。
cωv C =0v Ccωcov C2．冲量的概念：tF IF I d d IF d 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用。
冲量是矢量，方向与常力的方向一致。
冲量的单位是N.S 。
§11-2 动量定理—-确定动量与冲量的关系由牛顿第二定律：F v m )F v m d )称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量v v ~ ⎰==-21d 12t t It F v m v m称为质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔⎰==-21d 12t t It F v m v m 2、质点系的动量定理(F (F外力：，内力：(F (F M FF F v tF F v i i d )(∑+)()(d d d e ie i It F p ∑=∑=)(d d e i F tp ∑=称为质点系动量定理的微分形式，即质点系动量的质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（主矢）动力学与静力学联系。
)(112e ini Ip p =∑=-p p ~ 称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间)(d d e xx F tp ∑=)(d d e yy Ftp ∑=)(d d e z z F tp ∑=动量定理微分形式的投影式：动量定理积分形式的投影式：)(12e xx x Ip p ∑=-)(12e yy y Ip p ∑=-)(12e zz z Ip p ∑=-动量定理是矢量式，在应用时应取投影形式。
理论力学第十一章 达朗贝尔原理(动静法)
讨论：1）脱离角α与滚筒的角速度和滚筒半径有关，而与钢球质量无关。
2）
筒壁。此时转筒
的转速称为临界转速，对球磨机而言，要求n小于nL，否则球磨机就不能工作。
§11－2 刚体惯性力系的简化
刚体平移时惯性力系的简化
当刚体平移时,任一瞬时体内各点的加速度相等。若记某瞬 时刚体质心加速度为aC，则该瞬时体内任一质量为m的质点 的加速度ai=aC，虚加在该点上的惯性力Fgi=-miai=-miaC 。 刚体内每一点都加上相应的惯性力，由静力学知,该空间平 行力系可简化为过质心的合力，即
式中，Fgτ=-maτ，称为切向惯性力 Fgn=-man称为法向惯性力（也称离心力）
负号表示它们分别与切向加速度和法向加速度的方向相反。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
质点系的动静法
对由n个质点组成的非自由质点系,设其中任一质点的质量 为mi,某瞬时加速度为ai，作用其上的主动力F，约束反力 Fni，假想在该质点上加上惯性力Fgi=-mai，由质点达朗贝 尔原理，则
=－ maC
该力偶的力偶矩等于惯性力系对刚体惯性力系的简化
结论 当刚体有质量对称面，且绕垂直于质量对称面的定轴 转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。 该力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速 度方向相反，且力的作用线通过转轴；
该力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘 积，其转向与角加速度转向相反。惯性力系向点O简化的结 果如图b)所示。
Fg=-m a
质点的达朗伯原理:质点在运动的每一瞬时，作用 于质点上的主动力、约束反力与假想地在质点上 的惯性力，在形式上构成一平衡力系。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
理论力学课后习题答案
第11章 动量矩定理一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。
(×)2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。
(√)3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。
(√)4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。
(√)5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。
(×)6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。
