复合函数零点问题专题训练

复合函数零点问题专题训练

1．定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中：

(1)方程f[g(x)]=0有且仅有三个解；(2)方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；(3)方程f[f(x)]=0有且仅有九个解；(4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。

那么，其中正确命题的个数是

()

A ．1

B.2

C.3

D.4(第1

题图)

解：选B.（1）方程f[g （x ）]=0有且仅有三个解；g （x ）有三个不同值，由于y=g （x ）是减函数，所以有三个解，正确；

（2）方程g[f （x ）]=0有且仅有三个解；从图中可知，f （x ）∈（0，a ）可能有1，2，3个解，不正确；

（3）方程f[f （x ）]=0有且仅有九个解；类似（2）不正确；

（4）方程g[g （x ）]=0有且仅有一个解．结合图象，y=g （x ）是减函数，故正确．2.已知函数1)(+=x xe x f ，

若函数2)()(2

++=x bf x f y 恰有四个不同的零点，则实数b 的取值范围是

（

）

A.)

22,(--∞ B.)

2,3(-- C.)

3,(--∞ D.(]

2

2,3--解：用求导方法得，f(x)在x =－1取得最大值1，在x=0取得最小值0，故01时，f(x)=a,有1个解，2)()(2

++=x bf x f y 恰有四个不同的零点，则

2

t

+bt+2=0有两个不等根，1个在（0,1）内，另1个根大于1，令g(t)=

2

t

+bt+2,于是得，

⊿>0且g （0）>0且g(1)<0,解得b <－3，故选C ．思考：已知函数1

)(+=x xe x f ，若函数2)()(2

++=x bf x f y 恰有6个不同的零点，则

实数b 的取值范围是

（

）

3.(2013四川，理10)设函数f (x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若曲线

a

a

x

y

f(x)O

a

a a

a

x

y g(x)

O a a

y ＝sin x 上存在点(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则a 的取值范围是()．

A．[1，e]B．[e－1－1,1]C．[1，e＋1]D．[e－1－1，e＋1]解析：由题意可得，y 0＝sin x 0∈[－1,1]，

而由f (x

可知y 0∈[0,1]，当a ＝0时，f (x

为增函数，∴y 0∈[0,1]时，f (y 0

∴f (f (y 0

∴不存在y 0∈[0,1]使f (f (y 0))＝y 0成立，故B，D 错；

当a ＝e＋1时，f (x

y 0∈[0,1]时，只有y 0＝1时f (x )才有意义，而f (1)＝0，

∴f (f (1))＝f (0)，显然无意义，故C 错．故选A．

4.已知函数13)(23

+-=x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧

≤--->+=0

,860,41)(2

x x x x x

x x g ，则方程[]

)0(0)(>=-a a x f g 的解的个数不可能是（）A．3个

B.4个

C.5个

D.6个

答案选A

5.设

2,1

,1(),()x x x x f x g x ≥<⎧⎪

=⎨⎪⎩

是二次函数，若f (g(x))的值域是[0,+∞)，则g(x)的值域是（

）

A(-∞,-1]∪[1,+∞)B(-∞,-1]∪[0,+∞)C[0,+∞)D[1,+∞)

【解析】

选C ．令f (g(x))=f(t),t=g(x),当t ∈(-∞,-1]∪[0,+∞)

或t ∈(-∞,-1]∪[0,1)或t ∈[0,+∞)时，f(t)的值域是[0,+∞)，而t=g(x)是二次函数，故选C ．

6.

某同学在研究函数()f x =的性质时，受到两点间距离公式的启

发，将)(x f 变形为2222)10()3()10()0()(++-+-+-=

x x x f ，则)(x f 表示

||||PB PA +（如图），下列关于函数)(x f 的描述：

①)(x f 的图象是中心对称图形；②)(x f 的图象是轴对称图形；

③函数)(x f 的值域为)+∞；

④方程[()]1f f x =.则描述正确的是

A.

①② B.②③C.③④

D.

①④

【解析】

选B.f(x)=f(3-x),对称轴x=32

,)(x f min=｜AB ｜=,由[()]110

f f x =+

得f(x)=0或f(x)=3Ï)

+∞7.已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出下列四个命题：

①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的序号为____________