高等数学课后习题答案--第八章

| x|+| y|≤1
∫∫ f ( x + y)dxdy = ∫
1
−1
f (u )du 。
【解】 令 x + y = u , x − y = v , x =
1 1 D ( x, y ) 1 (u + v), y = (u − v) , J = = . 区域 2 2 D(u, v) 2 | x | + | y |≤ 1 变为 − 1 ≤ u ≤ 1,−1 ≤ v ≤ 1 , 于是 1 1 f ( x + y ) dxdy = f u dudv = ( ) ∫∫ ∫∫ ∫−1 f (u )du . 2 | x|+| y|≤1 D'
∫ dx ∫
0
1
2− x 2 x
f ( x, y )dy .
160
3. 求由平面 z = x − y , z = 0 与圆柱面 x 2 + y 2 = 2 x 在 z ≥ 0 中所围成的空间体的体 积。 1 【答案】 V = (3π + 10) 6 4. 求由旋转抛物面 z = x 2 + y 2 , 柱面 y = x 2 及平面 y = 1 和 z = 0 所围成的空间区域 的体积。 1 y 88 【答案】 V = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy = ∫ dy ∫ ( x 2 + y 2 )dx = . 0 − y 105 D 5、作适当的变量代换，求由 x + y = a, x + y = b, y = 2 x, y = 3x 围成的平面区域的面积，其中 b > a > 0. x+ y=u ⎧ b 3 u u 1 2 ⎪ 【答案】. ⎨ y , J= , S = ∫ du ∫ dv = (b − a 2 ) . 2 2 a 2 =v (1 + v) 24 (1 + v) ⎪ ⎩ x 6、计算 ∫∫ x 2 y 2 dσ ，其中 D 是由 xy = 2, xy = 4, y = x, y = 3x 在第一象限所围成的
（3） ∫∫ xy 2 dσ ，其中 D = {( x, y ) | 4 x ≥ y 2 , x ≤ 1}; （4） ∫∫ ( y 2 − y )dσ ，其中 D 由 x = y 2 与 x = 3 − 2 y 2 围成；
D
（5） ∫∫ cos( x + y )dσ ，其中 D = {( x, y ) | x ≥ 0, x ≤ y ≤ π };
【答案】(1)
∫
x
ln 2
0
dy ∫ y f ( x, y )dx ; (2)
e 2 2− x 1 0
2
∫ dx ∫x2 f ( x, y)dy + ∫ dx ∫x2 f ( x, y)dy ;
0 2 1 2
1
x2
2
1
(3)
∫ dx ∫
0
1
0
f ( x, y )dy + ∫ dx ∫
f ( x, y )dy ; (4)
D
（2） ∫∫ ( x 2 + y 2 )dσ ，其中 D = {( x, y ) | 2 x ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 x};
D
（3） ∫∫ ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 dσ ，其中 D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1, x 2 + y 2 ≤ 2 x};
第八章 多元函数积分学 §3 三重积分的计算及其应用 习 题
1. 计算下列三重积分 （1） ∫∫∫ xy 2 z 3 dσ ，其中 Ω 是曲面 z = xy 和平面 y = x, x = 1, z = 0 所围成的区域；
Ω
（2） ∫∫∫ xzdσ ，其中 Ω 是由平面 z = 0 ， x = y, y = z 以及抛物柱面 y = x 2 所围成的
D D
的大小。 【解】 利用 sin 2 x ≤ x 2 .则 sin 2 ( x + 2 y + 3z ) ≤ ( x + 2 y + 3z ) 2 积分得
∫∫∫ sin
D
2
( x + 2 y + 3 z )dσ ≤ ∫∫∫ ( x + 2 y + 3 z ) 2 dσ
D
4. 利用重积分的性质，估计积分值
Ω
闭区域; （3） ∫∫∫ x sin( y + z )dσ ，其中 Ω = {( x, y, z ) | 0 ≤ x ≤
Ω
y ,0 ≤ z ≤
π
2
− y}.