(×)7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d nOO i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。
(√)8. 如图所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+ 2213ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。
(×)9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1d()d nP P i i t ==∑L M F 的形式，而不需附加任何条件。
(×)10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。
(×)图二、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。
2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。
3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。
4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的内力无关。
5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零，质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数和等于零。
理论力学第十一章 质点系动量定理讲解
结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律 动量定理 动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性，应 用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论
O
第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度， B 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
O
解： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
p mi vi
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
p mi vi
i
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
p mvC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi dt
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
考察1－2小段质量流，其 受力：
F1、F2－入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力；
W－质量流的重力； FN－管壁约束力合力。
考察1－2小段质量流， v1、v2－入口和出口处质量流的速度； 1－2 ：t 瞬时质量流所在位置； 1´－2´ ：t ＋ t 瞬时质量流所在位置；
理论力学：第11章 动量矩定理
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt
mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。
或
dmO (mv) mO (dS )
LH
P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin
1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g
(P
2Q)r
P
b b
(1
sin
)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)
m
P
r
b
Q
b
Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
理论力学11梁的位移计算
dvM dxEI ( z x)
θ ( x) = = ∫
⎛ M ( x) ⎞ v( x) = ∫ dxEI ⎜∫ z
dx + C
dx ⎟dx + Cx + D C,D 为积分常数，由梁的位移约束条件确定。 ⎝ EI z⎠ 挠曲线近似微分方程通解的积分常数确定以后，就得 到了挠曲线方程和转角方程，这种求梁变形的方法称为积 分法。
