第十章曲线积分与曲面积分
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必交习题
一、1.设曲面 ： ，则
(1) ；
(2) ；
2.设 由曲面 ，则 .
二、计算 ，其中 为抛物面 面上方的部分。
三、计算 ,其中 为锥面 被柱面 所截的部分。
四、求抛物面壳 的质量，其中壳的面密度 。
§5对坐标的曲面积分
必作习题
P203 1；2；3（2）（4）（6）
必交习题
一、计算 ，其中 为球面 的外侧。
P184 1（1）；2（1）（3）；3；4（1）（3）；5（2）（4）；6（3）（4）
必交习题
一、填空题：
1、设L是正向圆周 =。
2、设L是正向圆周 =。
3、设L是正向椭圆周 =
。
二、计算曲线积分 ，其中
1、L是正向圆周 ；
2、L是正向曲线
三、计算 ，其中：
1、L是不包含原点的正向闭曲线；
2、L是正向单位圆周。
四、设物质曲线 在点M处的线密度 与点M到原点的弧长s成正比，求该曲线从点 到 的一段弧的质量。
§2对坐标的曲线积分
必作习题
P170 1；2；3（1）（3）（5）（7）；4（2）（4）
必交习题
一、把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分，其中L为：在xoy平面内
1、沿直线从点（0，0）到点（1，1）；
二、计算 ,其中 是部分旋转抛物面 的上侧。
三、计算 ， 是锥面 及平面 所围成的立体的外侧。
四、计算 ，其中 为曲面 及平面 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。
§6高斯公式通量与散度
必作习题
P213 1（1）（3）（5）；2（1）（3）；3（1）
必交习题
一、设 是球面 的外侧， 为 的外法向量的方向余弦，试计算下列各曲面积分的值。
2、沿抛物线 从点（0，0）到点（1，1）；
3、沿上半圆周 从点（0，0）到点（1，1）。
二、计算 ，其中L为圆周 （按逆时针方向绕行）。
三、在力 的作用下，质点从 沿L： 移至 ，求力 所做的功。
四、计算曲线积分 ，其中L为：沿 从点A(1，0）到点B（-1，0）。
§3格林公式及其应用（Ⅰ）
必作习题
1、 ；
2、
二、下面做法是否正确？为什么?
： 的外侧， 为 所围成球体，则
=
=
三、求向量 穿过上半球面 下侧的通量。
四、计算 ，其中 由 面上的曲线 绕 轴旋转而成的旋转曲面，曲面法向量与 轴正向夹角为锐角。（即取内侧）
§7斯托克斯公式环流量与旋度
必作习题
P226 1（1）（2）；2（3）；3（1）
四、设力的方向指向坐标原点，大小与质点到坐标原点的距离成正比，设此质点按逆时针方向描绘出曲线 ，求力所作的功。
§3格林公式及其应用（Ⅱ）
一、已知 为某二元函数的全微分，求 的值。
二、计算 ，其中L是沿 从A（ ，- ）到
B（- ，- ）的曲线段。
三、试确定 的值，使 的值与路径无关，其中路径L与x轴不相交，并计算从（1，1）到（0，2）的积分值。
（1）高斯公式；（2）斯托克斯公式。
习题课
一、求 ，其中 是柱面 介于 和 之间那部分的外侧。
二、计算 ， 是球面 的外侧。
三、计算 与球面 所围成的封闭曲面的外侧。
四、证明：如果 是闭曲面， 是任意非零定向量，则 其中 为曲面 的外法线向量。
四、若曲线积分 的值与路径无关，且 求
习题课
一、在过点 的曲线族 中，求一条曲线L，使沿该曲线从 的曲线积分 的值最小。
二、求
三、求 ，其中L为抛物线 上从 到 的弧段。
四、求
上从 的弧Baidu Nhomakorabea。
四、设 在 平面上有一阶连续偏导数，又曲线积分
与路径无关，并且对任意 有：
求 。
§4对面积的曲面积分
必作习题
P190 1；2；4；6（2）（4）
必交习题
一、填空题：
1．向量场 在点 处的散度 。
2．设 为 的模，则在 处有 。
二、计算 ，其中L为椭圆
，若从x轴正向看去，取逆时针方向。
三、求向量场 沿闭曲线L（从z轴正向看依逆时针方向）的环流量，其中 （c为常量），L为圆周 。
三、计算 ，其中 为球面 的上半球面的外侧，L是它的边界曲线， 。试用下列两种方法计算I
第十章曲线积分与曲面积分
§1对弧长的曲线积分
必作习题
P158 1；2；3（1）（3）（5）（7）
必交习题
一、计算 ，其中L为圆周 ，直线 及 轴在第一卦限内所围成的扇形的整个边界。
二、计算 ，其中L为曲线 在相应于t从0到2的这段弧。
三、计算 ，L为以（0，0），（1，0）和（0，1）为顶点的三角形边界。
一、1.设曲面 ： ，则
(1) ；
(2) ；
2.设 由曲面 ，则 .