（4） ∫∫∫
Ω
xyz dσ ，其中 Ω = {( x, y , z ) | x ≥ 0, z ≥ 0, x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1}. 2 2 1+ x + y + z
2
【解】 . (1)
1 1 π2 1 − ; (4) 0 . ; (2) ; (3) 364 80 16 2
2. 解下列三重积分问题： (1) 求 ∫∫∫ sin zdσ ，其中 Ω 由锥面 z = x 2 + y 2 和平面 z = π 围成。
Ω
(2) 设 Ω 由单叶双曲面 x 2 + y 2 − z 2 = R 2 和平面 z = 0, z = H 围成，求 Ω 的体 积。 x2 y2 (3) 求均匀的立体 Ω = {( x, y , z ) | 2 + 2 ≤ z ≤ 1} 的重心坐标。 a b
D
（4） ∫∫ ( x + y )dσ ，其中 D 是由曲线 x 2 + y 2 = x + y 所包围的平面区域。
D
【答案】(1) − 6π 2 ; (2)
∫ π dt ∫
2 − 2
π
4 cos t
2 cos t
r 3 dr =
45π 2π 512 98 ; (3) + − 3 ; (4) 2 15 75 25
163
⎛1 ⎞ 【解】 (1) π 3 − 4π ; (2) ⎜ H 3 + R 2 H ⎟π ; (3) 解 x = ar cos θ , y = br sin θ , z = z , ⎝3 ⎠ 2π 1 1 πab dV = abrdrdθdz , M = ∫∫∫ dV = ∫ dθ ∫ rdr ∫ 2 abdz = , M z = ∫∫∫ zdV , r 0 0 2 V V
∫∫
12．设 D = [0,1] × [0,1] ，证明
D
1 ≤ ∫∫ sin( x 2 ) + cos( y 2 ) dxdy ≤ 2 。
[
]
【解】 利用对称性有
∫∫ [sin( x
D
2
) + cos( y 2 ) dxdy
]
= ∫∫ sin( x 2 ) + cos( x 2 ) dxdy = ∫
D
（6） ∫∫ x sin( x + y )dσ ，其中 D 由直线 x = π ，抛物线 y = x 2 − x 及其在
D
（0，0）点的切线围成。 e 【答案】. (1) − 1 ; (2) ln 2 ; 2
(3)
32 8 π ; (4) ; (5) − 2 ; (6) . 21 5 2
2. 交换下列各二次积分的积分顺序
习题参考资料
第三篇 多元函数微积分 第八章 多元函数积分学 §1 重积分的概念及其应用 习 题 1.设平面闭区域 D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ r 2 } ，求
∫∫
D
r 2 − x 2 − y 2 dσ , 2 3 πr . 3
【解】 积分是半径为 r 的上半球的体积,
2. 设有平面区域 D1 , D2 , D1 ⊃ D2 , f 是 D1 上的非负连续函数，证明：
2
1
x
1
0
x
0
11. 设一元非负函数 f 在 [a , b] 上连续，证明
⎡ 1 ⎤ 2 ⎢ f ( x) + f ( y ) ⎥ d x d y ≥ 2(b − a ) 。 ⎦ [ a ,b ]×[ a ,b ] ⎣ 【解】 将积分变量对称交换得 1 1 d x d y = ∫∫ dxdy ∫∫ f ( y) f ( x) [ a ,b ]×[ a ,b ] [ a ,b ]×[ a ,b ]
（1） ∫∫ sin( x 2 + y 2 )dσ ，其中 D = {( x, y ) |
D
π
4
≤ x2 + y2 ≤
3π }; 4
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dxdy , 其中 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 4,0 ≤ y ≤ 8}; ln(4 + x + y ) D 2 2 1 （3） ∫∫ e x + y dσ ，其中 D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ }. 4 D
D
[
]
1
0
π⎞ ⎛ 2 sin ⎜ x 2 + ⎟dx , 4⎠ ⎝
由于 0 ≤ x ≤ 1 , 于是
2 π⎞ ⎛ ≤ sin ⎜ x 2 + ⎟ ≤ 1 , 积分得 2 4⎠ ⎝ 1 π⎞ ⎛ 1 ≤ ∫ 2 sin ⎜ x 2 + ⎟dx ≤ 2 . 0 4⎠ ⎝
162
13．设一元函数 f (u ) 在 [−1,1] 上连续，证明
（1） ∫ dx ∫
1 2 ln x 0 2y y 2− y y2 y2 0
f ( x, y )dy;
f ( x, y )dx;
（2） ∫ dy ∫
0
1
（3） ∫ dy ∫
0
1
f ( x, y )dx;
2 2− y 0 1
（4） ∫ dy ∫
0
1
f ( x, y )dx + ∫ dy ∫
f ( x, y )dx.