本章小结
挠曲线、挠度、转角、挠曲线方程、转角方程
v = f ( x)
θ = θ ( x)
挠曲线微分方程
dv θ ≈ tgθ = dx
dv ±
2
2
dx dv 2 ⎤⎡ 1+ ( ) ⎥⎢ dx ⎦⎣
将b处约束去掉基本静定系静定基相当系统加上q及约束力变形协调条件marblqlvbeirb39梁的位移计算本章小结挠曲线挠度转角挠曲线方程转角方程dx挠曲线微分方程dxdv40梁的位移计算积分法求梁的位移边界条件和连续条件dvmdxdx叠加法求梁的位移梁的刚度条件4041梁的位移计算提高梁的刚度的主要措施增大截面惯性矩
23
梁的位移计算
24
梁的位移计算
25
梁的位移计算
思考：
应用叠加法求梁的位移，必须满足的条件是什么？ 答：小变形，材料符合胡克定律。
26
梁的位移计算
4 3
已知图1B点的挠度和转角分别为 ql / 8 EI ， ql / 6 EI ， 图2C截面的转角为多少？
q
A
l
B
ql / 8 EI
3
q
A B
3
16
例
３
求简支梁最大挠度，Ｆ已知，EI为常数。
解
１、建立挠曲线微分方程
理论力学第十一章动量矩定理
JO
d 2
dt 2
mga
即：
d 2
dt 2
mga
JO
0
解： 令 2 mga
JO
——固有频率
得
2 0
通解为 O sin(
mgat )
JO
周期为 T 2 2 JO
mga
例11-3 用于测量圆盘转动惯量的三线摆中，
三根长度相等（l）的弹性线，等间距悬挂被测量的圆盘。
已知圆盘半径为 R、重量为W。
dt
dt dt
v dr dt
r d(mv) d(r mv)
dt
dt
dLO dt
MO F
矢量式
质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作 用于质点上的力对该点的矩。
★ 质点系的动量矩定理
0
d
dt
i
ri mivi
i
MO (Fii )
i
MO (Fie )
MO (Fie )
i
F2
z
F1
LO rC mvC LC
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie (rC + ri) Fie
rC Fie ri Fie
③
即
drC dt
mvC
rC
d dt
mvC
dLC dt
rC
Fie
dLC dt
由于
① ① drC dt
② vC ,
drC dt
mvC
★ 相对质心的动量矩
LC MC mivi ri mivi
vi vC vir
LC = rimivC rimivir
其中
ri mivC ( miri)vC 0 （rC
11级理论力学复习
一、选择题3、图示各杆自重不计，以下四种情况中，哪一种情况的BD杆不是二力构件？4、以下四种说法，哪一种是正确的（A）力在平面内的投影是个矢量；（B）力对轴之矩等于力对任一点之矩的矢量在该轴上的投影；（C）力在平面内的投影是个代数量；（D）力偶对任一点O之矩与该点在空间的位置有关。
5、图示结构，其对A点之矩的平衡方程为(A)∑m A(F) = m + Psinθ⋅ L/2 + 2Qa + m A = 0(B)∑m A(F) = -m - Psinθ⋅ L/2 + Qa = 0(C)∑m A(F) = -mL - P ⋅ L/2 + Qa/2 + m A = 0(D)∑m A(F) = -m - Psinθ⋅ L/2 + Qa + m A = 06、作用在刚体上的力F对空间内一点O的矩是（A）一个通过O点的固定矢量；（B）一个代数量；（C）一个自由矢量；（D）一个滑动矢量。
7、已知物块重为P，放在地面上，物块与地面之间有摩擦，其摩擦角为ϕm=20︒，物块受图示Q力的作用，若Q=P，以下四种情况，哪一种说法是正确的。
8、点沿图示螺旋线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成正比，则该点(A)越跑越快；(B)越跑越慢；(C)加速度越来越大；(D)加速度越来越小。
9、点作曲线运动时，(A)若始终有v⊥a，则必有∣v∣ = 常量(B)若始终有v⊥a，则点必作匀速圆周运动(C)不可能存在某瞬时有v//a(D)若某瞬时v = 0，则其加速度a必等于零10、刚体作定轴转动时(A) 其上各点的轨迹必定为一圆；(B) 某瞬时其上任意两点的法向加速度大小与它们到转轴的垂直距离成反比；(C) 某瞬时其上任意两点的加速度方向互相平行；(D) 某瞬时在与转轴垂直的直线上的各点的加速度方向互相平行。
11、平移刚体上点的运动轨迹，(A) 必为直线；(B) 必为平面曲线；(C) 不可能是空间曲线；(D) 可能是空间曲线。
12、图示机构中，直角形杆OAB在图示位置的角速度为ω，其转向为顺时针向。
理论力学第11章动量定理
总结和应用