二、计算 ，其中 为抛物面 面上方的部分。
三、计算 ,其中 为锥面 被柱面 所截的部分。
四、求抛物面壳 的质量，其中壳的面密度 。
§5对坐标的曲面积分
必作习题
P203 1；2；3（2）（4）（6）
必交习题
一、计算 ，其中 为球面 的外侧。
P184 1（1）；2（1）（3）；3；4（1）（3）；5（2）（4）；6（3）（4）
必交习题
一、填空题：
1、设L是正向圆周 =。
2、设L是正向圆周 =。
3、设L是正向椭圆周 =
。
二、计算曲线积分 ，其中
1、L是正向圆周 ；
2、L是正向曲线
三、计算 ，其中：
1、L是不包含原点的正向闭曲线；
2、L是正向单位圆周。
四、设物质曲线 在点M处的线密度 与点M到原点的弧长s成正比，求该曲线从点 到 的一段弧的质量。
§2对坐标的曲线积分
必作习题
P170 1；2；3（1）（3）（5）（7）；4（2）（4）
必交习题
一、把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分，其中L为：在xoy平面内
1、沿直线从点（0，0）到点（1，1）；
二、计算 ,其中 是部分旋转抛物面 的上侧。
三、计算 ， 是锥面 及平面 所围成的立体的外侧。
四、计算 ，其中 为曲面 及平面 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。
§6高斯公式通量与散度
必作习题
P213 1（1）（3）（5）；2（1）（3）；3（1）
必交习题
一、设 是球面 的外侧， 为 的外法向量的方向余弦，试计算下列各曲面积分的值。
2、沿抛物线 从点（0，0）到点（1，1）；
3、沿上半圆周 从点（0，0）到点（1，1）。
二、计算 ，其中L为圆周 （按逆时针方向绕行）。
三、在力 的作用下，质点从 沿L： 移至 ，求力 所做的功。
四、计算曲线积分 ，其中L为：沿 从点A(1，0）到点B（-1，0）。
§3格林公式及其应用（Ⅰ）
必作习题
1、 ；
2、
二、下面做法是否正确？为什么?
： 的外侧， 为 所围成球体，则
=
=
三、求向量 穿过上半球面 下侧的通量。
四、计算 ，其中 由 面上的曲线 绕 轴旋转而成的旋转曲面，曲面法向量与 轴正向夹角为锐角。（即取内侧）
§7斯托克斯公式环流量与旋度
必作习题
P226 1（1）（2）；2（3）；3（1）
四、设力的方向指向坐标原点，大小与质点到坐标原点的距离成正比，设此质点按逆时针方向描绘出曲线 ，求力所作的功。
§3格林公式及其应用（Ⅱ）
一、已知 为某二元函数的全微分，求 的值。
二、计算 ，其中L是沿 从A（ ，- ）到
B（- ，- ）的曲线段。
三、试确定 的值，使 的值与路径无关，其中路径L与x轴不相交，并计算从（1，1）到（0，2）的积分值。
（1）高斯公式；（2）斯托克斯公式。
习题课
一、求 ，其中 是柱面 介于 和 之间那部分的外侧。
二、计算 ， 是球面 的外侧。
三、计算 与球面 所围成的封闭曲面的外侧。
四、证明：如果 是闭曲面， 是任意非零定向量，则 其中 为曲面 的外法线向量。
四、若曲线积分 的值与路径无关，且 求
习题课
一、在过点 的曲线族 中，求一条曲线L，使沿该曲线从 的曲线积分 的值最小。
二、求
三、求 ，其中L为抛物线 上从 到 的弧段。
四、求
上从 的弧Baidu Nhomakorabea。
四、设 在 平面上有一阶连续偏导数，又曲线积分
与路径无关，并且对任意 有：
求 。
§4对面积的曲面积分
必作习题
P190 1；2；4；6（2）（4）
必交习题
一、填空题：
1．向量场 在点 处的散度 。
2．设 为 的模，则在 处有 。
二、计算 ，其中L为椭圆
，若从x轴正向看去，取逆时针方向。
三、求向量场 沿闭曲线L（从z轴正向看依逆时针方向）的环流量，其中 （c为常量），L为圆周 。
三、计算 ，其中 为球面 的上半球面的外侧，L是它的边界曲线， 。试用下列两种方法计算I
第十章曲线积分与曲面积分
§1对弧长的曲线积分
必作习题
P158 1；2；3（1）（3）（5）（7）
必交习题
一、计算 ，其中L为圆周 ，直线 及 轴在第一卦限内所围成的扇形的整个边界。
二、计算 ，其中L为曲线 在相应于t从0到2的这段弧。
三、计算 ，L为以（0，0），（1，0）和（0，1）为顶点的三角形边界。