⎛ x2 y2 ⎞ xy 9、求由曲线 ⎜ ⎜ a2 + b2 ⎟ ⎟ = c 2 (a, b, c > 0) 在 ⎝ ⎠ 第一象限中所围图形的面积。 【答案】令 x = ar cos t , y = br sin t ,
S = ∫∫ dxdy = ∫
D
π /2
0
dt ∫
ab sin t cos t c2
（2） ∫∫ 【解】. (1) 0 < I <
π2
2
; (2) 32 ln 12 ≤ I ≤ 32 ln 16 ; (3)
π
4
≤I≤
π
4
1
e4 .
5. 设 f 是三元连续函数，试求极限： 1 lim 3 ∫∫∫ f ( x, y, z )dσ . r →0 r Ωr
159
其中 Ω r = {( x, y, z ) | ( x − a) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 ≤ r 2 } 4π f (a, b, c) . 【解】利用中值定理, 3
∫∫ f ( x, y)dσ ≥ ∫∫ f ( x, y)dσ .
D1
D2
【解】记 D2 − D1 = D3 ，
∫∫
D1
= ∫∫
D2
+ ∫∫
D3
，
∫∫
D3
≥ 0 ， 因此 ∫∫
D1
≥ ∫∫
D2
.
3. 设 D 为一空间区域，比较重积分 2 2 ∫∫∫ sin ( x + 2 y + 3z )dσ 和 ∫∫∫ ( x + 2 y + 3z ) dσ
习题参考资料
第八章 多元函数积分学 §2 二重积分的计算 习 题
1. 计算二重积分
（1） ∫∫ xye xy dσ ，其中 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1};
2
D
（2） ∫∫
D D
1 dσ ，其中 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 1,1 ≤ x + y ≤ 2}; x+ y
0
abrdr =
a 2b 2 . 4c 2
10、设一元函数 f 在 [0,1] 上连续，证明
y x x ∫ dy ∫ e f ( x)dx = ∫ (e − e ) f ( x)dx 。
2
1
y
1
0
y
0
【解】 交换积分次序得
∫ dy ∫
0
1
y y
e y f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ 2 e y dy = ∫ (e x − e x ) f ( x)dx .
D
区域。
xy = u ⎧ 3 4 1 28 ln 3 1 ⎪ 【答案】作变量代换 ⎨ y , J= , 于是积分 ∫∫ x 2 y 2 dσ = ∫ dv ∫ u 2 du = . 1 2 =v 2v 2v 3 D ⎪ ⎩x
7、在极坐标系下计算下列二重积分
（1） ∫∫ sin x 2 + y 2 dσ ，其中 D = {( x, y ) | π 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4π 2 };
∫
3π 4
−
π
4
dt ∫
sin t + cos t
0
rdr =
π
2
.
x2 y2 x2 y2 8、计算 ∫∫ ( 2 + 2 )dσ ，其中 D 是由椭圆 2 + 2 = 1 所围的区域。 b a b D a
161
【答案】令 x = ar cos t , y = br sin t ,
2
∫∫ (
D
2π 1 abπ x2 y2 + ) d σ = dt r 2 abrdr = . 2 2 ∫ ∫ 0 0 2 a b
∫∫
⎡ ⎡ 1 ⎤ 1 ⎤ 2 ⎢ f ( x) + f ( y ) ⎥ d x d y = ∫∫ ⎢ f ( x) + f ( x) ⎥ d x d y ≥ ∫∫ 2 d x d y = 2(b − a) .. ⎦ ⎦ [ a ,b ]×[ a ,b ] ⎣ [ a ,b ]×[ a ,b ] ⎣ [ a ,b ]×[ a ,b ]