动量定理是解释和分析物体运动的重要工具，可以应用于各个领域，帮助我们理解世界的运动规律。
理论力学第11章动量定理
动量定理是研究物体运动的基本定律之一。它包括动量的基本概念、动量守 恒定律、数学表达式、弹性碰撞和非弹性碰撞的动量定理、应用举例、与能 量守恒定律的关系等内容。
动量的概念
动量是描述物体运动状态的物理量，是质量和速度的乘积。它能够帮助我们理解物体如何受力而改变运 动状态。
动量守恒定律
动量定理的应用举例
1
汽车碰撞
动量定理可以帮助我们分析汽车碰撞的力学过程，对交通事故进行研究和安全设计提 供指导。
2
火箭发射
火箭发射过程中动量定理的运用可以帮助我们计算火箭的推力和速度变化，实现太空 探索。
3
球类运动
动量定理可以解释为什么球在击打或投掷时会有反冲，以及如何提高球的射击速度和 力量。
动量定理与能量守恒定律的关系
动量守恒定律指出，在一个封闭体系内，当没有外力作用时，系统的总动量保持不变。这个定律在研究 碰撞和爆炸等过程中非常重要。
动量定理的数学表达式
动量定理的数学表达式为力的作用时间等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ物体动量变化的量。它可以帮助 我们计算力对物体的作用效果以及物体的运动状态。
弹性碰撞和非弹性碰撞的动量定理
弹性碰撞中，动量守恒定律成立，而非弹性碰撞中，动量守恒定律不完全成立。这两种碰撞过程中动量 定理的应用有所不同。
理论力学第十一章动量矩定理
2．规则几何形状物体的转动惯量
J Z = ∫ r 2 dm
均质圆环：
J z = ∑ ΔmR 2 =MR 2
往三个坐标轴投影：得到质点对轴的动量矩定理： d m x (mv ) = m x ( F ) dt d m y (mv ) = m y ( F ) dt d m z (mv ) = m z ( F ) dt （1）若Σmo(F)≡0, mo(mv)=常矢量； 两种特殊情况： （2）若Σmx(F)≡0, mx(mv)=常量。 以上两种情况均称为动量矩守恒
R 别为J 1 和J 2 ，两轮的半径分别为 R1 、 2 ，传 动比 i12 = R2 / R1 。轴Ⅰ上作用主动力矩 M 1 ， 轴Ⅱ上有阻力矩 M 2，转向如图。忽略摩擦。 求轴Ⅰ的角加速度。
例 图示传动轴，轴Ⅰ和轴Ⅱ的转动惯量分
Ⅱ
M2
M1
Ⅰ
解 ：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象。受力如图。 两轴对各自轴心的转动微分方程分别为
体积
2π R
π R2
4 π R3 3
4π R 2
Δm
1 1 J O = ∑ ΔMR 2 = MR 2 2 2
N维球
均质直杆：
J z = ∫ x 2 ρ l dx =
0
l
ρl l 3
3
1 2 J z = Ml 3
z
1 1 2 2 J z = ∑ (Δm)l = Ml 3 3
l
x
z
dx
Δm
x
11 理论力学--动量定理
运动这过程中，在水平方向上，A上有两个冲量作用：
一个是B对它的撞击冲量，设其大小为I，一个是平面对
A块作用的动滑动摩擦力的冲量，其大小为FA t，其中：
FA fs FN A fs mA g
这两个冲量的方向都与运动方向相反，取 x 轴的水平指 向与运动方向相同，于是根据动量定理，有：
0 mAv0 I FA t
11 动量定理
对于质点系，可以逐个质点列出其动力学基本方 程，但是很难联立求解。
动量、动量矩和动能定理从不同的侧面揭示了质 点和质点系总体的运动变化与其受力之间的关系，可 用以求解质点系动力学问题。动量、动量矩和动能定 理统称为动力学普遍定理。本章将阐明及应用动量定 理。
11.1 动量与冲量 11.1.1 动量 物体运动的强弱，不仅与它的速度有关，而且
的乘积。质点系的动量为质点系内各质点动量的矢量
和。因此，可能存在质点的动量大于质点系的动量，
甚至质点系内的质点具有动量，而质点系的动量等于
零。 质点系的运动不仅与作用在质点系上的力与有关，
而且与质量的大小及其分布情况有关。
质心( Center of mass )就是对质点系质量分布特征
的一种描述，它时质点系的质量中心。设一质点系由
（1）
B 块动量变化为零，作用于 B 上水平方向的冲量也有两
个：一个是 A 对 B 撞击时作用的冲量；另一个是滑动摩
擦力的冲量，大小为 ：FB t
FB fs FN B fs mB g
0 I FB t
（2）
联解式(1)与式(2)得：
v0
f s mA mB g t
mA
方向如图所示。
px m1 ew cosw t
理论力学第11章分析运动学及刚体的合成运动
例如两个质点 P1 , P2 在运动过程中保持距离 l 不 变（图11-2），则存在1个独立约束方程
x1 x2
2
y1 y2 z1 z2 l 2
2 2
(d)
r 1 代入式(11-6)，得出该系统 将 n2 ， 的自由度为 f 5 。
若完整系统中各质点均被限制在一平面内运动，
(11-4)
广义坐标确定以后，多余坐标即可由约束方程 (11-4)确定，系统的位形也随之完全确定，成为 广义坐标和时间的函数：
xi xi q1 , q2 ,
, qf ,t
(11-5a) (11-5b)
yi yi q1 , q2 ,
, qf ,t
zi zi q1 , q2 ,
11.1 分析运动学
在工业生产及科学技术的发展中出现了许多复杂的机器， 其中包括能完成各种运动功能的新奇机构。例如汽车装配线上 的机械手，它是一个仿人机器，但比人的手臂有更多的关节， 因而它的手端可以越过各种障碍伸到车身内部隐蔽的角落进行 焊接、装配和其它加工。航天领域中的遥控火星车，是由车身 及各种外伸部件（天线、摄像机、探测仪、行走机构等）组成。 在火箭由地球表面发射时，这些外伸部件都收拢起来以便装进 位于火箭顶部的空间探测器中；火星车在火星着陆后，再由各 种伸展机构将它们从车身中陆续展开到预定位置锁定，或根据 控制指令做相应的运动。在这些复杂机构的设计、运行工程中， 运动学分析是极为重要的一环；包括了解机构各部件的位置范 围、运动规律、角速度与角加速度，各有关点的轨迹、速度、 加速度以及各点运动之间的关系。解析法可以分析运动的全过 程，而且操作过程规范；现代计算技术的发展与计算机的普及 又可以克服解析法存在的数学推导繁冗、计算量大的缺点；因 此，应用计算机进行电算在复杂机构的综合、设计、分析与优 化（统称CAD）中得到了愈来愈多的应用。
理论力学11质点动力学基本方程
m
研究小球
受力分析
运动分析
FT
建立直角坐标系， 根据质点运动微分方程
Fix max: FT sin ma0
y
mg
Fiy may: mg FT cos 0
x
a0 a0
FT sin ma0 mg FT cos 0
解得绳的倾角以及绳中的张力分别为
arctan a0
g FT m a02 g2
y
v
积分两次，得到
m
v0
x C1t C3
y
1 2
gt2
C2 t
C4
O
mg
x
根据运动初始条件，求出积分常数，得物体的运动方程
x v0 cos t
y
v0
sin
t
1 2
gt 2
从运动方程中消去时间参数 t ，即得物体的轨迹方程
y
tan x
2v02
g
cos2
x2
可见，其轨迹为抛物线
[例4] 摆动输送机由曲柄带动货架 AB 输送质量为 m 的木箱。已知曲
动力学
动力学： 研究力与运动之间的关系 动力学第Ⅰ类问题： 已知运动求力 动力学第Ⅱ类问题： 已知力求运动
第十一章 质点动力学基本方程
一、质点动力学基本方程
F ma 式中，m 为质点质量、 a 为质点加速度
F 为作用于质点上的合力，即 F Fi
一、质点动力学基本方程
F ma
说明： 1）在国际单位制中，m 的单位为 kg、a 的单位为 m/s2、 F 的单位为 N
0.35
O1
0 aA
A
O2
m
B
所以，木箱与货架间静摩擦因数的最小值
11理论力学达朗贝尔原理
三、 质点系的达朗贝尔原理
设质点系由n个质点组成，其中任意质点i的质量为mi， 加速度为ai。
（1）若把作用于此质点上的所有力分为主动力的合
力Fi、约束力的合力FNi，再虚拟加上此质点的 惯性力FIi= –miai。
由质点的达朗贝尔原理，有
Fi+ FNi+ FIi =0 （11－3） 该式表明：质点系中每个质点上作用的主动力、
F x 0,FIi cosi FA 0OFLeabharlann y 0,FIi sini FB 0
而
FIi = miain
m
2R
Ri
R 2
R Δθi
θi
FIi
B
x
FB
19
11.1 惯性力•达朗贝尔原理
令 Δθi
0，有
FIi
cosi
2 0
m
2
R 2
cosd
mR 2 2
FIi
sini
2 0
m
2
R 2 sind
例11－3 飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω定轴 转动，设轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘上，不考 虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。
y
A
R O
B
x
18
11.1 惯性力•达朗贝尔原理
解：由于对称，取四分之一轮 缘为研究对象，如图所示。
轮缘横截面张力设为FA、FB。
y
FA
A
取圆心角为Δθi的微小弧段， 每段 加惯性力FIi。 列平衡方程
FIi 0
故
i 1 n
i 1 n
MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
i 1
i 1
(14-4)
理论力学 第11章 虚位移原理
由rA的任意性，得 PQ tg
16
2、解析法 由于系统为单自由度，
可取为广义坐标。
xB lcos , yA lsin xB lsin , yA lcos
Py A QxB 0 ,
(Pcos Qsin )l 0
P1yC P2yD FxB 0 (a) 而 yC acos , yC asin
yD 2acos bcos , yD 2asin bsin xB 2asin 2bsin , xB 2acos 2bcos
代入(a)式，得： (P1a sin P2 2a sin F 2a cos) (P2bsin F 2b cos ) 0
M
Fh
sin 2
2用虚速度法:
ve
OB
h
sin
,
va
vC
h sin 2
代入到
M FvC
0,
M
Fh
sin2
3用建立坐标,取变分的方法,有
M F xC 0
xC h cot BC
xC
h sin 2
解得
M Fh
sin 2
6
(二) 解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数
（ q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分q1,q2 , ,qk ，各
质点的虚位移ri 在直角坐标上的投影可以表示为
xi
xi q1
q1
xi q2
q2
xi qk
qk
yi
yi q1
理论力学第11章(动量矩定理)
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =r
理论力学11 质点运动微分方程
质点。
2.质点系 质点系：由有限或无限个有着一定联系 质点系 的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 刚体 不变的质点组成,又称为不变质点系。
1
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。 三.动力学分类: 质点动力学
5
二. 第二定律（力与加速度关系定律） 第二定律（力与加速度关系定律） 质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大 小成正比，与质点的质量成反比， 小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方 向相同。 向相同。
即：
r r F a= m
r r 或 ma = F
由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常称上式 为动力学基本方程 动力学基本方程。 动力学基本方程 注意： 注意：当质点同时受几个力的作用时,式中的F 为这ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力的合力。
2
授课教师：薛齐文 授课教师： 土木与安全工程学院力学教研室
3
第十一章
质点运动微分方程
§11–1 动力学基本定律 §11–2 质点运动微分方程
4
§11.1 动力学基本定律 动力学的理论基础：是牛顿三大定律，它们也被称为 动力学的理论基础 动力学的基本定律。 第一定律（惯性定律） 一. 第一定律（惯性定律） 任何质点如不受力作用， 任何质点如不受力作用，则将保持其原来静止的或匀速 直线运动的状态不变。 直线运动的状态不变。 质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性 称为惯性 事实上，不存在不受力的质点，若作用在质点上的力系为 平衡力系，则等效于质点不受力。 该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。 该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。
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13.1 半径为R 的均质圆轮质量为m ，图a ，b 所示为圆轮绕固定轴O 转动，角速度为ω，图c 所示为圆轮在水平面上作纯滚动，质心速度为v 。
试分别计算它们的动能。
解：（a ）圆轮绕固定轴O 转动，动能为 22223,21mR mR J J J T C O O =+==ω导得 243mR T = （b ）圆轮绕固定轴O 转动，动能为2221,21mR J J T O O ==ω导得 241mR T = （c ）圆轮在水平面上作纯滚动，由König 定理，动能为22221,,2121mR J R v J mv T C C ==+=ωω导得 243mR T =13.2 图示均质杆长l ，质量m ，绕点O 转动的角速度为ω，均质圆盘半径为R ，质量m 与杆相同，求下列三种情况下系统的动能：（a ）圆盘固结于杆；（b ）圆盘绕轴A 转动，相对于杆的角速度为ω-；（c ）圆盘绕轴A 转动，相对于杆的角速度为ω。
解：（a ）圆盘固结于杆，则圆盘的运动为绕点O 转动，角速度为ω，则系统动能为 222221222121,121,2121ml mR ml J J ml J J J T A +=+==+=ωω导得 22212132121ωm l R T ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（b ）圆盘绕轴A 转动，相对于杆的角速度为ω-，则圆盘的绝对角速度等于零，则系统动能为l v ml J mv J T A A ωω==+=,121,212121221导得 222413ωml T = （c ）圆盘绕轴A 转动，相对于杆的角速度为ω，则圆盘的绝对角速度等于2ω，则系统动能为()l v mR J ml J J mv J T A A ωωω===++=,21,121,2212121222122221导得 2222121321ωm R l T ⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 13.3 输送器A 以10m/s 的速度沿轨道运动如图示，其上用轻杆吊一重450N 、半径为0.3m 的均质圆盘。
若圆盘以5rad/s 的角速度转动，试计算圆盘在此瞬时的动能。
解：均质圆盘作平面运动。
C （基点A ）：i v v v )(A CA A C l v ω+=+=圆盘动能：m N 5.62762121)(212121222A 2C 2C ⋅=++=+=ωωωr g W l v g W J mv T13.4 均质杆CD 和EA 分别重50N 和80N ，铰接于点B 。
若杆EA 以2rad/s =ω绕A 转动，试计算图示位置两杆的动能。
解：B （基点D ）：BD D B v v v +=m/s)(34.13B D ==v vm /s)(8.22B BD ==v v ，rad/s)(314CD =ωO 点为CD 杆的瞬心，)m/s (37.01CD C 1=ω=OC v则 )m N (44.5131212AE AE AE ⋅=ω=g W T )m N (50.79.012121212CD 2CD 2C CD CD 1⋅=ω+=g W v g W T13.5 图示机构中，曲柄OB 以r/min 0003=ω转动。
设m 6.03==r l ，杆AB 重2N ，求θ为任意位置时连杆AB 的动能，并计算 30=θ和 60时的数值。
解：设多余坐标ϕ，与θ存在以下关系θ=ϕcos sin r l 则有ωϕθ-=ϕ)cos /sin (r l 因 ϕ-θ=sin )2/(cos C l r x ，ϕ+θ=cos )2/(sin C l r y可得)sin()2/()(222C 2C 2C ϕ-θϕθ+ϕ+θ=+= rl l r y x v]cos /)sin(sin )cos /(sin 311[211212*********C AB ϕϕθθϕθωϕ--+=+=r g W l gW v g W Tm)N (91.9|30AB ⋅==θ Tm)N (92.5|60AB ⋅==θ T13.6 重量为W 的鼓轮沿水平面做纯滚动如图示，拉力F 与水平面成 30角。
轮子与水平面之间的静摩擦因数为s f 滚阻系数为δ，求轮心C 移动距离为x 的过程中力的功。
其中r R 2=。
解：受力分析：作用与鼓轮的外作用力系为重力、拉力、地面法向约束力、滑动摩擦力和滚阻力偶，如图所示。
因为0=C y ，所以 030sin N =+-F W F ()()30sin ,30sin ,30sin T N F W M F W f F F W F -=-=-=δ 拉力所做的功（将力向轮心简化，得到一力和一力偶）： R x Frx F A +⋅= 30cos F滑动摩擦力所做的功： 0T T F T =+-=R x RF x F A滚阻力偶所做的功： ()R x F W R x MA M 30sin --=-=δ13.7 图示机构水平放置。
均质杆AB 重量为20kg ，长为2m ，其两端铰接两质量为5kg 、半径为300mm 的相同齿轮G 和H （可看作均质圆盘）。
若在齿轮H 上作用一力偶m N 5⋅=M ，求系统由静止开始运动20s 后齿轮H 的角速度。
解：因2/B l r v ω'=ω=故 ω=ω'3.0系统：A T T =-0θ=ω+ω+ω''M r m mr l m ])(212121[21212122222 对上式求导，注意到ω=θ ，α=ω，导出 2rad/s 564.2=α齿轮H 的角加速度α为常值，则角速度ω为rad/s 28.51=α=ωt13.8 一复摆绕点O 转动如图示，点O 离开其质心O '的距离为x 为何值时，摆从水平位置无初速地转到铅垂位置时的角速度为最大？并求此最大角速度。
解：复摆：A T T =-0mgx J x m =ω+ω'2O 221)(21 解出)/(2O 22'+=ωJ mx mgx令 0)/()(2/2O 22O 2=+-=∂ω∂''J mx mx J mg x求得 2O O 2''ρ==m J mx即O 'ρ=x 时ω有极值：O /'ρ=ωg因为 0)/()3(4/3O 2O 2222<+--=∂ω∂''J mx J mx gx m x 此ω为最大角速度。
13.9 等长、等重的三根均质杆用理想铰链连接，在铅垂平面内摆动。
求自图示位置无初速释放时杆AB 中点C 的加速度，以及运动到平衡位置时C 的速度。
设杆长m 1=l 。
解：系统：A T T =-0)cos (cos 2)(21312120222θ-θ=θ+θ⋅mgl l m ml对上式求导并令 45=θ，解出2C m/s 316.8sin 56-=θ-=θ=g l a将0=θ， 450=θ代入动能定理，求得 m/s 625.25/)22(6C -=--=θ=gl l v13.10 绕水平轴O 转动的滑轮上放一软链如图示。
稍有扰动时，软链即下滑而带动滑轮转动。
求软链脱离滑轮时的速度。
设软链重G ；滑轮重W ，半径为R ，可看作均质圆盘。
解：系统：A T T =-0)22()(212121222R R G R v R g W v g G π+π=+由上式解得 )2/()22(4W G G gR v +π+π=13.11 均质杆长l 2，在光滑水平面上从铅垂位置无初速地倒下如图示。
求其重心C 离开平面的高度为h 时的速度。
解：水平方向杆不受力作用，质心C 将铅垂下落，P 为杆速度瞬心，杆角速度为22C C //h l v PC v -==ω （1）杆AB ：A T T =-0)()2(1212121222C h l mg l m mv -=ω+将式（1）代入，解得 )34/()(6)(22C h l h l g h l v -+-=13.12 将一均质半圆球放于光滑的水平和铅垂平面之间，并使其底面位于铅垂位置如图示。
今无初速地放开。
求半圆球转过 90，即当其底面位于水平位置时其质心C 的速度，并证明此后半圆球将继续侧转的最大角度)128/45arccos(=θ。
解：C （基点O ）：n CO CO O C a a a a ++=τϕ+ϕ+=τcos sin n CO CO O Cx a a a a半球在转过 90过程中，0Cx >a ，由N1Cx F ma =可知01N >F ，即在此过程中半球绕O 作定轴转动：半球：A T T =-0，r mg mr 83522122=ω r g 8/15=ω，8/158383C gr r v =ω=90=ϕ（即 0=θ）后，半球作平面运动，由于水平方向无外力作用，质心水平速度保持不变。
半球：A T T =-0θ=cos 83212C r mg mv ，（0=ϕ为初始状态）解得)128/45arccos(=θ13.13 均质杆AB 长l ，重1W ，上端B 靠在光滑墙上，下端A 铰接于车轮轮心。
车轮重2W ，半径为r （可视作均质圆盘），在水平面上只能作纯滚动，滚动阻力不计。
设系统有图示位置（45=θ）开始运动，试用能量守恒定律计算此瞬时轮心A 的加速度。
解：AB 杆的速度瞬心为P ，则有θ==θcos //A A l v PA v ，θ= )2/(C l v （1）系统：const =+V T （取A 为重力势能零点）const cos 221)(2121211212112A 22A 222C 1221=θ++++θl W v g W r v r g W v g W l g W将式（1）代入上式，对时间求导得 0tg 21cos 3sin )23cos 3(112A 41A 221=θ-θθ-+θW l v g W a W W g将 45=θ，0A =v 代入上式，解出)94/(3211A W W g W a +=13.14 长l 、重W 的三根相同的均质杆用理想铰链连接如图示，在铅垂平面内运动。
一质量不计、刚度系数为k 的弹簧，一端与BC 杆的中点E 连接，另一端可沿光滑铅垂导槽滑动。
杆AB 和CD 与墙垂直时，弹簧不变形。
求系统在此瞬时有静止释放时杆AB 的角加速度。
解：系统为一自由度，设θ为广义坐标。
系统：A T T =-0 202022022)]cos 1([21)sin (sin 2])()[(21)(31212θθθθθθθ---=-+-⋅l k Wl l l g W l g W将上式对时间求导，导出 θθ--θ=θsin )cos 1(cos 2352kl Wl l g W将 0=θ代入上式，解得l g 5/6=θ13.15 一台阶圆柱大、小圆半径分别为1.3m 和0.6m ，质量为36kg ，对于转动轴的回转半径为1m 。